导数的应用练习课

2.讨论方程
x
1 sin x
0
的根的个数.
3
解:设 f (x)
x
1 3
sin
x(
x
R),
则
f
(
x)
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1
1 3
cos
x
>0恒成立.
故f(x)是R上的增函数.
而f(0)=0,故原方程有唯一根x=0.
小结与注意:
1.在利用导数讨论函数的单调区间时,首先要确定函数 的定义域,解决问题的过程中,只能在函数的定义域内, 通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间.
练习一:
1、《导学》P21 11，14
2、求函数 y = f（x）= x3－2x2 + 5
在区间[－2，2]的极大值与极小值。
变式：
求函数 y = f（x）= x3－2x2 + 5 在区间[－2，2]的最大值与最小值。
练习二：
1、（04全国）函数 y = x cosx－sinx 在下列
哪个区间是增函数（ B ）
A ( , 3 ) B ( ,2 ) C (3 , 5 ) D (2 ,3 )
22
22
2、（04湖北）函数 f（x）= ax3 + x + 1有极值
的充要条作是（ C ）
A a＞0 B a≥0 C a＜ 0 D a≤0
3、（04江苏）函数 f（x）= x3－3x + 1 在区
间[－3，0]上的最大值、最小值分别是（ C ）
（2）过点A（0，16）作曲线y = f(x)的切线，求 切线方程。
3、(04浙江)已知函数f(x)= (x2－4) (x－a) (a∈R). （1）求导函数 f '(x)； （2）若 f ‘(－ 1) = 0，求 f(x)在[－2，2]内的最 大值和最小值； （3）若f(x)在（－∞，－2]和[2，+∞）上都是 增函数，求a的取值范围。
2.注意在某一区间内 f ( x) >(<)0只是函数f(x)在该区间 上为增(减)函数的充分不必要条件.
3.若函数f(x)在开区间(a,b)上具有单调性.则当函数f(x) 时在闭区间[a,b]上连续,那么单调区间可以扩大到闭 区间[a,b]上.
4.利用导数的符号来判断函数的单调区间,是导数几何 意义在研究曲线变化规律的一个应用,它充分体现了 数形结合的思想.
A 1，-1 B 1，-17 C 3，-17 D 9，-19
练习三：
1、（04全国）已知函数 f(x) = ax3 + 3x2－x +1 在R上是减函数，求a的取值范围。
2、（04天津）已知函数 f(x) = ax3 + bx2－3x 在 x=±1 处取得极值。
（1）讨论 f(1) 和 f(－1)是函数f(x)的极大值还是 极小值；
练习四:
1.当x>1时,证明不等式: 2 x 3 1 . x
2.讨论方程 x 1 sin x 0 的根的个数. 3
1.当x>1时,证明不等式: 2 x 3 1 .
x
证:设
f (x) 2
x 3 1, x
则f (x)
1 x
1 x2
1 (1 1 ). x xx
显然,当x>1时, f (x) 0,故f(x)是[1,+∞)上的增函数.
所以当x>1时,f(x)>f(1)=0,即当x>1时, 2 x 3 1 .
x
说明:利用函数的单调性证明不等式是不等式证明的一 种重要方法.其解题步骤是:
令F(x)=f(x)-g(x),x≥a,其中F(a)=f(a)-g(a)=0, 从而将要证明的不等式“当x>a时,f(x)>g(x)” 转化为证明: “当x>a时,F(x)>F(a)”.