杆梁结构有限元分析(第四章)
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有限元分析基础(推荐完整)
图1-5 驾驶室受侧向力应力云图
图1-6 接触问题结构件应力云图
10
第一章 概述
图1-7 液压管路速度场分布云图
图1-8 磨片热应力云图
图1-9 支架自由振动云图
11
第二章 结构几何构造分析
2.1 结构几何构造的必要性 2.2 结构计算基本知识 2.3 结构几何构造分析的自由度与约束 2.4 自由度计算公式
（1）结点： ① 铰结点；② 刚结点；③ 混合结点。 （2）支座： ① 活动铰支座；② 固定铰支座 ；
③ 固定支座 ；④ 定向支座
15
第二章 结构几何构造分析
2.2.2 结构的分类与基本特征
(1) 按结构在空间的位置分 结构可分为平面结构和空间结构两大类
(2) 按结构元件的几何特征分 ① 杆系结构： 梁、拱、桁架、刚架、桁构结构等 。 ② 板壳结构 ③ 实体结构实体结构的长、宽、高三个尺寸都很 大，具有同一量级。 ④ 混合结构
d. 超静定结构中的多余约束破坏后，结构仍然保持 几何不变性，因而仍有一定的承载能力， 不致整个结构 遭受破坏。
e. 超静定结构由于具有多余的约束，因而比相应的 静定结构具有较大的刚度和稳定性， 在载荷作用下，内 力分布也较均匀，且内力峰值也较静定结构为小。
18
第二章 结构几何构造分析
2.2.3 结构对称性的利用
对称结构在正对称载荷下，对称轴截面上只能产生 正对称的位移，反对称的位移为零；对称结构在反对称 载荷下，对称轴截面上只有反对称的位移，正对称的位 移为零。 (1) 具有奇数跨的刚架
① 正对称载荷作用
(a) 对称刚架
（b) 变形状态分析
(c) 对称性利用
图2-22对称性利用示意图
19
有限元经典PPT第4章
Pii Kiiui
Ki1u1 Ki2u2 Kiiui K u i,i1 i1
ui
n
Kiiui Kiiui
Kiju j
4.1.2 平面应力问题有限元的基本思想和瑞雷－里兹法
v3 f3y
3
u3
f3x
f1y v1 u1
1 f1x
v2 f2y u2
2 f2x
给定一个三角形单元和作用在角点上 的六个力，要求得六个角点的位移。 或者是要求三角形角点发生指定的位 移，在三角形三个角点如何加力？
很显然，问题的精确解很困难。采用 瑞雷－里兹法求近似式解
e号单元的三个节点I,j,k的力对应的 力的平衡方程是第2i-1,2i;2j-1,2j;2k1,2k个平衡方程
e号单元的三个节点I,j,k的位移是第 2i-1,2i;2j-1,2j;2k-1,2k个未知数
弹性模量：E 横截面积：A
1
1 L
2
2L
3
局部系单元刚度阵：
k
1
EA L
1 -1
-1
1
2 集成总刚：
0 1
解得：
ux uy
L EA
3.8284L
EA
i
j
第一类位移条件：
Ki1u1 Ki2u2 Kiiui Ki1ui1
ui 0
令： Kij 0 i j
m
vi 0
Kii 1
um 0
Pi 0
ui 0
第二类位移条件：um um
大数
充大数法： Kii Kii
第一步：求转换矩阵
k2
EA 1 2L -1
-1
1
P
cos 0
T sin
有限元分析第四章
第四章 一些数学概念和结论本章介绍关于有限元方法的一些数学概念和结论，目的在于使读者对于有限元解的收敛性以及单元精度问题能有确切的了解。
以后各章的内容在本章提供的基础之上进行。
对于有限元方法的数学研究，目前已进行得相当充分，对这方面有兴趣的读者可进一步查阅有关的专著。
本章介绍的主要对象是函数：真实解是一个函数；基函数是一组函数；试探函数是某一类函数，有限元解是这类函数中使 取驻值（最小值）的那一个函数。
下面讨论中的 “元素”实际指的就是函数，“空间”实际指的就是某种函数的集合，即函数空间。
§4-1线性空间（向量空间）１、线性空间的定义满足下列条件的空间E 为线性空间 （１）∀ x , y , z ∈E 有如下“加法”运算 （i ） （ii ） （iii ）存在“零元素” θ ∈E ∀ x ∈E 有（iv ）∀ x ∈E 存在逆元素－x ∈E 使（２）设Ｅ中的元素与实数域的元素有“数乘”运算，即∀ x , y ∈E ，α,β ∈K （实数域） （i ） （ii ） （iii ） （iv ） 若Ｋ为实数域则Ｅ称为实线性空间，Ｋ为复数域则Ｅ称为复线性空间。
例１ C[a,b]若、 是[a, b]上的连续函数，则 也是[a, b]上的连续函数。
故定义在[a, b]上的所有连续函数组成一个线性空间。
记作C[a, b]。
例２ L 2（a,b ） 若 、 是（a, b ）上平方可积的函数，即， 存在，则所以 也是（a, b ）上平方可积的函数。
所有（a, b ）上平方可积的函数组成一个线性空间，记作L 2 (a, b) 。
例３ C 1[a,b]若 、 、 、 在[a, b]上连续，则πP )(1x ϕ)(2x ϕ2211ϕϕc c +)(1x ϕ)(2x ϕdx x b a 21)(⎰ϕdx x ba 22)(⎰ϕ()()22222212121212222212122211)()(2)()(2)()()()(x c x c x x c c x c x c x c x c ϕϕϕϕϕϕϕϕ+≤++=+)()(2211x c x c ϕϕ+)(1x ϕ)(2x ϕ)(1x ϕ')(2x ϕ'2211ϕϕc c +2211ϕϕ'+'c c x y y x +=+ z x y z y x ++=++)()( x x =+θ θ=-+)(x x ()()E ∈=x x αββαxx =⋅1()x x x βαβα+=+()yx y x ααα+=+也在（a, b ）上连续。
杆梁结构的有限元分析原理[详细]
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le
EAe
le
EAe
u1 u2
P1
le
P2
u1 u2
1 qeTK eqe PeTqe 2
刚度矩阵
节点力列阵
3）离散单元的装配
在得到各个单元的势能表达式后，需要进行离散单元的装配，以
求出整个系统的总势能，对于该系统，总势能包括两个单元部分
e 1 2
1 q1T K1q1 q2T K 2q2 P1Tq1 P2Tq2 2
第4章 杆系结构的有限元分析原理
杆梁单元概述
讨论杆梁单元和由它们组成的平面和空间杆梁结构系统. 从构造上来说其长度远大于其截面尺寸的一维构件 承受轴力或扭矩的杆件成为杆 杆梁问题都有精确解 承受横向力和弯矩的杆件称为梁 平面桁架 平面刚架 连续梁 空间刚架 空间桁架等 承受轴力或扭矩的杆件称为杆 将承受横向力和弯矩的杆件称为梁 变截面杆和弯曲杆件
单元节点条件：u(0)=u1， u(l)=u2
从而得
a0 ui ,
a1
uj
le
ui
i
1,
j
2
回代得
u(x) a0 a1x
ui
u j ui le
x
1
x le
ui
x le
u
j
Niui N ju j
其中Ni，Nj是形函数。
写成矩阵形式为
q Niu Nqe
N
ju
ui u j
1 2
u1
EA1
u2
l1 EA1
l1
EA1
l1
EA1
u1 u2
R1
l1
0
u1 u2
1 2
u2
EA2
杆梁结构有限元分析
3.1 杆梁结构的直接解法
机械分社
（1）平面压杆有限元法的直接法
由节点平衡有： 即有：
U1(1)u1 U1(1)u2 N1
U
u (1)
21
(U
(2 2
)
U
(1) 2
)u2
U
(2 2
)u3
F1
U
(2 3
)
u2
U
(2 3
)
u3
F2
EA1 l1
u1
EA1 l1
u2
N1
EA1 l1
u1
( EA1 l1
3.1 杆梁结构的直接解法
机械分社
杆梁结构是指长度远大于其横截面尺寸的构件组成的杆 件系统，例如机床中的传动轴，厂房刚架与桥梁结构中的梁 杆等,可以用杆单元或梁单元来进行离散化。
空间杆系：平面杆系是指各杆轴线和外力作用线位于一 个平面内，若各杆轴线和外力作用线不在一个平面内。 （1）平面压杆有限元法的直接法
单元刚度矩阵每一列元素表示一组平衡力系，对于平面 问题，每列元素之和为零。
3.1 杆梁结构的直接解法
机械分社
（2）平面梁单元有限元法的直接法 2）节点位移与节点力之间的关系
Ui
Vi
k11
k21
M i U j
k31
k41
V
j
M j
k51
k61
他们在轴和轴的投影之和等于零：
vi
6EI l2
i
12EI l3
vj
6EI l2
j
M
j
6EI l2
vi
2EI l
i
6EI l2
vj
4EI l
杆梁结构的有限元分析原理
对剪切变形的影响
3.1 理论
只考虑剪切变形
变形后轴线切向与变形前轴角 γxz 其中 ψ (x) 为只考虑梁弯曲理论中的线性单元转角. 假设 : 截面上均匀分布剪应变
弯曲产生的位移：
9
内部力
其中假设
10
实际上τxz采用以下形式：
其中变量与z相关。 为了确定截面的不均匀剪应力分布，引入因素k修正剪应 力：
BEAM44 3-D Elastic Tapered Unsymmetric Beam This element allows a different unsymmetrical geometry at each end and permits the end nodes to be offset from the centroidal axis of the beam
除非ψ是常数（没有弯曲变形），否则， dw/dx-ψ不会为零。这种现象称为剪切闭锁。 shear-locking
17
几种方法避免产生剪切闭锁
减缩积分
数值积分采用比精确积分要求少的积分点数
假设剪切应变 替代插值函数
举例说明
18
19
Timoshenko 梁 （采用精确积分）
20
采用缩减积分
形成总体刚度矩阵
点坐标、约束条件等；
形成结点荷载向量
（3）单元数据：如单元编号、单 元结点序号、单元的材料特性、
引入约束条件
几何特性等；
求解方程组，输出结点位移
（4）载荷数据：包括集中载荷、 计算单元应力，输出结果 分布载荷等。
结束
37
2、单元分析
（1）各单元的bi,ci(i,j,m) ， 面积A；
30
(完整版)第4章杆梁结构的有限元分析原理
讨论2：由前面的步骤，我们也可以直接将各个单元的刚 度矩阵按照节点编号的对应位置来进行装配，即在未处理边 界条件之前，先形成整体刚度矩阵。
Kq P
其物理意义是，表示在未处理边界条件前的基于节点描述 的总体平衡关系。在对该方程进行位移边界条件的处理后就 可以求解，这样与先处理边界条件再求系统势能的最小值所 获得的方程完全相同。
1 qeT BT EBqe Aele
2
P1u1 P2u2
写成矩阵形式为
e 1 qeT BT EBqe Aele
2
P1u1 P2u2
1 2
u1
u2
1 le
1
1
EAel e
1 le
1
1
u1 u2
P1
P2
u1 u2
1 2
u1
EAe
u2
le EAe
le
EAe
le
基本变量为：
节点 位移
(1)
内部各
点位移
(2)
(3)
应变
应力
完整的求解过程
1）离散化 该构件由两根杆件做成，因此可以自然离散成2个杆单元。
假定以这类单元位移的特征为两个端点位移，就这两个离散 单元给出节点编号和单元编号。
单元1：i=1，j=2 单元2：i=2，j=3
2）单元分析
单元位移模式：u(x)=a0+a1x
1 2
u1
EA1
u2
l1 EA1
l1
EA1
l1
EA1
u1 u2
R1
l1
0
u1 u2
1 2
u2
EA2
u3
l2 EA2
l2
有限元分析及应用第四章
则称ϕ1、ϕ２Lϕ n 线性相关；
(ii) 若 c1ϕ1 + c2ϕ 2 + L + cnϕ n ≡ 0
仅当
c1
才成立，则称
ϕ=1c、2
=L= ϕ２Lϕ
cn
n
≡0
线性无关。
（２） 线性空间的维数
若线性空间Ｅ满足
（i）任意 n+1 个元素一定线性相关。
（ii）存在着 n 个线性无关的元素。
则称线性空间Ｅ的维数为 n。
a ⋅ b = a ⋅ b ⋅ cosα ≤ a ⋅ b
上式为 Euclid 空间的三角不等式，此式仅是 Schwarz 不等式的一个特例。 ５、收敛性与完备性 （1）收敛性
∀ 点列{xn } ∈E（赋范线性空间），若存在
lim xn − x0 = 0
n →∞
则，x0 称为点列{xn }的强极限，读作：{xn }强收敛于 x0 ，注意模的定义不同收敛的涵
c1ϕ1 + c2ϕ 2
c1ϕ1′ + c2ϕ 2′
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有限元分析与应用
霍战鹏
也在（a, b）上连续。所有函数本身及一阶导数都在（a, b）上连续的函数组成一种线性空
间，记作 C1[a, b]。 例４ Rn n 维欧氏空间是线性空间，R2（二维平面）, R3（三维空间）是 n 维欧氏空
形的项点为结点，以结点处的函数值对单元内的位移场进行分片线性插值。根据第 3-4 节的
分析可知，对于这样定义的函数 u(x,y)在Ω上连续，且积分
y
∫∫ ∫∫ ∫∫ Ω
u 2dxdy
、
Ω
∂u ∂x
2 dxdy
、
Ω
有限元分析第四章
19
4）形函数的性质
形函数是有限单元法中的一个重要函数，它具 有以下性质： 性质1 形函数Ni在节点i上的值等于1，在其它节点 上的值等于0。对于本单元，有
20
Ni ( xi , yi ) 1 Ni ( x j , y j ) 0 Ni ( xm , ym ) 0
（i、j、m）
利用 N i 1 (ai bi x ci y )和ai、bi、ci公式证明 2A
对于一个具体问题进行分析，不管采用什么样的单元， 分析过程与思路是一样的，所不同的只是各种单元的位移模 式和单元刚度矩阵不一样，其他的包括整体刚度矩阵的组装 过程都完全一样，所以我们仅仅对矩形单元位移模式的求取 和单元刚度矩阵的求解加以介绍。
4.7 收敛准则
可以证明，对于一个给定的位移模式，其刚度系统的数 值要比精确值大。所以，在给定载荷的作用下，有限元计算 模型的变形要比实际结构的变形小。因而，当单元网格分得 越来越细时，位移的近似解将由下方收敛于精确解，即得到 真实解的下界。 为了保证解答的收敛性，要求选取的位移模式必须满足 以下三个条件： 1）位移模式必须包含单元的刚体位移 也就是说，当节点位移是某个刚体位移所引起时，弹 性体内将不会产生应变。所以位移模式不但要具有描述单元 本身形变的能力，而且还要具有描述由其他变形而通过节点 位移引起单元刚体位移的能力。例如，三角形三节点位移模 式中，常数项就是用于提供刚体位移的。
Ni(x、y)
1 i(xi，yi) x xi
x xi N i ( x, y ) 1 x j xi
N m ( x, y ) 0
证
N
y j (xj，yj)
m (xm，ym)
xj
x
N i ( x, y )
培训教程(有限元仿真分析 )(4)
五 载荷与边界条件
惯性载荷
1．加速度：Acceleration
2．重力加速度：Standard earth Gravity
♣施加在整个喂型上，单位是长度比上时间的平方。 ♣加速度可以定义为分量或矢量的形式。 ♣物体运动方向为加速度的反方向。
3．角加速度：Rotational Velocity
♣根据所选的单位制系统确定它的值。 ♣重力加速度的方向定义为整体坐标系或局部坐标系的其中一个坐标轴方向。 ♣物体运动方向与重力加速度的方向相同。 ♣整个模型以给定的速率绕轴转动。 ♣以分量或矢量的形式定义。 ♣输入单位可以是弧度每秒(默认选项)，也可是度每秒。
与面正交的方向施加在面上，指向面内为正，反之为 负。单位是单位面积的力。
2．静水压力：Hydrostatic Pressure
在面(实体或壳体)上施加一个线性变化的力，模拟结构 上的流体载荷。流体可能处于结构内部或外部，另外还需 指定：加速度的大小和方向、流体密度、代表流体自由面 的坐标系。壳体则需要指定顶面/底面。
四 连接关系
接触类型
对于理想无限大的Knormal , 零穿透. 但对于罚函数法， 这在数值计算中是不可能，但是只要Xpenetration 足够 小或可忽略，求解的结果就是精确的。
四 连接关系
接触类型
Pure Penalty 和Augmented Lagrange 公式使用积分点探测，Normal Lagrange 和MPC 公式 使用节点探测(目标法向)。节点探测在处理边接触时会稍好一些，但是，通过局部网格细化， 积分点探测也会达到同样的效果。
四 连接关系
信息检查
四 连接关系
连接矩阵图
信息检查
颜色标签
五 载荷与边界条件
有限单元法课件第四章 杆件系统的有限元法
桁杆 梁
(a)
(b)
由杆件组成的结构体系称为杆系,如起重机,桥梁等。
由桁杆组成的杆系称为桁架。
由梁组成的杆系成为刚架。
若杆系和作用力均位于同一平面内,则称为平面桁架 或平面刚架,否则称为空间桁架或空间刚架。
由于杆件结构采用一维单元进行离散,所以杆系的网 格划分容易用半自动方法实现。当采用自动网格划 分方法时,杆系的几何模型是由杆件轴线构成的线框 模型。
R
e P
RiP R jP
R
lP
R
R
e F
RiF R jF
Rlx Rly NlT l R l
lF T l
Px dx (l i, j ) Py
e T
Bj dx
kii k ji
kij k jj
其中矩阵元素为
kst D Bt dx B as 0 EA 0 at 0 0 0 bs dx 0 EI 0 bt ct 0 cs 0 0 EAas at dx 0 EIb b EIb c s t s t EIcs bt EIcs ct 0
e
du dx e x 2 B Bi q x d v dx 2
Bj q
e
其中
ai 0 0 Bi 0 b c i i a j 0 0 Bj 0 b c j j 1 12 6 ai a j bi b j 3 x 2 l l l 4 6 2 6 ci 2 x cj 2 x l l l l
(a)
(b)
由杆件组成的结构体系称为杆系,如起重机,桥梁等。
由桁杆组成的杆系称为桁架。
由梁组成的杆系成为刚架。
若杆系和作用力均位于同一平面内,则称为平面桁架 或平面刚架,否则称为空间桁架或空间刚架。
由于杆件结构采用一维单元进行离散,所以杆系的网 格划分容易用半自动方法实现。当采用自动网格划 分方法时,杆系的几何模型是由杆件轴线构成的线框 模型。
R
e P
RiP R jP
R
lP
R
R
e F
RiF R jF
Rlx Rly NlT l R l
lF T l
Px dx (l i, j ) Py
e T
Bj dx
kii k ji
kij k jj
其中矩阵元素为
kst D Bt dx B as 0 EA 0 at 0 0 0 bs dx 0 EI 0 bt ct 0 cs 0 0 EAas at dx 0 EIb b EIb c s t s t EIcs bt EIcs ct 0
e
du dx e x 2 B Bi q x d v dx 2
Bj q
e
其中
ai 0 0 Bi 0 b c i i a j 0 0 Bj 0 b c j j 1 12 6 ai a j bi b j 3 x 2 l l l 4 6 2 6 ci 2 x cj 2 x l l l l
第四章通用分析程序GSSAP程序
11
66.47
90 度风(kN) 0.00
122.69 121.50 127.06 141.76 154.78 166.70 177.87 188.52 198.84 208.95
180 度风(kN) 0.00
37.94 37.91 39.81 44.51 48.69 52.70 56.32 59.79 63.15 66.47
1.00
0.70
1.00
0.80
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1.00
8
17855116
1.00
0.70
1.00
0.80
1.00
9
17855096
1.00
0.70
1.00
0.80
1.00
10
17855116
1.00
0.70
1.00
0.80
1.00
11
17855116
1.00
0.70
1.00
12
17855116
1.00
0.70
1.00
板设计中 GSSAP 可在构件属性中设置板的设计类型，对厚板可设置抗震等级， 可选择板的计算单元类型，可以考虑人防设计。
构件截面输入中 GSSAP 的构件属性中墙柱、梁、板截面形式及材料信息均开 放设置，构件可计算 7 种变截面形式。SSW 材料属性是按层输入的。
在荷载输入中 GSSAP 除了 SSW 输入重力方向荷载外，共可输入 6 个荷载方向； 荷载类型中 GSSAP 除了 SSW 输入的重力恒载和活载外，可输入 11 种荷载工况。
比γe宜接近 1，非抗震设计时不应大于 2，抗震设计时不应大于 1.3。 当 转 换 层设置在 3 层及 3 层以上时，其楼层侧向刚度尚不应小于相邻上部楼层侧向刚
有限元分析基础-文档资料
有限元分析基础
2019.8
内容结构
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 概述 结构几何构造分析 杆系结构静力分析的有限单元法 平面结构问题的有限单元法 等参元 空间问题的有限单元法 轴对称旋转单元
2
第一章 概述
1.1 有限单元法的概念 1.2 有限单元法基本步骤 1.3 工程实例
21
第二章 结构几何构造分析
② 反对称载荷作用
(a) 变形状态分析
(b) 铲运机工作装置插入工况有限元分析
图1-3 WJD-1.5型电动铲运机
8
第一章 概述
(a) KOMATSU液压挖掘机
(b) 某液压挖掘机动臂限元分析
图1-4 液压挖掘机
9
第一章 概述
图1-5 驾驶室受侧向力应力云图
图1-6 接触问题结构件应力云图
10
第一章 概述
图1-7 液压管路速度场分布云图
18
第二章 结构几何构造分析
对称结构在正对称载荷下，对称轴截面上只能产生 正对称的位移，反对称的位移为零；对称结构在反对称 载荷下，对称轴截面上只有反对称的位移，正对称的位 移为零。
(1) 具有奇数跨的刚架 ① 正对称载荷作用
2.2.3 结构对称性的利用
(a) 对称刚架
（b) 变形状态分析 图2-22对称性利用示意图
图1-8 磨片热应力云图
图1-9 支架自由振动云图
11
第二章 结构几何构造分析
2.1 结构几何构造的必要性 2.2 结构计算基本知识 2.3 结构几何构造分析的自由度与约束2.1 结构几何构造的必要性
结构是用来承受和传递载荷的。如果不计材料的 应变，在其受到任意载荷作用时其形状和位置没有发 生刚体位移时，称之为几何不变结构或几何稳定结构， 反之则称为几何可变结构或几何不稳定结构。几何可 变结构不能承受和传递载荷。对结构进行几何构造分 析也是能够对工程结构作有限单元法分析的必要条件。
2019.8
内容结构
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 概述 结构几何构造分析 杆系结构静力分析的有限单元法 平面结构问题的有限单元法 等参元 空间问题的有限单元法 轴对称旋转单元
2
第一章 概述
1.1 有限单元法的概念 1.2 有限单元法基本步骤 1.3 工程实例
21
第二章 结构几何构造分析
② 反对称载荷作用
(a) 变形状态分析
(b) 铲运机工作装置插入工况有限元分析
图1-3 WJD-1.5型电动铲运机
8
第一章 概述
(a) KOMATSU液压挖掘机
(b) 某液压挖掘机动臂限元分析
图1-4 液压挖掘机
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第一章 概述
图1-5 驾驶室受侧向力应力云图
图1-6 接触问题结构件应力云图
10
第一章 概述
图1-7 液压管路速度场分布云图
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第二章 结构几何构造分析
对称结构在正对称载荷下，对称轴截面上只能产生 正对称的位移，反对称的位移为零；对称结构在反对称 载荷下，对称轴截面上只有反对称的位移，正对称的位 移为零。
(1) 具有奇数跨的刚架 ① 正对称载荷作用
2.2.3 结构对称性的利用
(a) 对称刚架
（b) 变形状态分析 图2-22对称性利用示意图
图1-8 磨片热应力云图
图1-9 支架自由振动云图
11
第二章 结构几何构造分析
2.1 结构几何构造的必要性 2.2 结构计算基本知识 2.3 结构几何构造分析的自由度与约束2.1 结构几何构造的必要性
结构是用来承受和传递载荷的。如果不计材料的 应变，在其受到任意载荷作用时其形状和位置没有发 生刚体位移时，称之为几何不变结构或几何稳定结构， 反之则称为几何可变结构或几何不稳定结构。几何可 变结构不能承受和传递载荷。对结构进行几何构造分 析也是能够对工程结构作有限单元法分析的必要条件。
有限元法_精品文档
这种方法要求能建立微分方程，并能给出边 界条件的数学表达式，因此，对于一些不规则的 几何形状和不规则的特殊边界条件难以应用。
12
一、有限元法的基本概念
1.什么是有限元法
我们实际要处理的对象都是连续体，在传统设 计思维和方法中，是通过一些理想化的假定后，建 立一组偏微分方程及其相应的边界条件，从而求出 在连续体上任一点上未知量的值。
25
4）具有灵活性和适用性，适应性强（它可以把形状 不同、性质不同的单元组集起来求解，故特别适 用于求解由不同构件组合的结构，应用范围极为 广泛。它不仅能成功地处理如应力分析中的非均 匀材料、各向异性材料、非线性应力应变以及复 杂的边界条件等问题，且随着其理论基础和方法 的逐步完善，还能成功地用来求解如热传导、流 体力学及电磁场领域的许多问题）
21
对于一个具体的工程结构，单元的划分越小， 求解的结果就越精确，同时，其计算工作量也就越 大。
梯子的有限元模型不到100个方程； 在ANSYS分析中，一个小的有限元模型可能有几 千个未知量，涉及到的单元刚度系数几百万个。 单元划分的精细程度，取决于工程实际对计算 结果精确性的要求。
22
4）有限元分析 有限元分析就是利用数学近似的方法对真实
5）在具体推导运算过程中，广泛采用了矩阵方法。
26
2.有限元法的作用 1）减少模型试验的数量（计算机模拟允许对大量
的假设情况进行快速而有效的试验）； 2）模拟不适合在原型上试验的设计（例如：器官
移植、人造膝盖）； 3）节省费用，降低设计与制造、开发的成本； 4）节省时间，缩短产品开发时间和周期； 5）创造出高可靠性、高品质的产品。
因为点是无限多的，存在无限自由度的问题， 很难直接求解这种偏微分方程用来解决实际工程问 题，因此需要采用近似方法来处理。
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一、有限元法的基本概念
1.什么是有限元法
我们实际要处理的对象都是连续体，在传统设 计思维和方法中，是通过一些理想化的假定后，建 立一组偏微分方程及其相应的边界条件，从而求出 在连续体上任一点上未知量的值。
25
4）具有灵活性和适用性，适应性强（它可以把形状 不同、性质不同的单元组集起来求解，故特别适 用于求解由不同构件组合的结构，应用范围极为 广泛。它不仅能成功地处理如应力分析中的非均 匀材料、各向异性材料、非线性应力应变以及复 杂的边界条件等问题，且随着其理论基础和方法 的逐步完善，还能成功地用来求解如热传导、流 体力学及电磁场领域的许多问题）
21
对于一个具体的工程结构，单元的划分越小， 求解的结果就越精确，同时，其计算工作量也就越 大。
梯子的有限元模型不到100个方程； 在ANSYS分析中，一个小的有限元模型可能有几 千个未知量，涉及到的单元刚度系数几百万个。 单元划分的精细程度，取决于工程实际对计算 结果精确性的要求。
22
4）有限元分析 有限元分析就是利用数学近似的方法对真实
5）在具体推导运算过程中，广泛采用了矩阵方法。
26
2.有限元法的作用 1）减少模型试验的数量（计算机模拟允许对大量
的假设情况进行快速而有效的试验）； 2）模拟不适合在原型上试验的设计（例如：器官
移植、人造膝盖）； 3）节省费用，降低设计与制造、开发的成本； 4）节省时间，缩短产品开发时间和周期； 5）创造出高可靠性、高品质的产品。
因为点是无限多的，存在无限自由度的问题， 很难直接求解这种偏微分方程用来解决实际工程问 题，因此需要采用近似方法来处理。
桥梁结构分析的杆系有限元法及结构模型的建立2015
结构的离散化
确定了结构的全部 节点，也就确定了 结构的单元划分， 然后对结构进行单 元编号和节点编号， 通常单元编号用①， ②，……表示，节 点编号用1， 2，……表示，如图 所示。
6 67
5
4
3
5
4
1
2
1
2
3
单元杆端力与杆端位移的表示方法
• 平面桁架单元的局部坐标和整体坐标：
y
y
x
3
x2
2
y
1
结构分析的杆系有限元法
• 概述 • 有限单元法的概念及应用 • 结构的离散化 • 单元杆端力与杆端位移 • 逆步变换 • 单元刚度矩阵 • 总刚度矩阵 • 边界条件的后处理法 • 线性代数方程组的数值解法
结构分析的含义
• 结构分析的含义，不仅指在一定的已知条件下对结构的变 形和内力等进行计算，而且包括分析构件刚度变化对内力 变化的影响，对结构的几何组成进行分析，以及选择合理 的结构形式等等。
结构分析的有限元法
• 美国20世纪70年代推出的至今仍然是世界销售量最大的 NASTRAN(NAsa STRuctural Analysis，美国国家航空和 宇宙航行局结构分析程序系统)程序与当时西德推出的 ASKA(Automatic System for Kinematics Analysis，运动 分析的自动程序系统)齐名，同为当时最为著名和广泛应 用的程序，但几十年后的现在，ASKA已无法与 NASTRAN相比。原因是ASKA后来没有大规模的资金投 入，使程序不断得到滚动发展（维护）和组织推广、剌激 程序在竞争中不断改进各种功能。
向量
X
e i
Yi e
F
e
Fi e Fje
杆梁结构有限元分析(第四章)
在机械结构中，杆、梁、板是主要的承力构件，关于它们的 计算分析对于机械结构设计来说具有非常重要的作用，对杆、梁 、板的建模将充分考虑到实际结构的几何特征及连接方式，并需 要对其进行不同层次的简化，可以就某一特定分析目的得到相应 的1D、2D、3D模型。
由于在设计时并不知道结构的真实力学性能(或许还没有实验 结果，或许还得不到精确的解析解)，仅有计算分析的一些结果， 因此，一种进行计算结果校核或验证的可能方法，就是对所分析 对象分别建立1D、2D、3D模型，来进行它们之间的相互验证和核 对；图4-1给出一个建筑结构中的杆梁框架以及建模简化过程。
c F EA
1D问题的最小势能原理求解
先介绍最小势能原理的基本表达式。设有满足位移边界条件BC(u)的许 可位移场，计算该系统的势能为
(u) U W
其中U为应变能，W为外力功，对于如图4-2所示的算例，有
U
1 2
x (u(x)) x (u(x))d
W Pu(x l)
4.2 杆件有限元分析的标准化标准与算例
4.1 杆梁结构分析的工程概念
图4-1 建筑结构中的杆梁框架以及建模简化过程
4.2 杆件有限元分析的标准化标准与算例
1 基本力学原理 杆件是最常用的承力构件，它的特点是连接它的两端一般都是铰
接接头，因此，它主要是承受沿轴线的轴向力，因两个连接的构件在 铰接接头处可以转动，则它不传递和承受弯矩。
有一个左端固定的拉杆，其右端承受一外力P。该拉杆的长度为l， 横截面积为A，弹性模量为E，如图4-2所示，这是一个一维问题，下 面讨论该问题的力学描述与求解。
K T eT K eT e
节点力阵
e
p T eT pe
刚度方程
ee
e
由于在设计时并不知道结构的真实力学性能(或许还没有实验 结果，或许还得不到精确的解析解)，仅有计算分析的一些结果， 因此，一种进行计算结果校核或验证的可能方法，就是对所分析 对象分别建立1D、2D、3D模型，来进行它们之间的相互验证和核 对；图4-1给出一个建筑结构中的杆梁框架以及建模简化过程。
c F EA
1D问题的最小势能原理求解
先介绍最小势能原理的基本表达式。设有满足位移边界条件BC(u)的许 可位移场，计算该系统的势能为
(u) U W
其中U为应变能，W为外力功，对于如图4-2所示的算例，有
U
1 2
x (u(x)) x (u(x))d
W Pu(x l)
4.2 杆件有限元分析的标准化标准与算例
4.1 杆梁结构分析的工程概念
图4-1 建筑结构中的杆梁框架以及建模简化过程
4.2 杆件有限元分析的标准化标准与算例
1 基本力学原理 杆件是最常用的承力构件，它的特点是连接它的两端一般都是铰
接接头，因此，它主要是承受沿轴线的轴向力，因两个连接的构件在 铰接接头处可以转动，则它不传递和承受弯矩。
有一个左端固定的拉杆，其右端承受一外力P。该拉杆的长度为l， 横截面积为A，弹性模量为E，如图4-2所示，这是一个一维问题，下 面讨论该问题的力学描述与求解。
K T eT K eT e
节点力阵
e
p T eT pe
刚度方程
ee
e
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对于包含有待定系数的试函数而言，真实的位移函数应使得该系统的 势能取极小值，即
min [(u) U W ]
u ( x )BC ( u )
下面应用最小势能原理来具体求解如图4-2所示的一端固定的拉杆问题， 如同样取满足位移边界条件的位移场，则计算应力、应变为
(x) du c
x
dx
x (x) E x (x) E c
4.2 杆件有限元分析的标准化标准与算例
下面应用虚功应力来具体求解如图4-2所示的一端固定的拉杆问题，
设有满足位移边界条件的位移场 u(x) cx
(4-13)
可以验证：它满足位移边界条件。这是一个待定函数，也称为试函 数，所谓该函数是待定的，就是因为它中间有一个待定系数，这就需要 通过一个原理来确认它，下面由虚功原理来进行确认。基于式(4-13)的试 函数，则它的应变、虚位移以及虚应变为
(x) |xl
F A
px
4.2 杆件有限元分析的标准化标准与算例
从求解思路来说，可以有两类方法来对该问题进行求解，即: 直接求解法：可以由3个方程来直接求解3个变量; 间接法(试函数)：选取变量(位移)作为基本的待求变量，将其它变量都
用它来表达，并采用间接的近似求解方法。具体的做法如下：
假设满足位移边界条件的位移变量可能解(含待定的系数)，称为试 函数，让该受力系统的势能取最小值来最后确定出可能解(试函数)中 的那些待定系数；也可以让该受力系统的内部变形虚功等于外部施加 力的虚功，来求出试函数中的那些待定系数。
北京工业大学机电学院
有限元分析及ANSYS
Finite Element method and ANSYS
程强
第四章 杆梁结构的有限元方法
4.1 杆梁结构分析的工程概念 4.2 杆件有限元分析的标准化表征与算例 4.3 梁件有限元的标准化表征与算例 4.4 本章要点回顾
4.1 杆梁结构分析的工程概念
现在进一步讨论弹性力学中有关变形体的虚功原理，这时的虚功应 包括外力虚功δW和内力虚功− δU，δU叫做虚应变能。由于弹性体在变形 过程中，内力是抵抗变形所产生的，其方向总是与变形的方向相反，所 以内力虚功取负。由于虚功总和为零，则有
W U 0
弹性力学中的虚功原理可表述为：在外力作用下处于平衡状态的变 形体，当给物体以微小虚位移时，外力所做的总虚功等于物体的总虚应 变能(即应力在由虚位移所产生虚应变上所作的功)。注意这里的虚位移是 指仅满足位移边界条件BC(u)的许可位移。
4.1 杆梁结构分析的工程概念
图4-1 建筑结构中的杆梁框架以及建模简化过程
4.2 杆件有限元分析的标准化标准与算例
1 基本力学原理 杆件是最常用的承力构件，它的特点是连接它的两端一般都是铰
接接头，因此，它主要是承受沿轴线的轴向力，因两个连接的构件在 铰接接头处可以转动，则它不传递和承受弯矩。
有一个左端固定的拉杆，其右端承受一外力P。该拉杆的长度为l， 横截面积为A，弹性模量为E，如图4-2所示，这是一个一维问题，下 面讨论该问题的力学描述与求解。
在机械结构中，杆、梁、板是主要的承力构件，关于它们的 计算分析对于机械结构设计来说具有非常重要的作用，对杆、梁 、板的建模将充分考虑到实际结构的几何特征及连接方式，并需 要对其进行不同层次的简化，可以就某一特定分析目的得到相应 的1D、2D、3D模型。
由于在设计时并不知道结构的真实力学性能(或许还没有实验 结果，或许还得不到精确的解析解)，仅有计算分析的一些结果， 因此，一种进行计算结果校核或验证的可能方法，就是对所分析 对象分别建立1D、2D、3D模型，来进行它们之间的相互验证和核 对；图4-1给出一个建筑结构中的杆梁框架以及建模简化过程。
图4-2 一端固定的拉杆
4.2 杆件有限元分析的标准化标准与算例
基本变量：
由于该问题是沿x方向的一维问题，因此只有沿x方向的基本变量， 即定义沿x方向移动为位移：
定义：沿x方向移动为位移：
u(x)
沿x方向的相对伸长(或缩短)量为应变： ( x)
沿x方向的单位横截面上的受力为应力：
x
(x)
基本方程：
x
①
取出杆件的任意一个截面，可得到平衡方程(无体力)为
x
(
x)
c1或
d x
dx
0
② 取出杆件x位置处的一段长度dx，设伸长为du，则相对伸长量为 du
③ 由该材料的拉伸试验，可得到该材料的虎克定律为
x
dx x
位移边界条条件
x0
力边界条件BC(p)
c F EA
1D问题的最小势能原理求解
先介绍最小势能原理的基本表达式。设有满足位移边界条件BC(u)的许 可位移场，计算该系统的势能为
(u) U W
其中U为应变能，W为外力功，对于如图4-2所示的算例，有
U
1 2
x (u(x)) x (u(x))d
W Pu(x l)
4.2 杆件有限元分析的标准化标准与算例
4.2 杆件有限元分析的标准化标准与算例
1D问题的虚功原理求解 先以一个简单的结构静力平衡问题来描述虚功原理的基本思想，
然后再具体求解一端固定的拉杆问题。
如图4-3所示的一个平衡力系，由于该系统处于平衡状态，则有
p A
l B
pl
B
A
假想在该平衡力系上作用有微小的扰动(不影响原平衡条件)，且外力
所作用的位置产生了微小的位移变化，即ΔA，ΔB。该假想的位移如果不
则计算该系统的势能为
(u)
U
W
1 2
E
c2
Al
影响原平衡条件，应满足以下几何关系
B
l B
l
A
A
4.2 杆件有限元分析的标准化标准与算例
这就是任意扰动的位移应满足的条件，称为许可位移条件，我们把 满足许可位移条件的、任意微小的假想位移称为虚位移。
F A F B 0
A
B
即：对于一个处于平衡状态的系统，作用于系统上的所有外力在满足许
可位移条件的虚位移上所做的虚功总和恒为零。
(x) c u(x) c.x (x) c
其中δc为待定系数的增量。计算如图4-2所示算例的虚应变能以及外 力虚功为
U
x
x
d
l
0
AE
x
x
dAd
x
Ecc •
Al
W Fu(x l) Fc l
4.2 杆件有限元分析的标准化标准与算例
由虚功原理，有 E c c Al F c l
消去δc后，有解