复合函数的单调性完全解析与练习(终审稿)
高一数学痛点大揭秘专题1 指数型复合函数的单调性的判断(解析版)
指数函数与对数函数专题1 指数型复合函数的单调性的判断复合函数单调性的规律:若两个简单函数的单调性相同，则它们的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则它们的复合函数为减函数．即“同增异减”．利用复合函数法求解函数单调区间的基本步骤如下：（1）求出原函数的定义域；（2）将原函数分解为内层函数和外层函数；（3）分析内层函数和外层函数的单调性；（4）利用复合函数法“同增异减”可得出结论.【题型导图】类型一指数型函数单调性的判断例1：（2021·全国高一课时练习）函数y＝2212x⎛⎫⎪⎝⎭－的单调递减区间为（）A．（－∞，0] B．[0，＋∞）C．（－∞2D．2∞）【答案】B【详解】解:函数y＝1()2u在R上为减函数，欲求函数y＝2212x-⎛⎫⎪⎝⎭的单调递减区间，只需求函数u＝x2－2的单调递增区间，而函数u＝x2－2的单调递增区间为[0，＋∞），故所求单调递减区间为[0，＋∞）.故选:B【变式1】（2021·浙江杭州市·高一期中）设函数()(1)(0,1)x f x a a b a a =-+>≠，则函数()f x 的单调性（ ） A ．与a 有关，且与b 有关 B ．与a 无关，且与b 有关 C ．与a 有关，且与b 无关 D ．与a 无关，且与b 无关【答案】D 【详解】因为函数()(1)(0,1)x f x a a b a a =-+>≠，所以当01a <<时，()(1)x f x a a b =-+单调递增.当1a >时，()(1)x f x a a b =-+单调递增. 则0a >且1a ≠，b R ∈，()(1)x f x a a b =-+的单调性都为单调递增. 所以函数()(1)x f x a a b =-+的单调性与a b ，无关. 故选：D【变式2】函数()2433x x f x -++=的单调递增区间为（ ）A ．(),2-∞B ．()2,+∞C ．()3,2-D ．()2,7【答案】A 【详解】因为函数243y x x =-++的单调递增区间为(),2-∞，所以根据复合函数单调性可知，()f x 的单调递增区间为(),2-∞ 故选：A【变式3】（2021·江西景德镇市·景德镇一中高一期末）函数21()+=-x x f x e e （x ∈R ）的单调递减区间为______．【答案】()(1ln 2-∞-+⎤⎦，【详解】 对于21()+=-x xf x ee （x ∈R ），令()0xt e t =>，则221124y et t e t e e⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭因为x t e =在R 上单增，所以要求21()+=-x x f x e e （x ∈R ）的单调递减区间，只需102xe e<≤，解得：()1ln 2x ≤-+， 所以函数21()+=-x x f x e e （x ∈R ）的单调递减区间为()(1ln 2-∞-+⎤⎦，.故答案为：()(1ln 2-∞-+⎤⎦，【痛点直击】解决指数型复合函数的单调性问题，要先判断此复合函数是由指数函数与什么函数复合而成的复合函数，进而判断两个基本初等函数的单调性，利用复合函数的“同增异减”来判断复合函数的单调性。
复合函数的单调性
单调性的一般步骤： 二、判断复合函数y=f[g(x)] 单调性的一般步骤： 判断复合函数
(1) 将复合函数分解成两个简单函数：y=f(u)与u=g(x)。 将复合函数分解成两个简单函数： 与 。 其中y=f(u)又称为外层函数 u=g(x)称为内层函数 又称为外层函数 称为内层函数 其中 又称为外层函数, 称为内层函数; (2) 确定函数的定义域； 确定函数的定义域； (3) 分别确定分解成的两个函数的单调性； 分别确定分解成的两个函数的单调性； (4) ①若两个函数在对应的区间上的单调性相同， 若两个函数在对应的区间上的单调性相同， 则复合后的函数y=f[g(x)]为增函数； 为增函数； 则复合后的函数 为增函数 ②若两个函数在对应的区间上的单调性相异， 若两个函数在对应的区间上的单调性相异， 则复合后的函数y=f[g(x)]为减函数。 为减函数。 则复合后的函数 为减函数
复合函数的单调性可概括为一句话： 同增异减” 复合函数的单调性可概括为一句话：“同增异减”。
三.复合函数的单调性 复合函数的单调性
外层函数 y = f (u )
合 数 内层函数 u = g (x ) 复 函 y = f [g(x)]
增函数 减函数 增函数 减函数 增函数 减函数 减函数 增函数
增函数 增函数 减函数 减函数
y = ax 2 + bx + c(a > 0)
O
x=−
b 2a
x
y = ax 2 + bx + c(a < 0)
图象的函数解析式是：y = ax2 + bx + c(a ≠ 0)。此函数是二次函数。 b b 当a > 0时，函数在 −∞, − 上是减函数，在 − , +∞ 上是增函数； 2a 2a b b 当a < 0时，函数在 −∞, − 上是增函数，在 − , +∞ 上是减函数。 2a 2a
专题3复合函数的单调性
二、复合函数y=f[g(x)]单调性
对于复合函数y f [g(x)]的单调性，必须考虑y f (u)与 u g(x)的单调性，从而得出y f [g(x)]的单调性.
y f (u)
u g(x)
y f [g(x)] 法
增函数
增函数
增函数
则
增函数
减函数
减函数
同
减函数
增函数
减函数
增
减函数
减函数
例3.求函数y
1 2
x2 4x3
的单调递减
小结
判断函数的单调性有哪些方法 1、定义法
2、图象法
3、利用已知函数的单调性，通过 一些简单结论、性质作出判断.
4、利用复合函数单调性的规则进行 判断.
一、复合函数y=f(x)+g(x) 与y=f(x)-g(x)单调性:
结论1：若f(x)与g(x)在R上是增函数， 则 函数y=f(x)+g(x)也是增函数.
结论2：若f(x)与g(x)在R上是减函数，则 函数y=f(x)+g(x)也是减函数.
结论3：若f(x) 在R上是增函数， g(x)在R上是减 函数，则函数y=f(x) －g(x)也是增函数.
增函数
异
规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函数； 减
当两个函数的单调性不相同时，其复合函数是减函数.
题型1.求单调区间
例2.求函数y x2 2x 3的单调区间.
小结：考虑指数函数的单调性要先考虑函数的定 义域，在定义域范围内求函数的单调性.
练习1.求函数y x2 4x 3的单调递减区间。
专题3.复合函数单调性
一、复习： 1.对于函数的定义域I内某个区间上的任意两个自 变量x1,x2的值,
(完整版)复合函数单调性(讲解+练习)
课题：函数的单调性（二)复合函数单调性北京二十二中 刘青教学目标1.掌握有关复合函数单调区间的四个引理。
2.会求复合函数的单调区间。
3。
必须明确复合函数单调区间是定义域的子集.教学重点与难点1.教学重点是教会学生应用本节的引理求出所给的复合函数的单调区间。
2.教学难点是务必使学生明确复合函数的单调区间是定义域的子集.教学过程设计师：这节课我们将讲复合函数的单调区间，下面我们先复习一下复合函数的定义.生：设y=f （u)的定义域为A ，u=g （x)的值域为B ，若A ÍB,则y 关于x 函数的y=f[g(x ）］叫做函数f 与g 的复合函数,u 叫中间量。
师：很好。
下面我们再复习一下所学过的函数的单调区间。
(教师把所学过的函数均写在黑板上，中间留出写答案的地方，当学生回答得正确时，由教师将正确答案写在对应题的下边.)（教师板书，可适当略写。
）例 求下列函数的单调区间.1。
一次函数y=kx+b （k ≠0）。
解 当k ＞0时,（－∞，+∞）是这个函数的单调增区间；当k ＜0时，（－∞，+∞）是这个函数的单调减区间。
2。
反比例函数y=x k （k ≠0）。
解 当k ＞0时，（－∞，0)和(0，+∞)都是这个函数的单调减区间，当k ＜0时，(－∞，0)和(0，+∞)都是这个函数的单调增区间.3。
二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0)。
解 当a ＞1时(－∞，－a b 2）是这个函数的单调减区间,（－a b2，+∞）是它的单调增区间；当a ＜1时(－∞，－a b 2）是这个函数的单调增区间，(－a b2,+∞）是它的单调减区间;4.指数函数y=ax （a ＞0，a ≠1）。
解 当a ＞1时，（－∞,+∞)是这个函数的单调增区间，当0＜a ＜1时，(－∞，+∞)是这个函数的单调减区间.5.对数函数y=log a x （a ＞0，a ≠1）。
解 当a ＞1时，（0，+∞）是这个函数的单调增区间，当0＜a ＜1时，（0，+∞）是它的单调减区间。
函数单调性经典题目含解析及答案
13、函数 y f (x) 是定义在 R 上的增函数，且 f (2m) f (m 9) ，则实数 m 的取值范围 解析：函数的单调性。
答案： (3,)
14、对任意的 x [1,) ，不等式 x2 2x a 0 恒成立，求实数 a 的取值
范围
解 析 ： 将 不 等 式 转 化 为 a x2 2x, x [1,) 恒 成 立 ， 即 求
ax 5, a,x 1 x
x
1
是
R
上的增函数，则
a
的取值范围
解析：分段函数单调性，分别求各段的单调性，再比较分界点的大小
答案： 3 a 2 24、已知函数 f (x) ax2 2x 2 ，若对一切 x [1 ,2] ， f (x) 0 都成立，
2
则实数 a 的取值范围
解析：（1）根据对称轴与区间端点的关系与二次函数的性质（2）二
次函数专题的最小值的三点三分法
17 10a, a 4
答案：（1） a 6或a 4 （2） a2 2a 1,4 a 6
37 10a, a 6
23、已知函数
f
(x)
x2
x
x
1
(x
2)
的最大值
解析：分离常数，利用函数单调性
答案：2
27、设函数 f (x) 是定义在 R 上的增函数，且 f (xy) f (x) f ( y), f (3) 1则
不等式 f (x) f (2) 1 的解集
解析： f (x) f (2) f (2x) ，利用函数单调性 答案： x 3
1、求函数 f (x) 8 2x x2 的单调区间
复合函数的单调性典型习题
复合函数的单调性练习题山东 王宪华._____________,)21(.1322减区间为的增区间为-+-=x x y._____________,2.2822减区间为的增区间为++-=x x y._______________,)32(log .322减区间为的增区间为--=x x y.______________,)82-(log 4.22减区间为的增区间为++=x x y的取值范围上是减函数，求在且a a a ax y a ]1,0[)1,0)(2(log 5.≠>+-=.3-13-)(,)(log )(6.25.0的取值范围求）上是增函数，，在（且的值域为a x f R a ax x x f --=参考答案]1,(:),,1[:.1-∞+∞减区间为增区间为]4,1[:]1,2[.2，减区间为增区间为：- )1,(:),,3(:.3--∞+∞减区间为增区间为)4,1[:],1,2(:.4减区间为增区间为- 21:)2)(1()2......(..................................................1),0(log .]2,0[)2(log ,0,]2,0[2]2,0[,2s log ]1,0[),1(log )1........(..........2021,]1,0[2,0.]1,0[)2(log ,02],1,0[]1,0[)1,0)(2(log 5min <<>∴+∞=∴+-=>+-=∈+-==∈+-=<⇒>+•-=∴+-=∴>+-=>+-=∈∀∴≠>+-=a a a t y ax y s ax s x ax s y x ax y a a s ax s a ax y ax s x a a ax y a a a a a a 的取值范围为式可知由上是增函数在知由复合函数的单调性可上是减函数在且上是减函数在而的复合函数，与是上是减函数在上且递减在且上是减函数在且解)1...(..................................................04,)(log )(6.2225.0≥+=∆∴--=∴--=a a a ax x s R a ax x x f 可以取到所有正实数的值域为解上是增函数在且上是增函数，，在)31,3()(log )()2.(....................0),31,3()3-13-()(log )(25.0225.0----=>--=--∈∀∴--=a ax x x f a ax x s x a ax x x f0)31()31()2()3........(. (312):)31,3(:)31,3()(log ),0(log )31,3(,log )31,3(),(log )(2225.05.025.02≥--•--⇔-≥--∴----=∴----=+∞=--∈--==--∈--=a a a a ax x s a ax x y s y x a ax x s s y x a ax x x f a 且由二次函数的图象可知上是减函数在知由复合函数的单调性可上是增函数在是减函数，在而的复合函数与是 200)31()31(31204)3)(2)(1(22≤≤⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥--•---≥--≥+∴a a a a a a a 解得：同时满足综上可知（注：专业文档是经验性极强的领域，无法思考和涵盖全面，素材和资料部分来自网络，供参考。
复合函数的单调性
2021/10/10
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例题讲解
例4、已知函数y=loga(x2-4ax+2)在区间(1，4)上 是减函数，求实数a的取值范围
答案：0a 1或a2 2
教辅P84 课后评价 13
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练习
1、下列函数在(0,+∞)上是增函数的是 （ D）
1
A.y 5x
C.y log1 (2x 1)
2
1
B.y
1x1 3
x1
D.y
1 2
x
2、函数 y log1(2x 4)的递增区间是____________
2
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12
小结：
1、在求函数的值域、最值、单调区间、奇偶性 时，首先必须考察函数的定义域.
2、掌握求解复合函数单调区间的一般步骤: (1)求复合函数的定义域 (2)求u=g(x)的单调区间，判断y=f (u)的单调性 (3)利用“同增异减”下结论
lg[H1+]也 在 减 小 ， 即 PH减 小 .
所 以 ， 随 着 [H ]的 增 大 ， P H 减 小 ， 即 溶 液 中 氢
离 子 的 浓 度 越 大 ， 溶 液 的 酸 碱 度 就 越 大 .
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引入
例: 已知函数f (x)在R上是增函数，g(x)在[a,b]上是减 函数，求证：f [g(x)]在[a,b]上是减函数.
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根据对数函数的性质及上述PH的计算公式,说
明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关
系;
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引入
根据对数函数的性质及上述PH的计算公式,说 明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关 系;
复合函数的单调性
复合函数的单调性
例1.（1）判断y=单调性。
解：判断函数y 的定义域，易知定义域为R 设u=,y= (将原函数分解为内函数和外函数) 由u==知u 在（-∞，-2]上为减函数，(-2,+∞)在上为增函数， y=为减函数 （分别判断内外函数的单调性） ∴原函数的增区间为（-∞，-2],减区间为（-2，+∞）
（2）判断32x y -=单调性
小结：求指数型复合函数单调性步骤：
第一步，确定复合函数的定义域，即看内外函数对自变量x 的限制，然后解不等式，求交集。
第二步，将原函数分解为初等函数y=f(u),g(x)的形式，
第三步，分别y=f(u),g(x)的单调区间
第四步，根据“同增异减”给出原函数的单调区间。
练习1.
（1）函数y=的单调递增区间为（ ）
A,(-∞,0] B[0,+∞) C(-∞,-1] D[1,+∞)（2 ) 函数y=2(x 3)2+的单调递增区间为____________________
（3）求函数y=232x
x a -++的单调区间
例2.求y=的单调区间
2412x x +⎛⎫ ⎪⎝⎭
2x 4x +12u ⎛⎫ ⎪⎝⎭
2x 4x +2
(x 2)4+-12u
⎛⎫ ⎪⎝⎭
2112x -⎛⎫ ⎪⎝
⎭
练习2.
求12y ⎛=
⎪⎝⎭
例3.求函数y=的单调区间与值域
练习3.求函数y=的单调区间与值域
21223x x +-+x 11242x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
复合函数单调性
一、定义
一般地，设y f (u)的定义域为A,u g(x)的 值域为B.若B A,则y f [g(x)]叫做函数 f 与g的复合函数。 举例：函数f (x) lg(2x 1) 由一次函数u 2x 1与对数函数y lg u复合而成.
换元后一个函数的函数值是另一个函数的自变量
二、复合函数单调性的判断
复合函数f [g(x)]的单调性与构成它的函数 u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律如下：
u g(x) 增 ↗ 减 ↘ 增 ↗ 减 ↘
y f (u) 增 ↗ 减 ↘ 减 ↘ 增 ↗
y f [g(x)]
增↗
减↘
当f(x)和g(x)单调性一致时，f[g(x)]在定区间 上单调递增；当f(x)和g(x)单调性相反时，f[g(x)] 在定区间上单调递减，简记为：“同增异减”。
单单单调调调增增区增区间区间为间为(－为(－∞(－∞，1，∞)．1，)．-2)．
∴又∴ 又 ∴又又∴函uuu＝函函 u＝数u＝u＝＝xx＝ x数2数2－2y－－xx4x32y2在x－32y－＋l－ x(o－2＋23g3l的x∞4ox122＋l对,go(的 ＋-的2称x122g)上(2对 轴2对的12x递(在 x称2称 对＝减4x32，)轴(2称轴－ 的3,在且x轴x(定开2∞＝x3,＋口＝ 义x32x,∞向2＝1域)0)上,上且)32,的上 ．为且 递2开,增定)且(是开－口．的义开单 ∞口 向定域口,上调向-为义 向2．)减上∪(上域－函(．．2∞为,＋数,(1－ ∞，)∪)∞．(2,,1＋)∪∞)(
∴而 ∴∴而 ∴u而 ∴＝yyuyy＝xyy2－xlloo2ll－ggoo3llxgg1122oo＋3(u1212ggxx(在 u2＋12122x(在在u在(220x4，在((在(2－在)023＋ ，的 ,(＋在 ∞(0x－2∞ 单 3＋，∞,,＋(∞x1调 )2∞上 ＋2)),∞上,上＋ 减))是1∞上的2是)是)区上∞ 上单))是单单单间上的是调 是)单调上 调调为是减 单单单调增减(减是函2单调调调，函减函区数单增调 减减＋数数函间，调 函函减∞区．，数为数数)增 函间，，(2．，函 数为，＋，数 (2，∞．)＋，∞)，
复合函数的单调性测试题(一)(含答案)
复合函数的单调性（一）一、单选题(共11道，每道9分)1.函数的单调递减区间是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：复合函数的单调性2.函数的单调递增区间是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：复合函数的单调性3.函数的单调递增区间是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：复合函数的单调性4.已知，，则函数的单调递增区间是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：复合函数的单调性5.函数的单调递增区间是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：复合函数的单调性6.函数的单调递减区间是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：复合函数的单调性7.函数的单调递减区间是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：复合函数的单调性8.函数的单调递减区间是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：复合函数的单调性9.函数的单调递增区间是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：复合函数的单调性10.函数的单调递减区间是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：复合函数的单调性11.函数的单调递增区间是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：复合函数的单调性。
复合函数的单调性
(1)求复合函数的定义域
(2)求u=g(x)的单调区间，判断y=f (u)的单调
性(3)利用“同增异减”下结论
作业
1、求函数 ylog2(4x25x1 的)单调区间.
2、求函数
y
1 2
1 x
的单调区间.
思考题：已知函数y=f (x)在R上是减函数，
求
函数y=f (|1 - x|)的单调递增区间.
2
教辅P84 课后评价 13
练习
1、下列函数在(0,+∞)上是增函数的是 （ D）
1
A.y 5x
C.y log1 (2x 1)
2
1
B.y
1x1 3
x1
D.y
1 2
x
2、函数y log1(2x 4) 的递增区间是 ____________ 2
小结：
1、在求函数的值域、最值、单调区间、奇偶性 时，首先必须考察函数的定义域.
答案：
单调减区间：
1 4
,
2
单调增区间：
3 2
,
1 4
求函数 f(x)log1(2x2x6)的单调区间
2
求函数 f(x ) lo g a ( 2 x 2 x 6 ) ( a 0 ,a 1 ) 的单调 区间
例题讲解
例4、已知函数y=loga(x2-4ax+2)在区间(1，
4)上
答是案减：函0数 a，求1或 实a数a2的取值范围
答案： 单调减区间：(-∞，-3] 单调增区间：[2，+∞)
方法总结：1、求复合函数的定义域
2、求u=g(x)的单调区间，判断 y=f (u)的单调性
3、利用“同增异减”下结论
复合函数单调性的求法与含参数问题
复合函数单调性的求法与含参数问题（一）求复合函数解析式例１、（1）设 f(x)=2x -3 g(x)=x 2+2 求f[g(x)]（或g[f(x)]）。
（2）已知：f(x)=x 2-x+3 求：f(x 1) f(x+1)（二）求复合函数相关定义域一、已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域例1、（1） 已知)(x f 的定义域为]30(，，求)2(2x x f +定义域。
（2）设()x x x f -+=22lg ，则⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 22的定义域为（ ） A. ()()4,00,4 - B. ()()4,11,4 --C. ()()2,11,2 --D. ()()4,22,4 --二、已知复合函数()][x g f 的定义域，求)(x f 的定义域例2、 若函数()x f 23-的定义域为[]2,1-，求函数()x f 的定义域三、已知复合函数()][x g f 的定义域，求()][x h f 的定义域例3 、已知)1(+x f 的定义域为)32[，-，求()2-x f 的定义域。
（三）复合函数的单调性判断复合函数的单调性的步骤如下：(1)求复合函数定义域；(2)将复合函数分解为若干个常见函数(一次、二次、幂、指、对函数)；(3)判断每个常见函数的单调性；(4)将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围；(5)求出复合函数的单调性。
一、外函数与内函数只有一种单调性的复合型：例1、已知函数y=log a(2-ax)在[0,1]上是x的减函数，则a的取值范围是( )(A).(0,1) (B).(1,2) (C).(0,2) (D).[2，+∞)二、外函数只有一种单调性，而内函数有两种单调性的复合型：例2、函数y=log0.5(x2+4x+4)在什么区间上是增函数？例3、讨论函数y=0.8x2-4x+3的单调性。
三、外函数有两种单调性，而内涵数只有一种单调性的复合型：例4 、在下列各区间中，函数y=sin(x+π4)的单调递增区间是( )(A).[π2，π] (B).[0，π4] (C).[-π，0] (D). [π4，π2]例5、讨论函数y=(log2x)2+log2x的单调性。
复合函数的单调性典型习题
复合函数的单调性练习题山东 王宪华._____________,)21(.1322减区间为的增区间为-+-=x x y._____________,2.2822减区间为的增区间为++-=x x y._______________,)32(log .322减区间为的增区间为--=x x y.______________,)82-(log 4.22减区间为的增区间为++=x x y的取值范围上是减函数，求在且a a a ax y a ]1,0[)1,0)(2(log 5.≠>+-=.3-13-)(,)(log )(6.25.0的取值范围求）上是增函数，，在（且的值域为a x f R a ax x x f --=参考答案]1,(:),,1[:.1-∞+∞减区间为增区间为]4,1[:]1,2[.2，减区间为增区间为：- )1,(:),,3(:.3--∞+∞减区间为增区间为)4,1[:],1,2(:.4减区间为增区间为- 21:)2)(1()2......(..................................................1),0(log .]2,0[)2(log ,0,]2,0[2]2,0[,2s log ]1,0[),1(log )1........(..........2021,]1,0[2,0.]1,0[)2(log ,02],1,0[]1,0[)1,0)(2(log 5min <<>∴+∞=∴+-=>+-=∈+-==∈+-=<⇒>+∙-=∴+-=∴>+-=>+-=∈∀∴≠>+-=a a a t y ax y s ax s x ax s y x ax y a a s ax s a ax y ax s x a a ax y a a a a a a 的取值范围为式可知由上是增函数在知由复合函数的单调性可上是减函数在且上是减函数在而的复合函数，与是上是减函数在上且递减在且上是减函数在且解)1...(..................................................04,)(log )(6.2225.0≥+=∆∴--=∴--=a a a ax x s R a ax x x f 可以取到所有正实数的值域为解上是增函数在且上是增函数，，在)31,3()(log )()2.(....................0),31,3()3-13-()(log )(25.0225.0----=>--=--∈∀∴--=a ax x x f a ax x s x a ax x x f0)31()31()2()3........(. (312):)31,3(:)31,3()(log ),0(log )31,3(,log )31,3(),(log )(2225.05.025.02≥--∙--⇔-≥--∴----=∴----=+∞=--∈--==--∈--=a a a a ax x s a ax x y s y x a ax x s s y x a ax x x f a 且由二次函数的图象可知上是减函数在知由复合函数的单调性可上是增函数在是减函数，在而的复合函数与是200)31()31(31204)3)(2)(1(22≤≤⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥--∙---≥--≥+∴a a a a a a a 解得：同时满足综上可知Welcome !!! 欢迎您的下载，资料仅供参考！。
专题13 复合函数的单调性(解析版)
复合函数的单调性一．选择题（共12小题）1．（2017•新课标Ⅱ）函数2()(28)f x ln x x =--的单调递增区间是( ) A ．(,2)-∞-B ．(,1)-∞-C ．(1,)+∞D ．(4,)+∞【解析】解：由2280x x -->得：(x ∈-∞，2)(4-⋃，)+∞， 令228t x x =--，则y lnt =，(,2)x ∈-∞-时，228t x x =--为减函数； (4,)x ∈+∞时，228t x x =--为增函数；y lnt =为增函数，故函数2()(28)f x ln x x =--的单调递增区间是(4,)+∞， 故选：D ．2．（2014•天津）函数212()log (4)f x x =-的单调递增区间为( )A ．(0,)+∞B ．(,0)-∞C ．(2,)+∞D ．(,2)-∞-【解析】解：令240t x =->，可得2x >，或2x <-， 故函数()f x 的定义域为(-∞，2)(2-⋃，)+∞，当(,2)x ∈-∞-时，t 随x 的增大而减小，12log y t =随t 的减小而增大，所以212log (4)y x =-随x 的增大而增大，即()f x 在(,2)-∞-上单调递增．故选：D ．3．（2019春•唐山校级期末）函数212()log (23)f x x x =--的单调递增区间是( )A ．(,1)-∞-B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．(3,)+∞【解析】解：由2230x x -->得1x <-或3x >， 当(,1)x ∈-∞-时，2()23f x x x =--单调递减， 而1012<<，由复合函数单调性可知20.5log (23)y x x =--在(,1)-∞-上是单调递增的，在(3,)+∞上是单调递减的． 故选：A ．4．（2019•衡阳县校级二模）已知函数22()log (3)f x x ax a =-+在[2，)+∞上是增函数，则a 的取值范围是( )A ．(-∞，4]B ．(-∞，2]C ．(4-，4]D ．(4-，2]【解析】解：若函数22()log (3)f x x ax a =-+在[2，)+∞上是增函数， 则当[2x ∈，)+∞时，230x ax a -+>且函数2()3f x x ax a =-+为增函数即22a，f （2）40a =+> 解得44a -< 故选：C ．5．（2020春•禅城区期末）2()(21)f x lg x ax a =-++在区间(-∞，1]上递减，则a 范围为( ) A ．[1，2)B ．[1，2]C ．[1，)+∞D ．[2，)+∞【解析】解：令221u x ax a =-++，则()f u lgu =，配方得22221()1u x ax a x a a a =-++=--++，故对称轴为x a =，如图所示：由图象可知，当对称轴1a 时，221u x ax a =-++在区间(-∞，1]上单调递减， 又真数2210x ax a -++>，二次函数221u x ax a =-++在(-∞，1]上单调递减， 故只需当1x =时，若2210x ax a -++>， 则(x ∈-∞，1]时，真数2210x ax a -++>， 代入1x =解得2a <，所以a 的取值范围是[1，2)故选：A ．6．（2019•道里区校级二模）函数22()log (34)f x x x =--的单调减区间为( ) A ．(,1)-∞-B ．3(,)2-∞-C ．3(,)2+∞D ．(4,)+∞【解析】解：由2340x x -->得(1)(4)0x x +->，得4x >或1x <-， 设234t x x =--，要求()f x 的单调递减区间，等价为求234t x x =--的递减区间， 234t x x =--的单调递减区间为(,1)-∞-，∴函数()f x 的单调递减区间为(,1)-∞-，故选：A ．7．（2007•辽宁）函数212log (56)y x x =-+的单调增区间为( )A ．5(,)2+∞B ．(3,)+∞C ．5(,)2-∞D ．(,2)-∞【解析】解：由题意知，2560x x -+>∴函数定义域为(-∞，2)(3⋃，)+∞，排除A 、C ， 根据复合函数的单调性知212log (56)y x x =-+的单调增区间为(,2)-∞，故选：D ．8．（2019秋•城关区校级月考）函数y =( ) A ．(-∞，3]B ．[3，)+∞C ．[1-，3]D ．[3，7]【解析】解：函数y = 2760x x ∴+-，即2670x x --， 解得17x -；又3x =是二次函数276t x x =+-的对称轴，∴函数y =[1-，3]．故选：C ．9．（2019秋•南开区期末）函数2()(1)f x lg x =-的单调递减区间是( ) A ．(0,)+∞B ．(0,1)C ．(,0)-∞D ．(1,0)-【解析】解：令21(1)(1)0t x x x =-=+->， 可得11x -<<，故函数的定义域为(1,1)-， 则()f x lgt =．本题即求21t x =-+在(0,1)上的减区间，再利用二次函数的性质可得，21t x =-+在(1,1)-上的减区间为(0,1)， 故选：B ．10．（2019春•西城区校级月考）若函数y x =+(1,)+∞上单调递增，则a 的取值范围是( ) A ．2a -B ．2a >-C ．1a -D ．1a >-【解析】解：根据题意，设t =2y t at =+，又由1x >，则1t =>，则(1,)+∞上为增函数，函数y x =+(1,)+∞上单调递增，则2y t at =+在(1,)+∞上也是增函数， 必有12a-，解可得2a -； 故选：A ．11．（2020春•绿园区校级期中）若函数20.5()log (25)f x x ax a =++在区间(,2)-∞-上单调递增，则实数a 的取值范围为( ) A ．(-∞，2]B ．(4-，2]C ．[4-，2]D ．(4,2)-【解析】解：函数20.5()log (25)f x x ax a =++在区间(,2)-∞-上单调递增， ∴函数225y x ax a =++ 在区间(,2)-∞-上单调递减，且满足0y >．∴24450a a a --⎧⎨-+⎩，求得42a -，故选：C ．12．（2019•河西区校级模拟）关于x 的函数212log (2)y x ax a =-+在[1，)+∞上为减函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(-∞，2]B ．(1,)-+∞C ．(1-，2]D ．(,1)-∞-【解析】解：函数212log (2)y x ax a =-+在[1，)+∞上为减函数，则22)t x ax a =-+在[1，)+∞上为增函数，且在[1，)+∞上大于0恒成立．则212120a a a ⎧⎪⎨⎪-+>⎩，解得12a -<．∴实数a 的取值范围是(1-，2]．故选：C ．二．填空题（共16小题）13．（2015•天津）已知0a >，0b >，8ab =，则当a 的值为 4 时，22log log (2)a b 取得最大值． 【解析】解：由题意可得当22log log (2)a b 最大时，2log a 和2log (2)b 都是正数， 故有1a >．再利用基本不等式可得222222222log log (2)log (2)log 16log log (2)[][][]4222a b ab a b +===，当且仅当24a b ==时，取等号，即当4a =时，22log log (2)a b 取得最大值， 故答案为：4．14．（2019秋•潮阳区期末）函数2()(28)f x ln x x =--的单调递增区间是 (4,)+∞ ． 【解析】解：由2280x x -->得2x <-或4x >， 设228t x x =--，则y lnt =是增函数， 要求函数2()(28)f x ln x x =--的单调递增区间， 等价为求函数228t x x =--的递增区间， 228t x x =--的递增区间为(4,)+∞，则函数()f x 的递增区间为(4,)+∞， 故答案为：(4,)+∞15．（2019•丰台区二模）若()log (2)a f x ax =-在[0，1]上是减函数，则a 的取值范围是 12a << ． 【解析】解：因为()f x 在[0，1]上是x 的减函数，所以(0)f f >（1）， 即log 2log (2)a a a >-． ∴11220a a a >⎧⇔<<⎨->⎩故答案为：12a <<．16．（2019秋•海南期末）已知函数2()(25)f x lg x ax a =+-在[2，)+∞上是增函数，则a 的取值范围为 [2-，4)【解析】解：函数2()(25)f x lg x ax a =+-在[2，)+∞上是增函数， 可得：24450a a a -⎧⎨+->⎩，解得[2a ∈-，4)．故答案为：[2-，4)．17．（2019秋•宝山区校级期末）若定义在R 上的函数21()xf x a +=（其中0a >，1)a ≠有最大值，则函数2()log (2)a g x x x =-的单调递增区间为 (,0)-∞ ．【解析】解：21x +有最小值为1，定义在R 上的函数21()x f x a +=（其中0a >，1)a ≠有最大值，01a ∴<<．则函数2()log (2)a g x x x =-的单调递增区间，即函数22(2)0t x x x x =-=->时的减区间， 为(,0)-∞， 故答案为：(,0)-∞．18．（2019秋•和平区期中）函数()f x =的单调递增区间是 (,1)-∞- ．【解析】解：函数()f x 的定义域为：(-∞，1)(6-⋃，)+∞．256y x x =--开口向上，在(,1)-∞-上是减函数，y =(,1)-∞-上是减函数，函数()f x =在(,1)-∞-上是增函数．所以函数()f x 的单调递增区间是：(,1)-∞-．故答案为：(,1)-∞-．19．（2019春•兴庆区校级期末）函数212log (32)y x x =-+的单调增区间为 (,1)-∞ ．【解析】解：由2320x x -+>，得1x <或2x >．∴函数212log (32)y x x =-+的定义域为(-∞，1)(2⋃，)+∞．当(,1)x ∈-∞时，内函数为减函数， 当(2,)x ∈+∞时，内函数为增函数，而外函数12log t 为减函数，∴函数21log (32)2y x x =-+的单调递增区间为(,1)-∞．故答案为：(,1)-∞．20．（2019春•嘉定区期末）函数22log (56)y x x =--的单调递减区间是 (,1)-∞- ．【解析】解：根据题意，函数22log (56y x x =--)分解成两部分：2()log f U U =外层函数，256U x x =--是内层函数．根据复合函数的单调性，可得若函数2log y x =单调增函数，则函数22log (56y x x =-- )单调递减区间就是函数256y x x =--单调递减区间， 52x∴， 考虑到函数的定义域，2560x x -->，得1x <-．故答案为：(,1)-∞-．21．（2019春•镇海区校级月考）函数211()()2x x f x --=的单调递减区间为 15[+，)+∞ ．【解析】解：函数211()()2x x f x --=210x x ∴--，求得152x-，或152x +， 故函数的定义域为15{|2x x-，或152x + }，本题即求21t x x =--在定义域内的增区间， 再根据二次函数的性质可得21t x x =--在定义域内的增区间为15[+)+∞，故答案为：15[+，)+∞．22．（2019春•南岗区校级月考）函数21122()log log 1f x x a x =++在1(,2)4上为增函数，则a 的取值范围为(-∞，4]- ．【解析】解：令12log t x =，在1(,2)4上，(1,2)t ∈-，且t 单调递减．函数221122()log log 1()1f x x a x g t t at =++==++，则2()1g t t at =++ 在(1,2)-上单调递减，22a∴-，解得4a -， 故答案为：(-∞，4]-．23．（2019春•越城区校级期中）函数212()log (67)f x x x =-++的单调递增区间为 [3，7) ，值域为 ．【解析】解：由2670x x -++>得2670x x --<， 得17x -<<，即函数的定义域为(1,7)-，设267t x x =-++，则函数12log y t =为减函数，要求()f x 单调递增，则求函数267t x x =-++的单调递减区间， 当37x <时，函数267t x x =-++，为减函数， ()f x ∴的单调递增区间为[3，7)，2267(3)16(0t x x x =-++=--+∈，16]，∴21122()log (67)log 164f x x x =-++=-，故函数的值域为[4-，)+∞， 故答案为：[3，7)，[4-，)+∞，24．（2019秋•普兰店市校级期末）函数()f x =的单调递减区间为 (-∞，3]- ．【解析】解：令260t x x =+-，可得3x -，或2x ，故函数的定义域为(-∞，3][2-，)+∞，且()f x =故本题即求函数t 在定义域内的减区间．结合二次函数26t x x =+-的性质可得t 在定义域内的减区间为(-∞，3]-， 故答案为：(-∞，3]-．25．（2018秋•杨浦区校级期末）函数122()(4174)f x x x =-+的单调递增区间是 [4，)+∞ ． 【解析】解：函数122()(4174)f x x x =-+，241740x x -+，求得12x ，或 4x ， 故函数的定义域为(-∞，1][42，)+∞．本题即求24174y x x =-+在定义域内的增区间，再利用二次函数的性质可得24174y x x =-+在定义域内的增区间[4，)+∞， 故答案为：[4，)+∞．26．（2020春•桥西区校级期中）函数22(1)2()2ax a x f x +-+=在区间(,4)-∞上为减函数，则a 的取值范围为[0，1]5．【解析】解：函数22(1)2()2axa x f x +-+=在区间(,4)-∞上为减函数，故函数22(1)2y ax a x =+-+在区间(,4)-∞上为减函数，故0a <时，不合题意． ∴02(1)42a a a >⎧⎪-⎨-⎪⎩，求得105a <．当0a =时，函数22(1)2y ax a x =+-+，即函数22y x =-+， 显然，它在区间(,4)-∞上为减函数， 综上，105a， 故答案为：[0，1]5．27．（2020春•沙坪坝区校级期末）函数22log (45)y x x =-++的单调递增区间是 (1-，2] ． 【解析】解：由2450x x -++>，得2450x x --<，解得15x -<<． 令245t x x =-++，其对称轴方程为2x =，且在(1-，2]上单调递增， 而外层函数2log y t =是定义域内的增函数，∴函数22log (45)y x x =-++的单调递增区间是(1-，2]．故答案为：(1-，2]．28．（2019秋•红岗区校级期末）函数21051()()2x x f x +-=的单调递增区间为 (,5)-∞- ；【解析】解：令2105t x x =+-，该函数的图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为5x =-， 则该函数的减区间为(,5)-∞-，而外层函数1()2t y =是减函数，则原函数的单调递增区间为(,5)-∞-．故答案为：(,5)-∞-．三．解答题（共7小题）29．（2019秋•南关区校级期末）已知函数2(43)y lg x x =-+-的定义域为M ， （1）求M ；（2）当x M ∈时，求函数2()234(3)x x f x a a +=+<-的最小值．【解析】解：（1）由题意，2202430xx x x -⎧⎪+⎨⎪-+->⎩，解得12x ，(1M ∴=，2]；（2）令2((2,4])xt t =∈，22224()()433()33a a f x g t at t t ==-+=+-163a ︒-<<-，即2243a<-<时，224()()33min a a g t g =-=-； 26a ︒-，即243a-时，()min g t g =（4）4816a =+ 24816,6()4,633mina a f x a a +-⎧⎪∴=⎨--<<-⎪⎩． 30．（2019秋•兴宁区校级月考）已知函数22()1x f x x =+．（1）求111(1)(2)(3)(4)()()()234f f f f f f f ++++++的值．（2）设1()()g x f x =，证明：()g x 在(0,)+∞上单调递减．【解析】解：（1）根据题意，22()1x f x x=+，则222111()111x f x x x ==++， 则有1()()1f x f x+=，又由f （1）11112==+， 则有111(1)(2)(3)(4)()()()234f f f f f f f f ++++++=（1）f +（2）1()2f f ++（3）1()3f f ++（4）117()111422f +=+++=，所以1117(1)(2)(3)(4)()()()2342f f f f f f f ++++++=；（2）证明：222111()1()x g x f x x x+===+，设120x x <<，则12211222221212()()11()()(1)(1)x x x x g x g x x x x x +--=+-+=， 又由120x x <<， 则有12()()0g x g x ->，即函数()g x 在(0,)+∞上单调递减．31．（2019•北京校级模拟）若02x ，求函数124325x x y -=-⨯+的最大值和最小值． 【解析】解：12214325(2)3252x x x x y -=-⨯+=-⨯+ 令2x t =，则2211135(3)222y t t t =-+=-+， 因为[0x ∈，2]，所以14t ，所以当3t =时，12min y =， 当1t =时，52max y =． 所以函数的最大值为52，最小值为12． 32．（2019•西湖区校级模拟）已知a R ∈，函数2()log [(3)34]f x a x a =-+-．（1）当2a =时，解不等式(3)0f x <；（2）若函数2(4)y f x x =-的值域为R ，求实数a 的取值范围；（3）设21()()log (2)g x f x a x =-+，若函数()y g x =有且只有一个零点，求实数a 的取值范围． 【解析】解：（1）当2a =时，22()log [(3)34]log (2)f x a x a x =-+-=-，不等式(3)0f x <，即2log (23)0x -<，0231x ∴<-<，求得1233x <<， 故不等式的解集为1(3，2)3． （2）若函数222(4)log [(3)(4)34]y f x x a x x a =-=--+-．的值域为R ， 则2(3)(4)34y a x x a =--+-能取遍所有的正实数，∴230[4(3)]4(3)(34)0a a a a ->⎧⎨=-----⎩，解得8a ，故要求的实数a 的取值范围为[8，)+∞．（3）满足题意时，21()log (2)f x a x=+ 恰好有一个解， 即：1(3)342a x a a x-+-=+ 恰好有一个解． 原问题：等价于方程2(3)(4)10a x a x -+--=在满足120a x +>时，只有唯一解， 即方程[(3)1](1)0a x x --+= 在满足120a x +>时，只有唯一解． ①若3a =时，解1x =-，此时 满足120a x+>； ②若2a =时，两根均为1x =-，此时 也满足120a x +>． ③若2a ≠且3a ≠时，两根为113x a =-，21x =-， 当13x a =-时，有123233a a a a x+=-+=-； 当1x =-时，有1221a a x+=-； 依题意，(33)(21)0a a --<，解得112a <<． 综上，a 的取值范围为1(2，1){2⋃，3}． 33．（2019•西湖区校级模拟）已知函数2()log (421)x x f x a a =+++，x R ∈． （Ⅰ）若1a =，求方程()3f x =的解集； （Ⅱ）若方程()f x x =有两个不同的实数根，求实数a 的取值范围．【解析】解：（Ⅰ）当1a =时，2()log (422)3x x f x =++=， 所以34222x x ++=，4260x x ∴+-=，即(23)(22)0x x +-=， 解得1x =，所以解集为{1}．（Ⅱ）因为方程2log (421)x x a a x +++=有两个不同的实数根， 即4212x x x a a +++=，有两个不同的实数根， 设2x t =，则2(1)(1)0t a t a +-++=在(0,)+∞有两个不同的解．令2()(1)(1)f t t a t a =+-++，由已知可得2(0)0102(1)4(1)0f a a a >⎧⎪-⎪->⎨⎪=--+>⎪⎩，解得13a -<<-，即a 的范围为(1,3--．34．（2019秋•海淀区校级期末）已知函数()log (1)log (3)a a f x x x =-++，其中0a >且1a ≠．（1）求函数()f x 的定义域；（2）若函数()f x 有最小值而无最大值，求()f x 的单调增区间．【解析】解：（1）要使函数有意义，则1030x x ->⎧⎨+>⎩，得13x x <⎧⎨>-⎩，得31x -<<， 即函数的定义域为(3,1)-，（2）2()log (1)log (3)log (1)(3)log (23)a a a a f x x x x x x x =-++=-+=--+ 2log ((1)4)a x =-++，设2(1)4t x =-++，当31x -<<时，04t <， 若函数()f x 有最小值而无最大值，则函数log a y t 为减函数，则01a <<， 要求()f x 的单调增区间，则等价于求2(1)4t x =-++，在31x -<<时的减区间， 2(1)4t x =-++的单调递减区间为[1-，1)， ()f x ∴的单调递减区间为[1-，1)．35．（2019秋•城固县校级期末）求函数212()log (23)f x x x =+-的递增区间．【解析】解：对于函数212()log (23)f x x x =+-，令2230t x x =+->，求得，1x >或3x <-，故函数的定义域为{|1x x >或3}x <-，本题即求函数t 在定义域内的减区间． 而二次函数223t x x =+-在定义域内的减区间为(,3)-∞-，． 所以函数()f x 的递增区间为(,3)-∞-．。
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复合函数的单调性完全解析与练习文稿归稿存档编号：[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58-课题：函数的单调性(二)复合函数单调性北京二十二中刘青教学目标1.掌握有关复合函数单调区间的四个引理.2.会求复合函数的单调区间.3.必须明确复合函数单调区间是定义域的子集. 教学重点与难点1.教学重点是教会学生应用本节的引理求出所给的复合函数的单调区间.2.教学难点是务必使学生明确复合函数的单调区间是定义域的子集. 教学过程设计师：这节课我们将讲复合函数的单调区间，下面我们先复习一下复合函数的定义.生：设y=f(u)的定义域为A ，u=g(x)的值域为B ，若AB ，则y 关于x 函数的y=f ［g(x)］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量.师：很好.下面我们再复习一下所学过的函数的单调区间.(教师把所学过的函数均写在黑板上，中间留出写答案的地方，当学生回答得正确时，由教师将正确答案写在对应题的下边.)(教师板书，可适当略写.) 例求下列函数的单调区间. 1.一次函数y=kx+b(k ≠0).解当k ＞0时，(－∞，+∞)是这个函数的单调增区间；当k ＜0时，(－∞，+∞)是这个函数的单调减区间.2.反比例函数y=x k(k ≠0).解当k ＞0时，(－∞，0)和(0，+∞)都是这个函数的单调减区间，当k ＜0时，(－∞，0)和(0，+∞)都是这个函数的单调增区间.3.二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0).解当a ＞0时(－∞，－a b 2)是这个函数的单调减区间，(－a b2，+∞)是它的单调增区间；当a ＜0时(－∞，－a b 2)是这个函数的单调增区间，(－a b2，+∞)是它的单调减区间；4.指数函数y=ax(a ＞0，a ≠1).解当a ＞1时，(－∞，+∞)是这个函数的单调增区间，当0＜a ＜1时，(－∞，+∞)是这个函数的单调减区间.5.对数函数y=log a x(a ＞0，a ≠1).解当a ＞1时，(0，+∞)是这个函数的单调增区间，当0＜a ＜1时，(0，+∞)是它的单调减区间.师：我们还学过幂函数y=x n (n 为有理数)，由于n 的不同取值情况，可使其定义域分几种情况，比较复杂，我们不妨遇到具体情况时，再具体分析.师：我们看看这个函数y=2x 2+2x+1，它显然是复合函数，它的单调性如何生：它在(－∞，+∞)上是增函数.师：我猜你是这样想的，底等于2的指数函数为增函数，而此函数的定义域为(－∞，+∞)，所以你就得到了以上的答案.这种做法显然忽略了二次函数u=x 2+2x+1的存在，没有考虑这个二次函数的单调性.咱们不难猜想复合函数的单调性应由两个函数共同决定，但一时猜不准结论.下面我们引出并证明一些有关的预备定理.(板书)引理1已知函数y=f ［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值域为(c ，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.(本引理中的开区间也可以是闭区间或半开半闭区间.) 证明在区间(a,b)内任取两个数x 1,x 2，使a ＜x 1＜x 2＜b.因为u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，所以g(x 1)＜g(x 2),记u1=g(x 1),u2=g(x 2)即u 1＜u 2,且u 1,u 2∈(c,d).因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，所以f(u 1)＜f(u 2),即f ［g(x 1)］＜f ［f(x 2)］，故函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.师：有了这个引理，我们能不能解决所有复合函数的单调性问题呢 生：不能.因为并非所有的简单函数都是某区间上的增函数.师：你回答得很好.因此，还需增加一些引理，使得求复合函数的单调区间更容易些. (教师可以根据学生情况和时间决定引理2是否在引理1的基础上做些改动即可.建议引理2的证明也是改动引理1的部分证明过程就行了.)引理2已知函数y=f ［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，其值域为(c ，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，复合函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.证明在区间(a,b)内任取两个数x 1,x 2，使a ＜x 1＜x 2＜b.因为函数u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，所以g(x 1)＞g(x 2),记u1=g(x 1),u2=g(x 2)即u 1＞u 2,且u 1,u 2∈(c,d).因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，所以f(u 1)＜f(u 2),即f ［g(x 1)］＜f ［f(x 2)］，故函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.师：我们明白了上边的引理及其证明以后，剩下的引理我们自己也能写出了.为了记忆方便，咱们把它们总结成一个图表.(板书)师：你准备怎样记这些引理有规律吗(由学生自己总结出规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函数；当两个函数的单调性不同时，其复合函数为减函数.)师：由于中学的教学要求，我们这里只研究y=f(u)为u 的单调函数这一类的复合函数.做例题前，全班先讨论一道题目.(板书).例1求下列函数的单调区间： y=log 4(x 2－4x+3)师：咱们第一次接触到求解这种类型问题，由于对它的解题步骤、书写格式都不太清楚，我们先把它写在草稿纸上，待讨论出正确的结论后再往笔记本上写.师：下面谁说一下自己的答案生：这是由y=log 4u 与u=x 2－4x+3构成的一个复合函数，其中对数函数y=log 4u 在定义域(0，+∞)上是增函数，而二次函数u=x 2－4x+3，当x ∈(－∞，2)时，它是减函数，当x ∈(2，+∞)时，它是增函数，.因此，根据今天所学的引理知，(－∞，2)为复合函数的单调减区间；(2，+∞)为复合函数的单调增区间.师：大家是否都同意他的结论还有没有不同的结论我可以告诉大家，他的结论不正确.大家再讨论一下，正确的结论应该是什么生：……生：我发现，当x=1时，原复合函数中的对数函数的真数等于零，于是这个函数没意义.因此，单调区间中不应含原函数没有意义的x的值.师：你说得很好，怎样才能做到这点呢生：先求复合函数的定义域，再在定义域内求单调区间.师：非常好.我们研究函数的任何性质，都应该首先保证这个函数有意义，否则，函数都不存在了，性质就更无从谈起了.刚才的第一个结论之所以错了，就是因为没考虑对数函数的定义域.注意，对数函数只有在有意义的情况下，才能讨论单调性.所以，当我们求复合函数的单调区间时，第一步应该怎么做生：求定义域.师：好的.下面我们把这道题作为例1写在笔记本上，我在黑板上写.(板书)u,u=x2－4x+3.由解设y=log4u＞0,u=x2－4x+3，解得原复合函数的定义域为x＜1或x＞3.师：这步咱们大家都很熟悉了，是求复合函数的定义域.下面该求它的单调区间了，怎样求解，才能保证单调区间落在定义域内呢生：利用图象.师：这种方法完全可以.只是再说清楚一点，利用哪个函数的图象可咱们并没学过画复合函数的图象啊这个问题你想如何解决生：……师：我来帮你一下.所有的同学都想想，求定义域也好，求单调区间也好，是求x的取值范围还是求复合函数的函数值的取值范围或是求中间量u的取值范围生：求x的取值范围.师：所以我们只需画x的范围就行了，并不要画复合函数的图象.(板书)师：当x∈(－∞，1)时，u=x2－4x+3为减函数，而y=logu为增函数，所以(－∞，1)是4u为增函数，所以，复合函数的单调减区间；当x∈(3，±∞)时，u=x2－4x+3为增函数y=log4(3，+∞)是复合函数的单调增区间.师：除了这种办法，我们还可以利用代数方法求解单调区间.下面先求复合函数单调减区间.(板书)u=x2－4x+3=(x－2)2－1,x＞3或x＜1，(复合函数定义域)x＜2(u减)解得x＜1.所以x∈(－∞，1)时，函数u单调递减.由于y=logu在定义域内是增函数，所以由引理知：u=(x－2)2－1的单调性与复合函数的4单调性一致，所以(－∞，1)是复合函数的单调减区间.下面我们求一下复合函数的单调增区间.(板书)u=x 2－4x+3=(x －2)2－1,x ＞3或x ＜1，(复合函数定义域) x ＞2(u 增)解得x ＞3.所以(3，+∞)是复合函数的单调增区间. 师：下面咱们再看例2. (板书)例2求下列复合函数的单调区间：y=log 31(2x －x 2)师：先在笔记本上准备一下，几分钟后咱们再一起看黑板，我再边讲边写.(板书) 解设y=log 31u,u=2x －x 2.由u ＞0u=2x －x 2解得原复合函数的定义域为0＜x ＜2.由于y=log 31u 在定义域(0，+∞)内是减函数，所以，原复合函数的单调性与二次函数u=2x －x 2的单调性正好相反.易知u=2x －x 2=－(x －1)2+1在x ≤1时单调增.由 0＜x ＜2（复合函数定义域） x ≤1，(u 增)解得0＜x ≤1,所以(0，1］是原复合函数的单调减区间. 又u=－(x －1)2+1在x ≥1时单调减，由 x ＜2，(复合函数定义域) x ≥1，(u 减)解得0≤x ＜2,所以0，1＝是原复合函数的单调增区间.师：以上解法中，让定义域与单调区间取公共部分，从而保证了单调区间落在定义域内. 师：下面我们再看一道题目，还是自己先准备一下，就按照黑板上第一题的格式写. (板书) 例3求y=267x x --的单调区间.(几分钟后，教师找一个做得对的或基本做对的学生，由他口述他的全部解题过程，教师在黑板上写，整个都写完后，教师边讲边肯定或修改学生的做法，以使所有同学再熟悉一遍解题思路以及格式要求.)解设y=u ,u=7－6x －x 2,由 u ≥0,u=7－6x －x 2解得原复合函数的定义域为－7≤x ≤1.因为y=u 在定义域［0+∞］内是增函数，所以由引理知，原复合函数的单调性与二次函数u=－x2－6x+7的单调性相同.易知u=-x 2-6x+7=-(x+3)2+16在x ≤-3时单调增加。
由 -7≤x ≤1,（复合函数定义域） x ≤-3,（u 增）解得-7≤x ≤-3.所以-7，3是复合函数的单调增区间. 易知u=－x 2－6x+7=－(x+3)2+16在x ≥－3时单调减，由 －7≤x ≤1(复合函数定义域) x ≥－3，(u 减)解得－3≤x ≤1，所以［－3，1］是复合函数的单调减区间.师：下面咱们看最后一道例题，这道题由大家独立地做在笔记本上，我叫一个同学到黑板上来做.(板书)例4求y=122)21(--x x 的单调区间.(学生板书)解设y=u)21(.由u ∈R,u=x 2－2x －1,解得原复合函数的定义域为x ∈R.因为y=u)21(在定义域R 内为减函数，所以由引理知，二次函数u=x 2－2x －1的单调性与复合函数的单调性相反.易知,u=x 2－2x －1=(x －1)2－2在x ≤1时单调减，由 x ∈R,(复合函数定义域) x ≤1，(u 减)解得x ≤1.所以(－∞，1］是复合函数的单调增区间.同理［1，+∞)是复合函数的单调减区间.师：黑板上这道题做得很好.请大家都与黑板上的整个解题过程对一下.师：下面我小结一下这节课.本节课讲的是复合函数的单调性.大家注意：单调区间必须是定义域的子集，当我们求单调区间时，必须先求出原复合函数的定义域.另外，咱们刚刚学习复合函数的单调性，做这类题目时，一定要按要求做，不要跳步.(作业均为补充题) 作业求下列复合函数的单调区间.1.y=log 3(x 2－2x);(答：(－∞，0)是单调减区间，(2，+∞)是单调增区间.)2.y=log 21(x 2－3x+2)；(答：(－∞，1)是单调增区间，(2，+∞)是单调减区间.)3.y=652-+-x x ,(答：［2，25是单调增区间，］［25，3］是单调减区间.)4.y=x17.0;(答：(－∞，0)，(0，+∞)均为单调增区间.注意，单调区间之间不可以取并集.) 5.y=232x -;(答(－∞，0)为单调增区间，(0，+∞)为单调减区间)6.y=3)31(+x ,(答(－∞，+∞)为单调减区间.)7.y=x2log3；(答：(0，+∞)为单调减区间.)8.y=)4(1log2x x -π；(答：(0，2)为单调减区间，(2，4)为单调增区间.)9.y=426x x -；(答：(0，3)为单调减区间，(3，6)为单调增区间.) 10.y=227xx -；(答(－∞，1)为单调增区间，(1，+∞)为单调减区间.)课堂教学设计说明1.复习提问简单函数的单调性.2.复习提问复合函数的定义.3.引出并证明一个引理，用表格的形式给出所有的引理.4.对于例1，教师要带着学生分析，着重突出单调区间必须是定义域的子集.例2中的第一题，还是以教师讲解为主.例2中的第二题，过渡到以学生讲述自己解法为主.例2中的第三题，以学生独立完成为主.5.小结，作业.我为什么要采取这几个环节呢因为从以往的经验看，当要求学生求复合函数的单调区间时，他往往不考虑这个函数的定义域，而这种错误又很顽固，不好纠正.为此，本节课我在廛为什么要求复合函数的定义域，以及定义域与单调区间的关系上，投入了较大的精力.力求使学生做到，想法正确，步骤清晰.为了调动学生的积极性，突出课堂的主体是学生，我把四道例题分了层次，第一道由教师引导、逐步逐层导出解题思路，由教师写出解题的全过程；第二题，思路由学生提供，格式还是再由教师写一遍，这样，既让学生有了获得新知识的快乐，又不必因对解题格式的不熟悉而烦恼；后两道例题是以中上等的学生自己独立解答为主的.每做完一道题，由教师简单地小结、修改，以使好学生掌握得更完备，较差的学生能够跟得上.(按ctrl 点击打开)。