§3.2.3坐标法中解方程组求向量的有关问题
破解向量问题的常用方法
破解向量问题的常用方法
向量问题在模考和高考中是热点问题。
由于向量集形数于一体，是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，因此解决向量问题时应该从多个角度去思考，今天老师带大家一起来探究一下解决向量问题的常用方法。
1
利用定义求解
定义法是解决相关问题的最基本的方法。
对向量来说，知道了“模”和“夹角”，内积就知道了。
2
利用基底求解
所谓基底法就是指利用平面向量基本定理，将所求的两个向量转
化到题中已知的两个不共线向量来求解。
3
利用坐标求解
所谓坐标法就是建立适当的直角坐标系，将向量用坐标的形式表示出来，用函数与方程的思想求解。
事实上，基底法的几道例题都可以用坐标法处理，坐标法有时更能解决较为复杂的问题。
4
利用代数化求解
所谓代数化就是利用代数语言翻译已知条件和所求结论，借助代数运算解决问题。
体现等价转化的思想。
5
利用平面几何性质求解
所谓几何法就是把向量问题利用平面几何的思想和方法，转化为几何问题，再用几何方法解决。
几何法中有几个基本的问题必须十分清楚，共线问题、共点问题、构造三角形、解三角形等等。
来源 | 上海初高中数学错题集。
浅谈用坐标法解与向量有关的问题
浅谈用坐标法解与向量有关的问题摘要】坐标法是解析几何中最基本的方法。
其思路是：通过建立平面直角坐标系，把几何问题转化为代数问题，将数与形紧密地结合起来，利用代数知识使问题得以解决。
【关键词】平面直角坐标系坐标法向量解析几何代数问题坐标法是解析几何中最基本的方法。
其思路是：通过建立平面直角坐标系，把几何问题转化为代数问题，将数与形紧密地结合起来，利用代数知识使问题得以解决。
下面通过对二类数学例题的简要分析，浅谈如何运用坐标法解决平面向量的问题。
（一）利用坐标法解与向量有关的选择题、填空题在平面向量中，解决有关最大、最小值问题是高考命题中一个比较常见的热点问题，题目主要考查平面向量的数量积、向量的模、向量的基本运算等重要知识点。
解题的方法除了运用数量积的定义，也可运用数量积的坐标运算。
综合运用三角、不等式、函数等内容。
解题的思想体现了数形结合、等价转换、函数与方程等思想方法。
在高考和平时的课堂教学中，学生解题过程时很难联想到引入直角坐标系、运用坐标建立函数模型、不等式模型解决问题。
那么，如何建立适当的直角坐标系呢？一是抓住题中直接或间接的垂直关系；二是抓住题中定量与不定量的关系；三是抓住是否有利于图形写出方程的简单化；四是抓住点的坐标更容易写出；五是所建立的直角坐标系不影响求解的结论。
下面用具体例子说明建立直角坐标系、运用坐标法解决平面向量最值问题（以下的解法仅给出坐标法说明，原标准方法在此不再列出）。
【例1】如图，半圆的直径AB=6，O为圆心，C为半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，说明：对于运用坐标法解决问题，学生存在对建立坐标的意识不够，对如何建立适当的直角坐标系，认知也不透。
本题仍然用符合题给条件的特殊情况并建立适当的直角坐标系，综合运用三角、方程、函数等内容问题得以解决。
（二）利用坐标法解与向量有关的解答题【例3】(高中数学必修4第3章复习参考题B组7改编) 如图所示,某村积极开展“美丽乡村生态家园”以上例题可以看出，在解决向量数量积、向量的模、向量的夹角等有关问题，以及在求有关最大、最小值问题时，常常会碰到某些难以突破的几何关系。
向量坐标知识点总结
向量坐标知识点总结一、向量的概念1.1 向量的定义向量是空间中具有大小和方向的量，通常用箭头来表示。
在数学中，向量通常用坐标表示，称为向量坐标。
1.2 向量的表示在二维空间中，向量可以用(x, y)表示，在三维空间中，向量可以用(x, y, z)表示。
通常向量用有向线段或箭头表示。
向量的方向由箭头的方向表示，长度由箭头的长度表示。
1.3 向量的性质向量有大小和方向，但没有固定的位置。
向量的大小是由模长表示，向量的方向是由箭头的指向表示。
向量的大小和方向唯一确定一个向量。
1.4 向量的相等两个向量相等的充分必要条件是它们的模长相等，且方向相同。
即如果向量A(x1, y1)和向量B(x2, y2)相等，则必须满足x1=x2且y1=y2。
二、向量的运算2.1 向量的加法向量的加法满足交换律和结合律。
具体表示为A+B=B+A, (A+B)+C=A+(B+C)。
2.1.1 几何法几何法求两个向量的和，可以将它们首尾相接，用三角形法则或平行四边形法则求得。
2.1.2 分量法分量法是将两个向量的x分量和y分量分别相加得到最终的向量。
2.2 向量的数乘向量的数乘是指一个数与向量的每个分量相乘得到新的向量。
具体表示为kA=(kx, ky)。
2.3 向量的线性组合向量的线性组合是指将若干个向量按一定比例相加得到新的向量。
具体表示为k1A+k2B=k3C，其中k1,k2为实数，A,B为向量，C为新的向量。
2.4 向量的点积向量的点积也称为内积，是指两个向量相应分量的乘积再相加得到一个数。
具体表示为A·B=x1x2+y1y2。
2.5 向量的叉积向量的叉积也称为外积，是指两个向量相乘再得到一个新的向量。
它是有向量的性质，叉积的结果是一个垂直于原来两个向量组成的平面的向量。
三、向量的坐标表示3.1 向量的坐标向量在坐标系中可以表示为(x, y)或(x, y, z)。
具体表示为A(x1, y1)或B(x1, y1, z1)。
高中数学学习中的向量与坐标应用技巧
高中数学学习中的向量与坐标应用技巧随着数学技能在高中阶段的提升，向量与坐标成为了数学学习中的重要概念。
向量和坐标不仅在数学理论中有着广泛的应用，还在实际问题中起到了关键的作用。
本文将介绍在高中数学学习中的向量与坐标应用技巧，帮助学生更好地理解和应用这些概念。
一、向量与坐标的基本概念在开始介绍应用技巧之前，让我们先来回顾一下向量与坐标的基本概念。
向量是具有大小和方向的量，用箭头来表示。
向量的大小用模表示，方向用箭头所指的方向表示。
坐标是描述一个点在平面上或者空间中位置的一组数值，通常表示为 (x, y) 或者 (x, y, z)。
二、向量与坐标在几何中的应用1. 向量的共线与垂直判断在几何中，判断两个向量是否共线非常重要。
共线表示两个向量具有相同的方向或者完全相反的方向。
判断方法：两个向量的方向相同或者相反，且模的比值相等，即可判断两个向量共线。
同样，判断两个向量是否垂直也是常见的几何问题。
判断方法：两个向量的内积为零时，可以推导出两个向量垂直。
2. 坐标系与平移变换在坐标系中，向量的坐标表示了向量在该坐标系下的位置。
平移变换是将平面上的点按照指定的方向和距离进行移动。
应用技巧：通过向量的加法和减法，可以实现点的平移变换。
将给定点的坐标与向量相加或者相减，得到平移后的点的坐标。
3. 矢量的数量积与向量的夹角数量积是向量的一个重要运算，用于计算两个向量的数量特征。
应用技巧：通过计算数量积，可以求得两个向量的模的乘积与两个向量夹角的余弦值。
三、向量与坐标在解析几何中的应用1. 直线的方程与向量表示直线可以通过方程或者向量表示。
应用技巧：利用两点坐标的差向量，可以确定一条直线的方向向量。
然后，通过一点确定直线的位置向量，进而得到直线的向量方程。
2. 平面的方程与向量表示平面的方程可以用一般式、点法式和向量法式表示。
应用技巧：在向量法式中，通过平面上的两个向量及其共线关系，可以得到平面的向量法式。
利用点法式，可以通过平面上的一点和法向量表示平面方程。
巧借坐标运算,妙解向量问题
２０２４年１月上半月㊀学习指导㊀㊀㊀㊀巧借坐标运算,妙解向量问题◉广东省深圳市红山中学㊀陈㊀晨㊀㊀摘要:利用坐标运算法解决平面向量问题是比较常见的一种技巧,也是解决平面向量中重点与难点问题的一大 法宝 ．结合实例剖析,通过平面直角坐标系的构建与对应坐标的表示,合理数学运算,减少逻辑推理,实现平面向量解题的程序化运算处理,指导数学教学与解题研究．关键词:平面向量;坐标;运算;数量积㊀㊀平面向量自身同时兼备 数 的基本属性与 形 的结构特征,是衔接代数与几何的一个纽带,更是数形结合的典范之一．而利用坐标运算法来处理平面向量的一些相关问题,将相应的平面几何的 形 的问题加以符号化处理㊁坐标化表示,转化为 数 的问题,进行数量化应用与数学运算处理,使得推理应用问题转化为数学运算问题,可以更加深入地解决一些复杂的综合性㊁创新性等平面向量应用问题．１参数值的问题在平面向量中,涉及向量线性关系的系数㊁线段的比例关系等相关参数值的求解,以及对应参数的代数关系式的求解问题,经常可以借助平面直角坐标系的构建,利用坐标运算法来进行数学运算与逻辑推理等．图１例１㊀ ２０２３届广东省六校联盟(广东省实验中学㊁广州二中㊁中山纪念中学等)高三上学期第三次联考数学试卷 如图１,在平面四边形A B C D 中,øB A D ＝５π６,øB A C ＝π６,A B ＝３,A D ＝２,A C ＝４,A C ң＝λA B ң＋μA D ң,则λ＋μ＝(㊀㊀)．A．２㊀㊀㊀B ．２３㊀㊀㊀C ．４㊀㊀㊀D．６分析:根据平面几何图形,合理构建平面直角坐标系,将平面图形中的线段长度与角度关系转化为对应的点的坐标,利用坐标运算来确定相应的向量,结合向量的坐标运算构建对应参数的关系式,进而确定图２所求关系式的值．解析:如图２所示,以点A 为坐标原点,A B 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系,则A (０,０),B (３,０),D (－３,１),C (２３,２),于是A C ң＝(２３,２),A B ң＝(３,０),A D ң＝(－３,１)．由A C ң＝λA B ң＋μA D ң,可得３λ－３μ＝２３,μ＝２,{解得λ＝４,μ＝２．{因此λ＋μ＝６．故选择答案:D ．点评:解决此类问题的方法比较多,可以通过 数 的思维来应用,也可以通过 形 的特征来分析．而利用坐标运算法解决平面向量中对应参数值的求解问题时,关键是将直观形象的平面几何图形放置于对应的平面直角坐标系中,借助相应的坐标表示,化逻辑推理为数学运算,借助坐标运算来分析与求解．２向量模的问题在平面向量中,涉及向量的模或模的取值范围(或最值)的求解问题,经常可以借助平面直角坐标系的构建,合理引入向量的坐标,进而利用坐标运算法来进行数学运算与逻辑推理等．例２㊀已知平面向量a ,b ,c 满足|c |＝１,且满足a c ＝２,b c ＝１,则|a ＋b |的最小值为．分析:根据题设条件,通过合理构建对应的平面直角坐标系,并引入向量a ,b 的坐标,结合向量的数量积公式确定相关参数的值,利用向量模的公式构建对应的关系式以及利用函数的基本性质来确定相应的最值问题．解析:依题建立相应的平面直角坐标系,不失一般性,不妨设c ＝(１,０),a ＝(x ,y ),b ＝(m ,n ),其中x ,y ,m ,n ɪR ．结合条件a c ＝２,b c ＝１,利用向量数量积的坐标公式,可得a c ＝x ＝２,b c ＝m ＝１．因为a ＋b ＝(x ＋m ,y ＋n ),所以|a ＋b |２＝(x ＋m )２＋(y ＋n )２＝９＋(y ＋n )２ȡ９,当且仅当y ＋n ＝０时,等号成立．所以|a ＋b |ȡ３,即|a ＋b |的最小值为３．故填答案:３．点评:借助适当的平面直角坐标系的构建并引入向量的坐标,为和向量的模合理构建对应的函数关系式,进而结合参数之间的关系与表示,利用函数的基５４学习指导２０２４年１月上半月㊀㊀㊀本性质来分析与转化．通过代数思维中的坐标运算来处理此类向量模的相关问题,借助纯粹的代数运算即可达到目的,目标明确．３数量积的问题在平面向量中,涉及平面向量的数量积以及数量积的线性关系式等的求解㊁取值范围(或最值)的确定问题,经常可以借助平面直角坐标系的构建,利用坐标运算法来进行数学运算与逻辑推理等．例３㊀ ２０２３届山东省潍坊市高考模拟考试数学试卷(２０２３年潍坊东营一模) 单位圆O :x ２＋y ２＝１上有两定点A (１,０),B (０,１)及两动点C ,D ,且O Cң O D ң＝１２,则C A ң C B ң＋D A ң D B ң的最大值是(㊀㊀)．A．２＋６B ．２＋２３C ．６－２D．２３－２分析:根据平面向量自身 数 的基本属性,通过数学运算,借助坐标法来转化与应用,巧妙引入点或夹角等参数,通过点的坐标㊁向量的坐标及其对应的运算㊁数量积公式等,综合三角函数等其他知识来应用．解析:根据O C ң O D ң＝１２,可得|O C ң||O D ң|c o søC O D ＝c o søC O D ＝１２,则øC O D ＝π３．不失一般性,设点C (c o s θ,s i n θ),θɪ[０,２π),则点D 的坐标为(c o s (θ＋π３),s i n (θ＋π３))．于是C A ң C B ң＋D A ң D B ң＝(１－c o s θ,－s i n θ)(－c o s θ,１－s i n θ)＋(１－c o s (θ＋π３),－s i n (θ＋π３))(－c o s (θ＋π３),１－s i n (θ＋π３))＝２－co s θ－s i n θ－c o s (θ＋π３)－s i n (θ＋π３)＝２＋(３２－３２)s i n θ－(３２＋３２)c o s θ＝２－６s i n (θ＋φ)ɤ２＋６,此时t a n φ＝２＋３,当且仅当s i n (θ＋φ)＝－１时,等号成立,即C A ң C B ң＋D A ң D B ң的最大值是２＋６．故选择答案:A ．点评:通过题目条件合理引入对应的点或夹角等参数,进而利用平面向量数量积的坐标公式,将已知条件转化为涉及参数的代数关系式,结合函数的图象与性质㊁三角函数的有界性或不等式的基本性质等来确定对应关系式的最值问题．此类问题利用代数思维往往更加方便,利用相应的数学运算即可得到最终结论．４创新应用问题创新意识与创新应用是新时代的一个主旋律．在平面向量中,涉及平面向量问题的创新应用也是一大主阵地,挖掘创新本质,合理构建平面直角坐标系,坐标运算法有时也是解决向量创新应用问题的一个不错的选择．例４㊀(２０２２届浙江省杭州市高三年级下学期４月教学质量检测数学试卷)对于二元函数f (x ,y ),m i n x {m a x y{f (x ,y )}}表示f (x ,y )先关于y 求最大值,再关于x 求最小值．已知平面内非零向量a ,b ,c ,满足:a ʅb ,a c |a |＝２b c |b |．记f (m ,n )＝|m c －b ||m c －n a |(m ,n ɪR ,且m ʂ０,n ʂ０),则m i n m{m a x n{f (m ,n )}}＝．分析:根据题目条件,巧妙建立相应的平面直角坐标系,引入对应向量的坐标参数,利用向量投影的几何意义并结合题设条件确定相关向量c 的坐标关系,进而利用平面向量的坐标运算㊁向量模的公式等构建对应的函数解析式,结合创新定义并利用函数的基本性质加以分步处理,分层解决．解析:依题建立相应的平面直角坐标系x O y ,结合a ʅb ,不失一般性,可设平面向量a ＝(a ,０),b ＝(０,b ),a ,b ɪR ．结合关系式a c |a |＝２b c|b |,借助向量投影的几何意义,可知c 在a 方向上的投影恰为c 在b 方向上投影的两倍,故可设c ＝(２t ,t ),t ɪR ,于是f (m ,n )＝|m c －b ||m c －n a |＝|m (２t ,t )－(０,b )||m (２t ,t )－n (a ,０)|＝５m ２t ２－２m t b ＋b ２５m ２t ２－４m n t a ＋n ２a ２＝５m ２t ２－２m t b ＋b２m ２t ２＋(２m t －n a )２．因此可得,当２m t ＝n a 时,m a x n{f (m ,n )}＝５m ２t ２－２m t b ＋b２m ２t２＝(bm t－１)２＋４,进而可得,当bm t＝１,即m t ＝b 时,m i n m {m a x n {f (m ,n )}}＝４＝２．所以m i n m{m a x n{f (m ,n )}}＝２,当且仅当n a ＝２m t ＝２b 时,等号成立．故填答案:２．点评:通过建系,利用坐标运算法,合理把握创新应用问题的实质,是处理此类平面向量中创新问题比较常用的一种通技通法．借助坐标运算法来解决平面向量的综合应用问题,通过点㊁向量等的坐标化处理,由 形 转化为 数 ,利用代数思维来解决平面向量中的 数 或 形 的相关问题,避免变幻莫测的直观图形和繁杂的逻辑推理等,实现平面几何问题的代数化,由变化多端的平面向量应用问题转化为对应坐标的代数运算问题,方向性强,思维单一,技巧易懂,方法灵活,值得借鉴与推广．Z６４。
掌握高中数学中的向量与坐标解题技巧
掌握高中数学中的向量与坐标解题技巧在高中数学中，向量与坐标是常见的解题工具，它们在几何、代数和物理等各个领域中都有广泛的应用。
掌握好向量与坐标解题技巧，不仅可以提高解题的效率，还可以拓展数学思维，培养逻辑推理和问题解决的能力。
本文将介绍一些常见的向量与坐标解题技巧，并通过例题进行说明。
一、向量解题技巧1. 向量的相加与相减：向量的相加与相减是基本的运算，常用于几何和代数问题的求解。
求解过程中需要注意向量的方向和大小，通常使用向量的坐标表示。
2. 向量的数量积：向量的数量积是两个向量间的乘法运算，计算结果是一个标量。
它可以用于求向量的模、两向量夹角的余弦及向量的投影等问题，也常用于解决几何和物理中的力学问题。
3. 向量的叉积：向量的叉积是两个向量间的乘法运算，计算结果是一个新的向量。
它可以用于求向量的方向、面积和体积等问题，常见于几何和物理中的空间解析几何和电磁学等领域。
二、坐标解题技巧1. 坐标系的建立：在解题过程中，需要根据具体问题建立合适的坐标系。
常见的坐标系有直角坐标系、极坐标系和参数方程等，需要根据题意选择适当的坐标系。
2. 坐标的转换与代入：考虑到问题的特殊性，可能需要进行坐标的转换以简化计算。
在解题过程中，可以根据需要将题目中给出的条件和已知信息代入到坐标中，进而得出结论。
3. 坐标方程的建立和求解：对于问题所给出的条件，可以建立相应的坐标方程来求解。
通过方程求解，可以得到问题的答案或者进一步化简问题。
三、例题分析例题1：已知三角形ABC的顶点坐标分别为A(1, 2)，B(4, 3)，C(2, -1)，求三角形ABC的面积。
解析：根据三角形面积的计算公式，可以利用向量的叉积来求解。
向量AB可以表示为(4-1, 3-2) = (3, 1)，向量AC可以表示为(2-1, -1-2) = (1, -3)。
计算向量AB和向量AC的叉积，得到：|AB x AC| = |(3, 1) x (1, -3)| = |(3*(-3) - 1*1, 3*1 - 3*1)| = |(-10, 0)| = 10三角形ABC的面积为10平方单位。
数学教案：解决向量问题的方法
数学教案：解决向量问题的方法一、引言向量在数学中扮演着重要的角色，它是描述方向和大小的物理量。
解决向量问题需要运用一些特定的方法和技巧。
本文将介绍几种常见的解决向量问题的方法，包括分解法、几何法和代数法。
二、分解法1. 向量分解原理向量可以根据其方向与坐标轴正反之间的夹角进行分解。
我们可以将向量沿着x轴和y轴分成两个分量，这样就得到了一个水平方向上的分量（通常称为x分量）和一个垂直方向上的分量（通常称为y分量）。
2. 分解法步骤步骤如下：1) 确定坐标轴正方向；2) 确定待求向量与坐标轴之间的夹角；3) 将待求向量按照其与坐标轴夹角进行分解；4) 根据具体问题要求，利用已知条件计算出所需结果。
三、几何法1. 平行四边形法则平行四边形法则是利用平行四边形性质来解决向量问题的方法。
当两个力或速度相互平行时，它们所构成的平行四边形的对角线等于两个向量之和。
2. 正弦定理和余弦定理正弦定理和余弦定理是在三角形中解决向量问题常用的方法。
正弦定理可以用来计算三角形内夹角与其边长之间的关系，而余弦定理则可以用来计算已知边长和夹角求解另一边长或另一个夹角。
四、代数法1. 向量加减法向量加减法是利用代数运算来解决向量问题的方法。
我们可以将向量表示为坐标形式，然后根据向量相加、相减的规则进行运算。
同时，我们还可以将给定的问题转化为方程组，并通过解方程组得到所需结果。
2. 数学工具在代数法中，有一些数学工具可以帮助我们更方便地计算向量问题。
例如矩阵运算可以简化代数运算步骤，标量积（点乘）和矢量积（叉乘）等操作也可通过行列式或矩阵进行计算。
五、总结解决向量问题主要有分解法、几何法和代数法这三种常见方法。
分解法适用于直接分析显性的水平和垂直分力；几何法可以通过平行四边形法则、正弦定理和余弦定理等来解决问题；代数法则是利用代数运算规律进行计算，并可以借助数学工具辅助求解。
选择合适的方法取决于具体的问题情境，掌握多种方法可以帮助我们更灵活地解决向量问题。
巧用坐标法解向量题
巧用坐标法解向量题“巧用坐标法解向量题”是指利用坐标系来解决向量问题，它能够有效地通过几何图形帮助我们理解向量的性质，更好地解决向量问题。
一、定义坐标法是一种解向量问题的方法，它是将向量看作由两个分量构成的矢量，并将其表示为一对量，可以使用坐标系将它们表示为一个点，而这个点相对于原点的偏移量就是向量的大小（即矢量的长度）和方向（即矢量的方向）。
二、结构坐标法由三部分组成：笛卡尔坐标系，坐标变换，矢量法则。
1. 笛卡尔坐标系：笛卡尔坐标系（Cartesian coordinate system）是一种二维坐标系，它包括一个原点和两个直角坐标轴，这两个坐标轴的起点均为原点，分别称为横轴（x轴）和纵轴（y轴），任意点在笛卡尔坐标系中的坐标都是一对正数，表示该点的横坐标和纵坐标，分别用x和y表示。
2. 坐标变换：坐标变换是指把一个坐标系中的坐标转换到另一个坐标系中，它不仅可以用于把坐标系中的点变换到其他坐标系中，而且还可以用于把向量变换到另一个坐标系中。
3. 矢量法则：矢量法则是矢量运算的基本原理，它指明在某一坐标系中，两个向量之和可以按照一定的规律确定，反之，任意一个给定的向量也可以按照一定的规律确定。
三、应用1. 求两个向量的夹角：要求两个向量的夹角，可以利用坐标法，首先将这两个向量在笛卡尔坐标系中用点的形式表示出来，然后求出它们的夹角，最后用三角函数计算出夹角的大小。
2. 求两个向量的点积：要求两个向量的点积，也可以利用坐标法，首先把它们在笛卡尔坐标系中用点的形式表示出来，然后计算它们的点积，最后得出结果。
3. 求叉积：要求两个向量的叉积，也可以利用坐标法，将它们在笛卡尔坐标系中用点的形式表示出来，然后计算它们的叉积，最后得出结果。
四、优点1. 运算简便：由于坐标法是一种图形计算方法，它可以使我们通过观察图形和计算简单的数学公式来计算出所需要的结果，这样避免了许多繁琐的计算步骤，使运算更加容易。
2. 容易理解：坐标法是以图形的形式来表达向量的特性，可以很容易地帮助我们理解向量的性质，更容易理解向量的运算。
高中数学解向量题的常用技巧和注意事项
高中数学解向量题的常用技巧和注意事项在高中数学中，向量是一个重要的概念，涉及到向量的运算、性质以及应用等方面。
解向量题需要掌握一些常用的技巧和注意事项，本文将通过具体的题目举例，分析解题的关键点，并给出一些解题技巧和注意事项。
一、向量的基本概念和性质在解向量题之前，首先需要了解向量的基本概念和性质。
向量由大小和方向两个要素组成，用有向线段表示，记作AB→。
向量的加法、减法、数乘等运算都遵循一定的规律。
同时，向量还有重要的性质，如共线、共面、平行、垂直等。
掌握这些基本概念和性质，对于解向量题具有重要的指导意义。
二、解决向量的运算问题1. 向量的加法与减法向量的加法与减法是解向量题中最常见的运算问题。
在解决这类问题时，可以利用向量的平行四边形法则或三角形法则进行计算。
具体来说，对于两个向量A→和B→，其和向量C→可以通过将A→和B→的起点相连得到，C→的起点为A→的起点，终点为B→的终点，即C→=A→+B→。
同样，向量的减法也可以通过向量的加法来进行计算。
举例：已知向量A→=2i+3j，向量B→=4i-2j，求向量C→=A→-B→的模长。
解析：根据向量的减法定义，C→=A→-B→=2i+3j-(4i-2j)=2i+3j-4i+2j=-2i+5j。
所以，向量C→的模长为√((-2)^2+5^2)=√29。
2. 向量的数量积与向量积向量的数量积和向量积是解向量题中常见的运算问题。
数量积（又称点积）是两个向量的乘积的数量，可以用来求解向量的夹角、判断两个向量的关系等。
向量积（又称叉积）是两个向量的乘积的向量，可以用来求解平行四边形的面积、判断两个向量的关系等。
举例：已知向量A→=2i+3j，向量B→=4i-2j，求向量A→与向量B→的夹角。
解析：根据向量的数量积公式，A→·B→=2×4+3×(-2)=8-6=2。
又因为A→的模长为√(2^2+3^2)=√13，B→的模长为√(4^2+(-2)^2)=√20，所以|A→·B→|=|A→||B→|cosθ，代入已知数据，可得cosθ=2/(√13×√20)。
向量与坐标的运算
向量与坐标的运算在数学中，向量（vector）是表示有方向和大小的物理量，通常用箭头表示。
坐标（coordinate）是一个点在坐标系中的位置，用有序数对表示。
向量与坐标之间存在着一种运算关系，通过这种关系我们可以进行向量的加法、减法、数乘等运算，以及向量的点积、叉积等计算。
一、向量的表示和运算向量通常用字母带箭头表示，例如向量a可以表示为→a。
向量有大小和方向两个要素，其中大小表示向量的长度，方向表示向量的指向。
向量的运算主要包括加法、减法和数乘。
1. 向量的加法向量的加法是指将两个向量进行相加。
设有向量→a和→b，它们的加法运算表示为：→a + →b = →c式中，→c表示向量→a与向量→b的和向量。
向量的加法满足交换律和结合律。
2. 向量的减法向量的减法是指将两个向量进行相减。
设有向量→a和→b，它们的减法运算表示为：→a - →b = →d式中，→d表示向量→a减去向量→b的差向量。
3. 向量的数乘向量的数乘是指将向量与一个实数相乘。
设有向量→a和实数k，它们的数乘运算表示为：k→a = →e式中，→e表示向量→a与实数k的积向量。
二、坐标的表示和运算坐标系统是描述点位置的一种方法，常用的有直角坐标系和极坐标系。
在直角坐标系中，我们用有序数对(x, y)表示点在平面上的位置。
1. 坐标的加法坐标的加法是指将两个坐标进行相加。
设有点A(x₁, y₁)和点B(x₂, y₂)，它们的加法运算表示为：A +B = C(x₁ + x₂, y₁ + y₂)式中，C(x, y)表示点A和点B坐标相加得到的新点C的坐标。
2. 坐标的减法坐标的减法是指将两个坐标进行相减。
设有点A(x₁, y₁)和点B(x₂, y₂)，它们的减法运算表示为：A -B = D(x₁ - x₂, y₁ - y₂)式中，D(x, y)表示点A减去点B得到的新点D的坐标。
3. 坐标的数乘坐标的数乘是指将坐标的每个分量与一个实数相乘。
高中数学向量坐标题解题方法
高中数学向量坐标题解题方法高中数学向量坐标解题方法在高中数学学习中，向量坐标是一个重要的概念，它不仅在几何中有广泛的应用，还与代数和物理等学科有密切的联系。
掌握向量坐标的解题方法，对于提高数学成绩和解决实际问题非常有帮助。
本文将从基础概念、解题步骤和应用举例三个方面，详细介绍高中数学向量坐标解题方法。
一、基础概念在解题前，首先需要了解向量坐标的基础概念。
向量坐标通常表示为(x, y)，其中x表示向量在x轴上的投影，y表示向量在y轴上的投影。
通过这种表示方法，我们可以将向量的运算转化为代数运算，方便求解。
二、解题步骤解题时，我们可以按照以下步骤进行：1. 确定向量的起点和终点：根据题目给出的信息，确定向量的起点和终点，并将其表示为坐标点。
2. 求取向量的坐标差：将终点的坐标减去起点的坐标，得到向量的坐标差。
3. 根据题目要求进行运算：根据题目要求，进行向量的加减、数乘、模长计算等运算。
4. 结合几何意义进行分析：根据向量的几何意义，分析题目中的问题，得出结论。
三、应用举例下面通过具体的题目来说明向量坐标解题方法。
例1：已知点A(1, 2)和点B(4, 5)，求向量AB的坐标。
解析：根据解题步骤，首先确定向量的起点和终点，即A(1, 2)和B(4, 5)。
然后求取向量的坐标差，即(4-1, 5-2)，得到向量AB的坐标为(3, 3)。
例2：已知向量AB的坐标为(2, 3)，求向量BA的坐标。
解析：根据解题步骤，首先确定向量的起点和终点，即A和B。
由于向量BA 与向量AB的坐标相反，所以向量BA的坐标为(-2, -3)。
例3：已知向量AB的坐标为(3, 4)，求向量AB的模长。
解析：根据解题步骤，首先确定向量的起点和终点，即A和B。
然后求取向量的坐标差，即(3, 4)，得到向量AB的坐标。
根据向量的模长公式，模长等于坐标差的平方和的平方根。
所以向量AB的模长为√(3^2+4^2)=√(9+16)=√25=5。
向量与解析几何如何用向量平面直角坐标系空间直角坐标系解决几何题目
向量与解析几何如何用向量平面直角坐标系空间直角坐标系解决几何题目在解析几何中，向量和平面直角坐标系以及空间直角坐标系是非常重要的工具，可以帮助我们解决各种几何题目。
本文将介绍向量的基本概念和性质，以及如何运用向量、平面直角坐标系和空间直角坐标系解决几何题目的方法。
一、向量的基本概念和性质在解析几何中，我们把有大小和方向的量称为向量。
向量通常用箭头表示，箭头的长度代表向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
向量也可以用坐标表示，比如二维向量可以表示为(x, y)，三维向量可以表示为(x, y, z)。
向量有一些基本的运算规则，包括向量的加法、减法、数量乘法和向量乘法等。
向量的加法和减法遵循平行四边形法则，即将两个向量首尾相接，得到的第三个向量即为它们的和或差。
向量的数量乘法是指将向量的大小与一个实数相乘，得到一个新的向量。
向量的乘法有点乘和叉乘两种，点乘得到的是一个标量，表示两个向量之间的夹角和长度的乘积；叉乘得到的是一个向量，它垂直于两个向量所在平面。
二、平面直角坐标系解决几何题目平面直角坐标系是最常用的坐标系之一，它由两个相互垂直的坐标轴组成。
在平面直角坐标系中，我们可以将点和向量表示为二维坐标(x, y)。
通过坐标的变化，我们可以计算两点之间的距离、两向量之间的夹角，并且可以进行向量的加法、减法等运算。
当解决几何题目时，我们可以运用平面直角坐标系来简化问题。
通过将问题中的点和向量表示为坐标形式，我们可以方便地计算它们之间的距离和夹角，进而得到几何问题的解。
同时，我们还可以通过向量的加法、减法等运算，找到一些几何性质和关系，从而得到更多的结论。
三、空间直角坐标系解决几何题目与平面直角坐标系类似，空间直角坐标系是由三个相互垂直的坐标轴组成。
在空间直角坐标系中，我们可以将点和向量表示为三维坐标(x, y, z)。
通过坐标的变化，我们可以计算三点之间的距离、两向量之间的夹角，并且可以进行向量的加法、减法等运算。
解向量的问题和应用
解向量的问题和应用向量是数学中一个重要的工具，它在多个领域中有着广泛的应用。
解决向量的问题涉及到对向量的基本性质、运算规则和应用技巧的理解。
本文将探讨解向量问题的方法和向量的应用。
一、向量的基本性质向量具有大小和方向两个基本属性，通常用有向线段表示。
向量的大小称为模，用 ||v|| 表示，方向由向量的箭头指示。
向量的起点和终点分别称为始点和终点，用 A、B 表示。
两个向量相等，当且仅当它们的模相等且方向相同。
二、向量的运算规则1. 向量的加法向量的加法满足平行四边形法则，即将两个向量的起点放在一起，然后以两个向量为边构成一个平行四边形，最后平行四边形的对角线即为两个向量的和。
向量的加法满足交换律和结合律。
2. 向量的数乘向量的数乘即将一个向量的模乘以一个实数，得到的向量与原向量具有相同的方向，但模的大小改变。
当实数为正数时，模变大；为负数时，模变小。
3. 向量的数量积向量的数量积（内积）是一种二元运算，定义为两个向量的模的乘积与它们夹角的余弦值的乘积。
数量积的结果是一个实数。
数量积满足交换律和分配律。
4. 向量的向量积向量的向量积（叉积）是一种二元运算，定义为两个向量的模的乘积与它们夹角的正弦值的乘积，结果是一个向量。
向量积的方向垂直于构成它的两个向量所在的平面，并符合右手法则。
三、解向量问题的方法在解向量问题时，可以利用向量的性质进行推导和计算。
常见的方法包括使用向量的三角函数以及利用向量的数量积和向量积来求解。
1. 利用向量的三角函数可以通过将向量表示成坐标形式，然后进行坐标之间的运算来解决问题。
常用的三角函数有正弦、余弦和正切，它们可以用来表示向量的夹角关系。
2. 利用向量的数量积向量的数量积可以用来计算向量的模、夹角以及判断向量的正交性。
通过运用数量积的性质，可以简化问题的求解过程，并得到准确的结果。
3. 利用向量的向量积向量的向量积常用于求解面积和体积的问题。
通过运用向量积的性质，可以得到准确的解答。
初中数学知识归纳向量的应用与解题方法
初中数学知识归纳向量的应用与解题方法初中数学知识归纳：向量的应用与解题方法在初中数学学习中，向量是一个重要而广泛运用的概念。
尤其在几何学和力学中，向量的应用更是十分常见。
本文将归纳向量的应用以及解题方法，让读者能更好地掌握这一内容。
一、向量的基本概念在数学中，向量是同时具有大小和方向的量，用箭头表示，比如AB。
向量由起点和终点组成，起点为向量的起始位置，终点为向量的结束位置，可以通过有向线段表示。
向量的大小可通过表示其长度的模来量化，记作|AB|。
向量的方向通常用与向量同方向的单位向量表示。
二、向量的表示与运算1. 向量的表示：向量可以使用坐标表示或分量表示。
坐标表示使用点的坐标差表示向量，如AB=(x2-x1, y2-y1)，其中(x1, y1)为起点，(x2, y2)为终点。
分量表示使用水平和垂直的分量表示向量，如AB=(a, b)，其中a为水平分量，b为垂直分量。
2. 向量的加法：向量的加法满足交换律和结合律，即A+B=B+A，(A+B)+C=A+(B+C)。
向量的加法采用平行四边形法则，将向量首尾相连，以首尾相接的第二个向量为准，从第一个向量的起点开始到第二个向量的终点为所求向量的起点和终点。
3. 向量的数量积：向量的数量积又称为点积，记作A·B=|A||B|cosθ，其中θ为两向量夹角的余弦值，|A|、|B|分别表示向量的模。
数量积的结果是一个标量而不是向量，表示两个向量的相似程度。
三、向量的应用领域1. 几何学中的应用：向量在几何学中广泛应用于图形的平移、旋转和对称变换等方面。
通过对向量进行平移运算，可以将一个图形沿特定的方向平行地移动一段距离。
旋转运算则是围绕某一点将图形按照一定角度旋转。
对称变换是指以某条直线、点或者平面为对称轴，将一个图形按照一定方式进行翻转或镜像。
2. 力学中的应用：向量在力学中的应用比较多，特别是在描述力的作用和物体平衡问题上。
例如，当多个力作用于一个物体上时，可以通过合力的概念来求得物体所受合力的大小和方向。
初中数学知识点向量的坐标与分解
初中数学知识点向量的坐标与分解初中数学知识点：向量的坐标与分解向量是初中数学中重要的概念之一，它具有方向和大小，可以表示物体的位移、速度和力等物理量。
在向量的研究中，了解向量的坐标与分解是非常重要的。
本文将介绍向量的坐标表示方法和向量的分解技巧。
一、向量的坐标表示方法向量的坐标是用有序数对表示的，通常用(a, b)表示。
其中，a表示向量在水平方向，即x轴上的投影长度；b表示向量在垂直方向，即y 轴上的投影长度。
例如，假设有向量AB，点A的坐标为(x₁, y₁)，点B的坐标为(x₂, y₂)，则向量AB的坐标表示为(Bx - Ax, By - Ay)。
其中，Bx和By分别表示点B的水平和垂直坐标，Ax和Ay分别表示点A的水平和垂直坐标。
二、向量的坐标操作1. 向量的相反向量向量的相反向量是指方向相反、大小相等的向量。
将一个向量的坐标中的元素取相反数，即可得到该向量的相反向量。
例如，向量AB的坐标为(a, b)，则向量BA的坐标为(-a, -b)。
2. 向量的相加向量的相加是指将两个向量的坐标分别相加，得到一个新的向量。
例如，设向量AB的坐标为(a₁, b₁)，向量CD的坐标为(a₂, b₂)，则向量AB + CD的坐标为(a₁ + a₂, b₁ + b₂)。
3. 向量的数乘向量的数乘是指将向量的坐标中的每个元素都乘以一个实数，得到一个新的向量。
例如，设向量AB的坐标为(a, b)，实数k表示一个常数，则向量kAB的坐标为(ka, kb)。
三、向量的分解向量的分解是指将一个向量拆解成两个分量的和，其中一个分量在某个方向上，另一个分量在该方向的垂直方向上。
1. 向量的水平和垂直分量设向量AB的坐标为(a, b)，将向量AB分解成水平和垂直分量的和。
水平分量的坐标为(a, 0)，垂直分量的坐标为(0, b)。
2. 向量的分解定理向量的分解定理是指将一个向量拆解成两个分量的和的公式表示。
设向量AB的坐标为(a, b)，将向量AB分解成向量AC和向量CB的和。
向量坐标法求解最值问题
向量坐标法求解最值问题概述向量坐标法是数学中常用的一种方法，用于求解各种最值问题。
它的基本思想是通过引入向量和坐标系的概念，将问题转化为几何形式，从而更加直观地进行分析和求解。
本文将介绍向量坐标法的基本原理和应用，并通过实际案例来说明其实际运用价值。
原理向量坐标法的基本原理是利用向量和坐标系的性质，将问题转化为几何形式进行求解。
在向量坐标法中，我们通常将对象抽象为向量，将对象的属性或特征抽象为向量的坐标，然后通过向量的运算，如向量加法、数乘等，来研究问题的特征和变化规律。
对于最值问题，向量坐标法的基本步骤如下：1.确定问题的对象和要求的最值类型，如最大值、最小值等。
2.将对象抽象为向量，并定义坐标系。
3.根据问题的要求，建立相应的约束条件，并用向量形式表示。
4.利用向量运算和几何性质，将约束条件转化成几何条件。
5.利用几何条件求解最值问题，可能需要用到如点、线、面等几何概念。
6.将几何解转化为数学解，得到最终的数值结果。
应用实例现在，我们通过一个实际案例来说明向量坐标法的应用。
案例描述假设有一块矩形农田，其中一边沿河而建，希望在农田中种植作物，以便得到最大的产量。
然而，由于河水的灌溉能力有限，因此需要在农田中选取一块面积最大的区域来种植作物。
求解过程1.确定对象和最值类型：在这个问题中，选择的对象是农田中的区域，要求的是区域的最大面积。
2.抽象为向量和定义坐标系：将农田的左下角点作为坐标原点，建立直角坐标系。
农田的长边和宽边分别可以用向量表示。
3.建立约束条件：约束条件包括农田的边界和河水的灌溉能力限制。
将这些约束条件用向量形式表示。
4.转化为几何条件：根据约束条件，确定农田的边界线和河水的灌溉范围。
这些几何条件可以表示为直线和多边形。
5.求解最大面积：根据几何条件，确定农田区域的形状，进而计算出最大面积。
6.转化为数学解：将几何解转化为数学表达式，求解出最终的数值结果。
结论通过向量坐标法求解最值问题，可以将抽象的数学问题转化为直观的几何问题，从而更加容易理解和分析。
审核牟必继主备张正勇
作业
P113
A组 11 12 B组 1 2
解1:∵D1C∥面A1BE ∴ D1到面A1BE旳距离即为
z
D1C到面A1BE旳距离.
D1
仿上例求得D1C到
A1
面A1BE旳距离为
d D1 A1 u 1
u
3
D
A
x
E
C1
B1
Cy
B
例4 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为 1，E为D1C1旳中点，求D1C到面A1BE旳距离.
解2 等体积法
小结
利用空间向量处理立体几何中旳问题, 首先要探索怎样用空间向量来表达点、 直线、平面在空间旳位置以及它们旳关 系.即建立立体图形与向量之间旳联络,这 么就能够将立体几何问题转化成空间向 量旳问题.处理立体几何中旳问题,有三种 常用措施:综合措施、向量措施、坐标措 施,对详细问题要会选用合适得措施.
nP
d | PO |
| PA | sin
O A
| PA | | n • PA | | n || PA |
| n • PA | |n|
4.异面直线旳距离:
①作直线a、b旳方向向量a、
b，求a、b旳法向量n，即此 异面直线a、b旳公垂线旳方
向向量；
A a M
②在直线a、b上各取一点
n
A、B，作向量AB；
含泪播种旳人一定能含笑收获
3.2.3 立体几何中旳向量措施
——距离问题
审核：牟必继
主备：张正勇
向量法求空间距离旳求解措施
1.空间中旳距离主要有:两点间旳距离、点到直线旳 距离、点到平面旳距离、直线到平面旳距离、平行 平面旳距离、异面直线间旳距离.其中直线到平面旳 距离、平行平面旳距离都能够转化点到平面旳距离.
高中数学学习中的向量与坐标分析方法
高中数学学习中的向量与坐标分析方法在高中数学学习中，向量与坐标分析方法是重要的内容之一。
向量是数学中常用的工具，它具有方向和大小，可以用于描述力、速度、位移等物理量。
而坐标分析方法则是一种将问题转化为坐标系中的几何问题，利用代数运算和几何图形的性质进行研究的方法。
本文将从向量的概念与性质、向量在几何中的应用、坐标系的建立与应用等方面进行探讨。
一、向量的概念与性质向量是具有大小和方向的量。
在数学中，向量通常用箭头表示，箭头的长度代表向量的大小，箭头的方向代表向量的方向。
向量的大小可以用绝对值表示，记作|AB|，其中A和B为向量的起点和终点。
向量还可以进行加法和数乘运算，加法运算是将两个向量的相应分量相加，数乘运算是将向量的每个分量乘以一个标量。
向量的性质包括共线、共面、平行、垂直等，这些性质在解决几何问题时非常有用。
二、向量在几何中的应用向量在几何中有广泛的应用，常见的应用包括向量的相加、向量的分解、向量的数量积和向量的叉积等。
向量的相加是指将两个向量的对应分量相加，通过向量的相加可以求解多边形的边长、线段的长度、力的合成等问题。
向量的分解是将一个向量分解为两个或多个部分，利用向量的分解可以解决平面内的正多边形和夹角问题。
向量的数量积是指将两个向量的对应分量相乘再求和，通过向量的数量积可以求解夹角、判定垂直、判定共线等问题。
向量的叉积是指根据右手法则求解，通过向量的叉积可以求解平面上向量的面积、判定共线、判定共面等问题。
三、坐标系的建立与应用坐标系是一种将几何问题转化为代数问题进行研究的方法。
在平面几何中，常用的坐标系有直角坐标系和极坐标系。
直角坐标系是通过两条相互垂直的坐标轴来确定平面上的点的位置，横坐标表示点在x轴上的投影，纵坐标表示点在y轴上的投影。
极坐标系是通过极径和极角来确定平面上的点的位置，极径表示点到极点的距离，极角表示点到极轴的角度。
利用坐标系，我们可以解决平面几何中的方程、曲线、曲面等问题，并进行代数运算、求解交点、计算面积等。
怎么用坐标求向量
怎么用坐标求向量在数学中，向量是一个有大小和方向的量，可以用坐标表示。
求解向量常常涉及到坐标系和向量的加减运算。
下面将介绍如何使用坐标求解向量的方法。
坐标系的建立在平面几何中，常用的坐标系有直角坐标系和极坐标系。
直角坐标系是以一个固定的原点为起点，通过两条相互垂直的坐标轴来确定一个平面。
坐标轴上的点根据原点的位置被赋予正或负的实数值，来表示该点在坐标轴上的位置。
要求解一个向量，首先需要建立一个合适的坐标系。
向量的表示在直角坐标系中，一个向量可以用坐标表示为一个由有序实数对组成的元组。
例如，我们用向量v表示一个有大小和方向的向量：v = (x, y)其中，x和y分别表示向量在x轴和y轴上的投影长度。
向量的加法向量的加法是指将两个向量的坐标对应相加，得到一个新的向量。
设v1 = (x1, y1)和v2 = (x2, y2)是两个向量，它们的和为v = (x1 + x2, y1 + y2)。
简单来说，就是将两个向量的对应坐标相加得到新向量的对应坐标。
向量的减法向量的减法也是通过对应坐标相减得到一个新的向量。
设v1 = (x1, y1)和v2 = (x2, y2)是两个向量，它们的差为v = (x1 - x2, y1 - y2)。
向量减法可以理解为加上一个负向量，即将被减向量的坐标取负值。
求向量的模向量的模是指向量的大小，也叫向量的长度。
在直角坐标系中，向量的模可以用勾股定理计算。
设v = (x, y)是一个向量，向量的模表示为|v|，计算公式为：|v| = sqrt(x^2 + y^2)即向量的模等于向量在x轴和y轴上的投影长度平方和的算术平方根。
求向量的方向向量的方向指的是向量所在直线的方向。
在直角坐标系中，向量的方向可以通过计算向量的斜率来得到。
为了得到较为准确的方向角，我们常常使用反正切来计算。
设v = (x, y)是一个向量，向量的方向表示为θ，计算公式为：θ = atan(y / x)其中，atan表示反正切函数。
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§3.2.3坐标法中解方程组求向量的有关
问题
§3.2.3坐标法中解方程组求向量的有关问题
【学情分析】：
教学对象是高二的学生，学生已经具备空间向量与立方体几何的相关知识,前面已经学习了直线的方向向量和平面的法向量，并且对坐标法也有一定的认识，本节课是进一步通过坐标法来解决立体几何的一些问题。
我们可以将这些问题，转化为空间向量的代数运算和方程组来解决。
【教学目标】：
（1）知识与技能：能根据图形的特点建立合适的空间坐标系并用坐标表示点和向量；对某个向量能用解方程组的方法求其坐标.
（2）过程与方法：在解决问题中，通过数形结合与问题转化的思想方法，加深对相关内容的理解。
（3）情感态度与价值观：体会把立方体几何几何转化为向量问题优势，培养探索精神。
【教学重点】：
解方程组求向量的的坐标.
【教学难点】：
解方程组求向量的的坐标..
【教学过程设计】：
教学环节教学活动设计意图
一、复习引入
1．单位向量，平面的法向量
（1）单位向量－－模为1的向量。
（2）平面的法向量－－垂直于平面的向量。
2．坐标法。
为探索新知识做准备.
二、探究与练习
一、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”
学生回顾用平面向量解决平面几何问题的“三步曲”，与老师共同得出用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”：
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转
化为向量问题；（化为向量问题）
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。
（回到图形问题）
二、例题
例1：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，
求证：平面A1BC1的法向量为直线DB1的方向向量. 分析：（1）建立空间坐标系；
（2）用坐标表示向量
（3）设平面A1BC1的方向向量为n=(x,y,z)，由下列关系
列方程组求x,y,z.
（4）证明向量n//
（解略）
思考：有更简单的方法吗？
向量与、的数量积为零即可。
例2，ABCD是一个直角梯形，角ABC是直角，SA垂直于平面ABCD，SA=AB=BC=1,AD=0.5,求平面SCD与平面SBA所成二面角的余弦。
分析：求二面角的余弦，可以转换为求它们的方向向量夹角的余弦。
所以本题关键是求平面的法向量。
解：以 A为原点建立空间直角坐标系，使点A、C、D、S的坐标分别为A（0，0，0）、C（－1，1，0）、D （0，0.5、0）、S（0，0，1）。
设平面
分析：建立坐标系，将向量坐标化，然后进行坐标形式下的向量运算。
为简化运算，可以选择以三角形的一个顶点为原点、一条边所在直线为一条轴、三角形所在平
面为坐标平面的坐标系。
探究：不建立坐标系，如何解决这个问题？
――求每个力向上的分力。
让学生通过回顾寻找将立体几何问题转化为向量问题的步骤。
例1在建立坐标系后，比较简单，容易把握。
分析中的
方法是为配合本次课的课题而设计的。
由学生回答本例的简便解法。
例2是一个典型的通过解方程组求法向量的问题，这类
问题可以不用作出二面角的平面角就求出结果。
取y＝2，因为只要向量的方向。
例3是数学与物理的综合应用问题，求合力转化为向量
的加法。
帮助学生理解如何建立坐标系。
单位向量的模为1。
开拓学生思维。
三、训练与提高1，课本P113第11题。
答案：3/8.学生进行提高训练应用.
四、小结1．根据图形特点建立合适的空间直角坐标系，用坐标表示点和向量，通过向量解决问题。
2．个别点和向量的坐标先假设，再列方程组来求出。
反思归纳
五、作业课本P112 ，第 6 题和P113第10题。
练习与测试：
（基础题）
1，已知S是△ABC所在平面外一点，D是SC的中点，若＝，则x＋y＋z＝．
答：0
2，把边长为的正三角形沿高线折成的二面角，点
到的距离是（）
A． B． C． D．
答：D
3，若a=(2x,1,3),b=(1,－2y,9),如果a与b为共线向量，则
A.x=1,y=1
B.x= ,y=－
C.x= ,y=－
D.x=－解析：因为a=(2x,1,3)与b=(1,－2y,9)共线，故有= = ,∴x= ,y=－ ,应选C.
答案：C
4，若空间三点A(1，5，－2)、B(2，4，1)、C(p,3,q+2)共线，则p=__________,q=__________.
解析：∵A、B、C三点共线，则 =λ ,即(1，－1，3)=λ(p－1,－2,q+4)，
∴ ∴λ= ，代入得p=3,q=2.
答案：3 2
（中等题）
5，棱长为a的正方体OABC—O1A1B1C1中，E、F分别为棱AB、BC上的动点，且AE=BF=x（0≤x≤a）. 如图，以O为原点，直线OA、OC、OO1分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
⑴ 求证：A1F⊥C1E；
⑵ 当△BEF的面积取得最大值时，求二面角
B1—EF—B的正切值.
证明：（1）A1（a，0．a），F（a-x，a，0），C1（0，a，a），E（a，x，0）
所以，由此得 =0，
A1F⊥（2）当△BEF的面积取得最大值时，E、F应分别为相应边的中点，可求得二面角B1—EF—B的正切值 .
6，如图，在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，点E 是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点.
试确定点F的位置，使得D1E⊥平面AB1F；
解：以A为坐标原点，建立下图所示的空间直角坐标系.
设DF=x，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，1，
0),A1(0,0,1),B1(1,0,1),D1 (0,1,1),
E(1, ,0),F(x,1,0).
∴ =(1，－，－1)， =(1，0，1)， =(x,1,0).
∴ =1－1=0，即D1E⊥AB1.
于是D1E⊥平面AB1F D1E⊥AF =0 x－ =0，即x故当点F是CD的中点时，D1E⊥平面AB1F.。