有心力场中的运动.ppt

§1.3.3 平方反比引力 开普勒问题
重要的有心力：平方反比有心力(和 成反比的力) 例：万有引力，带异号电荷之间的库仑力 任务：研究行星的运动 近似处理：行星只受到太阳引力的作用，而忽略行星
之间的相互作用。 行星的运动是在平方反比引力作用下的运动。
一、运动形式的分类
设：平方反比引力为
；
Hale Waihona Puke Baidu质点移动 ，F做功：
碰撞： a、在另一些初始条件下，它们也可能相互飞开，无限
远离。如果两个质点先互相飞近，然后再飞开，就 称为碰撞； b、两个质点之间是排斥力，则它们不可能形成束缚体 系，而只能发生碰撞。
6.数学上看两体问题： 对N个无约束的质点系统，当N 3时求解运动方程
很困难，N=2(两体问题)，运动方程易于求解。
——万有引力定律
§1.3.2 有心力场中运动的一般分析
一、守恒量
在有心力场中，角动量
守恒
运动过程中,
:质点的位置始终在一个垂直于L
的平面上。即：有心力场中的运动是平面运动。
设：质点运动所在的平面为xz平面(
)
则：
L不包含变量
：循环变量
与 对应的广义动量(角动量)守恒
2．L不显含t 能量守恒
上式说明：两维(平面)运动能量等效一维运动的能量 (一维运动最简单)
开普勒第一定律 行星的轨道：椭圆
椭圆方程： 比耐公式：若已知轨道，则可求力。
——行星受到太阳的平方反比力
开普勒第三定律
比例系数
由
积分：
经过一周期：
几何关系：
：与行星无关的常量，只可能与太阳的性质 (太阳的质量)有关。
显然： 行星与太阳之间的引力应该正比于而不是反
比于太阳的质量M
令
(G：普适常量)
其解为： 令：
，有：
又：
将r的表达式代入得到：
E<0: e<1 E=0: e=1 E>0: e>1
椭圆轨道 (束缚运动) 抛物线轨道 (无限运动) 双曲线轨道 (无限运动)
三、行星的运动 开普勒问题
已讲：已知平方反比引力
运动规律
但：开普勒不知道行星和太阳之间有平方反比引力。
牛顿：由开普勒三定律 万有引力定律
任务：弄清这一推证过程。
行星运动三定律
第一定律：行星绕太阳作椭圆运动，并以太阳为椭圆 的一个焦点；
第二定律：从太阳引向行星的矢径在相等时间内扫过 相等的面积；
第三定律：行星公转周期的平方和轨道半长轴的立方 成正比。
已学：
——矢径在单位时间扫过的
面积正比于角动量
开普勒第二定律
常数
常数
空间各向同性
行星所受到的力只能是有心力(可用有心力运动规律)
对dw积分，得势能：
设： 时，
，则
等效势能：
又：
则：
——限制了质点的运动区域
由图：E<0: 质点限制在有限区域
中运动
E>0: 运动区域
E=0: 过渡情况，质点也能运动到无穷远
即运动形式分两类：
束缚运动
无限运动
二、轨道运动
由于已知
，所以由比耐公式可求运动轨道。
将
代入比耐公式得：
令： 则：
——谐振动方程
扫过相等的面积。
三、运动方程的解：利用守恒律来解
由能量守恒：
得： 分离变量：
积分：
——确定了r=r(t) 。 r是t的隐函数。
四、轨道微分方程——比耐公式
由： 得：
令
，则
对 求导：
——运动微分方程 (比耐公式)
说明： (1) 轨道方程：可用势能表示，也可用力表示； (2) 由比耐公式，可求运动轨道； (3) 若已知轨道，则可求作用力F。
第三章 有心力场中的运动
1.力心：如果运动质点所受力的作用线始终通过质点和 空间某固定点，则称此力为有心力，此固定点 称为力心。
2.有心力场：有心力构成的力场。 3.研究有心力场的原因：有心力场是自然界中最普遍、
最重要的力场之一。 宏观：行星绕太阳的运动 微观：电子绕原子核的运动 研究有心力场的前提：假定力心不动
4.两体问题：实际上力心并非静止，所以行星和太阳、 电子和原子核应分别作为一个整体同时 考虑，即它们实际上组成了两体问题。
定义：由两个相互作用着的质点组成的封闭系统，在 惯性系中的运动问题，称为两体问题。
5.两体问题的类型 束缚运动：
如果两个质点之间有吸引力，则在一定的初始条件 下，它们可能形成一个束缚体系，在有限空间范围内运 动；
7.有心力场中的运动：归结为两体问题。
§1.3.1 二体问题 约化质量
设：两个质点
，且不存在外场
则：由两个质点组成的系统的总动量守恒
(V:质心的速度)
——两质点系统不处于外场中时，它们的质心作匀速 直线运动(不感兴趣，转到质心系)。
在质心系中：V=0 ——质心固定不动
以质心为坐标原点建立坐标系 质心系的矢径为0。 而
令：
——等效势能 (等效一维运动的“势能”)
——离心能
——等效力
——惯性离心力
产生惯性离心力的原因： 上述等效的一维运动实际上是在以角速度转动的
转动坐标系中观察质点的运动，而转动坐标系是非惯 性系。
二、等面积定律———开普勒第二定律
角动量守恒
的几何意义：
设：
；
：矢径r在时间 内扫过的面积
: r在单位时间扫过的面积，又 ——在有心力场中运动的质点的矢径在相等时间内
又令： 则
(r：由 引向 的矢量)
( 用一个变量r表示 )
系统的拉格朗日为：
——与质量为m、矢径为r的质点在有心力场中的拉格朗 日函数一样。即：二体问题可转化为在有心力场中 运动的单体问题。
讨论：若
，则
重的 m2 固定在质心位置上不动，成为力心； 轻的 m1 在 m2 产生的有心力场中运动。
例子：地球绕太阳的运动。