两点之间,线段最短
两点之间线段最短 公理-概述说明以及解释
两点之间线段最短公理-概述说明以及解释1.引言1.1 概述:在几何学中，两点之间的线段最短公理是一个基础性原理，它表明在平面几何中，任意两个点之间的直线段是最短的。
这个公理是几何学中最基本的原理之一，也是许多几何性质和定理的基础。
通过这个公理，我们可以得出许多重要的定理和结论，帮助我们解决各种几何问题。
在本文中，我们将探讨两点之间线段最短公理的概念，并详细阐述如何证明这一公理。
我们还将探讨这一公理在实际生活中的应用与意义，以及对几何学习的重要性。
通过深入研究和理解这一公理，我们可以更好地理解几何学中的基本概念，为我们的学习和应用提供更多的帮助和指导。
1.2 文章结构文章结构部分主要包括文章的章节划分和各章节内容的概要描述。
在本篇文章中，结构为引言、正文和结论三个部分。
- 引言部分包括概述、文章结构和目的三小节，首先介绍了问题背景与重要性，然后说明文章将分为哪几部分展开讨论，最后明确了文章的目的和意义。
- 正文部分包括两点之间线段最短的概念、证明两点之间线段最短的公理和实际应用与意义三个章节，分别对概念、公理和应用进行深入的讨论和分析，展示了两点之间线段最短的原理和相关应用。
- 结论部分包括总结、反思和展望三个小节，对文章的主要内容进行总结概括，进行一定的思考和展望未来可能的研究方向。
1.3 目的：本文的目的在于阐述和探讨数学领域中一个重要的公理——两点之间线段最短的公理。
通过对这个公理的定义、证明以及实际应用与意义的分析，可以帮助读者更深入地理解数学中的基本原理和逻辑推理。
同时，通过学习这个公理，我们也可以更好地应用它在解决数学问题和实际生活中的实际问题中。
通过本文的阐述，读者可以了解到两点之间线段最短的公理在几何学中的重要性和作用，进一步提升自己的数学思维能力和解决问题的能力。
此外，通过对这个公理的研究，我们也可以深入了解数学中的逻辑推理和证明方法，从而拓展自己的数学知识和认识。
总的来说，本文的目的在于引导读者深入思考和探索数学中的基本概念和原理，帮助读者更好地理解和运用这些概念，从而提高自己在数学领域的学习和应用能力。
初三数学两之间线段最短求最值四大类型
两之间线段最短求最值四大类型【专题说明】“两点之间，线段最短”是初中数学中的基本定理之一，也是人们在生活中认识到的基本事实，而对于数学中的最值问题，学生往往无从下手，其实往往就是这个基本定理的应用。
【方法技巧】模型一“一线两点”型(一动＋两定)类型一异侧线段和最小值问题问题：两定点A，B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使PA＋PB值最小．【解题思路】根据两点之间线段最短，PA＋PB的最小值即为线段AB的长．连接AB交直线l 于点P，点P即为所求．类型二同侧线段和最小值问题(将军饮马模型)问题：两定点A，B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得PA＋PB值最小．【解题思路】将两定点同侧转化为异侧问题，同类型一即可解决．作点B关于l 的对称点B′，连接AB′，与直线l的交点即为点P.类型三同侧差最大值问题问题：两定点A，B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大．【解题思路】根据三角形任意两边之差小于第三边，|PA－PB|≤AB，当A，B，P 三点共线时，等号成立，即|PA－PB|的最大值为线段AB的长．连接AB并延长，与直线l的交点即为点P.类型四异侧差最大值问题问题：两定点A，B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大．【解题思路】将异侧点转化为同侧，同类型三即可解决．模型二“一点两线”型(两动＋一定)问题：点P是∠AOB的内部一定点，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得△PMN周长最小．【解题思路】要使△PMN周长最小，即PM＋PN＋MN值最小．根据两点之间线段最短，将三条线段转化到同一直线上即可．模型三“两点两线”型(两动＋两定)问题：点P，Q是∠AOB的内部两定点，在OA上找点M，在OB上找点N，使得四边形PQNM周长最小．【解题思路】要使四边形PQNM周长最小，PQ为定值，即求得PM＋MN＋NQ的最小值即可，需将线段PM，MN，NQ三条线段尽可能转化在一条直线上，因此想到作点P关于OA的对称点，点Q关于OB的对称点．【典例分析】【典例1-1】基本模型问题：如图，定点A，B位于动点P所在直线l同侧试确定点P的位置，使AP+BP的值最小．解题思路：一找：作点B关于直线l的对称点B'，连接AB′，与直线l交于点P；二证：验证当A，P，B'三点共线时，AP+BP取得最小值．三计算．请写出【基本模型】中解题思路“二证”的过程．【典例1-2】模型演变问题：如图，定点A，B位于动点P所在直线l同侧，在直线l上确定点P的位置，使|P A ﹣PB|的值最大．解题思路：一找：连接AB并延长，交直线l于点P；二证：验证当A，B，P三点共线时，|P A﹣PB|取得最大值．三计算．请写出【模型演变】中解题思路“二证”的过程．【典例1-3】模型演变问题：如图，定点A，B位于动点P所在直线l的两侧，试确定点P的位置，使AP+BP 的值最小．解题思路：一找：连接AB交直线l于点P；二证：验证当A，P，B三点共线时，AP+BP取得最小值．三计算．请写出【模型演变】中解题思路“二证”的过程．【典例1-4】模型演变问题：如图，定点A，B位于动点P所在直线l的两侧，试确定点P的位置，使|P A﹣PB|的值最大．解题思路：一找：作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'并延长，交直线于点P；二证：验证当A，B'，P三点共线时，|P A﹣PB|取得最大值．三计算．请写出【模型演变】中解题思路“二证”的过程．【变式1-1】如图，已知菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，点N为BC的中点，点M是对角线AC上一点，则MB+MN的最小值为．【变式1-2】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点O是对角线BD的中点，E是AB 边上一点，且AE＝1，P是CD边上一点，则|PE﹣PO|的最大值为．【变式1-3】如图，在菱形ABCD中，AB＝12，∠DAB＝60°，对角线AC，BD交于点O，点E，F分别在BD，AB上，且BF＝DE＝4．点P为AC上一点，则|PF﹣PE|的最大值为．【变式1-4】结论：如图，抛物线y＝ax2﹣bx﹣4与x轴交于，A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，直线l为该抛物线的对称轴，点M为直线l上的一点，则MA+MC 的最小值为．【典例2】模型分析问题：点P是∠AOB内的一定点，点M，N分别为OA，OB上的动点，试确定点M，N 的位置，使△PMN的周长最小．解题思路：一找：分别作点P关于OA，OB的对称点P′，P“，连接P'P“，分别交OA，OB于点M，N；二证：验证当P′，M，N，P″四点共线时，△PMN的周长最小．三计算．注：当三个点均为动点时，先假定一个点为定点，再将其特化为“一定两动“问题请写出【模型分析】中解题思路“二证”的过程．【变式2-1】如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝121°，∠B＝∠D＝90°，点M、N分别在BC、CD上，（1）当∠MAN＝∠C时，∠AMN+∠ANM＝°；（2）当△AMN周长最小时，∠AMN+∠ANM＝°．【变式2-2】如图，在边长为2的等边△ABC中，点P，M，N分别是BC，AB，AC上的动点，则△PMN周长的最小值为．【典例3】模型分析问题：点P，Q是∠AOB内部的两定点，点M，N分别是OA，OB上的动点，试确定点M，N的位置，使四边形PMNQ的周长最小．解题思路：一找：作点P关于OA的对称点P'，点Q关于OB的对称点Q′，连接P′Q′，分别交OA，OB于点M，N；二证：验证当P′，M，N，Q′四点共线时，四边形PQNM的周长最小．三计算．请写出【模型分析】中解题思路“二证”的过程．【变式3-1】如图，已知正方形ABCD的边长为5，AE＝2DF＝2，点G，H分别在CD，BC 边上，则四边形EFGH周长的最小值为．【变式3-2】如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝3，点E是AB的中点，若点P，Q分别是边BC，CD上的动点，则四边形AEPQ周长的最小值为．【典例4-1】基本模型问题：如图，点A，B为直线l同侧两定点，M，N为直线l上的动点，且MN的长度为定值，试确定点M，N的位置，使AM+MN+BN的值最小．解题思路：一找：以AM，MN为邻边．构造▱AMNA′，作点A′关于直线l的对称点A“，连接A “B，交直线l于点N，再确定点M；二证：验证当A“，N，B三点共线时，AM+MN+BN的值最小．三计算．请写出【基本模型】中解题思路“二证”的过程．【典例4-2】模型演变问题：如图，直线a∥b，定点A，B分别位于直线a的上方和直线b的下方，M，N分别为直线a，b上的动点，且MN⊥a，试确定点M，N的位置，使AM+MN+BN的值最小．解题思路：一找：以AM，MN为邻边构造▱AMNA′，连接A'B；二证：验证当A'，N，B三点共线时，AM+MN+BN的值最小．三计算．请写出【模型演变】中解题思路“二证”的过程．【变式4-1】如图，正方形ABCD内接于⊙O，线段MN在对角线BD上运动，若⊙O的面积为2π，MN＝1，则AM+CN的最小值为．【变式4-2】如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝1，将△ABD沿射线DB方向平移得到△A'B'D'，连接B'C，D'C，求B'C+D'C的最小值．专题12 两之间线段最短求最值（四大类型含将军饮马）（知识解读）【专题说明】“两点之间，线段最短”是初中数学中的基本定理之一，也是人们在生活中认识到的基本事实，而对于数学中的最值问题，学生往往无从下手，其实往往就是这个基本定理的应用。
知识点232 线段的性质：两点之间的线段最短(填空题)
一．填空题（共49小题）1．（2011•广西）在修建崇钦高速公路时，有时需要将弯曲的道路改直，依据是两点之间线段最短．考点：线段的性质：两点之间线段最短。
分析：根据线段的性质：两点之间线段最短解答．解答：解：在修建崇钦高速公路时，有时需要将弯曲的道路改直，依据是：两点之间线段最短．故答案为：两点之间线段最短．点评：本题考查了两点之间线段最短的性质，是基础题，比较简单．2．（2005•广元）在连接两点的所有线中，最短的是线段．考点：线段的性质：两点之间线段最短。
分析：根据线段的性质，两点之间线段最短可得出答案．解答：解：在连接两点的所有线中，最短的是线段．故填：线段．点评：本题考查了线段的性质，属于基础题，注意对公理的理解．3．如图，从学校A到书店B最近的路线是（1）号路线，其中的道理用数学知识解释应是两点之间线段最短．考点：线段的性质：两点之间线段最短。
专题：应用题。
分析：此题为数学知识的应用，由题意从学校A到书店B，肯定要尽量缩短两地之间的里程，就用到两点间线段最短定理．解答：解：因为走（1）号路线是A到B处于一条直线，根据两点之间线段最短，知路程最短．点评：本题主要考查两点之间线段最短．4．如图，从A地到B地走②路线最近，它根据的是两点之间，线段最短．考点：线段的性质：两点之间线段最短。
专题：应用题。
分析：此题为数学知识的应用，由题意从A地到B地，肯定要尽量缩短两地之间的里程，就用到两点间线段最短定理．解答：解：如果从A到B，沿沿第一条路走，这样A、B两点处于同一条线段上，两点之间线段最短．故选择走路线②，根据两点之间线段最短．点评：本题主要考查两点之间线段最短．5．已知从A地到B地共有三条路，小红应选择第③路，用数学知识解释为两点之间，线段最短．考点：线段的性质：两点之间线段最短。
分析：根据题意，连接两点的所有的线中，应选连接A、B的线段，根据线段的性质，两点之间线段最短即可．解答：解：已知从A地到B地共有三条路，小红应选择第③路，用数学知识解释为两点之间，线段最短．点评：此题为数学知识的应用，考查知识点是两点之间线段最短．6．如图，从A到B有多条道路，人们往往走中间的直路，而不会走其他的曲折的路，这是因为两点之间线段最短．考点：线段的性质：两点之间线段最短。
初一数学《比较线段的长短》知识点精讲
初一数学《比较线段的长短》知识点精讲知识点总结1、线段的性质：两点之间，线段最短。
2、两点之间的距离：两点之间线段的长度叫做两点之间的距离。
3、比较线段长短的方法：（1）目测法；（2）度量法；（3）叠合法4、线段的中点：在线段上，到线段两个端点距离相等的点叫做线段的中点。
5、尺规作图：用没有刻度的直尺和圆规作图6、用尺规作线段：（1）作一条线段等于已知线段；（2）作一条线段等于已知线段的二倍；（3）作一条线段等于已知线段的和或差。
其方法是相同的，都是先画一条射线，然后用圆规在射线上截取即可，注意保留作图痕迹，画完图形后写出总结“某某线段即为所求作的线段”。
尺规作图的定义：仅用圆规和没有刻度的直尺作图的方法叫做尺规作图．要点诠释：（1）只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题．（2）直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧.只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上面画刻度．（3）圆规可以开至无限宽，但上面也不能有刻度.它只可以拉开成之前构造过的长度．2.线段的中点：如下图，若点B在线段AC上，且把线段AC分成相等的两条线段AB与BC，这时点B叫做线段AC的中点．3. 用尺规作线段或比较线段（1）作一条线段等于已知线段：用圆规作一条线段等于已知线段．例如：下图所示，用圆规在射线AC上截取AB＝a．要点诠释：几何中连结两点，即画出以这两点为端点的线段.（2）线段的比较：叠合比较法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短．如下图：要点诠释：线段的比较方法除了叠合比较法外，还可以用度量比较法．如图所示，在一条笔直公路a的两侧，分别有A、B两个村庄，现要在公路a上建一个汽车站C，使汽车站到A、B两村的距离之和最小，问汽车站C的位置应如何确定?【答案与解析】解：如图，连接AB与直线a交于点C，这个点C的位置就是符合条件的汽车站的位置．【总结升华】“两点之间线段最短”在实际生活中有广泛的应用，此类问题要与线段的性质联系起来，这里线段最短是指线段的长度最短，连接两点的线段的长度叫做两点间的距离，线段是图形，线段长度是数值．举一反三：【变式】(1)如图1所示，把原来弯曲的河道改直，A、B两地间的河道长度有什么变化?(2)如图2，公园里设计了曲折迂回的桥，这样做对游人观赏湖面风光有什么影响?与修一座直的桥相比，这样做是否增加了游人在桥上行走的路程?说出上述问题中的道理．【答案】解：(1)河道的长度变小了．(2)由于“两点之间，线段最短”，这样做增加了游人在桥上行走的路程，有利于游人更好地观赏湖面风光，起到“休闲”的作用．思维导图教学设计一、教材分析：1、教材的地位和作用本节课是教材第五章《平面图形及其位置关系》的第二节，是平面图形的重要的基础知识。
知识点232线段的性质：两点之间的线段最短(选择题)
-一．选择题〔共40小题〕1．“把弯曲的公路改直，就能缩短路程〞，其中蕴含的数学道理是〔〕A．两点确定一条直线B．直线比曲线短C．两点之间直线最短D．两点之间线段最短考点：线段的性质：两点之间线段最短。
专题：推理填空题。
分析：根据线段的性质解答即可．解答：解：由线段的性质可知：两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．应选D．点评：此题考察的是线段的性质，即两点之间线段最短．2．以下生活或生产现象中，可用公理“两点之间，线段最短〞来解释的现象有〔〕A．用两个钉子就可以把木条固定在墙上B．把弯曲的公路改直，就能缩短路程C．植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线D．以上说法都不能用此公理解释考点：线段的性质：两点之间线段最短。
专题：常规题型。
分析：根据两点确定一条直线，两点之间线段最短的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．解答：解：A、用两个钉子就可以把木条固定在墙上是利用了“两点确定一条直线〞，故本选项错误；B、把弯曲的公路改直，就能缩短路程是利用了“两点之间线段最短〞，故本选项正确；C、植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线是利用了“两点确定一条直线〞，故本选项错误；D、因为B选项可以解释，故本选项错误．应选B．点评：此题考察了线段的性质以及直线的性质，熟记性质公理是解题的关键，是根底题．3．如以下图，由A到B有①②③三条路线，最短路线为③的理由是〔〕A．因为它直B．两点确定一条直线C．两点间距离定义D．在连接两点线中，线段最短考点：线段的性质：两点之间线段最短。
专题：综合题。
分析：根据连接两点的所有线中，线段最短解答．解答：解：根据图象，③线路最短，理由是两点之间，线段最短，应选D．点评：此题考察知识点两点之间，线段最短，难度适中．4．修路工程队在修建公路时，有时需要将弯曲的道路改直，这样做能缩短路程的依据是〔〕A．两点确定一条直线B．两点之间的所有连线中，直线最短C．线段有两个端点D．两点之间的所有连线中，线段最短考点：线段的性质：两点之间线段最短。
人教七年级数学上册4.2两点之间线段最短课件
8、is a admirable thing, but it is well to remember from time to time that nothing worth knowing can be taught.教 育是令人羡慕的东西，但是要不时地记住：凡是值得知道的，没有一个是能够教会的。2021/11/252021/11/252021/11/252021/11/25
6、does not mean teaching people to kow what they do not know ; it means teachng them to behave as they do not behave. 教育不在于使人知其所未知，而在于按其所未行而行。2021年11月2021/11/252021/11/252021/11/2511/25/2021
于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A
点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.请你想一想，
这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，画出最短线路。
A
5
A
C
3
1
B .
B
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拓展
蚂蚁爬行路线最短问题
蚊子 ●
举例一
●
壁虎
糖果
举例二
蚂蚁
蚊子
●
糖果
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课堂练习
动动脑筋
• 老师从这里想去检查张建兵同学的作业 • 你知道有多少条路可走呢？怎么走最近？
知识点232线段的性质：两点之间的线段最短(选择题)
v1.0 可编辑可修改一．选择题（共40小题）1．“把弯曲的公路改直，就能缩短路程”，其中蕴含的数学道理是（）A．两点确定一条直线B．直线比曲线短C．两点之间直线最短D．两点之间线段最短考点：线段的性质：两点之间线段最短。
专题：推理填空题。
分析：根据线段的性质解答即可．解答：解：由线段的性质可知：两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．故选D．点评：本题考查的是线段的性质，即两点之间线段最短．2．下列生活或生产现象中，可用公理“两点之间，线段最短”来解释的现象有（）A．用两个钉子就可以把木条固定在墙上B．把弯曲的公路改直，就能缩短路程C．植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线D．以上说法都不能用此公理解释考点：线段的性质：两点之间线段最短。
专题：常规题型。
分析：根据两点确定一条直线，两点之间线段最短的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．解答：解：A、用两个钉子就可以把木条固定在墙上是利用了“两点确定一条直线”，故本选项错误；B、把弯曲的公路改直，就能缩短路程是利用了“两点之间线段最短”，故本选项正确；C、植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线是利用了“两点确定一条直线”，故本选项错误；D、因为B选项可以解释，故本选项错误．故选B．点评：本题考查了线段的性质以及直线的性质，熟记性质公理是解题的关键，是基础题．3．如图所示，由A到B有①②③三条路线，最短路线为③的理由是（）A．因为它直B．两点确定一条直线C．两点间距离定义D．在连接两点线中，线段最短考点：线段的性质：两点之间线段最短。
专题：综合题。
分析：根据连接两点的所有线中，线段最短解答．解答：解：根据图象，③线路最短，理由是两点之间，线段最短，故选D．点评：此题考查知识点两点之间，线段最短，难度适中．4．修路工程队在修建公路时，有时需要将弯曲的道路改直，这样做能缩短路程的依据是（）A．两点确定一条直线B．两点之间的所有连线中，直线最短C．线段有两个端点D．两点之间的所有连线中，线段最短考点：线段的性质：两点之间线段最短。
两点之间线段最短几年级的知识点
一、概述线段是几何中的基本概念之一，而两点之间的线段最短，也是初中数学中常见的知识点。
在初中阶段学习数学的过程中，学生需要掌握关于线段的相关知识，包括线段的定义、性质、构造、计算等内容。
其中，两点之间线段最短的理论和应用也是数学学习中的重要内容之一。
本文将对两点之间线段最短的相关知识进行系统的介绍和总结，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
二、线段的基本概念1. 线段的定义线段是指两个点之间的所有点的集合，用AB表示，其中A和B分别为线段的端点，线段的顺序是从A到B。
2. 线段的长度线段的长度是指线段所包含的所有点的集合的长度，通常用|AB|表示，表示线段AB的长度。
3. 线段的性质线段是具有一定长度的，它有起点和终点，有确定的长短，可以测量。
三、两点之间线段最短的概念1. 最短线段的定义在数学中，两点之间线段最短是指在同一平面上，两点之间的线段长度最短的线段。
即使平面上的其他路径连接这两点也是最短路径，这就是两点之间线段最短的概念。
2. 两点之间线段最短的证明我们假设两点A、B之间有一条折线段ACB连接，那么通过三角形两边之和大于第三边的原理，可以证明直线段AB的长度必然小于或等于折线段ACB的长度。
3. 两点之间线段最短的应用两点之间线段最短的概念在数学和实际生活中都有重要的应用，比如在地图制作和路径规划中，需要寻找最短的路径。
在物体移动的最短路径问题中也有涉及。
四、两点之间线段最短的计算1. 直线距离假设两点A(x1, y1)、B(x2, y2)，其中A、B分别表示两个不同的点的坐标，通过直线距离公式计算两点之间的距离d=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)，即可得到两点之间的线段最短距离。
2. 弧线距离假设两点A(x1, y1)、B(x2, y2)，在坐标轴上两点之间最短的弧线长度为AB=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)，也是两点之间线段最短距离。
两点之间线段最短
关于两点之间的距离线段最短问题的探究在初中数学中关于两点之间距离最短的问题，经常出现。
现将这类问题归类如下，以供参考。
探究问题一：已知，A，B在直线L的两侧，在L上求一点，使得PA+PB最小。
（如图所示）解：根据两点之间线段最短的基本概念，只用连接AB即可轻松的得到答案。
如图所示。
线段AB与直线L的交点，就是题目要求的点P。
总结：本题虽然十分简单，但却是所有有关本类题目难题的基础，是必须要牢记与掌握的。
下面一题，就是上一题的变形，你还会做吗？探究问题二：已知，A，B在直线L的同一侧，在L上求一点，使得PA+PB最小。
（如图所示）解：本题的难点不在于解题过程，而在于解题的思想，往往大家不能正确的找到解题的思路。
那么，我就在此抛砖引玉，说说我的看法。
首先，作点B关于L的对称点B＇，（如图所示），因为OB＇=OB,∠BOP=∠B＇，OP=OP，所以△OPB≌△OPB＇。
所以，PB=PB＇。
因此，求AP+BP就相当于求AP+PB＇。
这样，复杂的问题便通过转化变得简单，成了探究问题一。
因此只用连接AB＇即可，与直线L的交点，就是题目要求的点P。
结论：我们完全也可以把以上的结论当作一个模块牢记下来，成为自己解题的方法之一。
探究问题三：A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小。
(如图所示)解：利用探究问题二的结论，作A与OM的对称点D，再作A与ON的对称点E。
连接DE（如图所示），据上题铺垫，我们可得，AB=BD，AC=CE，又因为D，B，C，E在一条直线上，所以，这时的周长是最短的。
总结：本题可总结为“三角形的一点决定”。
下面我们看一看四边形一边确定。
探究问题四：AB是锐角MON内部一条线段，在角MON的两边OM，ON上各取一点C，D组成四边形，使四边形周长最小。
（如图所示）解：有了上一题的铺垫，本题似乎简单了许多，作A关于OM的对称点E，再作B关于ON的对称点F，连接EF即可。
2点之间线段最短的例子
2点之间线段最短的例子
1. 你看啊，从家到学校，走直线肯定是最快的呀，如果你非要绕几个弯，那不是浪费时间嘛！就像你明明可以直接走过去跟朋友说话，却非要绕一大圈，这不就跟两点之间线段最短背道而驰了嘛！
2. 想想去超市买东西，你肯定会选择最近的路直达货架呀，难道还会七拐八拐地走远路吗？这就跟两点之间线段最短一个道理呀！
3. 哎呀，运动员在赛场上跑步，肯定也是找最短的路线去冲向终点呀，要是乱拐弯，那还怎么拿好成绩，这不是明摆着两点之间线段最短嘛！
4. 你和小伙伴约好见面，肯定是想着直接过去找他，而不是绕来绕去的吧，这多简单的道理，两点之间线段最短啊！
5. 比如说送快递的小哥，他们都是选择最直接的路去送包裹呀，这样才能最快送到客户手里呀，不就是因为两点之间线段最短嘛！
6. 工作中完成一个任务，也会找最快捷的方法吧，就像从起点到终点，肯定是直着走最快呀，这就是两点之间线段最短在生活中的体现呀！
我的观点结论就是：两点之间线段最短这个道理在我们生活中无处不在呀，我们做很多事其实都在遵循这个道理呢！。
两点之间线段最短
间的河道长度有什么变化？行走的路程？说出其中的道理。
图3爬行到顶点C呢？图4得出线段AB是A、B两点间的最短路径（如图图1-1有人会说：“这也太简单了！”别着急，请看下面这道题（如图2-1）：图2-1有一位将军骑着马要从A地走到B地，但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近。
这道题乍一看似乎无从下手。
但经过观察可以发现此题依然可以利用“两点之间，线段最短”来解决问题，具体方法为：做B点与河面的对称点B＇,连接AB＇，可得到马喝水的地方C（如图2-2）。
图2-2再连接CB得到这道题的解A→C→B。
这就是著名的“将军饮马”问题。
不信的话你可以在河边任意取一点C＇连接AC＇和C＇B，比较一下就知道了。
明白了刚才的平面问题，接下来看看立体图形问题（如图3-1）。
图3-1求点A到点C＇的最短路径是那一条。
此时已不在同一平面内，不能直接利用公理解决问题。
此时，就要利用数学中的转化思想，把立体图形转化成平面图形来研究（如图3-2）。
图3-2从而得到两条最短路径：A→BC→C＇和A→CD→C＇。
同理，还可以得出6条最短路径来(如图3-345)。
图3-3 图3-4 图3-5分别为：A→BC→C＇、A→CD→C＇、A→DD＇→C＇、A→BB＇→C＇、A→A＇D＇→C＇、A→A＇B＇→C＇。
那长方体的最短路径呢？我们来看一下这题（如图4-1）图4-1从A＇到C，不经过A＇B＇C＇D＇和ABCD两面，怎样走最近？我们不如先不考虑第二个条件，从上题可知有六条最短路径，但此题与上题略有不同──长方体各面不相等，因此我们需比较那条路径最短。
观察发现这六条路径，两两长度相等，即只比较这三条路径谁更短就可以了（如图4-23）。
图4-2 图4-3解：设长方体长、宽、高分别为x、y、z，依题意，得：①=②=③=∵ 2xy＞2xz＞2yz∴③＜②＜①即走第三条路径最短。
得到从A＇到C的路径中从A＇→BB＇→C和A＇→DD＇→C最短，与第二个已知条件无关。
两点之间线段最短
两点之间线段最短初一上学期，我们学习了两点之间线段最短的知识，并利用它作了一节课，相信大家对它还是记忆犹新的。
自从那次课后，不知大家有没有进行更深的思考，小人不才，愿用这贫乏的文字，说一说我的想法。
探究问题一：已知，A，B在直线L的两侧，在L上求一点，使得PA+PB最小。
（如图所示）解：根据两点之间线段最短的基本概念，只用连接AB即可轻松的得到答案。
如图所示。
线段AB与直线L的交点，就是题目要求的点P。
总结：本题虽然十分简单，但却是所有有关本类题目难题的基础，是必须要牢记与掌握的。
下面一题，就是上一题的变形，你还会做吗？探究问题二：已知，A，B在直线L的同一侧，在L上求一点，使得PA+PB最小。
（如图所示）解：本题的难点不在于解题过程，而在于解题的思想，往往大家不能正确的找到解题的思路。
那么，我就在此抛砖引玉，说说我的看法。
首先，作点B关于L的对称点B＇，（如图所示），因为OB＇=OB,∠BOP=∠B＇，OP=OP，所以△OPB≌△OPB＇。
所以，PB=PB＇。
因此，求AP+BP就相当于求AP+PB＇。
这样，复杂的问题便通过转化变得简单，成了探究问题一。
因此只用连接AB＇即可，与直线L的交点，就是题目要求的点P。
结论：我们完全也可以把以上的结论当作一个模块牢记下来，成为自己解题的方法之一。
探究问题三：A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小。
(如图所示)解：利用探究问题二的结论，作A与OM的对称点D，再作A与ON的对称点E。
连接DE（如图所示），据上题铺垫，我们可得，AB=BD，AC=CE，又因为D，B，C，E在一条直线上，所以，这时的周长是最短的。
总结：本题可总结为“三角形的一点决定”。
下面我们看一看四边形一边确定。
探究问题四：AB是锐角MON内部一条线段，在角MON的两边OM，ON上各取一点C，D组成四边形，使四边形周长最小。
（如图所示）解：有了上一题的铺垫，本题似乎简单了许多，作A关于OM的对称点E，再作B关于ON 的对称点F，连接EF即可。
知识点232 线段的性质：两点之间的线段最短(选择题)
一．选择题（共40小题）1．“把弯曲的公路改直，就能缩短路程”，其中蕴含的数学道理是（）A．两点确定一条直线B．直线比曲线短C．两点之间直线最短D．两点之间线段最短考点：线段的性质：两点之间线段最短。
专题：推理填空题。
分析：根据线段的性质解答即可．解答：解：由线段的性质可知：两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．故选D．点评：本题考查的是线段的性质，即两点之间线段最短．2．下列生活或生产现象中，可用公理“两点之间，线段最短”来解释的现象有（）A．用两个钉子就可以把木条固定在墙上B．把弯曲的公路改直，就能缩短路程C．植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线D．以上说法都不能用此公理解释考点：线段的性质：两点之间线段最短。
专题：常规题型。
分析：根据两点确定一条直线，两点之间线段最短的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．解答：解：A、用两个钉子就可以把木条固定在墙上是利用了“两点确定一条直线”，故本选项错误；B、把弯曲的公路改直，就能缩短路程是利用了“两点之间线段最短”，故本选项正确；C、植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线是利用了“两点确定一条直线”，故本选项错误；D、因为B选项可以解释，故本选项错误．故选B．点评：本题考查了线段的性质以及直线的性质，熟记性质公理是解题的关键，是基础题．3．如图所示，由A到B有①②③三条路线，最短路线为③的理由是（）A．因为它直B．两点确定一条直线C．两点间距离定义D．在连接两点线中，线段最短考点：线段的性质：两点之间线段最短。
专题：综合题。
分析：根据连接两点的所有线中，线段最短解答．解答：解：根据图象，③线路最短，理由是两点之间，线段最短，故选D．点评：此题考查知识点两点之间，线段最短，难度适中．4．修路工程队在修建公路时，有时需要将弯曲的道路改直，这样做能缩短路程的依据是（）A．两点确定一条直线B．两点之间的所有连线中，直线最短C．线段有两个端点D．两点之间的所有连线中，线段最短考点：线段的性质：两点之间线段最短。
考查知识点----两点之间线段最短,垂线段最短,点关
小结
E? F!
09济南24
已知在对抛物线的称轴上存在一点P，使得△PBC的周长 最小，请求出点△PBC的周长.
第一步 寻找、构造几何模型 要求△PBC的周长最小？ 只要PB+PC最小就好了！
经典模型：牛喝水！
第二步 计算——勾股定理
把PB+PC转化为PA+PC ！
当P运动到H时，PA+PC最小
第一步 寻找、构造几何模型
要求四边形MNFE 的周长最小？
08福州22
把三条线段转移到同 一条直线上就好了！
第二步 计算——勾股定理
E' F' 32 42 5 EF 12 22 5
因此四边形 MNFE的周长的最小值为 5 5.
小结
经典模型：台球两次碰壁问题 经验储存：没有经验，难有思路
1、（点，点P为对 角线AC上一动点，连接PB、PQ，则 △PBQ周长的最小值为____________㎝ （结果不取近似值）.
2、(2009年鄂州)已知直角梯形ABCD中， AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=DC=5，点P在 BC上移动，则当PA+PD取最小值时，△APD中 边AP上的高为____________________.
两条线段和的最小值 两条线段差的最大值
两点之间，线段最短
三角形两边之差小于第三边
当P运动到E时，PA＋PB最小 当Q运动到F时，QD－QC最大
当P运动到E时，PA＋PB最小 当Q运动到F时，QD－QC最大
第一步，寻找、构造几何模型 第二步，计算
09内江27 对于动点Q（1，n），求PQ+QB的最小值 .
考查知识点----“两点之间线段最短”，“垂线段最短”， “点关于线对称”，“线段的平移”。
两点之间,线段最短——化繁为简破中考
两点之间、线段最短——化繁为简之破解中考难题1一、证明“三角形两边之和大于第三边”。
其推理的依据是两点之间、线段最短，源自七年级上册“直线、射线与线段”中，如下图：证明过程：如图，作任意三角形ABC。
以A,C为定点，根据“两点之间，线段最短”可得：AB+BC＞AC.同理，AC+BC＞AB.（？以哪两点为定点）AC+AB＞BC.∴三角形两边之和大于第三边。
二、巧用“两点之间，线段最短”1. 如图1，已知，A，B在直线l的同一侧，在l上求作一点，使得PA+PB最小．（涉及对称）2. 如图3，正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点， P是BD上一动点．连结EP，CP，则EP+CP的最小值是________；（涉及到勾股定理）3. 如图4，平面直角坐标系中有三点A（6，4）、B（4，6）、C（0，2），在x轴上找一点D，使得四边形ABCD的周长最小，则点D的坐标应该是；（涉及一次函数）4. 已知点A（1，2），B（3，-5），P为x轴上一动点，求P到A、B的距离之差的绝对值最大时P点的坐标．5.如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）题中的抛物线上有一个动点P，当点P在抛物线上滑动到什么位置时，满足S△PAB=8，并求出此时P点的坐标；（3）设（1）题中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案——化繁为简之破解中考难题1二、巧用“两点之间，线段最短”1. 如图1，已知，A，B在直线l的同一侧，在l上求作一点，使得PA+PB最小．（涉及对称）参考答案12. 如图3，正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点， P是BD上一动点．连结EP，CP，则EP+CP的最小值是______；（涉及到勾股定理）3. 如图4，平面直角坐标系中有三点A（6，4）、B（4，6）、C（0，2），在x轴上找一点D，使得四边形ABCD的周长最小，则点D的坐标应该是；（涉及一次函数）【考点]轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质．[分析]找点C关于x轴的对称点C'，连接AC'，则AC'与x轴的交点即为点D的位置，先求出直线AC'的解析式，继而可得出点D的坐标．[解答]解：作点C关于x轴的对称点C'，连接AC'，则AC'与x轴的交点即为点D的位置，∵点C'坐标为(0，﹣2)，点A坐标为(6，4)，∴直线C'A的解析式为：y=x﹣2，故点D的坐标为(2，0)．故答案为：(2，0)．[点评]本题主要考查了最短线路问题，解题的关键是根据“两点之间，线段最短”，并且利用了正方形的轴对称性．4. 已知点A（1，2），B（3，-5），P为x轴上一动点，求P到A、B的距离之差的绝对值最大时P点的坐标．5.如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）题中的抛物线上有一个动点P，当点P在抛物线上滑动到什么位置时，满足S△PAB=8，并求出此时P点的坐标；（3）设（1）题中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．。
两点之间直线最短还是线段最短
两点之间直线最短还是线段最短
两点之间线段最短。
线段是指直线上两点间的有限部分，包括两个端点，有别于直线、射线。
线段用表示它两个端点的字母A、B 或一个小写字母表示，有时这些字母也表示线段长度，记作线段AB 或线段BA，线段a。
其中A、B表示线段的的两个端点。
线段特点：
1、有有限长度，可以度量。
2、有两个端点。
3、具有对称性。
4、两点之间的线，是两点之间最短距离。
线段应用：
在生活应用上，主要有三种：连结、隔开、删除。
连结将不同处的两者做关连性的键结，其他如指示性补充亦同。
隔开将同一处的两区域分离，其他如景深、等位线亦同。
删除例：于撰写文章时，为保留创作的过程而将不妥之文句以线划除，其他如路线中的各站亦同。
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两点之间，线段最短设计思想（1）国家数学课程标准指出：义务教育阶段的数学课程，其基本出发点是促动学生全面、持续、和谐地发展。
它不但要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲自经历将实际问题抽象成数学模型并实行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维水平、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。
（2）初一学生从基础知识，基本技能和思维水平以及学习方式等方面有一个逐步适合和提升的过程。
所以，在实行教学设计时，必须时时考虑到新初一学生的学习实际，既不能盲目拔高，也不能搞简单化的结论式教学。
在新课改的过程中，教学设计应立足于学生实际，从大处着眼，深入挖掘教材内容的素质教育功能。
（3）数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程。
数学教学应从学生的实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境，引导学生通过实践、思考、探索、交流，获得知识，形成技能，发展思维，学会学习。
（4）本课题通过对内容的挖掘与整理，采用“问题情境──建立模型──解释、应用与拓展”的模式展开教学，让学生经历“从生活中发现数学──在教室里学习数学──到生活中使用数学”这样一个过程，从而更好地理解数学知识的意义，发展应用数学知识的意识与水平，进一步增强学好数学的愿望和信心。
学生通过本节从具体情境发现并提出数学问题的学习活动，进一步体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学的价值。
在互动交流活动中，学习从不同角度理解问题，寻求解决问题的方法，并有效地解决问题。
体会在解决问题中与他人合作的重要性。
体会使用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识。
教学任务分析教学流程安排课前准备教学过程设计问题2、河道长度如图2，把原来弯曲的河道改直，A、B两地间的河道长度有什么变化？图2问题3、九曲桥（2）如图3，公园里设计了曲折迂回的桥，这样做对游人观赏湖面风光有什么影响？与修一座笔直的桥相比，这样做是否增加了游人在桥上行走的路程？说出其中的道理。
图3 学生独立思考、小组讨论、组间交流，发表看法，相互评价设置三个问题，通过解释、应用与交流活动，强化理解所学新知。
理解的四个层次：1、能够结合自己的体验或用自己的话阐述复杂概念；2、实行联想、比喻及推论；3、在新环境中能解决问题；4、做出创新。
你还能举出一些类似的例子吗？小猫看见鱼，小狗看见骨头后会怎样运动？有人过马路到对面的商店去，但没有走人行道，为什么呢？其他举例也是考察学生对事物真正理解与否的方式之一。
3、拓广探索与交流蚂蚁爬行路线最短问题如图4，一只蚂蚁要从正方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点B，怎样爬行路线最短？如果要爬行到顶点C呢？图4利用手中的正方体具体实验一下，告诉大家你的结论。
学生独立思考，小组实验、探究与交流，组间相互评价动手实验，自主探究，合作交流。
发表观点，引发思考引导探究继续深入，引发对问题的深层思考，达到理解的第三层次。
力争达到第四层次，学生作出创新。
道理暂时说不出不要紧。
关键是在活动中获得的副产品。
三、回顾、思考与交流设想自己是一名园林设计师或者是一名管理者，在实行公共绿地设计时对情境一的一些思考与探讨能给你一些什么启发。
四、作业对蚂蚁爬行最短问题的再思考：如果蚂蚁在长方体的一个顶点上，如果蚂蚁在圆柱上，这时问题发生怎样的变化？问题如何解？请把你对此问题的研究写成数学小作文，注意写出自己的情感体验。
学习思考、组内交流、组间交流学习、反思，提升、升华效果检测1、通过课堂学习活动的展示与交流，学生对学生实行相互评价2、在学习活动过程中教师注意即时地鼓励、指导、点评，实施过程评价3、课后要求学生“蚂蚁爬行最短”问题实行继续研究，并写出数学小作文。
附件──本节课的后续影响的例举关于最短路径思考黄博阳我们已经学过“两点之间，线段最短”这个数学公理了。
这看似简单的八个字蕴涵着很多奥妙，将它扩展、延伸可得到一个最短路径问题、即求连接A、B两点的线段中哪一条最短。
当A、B在同一平面内时，即使是从北京到天津，我们也能够轻松地利用“两点之间，线段最短”得出线段AB是A、B两点间的最短路径（如图1-1）。
图1-1有人会说：“这也太简单了！”别着急，请看下面这道题（如图2-1）：图2-1有一位将军骑着马要从A地走到B地，但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近。
这道题乍一看似乎无从下手。
但经过观察能够发现此题依然能够利用“两点之间，线段最短”来解决问题，具体方法为：做B点与河面的对称点B＇,连接AB＇，可得到马喝水的地方C（如图2-2）。
图2-2再连接CB得到这道题的解A→C→B。
这就是著名的“将军饮马”问题。
不信的话你能够在河边任意取一点C＇连接AC＇和C＇B，比较一下就知道了。
明白了刚才的平面问题，接下来看看立体图形问题（如图3-1）。
图3-1求点A到点C＇的最短路径是那一条。
此时已不在同一平面内，不能直接利用公理解决问题。
此时，就要利用数学中的转化思想，把立体图形转化成平面图形来研究（如图3-2）。
图3-2从而得到两条最短路径：A→BC→C＇和A→CD→C＇。
同理，还能够得出6条最短路径来(如图3-345)。
图3-3 图3-4 图3-5 分别为：A→BC→C＇、A→CD→C＇、A→DD＇→C＇、A→BB＇→C＇、A→A＇D＇→C＇、A→A＇B＇→C＇。
那长方体的最短路径呢？我们来看一下这题（如图4-1）图4-1从A＇到C，不经过A＇B＇C＇D＇和ABCD两面，怎样走最近？我们不如先不考虑第二个条件，从上题可知有六条最短路径，但此题与上题略有不同──长方体各面不相等，所以我们需比较那条路径最短。
观察发现这六条路径，两两长度相等，即只比较这三条路径谁更短就能够了（如图4-23）。
图4-2 图4-3解：设长方体长、宽、高分别为x、y、z，依题意，得：①=②=③=∵ 2xy＞2xz＞2yz∴③＜②＜①即走第三条路径最短。
得到从A＇到C的路径中从A＇→BB＇→C和A＇→DD＇→C最短，与第二个已知条件无关。
平面是这样，那曲面呢？我们再看一题（如图5-1），从A到B，怎样走最近呢？与前两题相同，把圆柱体展开（如图5-2），此时，只有A点位于与长方形的交界处时，才是最短路径，且只有一条最短路径AB。
图5-1 图5-2从上面几题能够看出立体图形中的最短路径问题，都可先把立题图形转化成平面图形再思考。
而且得出正方体有6条最短路径；长方体有2条最短路径；圆柱有1条最短路径。
这短短的八个字还真是奥妙无穷啊！教师注：初一刚入学不久的学生，能把问题一个问题表述得如此清晰，很是难能可贵。
不足之处是在对圆柱体问题的探究中考虑不周，有其他可能未实行探究。
继续努力，力争把问题研究的更清楚、更透彻。
两点之间线段最短的探究与再思考原静雯初一上学期，我们学习了两点之间线段最短的知识，并利用它作了一节课，相信大家对它还是记忆犹新的。
自从那次课后，不知大家有没有实行更深的思考，小人不才，愿用这贫乏的文字，说一说我的想法。
探究问题一：已知，A，B在直线L的两侧，在L上求一点，使得PA+PB最小。
（如图所示）解：根据两点之间线段最短的基本概念，只用连接AB即可轻松的得到答案。
如图所示。
线段AB与直线L的交点，就是题目要求的点P。
总结：本题虽然十分简单，但却是所有相关本类题目难题的基础，是必须要牢记与掌握的。
下面一题，就是上一题的变形，你还会做吗？探究问题二：已知，A，B在直线L的同一侧，在L上求一点，使得PA+PB最小。
（如图所示）解：本题的难点不在于解题过程，而在于解题的思想，往往大家不能准确的找到解题的思路。
那么，我就在此抛砖引玉，说说我的看法。
首先，作点B关于L的对称点B＇，（如图所示），因为OB＇=OB,∠BOP=∠B＇，OP=OP，所以△OPB≌△OPB＇。
所以，PB=PB＇。
所以，求AP+BP就相当于求AP+PB＇。
这样，复杂的问题便通过转化变得简单，成了探究问题一。
所以只用连接AB＇即可，与直线L的交点，就是题目要求的点P。
结论：我们完全也能够把以上的结论当作一个模块牢记下来，成为自己解题的方法之一。
探究问题三：A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小。
(如图所示)解：利用探究问题二的结论，作A与OM的对称点D，再作A与ON的对称点E。
连接DE（如图所示），据上题铺垫，我们可得，AB=BD，AC=CE，又因为D，B，C，E在一条直线上，所以，这时的周长是最短的。
总结：本题可总结为“三角形的一点决定”。
下面我们看一看四边形一边确定。
探究问题四：AB是锐角MON内部一条线段，在角MON的两边OM，ON上各取一点C，D组成四边形，使四边形周长最小。
（如图所示）解：有了上一题的铺垫，本题似乎简单了很多，作A关于OM的对称点E，再作B关于ON的对称点F，连接EF即可。
如图。
ABCD便是周长最小的。
（2）下面我把上一题简单变形，把锐角变为直角，大家再看，本图有没有似曾相识之感？对了，我们见过的，只用把两条直角边所在直线看作是一个平面直角坐标系，再把AB两点固定位置，这样，就变为了月考附加题中的最后一题。
原题：在直角坐标系中，有四个点A（-8，3）、B（-4，5）、C（0， n）、D(m,o),当四边形ABCD 的周长最短时，求m/n的值。
解：依题意画图得：由探究问题四得知，作B关于Y轴的对称点B＇，A关于X轴的对称点A＇。
连接A＇B＇，他们与X 轴，Y轴的交点便为所求。
如图所示，过A＇与B＇两点的直线的函数解析式可求。
设过A＇与B＇两点的直线的函数解析式为y=kx+b.依题意得：-8k+b=-3, 4k+b=5解得，k=2/3,b=7/3所以，（0,n）为（o,7/3）(m,o)为(-3.5,o)所以，m/n=-2/3以上，便就是我对此问题的一些想法，复杂费解的问题是不是简单了很多？好理解了很多呢？。