证明费马最后定理
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則 x2 = a2 - b2 ; y 2 = 2ab ; z = a2 + b2，其中 a > b > 0， HCF(a , b) = 1，a、b 的奇偶性相反。 由於 x2 = a2 - b2 是奇數，得 a 必定是奇數，b 必定是偶數。 另外，亦得 x2 + b2 = a2，再從此得 x = c2 - d 2 ; b = 2cd ; a = c2 + d 2，其中 c > d > 0， HCF(c , d) = 1，c、d 的奇偶性相反。 因而 y2 = 2ab = 4cd(c2 + d 2)，
費馬提出：那麼當 n > 2 時，方程 x n + y n = z n 又有沒有整數解呢？
費馬的「解答」
將一個立方數分成兩個立方數，一個四 次冪分成兩個四次冪，或者一般地將一 個高於二次冪的數分成兩個相同次冪， 這是不可能的。我對這個命題有一個美 妙的證明，這裏空白太小，寫不下。 但，費馬從未向其他人提及這個「美妙 證明」，亦沒有任何紀錄提及這件事！
勾股定理及勾股數組
勾股定理 在 ABC 中，若 C 為直角， 則 a2 + b2 = c2。
留意：32 + 42 = 52; 52 + 122 = 132; 82 + 152 = 172; 72 + 242 = 252; ……等等 即 (3 , 4 , 5)、(5 , 12 , 13) … 等等為方程 x 2 + y 2 = z 2 的正整數解。 我們稱以上的整數解為「勾股數組」。
勾股數組
求方程 x 2 + y 2 = z 2 的正整數解。
解 x = u 2 - v 2 ; y = 2uv ; z = u2 + v 2，其中 u > v > 0。
v 1 2 3 4 5 u 2 (3 , 4 , 5) --------3 4 (8 , 6 , 10) (15 , 8 , 17) (5 , 12 , 13) (12 , 16 , 20) --(7 , 24 , 25) --------5 (24 , 10 , 26) (21 , 20 , 29) (16 , 30 , 34) (9 , 40 , 41) --6 (35 , 12 , 37) (32 , 24 , 40) (27 , 36 , 45) (20 , 48 , 52) (11 , 60 , 61)
到底費馬的說法是否正確呢？
「費馬Biblioteka Baidu後定理」名稱的確立
問 甚麼叫「定理」？ 答 曾經被證實為正確無誤的數學命題。 問 既然費馬的命題又未被證明為正確，為甚麼 又叫做「定理」呢？ 答 因為經過 300 多年，都沒有人能作出反例， 所以人們相信是它是正確的，是一個定理。 問 費馬提出這命題後 30 年才去世，為甚麼會叫 這命題做「最後定理」呢？ 答 因為費馬曾經提出過的命題，都已經被證實 或否定，祇剩下這「最後」一題，未能獲證。
n = 4 的證明
費馬在給朋友的信中，曾經提及他已證 明了 n = 4 的情況。但沒有寫出詳細的 證明步驟。 1674 年，貝西在的少量提示下，給出這 個情形的證明。 證明步驟主要使用了「無窮遞降法」。
費馬的證明
定理 方程 x 4 + y 4 = z 2 沒有正整數解。
解 假設 (x , y , z) 為一個解並且 HCF(x , y) = 1，y 為偶數，
由此得 c、d 和 c2 + d 2 為平方數。
於是可設 c = e2 ; d = f 2 ; c2 + d 2 = g2，即 e4 + f 4 = g 2。
換句話說，(e , f , g) 為方程 x 4 + y 4 = z2 的另外一個解。 但是，z = a2 + b2 = (c2 + d 2)2 + 4c2d 2 > g 4 > g > 0。 即是說如果我們從一個 z 值出發，必定可以找到一個更小 的數值 g 使它仍然滿足方程 x 4 + y 4 = z2。如此類推，我 們可以找到一個比 g 更小的數值，同時滿足上式。 但是，這是不可能的！因為 z 為一有限值，這個數值不能 無窮地遞降下去！由此可知我們最初的假設不正確。 所以，方程 x 4 + y 4 = z2 沒有正整數解。（證畢） 推論 方程 x 4 + y 4 = z 4 沒有正整數解。 解 假如 (x , y , z) 為該方程的解，則 (x , y , z2) 將會是方 程 x 4 + y 4 = z2 的解。這是不可能的！（證畢）
費馬 Pierre de Fermat (1601 - 1665)
法國人
律師，1631年出任圖盧茲 議院顧問。 業餘研究數學 他是幾何學、坐標幾何、 概率論、微積分、數論等 學問的先驅。
大約 1637 年，當費馬閱讀古希臘名著《算術》時，在 書邊的空白地方，他寫下了以下的一段說話： Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infintum ultra quadratum potestatem in duos ejusdem nominis fas est dividere: cujus rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exguitas non caperet.
大約 1637 年，當費馬閱讀古希臘名著《算術》時，在 書邊的空白地方，他寫下了以下的一段說話：
將一個立方數分成兩個立方數，一個四次 冪分成兩個四次冪，或者一般地將一個高 於二次冪的數分成兩個相同次冪，這是不 可能的。我對這個命題有一個美妙的證明， 這裏空白太小，寫不下。
費馬最後定理
當整數 n > 2 時， 方程 x n + y n = z n 無正整數解。
勾股數組的通解
《算術》第 II 卷命題 8： 將一個平方數分為兩個平方數。 即求方程 x 2 + y 2 = z 2 的正整數解。 費馬利用他發明的「無窮遞降法」來解此 題，得到以下結果：
若 HCF(x , y) = 1，y 為偶數， 則 x = u 2 - v 2 ; y = 2uv ; z = u2 + v 2 ； 這裡 u > v > 0，HCF(u , v) = 1，u、v 奇偶 性相反。
費馬提出：那麼當 n > 2 時，方程 x n + y n = z n 又有沒有整數解呢？
費馬的「解答」
將一個立方數分成兩個立方數，一個四 次冪分成兩個四次冪，或者一般地將一 個高於二次冪的數分成兩個相同次冪， 這是不可能的。我對這個命題有一個美 妙的證明，這裏空白太小，寫不下。 但，費馬從未向其他人提及這個「美妙 證明」，亦沒有任何紀錄提及這件事！
勾股定理及勾股數組
勾股定理 在 ABC 中，若 C 為直角， 則 a2 + b2 = c2。
留意：32 + 42 = 52; 52 + 122 = 132; 82 + 152 = 172; 72 + 242 = 252; ……等等 即 (3 , 4 , 5)、(5 , 12 , 13) … 等等為方程 x 2 + y 2 = z 2 的正整數解。 我們稱以上的整數解為「勾股數組」。
勾股數組
求方程 x 2 + y 2 = z 2 的正整數解。
解 x = u 2 - v 2 ; y = 2uv ; z = u2 + v 2，其中 u > v > 0。
v 1 2 3 4 5 u 2 (3 , 4 , 5) --------3 4 (8 , 6 , 10) (15 , 8 , 17) (5 , 12 , 13) (12 , 16 , 20) --(7 , 24 , 25) --------5 (24 , 10 , 26) (21 , 20 , 29) (16 , 30 , 34) (9 , 40 , 41) --6 (35 , 12 , 37) (32 , 24 , 40) (27 , 36 , 45) (20 , 48 , 52) (11 , 60 , 61)
到底費馬的說法是否正確呢？
「費馬Biblioteka Baidu後定理」名稱的確立
問 甚麼叫「定理」？ 答 曾經被證實為正確無誤的數學命題。 問 既然費馬的命題又未被證明為正確，為甚麼 又叫做「定理」呢？ 答 因為經過 300 多年，都沒有人能作出反例， 所以人們相信是它是正確的，是一個定理。 問 費馬提出這命題後 30 年才去世，為甚麼會叫 這命題做「最後定理」呢？ 答 因為費馬曾經提出過的命題，都已經被證實 或否定，祇剩下這「最後」一題，未能獲證。
n = 4 的證明
費馬在給朋友的信中，曾經提及他已證 明了 n = 4 的情況。但沒有寫出詳細的 證明步驟。 1674 年，貝西在的少量提示下，給出這 個情形的證明。 證明步驟主要使用了「無窮遞降法」。
費馬的證明
定理 方程 x 4 + y 4 = z 2 沒有正整數解。
解 假設 (x , y , z) 為一個解並且 HCF(x , y) = 1，y 為偶數，
由此得 c、d 和 c2 + d 2 為平方數。
於是可設 c = e2 ; d = f 2 ; c2 + d 2 = g2，即 e4 + f 4 = g 2。
換句話說，(e , f , g) 為方程 x 4 + y 4 = z2 的另外一個解。 但是，z = a2 + b2 = (c2 + d 2)2 + 4c2d 2 > g 4 > g > 0。 即是說如果我們從一個 z 值出發，必定可以找到一個更小 的數值 g 使它仍然滿足方程 x 4 + y 4 = z2。如此類推，我 們可以找到一個比 g 更小的數值，同時滿足上式。 但是，這是不可能的！因為 z 為一有限值，這個數值不能 無窮地遞降下去！由此可知我們最初的假設不正確。 所以，方程 x 4 + y 4 = z2 沒有正整數解。（證畢） 推論 方程 x 4 + y 4 = z 4 沒有正整數解。 解 假如 (x , y , z) 為該方程的解，則 (x , y , z2) 將會是方 程 x 4 + y 4 = z2 的解。這是不可能的！（證畢）
費馬 Pierre de Fermat (1601 - 1665)
法國人
律師，1631年出任圖盧茲 議院顧問。 業餘研究數學 他是幾何學、坐標幾何、 概率論、微積分、數論等 學問的先驅。
大約 1637 年，當費馬閱讀古希臘名著《算術》時，在 書邊的空白地方，他寫下了以下的一段說話： Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infintum ultra quadratum potestatem in duos ejusdem nominis fas est dividere: cujus rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exguitas non caperet.
大約 1637 年，當費馬閱讀古希臘名著《算術》時，在 書邊的空白地方，他寫下了以下的一段說話：
將一個立方數分成兩個立方數，一個四次 冪分成兩個四次冪，或者一般地將一個高 於二次冪的數分成兩個相同次冪，這是不 可能的。我對這個命題有一個美妙的證明， 這裏空白太小，寫不下。
費馬最後定理
當整數 n > 2 時， 方程 x n + y n = z n 無正整數解。
勾股數組的通解
《算術》第 II 卷命題 8： 將一個平方數分為兩個平方數。 即求方程 x 2 + y 2 = z 2 的正整數解。 費馬利用他發明的「無窮遞降法」來解此 題，得到以下結果：
若 HCF(x , y) = 1，y 為偶數， 則 x = u 2 - v 2 ; y = 2uv ; z = u2 + v 2 ； 這裡 u > v > 0，HCF(u , v) = 1，u、v 奇偶 性相反。