1.1.2弧度制优秀课件
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课件13： 1.1.2 弧度制
跟踪训练 1.将下列角度与弧度进行互化． ①20°＝________；②－15°＝________；③－151π＝________． 解析：①20°＝20×18π0＝π9. ②－15°＝－15×18π0＝－1π2. ③－151π＝－151π×180π°＝－396°. 答案：π9 －1π2 －396°
(2)“弧度”与“角度”之间可以相互转化
已知扇形的周长为 10 cm，面积为 4 cm2，求扇形圆心 角的弧度数． 【解】 设扇形圆心角的弧度数为 θ(0<θ<2π)，弧长为 l，半径为 r，
l＋2r＝10，① 依题意有12lr＝4，②
①代入②得 r2－5r＋4＝0，解得 r1＝1，r2＝4. 当 r＝1 cm 时，l＝8 cm，此时 θ＝8 rad>2π rad(舍去)； 当 r＝4 cm 时，l＝2 cm，此时 θ＝24＝12(rad)．
自我尝试
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)1 弧度指的是 1 度的角．( × )
(2)弧长为 π，半径为 2 的扇形的圆心角是直角．( √ )
解析：(1)错误.1 弧度指的是长度等于半径长的弧所对的圆心角． (2)正确．若弧长为 π，半径为 2，则|α|＝π2，故其圆心角是直角．
2.85π弧度化为角度是(
c 所以当 l＝2c时，Smax＝1c62 ，此时 α＝rl＝c－2 2c＝2，
2
所以当扇形圆心角为 2 弧度时，扇形的面积有最大值1c62 .
规律方法 (1)求扇形的弧长和面积 ①记公式：弧度制下扇形的面积公式是 S＝12lr＝12αr2(其中 l 是 扇形的弧长，α 是扇形圆心角的弧度数，0＜α＜2π)． ②找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的 计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵 活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．
1.1.2 弧度制[概述PPT课件
3.弧度制与角度制之间如何换算？ 利用：
角度制与弧度制的换算公式：
[例1]把下列各角化为弧度
（1）30°（2）-45°（3）6730
解：∵
6730
67
1 2
∴
6730
π 180
rad
67
1 2
3πrad 8
例2 角度与弧度互化
(1)22 30'
(4)
12
(2)-210
(5)- 4
3
(3)1200
You Know, The More Powerful You Will Be
谢谢大家
荣幸这一路，与你同行
It'S An Honor To Walk With You All The Way
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
2rad
A
r
Oo
AOB=1rad
AOC=2rad
1弧度：α
L r
?
我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角
叫做1弧度的角．
完成下列填空：若圆的半径为 r；弧长为 L．
当L取下列值时写出对应的 圆心角
(1)L r
α _1_r__a__d;
(2)L 2.5r α2_._源自_r__a_d;(3)L πr α __r__a_d_;
(4)L 2πr α2___r__a_d;
思考：若角α是一个负 角；它的弧度数如何表示？
若L 4πr;α 0则：
L 4r 4
rr
|α|
L r
结论：正角的弧度数是 正数；
负角的弧度数是一个负 数；
零角的弧度数是0。
2.周角是多少度？多少弧度？平角呢？ 直角呢？
人教版数学必修4第一章1.1.2弧度制课件
3.无论是以“弧度”还是以“度”为单位, 角的大小都是一个与半径大小无关的定值.
（二）弧度制的绝对值公式
完成下列表格,你能得出哪些结论？
弧AB的长 OB旋转的方向 AOB 的弧度数 AOB 的度数
r
逆时针方向
2 r 逆时针方向
r
逆时针方向
1
2r
顺时针方向
-2
顺时针方向
未旋转
0
逆时针方向
180
逆时针方向
运用新知
根据度与弧度的换算关系，下表中各特殊角对应 的弧度数分别是多少？
注意：用弧度制表示角时，“弧度”二字或 “rad”通常略去不写，而只写该角所对应的弧 度数.如α=2表示α是2rad的角.
随堂练习： 1.根据条件完成下列度和弧度的转化；
（1）把 - 35 化成弧度；
（2）把 - 弧度化成度； 2.把下列角化成 0 到 2 的角加上 2 k 的形式；
4.在半径为r的圆中，n°的圆心角所对的圆弧长 如何计算？
l 2r n nr
360 180
5. 圆心角的大小是否与圆半径的大小有关?
探究新知
（一）弧度制的概念
讨论：角除了以度为单位，还有分和秒，他们 是六十进制的，计算不方便，角的度量是否也 能用不同的单位制？（类比长度的度量单位）
新知1：弧度制的定义
3.正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一 个负数，零角的弧度数是0.
4.如果半径为R的圆的圆心角 所对弧的长为l，
那么，角的弧度数的绝对值是 l.
r
5.角度制与弧度制换算 ：180°=π rad
运用新知
例1按照下列要求，把67°30′化成弧度：
（1）精确值；
（2）精确到0.001的近似值.
（二）弧度制的绝对值公式
完成下列表格,你能得出哪些结论？
弧AB的长 OB旋转的方向 AOB 的弧度数 AOB 的度数
r
逆时针方向
2 r 逆时针方向
r
逆时针方向
1
2r
顺时针方向
-2
顺时针方向
未旋转
0
逆时针方向
180
逆时针方向
运用新知
根据度与弧度的换算关系，下表中各特殊角对应 的弧度数分别是多少？
注意：用弧度制表示角时，“弧度”二字或 “rad”通常略去不写，而只写该角所对应的弧 度数.如α=2表示α是2rad的角.
随堂练习： 1.根据条件完成下列度和弧度的转化；
（1）把 - 35 化成弧度；
（2）把 - 弧度化成度； 2.把下列角化成 0 到 2 的角加上 2 k 的形式；
4.在半径为r的圆中，n°的圆心角所对的圆弧长 如何计算？
l 2r n nr
360 180
5. 圆心角的大小是否与圆半径的大小有关?
探究新知
（一）弧度制的概念
讨论：角除了以度为单位，还有分和秒，他们 是六十进制的，计算不方便，角的度量是否也 能用不同的单位制？（类比长度的度量单位）
新知1：弧度制的定义
3.正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一 个负数，零角的弧度数是0.
4.如果半径为R的圆的圆心角 所对弧的长为l，
那么，角的弧度数的绝对值是 l.
r
5.角度制与弧度制换算 ：180°=π rad
运用新知
例1按照下列要求，把67°30′化成弧度：
（1）精确值；
（2）精确到0.001的近似值.
课件6：1.1.2 弧度制
答案：4 cm2
(2)已知一半径为 R 的扇形，它的周长等于所在圆的周长，那么扇形的 圆心角是多少弧度？面积是多少？
解：设扇形的弧长为 l， 由题意得 2πR＝2R＋l，所以 l＝2(π－1)R， 所以扇形的圆心角是Rl ＝2(π－1)， 扇形的面积是12Rl＝(π－1)R2.
谢谢观看！
解：如图，330°角的终边与－30°角的终边相同，
将－30°化为弧度，即－π6，而 75°＝75×1π80＝51π2，
∴终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为
θ|
2kπ－π6＜θ＜2kπ＋51π2，k∈Z.
题型三 扇形的弧长及面积公式
例 3 (1)若圆的半径变为原来的 2 倍，弧长也变为原来的 2 倍，则( )
题型二 用弧度制表示角的集合
例 2 已知角 α＝2 005°. (1)将 α 改写成 β＋2kπ(k∈Z，0≤β＜2π)的形式，并指出 α 是第几象限的角； (2)在[－5π，0)内找出与 α 终边相同的角．
解：(1)2
005°＝2
π 005×180
rad＝40316π
rad＝5×2π＋4316π
答案：(1)D (2)2
(3)如图所示，扇形 AOB 的面积是 4 cm2，它的周长是 10 cm，求扇形的 圆心角 α 的弧度数及弦 AB 的长．
解：设弧 AB 的长为 l(cm)，扇形半径为 r(cm)， 由题意得l12＋lr＝2r＝ 4，10，解得rl＝＝24，或rl＝＝81，(舍)， 故 α＝24＝12(弧度)，AB＝2×4sin 14＝8sin 14(cm)．
变式训练 3 (1)已知扇形的周长为 8 cm，圆心角为 2， 则扇形的面积为________．
解析：设扇形的半径为 r cm，弧长为 l cm，由圆心角为 2 rad， 依据弧长公式可得 l＝2r，从而扇形的周长为 l＋2r＝4r＝8， 解得 r＝2，则 l＝4. 故扇形的面积 S＝12rl＝12×2×4＝4 (cm2)．
(2)已知一半径为 R 的扇形，它的周长等于所在圆的周长，那么扇形的 圆心角是多少弧度？面积是多少？
解：设扇形的弧长为 l， 由题意得 2πR＝2R＋l，所以 l＝2(π－1)R， 所以扇形的圆心角是Rl ＝2(π－1)， 扇形的面积是12Rl＝(π－1)R2.
谢谢观看！
解：如图，330°角的终边与－30°角的终边相同，
将－30°化为弧度，即－π6，而 75°＝75×1π80＝51π2，
∴终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为
θ|
2kπ－π6＜θ＜2kπ＋51π2，k∈Z.
题型三 扇形的弧长及面积公式
例 3 (1)若圆的半径变为原来的 2 倍，弧长也变为原来的 2 倍，则( )
题型二 用弧度制表示角的集合
例 2 已知角 α＝2 005°. (1)将 α 改写成 β＋2kπ(k∈Z，0≤β＜2π)的形式，并指出 α 是第几象限的角； (2)在[－5π，0)内找出与 α 终边相同的角．
解：(1)2
005°＝2
π 005×180
rad＝40316π
rad＝5×2π＋4316π
答案：(1)D (2)2
(3)如图所示，扇形 AOB 的面积是 4 cm2，它的周长是 10 cm，求扇形的 圆心角 α 的弧度数及弦 AB 的长．
解：设弧 AB 的长为 l(cm)，扇形半径为 r(cm)， 由题意得l12＋lr＝2r＝ 4，10，解得rl＝＝24，或rl＝＝81，(舍)， 故 α＝24＝12(弧度)，AB＝2×4sin 14＝8sin 14(cm)．
变式训练 3 (1)已知扇形的周长为 8 cm，圆心角为 2， 则扇形的面积为________．
解析：设扇形的半径为 r cm，弧长为 l cm，由圆心角为 2 rad， 依据弧长公式可得 l＝2r，从而扇形的周长为 l＋2r＝4r＝8， 解得 r＝2，则 l＝4. 故扇形的面积 S＝12rl＝12×2×4＝4 (cm2)．
1.1.2 弧度制 课件(共29张PPT)
栏目 导引
第一章 三角函数
跟踪训练 4．已知扇形面积为25 cm2，当扇形的圆心角为多大时， 扇形的周长取最小值？ 解：设扇形的半径是 r，弧长是 l，扇形的周长为 y， 则 y＝l＋2r.由题意，得12lr＝25，则 l＝5r0， 故 y＝5r0＋2r(r>0)．利用函数单调性的定义，可以证明 当 0<r≤5，函数 y＝5r0＋2r 是减函数；
小案例—哪个是你
忙忙叨叨，起早贪黑， 上课认真，笔记认真， 小A 就是成绩不咋地……
好像天天在玩， 上课没事儿还调皮气老师， 笔记有时让人看不懂， 但一考试就挺好…… 小B
栏目 导引
目 录/contents
第一章 三角函数
1. 什么是学习力 2. 高效学习模型 3. 超级记忆法 4. 费曼学习法
栏目 导引
栏目 导引
第一章 三角函数
(2)如图所示，设扇形的半径为 r cm，弧长为 l cm，圆心角为 θ(0<θ<2π)， 由 l＋2r＝20，得 l＝20－2r， 由12lr＝9，得12(20－2r)r＝9， ∴r2－10r＋9＝0，解得 r1＝1，r2＝9. 当 r1＝1 cm 时，l＝18 cm，θ＝rl＝118＝18>2π(舍去)． 当 r2＝9 cm 时，l＝2 cm，θ＝rl＝29. ∴扇形的圆心角的弧度数为29.
第一章 三角函数
什么是学习力
栏目 导引
第一章 三角函数
什么是学习力-你遇到这些问题了吗
总是 比别人 学得慢
一看就懂 一 做就错
看得懂，但不 会做
总是 比别人学得差 不会举一反三
栏目 导引
第一章 三角函数
什么是学习力-含义
管理知识的能力 （利用现有知识 解决问题）
第一章 三角函数
跟踪训练 4．已知扇形面积为25 cm2，当扇形的圆心角为多大时， 扇形的周长取最小值？ 解：设扇形的半径是 r，弧长是 l，扇形的周长为 y， 则 y＝l＋2r.由题意，得12lr＝25，则 l＝5r0， 故 y＝5r0＋2r(r>0)．利用函数单调性的定义，可以证明 当 0<r≤5，函数 y＝5r0＋2r 是减函数；
小案例—哪个是你
忙忙叨叨，起早贪黑， 上课认真，笔记认真， 小A 就是成绩不咋地……
好像天天在玩， 上课没事儿还调皮气老师， 笔记有时让人看不懂， 但一考试就挺好…… 小B
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第一章 三角函数
1. 什么是学习力 2. 高效学习模型 3. 超级记忆法 4. 费曼学习法
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第一章 三角函数
(2)如图所示，设扇形的半径为 r cm，弧长为 l cm，圆心角为 θ(0<θ<2π)， 由 l＋2r＝20，得 l＝20－2r， 由12lr＝9，得12(20－2r)r＝9， ∴r2－10r＋9＝0，解得 r1＝1，r2＝9. 当 r1＝1 cm 时，l＝18 cm，θ＝rl＝118＝18>2π(舍去)． 当 r2＝9 cm 时，l＝2 cm，θ＝rl＝29. ∴扇形的圆心角的弧度数为29.
第一章 三角函数
什么是学习力
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第一章 三角函数
什么是学习力-你遇到这些问题了吗
总是 比别人 学得慢
一看就懂 一 做就错
看得懂，但不 会做
总是 比别人学得差 不会举一反三
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第一章 三角函数
什么是学习力-含义
管理知识的能力 （利用现有知识 解决问题）
1.1.2弧 度 制名师课件
s 1 r2 1 lr
2
2
例1：把67 30化成弧度
解：
67
30
67
1 2
67 30 rad 67 1 3 rad
180
28
1
180
(rad)
Hale Waihona Puke 1(rad)
180
例2：把 4 rad化成角度。
5
解：4 rad 4 180 144
法二:(利用弧度与角度之间的互换关系)
rad (180 ) , n 180
l n r r (180 ) r 180 180
l r
(2)扇形面积公式 方法一：
s n r2 (角度制）
360
由弧长的计算公式（或弧度与角度的运算关系）
正角 零角 负角
任意角的集合
正实数 零 负实数
实数集合
4.角度制与弧度制的换算
用“弧度”与“度”去度量每一个角时， 除了零角以外，所得到的量数都是不同的， 但它们既然是度量同一个角的结果，二者就 可以相互换算．
若弧是一个整圆，它的圆心角是周角， 其弧度数是2π ，而在角度制里它是3600.
因此 3600 =2π (一般情况下弧度 单位yad可以省略不写)
3、若是第二象限角，那么 和
22
都不是第几象限角（ B ）
A.一 B.二 C.三 D.四
4、下列各对角中，终边相同的是( C )
A. 3 和2k 3（k Z） B. 和 22
2
2
55
C. 7 和11
D. 20 和122
高中数学第一章三角函数1.1.2弧度制资料省公开课一等奖新优质课获奖课件
解答 21/34
(2)在[0°，720°]内找出与25π角终边相同的角. 解 ∵25π＝25π×(1π80)°＝72°， ∴终边与25π角相同的角为 θ＝72°＋k·360°(k∈Z)， 当k＝0时，θ＝72°；当k＝1时，θ＝432°. ∴在[0°，720°]内与25π角终边相同的角为 72°，432°.
解析 答案 24/34
反思与感悟
联系半径、弧长和圆心角的有两个公式：一是 S＝12lr＝12|α|r2，二是 l＝ |α|r，如果已知其中两个，就可以求出另一个.求解时应注意先把度化为 弧度，再计算.
25/34
跟踪训练3 一个扇形面积为1，周长为4，求圆心角弧度数. 解 设扇形半径为R，弧长为l，则2R＋l＝4， ∴l＝4－2R，根据扇形面积公式 S＝12lR， 得 1＝12(4－2R)·R， ∴R＝1，∴l＝2，∴α＝Rl ＝21＝2，
√ C.第二象限 D.第一象限
解析 2π－5与－5终边相同， ∵2π－5∈(0，π2)， ∴2π－5是第一象限角，则－5也是第一象限角.
12345
解析 答案 30/34
4.已知扇形周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形圆心角弧度数是
A.1
√C.1或4
B.4 D.2或4
解析 设扇形半径为r，圆心角弧度数为α，
即扇形圆心角为2 rad.
解答 26/34
当堂训练
27/34
1.以下说法中，错误是
A.“度”与“弧度”是度量角两种不一样度量单位
B.1°角是周角 ，31610rad角是周角
1 2π
C.1 rad角比1°角要大
√D.用角度制和弧度制度量角，都与圆半径相关
解析 依据1度、1弧度定义可知只有D是错误，故选D.
(2)在[0°，720°]内找出与25π角终边相同的角. 解 ∵25π＝25π×(1π80)°＝72°， ∴终边与25π角相同的角为 θ＝72°＋k·360°(k∈Z)， 当k＝0时，θ＝72°；当k＝1时，θ＝432°. ∴在[0°，720°]内与25π角终边相同的角为 72°，432°.
解析 答案 24/34
反思与感悟
联系半径、弧长和圆心角的有两个公式：一是 S＝12lr＝12|α|r2，二是 l＝ |α|r，如果已知其中两个，就可以求出另一个.求解时应注意先把度化为 弧度，再计算.
25/34
跟踪训练3 一个扇形面积为1，周长为4，求圆心角弧度数. 解 设扇形半径为R，弧长为l，则2R＋l＝4， ∴l＝4－2R，根据扇形面积公式 S＝12lR， 得 1＝12(4－2R)·R， ∴R＝1，∴l＝2，∴α＝Rl ＝21＝2，
√ C.第二象限 D.第一象限
解析 2π－5与－5终边相同， ∵2π－5∈(0，π2)， ∴2π－5是第一象限角，则－5也是第一象限角.
12345
解析 答案 30/34
4.已知扇形周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形圆心角弧度数是
A.1
√C.1或4
B.4 D.2或4
解析 设扇形半径为r，圆心角弧度数为α，
即扇形圆心角为2 rad.
解答 26/34
当堂训练
27/34
1.以下说法中，错误是
A.“度”与“弧度”是度量角两种不一样度量单位
B.1°角是周角 ，31610rad角是周角
1 2π
C.1 rad角比1°角要大
√D.用角度制和弧度制度量角，都与圆半径相关
解析 依据1度、1弧度定义可知只有D是错误，故选D.
课件12： 1.1.2 弧度制
答案： (1)× (2)× (3)×
2．将下列弧度与角度互换
(1)－29π＝________； (2)2＝________；
(3)72°＝________； (4)－300°＝________. 解析： (1)－29π rad＝－92×180°＝－40°.(2)2 rad＝2×1π80°＝3π60°.
(3)920°＝920×1π80 rad＝496π rad.(4)－72°＝－72×1π80 rad＝－25π rad.
答案：(1)24°
(2)－216°
46 (3) 9 π rad
(4)－25π rad
2．若扇形的周长为 4 cm，面积为 1 cm2，则扇形的圆心角的弧度数
是________．
解析：设扇形所在圆的半径为 r cm，扇形弧长为 l cm.
π (2)10
rad＝1π0×1π80°＝18°；
(3)－43π rad＝－43π×1π80°＝－240°；
(4)112°30′＝112.5°＝112.5×1π80 rad＝58π rad.
规律方法 角度制与弧度制换算的要点：
提醒：度化弧度时，应先将分、秒化成度，再把度化成弧度．
跟踪训练
1．将下列角度与弧度进行互化．
(2)β1＝35π＝35π×1π80°＝108°， 设 θ＝108°＋k·360°(k∈Z)，则由－720°≤θ＜0°， 即－720°≤108°＋k·360°＜0°，得 k＝－2，或 k＝－1. 故在[－720°，0°)范围内，与 β1 终边相同的角是－612°和－252°.
β2＝－π3＝－60°， 设 γ＝－60°＋k·360°(k∈Z)， 则由－720°≤－60°＋k·360°＜0°，得 k＝－1，或 k＝0. 故在[－720°，0°)范围内，与 β2 终边相同的角是－420°.
2．将下列弧度与角度互换
(1)－29π＝________； (2)2＝________；
(3)72°＝________； (4)－300°＝________. 解析： (1)－29π rad＝－92×180°＝－40°.(2)2 rad＝2×1π80°＝3π60°.
(3)920°＝920×1π80 rad＝496π rad.(4)－72°＝－72×1π80 rad＝－25π rad.
答案：(1)24°
(2)－216°
46 (3) 9 π rad
(4)－25π rad
2．若扇形的周长为 4 cm，面积为 1 cm2，则扇形的圆心角的弧度数
是________．
解析：设扇形所在圆的半径为 r cm，扇形弧长为 l cm.
π (2)10
rad＝1π0×1π80°＝18°；
(3)－43π rad＝－43π×1π80°＝－240°；
(4)112°30′＝112.5°＝112.5×1π80 rad＝58π rad.
规律方法 角度制与弧度制换算的要点：
提醒：度化弧度时，应先将分、秒化成度，再把度化成弧度．
跟踪训练
1．将下列角度与弧度进行互化．
(2)β1＝35π＝35π×1π80°＝108°， 设 θ＝108°＋k·360°(k∈Z)，则由－720°≤θ＜0°， 即－720°≤108°＋k·360°＜0°，得 k＝－2，或 k＝－1. 故在[－720°，0°)范围内，与 β1 终边相同的角是－612°和－252°.
β2＝－π3＝－60°， 设 γ＝－60°＋k·360°(k∈Z)， 则由－720°≤－60°＋k·360°＜0°，得 k＝－1，或 k＝0. 故在[－720°，0°)范围内，与 β2 终边相同的角是－420°.
1.1.2弧度制(课件)
1.1.2 弧度制
1.角的概念的推广
2.象限角
使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴非负半 轴重合，那么角的终边（除端点外）在第几象限， 我们就说这个角是第几象限角。
3.终边相同的角
所有与角α 终边相同的角，连同角 α在内，可构成 一个集合
S { k 3600 , k Z},
1. 在平面几何里，度量角的大小用什么单位？ 度
填表：课本P6的探究的表格
一般地， 正角的弧度数是一个正数， 负角的弧度数是一个负数， 零角的弧度数是0
思考:如果一个半径为r的圆的圆心角α 所对的弧长是l,那么α的弧度数是多少?
结论：角α的弧度数的绝对值是
= l （r为半径, l为角α所对弧的长）
r
l
α的正负由角α 的终边
α rad
旋转方向决定
2. 把弧度换成角度
10 rad 0.01745rad
180
1rad 1800 57.300 57018'
若弧是一个整圆，它的圆心角是周角,其弧度数 是2π,而在角度制里它是360°.
练习：请用弧度制表示下列角度的范围。
锐角：{θ|0°＜θ＜90°}， 直角： {θ|θ=90°} 钝角： {θ|90°＜θ＜180°} 平角： {θ|θ=180°} 周角： {θ|θ=360°} 0°到90°的角：{θ|0°≤θ<90°}； 小于90°角：{θ|θ＜90°} 0°到180°的角：{θ|0°≤θ<180°} 0°到360°的角：{θ|0°≤θ<360°}
（2）“角化弧”时，将n乘以 ；
“弧化角”时，将α乘以 ； （3）弧长公式：
扇形面积公式：
（其中l为圆心角α所对的弧长,α为圆心 角的弧度数,r为圆半径.)
1.角的概念的推广
2.象限角
使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴非负半 轴重合，那么角的终边（除端点外）在第几象限， 我们就说这个角是第几象限角。
3.终边相同的角
所有与角α 终边相同的角，连同角 α在内，可构成 一个集合
S { k 3600 , k Z},
1. 在平面几何里，度量角的大小用什么单位？ 度
填表：课本P6的探究的表格
一般地， 正角的弧度数是一个正数， 负角的弧度数是一个负数， 零角的弧度数是0
思考:如果一个半径为r的圆的圆心角α 所对的弧长是l,那么α的弧度数是多少?
结论：角α的弧度数的绝对值是
= l （r为半径, l为角α所对弧的长）
r
l
α的正负由角α 的终边
α rad
旋转方向决定
2. 把弧度换成角度
10 rad 0.01745rad
180
1rad 1800 57.300 57018'
若弧是一个整圆，它的圆心角是周角,其弧度数 是2π,而在角度制里它是360°.
练习：请用弧度制表示下列角度的范围。
锐角：{θ|0°＜θ＜90°}， 直角： {θ|θ=90°} 钝角： {θ|90°＜θ＜180°} 平角： {θ|θ=180°} 周角： {θ|θ=360°} 0°到90°的角：{θ|0°≤θ<90°}； 小于90°角：{θ|θ＜90°} 0°到180°的角：{θ|0°≤θ<180°} 0°到360°的角：{θ|0°≤θ<360°}
（2）“角化弧”时，将n乘以 ；
“弧化角”时，将α乘以 ； （3）弧长公式：
扇形面积公式：
（其中l为圆心角α所对的弧长,α为圆心 角的弧度数,r为圆半径.)
课件7：1.1.2 弧度制
[题型·探究]
类型 1 角度与弧度的互化与应用
例 1 (1)将下列角度与弧度进行互化． ①20°＝________；②－15°＝________； ③712π＝________；④－151π＝________. (2)把－157°30′化成弧度为________． (3)在[0，4π]中，与 72°角终边相同的角有________．(用弧度表示)
例 3 (1)设扇形的周长为 8 cm，面积为 4 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
【自主解答】 设扇形半径为 r，弧长为 l， 由题意得212rl·＋rl＝ ＝84， ，解得lr＝＝42，，则圆心角 α＝rl＝2 rad.
【答案】 B
(2)已知扇形的周长为 20 cm，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使 扇形的面积最大？最大面积是多少？
【答案】 R2(1－sin 1cos 1)
[达标·检测]
1．正确表示终边落在第一象限的角的范围的是( )
A．2kπ，2kπ＋π2(k∈Z)
B．kπ，kπ＋π2(k∈Z)
C．2kπ，2kπ＋π2(k∈Z)
D．kπ，kπ＋π2(k∈Z)
【解ห้องสมุดไป่ตู้】
B
中
k＝1
时为π，32
π显然不正确；因为第一象限角不含终边在坐
谢谢观看！
标轴的角故 C、D 均错，只有 A 正确．
【答案】 A
2．与 30°角终边相同的角的集合是( )
A．αα＝k·360°＋π6
，k∈Z
B．{α|α＝2kπ＋30°，k∈Z}
C．{α|α＝2k·360°＋30°，k∈Z}
D．αα＝2kπ＋π6，
人教版数学必修四1.1.2 弧度制 课件(共21张PPT)
3.弧度制：这种以弧度作为单位来度量角的单位 制叫做弧度制，它的单位是弧度，单位符号是rad.
思考:若半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为 2r,那么,角α的弧度数是多少?
B
l2r
O
A
2rad
理解概念
当AB弧的长度为2r、3r时， 正角∠AOB为多少弧度？ 一个周角的弧度数是多少？半个圆弧所对的圆心角 的弧度数是多少？
4
4
31123
7
7
4 8 4 4 -8
例 4 试判断下列各角所在的象限.
(1)
5
(2) 11
5
(3) 2000
3
(4) 1 (5) 4
(6) 8
(1)
5
0 是第一象限. 角
52
5
(2) 11 112 11 是 第 一 象 限 .
5
5
55
(3) 2000
3
又 43
32
200 0 66 8 4
8
例 2 把下列各角的弧度化为度数。
5
（1） ；
12
（2） 。
4
解 （1） 5 12180o5 1275o （2） 180o45o 44
角度制与弧度制互化时要抓住 180°= rad 这个关 键。
课堂练习： 填定下列特殊角的度数与弧度数的对应表
角 度
0 30 4 5 o 60 9 0 o 1201351 5 0 o 1 8 0 o 270 3 6 0 o
1.1.2 弧度制
1.角的概念的推广
2.象限角
使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴正半轴 重合，那么角的终边（除端点外）在第几象限，我 们就说这个角是第几象限角。
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l
r
提问：为什么可以用弧长与其半
半径径的的比比值值来来 度度 量量 角角 的的 大大 小小呢呢？？即即这
这个个比比值值是是否否 与与 所所 取取 的的 圆B圆 的的半半径径大大小
小有有关关呢呢？？
B` L
l
n°
O
r
A` R
A
结论：当半径不同时，同样的圆心角 所对的弧长与半径之比是常数
前面我们说到，1弧度比600稍小一点，那么1弧度 到底是多少度呢？你能否解决这个问题？
(1)弧长公式： l • r
(2)扇形面积公式: S 1 l • r 1 • r 2
2
2
其中l是扇形弧长，r是圆的半径
例2:在半径为R的圆中，240º的圆心角
所对的弧长为
，面积为2R2的
扇形的圆心角等于
弧度。
解:(1)240º= 4 ，根据l=αR，得 l 4 R
3
3
(2)根据S=
【总一总★成竹在胸】
1. 什么叫1弧度角? 2. 任意角的弧度的定义. 3. “角度制”与“弧度制”的联系与区 别． 4.能应用弧长公式与扇形面积公式解决 有关问题.
1 2
lR=
12αR2，且S=2R2
4
题型示范
例3 利用弧度制证明下列关于扇形公式:
1 l R 2 S 1 R2 3 S 1 lR
2
2
其中R是半径，l是弧长，α(0<α<2π)为 圆心角,S是扇形面积.
23
题型示范
例3 利用弧度制证明下列关于扇形公式(０<α<2π):
1l R 2 S 1 R2
复习：
初中时所学的角度制，是怎么规定10角 的？角度制的单位有哪些，是多少进制 的？
答：把圆周360等分，其中1份所对的圆 心角是1度；角度制的单位有度、分、秒 三种，规定60分等于1度，60秒等于1分， 是60进制.
新概念
为使用方便，我们经常会用到一种十进制的 度量角的单位制-----弧度制.
证明:(1)由公式
=
l2 得r l=αR
3 S 1 lR
2
知圆心角为n°的扇形的弧长公式和面积公式分别是
l n R , S n R2
l
180
360
α rad
n°转换为弧度 n
r
180
S 1 R2 S 1 lR
2
2
24
例4 、 将下列各角化2kπ+α(k∈Z,0≤α＜2π)
的形式，并指出是第几象限角？
(2) 5 5 1800 112.50 112030
88
(3)
1000
100
180
5
9
(4) 6000 600 10
180
3
2.常用角的弧度角度换算表：
度 0° 30° 60° 120° 135°
270°
弧 度0
π 6
π π π 2π 43 2 3
3π 4
5π
3π
6π 2
2π
探究新知
3、用弧度为单位表示角时，通常写 成“多少π”的 形式。如无特别要求，不用将π化成小数。
4、弧度与角度不能混用．
小结
复习回顾：1度的角等于多少弧度？ 1rad的角等于多少角度？
1 rad
180
复习：1、把下列弧度化为角度，角度 化为弧度？
(1) 17 17 1800 2550
12 12
(1)将角度化为弧度：
360 2 rad 180 rad
1 rad
180
n
n0 _1_8_0__ rad
练习：
把下列角度化成弧度: (1)22°30‘; (2)-210º； （3）1200°
三、角度制与弧度制互换:
(2)将弧度化为角度：
2 360
180
180n
n _____ 0
弧度制下终边相同的角、轴线角、象限角的表示：
2k , k Z
1.与α终边相同的角的集合
；
与α终边共线的角的集合 k , k Z。
说明：在用四则运算表示角时，单位要统 一，不能出现诸如300+2kπ,或π/2+k.3600 等错误表示法！
2.终边落在x轴的正半轴的角的集合 2k , k Z ；
(1)1140°；(2)－361π；(3)169π；(4)－315°.
解析：(1)1140°＝139π＝6π＋3π，139π 与π3的终边相同， 故139π 是第一象限角；
(2)－361π＝－6π＋56π，－361π 与56π的终边相同，是第 二象限角；
(3)169π＝2π＋76π，是第三象限角；(与 π 及32π比较) (4)－315°＝－360°＋45°＝－2π＋4π，是第一象限角．
练习
把下列弧度化成度：
（1） ;
12
（2） 4 ;
3
（3）3 .
10
填一填： 注意： 1、对于一些特殊角的度数与弧度数之间的换算要熟记。
度数 0º 30º 45º 60º 90º 120º 135º 150º 180º 270º 360º
弧度
数0
6
4
2 3 5 3 2
3 23 4 6
2
2、用弧度为单位表示角的大小时， “弧度”二字通 常省略不写，但用“度”（°）为单位不能省略。
3.思考：一个周角的弧度数是多少？一个平角的弧度 数是多少？一个直角的弧度呢？
答：分别为2 , , 弧度.
2
4.角的弧度数的绝对值：
l
r
B
r 注：“弧度”不是弧长，它
O 1rad A
是一个比值。值有正负。
正角 零角 负角
对应角的
正实数 弧度数 零
负实数
角的弧度数
实数集R
三、角度制与弧度制互换:
规定：
B
r
AOB 1弧度 1rad 1,
Or
A
注：弧度单位可省略，角度
单位不能省略！
小练习：
1.圆的半径为r，圆弧长为2r、3r、r/2的弧所对的圆心 角分别为多少？
答：分别为2弧度、3弧度、1/2弧度.
2.思考：圆心角的弧度数取决于什么呢？是半径还是 圆弧长？
答：无关，若圆弧长为L，半径为r，则圆心角
x轴的负半轴的角的集合 2k , k Z；
终边落在y轴的正半轴的角的集合
2
2k
,k
Z
；
y轴的负半轴的角的集合
2
2k , k
Z
；
终边落在x轴上的角的集合 k , k Z ；
y轴上的角的集合
2
k
,
kபைடு நூலகம்
Z
。
3.象限角的表示
第一象限角为： (2k , 2k ), k Z
2
第二象限角为： ( 2k , 2k ), k Z
2
第三象限角为： ( 2k , 2k ), k Z
2
第四象限角为： ( 2k , 2k ), k Z
2
4、弧长及扇形面积公式:
1．角度制：半径为R，圆心角为n°的 扇形中，圆心角所对的弧长l和面积S分 别 弧为 长：l＝l＝__n1_π8_·0R____，扇形的面积S＝
________.
r
提问：为什么可以用弧长与其半
半径径的的比比值值来来 度度 量量 角角 的的 大大 小小呢呢？？即即这
这个个比比值值是是否否 与与 所所 取取 的的 圆B圆 的的半半径径大大小
小有有关关呢呢？？
B` L
l
n°
O
r
A` R
A
结论：当半径不同时，同样的圆心角 所对的弧长与半径之比是常数
前面我们说到，1弧度比600稍小一点，那么1弧度 到底是多少度呢？你能否解决这个问题？
(1)弧长公式： l • r
(2)扇形面积公式: S 1 l • r 1 • r 2
2
2
其中l是扇形弧长，r是圆的半径
例2:在半径为R的圆中，240º的圆心角
所对的弧长为
，面积为2R2的
扇形的圆心角等于
弧度。
解:(1)240º= 4 ，根据l=αR，得 l 4 R
3
3
(2)根据S=
【总一总★成竹在胸】
1. 什么叫1弧度角? 2. 任意角的弧度的定义. 3. “角度制”与“弧度制”的联系与区 别． 4.能应用弧长公式与扇形面积公式解决 有关问题.
1 2
lR=
12αR2，且S=2R2
4
题型示范
例3 利用弧度制证明下列关于扇形公式:
1 l R 2 S 1 R2 3 S 1 lR
2
2
其中R是半径，l是弧长，α(0<α<2π)为 圆心角,S是扇形面积.
23
题型示范
例3 利用弧度制证明下列关于扇形公式(０<α<2π):
1l R 2 S 1 R2
复习：
初中时所学的角度制，是怎么规定10角 的？角度制的单位有哪些，是多少进制 的？
答：把圆周360等分，其中1份所对的圆 心角是1度；角度制的单位有度、分、秒 三种，规定60分等于1度，60秒等于1分， 是60进制.
新概念
为使用方便，我们经常会用到一种十进制的 度量角的单位制-----弧度制.
证明:(1)由公式
=
l2 得r l=αR
3 S 1 lR
2
知圆心角为n°的扇形的弧长公式和面积公式分别是
l n R , S n R2
l
180
360
α rad
n°转换为弧度 n
r
180
S 1 R2 S 1 lR
2
2
24
例4 、 将下列各角化2kπ+α(k∈Z,0≤α＜2π)
的形式，并指出是第几象限角？
(2) 5 5 1800 112.50 112030
88
(3)
1000
100
180
5
9
(4) 6000 600 10
180
3
2.常用角的弧度角度换算表：
度 0° 30° 60° 120° 135°
270°
弧 度0
π 6
π π π 2π 43 2 3
3π 4
5π
3π
6π 2
2π
探究新知
3、用弧度为单位表示角时，通常写 成“多少π”的 形式。如无特别要求，不用将π化成小数。
4、弧度与角度不能混用．
小结
复习回顾：1度的角等于多少弧度？ 1rad的角等于多少角度？
1 rad
180
复习：1、把下列弧度化为角度，角度 化为弧度？
(1) 17 17 1800 2550
12 12
(1)将角度化为弧度：
360 2 rad 180 rad
1 rad
180
n
n0 _1_8_0__ rad
练习：
把下列角度化成弧度: (1)22°30‘; (2)-210º； （3）1200°
三、角度制与弧度制互换:
(2)将弧度化为角度：
2 360
180
180n
n _____ 0
弧度制下终边相同的角、轴线角、象限角的表示：
2k , k Z
1.与α终边相同的角的集合
；
与α终边共线的角的集合 k , k Z。
说明：在用四则运算表示角时，单位要统 一，不能出现诸如300+2kπ,或π/2+k.3600 等错误表示法！
2.终边落在x轴的正半轴的角的集合 2k , k Z ；
(1)1140°；(2)－361π；(3)169π；(4)－315°.
解析：(1)1140°＝139π＝6π＋3π，139π 与π3的终边相同， 故139π 是第一象限角；
(2)－361π＝－6π＋56π，－361π 与56π的终边相同，是第 二象限角；
(3)169π＝2π＋76π，是第三象限角；(与 π 及32π比较) (4)－315°＝－360°＋45°＝－2π＋4π，是第一象限角．
练习
把下列弧度化成度：
（1） ;
12
（2） 4 ;
3
（3）3 .
10
填一填： 注意： 1、对于一些特殊角的度数与弧度数之间的换算要熟记。
度数 0º 30º 45º 60º 90º 120º 135º 150º 180º 270º 360º
弧度
数0
6
4
2 3 5 3 2
3 23 4 6
2
2、用弧度为单位表示角的大小时， “弧度”二字通 常省略不写，但用“度”（°）为单位不能省略。
3.思考：一个周角的弧度数是多少？一个平角的弧度 数是多少？一个直角的弧度呢？
答：分别为2 , , 弧度.
2
4.角的弧度数的绝对值：
l
r
B
r 注：“弧度”不是弧长，它
O 1rad A
是一个比值。值有正负。
正角 零角 负角
对应角的
正实数 弧度数 零
负实数
角的弧度数
实数集R
三、角度制与弧度制互换:
规定：
B
r
AOB 1弧度 1rad 1,
Or
A
注：弧度单位可省略，角度
单位不能省略！
小练习：
1.圆的半径为r，圆弧长为2r、3r、r/2的弧所对的圆心 角分别为多少？
答：分别为2弧度、3弧度、1/2弧度.
2.思考：圆心角的弧度数取决于什么呢？是半径还是 圆弧长？
答：无关，若圆弧长为L，半径为r，则圆心角
x轴的负半轴的角的集合 2k , k Z；
终边落在y轴的正半轴的角的集合
2
2k
,k
Z
；
y轴的负半轴的角的集合
2
2k , k
Z
；
终边落在x轴上的角的集合 k , k Z ；
y轴上的角的集合
2
k
,
kபைடு நூலகம்
Z
。
3.象限角的表示
第一象限角为： (2k , 2k ), k Z
2
第二象限角为： ( 2k , 2k ), k Z
2
第三象限角为： ( 2k , 2k ), k Z
2
第四象限角为： ( 2k , 2k ), k Z
2
4、弧长及扇形面积公式:
1．角度制：半径为R，圆心角为n°的 扇形中，圆心角所对的弧长l和面积S分 别 弧为 长：l＝l＝__n1_π8_·0R____，扇形的面积S＝
________.