二元二次方程组知识讲解解析
初三数学二元二次方程组知识精讲
初三数学二元二次方程组知识精讲二元二次方程组1. 二元二次方程含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫做二元二次方程。
相应地，按各项的次数分别叫做这个方程的二次项，一次项和常数项。
2. 二元二次方程组由两个二元二次方程或一个二元二次方程、一个二元一次方程组成的方程组，叫二元二次方程组。
3. 二元二次方程组的解法解方程组的基本思想是将多元方程向一元方程转化，将高次方程向低次方程转化，即通常说的消元和降次思想。
由一个二次和一个一次方程组成的二元二次方程组的一般解法是代入法，由两个二次方程组成的二元二次方程组，在中学阶段只研究它的几种特殊解法。
如果两个方程的二次项的对应系数成比例，可用加减消元法消去二次项。
例：解方程组24220363022x xy x y x xy x y +--+=+-+=⎧⎨⎪⎩⎪①②解：②×①×2-3得4960x y +-=解方程组496036302x y x xy x y +-=+-+=⎧⎨⎩ 得x y x y 1122214932=-=⎧⎨⎪⎩⎪=-=⎧⎨⎩ 如果方程组中含有某一未知数的对应项的系数的比相等，可用加减消元法消去这个未知数。
例：解方程组2422022402222x xy y x y x xy y x y -++-+=--+-+=⎧⎨⎪⎩⎪①②解：②×①()-+2得 33602y y +-= ∴，y y 1212==- 把y 11=，代入②得x 无解把y 22=-代入②得x =-1或x =-4 ∴原方程组的解是x y x y 11221242=-=-⎧⎨⎩=-=-⎧⎨⎩ 如果方程组中至少有一个方程可以分解为一次方程的方程组，可用因式分解法解。
例：解方程组x y x xy y 222252320+=--=⎧⎨⎪⎩⎪①②解：由②得()()220x y x y +-= ∴20x y +=或x y -=20 ∴原方程组可化为两个方程组x y x y 22520+=+=⎧⎨⎩与x y x y 22520+=-=⎧⎨⎩解得x y x y x y x y 1122334412122121==-⎧⎨⎩=-=⎧⎨⎩==⎧⎨⎩=-=-⎧⎨⎩ 如果两个方程都没有一次项，可用加减消元法消去常数项，再用因式分解法求解。
二元二次方程组解析
二元二次方程组解析1. 引言二元二次方程组是指包含两个未知数和两个二次方程的方程组。
解析二元二次方程组能够帮助我们找到方程组的解，从而解决实际问题。
本文将介绍解析二元二次方程组的方法和步骤。
2. 解析二元二次方程组的一般形式解析二元二次方程组的一般形式可以表示为：\[\begin{cases}a_1x^2 + b_1xy + c_1y^2 + d_1x + e_1y + f_1 = 0 \\a_2x^2 + b_2xy + c_2y^2 + d_2x + e_2y + f_2 = 0 \\\end{cases}\]其中，\(a_1, b_1, c_1, d_1, e_1, f_1, a_2, b_2, c_2, d_2, e_2, f_2\) 是已知系数。
3. 解析二元二次方程组的求解步骤解析二元二次方程组的求解步骤如下：步骤 1: 通过消元法得到标准形式将方程组中的交叉项\(b_1xy\)和\(b_2xy\)通过适当的线性变换消掉，从而得到标准形式。
步骤 2: 求解标准形式下的方程组求解标准形式下的方程组，可以通过因式分解、配方法或完成平方等数学方法得到方程组的解。
步骤 3: 确定解析二元二次方程组的解利用步骤 2 得到的解，求解原方程组，从而得到解析二元二次方程组的解。
4. 例子以下是一个解析二元二次方程组的例子：\[\begin{cases}x^2 + 4xy + 4y^2 - 6x - 8y + 5 = 0 \\4x^2 + xy + y^2 - 20x - 12y + 15 = 0 \\\end{cases}\]解析这个方程组的步骤如下：步骤 1: 得到标准形式通过减去第一个方程的4倍和第二个方程的1倍，消去交叉项\(4xy\)和\(xy\)，得到标准形式：\[\begin{cases}x^2 + 4y^2 - 10x - 12y + 5 = 0 \\3x^2 + 4y^2 - 12x - 11y + 15 = 0 \\\end{cases}\]步骤 2: 求解标准形式方程组通过因式分解或其它方法，求解标准形式方程组，得到以下解：\[\begin{cases}x = 1, y = 1 \\x = 3, y = -1 \\\end{cases}\]步骤 3: 确定解析方程组的解将步骤2 得到的解代入原方程组进行验证，得到以下解析结果：\[\begin{cases}x = 1, y = 1 \\x = 3, y = -1 \\\end{cases}\]这就是解析二元二次方程组的解。
数学解二元二次方程组的方法
数学解二元二次方程组的方法一、引言解二元二次方程组是初中数学中的重要内容之一，通过本课的学习，我们将掌握解二元二次方程组的方法和技巧，培养解决实际问题的能力。
二、知识梳理在开始讲解解二元二次方程组的方法之前，我们先来回顾一下二元二次方程的含义和解法。
1. 二元二次方程的定义二元二次方程是由两个含有未知数的二次方程构成的方程组，一般形式如下：{ax^2 + by^2 + cx + dy + e = 0{fx^2 + gy^2 + hx + iy + j = 0其中a、b、c、d、e、f、g、h、i、j是已知实数，且a和f不能同时为0。
2. 解二元二次方程的方法解二元二次方程组的方法有以下几种：（1）代入法：将一个方程的解代入到另一个方程中，得到一个关于一个未知数的一元二次方程，从而求出另一个未知数的值。
（2）消元法：通过消去其中一个未知数，将二元二次方程组化简成为一元二次方程，再通过一元二次方程的解法求解。
（3）配方法：将二元二次方程组中的一个方程配方后代入到另一个方程中，然后利用一元二次方程的解法求解。
三、解二元二次方程组的具体步骤下面，我们将分别介绍代入法、消元法和配方法来解二元二次方程组的具体步骤。
1. 代入法（1）选定一个方程，将其中一个未知数表示出来，如选取第一个方程中的x，将其表示为y的函数。
（2）将上一步中得到的表达式代入到另一个方程中，得到一个关于y的一元二次方程。
（3）解出y的值，然后将其代入到第一个方程中，求出x的值。
（4）最后，验证所得的x和y是否满足原方程组。
2. 消元法（1）通过系数的倍数，使得二元二次方程组中其中一个未知数的系数相等或者互为相反数。
（2）将得到的两个方程相加或相减，消去其中一个未知数。
（3）得到一元二次方程，求解该方程得到一个未知数的值。
（4）将求出的未知数代入其中一个方程，求出另一个未知数的值。
（5）最后，验证所得的解是否满足原方程组。
3. 配方法（1）选取一个方程，将其中一个未知数配方后代入到另一个方程中。
初中数学 什么是二元二次方程组
初中数学什么是二元二次方程组二元二次方程组是由两个二次方程组成的方程组。
每个二次方程通常具有形如ax^2 + bx + c = 0 的标准形式，其中a、b 和c 是已知系数，x 是未知数。
二元二次方程组的一般形式如下：a1x^2 + b1xy + c1y^2 + d1x + e1y + f1 = 0a2x^2 + b2xy + c2y^2 + d2x + e2y + f2 = 0其中a1、b1、c1、d1、e1、f1、a2、b2、c2、d2、e2 和f2 都是已知的系数，x 和y 是未知数。
解二元二次方程组需要找到满足两个方程同时成立的变量值（即x 和y 的值）。
解的形式可以是唯一解、无解或者无穷多解。
要解决二元二次方程组，可以使用以下方法：1. 消元法：使用消元法可以通过消去其中一个未知数的平方项来简化方程组。
首先，通过除以一个方程中的系数，使得两个方程中二次项的系数相等。
然后，将两个方程相减，可以消去一个未知数的平方项，得到一个一元二次方程。
通过解这个一元二次方程，可以求得一个未知数的值。
将求得的值代入另一个方程中，可以求得另一个未知数的值。
2. 代入法：使用代入法可以将一个方程的一个未知数表示为另一个未知数的函数，并将其代入另一个方程中。
这样可以得到一个只包含一个未知数的一元二次方程。
通过解这个一元二次方程，可以求得一个未知数的值。
将求得的值代回到另一个方程中，可以求得另一个未知数的值。
3. 图像法：通过绘制两个二次方程的图像，可以观察它们的交点来确定解。
交点的横坐标和纵坐标分别对应于x 和y 的值。
通过观察交点的数量和位置，可以判断方程组的解的情况。
4. 矩阵法：将二元二次方程组写成矩阵形式，并利用矩阵运算求解。
将未知数的系数和常数项排列成矩阵形式，然后根据矩阵的性质和运算来求解方程组的解。
需要注意的是，解二元二次方程组可能会得到不同的解形式，包括唯一解、无解或者无穷多解。
具体的解形式取决于方程组的特点和系数的取值。
初高中衔接——二元二次方程组求解讲义
知识梳理二元二次方程组的含义：二元二次方程组是指由两个未知数构成，且未知数的最高次数至少有一个为二次的方程组.其一般形式可以表示为：{a1x2+b1xy+c1y2+d1x+e1y+f1=0a2x2+b2xy+c2y2+d2x+e2y+f2=0.其中，a i,b i,c i,d i,e i,f i(i=1,2)为常数，且a1,b1,c1或a2,b2,c2不同时为零.二元二次方程组的求解思想：二元二次方程组的求解思想主要是“消元”与“降次”.消元，即通过一定的方法减少未知数的个数.例如，可以利用代入消元法或加减消元法，将两个未知数中的一个用另一个表示，从而将方程组转化为只含有一个未知数的方程.降次，是指降低方程中未知数的次数.通过对方程进行变形、因式分解、配方等操作，将二次方程转化为一次方程来求解.二元二次方程组的求解原理：二元二次方程组的求解原理主要基于等量代换和方程变形.通过对其中一个方程进行变形，用一个未知数表示另一个未知数，然后将其代入另一个方程，实现消元，把二元转化为一元.对于二次方程，利用配方法、因式分解等手段将其变形为乘积形式，从而降低方程的次数，达到求解的目的.其本质是利用数学的恒等变形和等量关系，逐步简化方程组，求出未知数的值，使得方程组中的两个方程同时成立.二元二次方程组的求解方法及步骤：1.代入消元法代入消元法是解决二元二次方程组的基本方法之一。
其基本思想是将一个方程中的一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，然后代入另一个方程中，从而消去一个未知数，得到一个一元二次方程，先求出一个未知数再代回原式进而求出另一个未知数。
2.加减消元法加减消元法也是解决二元二次方程组的基本方法之一。
其基本思想是通过将两个方程相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元二次方程，先求出一个未知数再代回原式进而求出另一个未知数。
3.因式分解法因式分解法是解决二元二次方程组的一种特殊方法。
其基本思想是将方程组中的两个方程进行因式分解，然后将因式分解后的式子相乘，得到一个一元二次方程，先求出一个未知数再求出另一个未知数。
二元二次方程组
二元二次方程组在数学中，二元二次方程组是由两个二次方程组成的方程组。
它的一般形式为：ax^2 + by^2 + cx + dy + e = 0fx^2 + gy^2 + hx + iy + j = 0其中，a、b、c、d、e、f、g、h、i、j为已知系数，同时x和y是未知数。
求解二元二次方程组的目标是找到满足上述两个方程的x和y的值。
二元二次方程组的解法可以使用代数方法或图形方法。
下面将介绍两种常见的解法。
一、代数方法对于二元二次方程组，我们可以通过消元或代入法来求解。
1. 消元法消元法的思路是通过消去一个未知数，将方程组转化为一元二次方程，然后再求解。
首先，我们可以通过乘法或加减运算将两个方程的系数配平，使得其中一个未知数的系数相等，然后相减或相加，消去该未知数。
举例来说，假设我们有以下方程组：2x^2 + 3y^2 + 4x + 5y + 6 = 03x^2 + 2y^2 + 5x + 4y + 7 = 0我们可以将第一个方程乘以2，第二个方程乘以3，使得x的系数相等，得到：4x^2 + 6y^2 + 8x + 10y + 12 = 09x^2 + 6y^2 + 15x + 12y + 21 = 0然后，我们将两个方程相减，消去x，得到一元二次方程：(9x^2 + 6y^2 + 15x + 12y + 21) - (4x^2 + 6y^2 + 8x + 10y + 12) = 0 5x^2 + 7x + 2y + 9 = 0这样，我们就将二元二次方程组转化为了一元二次方程，可以用一般的方法求解该方程。
2. 代入法代入法的思路是先解一个方程，然后将其解代入另一个方程，从而求得另一个未知数的值。
继续以上面的方程组为例，假设我们已经解得x的值为2，那么我们可以将x=2代入任意一个方程，得到：2(2)^2 + 3y^2 + 4(2) + 5y + 6 = 08 + 3y^2 + 8 + 5y + 6 = 03y^2 + 5y + 22 = 0然后，我们可以使用求解一元二次方程的方法来解得y的值。
二元二次方程组知识讲解
二元二次方程組知識講解【學習目標】1、知道二元二次方程の概念和二元二次方程組の概念，能夠判定給定の方程和方程組是否是二元二次方程或二元二次方程組；2、瞭解二元二次方程（組）の解の概念，能判別給定の數值是否是方程（組）の解；3、掌握由“代入法”解由一個二元一次方程和二元二次方程組成の方程組；4、掌握用“因式分解法”解由兩個二元二次方程組成の方程組；5、會熟練の列出方程組解應用題.並能根據具體問題の實際意義，檢查結果是否合理.6、通過將實際生活中の問題抽象為方程模型の過程，讓學生形成良好思維習慣，學會從數學角度提出問題、理解問題.運用所學知識解決問題，發展應用意識，體會數學の情感與價值.【知識網路】【要點梳理】要點一、二元二次方程1. 定義：僅含有兩個未知數，並且含有未知數の項の最高次數是2の整式方程，叫做二元二次方程. 要點詮釋：22ax bxy cy dx ey f o +++++=（a 、b 、c 、d 、e 、f 都是常數，且a 、b 、c 中至少有一個不為零），其中22,,ax bxy cy 叫做這個方程の二次項，a 、b 、c 分別叫做二次項係數，,dx ey 叫做這個方程の一次項，d 、e 分別叫做一次項係數，f 叫做這個方程の常數項.2.二元二次方程の解能使二元二次方程左右兩邊の值相等の一對未知數の值，叫做二元二次方程の解.要點詮釋：二元二次方程有無數個解；二元二次方程の實數解の個數有多種情況.要點二、二元二次方程組1.概念：僅含有兩個未知數，各方程都是整式方程，並且含有未知數の項の最高次數為2，這樣の方程組叫做二元二次方程組.要點詮釋：不能認為由兩個二元二次方程組成の方程組才叫二元二次方程組，由一個二元一次方程和一個二元二次方程組成の方程組，也是二元二次方程組.2. 二元二次方程組の解:方程組中所含各方程の公共解叫做這個方程組の解.要點三、二元二次方程組の解法1. 代入消元法代入消元法解“二·一”型二元二次方程組の一般步驟：①把二元一次方程中の一個未知數用另一個未知數の代數式表示；②把這個代數式代入二元二次方程，得到一個一元二次方程；③解這個一元二次方程，求得未知數の值；④把所求得の未知數の值分別代入二元一次方程，求得另一個未知數の值；⑤所得の一個未知數の值和相應の另一個未知數の值分別組在一起，就是原方程組の解；⑥寫出原方程組の解.要點詮釋：（1）解一元二次方程、分式方程和無理方程の知識都可以運用於解“二·一”型方程組；（2）“二·一”型方程組最多有兩個解，要防止漏解和增解の錯誤.2、因式分解法(1) 當方程組中只有一個可分解為兩個二元一次方程の方程時，可將分解得到の兩個二元一次方程分別與原方程組中の另一個二元二次方程組成兩個“二·一”型方程組，解得這兩個“二·一”型方程組，所得の解都是原方程組の解.(2) 當方程組中兩個二元二次方程都可以分解為兩個二元一次方程時，將第一個二元二次方程分解所得到の每一個二元一次方程與第二個二元二次方程分解所得の每一個二元一次方程組成新の方程組，可得到四個二元一次方程組，解這四個二元一次方程組，所得の解都是原方程組の解.要點四、方程（組）の應用應用二元二次方程組解應用題の一般步驟：（1）審題；（2）設未知數（2個）；（3）列二元二次方程組；（4）解方程組；（5）檢驗是否是方程の解以及是否符合實際；（6）寫出答案.要點詮釋：一定要檢驗一下結果是否符合實際問題の要求.【典型例題】類型一、二元二次方程（組）判斷1．下列方程中，哪些是二元二次方程是二元二次方程の請指出它の二次項、一次項和常數項.2222(1) 1 ; (2)320;1(3)20 ; (4)3 1.x y y y y x x y xy+=-+=+-=++= 【思路點撥】該題主要依據二元二次方程の定義。
简单的二元二次方程组(课堂总结)
简单的二元二次方程组总结一、知识梳理1、解方程组基本思想：（1）消元；（2）降次。
常用的方法有：代入消元法、因式分解法、韦达定理法、换元法、方程组相加（或倒数相加法）、消项后因式分解法等。
2、当方程组中含有分式方程或无理方程时，一定要注意验根（因为可能存在增根）。
3、当方程组只有一组实数解时，先将方程组化为含一个未知数的一元二次方程，同时要注意观察原方程组的组成，分情况考虑：（1）当方程组为整式方程组时，考虑两种情况：① 一元二次方程二次项系数等于零时；②一元二次方程判别式0=∆。
（方程组中若某个方程如：02=-y x ，则可理解为无理方程y x ±=来考虑。
）（2）当方程组中含有无理方程或分式方程时，分为以下三种情况：① 一元二次方程二次项系数等于零时；②一元二次方程判别式0=∆；③一元二次方程的一个根为增根（对于分式方程：增根为使分母等于零的根；对于无理方程，增根为使0<a 或0<a 的根。
）二、解题方法1、代入消元法例1 ⎩⎨⎧=-=+-+340)2()(2x y y x y x (2)(1)解：由)2(式得：3+=x y )3(将)3(式代入（1）式得：034942=-+x x 即：0)174)(2(=+-x x 解得 417,221-==x x 代入)3(式可得： 45,521-==y y所以原方程组的解为：⎩⎨⎧==5211y x 或 ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=4541722y x 。
2、因式分解法例2 ⎩⎨⎧=+=--4502322222y x y xy x (2)(1)解：由)1(式得：0)2)(2(=-+y x y x )3( 即 02=+y x 或02=-y x︒1 ⎩⎨⎧=+=+45222y x y x 解得：⎩⎨⎧=±=6311 y x ︒2 ⎩⎨⎧=+=-450222y x y x 解得：⎩⎨⎧±=±=3622y x 所以原方程组的解为：………3、利用韦达定理法例3 ⎪⎩⎪⎨⎧==-1010311xy y x (2)(1)解：由)2(式得：1011-=-xy )3( 令y x 1,1-为方程01011032=--t t 的两根， 则：013102=--t t 即 0)15)(12(=+-t t 51,2121-==∴t t ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=∴511211y x 或 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=211511y x解得：⎩⎨⎧-==5211y x 或 ⎩⎨⎧-==2522y x经检验，………是原方程组的解。
二元二次方程组知识讲解解析
二元二次方程组知识讲解【学习目标】1、知道二元二次方程的概念和二元二次方程组的槪念，能够判左给立的方程和方程组是否是二元二次方程或二元二次方程组：2、了解二元二次方程（组）的解的概念，能判别给左的数值是否是方程（组）的解；3、掌握由“代入法”解由一个二元一次方程和二元二次方程组成的方程组；4、掌握用“因式分解法”解由两个二元二次方程组成的方程组；5、会熟练的列出方程组解应用题.并能根据具体问题的实际意义，检查结果是否合理.6、通过将实际生活中的问题抽象为方程模型的过程，让学生形成良好思维习惯，学会从数学角度提岀问题、理解问题.运用所学知识解决问题，发展应用意识，体会数学的情感与价值.【知识网络】【要点梳理】要点一、二元二次方程1.定义：仅含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫做二元二次方程.要点诠释：ax1 +bxy + cy2 +dx + ey + f =o（“、》、c、d、匸、F都是常数，且“、b、c中至少有一个不为零），其中（ix2y bx）\cy2叫做这个方程的二次项，“、b、c分别叫做二次项系数，dx,ey叫做这个方程的一次项，d、匸分别叫做一次项系数，f叫做这个方程的常数项.2.二元二次方程的解能使二元二次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元二次方程的解.要点诠释：二元二次方程有无数个解：二元二次方程的实数解的个数有多种情况.要点二、二元二次方程组1・概念：仅含有两个未知数，各方程都是整式方程，并且含有未知数的项的最商次数为2,这样的方程组叫做二元二次方程组. 要点诠释：不能认为由两个二元二次方程组成的方程组才叫二元二次方程组，由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，也是二元二次方程组.2.二元二次方程组的解：方程组中所含冬方程的公共解叫做这个方程组的解.要点三、二元二次方程组的解法1.代入消元法代入消元法解“二・一”型二元二次方程组的一般步骤：①把二元一次方程中的一个未知数用另一个未知数的代数式表示；②把这个代数式代入二元二次方程，得到一个一元二次方程：③解这个一元二次方程，求得未知数的值：④把所求得的未知数的值分别代入二元一次方程，求得另一个未知数的值；⑤所得的一个未知数的值和相应的另一个未知数的值分别组在一起，就是原方程组的解；⑥写出原方程组的解.要点诠释：(1)解一元二次方程、分式方程和无理方程的知识都可以运用于解“二・一”型方程组：(2)'‘二•一”型方程组最多有两个解，要防止漏解和增解的错误.2、因式分解法(1)当方程组中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时，可将分解得到的两个二元一次方程分别与原方程组中的另一个二元二次方程组成两个“二・一”型方程组，解得这两个“二・一”型方程组，所得的解都是原方程组的解.(2)当方程组中两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程时，将第一个二元二次方程分解所得到的每一个二元一次方程与第二个二元二次方程分解所得的每一个二元一次方程组成新的方程组，可得到四个二元一次方程组，解这四个二元一次方程组，所得的解都是原方程组的解.要点四、方程(组)的应用应用二元二次方程组解应用题的一般步骤：(1＞审题：(2)设未知数(2个)：(3)列二元二次方程组：(4)解方程组；(5)检验是否是方程的解以及是否符合实际；(6)写出答案.要点诠释：一定要检验一下结果是否符合实际问题的要求.【典型例题】类型一、二元二次方程(组)判断Wr i.下列方程中，哪些是二元二次方程？是二元二次方程的请指出它的二次项、一次项和常数项.(1)A2 + y = 1 ; (2)3-2y2 + y = 0;(3)J_ + 2/-x = 0; (4)x+y + 32 = l.【思路点拨】该题主要依据二元二次方程的泄义。
二元二次方程组的解法
二元二次方程的解法一、内容综述：1．解二元二次方程组的基本思想和方法解二元二次方程组的基本思想是“转化”，这种转化包含“消元”和“降次”将二元转化为一元是消元，将二次转化为一次是降次，这是转化的基本方法。
因此，掌握好消元和降次的一些方法和技巧是解二元二次方程组的关键。
2．二元二次方程组通常按照两个方程的组成分为“二·一”型和“二·二”型，又分别成为Ⅰ型和Ⅱ型。
“二·一”型是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组；“二·二”型是由两个二元二次方程组成的方程组。
“二·一”型方程组的解法（1）代入消元法（即代入法）代入法是解“二·一”型方程组的一般方法，具体步骤是：①把二元一次方程中的一个未知数用另一个未知数的代数式表示；②把这个代数式代入二元二次方程，得到一个一元二次方程；③解这个一元二次方程，求得一个未知数的值；④把所求得的这个未知数的值代入二元一次方程，求得另一个未知数的值；如果代入二元二次方程求另一个未知数，就会出现“增解”的问题；⑤所得的一个未知数的值和相应的另一个未知数的值分别组在一起，就是原方程组的解。
（2）逆用根与系数的关系对“二·一”型二元二次方程组中形如的方程组，可以根据一元二次方程根与系数的关系，把x、y看做一元二次方程z2-az+b=0的两个根，解这个方程，求得的z1和z2的值，就是x、y的值。
当x1=z1时，y1=z2；当x2=z2时，y2=z1，所以原方程组的解是两组“对称解”。
注意：不要丢掉一个解。
此方法是解“二·一”型方程组的一种特殊方法，它适用于解“和积形式”的方程组。
以上两种是比较常用的解法。
除此之外，还有加减消元法、分解降次法、换元法等，解题时要注意分析方程的结构特征，灵活选用恰当的方法。
注意：（1）解一元二次方程、分式方程和无理方程的知识都可以运用于解“二·一”型方程组。
小学数学点知识归纳解二元二次方程组
小学数学点知识归纳解二元二次方程组二元二次方程组是指由两个未知数和两个方程组成的方程组，每个方程都是二次方程。
在解二元二次方程组之前，我们需要先了解一些基本知识。
一、二次方程的定义二次方程是指一个未知数的最高次数为2的代数方程。
一般的二次方程表达式为ax^2+bx+c=0，其中a、b、c是已知数，且a≠0。
二、一元二次方程的解法假设有一元二次方程ax^2+bx+c=0，我们可以通过以下步骤解出x 的值：1. 判断a、b、c的值，如果a=0，方程不是二次方程；2. 计算Δ（判别式）=b^2-4ac的值；3. 如果Δ>0，则方程有两个不相等的实数根；4. 如果Δ=0，则方程有两个相等的实数根；5. 如果Δ<0，则方程无实数根，但有两个共轭复数根。
三、二元二次方程组的解法1. 消元法消元法是解二元二次方程组的常用方法。
我们可以通过以下步骤解出方程组的解：（1）将其中一方程两边乘以适当的数，使得两个方程的系数相等或者相差一个系数关系；（2）将所得的两个方程相减或相加，消去其中一个未知数；（3）解得另一个未知数的值；（4）将求得的未知数的值带入任意一个方程，解得另一个未知数的值。
2. 代入法代入法也是一种解二元二次方程组的方法。
我们可以通过以下步骤解出方程组的解：（1）选取一个方程，解出其中一个未知数，得到它的值；（2）将所求的未知数值代入另一个方程，得到一个一元二次方程；（3）根据一元二次方程的解法，求出另一个未知数的值。
四、实例分析假设有以下二元二次方程组：1. -2x^2+3y^2-7=02. 4x^2+5y^2+11=0我们可以通过消元法解出该方程组的解：（1）将第一个方程两边乘以4，得到-8x^2+12y^2-28=0；（2）将所得的方程与第二个方程相减，消去x^2，得到-8x^2+12y^2-4x^2-5y^2-28+11=0；（3）整理化简，得到-12x^2+7y^2-17=0；（4）将该方程移项并因式分解，得到12x^2-7y^2+17=0；（5）将得到的方程两边除以17，得到12x^2/17-7y^2/17+1=0；（6）观察该方程，发现其形式为Ax^2+By^2+C=0，满足了一元二次方程的形式；（7）根据一元二次方程的解法，可以求出x和y的值。
(完整版)二元二次方程组的解法
二元二次方程的解法一、内容综述：1．解二元二次方程组的基本思想和方法解二元二次方程组的基本思想是“转化”，这种转化包含“消元”和“降次”将二元转化为一元是消元，将二次转化为一次是降次，这是转化的基本方法。
因此，掌握好消元和降次的一些方法和技巧是解二元二次方程组的关键。
2．二元二次方程组通常按照两个方程的组成分为“二·一”型和“二·二”型，又分别成为Ⅰ型和Ⅱ型。
“二·一”型是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组；“二·二”型是由两个二元二次方程组成的方程组。
“二·一”型方程组的解法（1）代入消元法（即代入法）代入法是解“二·一”型方程组的一般方法，具体步骤是：①把二元一次方程中的一个未知数用另一个未知数的代数式表示；②把这个代数式代入二元二次方程，得到一个一元二次方程；③解这个一元二次方程，求得一个未知数的值；④把所求得的这个未知数的值代入二元一次方程，求得另一个未知数的值；如果代入二元二次方程求另一个未知数，就会出现“增解”的问题；⑤所得的一个未知数的值和相应的另一个未知数的值分别组在一起，就是原方程组的解。
（2）逆用根与系数的关系对“二·一”型二元二次方程组中形如的方程组，可以根据一元二次方程根与系数的关系，把x、y看做一元二次方程z2-az+b=0的两个根，解这个方程，求得的z1和z2的值，就是x、y的值。
当x1=z1时，y1=z2；当x2=z2时，y2=z1，所以原方程组的解是两组“对称解”。
注意：不要丢掉一个解。
此方法是解“二·一”型方程组的一种特殊方法，它适用于解“和积形式”的方程组。
以上两种是比较常用的解法。
除此之外，还有加减消元法、分解降次法、换元法等，解题时要注意分析方程的结构特征，灵活选用恰当的方法。
注意：（1）解一元二次方程、分式方程和无理方程的知识都可以运用于解“二·一”型方程组。
二元二次方程组定义
二元二次方程组定义
【实用版】
目录
1.二元二次方程组的定义
2.二元二次方程组的解法
3.二元二次方程组的应用
正文
【二元二次方程组的定义】
二元二次方程组是指包含两个未知数的二次方程组，一般形式为：ax + by = c
dx + ex + f = 0
其中，a、b、c、d、e、f 都是已知数，且 a、d≠0。
这里的二次方程是指未知数的最高次数为 2 的方程，而二元是指方程组包含两个未知数。
【二元二次方程组的解法】
解二元二次方程组有多种方法，其中比较常见的方法有代入法、消元法和韦达定理。
1.代入法：先从一个方程中解出一个未知数，然后将其代入另一个方程，从而将二元二次方程组转化为一个一元二次方程。
2.消元法：通过加减消元或乘除消元，将二元二次方程组转化为一个一元二次方程。
3.韦达定理：对于二次方程 ax + by = c，其解的和与积分别满足以下关系：
x1 + x2 = -b/a
x1x2 = c/a
通过韦达定理，我们可以求得二元二次方程组中未知数的和与积，从而进一步求得解。
【二元二次方程组的应用】
二元二次方程组在实际生活中有广泛的应用，例如在物理、化学、地理、经济等领域。
一个典型的例子是求解两个物体在重力作用下的运动轨迹，可以建立一个二元二次方程组来描述这个问题。
此外，在图像处理中，二元二次方程组也可以用来求解图像的坐标点。
二元二次方程组的解法
二元二次方程组的解法二元二次方程组是由两个二次方程组成的方程组。
解决这种方程组的关键是找到方程组的解。
一、一般形式的二元二次方程组一般情况下，二元二次方程组的一般形式如下：1. 假设方程组为：a₁x² + b₁xy + c₁y² + d₁x + e₁y + f₁ = 0a₂x² + b₂xy + c₂y² + d₂x + e₂y + f₂ = 02. 设变量：X = x²， Y = y²， XY = xy3. 将方程组转化为四元二次方程组：a₁X + b₁XY + c₁Y + d₁x + e₁y + f₁ = 0a₂X + b₂XY + c₂Y + d₂x + e₂y + f₂ = 04. 用消元法将X、Y消去：例：通过第一个方程将X消去令 A = a₁/a₂则 a₁X + b₁XY + c₁Y + d₁x + e₁y + f₁ = 0变为： Aa₂X + b₁XY + c₁Y + d₁x + e₁y + f₁ = 0再通过第二个方程将X消去，得到一个只包含Y、x、y的方程。
5. 解出Y，并将其代入剩下的方程中，解出x和y，即得到方程组的解。
二、例题解析以一道例题来说明解决二元二次方程组的方法。
例题：解方程组：x² + y² - 4 = 02x² + 3y² - 13 = 0解答：1. 设 X = x²， Y = y²则方程组可化为：X + Y - 4 = 02X + 3Y - 13 = 02. 通过第一个方程将 X 消去：2(X + Y - 4) + 3Y - 13 = 0简化后得到：2X + 5Y - 21 = 03. 解得：Y = (21 - 2X)/54. 将 Y 代入第一个方程：X + (21 - 2X)/5 - 4 = 0简化后得到：3X - 19/5 = 05. 解得：X = 19/156. 将 X 代入 Y 的表达式：Y = (21 - 2*(19/15))/5简化后得到：Y = 16/157. 根据 X 和 Y 的值，可以求出 x 和 y 的值：对 X 和 Y 开平方根即可得到 x 和 y。
学习技巧掌握解二元二次方程组的完整步骤
学习技巧掌握解二元二次方程组的完整步骤学习技巧：掌握解二元二次方程组的完整步骤在数学学习中，解二元二次方程组是一个重要的内容。
掌握解决这种类型方程组的技巧，不仅能提升数学能力，还能应用于实际问题的解决。
本文将介绍解二元二次方程组的完整步骤，帮助读者准确掌握这一知识点。
一、方程组的定义和形式二元二次方程组是由两个二次方程组成的方程组，通常形式如下：{ a1x^2 + b1xy + c1y^2 + d1x + e1y + f1 = 0{ a2x^2 + b2xy + c2y^2 + d2x + e2y + f2 = 0其中，a1, b1, c1, d1, e1, f1, a2, b2, c2, d2, e2, f2是已知数或系数，x 和y是未知数。
二、解二元二次方程组的步骤在解二元二次方程组前，我们首先需要了解以下步骤：步骤1：判断方程组类型根据方程组的系数判断方程组类型，可能有三种情况：1. 如果两个方程的系数都不为0，则为普通二元二次方程组；2. 如果一个方程系数全为0，另一个方程的系数不全为0，则为次齐次方程组；3. 如果两个方程的系数都为0，则不构成方程组。
步骤2：化简方程组对方程组进行化简，通过消元或其他方法将方程组转化为更简单的形式。
例如，通过消去某些变量或消去平方项，减小方程组的复杂度。
步骤3：代入法求解通过代入法，即将其中一个方程的解代入到另一个方程中，进而求解未知数的值。
代入法是解二元二次方程组最常用的方法之一。
步骤4：直接消元法求解对方程组进行直接消元，通过加减、乘除等运算将方程组转化为只含一个未知数的方程，然后解决该方程从而求得其他未知数的值。
步骤5：使用数学软件或计算器在实际应用中，可以借助数学软件或计算器来解决二元二次方程组。
通过输入方程的系数，运行相应的函数或命令，即可得到方程组的解。
三、实例演示以下是一个实例，演示了解二元二次方程组的完整步骤：例题：{ 2x^2 - xy + y^2 = 13{ 3x^2 + xy + 2y^2 = 19解答步骤：步骤1：判断方程组类型。
怎么解二元二次方程组
怎么解二元二次方程组一、方程组的定义与性质1.1 方程组的定义方程组是由多个方程组成的集合。
1.2 方程组的分类•线性方程组：方程的最高次数为1。
•非线性方程组：方程的最高次数大于1。
1.3 二元二次方程组二元二次方程组是由两个二次方程组成的方程组。
二、解二元二次方程组的一般步骤2.1 消元法通过消元法将方程组化简为更简单的形式，通常可以使用以下两种方法： 1. 代入法：将一个方程的解代入另一个方程中，从而消去一个未知数。
2. 相减法：将两个方程相减，从而消去一个未知数。
2.2 二次方程的求根公式对于一元二次方程 Ax^2 + Bx + C = 0，其求根公式为： x = (-B ± √(B^2 - 4AC)) / (2A)2.3 解二元二次方程组的步骤1.化简方程组：将方程组化简为更简单的形式，通常通过消元法实现。
2.求解一元二次方程：将化简后的方程组中的一个未知数表示为另一个未知数的表达式。
3.代入求解：将求解得到的未知数的表达式代入另一个方程中，求解另一个未知数。
4.检验解：将求解得到的两个未知数分别代入方程组中，验证是否满足原方程组。
三、例题解析3.1 例题一解方程组： { 2x^2 + 3y = 7, x + y^2 = 5 }解答步骤：1.化简方程组：无需化简。
2.求解一元二次方程：根据第二个方程得到 x = 5 - y^2。
3.代入求解：将 x = 5 - y^2 代入第一个方程，得到 2(5 - y2)2 + 3y = 7。
4.化简方程：展开并整理方程，得到 2y^4 - 20y^2 + 3y - 3 = 0。
5.求解二次方程：根据二次方程的求根公式，解得y ≈ -0.867 或y ≈1.476。
6.求解另一个未知数：将求解得到的 y 代入 x = 5 - y^2，求得相应的 x 值。
7.检验解：将求解得到的 x、y 值代入原方程组，验证是否满足。
3.2 例题二解方程组： { x^2 - y = 4, x^2 + y = 10 }解答步骤：1.化简方程组：无需化简。
初高中衔接第4讲：二元二次方程组
第四讲 二元二次方程组一、什么是二元二次方程组？方程22260x xy y x y +++++=是一个含有两个未知数,并且项的最高次数是2的整式方程，这样的方程叫做二元二次方程．其中2x ,2xy ,2y 叫做这个方程的二次项，x ,y 叫做一次项，6叫做常数项．看下面的两个方程组：看下面的两个方程组： （1）22224310,210;x y x y x y ì-++-=í--=î （2）222220,560.x y x xy y ì+=ïí-+=ïî第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的，第二个方程组是由两个二元二次方程组成的，像这样的方程组叫做二元二次方程组．元二次方程组成的，像这样的方程组叫做二元二次方程组．二、主要研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的解法．组成的方程组的解法． 【例1】解方程组解方程组 22440,220.x y x y ì+-=í--=î【例2】（1）判断方程组îíì=+-=-+0104422y kx y x 解的情况；解的情况； （2）变：îíì=+-=--0104422y kx y x【例3】解方程组îíì==+2811x xy y三、由两个二元二次方程组成的方程组：【例4】解方程组：ïîïíì=+++=43)(5-x 2222y xy x y x y【例5】解方程组：îíì=+=+833xy y xy x 【例6】解方程组：ïîïíì=++=14404-3xy -x 2222y xy x y练 习解下列方程组: （1） 225,625;y x x y =+ìí+=î （2）3,10;x y xy +=ìí=-î（3） 221,543;x y y x ì+=ïíï=-î （4）2222,8.y x x y ì=ïí+=ïî（5）ïîïíì==03-)-(2-)-(1-x 222y x y x y （6）ïîïíì=+=++01-2-04-2xy x 2222y xy x y（7）ïîïíì=----=--018)(3)(023222y x y x y xy x （8）ïîïíì=+=+04-4x 222y xy y。
二元二次方程组及其解法
八年级第21讲 二元二次方程组及其解法知识点1：二元二次方程及二元二次方程组的有关概念：1、 定义：仅含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2次的整式方程，叫做二元二次方程。
如：05422=-+y xy x ，5=xy ，0422=-y x ，0245222=+++-y x y xy x 等。
2、 注意点：(1）二元二次方程是整式方程。
(2）二元二次方程含有两个未知数。
(3）含有未知数的项的最高次数是2 3、一般式 ：220ax bxy cy dx ey f +++++=．这里，必须强调a 、b 、c 中至少有一个不是零,否则就不是二元二次方程了。
“a 、b 、c 中至少有一个不是零”也可以说成“a 、b 、c 不都为零”,但不能说成“不为零"或“都不为零”,因为它们的意义是不一样的。
4、二元二次方程的解:能使二元二次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元二次方程的解。
5、二元二次方程组：定义：仅含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2次的整式方程所组成的方程组，叫做二元二次方程组。
如:6、二元二次方程组的解：二元二次方程组中所含方程的公共解,叫做二元二次方程组的解.例1、在方程组①⎩⎨⎧==-132xy y x 、②()⎩⎨⎧=-=-12232xy x x y x 、③⎩⎨⎧=-=-32232y y x 、④⎪⎩⎪⎨⎧=-=+57xy x xy x 、⑤⎩⎨⎧-==24yz xy 中，是二元二次方程组的共有＿＿＿＿＿个。
分析：抓住关键（1)组内方程是整式方程.(2）方程组中含有两个未知数。
（3)含有未知数的项的最高次数是2答:①③是二元二次方程组.②中()12=-xy x x 含有未知数的项的最高次数是3。
④中方程不是整式方程。
⑤方程组中含有3个未知数。
限时训练：1、下列各方程中不是二元二次方程的是 （ ） A 。
x+xy=5C 。
x 2+y 2=3D 。
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二元二次方程组知识讲解【学习目标】1、知道二元二次方程的概念和二元二次方程组的概念，能够判定给定的方程和方程组是否是二元二次方程或二元二次方程组；2、了解二元二次方程（组）的解的概念，能判别给定的数值是否是方程（组）的解；3、掌握由“代入法”解由一个二元一次方程和二元二次方程组成的方程组；4、掌握用“因式分解法”解由两个二元二次方程组成的方程组；5、会熟练的列出方程组解应用题.并能根据具体问题的实际意义，检查结果是否合理.6、通过将实际生活中的问题抽象为方程模型的过程，让学生形成良好思维习惯，学会从数学角度提出问题、理解问题.运用所学知识解决问题，发展应用意识，体会数学的情感与价值.【知识网络】【要点梳理】要点一、二元二次方程1. 定义：仅含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫做二元二次方程.要点诠释：22+++++=（a、b、c、d、e、f都是常数，且a、b、c中至少有一个不为零），ax bxy cy dx ey f o其中22ax bxy cy叫做这个方程的二次项，a、b、c分别叫做二次项系数，,,,dx ey叫做这个方程的一次项，d、e分别叫做一次项系数，f叫做这个方程的常数项.2.二元二次方程的解能使二元二次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元二次方程的解.要点诠释：二元二次方程有无数个解；二元二次方程的实数解的个数有多种情况.要点二、二元二次方程组1.概念：仅含有两个未知数，各方程都是整式方程，并且含有未知数的项的最高次数为2，这样的方程组叫做二元二次方程组.要点诠释：不能认为由两个二元二次方程组成的方程组才叫二元二次方程组，由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，也是二元二次方程组.2. 二元二次方程组的解:方程组中所含各方程的公共解叫做这个方程组的解.要点三、二元二次方程组的解法1.代入消元法代入消元法解“二·一”型二元二次方程组的一般步骤：①把二元一次方程中的一个未知数用另一个未知数的代数式表示；②把这个代数式代入二元二次方程，得到一个一元二次方程；③解这个一元二次方程，求得未知数的值；④把所求得的未知数的值分别代入二元一次方程，求得另一个未知数的值；⑤所得的一个未知数的值和相应的另一个未知数的值分别组在一起，就是原方程组的解； ⑥写出原方程组的解.要点诠释：（1）解一元二次方程、分式方程和无理方程的知识都可以运用于解“二·一”型方程组；（2）“二·一”型方程组最多有两个解，要防止漏解和增解的错误.2、因式分解法(1) 当方程组中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时，可将分解得到的两个二元一次方程分别与原方程组中的另一个二元二次方程组成两个“二·一”型方程组，解得这两个“二·一”型方程组，所得的解都是原方程组的解.(2) 当方程组中两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程时，将第一个二元二次方程分解所得到的每一个二元一次方程与第二个二元二次方程分解所得的每一个二元一次方程组成新的方程组，可得到四个二元一次方程组，解这四个二元一次方程组，所得的解都是原方程组的解.要点四、方程（组）的应用应用二元二次方程组解应用题的一般步骤：（1）审题；（2）设未知数（2个）；（3）列二元二次方程组；（4）解方程组；（5）检验是否是方程的解以及是否符合实际；（6）写出答案.要点诠释：一定要检验一下结果是否符合实际问题的要求.【典型例题】类型一、二元二次方程（组）判断1．下列方程中，哪些是二元二次方程？是二元二次方程的请指出它的二次项、一次项和常数项.2222(1) 1 ; (2)320;1(3)20 ; (4)3 1.x y y y y x x y xy+=-+=+-=++= 【思路点拨】该题主要依据二元二次方程的定义。
【答案与解析】（1）是，二次项2x 、一次项y ，常数项-1.（2）不是，因为只含一个未知数。
（3）不是，因为不是整式方程.（4）不是，因为不含二次项.【总结升华】对于二元二次方程的定义要加深全面的理解．举一反三：【变式】下列方程组中，哪些是二元二次方程组？223231205(1) (2) (3) (4)1831235y y x xy x x y xy y x y x xy x x y ⎧==-+=+=⎧⎧⎧⎪⎨⎨⎨⎨+=-=-+-=+=⎩⎩⎪⎩⎩ 【答案】根据二元二次方程组的定义可得（2）是.类型二、二元二次方程组的解法2. 解方程组： 224915 (1)23 5 (2)x y x y ⎧-=⎨-=⎩【解析】解： 方程（1）可变形为 ()()232315 (3)x y x y -+=把（2）代入（3）中，得 ()52315x y += 即233x y +=于是，原方程组化为 233235x y x y +=⎧⎨-=⎩解这个二元一次方程组，得213x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩所以原方程组的解是 213x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩. 【总结升华】这道例题采用“整体代入”的方法，将二元二次方程组化为二元一次方程组，这是一种“降次”的策略，要通过比较让学生认识到“整体代入”的简便性，从而加强审题的意识.加深对合理运算重要性的理解.举一反三：【变式】解方程组：221 (1)13 (2)y x x y =+⎧⎨+=⎩【解析】将（1）代入（2），得 ()22113x x ++=. 整理，得260x x +-=,解得123, 2x x =-=.把13x =-代入（1），得 12;y =-把22x =代入（1），得2 3.y = 所以原方程组的解是 121232 2; 3.x x y y =-=⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩3. 解方程组：【思路点拨】当方程组中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时，可将分解得到的两个二元一次方程分别与原方程组中的另一个二元二次方程组成两个“二·一”型方程组，解得这两个“二·一”型方程组，所得的解都是原方程组的解.【解析】(用因式分解法)方程(1)可化为(x-2y)2+(x-2y)-2=0即(x-2y+2)(x-2y-1)=0∴x-2y+2=0 或x-2y-1=0原方程组可化为:分别解得：1194178x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩和2231x y =⎧⎨=⎩ 【总结升华】二元二次方程组,一般可用代入法求解,当求出一个未知数的值代入求另一个未知数的值时,一定要代入到二元一次方程中去求,若针对二元二次方程的特点,采用特殊解法,则较为简便.举一反三： 【变式】解方程组。
【解析】 将式(1)分解因式，得 (x+y)(3x-4y)-(3x-4y)=0即 (3x-4y)(x+y-1)=0 ∴ 3x-4y=0,或x+y-1=0.故只需解下面两组方程组：（1）； （2）。
（1）由3x-4y=0，得y=x ，代入x 2+y 2=25, 得x 2+x 2=25, x 2=16, x=±4, 即x 1=4, x 2=-4,将x 1和x 2代入y=x ，得y 1=3, y 2=-3.（2）由x+y-1=0，得y=1-x ，代入x 2+y 2=25, 得x 2+(1-x)2=25,整理，得x 2-x-12=0,即 (x-4)(x+3)=0,∴ x 3=4, x 4=-3. 当x 3=4时, y 3=-3;当x 4=-3时，y 4=4.故原方程组的解为：;；；。
【总结升华】此方程组是由两个二元二次方程组成的方程组，在(1)式的等号左边分解因式后将二元二次方程转化为二元一次方程。
类型三、方程组的应用4. 某块长方形田的面积是864平方米，长与宽的和是60米，则长与宽各是多少米？【答案与解析】解：设该块田的长是x 米，宽是y 米.由题意得，86460xy x y =⎧⎨+=⎩， 解得，113624x y =⎧⎨=⎩，222436x y =⎧⎨=⎩考虑到实际情况，长应该大于宽，所以3624x y =⎧⎨=⎩符合实际. 答：长是36米，宽是24米. 5、已知方程组⎩⎨⎧+==+--201242kx y y x y有两组不相等的实数解，求k 的取值范围. 【答案与解析】 解：由②代入①并整理得：01)42(22=+-+x k x k ，∵方程组有两组不相等的实数解，∴⎪⎩⎪⎨⎧>+-=--=∆≠016164)42(0222k k k k ， 即⎩⎨⎧<≠10k k ∴当k ＜1且k ≠0时，原方程组有两个不相等的实数解.【总结升华】通过消元，转化为我们熟悉的一元二次方程来解是解决此类问题的一般方法.举一反三：【变式】m 为何值时，方程组⎩⎨⎧=+=+my x y x 2022有两组相同的实数解，并求出这时方程组的解. 【答案】102±=m ；当102=m 时，⎪⎩⎪⎨⎧==1010y x ；当102-=m 时，⎪⎩⎪⎨⎧-=-=1010y x .6. 小杰与小丽分别从相距27千米的A 、B 两地同时出发相向而行，3小时后相遇.相遇后两人按原来的速度继续前进， 小杰到达B 地比小丽到达A 地早 1小时21分.求两人的行进速度分别是多少？【解析】设两人的行进速度分别是x 千米/小时,y 千米/小时列出方程组.⎪⎩⎪⎨⎧=-=+6021127272733x y y x . 解这个方程组，得54x y =⎧⎨=⎩，3645x y =-⎧⎨=⎩（不合题意舍去） 经检验54x y =⎧⎨=⎩是原方程组的解。
答：两人的行进速度分别是5千米/小时,4千米/小时.【总结升华】根据题意，与路程及时间相关的一些数量，分别存在着等量关系 ： 小杰3小时的行进路程 + 小丽3小时的行进路程 =总路程小丽走完全程时间 -小杰走完全程时间 =小杰比小丽早到的时间。