数学建模作业、微分方程实验、北京工业大学

2微分方程实验

1、微分方程稳定性分析

绘出下列自治系统相应的轨线，并标出随 t 增加的运动方向，确定平■衡点, 并按稳定的、渐近稳定的、或不稳定的进行分类：

解：（1）由 f （x ） =x=0, f （y ） =y=0;可得平衡点为（0,0）,

___ 1 0

系数矩阵A

，求得特征值入1=1,入2=1;

0 1

p=-（入1+入2）=-2<0 , q=入1入2=1>0;对照稳定性的情况表，可知平■衡点（0, 0） 是

不稳定的。 图形如下：

（2）如上题可求得平衡点为（0,0 ），特征值入1=-1,入2=2;

p=-（入1+入2）=-1<0 , q-入1入2=-2<0;对照稳定性的情况表，可知平■衡点（0, 0） 是

不稳定的。 其图形如下:

dx

⑴dt dt

x, y;

dx

dt

dy

dt dx x, ⑶尸 2y ；晋 dx y

， (4) ? 2x;也 dt

x+1, 2y.

(3) 如上题可求得平■衡点为(0,0 )，特征值入1=0 + 1.4142i,入2=0 -1.4142i; p=-(入1+入2)= 0, q-入1入2=1.4142>0;对照稳定性的情况表，可知平■衡点(0, 0)是不稳定的。

其图形如下：

(4) 如上题可求得平衡点为(1,0 )，特征值入1=-1,入2=-2;

p=-(入1+入2)= 3>0, q=入1入2=2>0;对照稳定性的情况表，可知平■衡点(1, 0) 是稳定的。

其图形如下：

2、种群增长模型

一个片子上的一群病菌趋向丁繁殖成一个圆菌落.设病菌的数目为N,单位

成员的增长率为r1，则由Malthus生长律有竺r1 N，但是，处丁周界表面的dt

那些病菌由丁寒冷而受到损伤，它们死亡的数量与N2成比例，其比例系数为r2, 求N满足的微分方程.不用求解，图示其解族.方程是否有平衡解，如果有，是否为稳定的？

解：由题意很容易列出N满足的微分方程：坐r1N r2N； f(N)

dt

令f(N)=O,可求得方程的两个平■衡点N1=0,N2=「22/r i2

1 1

d2N 1 5 5

2 (r1 r2N 2) (r1N r2N 2)

dt 2

进而求得

A d2N 令r dt

2 2 0可求得N=r2 /4r〔

则N=N1 N=N2 N=r22/4r i2可以把第一象限划为三部分，且从下到上三部分中分

0,冬dt2

.2 2 c dN cdN c dN cdN 0, ；—0, —r 0; —0, ―r

dt dt dt dt

则可以画出N (t) 的图形，即微分方程的解族，如下图所示:

由图形也可以看出，对丁方程的两个平■衡点，其中

N1=0是不稳定的；N2=

^2 /「；是稳定的o

3、有限资源竞争模型

1926年Volterra 提出了两个物种为共同的、有限的食物来源而竞争的模型

当[b MX h 2X 2)]x dt dX

2 电 2(h i X i h 2X 2)]X 2

dt

假设也 坦，称垣为物种i 对食物不足的敏感度，

(1) 证明当x1(t0)>0时，物种2最终要灭亡； (2) 用图形分析方法来说明物种 2最终要灭亡.

解：(1)由上述方程组 f (x1) =[b 1

〔S' h 2x 2)]x 1=0,

f (x2)=电

2 (h 1X 1

h 2X 2)]X 2=0,可得方程的平■衡点为

R (0,0), P 1 (

E,0),

P 2 (0, M).

2 h 2

对平衡点P 。(0,0 ),

bi h 1 1X

1

h

2 1X 2

h

2 2X

1

。0

系数矩阵A

h

1 2X

2

b

2

n 2为

h

1 2X

2

0 b 2

则p=- (b1+b2) <0,所以该平■衡点不稳定。

对平■衡点P l J ),

i h i

系数矩阵1 X)h2 1 X2

K 2X2

h2 2为

b2 h1 2X1 h1 2X2

b1

h2

b2

h1

b1 2

则p= b1b2 b1 2

1

q= bi(b2

由题意3您,X1(t0)>0

1 2

,可以得出p>0,q>0,因此该平■衡点是稳定的。

即t 时，(X1(t), X2(t))

b i

(一二,0)，说明物种2最终要灭亡。

对平衡点P2 (0, E

2h2

同理可以得到q<0,在该平■衡点不稳定。

因此，在b,X1(t0)>0

1 2

的条件下，物种2最终要灭亡。

(2)对丁线性方程组bi

b

2

1(^X1 h2X2)

2

(h l X1 h2X2)

在平■面上匹配两条直线l 2,由题意4

1 垣,X1(t0)>0 ,可将第一象限分为2

三个区域。在最左边区域，X1,X2都大于0;在中间区域，X1, X2都小于0,在最右边区域，X 1,X 2分别是大于0和小于0.，由各区域中X 1,X 2的取值可得到如下图形: