2019年全国高中数学联赛江苏赛区市级选拔赛参考答案与评分细则

2019年全国高中数学联赛江苏赛区 市级选拔赛参考答案与评分细则

一、填空题（本题共10小题，每小题7分，共70分．要求直接将答案写在横线上．） 1．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2≥0}，B ＝{ x |x －a ≥1}，且A ∩ B ＝{x |x ≥3}，则实数 a 的值是 ． 答案：2．

解：A ＝{x |x ≥2或x ≤1}，B ＝{ x | x ≥a ＋1}．又A ∩ B ＝{x |x ≥3}，故a ＋1＝3，

解得a ＝2．

2．已知与三条直线x ＋y ＝1，x ＋ay ＝2，x ＋2y ＝3都相切的圆有且只有两个，则所有可能的实数a 的值的和为 ． 答案：3．

解：由题意知，这三条直线中恰有两条平行时符合题意，故a ＝1或2，

从而实数a 的值的和为3．

3．从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取3个不同的数，并从小到大排成一数列，此数列为等比数列的概率为 ． 答案：121

．

解：满足条件的等比数列共有4个：1，2，4；1，3，9；2，4，8；4，6，9．

故所求概率P ＝4C 39＝1

21

．

4．设a ，b ∈[1，2]，则 a 2＋b 2

ab 的最大值是 ．

答案：52

．

解：因为a ，b ∈[1，2]，所以(2a －b )( a －2b )≤0，展开得a 2

＋b 2

≤5

2ab ，即a 2＋b 2ab ≤52

．

且当a ＝1，b ＝2，或a ＝2，b ＝1时，a 2＋b 2ab ＝52，所以a 2＋b 2ab 的最大值为 5

2

．

5．在矩形ABCD 中，AC ＝1，AE ⊥BD ，垂足为E ，则 (AD →·AE →)(CB →·CA →

) 的最大值 是 ． 答案：4

27

．

解：如图，设∠CAB ＝θ，AC ＝1，AE ⊥BD ， 则AB ＝cos θ，AD ＝sin θ，AE ＝sin θcos θ，

A

B

C

D

E

于是 (AD →·AE →)(CB →·CA →

)＝sin 2θ·cos 2θ·sin 2θ

＝1

2

sin 2θ·2cos 2θ·sin 2θ ≤12(sin 2θ＋2cos 2θ＋sin 2

θ3)3＝427

， 等号当且仅当sin 2θ＝2cos 2θ，即tan θ＝ 2 时成立，故最大值为4

27

．

6．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 在A 1D 1上，点F 在CD 上，A 1E ＝2ED 1，DF ＝2FC ，则三棱锥B －FEC 1的体积是 ． 答案：5

27

．

解：如图，过F 作EC 1的平行线交BC 的延长线于G ， 则FG ∥平面BEC 1．

从而G 与F 到平面BEC 1的距离相等， 所以体积1FEC B V -＝1BGC E V -．

又 A 1E ＝2ED 1，DF ＝2FC ，所以CG ＝13ED 1＝1

9，

所以1FEC B V -＝1BGC E V -＝13×12×109×1×1＝5

27

．

7．设f (x )是定义在Z 上的函数，且对于任意的整数n ，满足f (n ＋4)－f (n )≤2(n ＋1)， f (n ＋12)－f (n )≥6(n ＋5)，f (－1)＝－504，则 f (2019)

673

的值是 ． 答案：1512．

解：由f (n ＋4)－f (n )≤2(n ＋1)，得

f (n ＋12)－f (n )≤f (n ＋12)－f (n ＋8)＋f (n ＋8)－f (n ＋4)＋f (n ＋4)－f (n )

≤2[(n ＋9)＋(n ＋5)＋(n ＋1)]＝6(n ＋5)．

又f (n ＋12)－f (n )≥6(n ＋5)，

所以 f (n ＋12)－f (n )＝6(n ＋5)，故f (n ＋4)－f (n )＝2(n ＋1)．

因此 f (2019)＝(f (2019)－f (2015))＋(f (2015)－f (2011))＋…＋(f (3)－f (－1))＋f (－1)

＝2(2016＋2012＋…＋4＋0)－504 ＝2020×504－504＝2019×504．

所以

f (2019)

673

＝1512． 8．函数f (x )＝x 2＋x x 2－3的值域是 ．

A 1

C D

A

E B

D 1

B 1

F C 1

G

答案：(3

2

，＋∞)．

解：原函数的定义域是(－∞，－3］∪［3，＋∞)．

当x ∈［3，＋∞)时，函数f (x )＝x 2＋x x 2－3为增函数，所以f (x )≥3；

当x ∈(－∞，－3］时，f (x )＝x 2＋x x 2－3＝x (x ＋x 2－3)＝

3x

x －x 2－3

＝

3

1+

1－3 x

2

，

因为x ∈(－∞，－3］，所以1≤1＋

1－3 x 2＜2， 3

2

＜31+

1－3

x

2 ≤3．

故原函数的值域是(3

2

，＋∞)．

9．已知△ABC 中，AC ＝8，BC ＝10，32cos(A －B )＝31，则△ABC 的面积是 ． 答案：157．

解：由正弦定理，得10sin A ＝8sin B ＝2sin A －sin B ＝18

sin A +sin B

，

由 32cos(A －B )＝31， 可得 tan A +B

2＝9 tan A －B 2

＝9·

1－cos(A －B )1＋cos(A －B ) ＝9·163＝3

7

，

所以 sin C ＝sin(A ＋B )＝2tan

A ＋B

21＋tan

2A ＋B 2 ＝37

8，

即 △ABC 的面积 S ＝157．

另解：由题设知，∠BAC ＞∠B ，作∠BAD ＝∠B ，D 在线段BC 上．

则∠CAD =∠A －∠B ．

设AD ＝x ，则BD ＝x ，DC ＝10－x ，

由余弦定理，

得 (10－x )2＝x 2＋64－2×8x ×31

32

，

解得x ＝8，则DC ＝10－x ＝2，

由此可得 cos C ＝18，sin C ＝37

8

，则△ABC 的面积 S ＝157．

10．设f (x )＝2x 3＋8x 2＋5x ＋9，g (x )＝2x 2＋8x ＋1．当n ∈N *时，则f (n ) 与 g (n ) 的最大公

因数 (f (n )，g (n )) 的最大值为 ． 答案：55．

A

B

C

D

x