04-05 晶体几何学基础解析

FCC Lattice
Copper metal is facecentered cubic
Identical atoms at corners and at face centers
also Ag, Au, Al, Ni... Coordinate： （000）（1/2, 1/2, 0） (0, 1/2, 1/2 ） (1/2, 0, 1/2 ）
第二章 X射线衍射方向
2－2 晶体几何学基础
晶体结构与空间点阵
晶体的晶面和晶向
晶体几何学基础 晶体 固体物质的分类 准晶体 非晶体
晶体的定义： 晶体是由许多质点（包括原子、离子或原子团）在三维空 间呈周期性排列而形成的固体。（长程有序）
晶体的物理特点
对称性：晶体的宏观外形和内部微观结构都具有特定的
晶面族
晶面间距
晶面间距(d)：两个相邻的平行晶面间的垂直距离。 对立方晶系而言：
d=
a h k l
2 2 2
一般是晶面指数数值越 小，其面间距较大，并 且其阵点密度较大，而 晶面指数数值较大的则 相反。
晶面间距
c b a
d100 d200
(100)
(200)
(110)
(110)
(111)
(102)
The 14 Bravais Lattices
七大晶系、14种Bravais点阵
晶系
三斜
单胞特征
abc, ab90
Bravais点阵
简单三斜
单斜
正交
abc, a 90=b
abc, a=b==90
简单单斜 底心单斜
简单正交，底心正交 体心正交，面心正交
三角
a=b=c, a=b=<120 90, 60
1.g*矢量的长度等于其对应晶 面间距的倒数 g*hkl =1/dhkl 2.其方向与晶面相垂直 g* //N(晶面法线) 3. 倒易点阵中的一个点代表 的是正点阵中的一组晶面
1．晶面间距
∣g HKL *∣ =
1 d HKL
* * * * * * * * g HKL g HKL = ( Ha Kb Lc ) ( Ha Kb Lc ) * * * * * * 2 *2 2 *2 2 *2 = H a K b L c 2 HK (a b ) 2 HL(a c ) 2 KL(b c )
晶 带
属于[001]晶带的某些晶面
倒易点阵 P.136
1）倒易点阵概念
倒易点阵是一个古老的数学概念，最初德国晶体学家 布拉未所采用，1921年爱瓦尔德发展了这种晶体学表 达方法。
正点阵：与晶体结构相关，描述晶体中物质的分布规 律，是物质空间或正空间。 倒易点阵：与晶体中的衍射现象相关，描述的是衍射 强度的分布，是倒空间。
倒易点阵的定义
c*
[001]*
c dab
(001)
b a
c*a, c*b; c* =(a, b构成的平行四边形的面积）/（晶胞体积） ＝1 /dab
倒易点阵与正点阵
• 根据定义在倒易点阵中, 从倒易原点到任一倒易 点(hkl)的矢量称倒易 矢量ghkl g*hkl = ha kb lc 可以得出:
晶 带
•所有相交于某一晶向直线或平行于此直线的晶面构成一个 晶带，此直线称为晶带轴。 •设晶带轴的指数为 [UVW] ，则晶带中任何一个晶面的指数 （ hkl ）都必须满足： hu+kv+lw=0 ，满足此关系的晶面都 属于以[UVW]为晶带轴的晶带，已知两个非平行的晶面指数 为（h1k1l1）和（h2k2l2）则其交线即为晶带轴的指数。
b c c a * * a b (b c )(c a ) (c c )(b a ) V V cos * = * * = = abc2 sin a sin b | a b | bc sin a ca sin b V V cosa cos b cos = 同样可求 得α *, β *。 sin a sin b
例：立方系 a*=b*=c*=1/a，α*=β*=γ*=90° * * 2 gHKL gHKL = ( H 2 K 2 L2 )a*2 = ( H 2 K 2 L2 ) / a 2 = 1 / d HKL
倒易点阵的作法
首先求基矢，然后利用基矢绘图。 由a,b,c,α,β,γ求a*,b*,c*,α*,β*,γ*进而求倒易点阵. 同样可求 得b*,c*。
晶胞的选取原则
二多一少（等长度轴要多，直角要多，晶胞体积要小）
5 Bravais Lattice in 2D
P
P
NP
5 Bravais Lattice in 2D
Square a=b =90º
Rectangular
Centered Rectangular Hexagonal Oblique
立方晶系中点阵常数与晶面的关系
(100)
d(100) = a
2 2
intersects with
1 0 0
2
=a
a at 1 b at c at
a at 1/2 b at c at a at 1 b at 1 c at
\ (100)
(200)
a
intersects with
倒易点阵
晶体的空间点阵是描述原子或原子团在三维空 间中平移周期性的一种表达方式，是由具体的晶体 结构抽象出来的。由于空间点阵的内容代表了真实 的物质，是具体的客观存在。 倒易空间点阵是由正空间点阵推导出来的，倒 易空间点阵不代表真实的物质内容，是抽象的客观 存在。但是倒易空间点阵在描述X射线和电子衍射 方面具有诸多便利。因为从倒易阵点与反射球面的 相对几何关系就能判断在方向是否有衍射束出现。
晶体结构＝空间点阵＋结构基元(原子或原子团)
晶体结构和空间点阵之间的关系
空间点阵是从晶体结构中抽象出来的几何图形，它 反映晶体结构最基本的几何特征。将原子安放在布 拉菲点阵的结点上即形成晶体结构。
四种具有面心立方点阵的晶体
(d)甲烷晶体
晶体结构
空间点阵
空间点阵的选取：反映晶体结构的周期性和对称性。
a b
a b
=90º
=90º
a=b
a b
=120º
90º
晶胞结构
晶胞：在空间点阵中，能代表空间点阵结构特点的小平 行六面体，反映晶格特征的最小几何单元。 整个空间点阵可由晶胞作三维的重复堆砌而构成。
一个晶胞的典型结构
7ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱCrystal Systems
Lattice parameters: a, b, c; a, b,
a = = d(200) 2 2 2 2 2 0 0
\ (200)
(110)
a
intersects with
a d(110) = 2 2 2 = 2 1 1 0
\ (110)
晶面间距
晶面间距(d)公式：
立方晶系：
1 d hkl
2
h k l = 2 a
2 2
2
h k l 四方晶系： = 2 2 2 a c d hkl 2 2 2 1 h k l 正交晶系： = 2 2 2 2 a b c d hkl 1
一个二次对称轴 三个互相垂直的二 次对称轴 一个三次对称轴 一个四次对称轴 一个六次对称轴 四个三次对称轴
直立的平行六面体 矩形的平行六面体 菱形，或与六角晶系的晶胞相同 直立的柱体，底部为正方形 直立的柱体，底部为菱形 立方体
Simple Cubic Lattice
Caesium Chloride (CsCl) is primitive cubic Different atoms at corners and body center.
倒易点阵
倒易点阵是由正点阵派生出的几何图像，是晶体点
阵的另一种表达形式。可以将晶体点阵结构与其电
子或X射线衍射斑点很好联系起来。 我们观测到的衍射花样实际上是满足衍射条件的倒 易点阵的投影。 倒易点阵已成为解释物质衍射现象、揭示晶体结构、 以及理论研究中不可缺少的手段和工具
倒易点阵的定义
假设给定一个基矢为a,b,c的正点阵，则必然有一个倒易 点阵与它相对应，记倒易晶胞的基矢为a*,b*,c*，两者之 间的关系为：
晶面指数与晶向指数
晶向：晶体中的某些方向，涉及到晶体中原子的位 置，原子列方向，表示的是一组相互平行、方向一致 的直线指向。
晶面：晶体中原子所构成的平面。
晶体结构中的晶向和晶面相当于空间点阵中的结点直
线和结点平面，国际上通用的是用密勒指数表示晶面
及晶向。
晶向指数标定方法
步骤
a. 建立坐标系 , 以某一阵点为 原点 O, 以三个基矢为坐标轴 , 以晶胞边长作为坐标轴的长度 单位。 b.作直线 OP平行与待标志的晶 向或待标定晶向的直线通过坐 标原点。 c.确定通过原点直线上任一点 的坐标值。 D. 将坐标值化为 . 最小整数并 加上方括号[UVW]
晶体结构
萤石结构（ CaF2 ）
氯化钠结构(NaCl)
晶体结构
辉钼矿的化学成分：
MoS2,Mo 59.94%，S 40.06%；
辉钼矿的特征：
铅灰色，金属光泽， 硬度低，底面解理极 完全，比重大，光泽 强。
晶体结构
石墨的晶体结构
C60的晶体结构
金刚石的晶体结构
晶体结构X衍射图谱
石墨
金刚石
C60
晶胞与原子关系
e.g. NaCl Na at corners: (8 1/8) = 1 Cl at edge centres (12 1/4) = 3 Unit cell contents are 4(Na+Cl-)
Na at face centres (6 1/2) = 3 Cl at body centre = 1
Also CuZn, CsBr, LiAg
Coordinate： （000）
BCC Lattice
a-Iron is body-centered cubic Identical atoms at corners and body center (nothing at face centers) Also Nb, Ta, Ba, Mo... Coordinate： （000）（1/2, 1/2, 1/2 ）
晶体结构中那些原子密度相同的等同晶向称为 晶向轴，用<UVW>表示
晶面指数的标定方法
晶面指数确定步骤：
① 建立坐标系 ② 确定晶面在各坐标轴 上的截距 ③ 取截距的倒数，并通 分，化为最小的简单整 数（hkl）
(100) (111)
(200)
(110)
晶体中具有等同条件（这些晶面的原子排列情况和面间距 完全相同），而只是空间位向不同的各组晶面称为晶面族， 用{ hkl}表示。
2 2 2
晶面夹角的计算公式
h1h2 k1k2 l1l2
2 2 2 h12 k12 l12 h2 k2 l2
立方晶系
cos =
正方晶系
cos =
h1h2 k1k2 l1l2 2 2 a c 2 2 2 h12 k12 l12 h2 k2 l2 2 2 2 2 a c a c
a=bc, a=b==90
简单三角
四方 六角 立方
简单四方 体心四方
a=b, 六角 b==90, a=120 a=b=c, a=b==90 简单立方，体心立方 面心立方
七大晶系所要求最低的对称性
晶系 三斜 最低特征对称素 无对称素 晶胞形状 任意的平行六面体
单斜 正交 三角 四方 六角 立方
对称性。
均一性：晶体内部各个部分的宏观性质是相同的。
各向异性：晶体中不同的方向上具有不同的物理性质。
封闭性：晶体是由多个晶面组成的有限封闭体。
自由能最小：在平衡条件下，晶体相是自由能最小的物相。
典型的晶体形态
金刚石
邻苯二甲酸氢
锗酸铋
典型的晶体形态
空间点阵
为了反映原子排列的周期性，用 几何点（结点）代替原子或原子 团。 这些结点在三维空间的周期性排 布与晶体中的原子或原子团的排 布完全相同。 所有结点的几何环境和物理环境 是相同的。 空间点阵示意图
bc ca ab a* = , b* = , c* = , a.(b c ) a.(b c ) a.(b c )
V = a (b c )
分别将上式点乘a，b，c得到： a· a*= b· b*= c· c*=1
a· b*= a· c*= b· a*= b· c*= c· a*= c· b*= 0