三角函数知识点总结及练习题

高中数学必修4三角函数知识点总结

一、角的概念和弧度制：

（1）在直角坐标系内讨论角：

注意：若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。

（2）①与α角终边相同的角的集合：},2|{},360|{0

Z k k Z k k ∈+=∈+=απββαββ或

与α角终边在同一条直线上的角的集合： ； 与α角终边关于x 轴对称的角的集合： ； 与α角终边关于y 轴对称的角的集合： ； 与α角终边关于x y =轴对称的角的集合：

（3）区间角的表示：

①象限角：第一象限角： ；

第四象限角： ；

第一、三象限角： ；

②写出图中所表示的区间角： （4）由α的终边所在的象限， 来判断

2α所在的象限，来判断3

α

所在的象限 （5）弧度制：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；

任一角α的弧度数的绝对值r

l

=

||α，其中l 为以角α为圆心角时所对圆弧的长。 （6）弧长公式： ；半径公式： ；扇形面积公式： ； 练习：已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。（22

cm ） 二、任意角的三角函数：

（1）任意角的三角函数定义：

以角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系

I ）在角α的终边上任取一个异于原点的点),(y x P ，点P 到原点的距离记为r ，则=αsin ；=αcos ；=αtan （注意r>0）

练习：已知角α的终边经过点P(5，－12)，则ααcos sin +的值为＿＿。

角α的终边上一点)3,(a a -，则=+ααsin 2cos 。

II ）作单位元交角α的终边上点),(y x P ，则=αsin ；=αcos ；=αtan （2）在图中画出 角α的正弦线、 余弦线、正切线；

练习：

（1）若α为锐角，则,sin ,tan ααα的大小关系为_____ （sin tan ααα<<）

（2）函数)3sin 2lg(cos 21+++=x x y 的定义域是______222,3

3x

k x k k Z π

πππ⎧⎫∣-<≤+

∈⎨⎬⎩

⎭

（3）特殊角的三角函数值：

三、同角三角函数的关系与诱导公式：

（1）同角三角函数的关系

平方关系__________________；商数关系_____________________ 练习；（1）已知53sin +-=

m m θ，)2(524cos πθπθ<<+-=m m ，则θtan ＝____（12

5

-） （2）若11tan tan -=-αα，则

ααααcos sin cos 3sin +-＝____；2cos sin sin 2

++ααα＝___（35-；5

13）； （3）已知x x f 3cos )(cos =，则)30(sin

f 的值为______（－1）。 （4）若1(0,),sin cos 2

απαα∈+=，求tan α的值。

（2）诱导公式：

ααπ⇒+k 2： ， ， ； ααπ⇒+： ， ， ； αα⇒-： ， ， ； ααπ⇒-： ， ， ； ααπ

⇒-2： ， ， ； ααπ

⇒+2

： ， ， ； 诱导公式可用概括为：

2K π±α,-α,

2

π

±α,π±α,23π±α的三角函数 奇变偶不变，符号看象限 α的三角

函数

（3）同角三角函数的关系与诱导公式的运用：

①已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值。 注意：用平方关系，有两个结果，一般可通过已知角所 在的象限加以取舍，或分象限加以讨论。 ②求任意角的三角函数值。 步骤：（右图）

③已知三角函数值求角：

注意：所得的解不是唯一的，而是有无数多个． 步骤： ①确定角α所在的象限；

②如函数值为正，先求出对应的锐角1α；如函数值为

负，先求出与其绝对值对应的锐角1α；

③根据角α所在的象限，得出π2~0间的角——如果适合已知条件的角在第二限；则它是1απ-；如果在第三或第四象限，则它是1απ+或12απ-；

④如果要求适合条件的所有角，再利用终边相同的角的表达式写出适合条件的所有角的集合。

练习（1）m =αtan ，则=αsin ，=αcos ；=-)23sin(

απ

。 （2）97cos tan()sin 2146

ππ

π+-+的值为________（2323-）； （3）已知5

4)540sin(-=+α

，则=-)270cos( α______，若α为第二象限角，则

=+-+-)

180tan()]360cos()180[sin(2

ααα

________。（54-；1003-） 四、三角函数图像和性质

1．周期函数定义

例 求函数f(x)=3sin )3

5(π

+x k ()0≠k 的周期,并求最小的正整数k,使他的周期不大于1. 2．图像 练习

（1）函数sin(3)

6

y a b x π

=-+的最大值

23，最小值2

1

-，则=a __，=b ______（1

,1

2

a b ==或1b =-）；

(2)若3

sin )(x

x f π=，则

(1)(2)(3)(2003)

f f f f ++++＝___（0）； (3) 函数

)5

2sin(2)(π

π+=x x f ，若任意

R x ∈都有

)()()(21x f x f x f ≤≤成立，则||21x x -的最小值为____（2）

3．三角函数的对称

)sin(ϕω+=x y 的对称轴方程是__________，对称中心____________； )cos(ϕω+=x y 的对称轴方程是_____________，对称中心__________； )tan(ϕω+=x y 的对称中心______. 练习（1）函数522y sin x π⎛⎫

=-

⎪⎝⎭

的奇偶性是______（偶函数）； （2）已知函数3

1f (x )ax b sin x (a,b =++为常数），且57f ()=，则5f ()-=______（－5）；

4．图像的平移

对函数y ＝Asin(ωx ＋ϕ)＋k (A ＞0, ω＞0, ϕ≠0, k ≠0),其图象的基本变换有： (1)振幅变换（纵向伸缩变换）：是由A 的变化引起的．A ＞1,伸长；A ＜1,缩短． (2)周期变换(横向伸缩变换)：是由ω的变化引起的．ω＞1，缩短；ω＜1,伸长． (3)相位变换(横向平移变换)：是由φ的变化引起的．ϕ＞0,左移；ϕ＜0，右移． (4)上下平移(纵向平移变换): 是由k 的变化引起的．k ＞0, 上移；k ＜0,下移 5.三角函数的图象

1.用五点法作)sin(ϕω+=x A y 的图象，这五点的坐标为 。

2.根据三角函数图象写表达式时，一般先求A 、ω，最后求ϕ，求ϕ时一般用法_____ 练习

（1）()sin()(0,0f x A x A ωϕω=+>>，||)2

π

ϕ<

的图象如图所示，则 ()f x ＝_________；

（2）函数2sin(2)14

y x π

=-

-的图象经过怎样的变换才能得到sin y x =的图象？

(3) 要得到函数cos()24x y π=-的图象，只需把函数sin 2x y =图象向___平移____个单位（左；2

π

）；

课后习题

23题图2π9

Y X

-2

23