不动点(特征方程)法求数列通项

特征方程法求解递推关系中的数列通项

考虑一个简单的线性递推问题.

设已知数列}{n a 的项满足

其中,1,0≠≠c c 求这个数列的通项公式.

采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，本文提出一种易于被学生掌握的解法——特征方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程,d cx x +=称之为特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述.

定理1.设上述递推关系式的特征方程的根为0x ，则当10a x =时，n a 为常数列，即

0101,;x b a a x a a n n n +===时当，其中}{n b 是以c 为公比的等比数列，即01111,x a b c b b n n -==-.

证明：因为,1,0≠c 由特征方程得.10c

d

x -=作换元,0x a b n n -= 则.)(110011

n n n n n n cb x a c c

cd

ca c d d ca x a b =-=--=--+=-=--

当10a x ≠时，01≠b ，数列}{n b 是以c 为公比的等比数列，故;11-=n n c b b 当10a x =时，01=b ，}{n b 为0数列，故.N ,1∈=n a a n （证毕） 下面列举两例，说明定理1的应用.

例1．已知数列}{n a 满足：,4,N ,23

111=∈--=+a n a a n n 求.n a 解：作方程.2

3,23

10-=--=x x x 则 当41=a 时，.2112

3

,1101=

+=≠a b x a 数列}{n b 是以3

1

-为公比的等比数列.于是.N ,)3

1

(2112323,)31(211)3

1

(111

1∈-+-=+-=-=-=---n b a b b n n n n n n 例2．已知数列}{n a 满足递推关系：,N ,)32(1∈+=+n i a a n n 其中i 为虚数单位. 当1a 取何值时，数列}{n a 是常数数列？ 解：作方程,)32(i x x +=则.5

360i

x +-=

a 1=b

a n+1=ca n +d

要使n a 为常数，即则必须.5

3601i

x a +-=

= 现在考虑一个分式递推问题（*）.

例3．已知数列}{n a 满足性质：对于,3

24

,N 1++=

∈-n n n a a a n 且,31=a 求}{n a 的通项公式. 将这问题一般化，应用特征方程法求解，有下述结果.

定理2.如果数列}{n a 满足下列条件：已知1a 的值且对于N ∈n ，都有h

ra q

pa a n n n ++=

+1（其中p 、q 、r 、h 均为常数，且r

h

a r qr ph -≠≠≠1,0,），那么，可作特征方程h

rx q

px x ++=

. （1）当特征方程有两个相同的根λ（称作特征根）时， 若,1λ=a 则;N ,∈=n a n λ 若λ≠1a ，则,N ,1∈+=

n b a n n λ其中.N ,)1(11∈--+-=n r p r n a b n λ

λ特别地，当存在,N 0∈n 使00=n b 时，无穷数列}{n a 不存在.

（2）当特征方程有两个相异的根1λ、2λ（称作特征根）时，则1

1

2--=n n n c c a λλ，,

N ∈n 其中).(,N ,)(211

212111λλλλλ≠∈----=

-a n r

p r p a a c n n 其中 证明：先证明定理的第（1）部分. 作交换N ,∈-=n a d n n λ 则λλ-++=-=++h

ra q

pa a d n n n n 11 h ra h

q r p a n n +-+-=λλ)(

h

d r h

q r p d n n ++-+-+=

)())((λλλλ

λ

λλλr h rd q p h r r p d n n -+--+--=]

)([)(2 ①

∵λ是特征方程的根，∴λ.0)(2=--+⇒++=

q p h r h

r q

p λλλλ

将该式代入①式得.N ,)

(1∈-+-=+n r

h rd r p d d n n n λλ ②

将r

p

x =

代入特征方程可整理得,qr ph =这与已知条件qr ph ≠矛盾.故特征方程的根λ,r

p

≠

于是.0≠-r p λ ③ 当01=d ，即λ+=11d a =λ时，由②式得,N ,0∈=n b n 故.N ,∈=+=n d a n n λλ 当01≠d 即λ≠1a 时，由②、③两式可得.N ,0∈≠n d n 此时可对②式作如下变化：

.1)(11

r

p r

d r p r h r p d r h rd d n n n n λλλλλ-+⋅-+=--+=

+ ④

由λ是方程h rx q px x ++=

的两个相同的根可以求得.2r h

p -=λ ∴,122=++=---+=-+h p p h r

r

h p p r

r h p h r p r h λλ

将此式代入④式得.N ,111

∈-+=

+n r

p r d d n n λ 令.N ,1∈=

n d b n n 则.N ,1∈-+=+n r p r b b n n λ故数列}{n b 是以r

p r λ-为公差的等差数列. ∴.N ,)1(1∈-⋅-+=n r

p r

n b b n λ 其中.11111λ

-==

a d

b 当0,N ≠∈n b n 时，.N ,1

∈+=

+=n b d a n

n n λλ 当存在,N 0∈n 使00

=n b 时，λλ+=

+=0

01

n n n b d a 无意义.故此时，无穷数列}{n a 是不存在的.

再证明定理的第（2）部分如下：

∵特征方程有两个相异的根1λ、2λ，∴其中必有一个特征根不等于1a ，不妨令

.12a ≠λ于是可作变换.N ,2

1

∈--=

n a a c n n n λλ