二维形式的柯西不等式

3.1 二维形式的柯西不等式（一）

教学要求：认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义， 并会证明二维柯西不等式及向量形式.

教学重点：会证明二维柯西不等式及三角不等式.

教学难点：理解几何意义.

教学过程：

一、复习准备：

1. 提问： 二元均值不等式有哪几种形式？

答案：(0,0)2

a b a b +>>及几种变式. 2. 练习：已知a 、b 、c 、d 为实数，求证22222()()()a b c d ac bd ++≥+

证法：（比较法）22222()()()a b c d ac bd ++-+=….=2()0ad bc -≥

二、讲授新课：

1. 教学柯西不等式：

① 提出定理1：若a 、b 、c 、d 为实数，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+.

→ 即二维形式的柯西不等式 → 什么时候取等号？

② 讨论：二维形式的柯西不等式的其它证明方法？

证法二：（综合法）222222222222()()a b c d a c a d b c b d ++=+++

222()()()ac bd ad bc ac bd =++-≥+. （要点：展开→配方） 证法三：（向量法）设向量α,,）（b a =β),(d c =，

α与β之间的夹角为θ，πθ≥≤0。 根据向量内积的定义，我们有：，θβαβαcos =

• 所以，θβαβαcos =

•因为1cos ≤θ，所以，βαβα≤• 222||||c d ac bd +≥+

证法四：（函数法）设22222()()2()f x a b x ac bd x c d =+-+++，则

22()()()f x ax c bx d =-+-≥0恒成立.

∴ 22222[2()]4()()ac bd a b c d ∆=-+-++≤0，即22222()()()a b c d ac bd ++≥+ ③ 讨论：二维形式的柯西不等式的一些变式？

2

22||c d ac bd +≥+ 或 222||||c d ac bd +≥+ 222c d ac bd +≥+.

④ 提出定理2：设,αβ是两个向量，则||||||αβαβ≤.

即柯西不等式的向量形式（由向量法提出 ）

→ 讨论：什么时候等号成立？（β是零向量，或者,αβ共线）

⑤ 练习：已知a 、b 、c 、d 证法：（分析法）平方 → 应用柯西不等式 → 讨论：其几何意义？（构造三角形）

2. 教学三角不等式：

① 出示定理3：设1122,,,x y x y R ∈分析其几何意义 → 如何利用柯西不等式证明

→ 变式：若112233,,,,,x y x y x y R ∈，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？

3. 小结：二维柯西不等式的代数形式、向量形式；三角不等式的两种形式（两点、三点）

三、巩固练习：

1. 练习：试写出三维形式的柯西不等式和三角不等式

3.1 二维形式的柯西不等式（二）

教学要求：会利用二维柯西不等式及三角不等式解决问题，体会运用经典不等式的一般方法——发现具体问题与经典不等式之间的关系，经过适当变形，依据经典不等式得到不等关系. 教学重点：利用二维柯西不等式解决问题.

教学难点：如何变形，套用已知不等式的形式.

教学过程：

一、复习准备：

1. 提问：二维形式的柯西不等式、三角不等式？ 几何意义？

答案：22222()()()a b c d ac bd ++≥+≥2. 讨论：如何将二维形式的柯西不等式、三角不等式，拓广到三维、四维？

3. 如何利用二维柯西不等式求函数y ?

要点：利用变式22||ac bd c d ++. 二、讲授新课：

1. 教学最大（小）值：

① 出示例1：求函数y =

分析：如何变形？ → 构造柯西不等式的形式 → 板演

→ 变式：y = → 推广：

,,,,,)y a b c d e f R +=∈

② 练习：已知321x y +=，求22x y +的最小值.

解答要点：（凑配法）2222222111()(32)(32)131313x y x y x y +=++≥+=. 讨论：其它方法 （数形结合法）

2. 教学不等式的证明：

① 出示例2：若,x y R +∈，2x y +=，求证：112x y

+≥. 分析：如何变形后利用柯西不等式？ （注意对比 → 构造）

要点：2222111111()()]

22x y x y x y +=++=++≥… 讨论：其它证法（利用基本不等式）

② 练习：已知a 、b R +∈，求证：11()()4a b a b ++≥.

3. 练习：

① 已知,,,x y a b R +∈，且1a b x y

+=，则x y +的最小值. 要点：()()a b x y x y x y

+=++=…. → 其它证法 ② 若,,x y z R +∈，且1x y z ++=，求222x y z ++的最小值. （要点：利用三维柯西不等式）

变式：若,,x y z R +∈，且1x y z ++=.

4. 小结：比较柯西不等式的形式，将目标式进行变形，注意凑配、构造等技巧.