可用变量代换法求解的一阶微分方程
变量代换法在求解微分方程问题中的应用
ａ ＋ ＋ ＝０ ０ ＋ｂ ， ｃ ，ｌ ｌ ｌ ｘ ＋Ｃ ＝０构成 的方 程组 的解为
＝ｒ ＝ ， ＯＹ 卢 则同时作函数 Ｙ 白变量 的代换 Ｙ ，＋ ＝ ， 与 ＝７ ，
＋ ａ将其化为 以 为 函数 ， 以 为 自变量的齐次方程 ， 然后再 将齐次方程化 为 可分离 变量 方程 ， 到求解 齐 次 方程 的 目 达
第 ２ 卷第 ３期 ３
２０ ０ ８年 ９月
Ｊ ｏ ｚ ｏ ｄ ｃ ｔ ｎＣ ｌ ｇ ． ｆＸｕｈ ｕＥ ｕ ａｉ ｏｌ ｅ ｏ ｅ
徐州教育学院学报
Ｖｏ ． ３， ｏ ３ １２ Ｎ ． Ｓ ｐ ，０ ８ ｅ ．２ ０
变量 代 换 法在 求解 微 分 方程 问题 中的应 用
（）ｂ ≠口ｂ ｉａ ｌ Ｉ
） 中，， ， ｎ，－ 其 ６口 ｃ，
生
１５ 伯努力方程 僦 ．
：ｇ ） ＋ｇ ），， 中 ， ， 。 （ ｙ 一（ ） 其 ｎ ｌ １ ≠０ 一 ’
作代换 ＝ ， ｙ 将方程化为以 ｚ 为未知函数的线性微分方程 ｄ ｘ＝（ 一ｎ ｐ ） １ ） （ ＋（ 一ｎ ｇ ） 然后再按线性微分方程作 １ ）（ ，
＝ （ ｅＩｘ 从 而解出 ｃ ， ｑ ） － （＆ ｐ） （ 进而完成原方程求解 。 ）
。 Ｖ
１１ 齐次方程华＝ （ ， ． ａ 妒三） 通过变量代换“ 上， ＝ 化为
ｘ
以 Ｕ未知函数 的可分离变量方程。
１ 准次程 ＝ ． 齐 方老 ， ２ （
ｂ ，。 。ｃ 为常数。
中图分 类号 ： ２ ０９
文献标志码 ： Ａ
文章编号 ：０ ８— ６ ５ ２０ ） ｌ ０ ７ ０ １０ ６ ２ （ ０８ Ｏ 一 １１— ２
第四节可用变量代换法求解的一阶微分方程市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
2、 x 2 ye y c . 二、1、 y2 x2 y3；
2、 x2 y2 x y. 三、1、arctan y 2 1 ln[( x 1)2 ( y 2)2 ] C ；
x1 2 2、(4 y x 3)( y 2 x 3)2 C .
通解为
ln
|
x
|
u[
f
g(u) du (u) g(u)]
C
.
练习题
一、 求下列齐次方程的通解:
1、( x2 y2 )dx xydy 0；
x
x
2、(1 2e y )dx 2e y (1 x )dy 0.
y
二、 求下列齐次方程满足所给初始条件的特解:
1、( y2 3 x2 )dy 2 xydx 0, y x0 1；
例1 求解微分方程 ( y2 2 x y)dx x2 d y 0.
解
方程变形为
y
2
y x
(
y x
)
2
,
令
u
y, x
则 y
u
x u,
代入原方程得 u x u 2 u u2 ,
分离变量, 两边积分,得
du
u2 u
dx x
,
即
u
1
1
1 u
d
u
dx, x
ln u 1 ln x ln C , u
第四节 可用变量代换法求解旳一 阶微分方程
一、齐次方程 二、可化为齐次型旳方程
三、伯努利方程
一、齐次方程
1.定义 形如 dy f ( y ) 旳微分方程称为齐次方程. dx x
2.解法 令 u y , 即 y xu, dy u x du ,
x
应用变量代换思想解一阶微分方程论文
应用变量代换的思想解一阶微分方程摘要通过举例的方式，介绍了在一阶微分方程的求解中，如何寻找合适的变量代换，将方程转化为可以通过积分求解的方程。
探讨了在寻找合适的变量代换时，结合具体方程进行具体分析的思考方法。
关键词变量代换；微分方程；积分法【中图分类号】 o175.1变量代换是在高等数学的计算中普遍使用的方法，诸如求函数的极限、积分的计算等。
而在一阶微分方程的求解中，变量代换并非一种计算方法，而是一种思想，是问题转化的思想。
一阶微分方程的形式很多，不可能去针对每一种方程研究一种解法，也没有这个必要。
在文献[1]中仅介绍了三种一阶方程的解法，却已经给出了求解一阶方程的基本思路。
一阶方程的基本解法是积分法，对于不能直接通过积分来求解的方程，可以考虑先通过适当的变量代换，将其转化为可以用积分求解的方程，然后再求解。
这样，如何找到适当的变量代换便成为求解这类方程的关键，也是难点。
在函数极限的计算中，变量代换的理论来源是复合函数的极限运算法则；在积分的计算中，第一类换元法和第二类换元法都有相应的结论作为理论指导，基本上形成了固定的方法与步骤；而在微分方程的求解中，变量代换没有什么理论基础，也没有固定的方法与步骤，它需要有较强的观察分析能力和经验的积累。
下面通过几个例子给出一些确定合适的变量代换的思路，希望能抛砖引玉。
为节省篇幅，在求解下面的方程时，主要进行方程的转化。
方法一：使用熟悉的变量代换例1 解方程。
解：这是个一阶线性非齐次方程，它的常规解法是常数变易法。
但通过适当的变量代换来求解，其计算过程更简单，方法也显得更灵活。
令（这是在文献[1]中将齐次方程转化为可分离变量的方程所使用的变量代换），代入方程整理得：，此方程与原方程“同型”。
再令代入此方程整理得：v′=2x。
于是积分得：v=x2+c，即u=x3+cx，亦即y=x4+cx2为原方程的通解。
一般地，形如的方程，作变量代换：y=u（x）·xa，方程便转化为可以直接积分求解的方程：。
利用简单的变量代换求解微分方程
利用简单的变量代换求解微分方程通过变量代换将给定的微分方程转换为我们熟悉的微分方程再求解，是解微分方程的一种重要方法.例如我们前面学习的齐次方程、贝努利方程等的求解过程中都用到了变量代换的方法.2(41.1)dy x y dx=++求微分方程的通解例41x y u ++=解令 化简并两边积分41,y u x =--即代入方程得24.du u dx-=21+4du dx u =⎰⎰，1arctan 22u x C =+即，141arctan().22x y x C ++=+故通解 ().dy f ax by c u ax by c dx=++=++形如的方程，都可以尝试令注21tan .222dy y y dx x y x=+求微分方程的通解例2y u x=令分离变量并两边积分2,y xu =即代入方程得tan du u x u u dx +=+，1cot udu dx x=⎰⎰，lnsin ln ln u x C =+即，2sin .y Cx x =故通解 222tan dy y y y dx x x=+解 原方程可化为，tan du u dx x =整理得，c 3os (0)x t t π=<<利用变量代换化例简微分方程x 等式两边再对求导得1()sin dy dy dt dy dx dt dx dt t=⋅=⋅-解 ，2(1)0x y xy y '''--+=(0)1,(0)2.y y '==并求其满足的特解22d y dx =代入方程222231cos 1(1cos )[()]cos ()0.sin sin sin d y dy t dy t t y dt t dt t dt t -⋅-⋅-⋅⋅-+=2221cos [()+()]sin sin d y dy t dt t dt t ⋅-⋅1().sin t ⋅-210r +=特征方程，12(*)cos sin .y C t C t =+故方程通解 化简为220(*)d y y dt+=，r i =±解得特征根，212cos 1x t y C x C x ==+-将代入得 y(0)1,(0)2y '==将代入通解12=2=1.C C ，2(*)21y x x =+-故原方程特解 ()二阶常系数齐次线性方程总结本讲主要介绍了变量代换方法在微分方程求解问题中的重要应用.。
10.2-4变量代换法求微分方程
第十章 微分方程与差分方程第2节 一阶微分方程变量代换法求微分方程变量代换求解微分方程一、特殊方法求解微分方程利用变量代换求微分方程的通解解,u y x =+令d d 1d d y u x x =-代入原方程2d 1d u u x=+,arctan C x u +=解得得代回,y x u +=,)arctan(C x y x +=+原方程的通解为.)tan(x C x y -+=.)(52的通解求例y x d x d y +=d 16d y x x y=+例求微分方程解,u y x =+令代入原式d 11,d u x u-=分离变量法得,)1ln(C x u u +=+-,代回将y x u +=所求通解为,)1ln(C y x y =++-11--=y e C x y或另解（一阶线性微分方程）,1-=d xd u d x d y 则.y x d yd x +=方程变形为2d 17.d sin ()y y x x xy x=-例求微分方程的通解解,xy z =令22d 11(),d sin ()sin z y y x x x xy x z=+-=,42sin 2C x z z +=-分离变量法得,代回将xy z =所求通解为.4)2sin(2C x xy xy +=-,d xd y x y d x d z +=则变量代换求解微分方程二、伯努利方程22822.x yy xy xe-'+=例求微分方程的通解解,2112--=+'y xe xy y x ,2)1(1y y z ==--令2d 2,d x z xz xe x-∴+=22d 2d [d ]x x x x x z e xe e x C --⎰⎰=+⎰所求通解为).2(222C x e y x +=-此为伯努利方程.,2d xd y y d x d z =则例9 求方程2d (ln )d y y a x y x x +=的通解.解 令,1-=y z 则方程变形为x a xz x z ln d d -=-其通解为e z =将1-=y z []2(ln ) 1.2a y x C x -=x xd 1⎰[⎰-e x a )ln (x x d 1⎰-]C x +d []2)ln (2x a C x -=代入, 得原方程通解:THANK YOU( 雅各布第一 · 伯努利 )书中给出的伯努利数在很多地方有用, 伯努利( Bernoulli )(1654 – 1705)瑞士数学家, 位数学家. 标和极坐标下的曲率半径公式, 1695年版了他的巨著《猜度术》,上的一件大事, 而伯努利定理则是大数定律的最早形式. 年提出了著名的伯努利方程, 他家祖孙三代出过十多1694年他首次给出了直角坐1713年出这是组合数学与概率论史此外, 他对双纽线, 悬链线和对数螺线都有深入的研究 .伯努利方程的标准形式:)1,0()()(d d ≠=+n y x Q y x P x y n n y 以)()(d d 1x Q y x P x y y n n =+--令,1n y z -=x y y n x z n d d )1(d d --=则)()1()()1(d d x Q n z x P n xz -=-+求出此方程通解后,除方程两边 , 得换回原变量即得伯努利方程的通解.解法:(线性方程)。
第12章 微分方程 习题 12- (3)
1 = − sin x + Ce x . y (2)
方程化为
y
−
1 2
y′ −
4 2 y = x, x
6
1
令z=
1 y2
, 方程化为 z′ − 2 x z= , 2 x
求解此线性方程, 得
z=e ∫ x dx
2
x − ∫ dx 1 [ ∫ e x dx + C ] = x 2 ( ln x + C ) , 2 2
解此方程, 得
1 − ln 1 − 2u 3 = ln x + C , 2
3
x3 − 2 y 3 = Cx . (8)
方程化为
dy y y = + tan , x dx x
令
du y = u, y ′ = u + x , 方程化为 x dx u+x du = u + tan u , dx dx , x
解此方程, 得
− ln 1 − u 2 + ln C = ln x , y 2 = x( x − C ) . (5)
方程化为
2
dy 1 y y = [2 − ( ) 2 ] , x dx 2 x
令
du y = u, y ′ = u + x , 方程化为 x dx u+x du u = (2 − u 2 ) , dx 2 2du dx , − 3 = x u
(4)
(1) 方程化为
( xy )′ = y ln xy ,
令 u = xy , 方程化为
u ln u , x du dx = , u ln u x u′ =
求解此微分方程, 得
ln ln u = ln x + ln C , xy = eCx . (2)
一阶线性微分方程及其解法
故 代入得：
dy u x du
dx
dx
u x du u2 dx u 1
这是关于变量u与x的可分离变量方程， 进行分离变量整理，并两边积分，
得：
1
1 u
du
1 dx x
u ln|u| ln|x| ln|c
故所求通解为： y ln|y| c x
书上还有一个例子，自己可以练习练习
求微分方程 (x2 y2 )dx 2xydy，满足初始条件 y x1 0
解： 方程可化为：
它是齐次方程。令
dy
x2
y2
1 ( y)2 x
dx 2xy
u y
2( y ) x
x
代入整理后，有 du 1 u2
dx 2xu
分离变量，则有
u
1
1 u2 du 2x dx
形如
dy dx
f
y x
的一阶微分方程称为齐次方程
或
dx dy
f
x y
解法：
针对齐次方程
dy dx
y x
，作变量代换
u
y x
即
y
xu
，则
dy dx
u
x
du dx
将其代入原式，得：
u
du dx
u
，即
du u u
应用: 衰变问题: 放射性元素铀不断地放射出微粒子而变成其
它元素,铀的含量不断减少,由物理学知识,铀的衰变速度与未衰变 的原子的含量M成正比,已知t=0时,铀的含量为M0,求衰变过程中 铀含量M(t)随t的变化规律
高数第4章第3节——可用变量代换法求解的一阶微分方程
代入原方程得 u u ln u , 即 x
u
du ln u
dx , x
du uln u , dx x
解得 ln | ln u | ln | x | ln | C | , 即: ln u Cx ,
所求通解为 ln x ln y C ln x .
*四、可化为齐次型的方程
形如
dy dx
a1 x a2 x
xx 代入原方程得 u xu ulnu, 分离变量, 两边积分,得
ln | ln u 1 | ln | x | ln | C | , 即 Cx ln u 1 , 故原方程的通解为 ln y ln x 1 Cx .
二、伯努利方程
伯努利(Bernoulli)方程的标准形式
方程为线性微分方程. 方程为非线性微分方程. 解法: 需经过变量代换化为一阶线性微分方程.
2) a1 a2 0的情形 b1 b2
设 a1 b1 k,则方程可改写成 a2 b2
dy dx
a1 x b1 y c1 a2 x b2 y c2
k(a2 x b2 y) c1 a2 x b2 y c2
f (a2 x b2 y)
令u
a2 x
b2
y,则方程化为
du dx
a2
b2
为 1)的情形, 可化为变量分离方程求解.
解题步骤:
1)
由
aa21
x x
b1 y b2 y
c1 c2
0 ,
0
解得
x y
,
2)
令
X Y
x , 方程化为 y
dY dX
a1 X a2 X
b1Y b2Y
g( Y ), X
3) 再令 u Y ,将以上方程化为变量分离方程 , X
一阶偏微分方程组求解
一阶偏微分方程组求解
摘要：
一、一阶偏微分方程组的概念与基本概念
二、一阶偏微分方程组的求解方法
三、一阶偏微分方程组的应用实例
正文：
一、一阶偏微分方程组的概念与基本概念
一阶偏微分方程组是指包含一组一阶偏导数的方程组。
其中，偏导数是指函数关于某个变量的导数。
一阶偏微分方程组广泛应用于物理、工程和经济等多个领域。
二、一阶偏微分方程组的求解方法
求解一阶偏微分方程组的方法有很多，其中最常用的方法是以下几种：
1.变量代换法：通过引入一个新的变量，将原方程组中的偏导数关系式转化为关于新变量的普通导数关系式，从而简化问题。
2.分离变量法：将方程组中的每个方程看作一个关于某个变量的微分方程，分别求解，最后通过边界条件确定各个变量的值。
3.积分法：对于某些特殊的一阶偏微分方程组，可以通过积分的方法求解。
4.待定系数法：对于某些具有特定形式的一阶偏微分方程组，可以通过设待定系数的方式求解。
三、一阶偏微分方程组的应用实例
一阶偏微分方程组在实际问题中有广泛应用，例如：
1.在物理学中，一阶偏微分方程组可以用来描述电磁波在介质中的传播过程。
2.在经济学中，一阶偏微分方程组可以用来描述商品价格、货币供应量等经济变量之间的关系。
3.在工程领域，一阶偏微分方程组可以用来描述管道中流体的流动过程、电路中电流电压的关系等。
总之，一阶偏微分方程组是偏微分方程中的一种基本类型，其求解方法多样，应用领域广泛。
变量代换在求解一阶微分方程中的应用_李丽
变量代换在求解一阶微分方程中的应用李丽(山西大同大学数学与计算机科学学院，山西大同037009)摘要:变量代换是一种重要数学变换,其主要目的是通过代换能使问题化繁为简，化难为易；将不能解决的问题转化为能解决的问题。
本文通过实例，探讨了变量代换法在求解一阶微分方程中的应用。
关键词:变量代换;一阶微分方程;齐次方程中图分类号:O175.1文献标识码:A收稿日期:2012-05-25作者简介:李丽(1975-)，女，山西左云人，助教，研究方向:计算机算法。
所谓变量代换法，就是把某个式子看成一个整体，用一个变量代替它，从而使问题得到简化，这也叫换元法。
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去解决。
变量代换法是高等数学理论和方法的重要工具之一，在高等数学领域中有着广泛的应用。
如在代数中求极限、求导、求积分等，在微分方程中求齐次方程、欧拉方程、微分方程组等[1—5]。
本文对变量代换在求解隐式微分方程与微分方程组中的应用作了初步研究。
1在解齐次方程中的应用齐次方程d y d x =φy x，通过变量代换u =yx，化为以u 为未知函数的可分离变量方程，然后带回原来的变量，可得原方程的解。
例1求解方程d y d x =y x +tan yx。
解这是齐次微分方程，以u =y x 及d y d x =xd ud x+u 代入，则原方程变为x d u d x +u =u +tan u ，即d u d x =tan u x。
(1)将上式分离变量，即有cot u d u =d xx，两边积分，得到ln sin u=ln x+c ，这里c 是任意常数。
整理后得到sin u =±ec·x 。
令±ec=c ，得到sin u =cx ，⑵此外，方程(1)还有解tan u =0，即sin u =0。
如果在(2)中允许c =0，则sin u =0也就包括在(2)中，这就是说，方程(1)的通解为(2)。
一阶微分方程的解法及应用
x
由初始条件 y(0) 0, y(0) 3 , 得
2
C1 1, C2 1
故所求初值问题的解为
y ex ex 1 sin x 2
二、微分方程的应用
1 . 建立数学模型 — 列微分方程问题 利用物理规律
建立微分方程 ( 共性 ) 利用几何关系 初始条件
确定定解条件 ( 个性 ) 边界条件 可能还要衔接条件
v0 2R g 2 63105 9.81 11.2 103 (m s)
这说明第二宇宙速度为 11.2 km s
例5. 已知一质量为 m 的质点作直线运动, 作用在质点
提示: 设每分钟应输入
t 时刻车间空气中含
则在 [t , t t ]内车间内 的改变量为
x
k
0.04 t 100
k
x t 5400
两端除以 t , 并令 t 0
得微分方程
初始条件
解定解问题
dx k x k d t 5400 2500 x t 0 0.12 54
得
k= ?
t = 30 时 x 0.06 5400 0.06 54 100
2
x
,
x
2
例2.
且满足方程
x
f ( x) sin x 0 ( x t) f (t)dt
求 f (x) .
提示: f (x) sin x x 0x f (t) dt 0xt f (t) dt, 则
f
(x)
cos
x
x
0
f
(t)dt
x
f
(x)
x
f
(x)
f (x) sin x f (x)
解: (1) F(x) f (x)g(x) f (x)g(x) g2(x) f 2(x) [g(x) f (x)]2 2 f (x)g(x) (2ex )2 2F(x)
浅谈变量代换法在高等数学中的应用
① 第 一 类换 元 积 分法
定 理 １ 设 ＿ ） 连 续 函 数 ， ＝ （ 及 其 妒 （ 存 在 厂 是 （ ） ）
的一 阶 微 分方 程 ， 一 步 可 求解 ． 种通 过 变量 代 换使 微 分方 进 这 程 降 阶的解 法还 适 用Ｙ ＝ （ ， 这类 方 程 ． 种情 形 仍 令 Ｙ ＝ ＿ｙＹ） 厂 此
法” 提高解题能力 ， ， 以求 科 学 、 确 地 应 用 此 方 法 解 决 数 学 准
●
专 题 研 究
罄 毋
・ ・
●
浅谈变量伐换浚在 高等数学咿 庭
◎毛 海 勤 （ 州师 范大 学钱 江 学 院 杭 ３０ １ ） １０２
【 要 】 量 代 换 法 是 高 等 数 学 中一 种 重 要 的 数 学 方 摘 变
法．它 不仅 是 一种 重 要 的解 题 技 巧 ， 是 一 种 重 要 的 数 学 思 也 维 方 法． 文 对其 在 高 等 数 学 中的 应 用 作 一 探 讨 ， 析 其 特 本 分
用变量代换法解决问题的能力．
Ｆ（）＋Ｃ， ｔ
贝 － ｄ ＝ （ （ ） ｃ ０Ｊ （ ｔ Ｆ ） ＋ ． 厂 ）
Ｊ
【 考文献 】 参
［ ］ 阳 光 中 等． 学 分 析 （ 册 ） Ｍ］ 北 京 ： 等 教 １欧 数 上 ［ ． 高
育 出 版 社 ，０ ７：５ ２ ０ ２ ９—３ ８ ０．
点 和 技 巧 ， 分 把 握 并 能 熟 练 、 活 地 运 用 好 “变 量 代 换 充 灵
东华大学603自命题数学2021年考研专业课初试大纲
东华大学硕士研究生入学考试大纲科目编号：603 科目名称：自命题数学一、考试内容及相对比例（一）、极限与连续（15%）【考试内容】：1.1微积分中的极限方法1.2数列的极限1.3函数的极限1.4极限的运算法则1.5极限存在准则与两个重要极限1.6无穷小的比较1.7函数的连续性与连续函数的运算1.8闭区间上连续函数的性质【考试要求】：1.理解极限的概念,了解极限定义。
2 . 掌握极限的有理运算法则,会用变量代换求某些简单复合函数的极限。
3.了解极限的性质(唯一性、有界性、保号性)和两个存在原则(夹逼原则与单调有界准则)。
4.会用两个重要极限与求极限。
5.了解无穷小无穷大高阶无穷小和等阶无穷小的概念,能较为熟练地运用等阶无穷小求极限。
6.理解函数在一点连续和在一个区间上连续的概念7.了解函数间断的概念,会判断间断点的类型；了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的介值定理与最大值、最小值定理。
（二）、一元函数微分学（20%）【考试内容】：2.1导数的概念2.2求导法则2.3隐函数的导数和由参数方程确定函数的导数2.4高阶导数2.5函数的微分与函数的线性逼近2.6微分中值定理2.7泰勒公式2.8洛必达法则2.9函数的单调性与曲线凹凸凸性的判别方法2.10函数的极值与最大、最小值【考试要求】：1.理解导数的概念及几何意义。
掌握函数的可导性与连续性之间的关系.2.了解导数作为函数变化率的实际意义,会用导数表达科学技术中的一些量的变化率。
3.掌握导数的有理运算法则和复合函数的求导法、掌握基本初等函数的导数公式。
4. 理解微分的概念,了解微分概念中包含的局部线性化思想,了解微分的有理运算法则和一阶微分形式不变性。
5.了解高阶导数的概念.掌握初等函数的一阶、二阶、n阶导数的求法。
6.会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶导数及这两类函数中的二阶导数。
7.掌握罗尔定理和拉格朗日定理。
会用洛比达法则求极限。
8.了解泰勒定理以及用多项式逼近函数的思想。
可用变量代换法求解的一阶微分方程
一阶微分方程可以使用变量代换法进行求解。
这种方法主要依赖于对方程类型的识别和相应的解法应用。
对于一些复杂的一阶微分方程，我们可以通过变量代换法将其化为线性微分方程或降低其阶数以便于求解。
例如，欧拉方程x^ {n}y^ { (n)}+p_ {1}x^ {n-1}y^ { (n-1)}+…+p_ {n}y=f (x)中，如果令x=e ^ {t}，则可以得到一个以t为自变量的常系数线性微分方程。
对于可降阶的高阶微分方程，如y''=f (x,y')中，我们可以通过令y'=p来进行降阶。
此外，对于一阶线性非齐次微分方程，如a1 x + b1 y + c1 = 0, 可以考虑通过令z = y1α 来进行变量代换，从而将原方程转化为α d y y + P ( x ) y1α = Q ( x )这样的形式。
总的来说，变量代换法是解决一阶微分方程的一种有效方法，但需要注意的是，代换的方式需要根据具体的方程来选择。
合肥工业大学-高等数学-上-7-2一阶微分方程的常见类型及解法
(7.2.12)
把式（7.2.11） 、式（7.2.12）代入
dy P( x) y Q( x) ，得 dx
C( x) Q( x)e P ( x )dx
27-13
积分得
C ( x) Q( x)e P ( x )dxdx C ．
(7.2.13)
将式（7.2.13）代回式（7.2.11） ，得方程
dx x x ( )2 1 ． dy y y
x dx dv 这是齐次方程．令 v ，则 x yv ，有 v y ，代入上式，得 y dy dy v y dv dv dy v v 2 1 ，得 ． 2 dy v 1 y
积分得 以v
ln(v v 2 1) ln y ln C ，
27-6
7.2.2
齐次方程
形如
dy y ( ) dx x
定义 7.2.2
(7.2.6)
的一阶微分方程称为齐次方程．
dy y y ln 是齐次方程． dx x x
例如
y 2dx (2 x2 xy)dy 0 也是齐次方程．这是因为可将方程化为
y ( )2 dy y dy x ． 2 ，进而 dx xy 2 x dx y 2 x
1 及f ( x) 的原函数，则有 g ( y)
G( y) F ( x) C .
(7.2.5)
将式（7.2.5）两边微分即可证明由式（7.2.5）所确定的 x, y 之间的 隐函数关系式一定满足方程式（7.2.3） ，且式（7.2.5）含有一个任意常 数 C，所以式（7.2.5）为方程（7.2.3）的通解，也即为方程（7.2.1）的 通解，称为隐式通解，在方便时可以转化为显式通解．
齐次一阶微分方程
齐次一阶微分方程一、引言微分方程是数学中一个重要的研究对象，它描述了物理、经济、生物等自然和社会现象的变化规律。
齐次一阶微分方程是微分方程中一类非常基础的方程形式，其形式为dy/dx=f(y/x)，可以通过变量代换的方法将其转化为可分离变量的形式从而求解。
本文将对齐次一阶微分方程进行详细的介绍和解析。
二、齐次一阶微分方程的定义三、齐次一阶微分方程的解法1.变量代换将y/x替换为一个新的未知函数v，即v=y/x。
然后对v求导，有dv/dx=(dy/dx-x(dy/dx))/x^2=(f-v)/x。
然后将方程变为可分离变量的形式进行求解。
2.可分离变量的形式将原方程变为dv/(f-v)=dx/x，然后对等式两边同时积分，得到∫dv/(f-v)=∫dx/x，将积分结果带入到方程中进行求解。
3.求解常数经过积分得到的方程一般含有两个常数C1和C2，需要通过已知条件或者边界条件来确定这两个常数的具体值。
四、齐次一阶微分方程的应用1.指数衰减模型y'=k*y，其中k为常数。
这类方程描述了一些物理过程的衰减规律，比如辐射衰减、药物消散等。
2.经济增长模型y'=k*y*(1-y)，其中k为常数。
这类方程描述了经济增长的规律，y表示经济发展指标，k表示经济发展的速率。
3.生物学模型y'=k*y*(1-y/N)，其中k和N为常数。
这类方程描述了生物种群的增长规律，y表示种群数量，k表示增长速率，N表示种群的饱和容量。
五、齐次一阶微分方程的求解示例下面给出一个齐次一阶微分方程的具体求解示例：例题：求解dy/dx=y/x解：首先进行变量代换，令v=y/x，然后对v求导，得到dv/dx=(f-v)/x=(v-xv)/x=(1-v)/x。
然后将方程变为可分离变量的形式，得到dv/(1-v)=dx/x。
对等式两边同时积分，得到∫dv/(1-v)=∫dx/x，进行积分，得到-ln，1-v，=ln，x，+C，将等式两边取e为底的指数，得到1-v=e^(ln，x，+C)，去指数得到1-v=C*e^ln，x，即1-v=，x，^C。
2几种可求解的一阶微分方程
CO2的改变量 CO2的通入量CO2的排出量
12000dx% 2000 dt 0.03% 2000 dt x(t)%,
dx 1 ( x 0.03),
1t
x 0.03 Ce 6 ,
dt 6
y
ln
|
u(
x
)
|,
ln y ln | u( x) | P( x)dx,
即
y u( x)e P( x)dx .
非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比:
C u( x),
即，常数变易法：
把齐次方程通解中的常数易为函数的方法.
.
作变换 y u( x)e P( x)dx
将y和y代入原方程得 u( x)e P( x)dx Q( x),
dx
解 令 x y u, dy du 1 代入原方程
dx dx
du 1 u2 解得 arctanu x C, dx 代回 u x y,得 arctan( x y) x C,
原方程的通解为 y tan( x C) x.
思考题
方程
x
2 y(t)
t2 y2(t) dt xy( x)
解1 令 x y u,
dy du 1,
dx dx
代入原式
du 1 1 ,
dx u
分离变量法求解得 u ln(u 1) x C,
将 u x y 代回, 所求通解为
y ln( x y 1) C ,
解2 原方程: dx x y. dy
小结与思考题3
1.一阶线性非齐次方程 令 y u( x)e P( x)dx;
x |t0 0.1, C 0.07,
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x y
x y
( x 2 2 xy y 2 )dx ( y 2 2 xy x 2 )dy 0 , 2、
y x 1 1 . 三、化下列方程为齐次方程,并求出通解:
x y1 1、 y ； x y3 2、 ( 2 x 5 y 3)dx ( 2 x 4 y 6)dy 0 .
dy ax by c ), 当b1 0时, 方程可化为 f ( dx (ax by ) c1 dz dy 令 z ax by, 则 a b ， dx dx 1 dz zc ( a) f ( ). 可分离变量的微分方程. b dx z c1
x 解得 z x C , 2 2 4 x 即 y x C . 2
例2 求方程 2 yy 2 xy xe
2
x2
的通解.
解
1 x 2 1 y xy xe y , 2
1( 1)
令z y
y ,
2
dz dy 则 2y , dx dx
a1 b1 2. 当 时 , a b
令 u ax by 则
dy ax by c f( ) dx (ax by) c1
du uc bf ( )a dx u c1
两边积分即可得通解。
三、利用变量代换求微分方程的解
有时可通过适当的变量代换把一个方程化为 可分离变量的方程： dy 例1 求 ( x y )2的通解. dx dy du 解 令 x y u, 1 代入原方程 dx dx du 1 u 2 解得 arctanu x C , dx
(齐次方程)
x 令v , y
dx dv v y dy dy
dv y dy
1 v2
ln ( v 1 v 2 ) ln y ln C 积分得 y2 2 y v y 1 故有 ( v )2 1 v 2 C C2 C C 得 y 2 2 C ( x ) (抛物线) 2 故反射镜面为旋转抛物面.
ln(ln u) ln x C1 ,
ln u C x ,
所求通解为 ln xy C x ,
dy 1 又如： = dx x + y
解
令 x y u,
dy d u 则 1, dx dx
du 1 1 , 代入原式 dx u
分离变量法解得 u ln(u 1) x C ,
将 u x y 代回, 所求通解为
y ln( x y 1) C ,
另解
或 x C 1e y y 1
dx 方程变形为 x y . dy
四、伯努利方程
伯努利(Bernoulli)方程的标准形式
dy P ( x ) y Q( x ) y n ( n R, n 0,1) dx
2、有时所给的方程并非标准型 , 应把方程转化为 标准形式再求解 .
思考题
方程
0
x
[2 y( t ) t 2 y 2 ( t )]dt xy( x )
是否为齐次方程? 解 方程两边同时对 x 求导:
2 y x 2 y 2 y xy, xy x y y,
所求通解: tan( x y 1) x C .
例3 求微分方程 xy y y(ln x ln y ) 的通解.
解
令u xy ,
则 u xy y ,
代入原方程得 u
u ln u , x du dx du dx , , u ln u x u ln u x
当n 0,1时， 方程为线性微分方程. 当n 0,1时， 方程为非线性微分方程.
解法: 需经过变量代换化为线性微分方程.
dy y P ( x ) y1 n Q( x ), 两端除以y ，得 dx dz n dy 1 n ， 令z y , 则 (1 n) y dx dx dz (1 n) P ( x ) z (1 n)Q( x ), 代入上式 dx
练习题答案
一、1、 y 2 x 2 ( 2 ln x c ) ； 2、 x 2 ye c . 二、1、 y 2 x 2 y 3 ； 2、 x 2 y 2 x y . y2 1 ln[( x 1) 2 ( y 2) 2 ] C ； 三、1、 arctan x 1 2 2 2、 (4 y x 3)( y 2 x 3) C .
第四节 可用变量代换法求解的一 阶微分方程
一、齐次方程 二、可化为齐次型的方程 三、利用变量代换求微分方程的解 四、伯努利方程
一、齐次方程
dy y 1.定义 形如 f ( ) 的微分方程称为齐次方程. dx x 2.解法 令 u y , 即 y xu , dy u x du , dx dx x du u x f ( u), 代入原方程,得 dx du f ( u ) u 可分离变量的方程 即 . dx x du dx 分离变量，两边积分, 得 f ( u) u x
积分后再用
代替 u,便得原方程的通解.
y y 例1 求解微分方程 y tan . x x 解 令 u y , 则 y u x u, 代入原方程得 x u x u u tanu, cos u dx d u , 分离变量, 两边积分,得 sin u x
2、可化为齐次方程的方程
令 x X h,
dy P ( x ) y Q( x ) y ( 0,1, R ) 3、伯努利方程 dx
伯努利方程的解法 令 z y1
六、几点说明:
1、一阶微分方程的类型较多 , 不同类型有不同的 解法 , 因此首先要识别方程的类型 , 然后应用相 应的解法 .
二、可化为齐次型的方程
dy ax by c 1.定义 形如 f( )的微分方程 dx a1 x b1 y c1
当c c1 0时, 为齐次方程. 否则为非齐次方程.
2.解法 令 x X h, (h 和 k 是待定的常数)
y Y k，
则 d x d X , d y d Y , 原方程化为
即
ln sin u ln x ln C , 即 sin u C x , y 故原方程的通解为 sin C x . x ( 当 C = 0 时, y = 0 也是方程的解)
例2 求解微分方程
y y 2 解 方程变形为 y 2 ( ) , 令 u y , 则 y u x u, x x x 代入原方程得 u x u 2 u u2 , du dx , 分离变量, 两边积分,得 2 x u u 1 1 dx 即 d u , u1 u x u1 x ( u 1) ln ln x ln C , 即 C, u u 故原方程的通解为 x ( y x ) C y .
代回 u x y , 得 arctan( x y ) x C ,
原方程的通解为 y tan( x C ) x .
例2 求 y sin 2 ( x y 1) 的通解.
解
令 u x y 1, 则
故有
即
1 u sin2 u,
解得
tan u x C ,
n
n
z y1 n 代入即得 求出通解后，将
y1 n z e
(1 n ) P ( x )dx
(1 n ) P ( x )dx dx C ). ( Q( x )(1 n)e
dy 4 2 y x y 的通解. 例1 求方程 dx x
解
令z
y,
2
dz 4 2 z x2 , dx x
其通解为 z e
1 dx x
( a ln x ) e
x dx
1
dx C
a x C ( ln x )2 , 2 z y 1 代入, 得原方程通解: 将
五、小结
1、齐次方程
dy y f ( ). dx x
齐次方程的解法
y 令 u . x
y Y k.
2 2
y y y 1 , x x
2
原方程是齐次方程.
练 习 题
一、 求下列齐次方程的通解: 2 2 1、 ( x y )dx xydy 0 ；
x 2、 (1 2e )dx 2e (1 )dy 0 . y
二、 求下列齐次方程满足所给初始条件的特解: 2 2 1、( y 3 x )dy 2 xydx 0, y x 0 1 ；
说明: 显然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解, 但在 求解过程中丢失了.
例3 求解微分方程
x y y(ln y ln x ).
解 方程变形为 y y ln y , 令 u y , 则 y u x u, x x x 代入原方程得 u xu u ln u, du 1 分离变量, 两边积分,得 u(ln u 1) x dx ,
x y
思考：
例 求解微分方程 提示:
a1 b1 2. 当 时 , 上述方法不能用. a b
当b1 0时, a1与b中必至少有一个为零.
若 b 0, 可分离变量的微分方程. 若 b 0, a1 0, 令 z ax by , dy 1 ( dz a ), dx b dx 1 dz zc ( a) f ( ) 可分离变量的微分方程. b dx c1
ln ln u 1 ln x ln C , 即 Cx ln u 1 ,
故原方程的通解为 ln y ln x 1 Cx .
例4 在制造探照灯反射镜面时,要求点光源的光线 反射出去有良好的方向性 , 试求反射镜面的形状. 解: 设光源在坐标原点, 取x 轴平行于光线反射方向, 则反射镜面由曲线 绕 x 轴旋转而成 . 过曲线上任意点 M (x, y) 作切线 M T,