直线与椭圆的位置关系课件

x2
y2
消去y，得25x2 8kx k 2 - 225 0
25 9 1
由 0，得64k 2 - 4 2（5 k 2 - 225） 0
解得k1=25，k2 =-25 由图可知k 25.
题型一：公共点问题
例3：已知椭圆 x2 y2 1，直线l：4x - 5y 40 0.椭圆上 25 9
1 的左、右
△F1 AB 的面积.
解:∵椭圆 x2 y2
∴直线 AB 的2 方程为
1
y
的两个焦点坐标F1(1, 0),
x 1 设 A( x1 , y1 ), B( x2 ,
F2 (1,
y2 )
0)
y x1
由
x2 2
y2
1
消去
3x2 4x 0
y 并化简整理得
∴ x1 x2
4 3
,
例1、已知椭圆 x2 y2 1过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被 16 4
平分，求此弦所在直线的方程. 解 法 一
韦达定理→斜率
x2+4y2=2
因为 ∆=36>0，所以方程（１）有两个根，
则原方程组有两组解. 所以该直线与椭圆相交.
变式1：交点坐标是什么？
A(1, 1), B( 2
变式2：相交所得的弦的弦长是多少？
1 5
, 7 )
10
AB
6
5
2
弦长公式：| AB | 1 k2 x1 x2 1 k2 （x1 x2 )2 4x1x2
4
4
(2) 0，即k 5 或k 5 时，相切
4
4
(3) 0，即 - 5 k 5 时，相离
4
4
题型一：公共点问题
例3：直线y=kx+1(k∈R)与椭圆 x2 y2 1恒有公共点, 5m
求m的取值范围。
y kx 1
解
:
x
2
5
y2 m
1
(m 5k 2 )x2 10kx 5 5m 0
y x 3
x2 4
y2
1
消y得：5x2 8 3x 8 0 设A(x1, y1), B(x2 , y2 )
x1
x2
83 5
,
x1
x2
8 5
AB 1 k 2 x1 x2 1 k 2
8 (x1 x2 )2 4x1 x2 5
题型二：弦长问题
例焦2:点已，知过点FF21作、倾F2斜分角别为是4椭的圆直2x线2 交1y椭2 圆1于的A左、、B右两点，
上是否存在一点,到直线 l 的距离最小?最小距离是多少?
分析:设 P( x0 , y0 ) 是椭圆上任一点, 试求点 P 到直线 4x 5 y 40 0的距离的表达式.
d 4x0 5 y0 40 4x0 5 y0 40
42 52
41
尝试遇到困难怎么办?
l
作出直线 l 及椭圆, 观察图形,数形结合思考.
k表示弦的斜率，x1、x2表示弦的端点坐标
题型一：公共点问题
例2：判断直线kx-y+3=0与椭圆 x2 y2 1 的
16 4
位置关系
y kx 3
解 :由 x 2 y 2
4x 2 1x 2 24kx 20 0
16 4 1
1616k 2 5
(1) 0,即k 5 或k 5 时，相交
mx2+nx+p=0（m≠ 0） 次曲线有关问题的 通法。
= n2-4mp
>0
方程组有两解
两个交点
相交
=0
方程组有一解
一个交点
相切
<0
方程组无解
无交点
相离
题型一：公共点问题
解例的：位1.联已置立知关方直y系程线。x组y=12x消- 12去与y 椭5圆x2 x24+由x4韦y达21=定2理0，--判-x-x-1断1(1x它2x) 2们5415
△ （10k）2 4(m 5k 2（) 5 5m） 0 m2 (5k 2 1)m 0
即m 1 5k 2
由m 1 5k 2恒成立得m 1
又m 0且m 5
所以m 1且m 5
题型一：公共点问题
例 4:已知椭圆 x2 y2 1 ,直线 4 x 5 y 40 0 ,椭圆 25 9
求 △F1 AB 的面积.
分析:先画图熟悉题意, 点 F1 到直线 AB 的距离易知,
要求 S△F1AB ,关键是求弦长 AB. 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) . 由直线方程和椭圆方程联立方程组
例焦2:点已，知过点FF2 1作、倾F斜2 分角别为是4椭的圆直2x线2 ，1y求2
AB 1 k 2 ·（x1 x2）2 4x1x2
1 1 （y 源自文库 ）2 4 y y
k2
1
2
12
适用于任意二次曲线
题型二：弦长问题
例1：已知斜率为1的直线l过椭圆 交椭圆于A，B两点，求弦AB之长．
的右焦点，
解 :由椭圆方程知 : a2 4,b2 1, c2 3. 右焦点F ( 3, 0). 直线l方程为: y x 3.
x1 x2
0
∴ AB
( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
2( x1 x2 )2
2
( x1
x2 )2
4 x1 x2
=
4 3
2
∵点 F1 到直线 AB 的距离 d
0 (1) 1 2
=
2
∴ SF1AB
1d 2
AB
=1 2
24 3
2=4 . 3
答:
△F1
AB
的面积等于
4 3
题型三：中点弦问题
直线与椭圆的位置关系
问题1：椭圆与直线的位置关系？
问题2：怎么判断它们之间的位置关系？能用几何法吗？ 不能！ 因为他们不像圆一样有统一的半径。
所以只能用代数法 ---求解直线与二次曲线有关问题的通法
一.直线与椭圆的位置关系的判定
代数法
Ax+By+C=0 由方程组： x2 y2
a2 b2 1
这是求解直线与二
且 x02 y02 1 25 9
m m
题型一：公共点问题
例3：已知椭圆 x2 y2 1，直线l：4x - 5y 40 0.椭圆上 25 9
是否存在一点，它到直线l的距离最小？ y 最小距离是多少？
解：设直线m平行于l，
则l可写成：4x 5y k 0
x o
4x 5y k 0
由方程组
是否存在一点，它到直线l的距离最小？ y 最小距离是多少？
直线m为：4x 5y 25 0
x 直线m与椭圆的交点到直线l的距离最近。 o
且d 40 25 15 41 42 52 41
dmax
思考：最大的距离是多少？
40 25 42 52
65 41
41
知识点2：弦长公式 设直线与椭圆交于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点， 直线AB的斜率为k． 弦长公式：