两点之间,线段最短

两点之间，线段最短

设计思想

（1）国家数学课程标准指出：义务教育阶段的数学课程，其基本出发点是促动学生全面、持续、和谐地发展。它不但要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲自经历将实际问题抽象成数学模型并实行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维水平、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。

（2）初一学生从基础知识，基本技能和思维水平以及学习方式等方面有一个逐步适合和提升的过程。所以，在实行教学设计时，必须时时考虑到新初一学生的学习实际，既不能盲目拔高，也不能搞简单化的结论式教学。在新课改的过程中，教学设计应立足于学生实际，从大处着眼，深入挖掘教材内容的素质教育功能。

（3）数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程。数学教学应从学生的实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境，引导学生通过实践、思考、探索、交流，获得知识，形成技能，发展思维，学会学习。

（4）本课题通过对内容的挖掘与整理，采用“问题情境──建立模型──解释、应用与拓展”的模式展开教学，让学生经历“从生活中发现数学──在教室里学习数学──到生活中使用数学”这样一个过程，从而更好地理解数学知识的意义，发展应用数学知识的意识与水平，进一步增强学好数学的愿望和信心。学生通过本节从具体情境发现并提出数学问题的学习活动，进一步体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学的价值。在互动交流活动中，学习从不同角度理解问题，寻求解决问题的方法，并有效地解决问题。体会在解决问题中与他人合作的重要性。体会使用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识。

教学任务分析

教学流程安排

课前准备

教学过程设计

问题2、河道长度

如图2，把原来弯曲的河道改直，A、B两地间的河道长度有什么变化？

图

2

问题3、九曲桥

（2）如图3，公园里设计了曲折迂回的桥，这样做对游人观赏湖面风光有什么影响？与修一座笔直的桥相比，这样做是否增加了游人在桥上行走的路程？说出其中的道理。

图3 学生独立思考、小组讨论、组间交

流，发表看法，相互评价

设置三个问题，

通过解释、应用

与交流活动，强

化理解所学新

知。

理解的四个层

次：1、能够结合

自己的体验或用

自己的话阐述复

杂概念；2、实行

联想、比喻及推

论；3、在新环境

中能解决问题；

4、做出创新。

你还能举出一些类似的例子吗？

小猫看见鱼，小狗看见骨头后会怎样运动？

有人过马路到对面的商店去，但没有走人行

道，为什么呢？

其他

举例也是考察学

生对事物真正理

解与否的方式之

一。

3、拓广探索与交流

蚂蚁爬行路线最短问题

如图4，一只蚂蚁要从正方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点B，怎样爬行路线最短？如果要爬行到顶点C呢？

图4

利用手中的正方体具体实验一下，告诉大家你的结论。学生独立思考，小组实验、探究与

交流，组间相互评价

动手实验，自主探究，合作交流。

发表观点，引发思考

引导探究继续深

入，引发对问题

的深层思考，达

到理解的第三层

次。力争达到第

四层次，学生作

出创新。

道理暂时说不出

不要紧。关键是

在活动中获得的

副产品。

三、回顾、思考与交流

设想自己是一名园林设计师或者是一名管理

者，在实行公共绿地设计时对情境一的一些思考与

探讨能给你一些什么启发。

四、作业

对蚂蚁爬行最短问题的再思考：如果蚂蚁在长

方体的一个顶点上，如果蚂蚁在圆柱上，这时问题

发生怎样的变化？问题如何解？

请把你对此问题的研究写成数学小作文，注意

写出自己的情感体验。

学习思考、组内交流、组间交流学习、反思，提

升、升华

效果检测

1、通过课堂学习活动的展示与交流，学生对学生实行相互评价

2、在学习活动过程中教师注意即时地鼓励、指导、点评，实施过程评价

3、课后要求学生“蚂蚁爬行最短”问题实行继续研究，并写出数学小作文。

附件──本节课的后续影响的例举

关于最短路径思考

黄博阳

我们已经学过“两点之间，线段最短”这个数学公理了。这看似简单的八个字蕴涵着很多奥妙，将它扩展、延伸可得到一个最短路径问题、即求连接A、B两点的线段中哪一条最短。

当A、B在同一平面内时，即使是从北京到天津，我们也能够轻松地利用“两点之间，线段最短”得出线段AB是A、B两点间的最短路径（如图1-1）。

图1-1

有人会说：“这也太简单了！”别着急，请看下面这道题（如图2-1）：

图2-1

有一位将军骑着马要从A地走到B地，但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近。这道题乍一看似乎无从下手。但经过观察能够发现此题依然能够利用“两点之间，线段最短”来解决问题，具体方法为：做B点与河面的对称点B＇,连接AB＇，可得到马喝水的地方C（如图2-2）。

图2-2

再连接CB得到这道题的解A→C→B。这就是著名的“将军饮马”问题。不信的话你能够在河边任意取一点C＇连接AC＇和C＇B，比较一下就知道了。

明白了刚才的平面问题，接下来看看立体图形问题（如图3-1）。

图3-1

求点A到点C＇的最短路径是那一条。此时已不在同一平面内，不能直接利用公理解决问题。此时，就要利用数学中的转化思想，把立体图形转化成平面图形来研究（如图3-2）。