1.1.2弧度制优秀课件

(2) 5 5 1800 112.50 112030
88
(3)
1000
100
180
5
9
(4) 6000 600 10
180
3
2.常用角的弧度角度换算表：
度 0° 30° 60° 120° 135°
270°
弧 度0
π 6
π π π 2π 43 2 3
3π 4
5π
3π
6π 2
2π
探究新知
复习：
初中时所学的角度制，是怎么规定10角 的？角度制的单位有哪些，是多少进制 的？
答：把圆周360等分，其中1份所对的圆 心角是1度；角度制的单位有度、分、秒 三种，规定60分等于1度，60秒等于1分， 是60进制.
新概念
为使用方便，我们经常会用到一种十进制的 度量角的单位制-----弧度制.
x轴的负半轴的角的集合 2k , k Z；
终边落在y轴的正半轴的角的集合
2
2k
wenku.baidu.com,k
Z
；
y轴的负半轴的角的集合
2
2k , k
Z
；
终边落在x轴上的角的集合 k , k Z ；
y轴上的角的集合
2
k
,
k
Z
。
3.象限角的表示
第一象限角为： (2k , 2k ), k Z
2
第二象限角为： ( 2k , 2k ), k Z
l
r
提问：为什么可以用弧长与其半
半径径的的比比值值来来 度度 量量 角角 的的 大大 小小呢呢？？即即这
这个个比比值值是是否否 与与 所所 取取 的的 圆B圆 的的半半径径大大小
小有有关关呢呢？？
B` L
l
n°
O
r
A` R
A
结论：当半径不同时，同样的圆心角 所对的弧长与半径之比是常数
前面我们说到，1弧度比600稍小一点，那么1弧度 到底是多少度呢？你能否解决这个问题？
3、用弧度为单位表示角时，通常写 成“多少π”的 形式。如无特别要求，不用将π化成小数。
4、弧度与角度不能混用．
小结
复习回顾：1度的角等于多少弧度？ 1rad的角等于多少角度？
1 rad
180
复习：1、把下列弧度化为角度，角度 化为弧度？
(1) 17 17 1800 2550
12 12
证明:(1)由公式
=
l2 得r l=αR
3 S 1 lR
2
知圆心角为n°的扇形的弧长公式和面积公式分别是
l n R , S n R2
l
180
360
α rad
n°转换为弧度 n
r
180
S 1 R2 S 1 lR
2
2
24
例4 、 将下列各角化2kπ+α(k∈Z,0≤α＜2π)
的形式，并指出是第几象限角？
2
第三象限角为： ( 2k , 2k ), k Z
2
第四象限角为： ( 2k , 2k ), k Z
2
4、弧长及扇形面积公式:
1．角度制：半径为R，圆心角为n°的 扇形中，圆心角所对的弧长l和面积S分 别 弧为 长：l＝l＝__n1_π8_·0R____，扇形的面积S＝
________.
【总一总★成竹在胸】
1. 什么叫1弧度角? 2. 任意角的弧度的定义. 3. “角度制”与“弧度制”的联系与区 别． 4.能应用弧长公式与扇形面积公式解决 有关问题.
(1)将角度化为弧度：
360 2 rad 180 rad
1 rad
180
n
n0 _1_8_0__ rad
练习：
把下列角度化成弧度: (1)22°30‘; (2)-210º； （3）1200°
三、角度制与弧度制互换:
(2)将弧度化为角度：
2 360
180
180n
n _____ 0
弧度制下终边相同的角、轴线角、象限角的表示：
2k , k Z
1.与α终边相同的角的集合
；
与α终边共线的角的集合 k , k Z。
说明：在用四则运算表示角时，单位要统 一，不能出现诸如300+2kπ,或π/2+k.3600 等错误表示法！
2.终边落在x轴的正半轴的角的集合 2k , k Z ；
(1)1140°；(2)－361π；(3)169π；(4)－315°.
解析：(1)1140°＝139π＝6π＋3π，139π 与π3的终边相同， 故139π 是第一象限角；
(2)－361π＝－6π＋56π，－361π 与56π的终边相同，是第 二象限角；
(3)169π＝2π＋76π，是第三象限角；(与 π 及32π比较) (4)－315°＝－360°＋45°＝－2π＋4π，是第一象限角．
3.思考：一个周角的弧度数是多少？一个平角的弧度 数是多少？一个直角的弧度呢？
答：分别为2 , , 弧度.
2
4.角的弧度数的绝对值：
l
r
B
r 注：“弧度”不是弧长，它
O 1rad A
是一个比值。值有正负。
正角 零角 负角
对应角的
正实数 弧度数 零
负实数
角的弧度数
实数集R
三、角度制与弧度制互换:
(1)弧长公式： l • r
(2)扇形面积公式: S 1 l • r 1 • r 2
2
2
其中l是扇形弧长，r是圆的半径
例2:在半径为R的圆中，240º的圆心角
所对的弧长为
，面积为2R2的
扇形的圆心角等于
弧度。
解:(1)240º= 4 ，根据l=αR，得 l 4 R
3
3
(2)根据S=
规定：
B
r
AOB 1弧度 1rad 1,
Or
A
注：弧度单位可省略，角度
单位不能省略！
小练习：
1.圆的半径为r，圆弧长为2r、3r、r/2的弧所对的圆心 角分别为多少？
答：分别为2弧度、3弧度、1/2弧度.
2.思考：圆心角的弧度数取决于什么呢？是半径还是 圆弧长？
答：无关，若圆弧长为L，半径为r，则圆心角
1 2
lR=
12αR2，且S=2R2
4
题型示范
例3 利用弧度制证明下列关于扇形公式:
1 l R 2 S 1 R2 3 S 1 lR
2
2
其中R是半径，l是弧长，α(0<α<2π)为 圆心角,S是扇形面积.
23
题型示范
例3 利用弧度制证明下列关于扇形公式(０<α<2π):
1l R 2 S 1 R2
练习
把下列弧度化成度：
（1） ;
12
（2） 4 ;
3
（3）3 .
10
填一填： 注意： 1、对于一些特殊角的度数与弧度数之间的换算要熟记。
度数 0º 30º 45º 60º 90º 120º 135º 150º 180º 270º 360º
弧度
数0
6
4
2 3 5 3 2
3 23 4 6
2
2、用弧度为单位表示角的大小时， “弧度”二字通 常省略不写，但用“度”（°）为单位不能省略。