高二文科数学导数专项复习

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高二文科期末复习学案导数专题

期末复习学案导数专题类型一：有关导数的定义 1）导数的定义：2）例题1 利用导数的定义求函数1y x=在点0x 处的导数对应练习：设函数()f x 在0x 处可导，则000(3)()lim x f x x f x x∆→-∆-=∆A '0()f xB '0()f x -C '03()f x - D 0()f x类型二：有关导数的几何意义曲线y=f(x) 过点00(,())x f x 的切线的斜率等于例题2 求抛物线y=x 2过点5(,6)2的切线方程对应练习：已知曲线32y x x =-和其上一点，这点的横坐标为2，求曲线在这点的切线方程类型三：有关导数的运算熟记基本初等函数的导数公式表以及导数的四则运算公式 1写出常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的导数：'(()())f x g x ±= '(()())u x v x ='()()()f xg x = 例题3 求下列函数的导数 1)若sin y x =则'/6y t π== 2 )曲线y=lnx 与x 轴交点处的切线方程是 3 ) y=(2+x 3)2 'y = 4) y=xsin x －cosx 'y = 5)y=sin2x 'y =类型四：有关导数的应用熟记求函数单调区间、求极值以及求最值的基本步骤例题4 求下列函数的单调减区间 ⑴ 328136y x x x =-+- ⑵ y=xsin x + cosx例题5 若函数的单调增区间为(0,)+∞，则实数a 的取值范围是 A 0a ≥ B 0a > C 0a ≤ D 0a <对应练习; 设32()(0)f x ax bx cx d a =+++> 则()f x 为增函数的充要条件是（） A 230b ac -> B 0,0b c >> C 0,0b c => D 230b ac -< 例题6 已知32()(0)f x ax bx cx a =++≠在1x =±处取得极值，且(1)1f =- （1）试求常数a ,b ,c 的值；（2）试判断1x =±是函数的极小值还是极大值，并说明理由。

高二数学导数知识点总结题型

高二数学导数知识点总结题型一、导数基本概念与定义在学习高二数学导数知识时，首先需要了解导数的基本概念和定义。

导数可以理解为函数在某一点上的变化率，常用符号表示为f'(x)或dy/dx。

导数的定义可以通过极限的概念来描述，即当自变量的增量趋近于零时，函数值的增量与自变量增量的比值的极限，即导数的定义式为：f'(x) = lim┬(Δx→0)⁡(f(x+Δx) - f(x))/Δx二、导数的求法及应用1. 导数的基本运算规则求导数时常用的运算规则有：常数法则、幂法则、和差法则、乘积法则、商法则、复合函数法则等。

掌握这些运算规则可以方便地求解各种导数。

2. 高阶导数在求导数时，还可以进一步求解高阶导数，即导数的导数。

一阶导数表示函数的变化率，而二阶导数则表示一阶导数的变化率，也可理解为函数的曲率。

3. 隐函数求导对于隐函数，无法直接通过已知函数的表达式求导数，此时可以利用隐函数求导方法进行求解。

通过求偏导数可求出隐函数的导数，从而确定隐函数的变化率。

4. 函数的极值与最值利用导数的概念和性质，可以判断函数在某一区间内的极值与最值。

当函数的导数在某一点处为零或不存在时，该点可能是函数的极值点，通过导数的符号变化可以判断极值类型。

5. 曲线的凹凸性与拐点通过导数的求解，还可以判断函数曲线在某一区间内是凹还是凸，从而确定曲线的凹凸性以及存在的拐点位置。

三、导数与函数图像的关系1. 导数与函数的单调性通过导数的符号变化，可以判断函数在某一区间内的单调性。

当导数大于零时，函数递增；当导数小于零时，函数递减。

2. 导数与函数的图像导数的符号与函数的增减性密切相关，当导数大于零时，函数图像上的切线斜率为正，图像呈现上升趋势；当导数小于零时，函数图像上的切线斜率为负，图像呈现下降趋势。

3. 导数与函数的极值点函数极值点的存在与导数相关，通过导数的零点或不存在判断函数的极值点。

当导数为零或不存在时，可能存在极值点。

高二文科数学导数知识点及基本题型

高二文科数学导数一、知识点梳理（1）平均变化率对于一般的函数()y f x =，在自变量x 从1x 变化到2x 的过程中，若设12x x x -=∆, )()(12x f x f f -=∆ 则函数的平均变化率为（2）导数的概念一般的，定义在区间（a ，b ）上的函数)(x f ，)(b a x o ，∈，当x ∆无限趋近于0时，xx f x x f x y o o ∆-∆+=∆∆)()(无限趋近于一个固定的常数A ，则称)(x f 在o x x =处可导，并称A 为)(x f 在o x x =处的导数，记作)('o x f 或ox x x f =|)(' （3）导数的几何意义函数y =f (x )在x =x 0处的导数等于在该点00(,())x f x 处的切线的。

（4）基本初等函数的导数公式表及求导法则（默写）（5）函数单调性与导数：在某个区间(,)a b 内，如果'()0f x >，那么函数()y f x =在这个区间内；如果'()0f x <，那么函数()y f x =在这个区间内．说明：（1）特别的，如果'()0f x =，那么函数()y f x =在这个区间内是常函数．（6）求解函数()y f x =单调区间的步骤：（7）求可导函数f (x )的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间，求导数f ′(x 求方程f ′(x )=0的根用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值（8）函数的最值与导数：一般地，在闭区间[]b a ,上函数()y f x =的图像是一条连续不断的曲线，那么函数()y f x =在[]b a ,上必有．二、典型例题1、曲线y ＝x x －2在点(1，－1)处的切线方程为 ( ) A ．y ＝x －2 B ．y ＝－3x ＋2 C ．y ＝2x －3D ．y ＝－2x ＋12、函数x x y ln =在区间 ( )(A) )1,0(e 上单调递减 (B) ),1(+∞e 上单调递减(C) ),0(+∞上单调递减 (D) ),0(+∞上单调递增3、若函数()()2f x x x c =-在2x =处有极大值，则常数c 的值为_________；4、函数x ex x f -⋅=)(的一个单调递增区间是（） (A)[]0,1- (B) []8,2 (C) []2,1 (D) []2,05、函数x x x f 12)(3-=的极值是6、已知函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如下，则( )A ．函数f (x )有1个极大值点，1个极小值点B ．函数f (x )有2个极大值点，2个极小值点C ．函数f (x )有3个极大值点，1个极小值点D ．函数f (x )有1个极大值点，3个极小值点7、已知)0()(23≠++=a cx bx ax x f 在1±=x 时取得极值，且1)1(-=f ．Ⅰ、试求常数a 、b 、c 的值；Ⅱ、试判断1±=x 是函数的极小值点还是极大值点，并说明理由．三、练习1、（基础题）设y ＝8x 2－ln x ，则此函数在区间(0，14)和(12，1)内分别( )A ．单调递增，单调递减B ．单调递增，单调递增C ．单调递减，单调递增D ．单调递减，单调递减2、（基础题）函数y =x 2（x －3）的减区间是3、（基础题）函数b ax x x f +-=3)(3)0(>a 的极大值为6，极小值为2，（Ⅰ）求实数b a ，的值. （Ⅱ）求)(x f 的单调区间.4、（基础题）已知函数y ＝f (x )＝ln x x. (1)求函数y ＝f (x )的图象在x ＝1e处的切线方程； (2)求y ＝f (x )的最大值；(3)设实数a ＞0，求函数F (x )＝af (x )在[a,2a ]上的最小值（选做）5、（基础题）设f （x ）=x 3－22x －2x +5. （1）求f （x ）的单调区间；（2）当x ∈［1，2］时，f （x ）<m 恒成立，求实数m 的取值范围.6、（提高题，选做）设函数ax x x a x f +-=22ln )(，0>a（Ⅰ）求)(x f 的单调区间；（Ⅱ）求所有实数a ，使2)(1e x f e ≤≤-对],1[e x ∈恒成立．注：e 为自然对数的底数．。

高二文科数学-导数

高二文科数学期末考试导数1、函数()y f x =在区间12[,]x x 上的平均变化率为1f x f x x x -212()-()2、函数()y f x =在区间(,)a b 内有定义，0(,)x a b ∈，若x ∆无限趋近于0，比值00()()f x x f x y x x +∆-∆=∆∆无限趋近于一个常数A ，则称()f x 在0x x =处可导，并称常数A 为函数()f x 在0x x =处的导数。

记作0'()f x3、导数的几何意义：函数()y f x =在点0x 处的导数，就是曲线()y f x =在点0x处的切线的斜率。

4、()y f x =的导函数'()y f x =：函数()y f x =对于区间(,)a b 内任一点都可导，若x ∆无限趋近于0，比值()()y f x x f x x x ∆+∆-=∆∆无限趋近于'()f x ，称它为()y f x =的导函数，记为 '()y f x =。

函数()y f x =在点0x 处的导数0'()f x ，就是导函数'()y f x =在0x x =处的函数值。

5、常见函数的导函数（1）1)(-='a a ax x （a 为常数）（2）'()ln (0,1)x xa a a a a =>≠且（3）'1(log )ln a x x a =（4）'()x xe e =（5）'1(ln )x x =（6）'(sin )cos x x =（7）'(cos )sin x x =- 6、函数的和、差、积、商的导数[]()()()()u x v x u x v x '''±=±'[()()]()()()'().u x v x u x v x u x v x '⋅=+'2()'()()()'()(()0)()()u x u x v x u x v x v x v x v x ⎛⎫-=≠ ⎪⎝⎭'[()]()c u x c u x '⋅=⋅ 7、简单复合函数的导数：x u x u y y '⋅'='8、导数的应用：（1）导数和函数的单调性：对于函数()y f x =，在某区间上'()0f x >，那么()y f x =为该区间上的增函数对于函数()y f x =，在某区间上'()0f x <，那么()y f x =为该区间上的减函数（2）导数和函数的极值点：在'()0f x =的点0x 处的两侧的导数值异号，则()y f x =在0x x =处的函数值为极值。

高二文科数学导数强化复习

导数的复习训练基本初等函数的导数公式:1、若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=； 5 、若()x f x a =,则()ln x f x a a '= 2 、若()f x x α=,则1()f x x αα-'=; 6 、若()x f x e =,则()xf x e '= 3 、若()sin f x x =,则()cos f x x '= 7 、若()log x a f x =,则1()ln f x x a'= 4 、若()cos f x x =,则()sin f x x '=-; 8、若()ln f x x =,则1()f x x '=【典型例题讲解】1、曲线y ＝xx －2在点(1，－1)处的切线方程为 ( )A ．y ＝x －2B ．y ＝－3x ＋2C ．y ＝2x －3D ．y ＝－2x ＋12、函数x x y ln =在区间 ( )(A) )1,0(e 上单调递减 (B) ),1(+∞e 上单调递减(C) ),0(+∞上单调递减 (D) ),0(+∞上单调递增3、若函数2f x x x c 在2x =处有极大值，则常数c 的值为_________；4、函数x e x x f -⋅=)(的一个单调递增区间是（） (A)[]0,1- (B) []8,2 (C) []2,1 (D) []2,05、函数x x x f 12)(3-=的极值是6、已知函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如下，则()A ．函数f (x )有1个极大值点，1个极小值点B ．函数f (x )有2个极大值点，2个极小值点C ．函数f (x )有3个极大值点，1个极小值点D ．函数f (x )有1个极大值点，3个极小值点7、已知)0()(23≠++=a cx bx ax x f 在1±=x 时取得极值，且1)1(-=f ． Ⅰ、试求常数a 、b 、c 的值；Ⅱ、试判断1±=x 是函数的极小值点还是极大值点，并说明理由．练习1、函数y ＝8x 2－ln x ，则此函数在区间(0，14)和(12，1)内分别 ( ) A ．单调递增，单调递减 B ．单调递增，单调递增C ．单调递减，单调递增D ．单调递减，单调递减2、函数y =x 2（x －3）的减区间是3、函数b ax x x f +-=3)(3)0(>a 的极大值为6，极小值为2，（Ⅰ）求实数b a ，的值. （Ⅱ）求)(x f 的单调区间.4、已知函数y ＝f (x )＝ln x x. (1)求函数y ＝f (x )的图象在x ＝1e处的切线方程；(2)求y ＝f (x )的最大值；5、设f （x ）=x 3－22x －2x +5. （1）求f （x ）的单调区间；（2）当x ∈［1，2］时，f （x ）<m 恒成立，求实数m 的取值范围.6、设函数ax x x a x f +-=22ln )(，0>a 求)(x f 的单调区间；。

文科导数复习与题型归纳

导数复习知识点一、导数的概念导数xy x f x ∆∆=→∆00lim )('; 二、导数的几何意义函数y=fx 在点0x 处的导数,就是曲线y=x 在点),(00y x P 处的切线的斜率．由此,可以利用导数求曲线的切线方程．具体求法分两步：1求出函数y=fx 在点0x 处的导数,即曲线y=fx 在点),(00y x P 处的切线的斜率； 2在已知切点坐标和切线斜率的条件下,求得切线方程为三、常见函数的导数及运算法则1 八个基本求导公式)('C ＝； )('n x ＝；n∈Q )(sin 'x ＝ , )(cos 'x ＝ )('x e ＝ , )('x a ＝ )(ln 'x ＝ , )(log 'x a ＝2 导数的四则运算)('±v u ＝ ])(['x Cf ＝)('uv ＝ ,)('v u ＝ )0(≠v 3 复合函数的导数设)(x u θ=在点x处可导,)(u f y =在点)(x u θ=处可导,则复合函数)]([x f θ在点x 处可导, 且)(x f '＝ ,即x u xu y y '⋅'=' 四、导数的应用要求：明白解题步骤1．函数的单调性（1）设函数y=fx 在某个区间内可导,若)(/x f >0,则fx 为增函数；若)(/x f <0,则fx 为减函数;（2）求可导函数单调区间的一般步骤和方法;①分析 )(x f y =的定义域； ②求导数 )(x f y '='③解不等式0)(>'x f ,解集在定义域内的部分为区间解不等式0)(<'x f ,解集在定义域内的部分为区间例如：求函数xx y 1+=的减区间 2．可导函数的极值采用表格或画函数图象（1）极值的概念设函数fx 在点x 0附近有定义,且若对x 0附近所有的点都有fx <fx 0或fx >fx 0,则称fx 0为函数的一个极大小值,称x 0为极大小值点;（2）求可导函数fx 极值的步骤① 求导数)(x f '；② 求方程)(x f '＝0的；③ 检验)(x f '在方程)(x f '＝0的根左右的符号,如果在根的左侧附近为正,右侧附近为负先增后减,那么函数y ＝)(x f 在这个根处取得；如果在根的左侧附近为负,右侧为正先减后增,那么函数y ＝)(x f 在这个根处取得 .3．函数的最大值与最小值⑴ 设y ＝)(x f 是定义在区间a ,b 上的函数,y ＝)(x f 在a ,b 内有导数,则函数y ＝)(x f 在a ,b 上必有最大值与最小值；但在开区间内未必有最大值与最小值．2 求最值可分两步进行：① 求y ＝)(x f 在a ,b 内的值；② 将y ＝)(x f 的各值与)(a f 、)(b f 比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.3 若函数y ＝)(x f 在a ,b 上单调递增,则)(a f 为函数的 ,)(b f 为函数的；若函数y ＝)(x f 在a ,b 上单调递减,则)(a f 为函数的 ,)(b f 为函数的 .4.求过函数上一点的切线的斜率或方程例题1：分析函数x x y 33-=单调性,极值,最值,图象例题2：函数ax x y 33-=在)1,(--∞上为增函数,在)1,1(-上为减函数,求实数a 例题3：求证方程1lg =⋅x x 在区间)3,2(内有且仅有一个实根.分析解本题要用的知识点一．求值1． ()f x '是31()213f x x x =++的导函数,则(1)f '-的值是．2.)(x f =ax 3+3x 2+2 ,4)1(=-'f ,则a=3.已知函数fx 的导函数为)(x f ',且满足fx=3x 2+2x )2('f ,则)5('f = .4.设fx 、g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,当x <0时,fx g ′x +f ′x g x >0且g －3=0,则不等式fx g x <0的解集是__________.5．2008海南、宁夏文设()ln f x x x =,若0'()2f x =,则0x =A. 2eB. eC.ln 22 D. ln 2 二．切线11 曲线31y x x =++在点(1,3)处的切线方程是；2已知函数x x x f 3)(3-=,过点)6,2(-P 作曲线)(x f y =的切线的方程．变式．1曲线y ＝x 3－3x ＋1在点1,－1处的切线方程为 2已知3:()2C f x x x =-+,则经过(1,2)P 的曲线C 的切线方程为 3曲线fx=x 3－3x,过点A0,16作曲线f x 的切线,则曲线的切线方程为 ; 2 ．1曲线3)(x x f =在点A 处的切线的斜率为3,则该曲线在A 点处的切线方程为 ; 2 过曲线x x x f -=4)(上点P 处的切线平行于直线03=-y x ,则点P 的坐标为 3 若直线y x =是曲线323y x x ax =-+的切线,则a = ;3.垂直于直线2x-6y+1=0,且与曲线5323-+=x x y 相切的直线的方程是________．4．已知直线1+=kx y 与曲线b ax x y ++=3切于点1,3,则b 的值为A ．3B ．－3C ．5D ．－55．若点P 在曲线23+-=x x y 上移动,经过点P 的切线的倾斜角为α,则α的取值范围为A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π B.⎪⎭⎫⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎢⎣⎡πππ,432,0 C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ,43 D.⎥⎦⎤ ⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡43,22,0πππ 6.08全国Ⅱ设曲线2ax y =在点1,a 处的切线与直线062=--y x 平行,则=aA ．1B ．12C ．12-D ．1- 7．09宁夏曲线21x y xe x =++在点0,1处的切线方程为 ; 809全国卷Ⅱ理曲线21x y x =-在点()1,1处的切线方程为 A. 20x y --= B. 20x y +-= C.450x y +-= D. 450x y --= 9若曲线()2f x ax Inx =+存在垂直于y 轴的切线,则实数a 的取值范围是 . 10．08海南理曲线12e x y =在点2(4e )，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为三．单调性1.1设fx=x 22-x,则fx 的单调增区间是A.0,)34B.,34+∞C.-∞,0D.-∞,0∪34,+∞2函数y=x+1x 2－1的单调递增区间为A.-∞,－1B.－1,+∞C. -∞,－1 与－1,+∞D. -∞,－1 ∪－1,+∞3函数13)(23+-=x x x f 是减函数的区间为A ．),2(+∞B ．)2,(-∞C ．)0,(-∞D ．0,22.1若函数fx=x 3-ax 2+1在0,2内单调递减,则实数a 的取值范围为2设ax x x f a -=>3)(,0函数在),1[+∞上是单调函数. 则实数a 的取值范围为；3函数y =ax 3－x 在－∞,+∞上是减函数,则实数a 的取值范围为；3．1若函数fx =ax 3－x 2+x －5在R 上单调递增,则a 的范围是．2已知函数13)(23+-+=x x ax x f 在R 上是减函数,则a 的取值范围是：．4.若32()(0)f x ax bx cx d a =+++>在R 上是增函数,则A 240b ac ->B 0,0b c >>C 0,0b c =>D 230b ac -<5、函数3y x ax b =++在(1,1)-上为减函数,在(1,)+∞上为增函数,则A 1,1a b ==B 1,a b R =∈C 3,3a b =-=D 3,a b R =-∈四．极值1、函数331x x y -+=的极大值,极小值分别是A. 极小值-1,极大值1B. 极小值-2,极大值3C. 极小值-2,极大值2D. 极小值-1,极大值32．函数93)(23-++=x ax x x f ,已知)(x f 在3-=x 时取得极值,则a =A2 B3 C4 D53.函数fx=x 3-ax 2-bx+a 2,在x=1时有极值10,则a 、b 的值为=3,b=-3,或a=-4,b=11=-4,b=11 =3,b=-3 D.以上都不正确4、已知函数)(x f 的导数为x x x f 44)(3-=',且图象过点0,-5,当函数)(x f 取得极大值-5时,x 的值应为A. –1B. 0C. 1D. ±15.若函数fx=x 3-3bx+3b 在0,1内有极小值,则<b<1 <1 >0 <216.若fx=x 3+3ax 2+3a+2x+1没有极值,则a 的取值范围为 .7. 已知函数y=2x 3+ax 2+36x －24在x=24处有极值,则该函数的一个递增区间是A.2,3B.3, +∞C.2, +∞D. －∞,38.2009辽宁卷文若函数2()1x a f x x +=+在1x =处取极值,则a = 五．最值1．函数5123223+--=x x x y 在0,3上的最大值、最小值分别是A ．5,－15B ．5,－4C ．－4,－15D ．5,－162.06浙江文32()32f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是A-2 B0 C2 D4 3函数y =x 3+x3在0,+∞上的最小值为4．07湖南理函数3()12f x x x =-在区间[33]-，上的最小值是．507江苏已知函数3()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值与最小值分别为,M m ,则M m -=____________变式、函数3()3f x x x a =--在区间[]0,3上的最大值、最小值分别为M,N,则M －N 的值为 ;6.2008安徽文设函数1()21(0),f x x x x=+-< 则()f xA ．有最大值B ．有最小值C ．是增函数D ．是减函数六．综合1．07福建理、文已知对任意实数x ,有()()()()f x f x g x g x -=--=，,且0x >时,()0()0f x g x ''>>，,则0x <时A ．()0()0f x g x ''>>，B ．()0()0f x g x ''><，C ．()0()0f x g x ''<>，D ．()0()0f x g x ''<<， 2．对于R 上可导的任意函数()f x ,若满足'(1)()0x f x -≥,则必有A ． (0)(2)2(1)f f f +< B. (0)(2)2(1)f f f +≤C. (0)(2)2(1)f f f +≥D. (0)(2)2(1)f f f +>3.2009陕西卷文设曲线1*()n y x n N +=∈在点1,1处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ,则12n x x x ⋅⋅⋅的值为 A 1n B 11n + C 1n n + D 1 图1所示,4 设函数)(x f 在定义域内可导,)(x f y =的图象如右则导函数y =f x 可能为5．浙江卷11设f 'x 是函数fx 的导函数,y =f 'x 的图象如右图所示,则y =fx 的图象最有可能的是A B C D 6.2009湖南卷文若函数()y f x =的导函数．．．在区间[,]a b 上是增函数,则函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象可能是x y y x y xyx O 1 2 O 1 2 O 1 2 1 2 xy O 1 2 a b a b a o x o x y b a o x y o xyb yx y O A x y O B x y O xyO DCA ．B ．C ．D ．7、已知函数32()(6)1f x x mx m x =++++既有极大值又存在最小值,则实数m 的取值范围是 ;8、若函数()f x 的定义域为()0,+∞,且/()0,()0f x f x >>,那么函数()y xf x = A 存在极大值B 存在最小值C 是增函数D 是减函数9、当[]0,2x ∈时,函数2()4(1)3f x ax a x =+--在x=2时取得最大值,则a 的取值范围是 ;七．解答题重点题型一：利用导数研究函数的单调性、极值、最值;1.已知函数))1(,1()(,)(23f P x f y c bx ax x x f 上的点过曲线=+++=的切线方程为y=3x+1Ⅰ若函数2)(-=x x f 在处有极值,求)(x f 的表达式；Ⅱ在Ⅰ的条件下,求函数)(x f y =在－3,1上的最大值；Ⅲ若函数)(x f y =在区间－2,1上单调递增,求实数b 的取值范围2：已知三次函数32()f x x ax bx c =+++在1x =和1x =-时取极值,且(2)4f -=-． 1 求函数()y f x =的表达式；2 求函数()y f x =的单调区间和极值；3 若函数()()4(0)g x f x m m m =-+>在区间[3,]m n -上的值域为[4,16]-,试求m 、n 应满足的条件．3．海南文本小题满分12分设函数2()ln(23)f x x x =++Ⅰ讨论()f x 的单调性；Ⅱ求()f x 在区间3144⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的最大值和最小值． 4、已知32()(0)f x ax bx cx a =++≠在1x =±取得极值,且(1)1f =;1试求常数,,a b c 的值；2试判断1x =±是函数的极大值还是极小值,并说明理由;5．已知函数fx=－x 3＋3x 2＋ax ＋b 在x ＝1,f1处的切线与直线12x －y －1＝0平行．1求实数a 的值；2求fx 的单调递减区间；3若fx 在区间－2,2上的最大值为20,求它在该区间上的最小值．题型二：利用导数研究不等式恒成立;1.已知两个函数x x x f 287)(2-=,c x x x x g +-+=4042)(23.Ⅰ,)()(图像关于原点对称图像与x f x F 解不等式3)()(--≥x x f x FⅡ若对任意∈x －3,3,都有≤)(x f )(x g 成立,求实数c 的取值范围；2.已知函数fx=x 3-21x 2+bx+c.1若fx 在-∞,+∞上是增函数,求b 的取值范围;2若fx 在x=1处取得极值,且x∈-1,2时,fx<c 2恒成立,求c 的取值范围.3.天津卷21本小题满分14分已知函数432()2f x x ax x b =+++x R ∈,其中R b a ∈,．Ⅰ当103a =-时,讨论函数()f x 的单调性； Ⅱ若函数()f x 仅在0x =处有极值,求a 的取值范围；Ⅲ若对于任意的[2,2]a ∈-,不等式()1f x ≤在[1,1]-上恒成立,求b 的取值范围．训练题1.本小题12分设函数d cx bx x a x f +++=43)(23的图象关于原点对称,)(x f 的图象在点(1,)P m 处的切线的斜率为6-,且当2=x 时)(x f 有极值． Ⅰ求a b c d 、、、的值；Ⅱ求()f x 的所有极值．2.设函数()32()f x x bx cx x R =++∈,已知()()()g x f x f x '=-是奇函数;(1) Ⅰ求b 、c 的值;(2) Ⅱ求()g x 的单调区间与极值;3.2005北京理科、文科已知函数fx =－x 3＋3x 2＋9x ＋a .I 求fx 的单调递减区间；II 若fx 在区间－2,2上的最大值为20,求它在该区间上的最小值．4.2006安徽文设函数()32()f x x bx cx x R =++∈,已知()()()g x f x f x '=-是奇函数;Ⅰ求b 、c 的值; Ⅱ求()g x 的单调区间与极值;5．2008全国Ⅱ卷文设a ∈R ,233)(x ax x f -=． Ⅰ若2=x 是函数)(x f y =的极值点,求a 的值； Ⅱ若函数()()()[02]g x f x f x x '=+∈，，,在0=x 处取得最大值,求a 的取值范围．6. 2008湖北文已知函数322()1f x x mx m x =+-+m 为常数,且m >0有极大值9. Ⅰ求m 的值； Ⅱ若斜率为-5的直线是曲线()y f x =的切线,求此直线方程. 7 已知函数1)(3--=ax x x f ．Ⅰ若)(x f 在实数集R 上单调递增,求a 的范围； Ⅱ是否存在实数a 使)(x f 在)1,1(-上单调递减．若存在求出a 的范围,若不存在说明理由．09福建理科14.若曲线3()ln f x ax x =+存在垂直于y 轴的切线,则实数a 取值范围是_____________.20、本小题满分14分已知函数321()3f x x ax bx =++,且'(1)0f -= 1 试用含a 的代数式表示b,并求()f x 的单调区间； 2令1a =-,设函数()f x 在1212,()x x x x <处取得极值,记点M 1x ,1()f x ,N 2x ,2()f x ,P ,()m f m , 12x m x <<,请仔细观察曲线()f x 在点P 处的切线与线段MP 的位置变化趋势,并解释以下问题： I 若对任意的m ∈1x , x 2,线段MP 与曲线fx 均有异于M,P 的公共点,试确定t 的最小值,并证明你的结论；II 若存在点Q n ,fn , x ≤n< m ,使得线段PQ 与曲线fx 有异于P 、Q 的公共点,请直接写出m 的取值范围不必给出求解过程 09福建文科15. 若曲线()2f x ax Inx =+存在垂直于y 轴的切线,则实数a 的取值范围是 . 21．本小题满分12分已知函数321(),3f x x ax bx =++且'(1)0f -= I 试用含a 的代数式表示b ； Ⅱ求()f x 的单调区间；Ⅲ令1a =-,设函数()f x 在1212,()x x x x <处取得极值,记点1122(,()),(,())M x f x N x f x ,证明：线段MN 与曲线()f x 存在异于M 、N 的公共点；08福建理科11如果函数y=fx 的图象如右图,那么导函数y=fx 的图象可能是 19本小题满分12分已知函数321()23f x x x =+-.Ⅰ设{a n }是正数组成的数列,前n 项和为S n ,其中a 1=3.若点211(,2)n n n a a a ++-n ∈N 在函数y =f ′x 的图象上,求证：点n ,S n 也在y =f ′x 的图象上；Ⅱ求函数fx 在区间a -1,a 内的极值. 文科21本小题满分12分已知函数32()2f x x mx nx =++-的图象过点-1,-6,且函数()()6g x f x x '=+的图象关于y 轴对称.Ⅰ求m 、n 的值及函数y =fx 的单调区间； Ⅱ若a ＞0,求函数y =fx 在区间a -1,a +1内的极值. 07福建11．已知对任意实数x ,有()()()()f x f x g x g x -=--=，,且0x >时,()0()0f x g x ''>>，,则0x <时 A ．()0()0f x g x ''>>， B ．()0()0f x g x ''><， C ．()0()0f x g x ''<>，D ．()0()0f x g x ''<<，22．本小题满分14分已知函数()e x f x kx x =-∈R ，Ⅰ若e k =,试确定函数()f x 的单调区间；Ⅱ若0k >,且对于任意x ∈R ,()0f x >恒成立,试确定实数k 的取值范围； Ⅲ设函数()()()F x f x f x =+-,求证：12(1)(2)()(e2)()n n F F F n n +*>+∈N ．全国一文 20设函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值．Ⅰ求a 、b 的值；Ⅱ若对于任意的[03]x ∈，,都有2()f x c <成立,求c 的取值范围．陕西文21已知cx bx ax x f ++=23)(在区间0,1上是增函数,在区间),1(),0,(+∞-∞上是减函数,又.23)21(='f Ⅰ求)(x f 的解析式;Ⅱ若在区间],0[m m ＞0上恒有)(x f ≤x 成立,求m 的取值范围.12．已知函数3211()(1)32f x x b x cx =+-+,① 若()f x 在1,3x x ==处取得极值,试求常数,b c 的值；② 若()f x 在()()12,,,x x -∞+∞上都是单调递增,在()12,x x 上单调递减,且满足211x x ->,求证：22(2)b b c >+14．设0≠t ,点P t ,0是函数c bx x g ax x x f +=+=23)()(与的图象的一个公共点,两函数的图象在点P 处有相同的切线. Ⅰ用t 表示a,b,c ；Ⅱ若函数)()(x g x f y -=在－1,3上单调递减,求t 的取值范围.例1已知曲线x x x y S 432:23++-=及点)0,0(P ,求过点P 的曲线S 的切线方程. 正解：设过点P 的切线与曲线S 切于点),(00y x Q ,则过点P 的曲线S 的切线斜率4220200++-='==x x y k x x ,又00x y k PQ =,00020422x yx x =++-∴;① 点Q 在曲线S 上,.432020300x x x y ++-=∴②,②代入①得002030020432422x x x x x x ++-=++-化简,得0342030=-x x ,00=∴x 或430=x .若00=x ,则4=k ,过点P 的切线方程为x y 4=；若430=x ,则835=k ,过点P 的切线方程为.835x y =∴过点P 的曲线S 的切线方程为x y 4=或.835x y =例2已知函数13)(23+-+=x x ax x f 在R 上是减函数,求a 的取值范围. 错解：,163)(2-+='x ax x f )(x f 在R 上是减函数,0)(<'∴x f 在R 上恒成立,01632<-+∴x ax 对一切R x ∈恒成立,0<∆∴,即01236<+a ,3-<∴a .正解:+='23)(ax x f 16-x ,)(x f 在R 上是减函数,∴)(x f '0≤在R 上恒成立,0≤∆∴且0<a ,即01236≤+a 且0<a ,3-≤∴a .例5函数5)()(,133)('3--=-+=ax x f x g ax x x f ,其中)('x f 是)(x f 的导函数.1对满足－1≤a ≤1的一切a 的值,都有)(x g ＜0,求实数x 的取值范围；2设a ＝－2m ,当实数m 在什么范围内变化时,函数y ＝)(x f 的图象与直线y ＝3只有一个公共点.解：1由题意()2335g x x ax a =-+-令()()2335x x a x ϕ=-+-,11a -≤≤对11a -≤≤,恒有()0g x <,即()0a ϕ<∴()()1010ϕϕ<⎧⎪⎨-<⎪⎩ 即22320380x x x x ⎧--<⎨+-<⎩解得213x -<<故2,13x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时,对满足－1≤a ≤1的一切a 的值,都有()0g x <. 2()'2233f x x m =-①当0m =时,()31f x x =-的图象与直线3y =只有一个公共点 ②当0m ≠时,列表：极大极小∴()()2211f x f x m m ==--<-极小又∵()f x 的值域是R ,且在(),m +∞上单调递增∴当x m >时函数()y f x =的图象与直线3y =只有一个公共点. 当x m <时,恒有()()f x f m ≤-由题意得()3f m -<即3221213m m m -=-<解得()()332,00,2m ∈-综上,m 的取值范围是()332,2-.例6、 1是否存在这样的k 值,使函数在区间1,2上递减,在2,+∞上递增,若存在,求出这样的k 值；2若恰有三个单调区间,试确定的取值范围,并求出这三个单调区间;解：1由题意,当时 ,当x∈2,+∞ 时 ,∴由函数的连续性可知 ,即整理得解得或验证：Ⅰ当时,∴若 ,则；若 , 则 , 符合题意；Ⅱ当时,,显然不合题意;于是综上可知,存在使在1,2上递减,在2,+∞上递增;2若 ,则 ,此时只有一个增区间 ,与题设矛盾；若 ,则 ,此时只有一个增区间 ,与题设矛盾；若 ,则并且当时,；当时,∴综合可知,当时,恰有三个单调区间：减区间；增区间点评：对于1,由已知条件得 ,并由此获得k的可能取值,进而再利用已知条件对所得k 值逐一验证,这是开放性问题中寻求待定系数之值的基本策略;例7、已知函数 ,当且仅当时,取得极值,并且极大值比极小值大4.1求常数的值；2求的极值;解：1 ,令得方程∵在处取得极值∴或为上述方程的根,故有∴ ,即①∴又∵仅当时取得极值,∴方程的根只有或 ,∴方程无实根,∴即而当时,恒成立,∴的正负情况只取决于的取值情况当x变化时,与的变化情况如下表：1 1,+∞ +0 —0 +极大值极小值∴在处取得极大值,在处取得极小值 ;由题意得整理得②于是将①,②联立,解得2由1知,点评：循着求函数极值的步骤,利用题设条件与的关系,立足研究的根的情况,乃是解决此类含参问题的一般方法,这一解法体现了方程思想和分类讨论的数学方法,突出了“导数”与“在处取得极值”的必要关系;1．已知函数2)12()(23+-+=x a ax x f ,若1-=x 是)(x f y =的一个极值点,则a 值为A ．2 C. 722.已知函数223)(a bx ax x x f +++=在1=x 处有极值为10,则)2(f = . 3．给出下列三对函数：①1)(,1)(--=-=x x g xx f ②)0()(2>=a ax x f ,ax x g =)( ③x x f )31()(-=,)log()(x x g --=；其中有且只有一对函数“既互为反函数,又同是各自定义域上的递增函数”,则这样的两个函数的导函数分别是)(x f ' ,=')(x g .4．已知函数1)2(33)(23++++=x a ax x x f 有极大值和极小值,求a 的取值范围.5．已知抛物线22+-=x y ,过其上一点P 引抛物线的切线l ,使l 与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积最小,求l 的方程.6．设43241)(y xy x y g -+-=在[]0,1-∈y 上的最大值为)(x f ,R x ∈,1求)(x f 的表达式；2求)(x f 的最大值.设a ∈R ,233)(x ax x f -=．Ⅰ若2=x 是函数)(x f y =的极值点,求a 的值；Ⅱ若函数()()()[02]g x f x f x x '=+∈，，,在0=x 处取得最大值,求a 的取值范围．解：Ⅰ2()363(2)f x ax x x ax '=-=-．因为2x =是()y f x =的极值点,所以(2)0f '=,即6(22)0a -=,因此1a =．经验证,当1a =时,2x =是函数()y f x =的极值点． ·········· 4分 Ⅱ由题设,3222()336(3)3(2)g x ax x ax x ax x x x =-+-=+-+．当()g x 在区间[02]，上的最大值为(0)g 时,(0)(2)g g ≥, 即02024a -≥．故得65a ≤． ············ 9分反之,当65a ≤时,对任意[02]x ∈，,23(210)5x x x =+-3(25)(2)5xx x =+-0≤, 而(0)0g =,故()g x 在区间[02]，上的最大值为(0)g ．综上,a 的取值范围为65⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，． ················· 12分3 已知是函数的一个极值点,其中Ⅰ求与的关系表达式；Ⅱ求的单调区间；Ⅲ当时,函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m,求的取值范围;解析：1本小题主要考查了导数的概念和计算,应用导数研究函数单调性的基本方法以及函数与方程的思想,第2小题要根据的符号,分类讨论的单调区间；第3小题是二次三项式在一个区间上恒成立的问题,用区间端点处函数值的符号来表示二次三项式在一个区间上的符号,体现出将一般性问题特殊化的数学思想;解答：Ⅰ ,是函数的一个极值点∴∴；Ⅱ令 ,得与的变化如下表：1—0 + 0 —单调递减极小值单调递增极大值单调递减因此,的单调递减区间是和；的单调递增区间是；Ⅲ由Ⅱ即令 ,且 ,即m的取值范围是 ;4已知函数 ;Ⅰ求的单调区间和值域；Ⅱ设 ,函数 ,若对于任意 ,总存在 ,使得成立,求的取值范围;解析：本题考查导数的综合运用,考查综合运用数学知识解决问题能力,考查思维及推理能力以及运算能力,本题入手点容易,Ⅰ中对分式函数定区间内单调性与值域问题,往往以导数为工具,Ⅱ是三次函数问题,因而导数法也是首选,若成立,则二次函数值域必满足关系,从而达到求解目的;解：Ⅰ由得或 ;∵∴舍去则 , ,变化情况表为：0 1—0 +↘↗因而当时为减函数；当时为增函数；当时,的值域为；Ⅱ因此,当时因此当时为减函数,从而当时有又 ,即当时有任给 , ,存在使得则由1得或 ,由2得又故的取值范围为 ;5 已知 ,函数1当为何值时,取得最小值证明你的结论；2设在上是单调函数,求的取值范围;解析：本题考查导数的概念和计算,应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力,本题Ⅰ常规题型,方法求 ,解的根,列表,确定单调性,并判断极值点,对Ⅱ由Ⅰ在上单调,而 ,因此只要即满足题设条件,从中解出的范围;解答：Ⅰ令则从而,其中当变化时, ,的变化情况如下表+ 0 —0 +↗极大值↘极小值↗∴在处取得极大值,处取得极小值当时 , ,且在为减函数,在为增函数而当时 ,当时∴当时取最小值；Ⅱ当时在上为单调函数的充要条件是,解得综上,在上为单调函数的充要条件为 ,即的取值范围为 ;6.已知 ,函数Ⅰ当时,求使成立的成立的的集合；Ⅱ求函数在区间上的最小值;答案：Ⅰ｛0,1,｝。

高二文科导数求导练习题

高二文科导数求导练习题1. 求导函数：f(x) = 3x^2 - 2x + 5我们将使用导数的定义来求解这个练习题。

首先，我们需要确定函数f(x)在给定的区间内是可导的。

在这种情况下，我们不需要担心定义域或间断点。

根据导数的定义，导数f'(x)为函数f(x)在x点的极限值：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)] / h我们将使用极限的性质来简化这个表达式。

首先，我们计算f(x+h)：f(x+h) = 3(x+h)^2 - 2(x+h) + 5= 3(x^2 + 2xh + h^2) - 2x - 2h + 5= 3x^2 + 6xh + 3h^2 - 2x - 2h + 5接下来，我们计算f(x+h) - f(x)：f(x+h) - f(x) = (3x^2 + 6xh + 3h^2 - 2x - 2h + 5) - (3x^2 - 2x + 5)= 6xh + 3h^2 - 2h现在我们可以将此结果代入到导数的定义中：f'(x) = lim(h->0) [6xh + 3h^2 - 2h] / h我们可以通过取消分式中的h来简化上述表达式：f'(x) = lim(h->0) 6x + 3h - 2最后，当h趋近于0时，只有常数项6x会影响极限的结果：f'(x) = 6x最后的结果表明，在给定的区间内，函数f(x)的导数f'(x)是6x。

2. 求导函数：g(x) = sqrt(x^3) + 2x与第一个练习题相似，我们将使用导数的定义来求解这个问题。

同样地，我们需要确定函数g(x)在给定的区间内是可导的。

根据导数的定义，导数g'(x)为函数g(x)在x点的极限值：g'(x) = lim(h->0) [g(x+h) - g(x)] / h首先，我们计算g(x+h)：g(x+h) = sqrt((x+h)^3) + 2(x+h)= sqrt(x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3) + 2x + 2h接下来，我们计算g(x+h) - g(x)：g(x+h) - g(x) = (sqrt(x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3) + 2x + 2h) - (sqrt(x^3) + 2x)= sqrt(x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3) + 2x + 2h - sqrt(x^3) - 2x= sqrt(x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3) - sqrt(x^3) + 2h现在我们可以将此结果代入到导数的定义中：g'(x) = lim(h->0) [sqrt(x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3) - sqrt(x^3) + 2h] / h将分式中的h进行约分，我们可以得到：g'(x) = lim(h->0) [(sqrt(x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3) - sqrt(x^3)) / h + 2]当h趋近于0时，我们只需要考虑第一项中的根式部分，其他项不会影响极限的结果：g'(x) = lim(h->0) [(sqrt(x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3) - sqrt(x^3)) / h]为了使计算更加便捷，我们将使用导函数的性质。

高中高二文科数学期末总结复习导数练习试题.docx

导数专练答案一、选择题1．下列函数求导运算正确的个数为 ()1①(3x )′＝ 3x log 3e ；②(log 2x)′＝ x ·ln 2；③(e x )′＝ e x ；④⑤ (x ·e x )′＝ e x ＋1.1ln x ′＝ x ；A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】①(3x)′＝ 3xln 3；② (log 2x)′＝1 ；③ (e x)′＝ e x；④xln 21′＝－1x＝－1；⑤(x ·e x′＝ x＋x ·e x ＝e x＋，故选ln xln x 2x ·ln x 2) e (x 1)B.2. 曲线 yA ． y D ． y 4x3．函数 f2在点 P(1,3) 处的切线方程为（）2 x 1 4 x 1 B ． y 4x 7C ． y 4 x 17x 的定义域为 a, b ，导函数 fx 在 a,b 内的图像如图所示，则函数 f x 在 a, b 内有极小值点A ．1 个B．2 个C．3 个D．4个14．(2012 ·辽宁高考 )函数 y ＝2x 2－ln x 的单调递减区间为 ()A ． ( － 1,1]B ． (0,1]C ． [1 ，＋ ∞ )D ．(0，＋∞ )1【解析】由题意知，函数的定义域为 (0，＋∞ )，又由 y ′＝ x －x ≤ 0，解得 0<x ≤1，所以函数的单调递减区间为 (0,1]．【答案】 B5.【2012 高考陕西文 9】设函数 f （x ）= 2+lnx 则（）xA ．x= 1是 f(x) 极大值点 B ．x=1是 f(x) 极小值点 C ．x=2 是 f(x) 极22大值点 D ．x=2 是 f(x) 极小值点【解析】 f ' x21x2，令 f ' x0 ，则 x 2 ．x2x x2当 x 2 时， f x是单调递减的；当 x 2 时， f x 是单调递增的．所以 x 2 是 f x 的极小值点．故选D．6.若函数 f (x) x3 3x a 在区间 [0,3] 上的最大值、最小值分别为M、N，则 M N 的值为（）A．2B．4C．18D．207．（山东省烟台市2014 届高三 3 月）函数 f(x)=1nx-1x2的图像大致是 ()2【答案】函数的定义域为 { x x0} ,函数的导数微微 f '(x)1x1x2,x x由 f '(x) 1 x20 得,0x 1, 即增区间为(0,1) . 由f '(x)1x20 x x得 , x 1, 即减区间为(1,) ,所以当 x 1 时,函数取得极大值,且10 ,所以选B.f (1)28. （临沂市2014 届高三 5 月）曲线y e x在点A 处的切线与直线x y 3 0 平行,则点A的坐标为(A) 1,e1(B)0,1(C)1,e(D)0,2【答案】 B直线 x y30 的斜率为1,所以切线的斜率为1, 因为y 'e x,所以由 y 'e x 1 ,解得 x0,此时y e0 1 ,即点A的坐标为 0,1 ,选 B.、[2014·辽宁卷]当∈－，1]时，不等式3－x2＋4x＋3≥0 恒成9x[2ax立，则实数 a 的取值范围是A．[－5，－ 3] B. －6，－C．[－6，－ 2]D．[－4，－983]10．[2014 ·新课标全国卷Ⅱ ] 若函数 f(x)＝kx－ln x 在区间 (1，＋∞ ) 单调递增，则 k 的取值范围是A ．(－∞，－ 2]B．(－∞，－ 1]C．[2 ，＋∞ )D．[1，＋∞ )二、填空题11. .曲线y sin x在点 M ( ,0) 处的切线方程为x12、已知函数f ( x)x3ax2bx a 2在x=1处有极值为10，则f(2)等于____________.13．已知函数f ( x)x3ax 在R上有两个极值点，则实数 a 的取值范围是14．（山东省实验中学 2014 届高三第二次诊断）若函数f ( x)x33x a 有三个不同的零点 , 则实数a的取值范围是 ____________.【答案】 (2,2) 【解析】由f ( x) x33x a0 ,得 f '(x)3x2 3 ,当f '(x) 3x230 ,得 x 1 ,由图象可知f极大值(1)=2 a， f极小值 (1)=a 2 ,要使函数 f ( x) x33x a有三个不同的零点 ,则有f极大值 ( 1)=2 a 0, f极小值 (1)=a 2 0 ,即 2 a 2 ,所以实数 a 的取值范围是 ( 2, 2) .15．（山东省泰安市2014 届高三上学期期末）已知函数f x的定义域为1,5 ,部分对应值如下表, f x 的导函数 y f x 的图像如图所示若函数 y f xa 有 4 个零点 , 则 a 的取值范围为 __________.【答案】【解析】由导数图象可知 , 当1 x 0或2 x 4时,f '(x) 0,[1,2)函数递增 . 当 0 x 2 或 4 x 5 时 , f '( x)0 , 函数递减 . 所以在 x2 处,函数取得极小值 . 由 yf xa 0 得 f x a .由图象可知 , 要使函数 y f x a 有 4 个零点 , 由图象可知 1a 2, 所以 a 的取值范围为 1 a 2 , 即[1,2) .三、解答题． ·重庆卷 ] 已知函数f(x) ＝x ＋a－ln x －3，其中 a ∈ R ，且曲 16 [2014 4 x 21线 y ＝f(x)在点 (1，f(1))处的切线垂直于直线 y ＝2x.(1)求 a 的值； (2)求函数 f(x)的单调区间与极值．1 a 1解： (1)对 f(x)求导得 f ′(x)＝4－x 2－x ，由 f(x)在点 (1，f(1))处的切线垂直于直线 y ＝1知 f ′ ＝－ 3－a ＝－ 2，解得 a ＝52x(1) 44.(2) 由 (1)知 f(x) ＝ x ＋ 5－ln x －3，则 f ′(x)＝ x 2－4x －5 令 ′(＝，解得 4 4x 2 4x 2. f x) 0 x ＝－ 1 或 x ＝5.因为 x ＝－ 1 不在 f(x)的定义域 (0，＋∞ )内，故舍去．当x∈(0，5)时，f′(x)＜0，故f(x)在(0，5)上为减函数；当x∈(5，＋∞)时， f′(x)＞0，故 f(x)在(5，＋∞ )上为增函数．由此知函数 f(x)在 x ＝5 时取得极小值 f(5)＝－ ln 5.、·福建卷]已知函数f(x)＝x－ax(a 为常数 )的图像与 y 轴交17 [2014e于点 A，曲线 y＝f(x)在点 A 处的切线斜率为－ 1.(1)求a的值及函数f(x)的极值；证明：当＞时，2＜e x；(2)x 0x解： (1)由 f(x)＝e x－ax，得 f′(x)＝e x－a.又 f′(0)＝1－a＝－ 1，得 a＝2.所以 f(x)＝e x－2x，f′(x)＝e x－2.令f′(x)＝0，得 x＝ln 2.当x＜ln 2 时， f′(x)＜0，f(x)单调递减；当 x＞ln 2 时， f′(x)＞0，f(x)单调递增．所以当 x＝ln 2 时， f(x)有极小值，且极小值为f(ln 2) ＝e ln 2－2ln 2＝2－l n 4，f(x)无极大值．(2)证明：令 g(x)＝e x－x2，则 g′(x)＝e x－2x.由(1)得， g′(x)＝f(x)≥f(ln 2)＝2－ln 4＞0，即 g′(x)＞0.所以 g(x)在 R 上单调递增，又 g(0)＝1＞0，所以当 x＞0 时，g(x)＞g(0)＞0，即 x2＜e x.18．（【解析】山东省济南市2013 届高三上学期期末考试文科数学）1已知函数 f x 2 a ln x2ax(a 0) .x(1)当 a 0 时,求 f x 的极值;(2)当 a 0 时,讨论 f x 的单调性;【答案】解 :(1)当 a0 时,f x 2ln x 1, f x212x 1(x 0). x x x2x2由2x1,解得1∴ f x 在 0,1上是减函数 , 在1,上是增函数22∴ f x 的极小值为1 2 2ln 2 , 无极大值f2(2)2 a 1 2a2ax 22 a x 1 ax 1 2 x 1(x 0)f xx 2 x 2x 2x①当 2 a 0 时, f x 在 0, 1和1 , 2a上是减函数 , 在1, 1上是2a增函数 ;②当 a 2 时, f x 在 0, 上是减函数 ;③当 a2 时, f x 在1,和 0, 1 上是减函数 , 在1 , 1 上是增2aa 2函数19．（【解析】山东省实验中学2013 届高三第一次诊断性测试数学（文）试题）已知 f ( x) x 2 ax 1nx, aR .(1) 若 a=0 时, 求函数 y f ( x) 在点 (1, f ( x) ) 处的切线方程 ;(2) 若函数 f ( x) 在[1,2] 上是减函数 , 求实数 a 的取值范围 ;(3) 令 g( x) f ( x) x 2 , 是否存在实数 a, 当 x (0, e]( e 是自然对数的底 ) 时,函数 g( x) 的最小值是 3, 若存在 , 求出 a 的值 ; 若不存在 , 说明理由 .20．（【解析】山东省济宁市2013 届高三第一次模拟考试文科数学）已知函数 f ( x ) ln x a .x(I) 若a>0, 试判断f ( x )在定义域内的单调性 ;3( Ⅱ) 若f ( x )在[1,e] 上的最小值为,求 a 的值;2(III) 若f ( x )x2在(1,+ )上恒成立,求a的取值范围【答案】解 (I)由题意知 f ( x)的定义域为(0,+∞),1 a x＋a且f′(x)=x+x2 = x2∵a>0,∴f′(x)>0,故 f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数x＋a(II) 由(I) 可知 ,f′(x)= x2 .①若 a≥-1,则 x+a≥0,即 f′(x)≥0 在[1,e]上恒成立 ,此时 f(x)在[1,e]上为增函数 ,3 3∴f(x)min=f(1)=-a=2,∴a=-2(舍去 )②若 a≤-e,则 x+a≤0,即 f′(x)≤0 在[1,e]上恒成立 ,a 3e∴f(x)min=f(e)=1-e=2,∴a=-2(舍去 )③若 -e<a<-1,令 f′(x)=0 得 x=-a,当1<x<-a 时,f′(x)<0,∴f(x)在(1,-a)上为减函数 ;当-a<x<e 时,f′(x)>0,∴f(x)在(-a,e)上为增函数 ,3∴f(x)min=f(-a)=ln(- a)+1=2,∴a=- e.综上所述 ,a=- ea(Ⅲ)∵f(x)<x2,∴ln x-x<x2.又x>0,∴a>xln x-x3令g(x)=xln x-x3,h(x)=g′(x)=1+ln x-3x2,11－6x2h′(x)=x-6x= x .∵x∈(1,+∞)时,h′(x)<0,∴h(x)在(1,+∞)上是减函数 .∴h(x)<h(1)=-2<0,即 g′(x)<0,∴g(x)在(1,+∞)上也是减函数 .g(x)<g(1)=-1,∴当 a≥-1 时,f(x)<x2在(1,+∞ )上恒成立21.(14 分)(2014 ·淄博模拟)已知 f(x) ＝ax－ln x ，a∈R.(1) 当 a＝2 时，求曲线 f(x) 在点 (1 ，f(1)) 处的切线方程；(2)若 f(x) 在 x＝1 处有极值，求 f(x) 的单调递增区间；(3)是否存在实数 a，使 f(x) 在区间 (0，e] 的最小值是 3？若存在，求出 a 的值；若不存在，请说明理由．(1) 由已知得 f(x) 的定义域为 (0 ，＋∞)，1∵f(x) ＝ax －ln x ，∴f ′(x)＝a －，x当 a ＝ 2 时， f(x) ＝2x －ln x ，∴f(1) ＝2，1 1∵f ′(x) ＝2－，∴f ′(1)＝2－＝1 .(2 分)x 1∴曲线 f(x) 在点 (1，f(1)) 处的切线方程为 y －2 ＝f ′(1)(x －1)，即 x－ y ＋1＝0.(4 分)(2) ∵f(x) 在 x ＝ 1 处有极值，∴ f ′(1) ＝0，由 (1) 知 f ′(1) ＝a －1，∴ a ＝1 ，经检验， a ＝1 时 f(x) 在 x ＝1 处有极值． (6 分)1∴f(x) ＝x －ln x ，令 f ′(x) ＝1－＞0，解得 x ＞1 或 x ＜0; ∵f(x)x的定义域为 (0，＋∞)，∴f ′(x) ＞0 的解集为 (1 ，＋∞)，即 f(x) 的单调递增区间为 (1，＋∞)． (8 分)(3) 假设存在实数 a ，使 f(x) ＝ax －ln x(x ∈(0 ，e]) 有最小值 3，①当 a ≤0 时，∵x ∈(0，e] ，∴f ′(x)＜0 ，∴f(x) 在(0 ，e] 上单调递4减， f(x) min ＝f(e) ＝ae －1 ＝3，解得 a ＝ (舍去 )．(10 分)e②当1 时，在 0， 1 10 ＜＜e上单调递减，在，e 上单调递af(x)aa1＝1 ＋ln a ＝3，解得 a ＝ e 2，满足条件．(12 分)增， f(x) min ＝fa1③当 ≥e 时，∵x ∈(0 ，e] ，∴f ′(x) ＜0，∴ f(x) 在(0 ，e] 上单调递a4减， f(x) min ＝f(e) ＝ae －1 ＝3，解得 a ＝ (舍去 )．e综上，存在实数 a ＝e 2，使得当 x ∈(0，e] 时，f(x) 有最小值 3.(14 分)。

高中文科数学导数经典题型

高中文科数学导数经典题型
“函数关系背后的微分之旅：是收获还是挣扎？”
高中文科数学中的导数经典题型是非常重要的，它有助于加强学生的数学基本知识和技能，加深理解。

下面是一些常见的导数经典题型：
一、求函数的导数：
1、求一元函数的导数，包括多项式函数，指数函数，对数函数等。

2、求多元函数的一阶偏导数，如求直线、椭圆、圆、抛物线等函数的一阶偏导数。

二、解微分方程：
1、利用教材解决一阶常微分方程，包括恒定系数、变量系数、分段函数等类型的微分方程。

2、求非线性微分方程的解，包括二阶解函数、多项式的解、指数函数的解。

三、求极值问题：
1、求函数极值问题，包括单个变量和多变量函数极值问题，采用夹逼法求解。

2、求有限区间函数的极值，通过求和来解决问题。

四、建模：
1、用数学建模法解决实际问题，构建相应的导数函数对给定问题求解。

2、建立对应的微分不等式和微分关系，应用不等式有解的性质求解解。

以上就是我们通常所涉及的关于高中文科数学中的导数经典题型的介绍，它们是关键的基础，必须得到良好的掌握。

习题练习是最好的方法，只有不断的努力，才能更好的理解导数的概念，加深对导数的知
识的认识。

高考文科数学导数真题汇编(带答案)

高考文科数学导数真题汇编(带答案)高考数学文科导数真题汇编答案一、客观题组4.设函数f(x)在R上可导，其导函数f'(x)，且函数f(x)在x=-2处取得极小值，则函数y=xf'(x)的图象可能是。

5.设函数f(x)=x^2-2x，则f(x)的单调递减区间为。

7.设函数f(x)在R上可导，其导函数f'(x)，且函数f(x)在x=2处取得极大值，则函数y=xf'(x)的图象可能是。

8.设函数f(x)=1/(2x-lnx)，则x=2为f(x)的极小值点。

9.函数y=1/(2x-lnx)的单调递减区间为(0,1]。

11.已知函数f(x)=x^2+bx+c的图象经过点(1,2)，且在点(2,3)处的切线斜率为4，则b=3.12.已知函数f(x)=ax^2+bx+c的图象过点(1,1)，且在点(2,3)处的切线斜率为5，则a=2.二、大题组2011新课标】21.已知函数f(x)=aln(x/b)+2，曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+2y-3=0.(1) 求a、b的值；(2) 证明：当x>1，且x≠b时，f(x)>2ln(x/b)。

解析】1) f'(x)=a/(xlnb)+2/x，由于直线x+2y-3=0的斜率为-1/2，且过点(1,f(1))，解得a=1，b=1.2) 由(1)知f(x)=ln(x)+1，所以f(x)-2ln(x/b)=ln(x/b)+1>0，当x>1，且x≠b时，f(x)>2ln(x/b)成立。

2012新课标】21.设函数f(x)=ex-ax-2.(1) 求f(x)的单调区间；(2) 若a=1，k为整数，且当x>0时，(x-k)f'(x)+x+1>0，求k的最大值。

解析】1) f(x)的定义域为(-∞,+∞)，f'(x)=ex-a，若a≤0，则f'(x)>0，所以f(x)在(-∞,+∞)单调递增。

数学高二导数知识点及题型

数学高二导数知识点及题型导数是高中数学中的重要概念之一，对于高二学生来说，熟练掌握导数的相关知识点和解题方法是非常重要的。

本文将介绍高二数学中的导数知识点和相关题型，帮助同学们更好地理解和掌握这一内容。

一、导数的定义及基本概念在介绍导数知识点之前，我们首先来了解一下导数的定义和基本概念。

导数可以理解为函数在某一点处的变化率，可以用极限的概念来定义。

对于函数y=f(x)，在点x处的导数定义如下：f'(x)=lim(f(x+Δx)-f(x))/Δx，其中Δx是一个无限逼近于0的数。

导数表示了函数在该点处的瞬时变化率，可以解释为函数图像的切线斜率。

二、导数的计算规则计算导数时，我们可以利用一些基本的计算规则，便于简化运算和求导的过程。

下面是常用的导数计算规则：1. 常数项导数为0：若y=c，其中c为常数，则y' = 0。

2. 变量的幂次导数：对于y = x^n，其中n为常数，则y' =nx^(n-1)。

3. 常见函数的导数：常见函数的导数公式如下：a) 常数函数，如y = c，其中c为常数，则y' = 0。

b) 幂函数，如y = x^n，其中n为常数，则y' = nx^(n-1)。

c) 指数函数，如y = a^x，其中a为常数，e为自然对数的底，则y' = a^x * lna。

d) 对数函数，如y = loga(x)，其中a为常数且不等于1，则y'=1/(x * lna)。

e) 三角函数，如y = sin(x)，则y' = cos(x)；如y = cos(x)，则y' = -sin(x)。

三、导数的应用导数不仅仅是一个数学概念，还有很多实际应用。

下面是导数在实际问题中的应用：1. 切线与曲线的关系：利用导数的概念，我们可以求解曲线上某一点处的切线方程，进而研究曲线的变化趋势和性质。

2. 极值问题：导数可以帮助我们判断函数的极值点。

高中文科导数知识点汇总

导数公式及知识点1、函数的单调性(1)设2121],,[x x b a x x <∈、那么],[)(0)()(21b a x f x f x f 在⇔<-上是增函数；],[)(0)()(21b a x f x f x f 在⇔>-上是减函数.(2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，若0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；若0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.2、函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-.3、几种常见函数的导数①'C 0=；②1')(-=n n nx x ； ③x x cos )(sin '=；④x x sin )(cos '-=；⑤a a a x x ln )('=；⑥x x e e =')(； ⑦a x x a ln 1)(log '=；⑧xx 1)(ln '= 4、导数的运算法则（1）'''()u v u v ±=±. （2）'''()uv u v uv =+. （3）'''2()(0)u u v uv v v v -=≠. 5、会用导数求单调区间、极值、最值6、求函数()y f x =的极值的方法是：解方程()0f x '=．当()00f x '=时：(1) 如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么()0f x 是极大值；(2) 如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么()0f x 是极小值．1.导数与单调性：导数及其应用1) 一般地，设函数 y = f ( x) 在某个区间可导，如果 f ′( x ) > 0 ，则 f ( x ) 为增函数；如果 f ′( x) < 0 ，则 f ( x) 为减函数；如果在某区间内恒有 f ′( x) = 0 ，则 f ( x) 为常数；对于可导函数 y = f ( x) 来说， f ′( x ) > 0 是 f ( x ) 在某个区间上为增函数的充分非必要条件， f ′( x ) < 0 是 f ( x ) 在某个区间上为减函数的充分非必要条件；2)利用导数判断函数单调性的步骤：①求函数 f ( x ) 的导数 f ′( x ) ；②令 f ′( x ) > 0 解不等式，得 x 的范围，就是递增区间；③令 f ′( x) < 0 解不等式，得 x 的范围，就是递增区间。

高二寒假第八讲导数提高篇(文科)

导数辅导教案1.求函数()ln f x x x 的单调性2.求函数327()212f x x x x =-++的极值.1.对数函数求导公式的遗忘2.求函数的单调性、极值前，忘了考虑单调性3.求极值的时候，对判定极大、极小值的方法模糊题型一利用定义求函数的导数(1)求函数f (x )的导数步骤：①求函数值的增量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)；①计算平均变化率Δy Δx ＝f x 2－f x 1x 2－x 1； ①计算导数f ′(x )＝lim Δx →0 Δy Δx. (2)利用定义法求解f ′(a )，可以先求出函数的导数f ′(x )，然后令x ＝a 即可求解，也可直接利用定义求解．题型一利用定义求函数的导数例1 用定义法求函数f (x )＝x 2－2x －1在x ＝1处的导数．题型二导数的运算有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒第五步：(反思)反思回顾，查看关键点，易错点和解题规范．例6 (2014·四川改编)已知函数f (x )＝e x －ax 2－bx －1，其中a ，b ①R ，e ＝2.71828…为自然对数的底数．1．设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0的值为( )A ．e 2B ．e C.ln 22D ．ln 22．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2x ·f ′(1)＋ln x ，则f ′(1)等于( )A ．－eB ．－1C ．1D ．e3．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为( )A ．4B ．－14C ．2D ．－124．函数y ＝(3－x 2)e x 的单调递增区间是( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)5.若函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x )的图象可能为( )6．设a ①R ，若函数y ＝e x ＋ax 有大于零的极值点，则( )A ．a <－1B ．a >－1C ．a >－1eD ．a <－1e 7.函数2()(0)f x x x x =+>的单调减区间是（） A.(2,+∞) B.(0,2) C.(2,+∞) D.(0, 2)导数的基本含义：1．f ′(x 0)代表函数f (x )在x ＝x 0处的导数值；(f (x 0))′是函数值f (x 0)的导数，而函数值f (x 0)是一个常数，其导数一定为0，即(f (x 0))′＝0.2．对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．导数的应用：1．注意单调函数的充要条件，尤其对于已知单调性求参数值(范围)时，隐含恒成立思想．2．求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全；含参数时，要讨论参数的大小．3．在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较．1. 求下列函数的导数（1）14020224+--=x x x y（2）234312456y x x x x x =++--（3）)3)(12(23x x x y ++=2.___________,2)(,ln )(00'===x x f x x x f 则3.曲线23y x x =+在2x =处的切线的斜率为_________.4.已知曲线31433y x =+，求过点()2,4P 的切线方程5.判断下列函数的单调性，并求出单调区间：（1）3()9f x x x =+；（2）321()3853f x x x x =-++；（3）1()f x x =6.求函数ln ()x f x x=的单调区间.7. 函数()f x 的导函数图象如下图所示，则函数()f x 在图示区间上（）A ．无极大值点，有四个极小值点B ．有三个极大值点，两个极小值点C ．有两个极大值点，两个极小值点D ．有四个极大值点，无极小值点8．已知f (x )是可导的函数，且f ′(x )<f (x )对于x ①R 恒成立，则( )A ．f (1)<e f (0)，f (2 016)>e 2 016f (0)B ．f (1)>e f (0)，f (2 016)>e 2 016f (0)C ．f (1)>e f (0)，f (2 016)<e 2 016f (0)D ．f (1)<e f (0)，f (2 016)<e 2 016f (0)9. 求函数32()392f x x x x =--+在区间[]1,1-上的最值.1.试判断函数()32()4f x x ax x a R =+-∈的单调性.O y x11。

高二数学导数模块知识点总结(3篇)

高二数学导数模块知识点总结（3篇）高二数学导数模块知识点总结（精选3篇）高二数学导数模块知识点总结篇1导数：导数的意义-导数公式-导数应用(极值最值问题、曲线切线问题)1、导数的定义：在点处的导数记作：2、导数的几何物理意义：曲线在点处切线的斜率①=f/(_0)表示过曲线=f(_)上P(_0,f(_0))切线斜率。

V=s/(t)表示即时速度。

a=v/(t)表示加速度。

3、常见函数的导数公式:4、导数的四则运算法则：5、导数的应用：(1)利用导数判断函数的单调性：设函数在某个区间内可导,如果,那么为增函数;如果,那么为减函数;注意：如果已知为减函数求字母取值范围,那么不等式恒成立。

(2)求极值的步骤：①求导数;②求方程的根;③列表：检验在方程根的左右的符号，如果左正右负,那么函数在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么函数在这个根处取得极小值;(3)求可导函数最大值与最小值的步骤：ⅰ求的根;ⅱ把根与区间端点函数值比较,最大的为最大值,最小的是最小值。

导数与物理，几何，代数关系密切：在几何中可求切线;在代数中可求瞬时变化率;在物理中可求速度、加速度。

学好导数至关重要，一起来学习高二数学导数的定义知识点归纳吧!导数是微积分中的重要基础概念。

当函数=f(_)的自变量_在一点_0上产生一个增量Δ_时，函数输出值的增量Δ与自变量增量Δ_的比值在Δ_趋于0时的极限a如果存在，a即为在_0处的导数，记作f(_0)或df(_0)/d_。

导数是函数的局部性质。

一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。

如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。

导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。

例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。

不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。

若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。

高二文科数学导数知识点及基本题型

（4）基本初等函数的导数公式表及求导法则（默写）（5）函数单调性与导数：在某个区间(,)a b 内，如果'()0f x >，那么函数()y f x =在这个区间内；如果'()0f x <，那么函数()y f x =在这个区间内．说明：（1）特别的，如果'()0f x =，那么函数()y f x =在这个区间内是常函数．（6）求解函数()y f x =单调区间的步骤：（7）求可导函数f (x )的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间，求导数f ′(x (2)求方程f ′(x )=0的根(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值（8）函数的最值与导数：一般地，在闭区间[]b a ,上函数()y f x =的图像是一条连续不断的曲线，那么函数()y f x =在[]b a ,上必有．二、典型例题1、曲线y ＝x x －2在点(1，－1)处的切线方程为 ( ) A ．y ＝x －2 B ．y ＝－3x ＋2 C ．y ＝2x －3D ．y ＝－2x ＋12、函数x x y ln =在区间 ( )(A) )1,0(e 上单调递减 (B) ),1(+∞e 上单调递减(C) ),0(+∞上单调递减 (D) ),0(+∞上单调递增3、若函数()()2f x x x c =-在2x =处有极大值，则常数c 的值为_________；4、函数x ex x f -⋅=)(的一个单调递增区间是（） (A)[]0,1- (B) []8,2 (C) []2,1 (D) []2,05、函数x x x f 12)(3-=的极值是6、已知函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如下，则( )A ．函数f (x )有1个极大值点，1个极小值点B ．函数f (x )有2个极大值点，2个极小值点C ．函数f (x )有3个极大值点，1个极小值点D ．函数f (x )有1个极大值点，3个极小值点7、已知)0()(23≠++=a cx bx ax x f 在1±=x 时取得极值，且1)1(-=f ．Ⅰ、试求常数a 、b 、c 的值；Ⅱ、试判断1±=x 是函数的极小值点还是极大值点，并说明理由．三、练习1、（基础题）设y ＝8x 2－ln x ，则此函数在区间(0，14)和(12，1)内分别( )A ．单调递增，单调递减B ．单调递增，单调递增C ．单调递减，单调递增D ．单调递减，单调递减2、（基础题）函数y =x 2（x －3）的减区间是3、（基础题）函数b ax x x f +-=3)(3)0(>a 的极大值为6，极小值为2，（Ⅰ）求实数b a ，的值. （Ⅱ）求)(x f 的单调区间.4、（基础题）已知函数y ＝f (x )＝ln x x. (1)求函数y ＝f (x )的图象在x ＝1e处的切线方程； (2)求y ＝f (x )的最大值；(3)设实数a ＞0，求函数F (x )＝af (x )在[a,2a ]上的最小值（选做）5、（基础题）设f （x ）=x 3－22x －2x +5. （1）求f （x ）的单调区间；（2）当x ∈［1，2］时，f （x ）<m 恒成立，求实数m 的取值范围.6、（提高题，选做）设函数ax x x a x f +-=22ln )(，0>a（Ⅰ）求)(x f 的单调区间；（Ⅱ）求所有实数a ，使2)(1e x f e ≤≤-对],1[e x ∈恒成立．注：e 为自然对数的底数．。

高考文科数学导数专题复习

高考文科数学导数专题复习第1讲变化率与导数、导数的计算知识梳理1.导数的概念1函数y ＝fx 在x ＝x 0处的导数f ′x 0或y ′|x ＝x 0,即f ′x 0＝0lim x ∆→错误!. 2函数fx 的导函数f ′x ＝0lim x ∆→错误!为fx 的导函数. 2.导数的几何意义函数y ＝fx 在点x 0处的导数的几何意义,就是曲线y ＝fx 在点Px 0,fx 0处的切线的斜率,过点P 的切线方程为y －y 0＝f ′x 0x －x 0.3.基本初等函数的导数公式4.导数的运算法则若f ′x ,g ′x 存在,则有：考点一导数的计算例1 求下列函数的导数：1y ＝e x ln x ；2y ＝x 错误!；解 1y ′＝e x ′ln x ＋e x ln x ′＝e x ln x ＋e x 错误!＝错误!e x .2因为y ＝x 3＋1＋错误!, 所以y ′＝x 3′＋1′＋错误!′＝3x 2－错误!.训练1 1 已知函数fx 的导函数为f ′x ,且满足fx ＝2x ·f ′1＋ln x ,则f ′1等于A.－eB.－1解析由fx＝2xf′1＋ln x,得f′x＝2f′1＋错误!,∴f′1＝2f′1＋1,则f′1＝－1.答案B22015·天津卷已知函数fx＝ax ln x,x∈0,＋∞,其中a为实数,f′x为fx的导函数.若f′1＝3,则a的值为________.2f′x＝a错误!＝a1＋ln x.由于f′1＝a1＋ln 1＝a,又f′1＝3,所以a＝3.答案23考点二导数的几何意义命题角度一求切线方程例22016·全国Ⅲ卷已知fx为偶函数,当x≤0时,fx＝e－x－1－x,则曲线y＝fx在点1,2处的切线方程是________.解析1设x>0,则－x<0,f－x＝e x－1＋x.又fx为偶函数,fx＝f－x＝e x－1＋x,所以当x>0时,fx＝e x－1＋x.因此,当x>0时,f′x＝e x－1＋1,f′1＝e0＋1＝2.则曲线y＝fx在点1,2处的切线的斜率为f′1＝2,所以切线方程为y－2＝2x－1,即2x－y＝0.答案2x－y＝0训练22017·威海质检已知函数fx＝x ln x,若直线l过点0,－1,并且与曲线y＝fx相切,则直线l的方程为＋y－1＝0 －y－1＝0 ＋y＋1＝0 －y＋1＝02∵点0,－1不在曲线fx＝x ln x上,∴设切点为x0,y0.又∵f′x＝1＋ln x,∴错误!解得x＝1,y0＝0.∴切点为1,0,∴f′1＝1＋ln 1＝1.∴直线l的方程为y＝x－1,即x－y－1＝00.答案B命题角度二求切点坐标例32017·西安调研设曲线y＝e x在点0,1处的切线与曲线y＝错误!x>0上点P处的切线垂直,则P的坐标为________.解析由y′＝e x,知曲线y＝e x在点0,1处的切线斜率k1＝e0＝1.设Pm,n,又y＝错误!x>0的导数y′＝－错误!,曲线y＝错误!x>0在点P处的切线斜率k2＝－错误!.依题意k1k2＝－1,所以m＝1,从而n＝1.则点P的坐标为1,1.答案1,1训练3若曲线y＝x ln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0,则点P的坐标是________.解析1由题意得y′＝ln x＋x·错误!＝1＋ln x,直线2x－y＋1＝0的斜率为2.设Pm,n,则1＋ln m＝2,解得m＝e,所以n＝eln e＝e,即点P的坐标为e,e. 答案1e,e命题角度三求与切线有关的参数值或范围例42015·全国Ⅱ卷已知曲线y＝x＋ln x在点1,1处的切线与曲线y＝ax2＋a＋2x＋1相切,则a＝________.解析由y＝x＋ln x,得y′＝1＋错误!,得曲线在点1,1处的切线的斜率为k＝y′|x＝1＝2,所以切线方程为y－1＝2x－1,即y＝2x－1.又该切线与y＝ax2＋a＋2x＋1相切,消去y,得ax2＋ax＋2＝0,∴a≠0且Δ＝a2－8a＝0,解得a＝8.答案8训练41.函数fx＝ln x＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线,则实数a的取值范围是________.函数fx＝ln x＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线,即f′x＝2在0,＋∞上有解,而f′x＝错误!＋a,即错误!＋a在0,＋∞上有解,a＝2－错误!,因为a＞0,所以2－错误!＜2,所以a的取值范围是－∞,2.答案 2－∞,22.点P是曲线x2－y－ln x＝0上的任意一点,则点P到直线y＝x－2的最小距离为解析点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点,当过点P的切线和直线y＝x－2平行时,点P 到直线y＝x－2的距离最小,直线y＝x－2的斜率为1,令y＝x2－ln x,得y′＝2x－错误!＝1,解得x＝1或x＝－错误!舍去,故曲线y＝x2－ln x上和直线y＝x－2平行的切线经过的切点坐标为1,1,点1,1到直线y＝x－2的距离等于错误!,∴点P到直线y＝x－2的最小距离为错误!.答案D第2讲导数在研究函数中的应用知识梳理函数的单调性与导数的关系函数y＝fx在某个区间内可导,则：1若f′x>0,则fx在这个区间内单调递增；2若f′x<0,则fx在这个区间内单调递减；3若f′x＝0,则fx在这个区间内是常数函数.考点一利用导数研究函数的单调性例1设fx＝e x ax2＋x＋1a＞0,试讨论fx的单调性.解f′x＝e x ax2＋x＋1＋e x2ax＋1＝e x ax2＋2a＋1x＋2＝e x ax＋1x＋2＝a e x错误!x＋2①当a＝错误!时,f′x＝错误!e x x＋22≥0恒成立,∴函数fx在R上单调递增；②当0＜a＜错误!时,有错误!＞2,令f′x＝a e x错误!x＋2＞0,有x＞－2或x＜－错误!,令f′x＝a e x错误!x＋2＜0,有－错误!＜x＜－2,∴函数fx在错误!和－2,＋∞上单调递增,在错误!上单调递减；③当a＞错误!时,有错误!＜2,令f′x＝a e x错误!x＋2＞0时,有x＞－错误!或x＜－2,令f′x＝a e x错误!x＋2＜0时,有－2＜x＜－错误!,∴函数fx在－∞,－2和错误!上单调递增；在错误!上单调递减.训练12016·四川卷节选设函数fx＝ax2－a－ln x,gx＝错误!－错误!,其中a∈R,e＝…为自然对数的底数.1讨论fx的单调性；2证明：当x>1时,gx>0.1解由题意得f′x＝2ax－错误!＝错误!x>0.当a≤0时,f′x<0,fx在0,＋∞内单调递减.当a>0时,由f′x＝0有x＝错误!,当x∈错误!时,f′x<0,fx单调递减；当x∈错误!时,f′x>0,fx单调递增.2证明令sx＝e x－1－x,则s′x＝e x－1－1.当x>1时,s′x>0,所以e x－1>x,从而gx＝错误!－错误!>0.考点二求函数的单调区间例22015·重庆卷改编已知函数fx＝ax3＋x2a∈R在x＝－错误!处取得极值.1确定a的值；2若gx＝fx e x,求函数gx的单调减区间.解1对fx求导得f′x＝3ax2＋2x,因为fx在x＝－错误!处取得极值,所以f′错误!＝0,即3a·错误!＋2·错误!＝错误!－错误!＝0,解得a＝错误!.2由1得gx＝错误!e x故g′x＝错误!e x＋错误!e x＝错误!e x＝错误!xx＋1x＋4e x.令g′x<0,得xx＋1x＋4<0.解之得－1<x<0或x<－4.所以gx的单调减区间为－1,0,－∞,－4.训练2 已知函数fx＝错误!＋错误!－ln x－错误!,其中a∈R,且曲线y＝fx在点1,f1处的切线垂直于直线y＝错误!x.1求a的值；2求函数fx的单调区间.解1对fx求导得f′x＝错误!－错误!－错误!,由fx在点1,f1处的切线垂直于直线y ＝错误!x知f′1＝－错误!－a＝－2,解得a＝错误!.2由1知fx＝错误!＋错误!－ln x －错误!,x>0.则f′x＝错误!.令f′x＝0,解得x＝－1或x＝5.但－10,＋∞,舍去.当x∈0,5时,f′x<0；当x∈5,＋∞时,f′x>0.∴fx的增区间为5,＋∞,减区间为0,5.考点三已知函数的单调性求参数例32017·西安模拟已知函数fx＝ln x,gx＝错误!ax2＋2xa≠0.1若函数hx＝fx－gx存在单调递减区间,求a的取值范围；2若函数hx＝fx－gx在1,4上单调递减,求a的取值范围.解1hx＝ln x－错误!ax2－2x,x>0.∴h′x＝错误!－ax－2.若函数hx在0,＋∞上存在单调减区间,则当x>0时,错误!－ax－2<0有解,即a>错误!－错误!有解.设Gx＝错误!－错误!,所以只要a>Gx min.又Gx＝错误!错误!－1,所以Gx min＝－1.所以a>－1.即实数a的取值范围是－1,＋∞.2由hx在1,4上单调递减,∴当x∈1,4时,h′x＝错误!－ax－2≤0恒成立,则a≥错误!－错误!恒成立,所以a≥Gx max.又Gx＝错误!错误!－1,x∈1,4因为x∈1,4,所以错误!∈错误!,所以Gx max＝－错误!此时x＝4,所以a≥－错误!.当a＝－错误!时,h′x＝错误!＋错误!x－2＝错误!＝错误!,∵x∈1,4,∴h′x＝错误!≤0,当且仅当x＝4时等号成立.∴hx在1,4上为减函数.故实数a的取值范围是错误!.训练3已知函数fx＝x3－ax－1.1若fx在R上为增函数,求实数a的取值范围；2若函数fx的单调减区间为－1,1,求a的值.解1因为fx在R上是增函数,所以f′x＝3x2－a≥0在R上恒成立,即a≤3x2对x∈R恒成立.因为3x2≥0,所以只需a≤0.又因为a＝0时,f′x＝3x2≥0,当且仅当x＝0时取等号.∴fx＝x3－1在R上是增函数.所以实数a的取值范围是－∞,0.2f′x＝3x2－a.当a≤0时,f′x≥0,fx在－∞,＋∞上为增函数,所以a≤0不合题意.当a>0时,令3x2－a<0,得－错误!<x<错误!,∴fx的单调递减区间为错误!,依题意,错误!＝1,即a＝3.第3讲导数与函数的极值、最值知识梳理1.函数的极值与导数的关系1函数的极小值与极小值点:若函数fx在点x＝a处的函数值fa比它在点x＝a附近其他点的函数值都小,f′a＝0,而且在点x＝a附近的左侧f′x<0,右侧f′x>0,则点a叫做函数的极小值点,fa叫做函数的极小值.2函数的极大值与极大值点:若函数fx在点x＝b处的函数值fb比它在点x＝b附近其他点的函数值都大,f′b＝0,而且在点x＝b附近的左侧f′x>0,右侧f′x<0,则点b叫做函数的极大值点,fb叫做函数的极大值.2.函数的最值与导数的关系1函数fx在a,b上有最值的条件:如果在区间a,b上函数y＝fx的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.2求y＝fx在a,b上的最大小值的步骤考点一用导数研究函数的极值命题角度一根据函数图象判断极值例1设函数fx在R上可导,其导函数为f′x,且函数y＝1－xf′x的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是A.函数fx有极大值f2和极小值f1B.函数fx有极大值f－2和极小值f1C.函数fx有极大值f2和极小值f－2D.函数fx有极大值f－2和极小值f2解析由题图可知,当x<－2时,1－x>3,此时f′x>0；当－2<x<1时,0<1－x<3,此时f′x<0；当1<x<2时,－1<1－x<0,此时f′x<0；当x>2时,1－x<－1,此时f′x>0,由此可以得到函数fx在x＝－2处取得极大值,在x＝2处取得极小值.答案D命题角度二求函数的极值例2求函数fx＝x－a ln xa∈R的极值.解由f′x＝1－错误!＝错误!,x>0知：1当a≤0时,f′x>0,函数fx为0,＋∞上的增函数,函数fx无极值；2当a>0时,令f′x＝0,解得x＝a.又当x∈0,a时,f′x<0；当x∈a,＋∞,f′x>0,从而函数fx在x＝a处取得极小值,且极小值为fa＝a－a ln a,无极大值.综上,当a≤0时,函数fx无极值；当a>0时,函数fx在x＝a处取得极小值a－a ln a,无极大值.命题角度三已知极值求参数例3已知关于x的函数fx＝－错误!x3＋bx2＋cx＋bc在x＝1处有极值－错误!,试求b,c 的值.解∵f′x＝－x2＋2bx＋c,由fx在x＝1处有极值－错误!,可得错误!解得错误!或错误!若b＝1,c＝－1,则f′x＝－x2＋2x－1＝－x－12≤0,fx没有极值.若b＝－1,c＝3,则f′x ＝－x2－2x＋3＝－x＋3x－1.当x变化时,fx与f′x的变化情况如下表：∴当x＝1时,fx有极大值－错误!,满足题意.故b＝－1,c＝3为所求.训练1设函数fx＝ax3－2x2＋x＋ca>0.1当a＝1,且函数图象过0,1时,求函数的极小值；2若fx在R上无极值点,求a的取值范围.解由题意得f′x＝3ax2－4x＋1.1函数图象过0,1时,有f0＝c＝1.当a＝1时,f′x＝3x2－4x＋1.令f′x>0,解得x<错误!或x>1；令f′x<0,解得错误!<x<1.所以函数在错误!和1,＋∞上单调递增；在错误!上单调递减.故函数fx的极小值是f1＝13－2×12＋1＋1＝1. 2若fx在R上无极值点,则fx在R上是单调函数,故f′x≥0或f′x≤0恒成立.当a＝0时,f′x＝－4x＋1,显然不满足条件；当a≠0时,f′x≥0或f′1≤0恒成立的充要条件是Δ＝－42－4×3a×1≤0,即16－12a≤0,解得a≥错误!.综上,a的取值范围是错误!.考点二利用导数求函数的最值例4 2017·郑州模拟已知函数fx＝x－k e x.1求fx的单调区间；2求fx在区间0,1上的最小值.解1由fx＝x－k e x,得f′x＝x－k＋1e x,令f′x＝0,得x＝k－1.当x变化时,fx与f′x的变化情况如下表：所以,fx的单调递减区间是－∞,k－1；单调递增区间是k－1,＋∞.2当k－1≤0,即k≤1时,函数fx在0,1上单调递增,所以fx在区间0,1上的最小值为f0＝－k,当0<k－1<1,即1<k<2时,由1知fx在0,k－1上单调递减,在k－1,1上单调递增,所以fx在区间0,1上的最小值为fk－1＝－e k－1.当k－1≥1,即k≥2时,函数fx在0,1上单调递减,所以fx在区间0,1上的最小值为f1＝1－k e.综上可知,当k≤1时,fx min＝－k；当1<k<2时,fx min＝－e k－1；当k≥2时,fx min＝1－k e.训练2设函数fx＝a ln x－bx2x>0,若函数fx在x＝1处与直线y＝－错误!相切,1求实数a,b的值；2求函数fx在错误!上的最大值.解1由fx＝a ln x－bx2,得f′x＝错误!－2bxx>0.∵函数fx在x＝1处与直线y＝－错误!相切.∴错误!解得错误!2由1知fx＝ln x－错误!x2,则f′x＝错误!－x＝错误!,当错误!≤x≤e时,令f′x>0,得错误!<x<1,令f′x<0,得1<x<e,∴fx在错误!上单调递增,在1,e上单调递减,∴fx max＝f1＝－错误!.考点三函数极值与最值的综合问题例5已知函数fx＝错误!a>0的导函数y＝f′x的两个零点为－3和0.1求fx的单调区间；2若fx的极小值为－e3,求fx在区间－5,＋∞上的最大值.解1f′x＝错误!＝错误!.令gx＝－ax2＋2a－bx＋b－c,由于e x>0.令f′x＝0,则gx＝－ax2＋2a－bx＋b－c＝0,∴－3和0是y＝gx的零点,且f′x与gx的符号相同.又因为a>0,所以－3<x<0时,gx>0,即f′x>0,当x<－3或x>0时,gx<0,即f′x<0,所以fx的单调递增区间是－3,0,单调递减区间是－∞,－3,0,＋∞.2由1知,x＝－3是fx的极小值点,所以有错误!解得a＝1,b＝5,c＝5,所以fx＝错误!.因为fx的单调递增区间是－3,0,单调递减区间是－∞,－3,0,＋∞.所以f0＝5为函数fx的极大值,故fx在区间－5,＋∞上的最大值取f－5和f0中的最大者,又f－5＝错误!＝5e5>5＝f0,所数fx在区间－5,＋∞上的最大值是5e5.训练3 2017·衡水中学月考已知函数fx＝ax－1－ln xa∈R.1讨论函数fx在定义域内的极值点的个数；2若函数fx在x＝1处取得极值,x∈0,＋∞,fx≥bx－2恒成立,求实数b的最大值.解1fx的定义域为0,＋∞,f′x＝a－错误!＝错误!.当a≤0时,f′x≤0在0,＋∞上恒成立,函数fx在0,＋∞上单调递减.∴fx在0,＋∞上没有极值点.当a>0时,由f′x<0,得0<x<错误!；由f′x>0,得x>错误!,∴fx在错误!上递减,在错误!上递增,即fx在x＝错误!处有极小值.综上,当a≤0时,fx在0,＋∞上没有极值点；当a>0时,fx在0,＋∞上有一个极值点.2∵函数fx在x＝1处取得极值,∴f′1＝a－1＝0,则a＝1,从而fx＝x－1－ln x.因此fx≥bx－21＋错误!－错误!≥b,令gx＝1＋错误!－错误!,则g′x＝错误!,令g′x＝0,得x＝e2,则gx在0,e2上递减,在e2,＋∞上递增,∴gx min＝g e2＝1－错误!,即b≤1－错误!.故实数b的最大值是1－错误!.第4讲导数与函数的综合应用考点一利用导数研究函数的性质例12015·全国Ⅱ卷已知函数fx＝ln x＋a1－x.1讨论fx的单调性；2当fx有最大值,且最大值大于2a－2时,求a的取值范围.解1fx的定义域为0,＋∞,f′x＝错误!－a.若a≤0,则f′x>0,所以fx在0,＋∞上单调递增.若a>0,则当x∈错误!时,f′x>0；当x∈错误!时,f′x<0.所以fx在错误!上单调递增,在错误!上单调递减.2由1知,当a≤0,fx在0,＋∞上无最大值；当a>0时,fx在x＝错误!取得最大值,最大值为f 错误!＝ln错误!＋a错误!＝－ln a＋a－1.因此f 错误!>2a－2等价于ln a＋a－1<0.令ga＝ln a＋a－1,则ga在0,＋∞上单调递增,g1＝0.于是,当0<a<1时,ga<0；当a>1时,ga>0.因此,a的取值范围是0,1.训练1设fx＝－错误!x3＋错误!x2＋2ax.1若fx在错误!上存在单调递增区间,求a的取值范围；2当0＜a＜2时,fx在1,4上的最小值为－错误!,求fx在该区间上的最大值.解1由f′x＝－x2＋x＋2a＝－错误!错误!＋错误!＋2a,当x∈错误!时,f′x的最大值为f′错误!＝错误!＋2a；令错误!＋2a＞0,得a＞－错误!.所以,当a＞－错误!时,fx在错误!上存在单调递增区间.2已知0＜a＜2,fx在1,4上取到最小值－错误!,而f′x＝－x2＋x＋2a的图象开口向下,且对称轴x＝错误!,∴f′1＝－1＋1＋2a＝2a＞0,f′4＝－16＋4＋2a＝2a－12＜0,则必有一点x0∈1,4,使得f′x0＝0,此时函数fx在1,x0上单调递增,在x0,4上单调递减,f1＝－错误!＋错误!＋2a＝错误!＋2a＞0,∴f4＝－错误!×64＋错误!×16＋8a＝－错误!＋8a＝－错误!a＝1.此时,由f′x0＝－x错误!＋x0＋2＝0x0＝2或－1舍去,所以函数fx max＝f2＝错误!.考点二利用导数研究函数的零点或方程的根例2 2015·北京卷设函数fx＝错误!－k ln x,k>0.1求fx的单调区间和极值；2证明：若fx存在零点,则fx在区间1,错误!上仅有一个零点. 1解由fx＝错误!－k ln xk>0,得x>0且f′x＝x－错误!＝错误!.由f′x＝0,解得x＝错误!负值舍去.fx与f′x在区间0,＋∞上的情况如下：所以fx的单调递减区间是0,错误!,单调递增区间是错误!,＋∞.fx在x＝错误!处取得极小值f错误!＝错误!.2证明由1知,fx在区间0,＋∞上的最小值为f错误!＝错误!.因为fx存在零点,所以错误!≤0,从而k≥e.当k＝e时,fx在区间1,错误!上单调递减,且f错误!＝0,所以x＝错误!是fx 在区间1,错误!上的唯一零点.当k>e时,fx在区间0,错误!上单调递减,且f1＝错误!>0,f错误!＝错误!<0,所以fx在区间1,错误!上仅有一个零点.综上可知,若fx存在零点,则fx在区间1,错误!上仅有一个零点.训练22016·北京卷节选设函数fx＝x3＋ax2＋bx＋c.1求曲线y＝fx在点0,f0处的切线方程；2设a＝b＝4,若函数fx有三个不同零点,求c的取值范围.解1由fx＝x3＋ax2＋bx＋c,得f′x＝3x2＋2ax＋b.因为f0＝c,f′0＝b,所以曲线y＝fx 在点0,f0处的切线方程为y＝bx＋c.2当a＝b＝4时,fx＝x3＋4x2＋4x＋c,所以f′x＝3x2＋8x＋4.令f′x＝0,得3x2＋8x＋4＝0,解得x＝－2或x＝－错误!.当x变化时,fx与f′x的变化情况如下：所以,当c>0且c－错误!<0,存在x1∈－4,－2,x2∈错误!,x3∈错误!,使得fx1＝fx2＝fx3＝0.由fx的单调性知,当且仅当c∈错误!时,函数fx＝x3＋4x2＋4x＋c有三个不同零点.考点三导数在不等式中的应用命题角度一不等式恒成立问题例32017·合肥模拟已知fx＝x ln x,gx＝x3＋ax2－x＋2.1如果函数gx的单调递减区间为错误!,求函数gx的解析式；2对任意x∈0,＋∞,2fx≤g′x＋2恒成立,求实数a的取值范围.解1g′x＝3x2＋2ax－1,由题意3x2＋2ax－1<0的解集是错误!,即3x2＋2ax－1＝0的两根分别是－错误!,1.将x＝1或－错误!代入方程3x2＋2ax－1＝0,得a＝－1.所以gx＝x3－x2－x ＋2.2由题意2x ln x≤3x2＋2ax－1＋2在x∈0,＋∞上恒成立,可得a≥ln x－错误!x－错误!,设hx＝ln x－错误!x－错误!,则h′x＝错误!－错误!＋错误!＝－错误!,令h′x＝0,得x＝1或－错误!舍,当0<x<1时,h′x>0,当x>1时,h′x<0,所以当x＝1时,hx取得最大值,hx max＝－2,所以a≥－2,所以a的取值范围是－2,＋∞.训练3已知函数fx＝x2－ln x－ax,a∈R.1当a＝1时,求fx的最小值；2若fx>x,求a的取值范围.解1当a＝1时,fx＝x2－ln x－x,f′x＝错误!.当x∈0,1时,f′x<0；当x∈1,＋∞时,f′x>0.所以fx的最小值为f1＝0.2由fx>x,得fx－x＝x2－ln x－a＋1x>0.由于x>0,所以fx>x等价于x－错误!>a＋1.令gx ＝x－错误!,则g′x＝错误!.当x∈0,1时,g′x<0；当x∈1,＋∞时,g′x>0.故gx有最小值g1＝1.故a＋1<1,a<0,即a的取值范围是－∞,0.命题角度二证明不等式例42017·昆明一中月考已知函数fx＝ln x－错误!.1求函数fx的单调递增区间；2证明：当x>1时,fx<x－1.1解f′x＝错误!－x＋1＝错误!,x∈0,＋∞.由f′x>0得错误!解得0<x<错误!.故fx的单调递增区间是错误!.2证明令Fx＝fx－x－1,x∈0,＋∞.则有F′x＝错误!.当x∈1,＋∞时,F′x<0,所以Fx在1,＋∞上单调递减,故当x>1时,Fx<F1＝0,即当x>1时,fx<x－1.故当x>1时,fx<x－1.训练4 2017·泰安模拟已知函数fx＝ln x.1求函数Fx＝错误!＋错误!的最大值；2证明：错误!＋错误!<x－fx；1解Fx＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!,F′x＝错误!,当F′x>0时,0<x<e；当F′x<0时,x>e,故Fx在0,e上是增函数,在e,＋∞上是减函数,故Fx max＝F e＝错误!＋错误!.2证明令hx＝x－fx＝x－ln x,则h′x＝1－错误!＝错误!,当h′x<0时,0<x<1；当h′x>0时,x>1,故hx在0,1上是减函数,在1＋∞上是增函数,故hx min＝h1＝1.又Fx max＝错误!＋错误!<1,故Fx<hx,即错误!＋错误!<x－fx.。

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