11851数学分支概览190402
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数学分支概览
◆ 数学基础ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
* 逻辑主义，形式主义，直觉主义。
◆ 数理逻辑
* 逻辑演算：命题、一阶、高阶、无穷、多值-模糊、模态、构造逻辑等。 * 模型论：模态模型论，非标准模型等。 * 公理集合论：集合论公理系统，力迫方法，选择公理，连续统假设等。 * 递归论：算法，递归函数，递归可枚举集，不可解度，广义递归论，判断问题， 分层理论等。 * 证明论：数学无矛盾性，哥德尔不完备性定理，构造性数学，希尔伯特计划等。
◆ 几何学
* 欧几里得几何学—希尔伯特公理系统：欧里几得空间，坐标系，圆周率，多边 形，多面体等。 * 解析几何学：直线，平面，二次曲线，二次曲面，二次曲线束，二次曲面束， 初等几何变换，几何度量等。 * 三角学 * 综合几何学：尺规作图—希腊几何三大问题等。 * 仿射几何学：仿射变换等。 * 射影几何学：对偶原理，射影坐标，射影测度，绝对形，交比-圆点，直线几 何等。 * 埃尔朗根纲领 * 非欧几里得几何学 * 微分几何学：曲线，曲面—直纹面—可展曲面—极小曲面等。 * 微分流形：张量，张量分析，外微分形式，流形上的偏微分算子，复流形，辛 流形，黎曼几何学，常曲率黎曼空间—齐性空间—黎曼流形的变换群—闵科夫斯 基空间，广义相对论，联络论，杨—米尔斯理论，射影微分几何学，仿射微分几 何学，一般空间微分几何学，线汇论，积分几何学等。
日插值多项式逼近，埃尔米特插值多项式逼近，三角多项式，连续模，强迫逼近， 有理函数逼近，正交多项式，帕德逼近，沃外尔什逼近，联合逼近，抽象逼近， 宽度，熵，线性正算子逼近，傅里叶和）等。 * 傅里叶分析：三角函数，傅里叶级数，傅里叶变换-积分（傅里叶积分算子， 乘子，共轭函数，卢津问题，李特尔伍德-佩利理论，正交系，极大函数，面积 积分，奇异积分，算子内插，BMO 空间，Hp 空间，奇异积分的变换子，佩利维纳定理，卷积，Ap 权），概周期函数，群上调和分析（哈尔测度，正定函数， 谱综合）等。 * 流形上的分析：霍奇理论，几何测度论，位势论等。 * 凸分析 * 非标准分析
◆ 运筹学
* 数学规则：线性规划，非线性规划，无约束优化方法，约束优化方法，几何规 划，整数规划，多目标规划，动态规划-策略迭代法，不动点算法，组合最优化网络流，投入产出分析等。 * 军事运筹学：彻斯特方程，对抗模拟，对策论，最优化等。 * 马尔可夫决策过程 * 搜索论 * 排队论 * 库存论 * 决策分析 * 可靠性数学 理论 * 计算机模拟 * 统筹学 * 优选学
◆ 计算数学
* 数值分析：数值微分等。 * 数值逼近：插值，曲线拟合等。 * 计算几何：样条函数值积分-数论网格求积分法，有限差演算，有限差方程等。
* 常微分方程初值问题数值解法：单步法，多步法，龙格-库塔法，亚当斯法等。 * 常微分方程边值问题数值解法：打靶法等。 * 高次代数方程求根 * 超越方程数值解法 * 非线性方程组数值解法：迭代法，牛顿法等。 * 最优化 * 线性规划：单纯形方法等。 * 无约束优化方法 * 约束优化方法 * 概率统计计算 * 蒙特卡罗达：伪随机数等。 * 代数特征值问题数值解法：广义特征值问题数值解法等。 * 线性代数方程组数值解法：稀疏矩阵，广义逆矩阵，对角优势矩阵，病态矩阵， 消元法—高斯消去法，松驰法，共轭梯度法等。 * 偏微分方程初值问题差分方法：计算流体力学，特片线法，守恒格式，分步法 （局部一维方法、交替方向隐式法、显式差分方法、隐式差分方法），有限差分 方法，有限元方法，里茨—加廖金方法，玻耳兹曼方程数值解法，算图—诺模图 等。 * 数值软件：并行算法，误差，最小二乘法，外推极限法，快速傅里叶变换—快 速数论变换，数值稳定性，区间分析，计算复杂性等。
* 域：代数扩张，超越扩张，伽罗瓦理论，代数基本定理，序域，赋值，代数函 数域，有限域，p 进数域等。
◆ 数论
* 初等数论：整除，同余，二次剩余，连分数，完全数，费马数，梅森数，伯努 利数，数论函数，抽屉原理等。 * 不定方程：费马大定理等。 * 解析数论：筛法，素分布法，黎曼 ζ 函数，狄利克雷特征，狄利克雷 L 函数， 堆垒数论-整数分拆，格点问题，欧拉常数等。 * 代数数论：库默尔扩张，分圆域，类域论等。 * 数的几何 * 丢番图逼近 * 一致分布 * 超越数论 * 概率数论 * 模形式论 * 二次型的算术理论 * 代数几何
◆ 数理统计学
* 参数估计：点估计，区间估计等。 * 假设检验：列联表等。 * 线性统计模型：回归分析，方差分析等。
* 多元统计分析：相关分析等。 * 统计质量管理：控制图，抽样检验，寿命数据统计分析，概率纸等。 * 总体 * 样本 * 统计量 * 实验设计法 * 抽样调查 * 统计推断 * 大样本统 计 * 统计决策理论 * 序贯分析 * 非参数统计 * 稳健统计 * 贝叶斯统计 * 时间序列分析 * 随机逼近 * 数据分析
◆ 概率论
* 概率分布（数学期望，方差，矩，正态分布，二项分布，泊松分布） * 随机过程（马尔可夫过程，平稳过程，鞅，独立增量过程，点过程，布朗运动， 泊松过程，分支过程，随机积分，随机微分方程，随机过程的极限定理，随机过 程统计，滤波，无穷粒子随机系统） * 概率 * 随机变量 * 概率论中的收敛 * 大数律 * 中心极限定理 * 条件期望
◆ 微分方程
* 常微分方程（初等常数微分方程,线性常微分方程,常微分方程初值问题,常微 分方程边值问题,常微分方程解析理论,常微分方程变换群理论,常微分方程定性 理论,常微分方程运动稳定性理论,哈密顿系统,概周期微分方程,抽象空间微分 方程,泛函数分方程—微分差分方程,常微分方程摄动方法,常微分方程近似解似 解,动力系统—拓扑动力系统—微分动力系统） * 偏微分方程（数学物理方程,一阶偏微分方程,哈密顿-雅可比理论,偏微分方程 特征理论,椭圆型偏微分方程-拉普拉斯方程,双曲型偏微分方程-波动方程,双曲 守恒律的间断解,抛物型偏微分方程—热传导方程,混合型偏微分方程,孤立子, 索伯列夫空间,偏微分方程的基本解,局部可解性,偏微分算子的特征值与特征函 数,数学物理中的反问题,自由边界问题,分歧理论,发展方程,不适定问题） * 积分方程：弗雷德霍姆积分方程,沃尔泰拉积分方程,对称核积分方程,奇异积 分方程,维纳-霍普夫方程,维纳-霍普夫方法等。
◆ 数学物理
◆ 控制理论
◆ 信息论
◆ 理论计算机科学
◆ 模糊性数学
◆ 拓扑学
* 一般拓扑学（拓扑空间，度量空间，维数，多值映射） * 代数拓扑学（同调论，同伦论—CW 复形，纤维丛—复叠空间，不动点理论— 闭曲面的分类—庞加莱猜想） * 微分拓扑学（流形-横截性） * 纽结理论 * 可微映射的奇点理论 * 突变理论 * 莫尔斯理论
◆ 分析学
* 函数：初等函数，隐函数等。 * 极限：函数的连续性等。 * 级数 * 微分学：导数，微分，中值定理，极值等。 * 积分学：积分，原函数，积分法，广义积分，含参变量积分等。 * 多元微积分学：偏导数，全微分，方向导数，雅可比矩阵，雅可比行列式，向 量，向量分析，场论等。 * 复变函数论：复变函数（解析函数，柯西积分定理，解析函数项级数，幂级数， 泰勒级数，洛朗级数，留数，调和函数，最大模原理，共形映射，特殊函数，整 函数，亚纯函数，解析开拓，椭圆函数，代数函数，模函数，函数值分布论，黎 曼曲线，单叶函数，正规族，拟共形映射，解析函数边值问题，狄利克雷级数， 解析函数边界性质，拉普拉斯变换，积分变换，泰希米勒空间，广义解析几何等） * 多复变函数论 * 实变函数论：勒贝格积分，有界变差函数，测度论，黎曼—斯蒂尔杰斯积分， 赫尔德不等式，施瓦兹不等式，闵科夫斯基不等式，延森不等式等。 * 泛函分析：泛函数，函数空间，索伯列夫空间，拓扑线性空间，巴拿赫空间， 半序线性空间，希尔伯特空间，谱论，向量值积分，线性算子，全连续算子，谱 算子，线性算子扰动理论，赋范代数，广义函数，非线性算子（泛函积分，算子 半群，遍历理论，不变子空间问题）等。 * 变分法：变分法，大范围变分法等。 * 函数逼近论：函数构造论，复变函数逼近（魏尔斯特拉斯—斯通定理，拉格朗
◆ 集合论
* 集合，映射，序数，基数，超限归纳法，悖论，数系，组合，图论、算术等。
◆ 代数学
* 多项式：代数方程等。 * 线性代数：行列式，线性方程组，矩阵，自向量空间，欧几里得空间，线性变 换，线性型，二次性，多重线性代数等。 * 群：有限群、多面群体、置换群、群表示论、有限单群等。 * 无限群：交换群，典型群，线性代数群，拓扑群，李群，变换群，算术群，半 群等。 * 环：交换环，交换代数，结合代数，非结合代数，李代数，模，格，布尔代数 等。 * 泛代数 * 范畴 * 同调代数—代数理论
◆ 数学基础ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
* 逻辑主义，形式主义，直觉主义。
◆ 数理逻辑
* 逻辑演算：命题、一阶、高阶、无穷、多值-模糊、模态、构造逻辑等。 * 模型论：模态模型论，非标准模型等。 * 公理集合论：集合论公理系统，力迫方法，选择公理，连续统假设等。 * 递归论：算法，递归函数，递归可枚举集，不可解度，广义递归论，判断问题， 分层理论等。 * 证明论：数学无矛盾性，哥德尔不完备性定理，构造性数学，希尔伯特计划等。
◆ 几何学
* 欧几里得几何学—希尔伯特公理系统：欧里几得空间，坐标系，圆周率，多边 形，多面体等。 * 解析几何学：直线，平面，二次曲线，二次曲面，二次曲线束，二次曲面束， 初等几何变换，几何度量等。 * 三角学 * 综合几何学：尺规作图—希腊几何三大问题等。 * 仿射几何学：仿射变换等。 * 射影几何学：对偶原理，射影坐标，射影测度，绝对形，交比-圆点，直线几 何等。 * 埃尔朗根纲领 * 非欧几里得几何学 * 微分几何学：曲线，曲面—直纹面—可展曲面—极小曲面等。 * 微分流形：张量，张量分析，外微分形式，流形上的偏微分算子，复流形，辛 流形，黎曼几何学，常曲率黎曼空间—齐性空间—黎曼流形的变换群—闵科夫斯 基空间，广义相对论，联络论，杨—米尔斯理论，射影微分几何学，仿射微分几 何学，一般空间微分几何学，线汇论，积分几何学等。
日插值多项式逼近，埃尔米特插值多项式逼近，三角多项式，连续模，强迫逼近， 有理函数逼近，正交多项式，帕德逼近，沃外尔什逼近，联合逼近，抽象逼近， 宽度，熵，线性正算子逼近，傅里叶和）等。 * 傅里叶分析：三角函数，傅里叶级数，傅里叶变换-积分（傅里叶积分算子， 乘子，共轭函数，卢津问题，李特尔伍德-佩利理论，正交系，极大函数，面积 积分，奇异积分，算子内插，BMO 空间，Hp 空间，奇异积分的变换子，佩利维纳定理，卷积，Ap 权），概周期函数，群上调和分析（哈尔测度，正定函数， 谱综合）等。 * 流形上的分析：霍奇理论，几何测度论，位势论等。 * 凸分析 * 非标准分析
◆ 运筹学
* 数学规则：线性规划，非线性规划，无约束优化方法，约束优化方法，几何规 划，整数规划，多目标规划，动态规划-策略迭代法，不动点算法，组合最优化网络流，投入产出分析等。 * 军事运筹学：彻斯特方程，对抗模拟，对策论，最优化等。 * 马尔可夫决策过程 * 搜索论 * 排队论 * 库存论 * 决策分析 * 可靠性数学 理论 * 计算机模拟 * 统筹学 * 优选学
◆ 计算数学
* 数值分析：数值微分等。 * 数值逼近：插值，曲线拟合等。 * 计算几何：样条函数值积分-数论网格求积分法，有限差演算，有限差方程等。
* 常微分方程初值问题数值解法：单步法，多步法，龙格-库塔法，亚当斯法等。 * 常微分方程边值问题数值解法：打靶法等。 * 高次代数方程求根 * 超越方程数值解法 * 非线性方程组数值解法：迭代法，牛顿法等。 * 最优化 * 线性规划：单纯形方法等。 * 无约束优化方法 * 约束优化方法 * 概率统计计算 * 蒙特卡罗达：伪随机数等。 * 代数特征值问题数值解法：广义特征值问题数值解法等。 * 线性代数方程组数值解法：稀疏矩阵，广义逆矩阵，对角优势矩阵，病态矩阵， 消元法—高斯消去法，松驰法，共轭梯度法等。 * 偏微分方程初值问题差分方法：计算流体力学，特片线法，守恒格式，分步法 （局部一维方法、交替方向隐式法、显式差分方法、隐式差分方法），有限差分 方法，有限元方法，里茨—加廖金方法，玻耳兹曼方程数值解法，算图—诺模图 等。 * 数值软件：并行算法，误差，最小二乘法，外推极限法，快速傅里叶变换—快 速数论变换，数值稳定性，区间分析，计算复杂性等。
* 域：代数扩张，超越扩张，伽罗瓦理论，代数基本定理，序域，赋值，代数函 数域，有限域，p 进数域等。
◆ 数论
* 初等数论：整除，同余，二次剩余，连分数，完全数，费马数，梅森数，伯努 利数，数论函数，抽屉原理等。 * 不定方程：费马大定理等。 * 解析数论：筛法，素分布法，黎曼 ζ 函数，狄利克雷特征，狄利克雷 L 函数， 堆垒数论-整数分拆，格点问题，欧拉常数等。 * 代数数论：库默尔扩张，分圆域，类域论等。 * 数的几何 * 丢番图逼近 * 一致分布 * 超越数论 * 概率数论 * 模形式论 * 二次型的算术理论 * 代数几何
◆ 数理统计学
* 参数估计：点估计，区间估计等。 * 假设检验：列联表等。 * 线性统计模型：回归分析，方差分析等。
* 多元统计分析：相关分析等。 * 统计质量管理：控制图，抽样检验，寿命数据统计分析，概率纸等。 * 总体 * 样本 * 统计量 * 实验设计法 * 抽样调查 * 统计推断 * 大样本统 计 * 统计决策理论 * 序贯分析 * 非参数统计 * 稳健统计 * 贝叶斯统计 * 时间序列分析 * 随机逼近 * 数据分析
◆ 概率论
* 概率分布（数学期望，方差，矩，正态分布，二项分布，泊松分布） * 随机过程（马尔可夫过程，平稳过程，鞅，独立增量过程，点过程，布朗运动， 泊松过程，分支过程，随机积分，随机微分方程，随机过程的极限定理，随机过 程统计，滤波，无穷粒子随机系统） * 概率 * 随机变量 * 概率论中的收敛 * 大数律 * 中心极限定理 * 条件期望
◆ 微分方程
* 常微分方程（初等常数微分方程,线性常微分方程,常微分方程初值问题,常微 分方程边值问题,常微分方程解析理论,常微分方程变换群理论,常微分方程定性 理论,常微分方程运动稳定性理论,哈密顿系统,概周期微分方程,抽象空间微分 方程,泛函数分方程—微分差分方程,常微分方程摄动方法,常微分方程近似解似 解,动力系统—拓扑动力系统—微分动力系统） * 偏微分方程（数学物理方程,一阶偏微分方程,哈密顿-雅可比理论,偏微分方程 特征理论,椭圆型偏微分方程-拉普拉斯方程,双曲型偏微分方程-波动方程,双曲 守恒律的间断解,抛物型偏微分方程—热传导方程,混合型偏微分方程,孤立子, 索伯列夫空间,偏微分方程的基本解,局部可解性,偏微分算子的特征值与特征函 数,数学物理中的反问题,自由边界问题,分歧理论,发展方程,不适定问题） * 积分方程：弗雷德霍姆积分方程,沃尔泰拉积分方程,对称核积分方程,奇异积 分方程,维纳-霍普夫方程,维纳-霍普夫方法等。
◆ 数学物理
◆ 控制理论
◆ 信息论
◆ 理论计算机科学
◆ 模糊性数学
◆ 拓扑学
* 一般拓扑学（拓扑空间，度量空间，维数，多值映射） * 代数拓扑学（同调论，同伦论—CW 复形，纤维丛—复叠空间，不动点理论— 闭曲面的分类—庞加莱猜想） * 微分拓扑学（流形-横截性） * 纽结理论 * 可微映射的奇点理论 * 突变理论 * 莫尔斯理论
◆ 分析学
* 函数：初等函数，隐函数等。 * 极限：函数的连续性等。 * 级数 * 微分学：导数，微分，中值定理，极值等。 * 积分学：积分，原函数，积分法，广义积分，含参变量积分等。 * 多元微积分学：偏导数，全微分，方向导数，雅可比矩阵，雅可比行列式，向 量，向量分析，场论等。 * 复变函数论：复变函数（解析函数，柯西积分定理，解析函数项级数，幂级数， 泰勒级数，洛朗级数，留数，调和函数，最大模原理，共形映射，特殊函数，整 函数，亚纯函数，解析开拓，椭圆函数，代数函数，模函数，函数值分布论，黎 曼曲线，单叶函数，正规族，拟共形映射，解析函数边值问题，狄利克雷级数， 解析函数边界性质，拉普拉斯变换，积分变换，泰希米勒空间，广义解析几何等） * 多复变函数论 * 实变函数论：勒贝格积分，有界变差函数，测度论，黎曼—斯蒂尔杰斯积分， 赫尔德不等式，施瓦兹不等式，闵科夫斯基不等式，延森不等式等。 * 泛函分析：泛函数，函数空间，索伯列夫空间，拓扑线性空间，巴拿赫空间， 半序线性空间，希尔伯特空间，谱论，向量值积分，线性算子，全连续算子，谱 算子，线性算子扰动理论，赋范代数，广义函数，非线性算子（泛函积分，算子 半群，遍历理论，不变子空间问题）等。 * 变分法：变分法，大范围变分法等。 * 函数逼近论：函数构造论，复变函数逼近（魏尔斯特拉斯—斯通定理，拉格朗
◆ 集合论
* 集合，映射，序数，基数，超限归纳法，悖论，数系，组合，图论、算术等。
◆ 代数学
* 多项式：代数方程等。 * 线性代数：行列式，线性方程组，矩阵，自向量空间，欧几里得空间，线性变 换，线性型，二次性，多重线性代数等。 * 群：有限群、多面群体、置换群、群表示论、有限单群等。 * 无限群：交换群，典型群，线性代数群，拓扑群，李群，变换群，算术群，半 群等。 * 环：交换环，交换代数，结合代数，非结合代数，李代数，模，格，布尔代数 等。 * 泛代数 * 范畴 * 同调代数—代数理论