第15章 工具变量与两阶段最小二乘
第15章-工具变量
Cov( z, y) 1Cov( z, x) Cov( z, u)
现在，在式 (15.4) 中 Cov(z，u)=0 与式(15.5) 中 Cov(z,x)≠0 的假定下 ,我们可以解出 1 为：
Cov( z, y ) 1 Cov( z, x)
(15.9)
[注意到，若 z 与 x 不相关，即 Cov(z,x)=0，这 个简单的代数关系便不成立。]方程 (15.9)表 明， 1 是 z 和 y 之间的总体协方差除以 z 和 x 之间的总体协方差，这说明 1 被识别了。 给定一个随机样本，我们用对应样本量来估 计总体量。
score 0 1skipped u
(15.8)
其中，score 是期末考试成绩, skipped 是该 学期逃课的总次数。
当然，我们可能担心 skipped 与 u 中其他因素 相关：越有能力而又积极的学生可能逃课也越 少。因而 score 对 skipped 的简单回归，可能 不会给出逃课之因果效应的可靠估计。
这样一来 , 我们便把 abil 放人误差项中，而 只留下简单回归模型： Log（wage） =β 0+β 1educ+u （15.1 ） 其中，u 包含 abil。当然，如果用 OLS 估计 方程 (15.1) ，若 educ 与 abil 相关，则得到 的结果将是 1 的有偏而又不一致估计量。
即使能获得，如果我们的兴趣在于变量的影响， 而该变量又不随时间而变化，它对于我们也几 无用处：一阶差分或固定效应估计排除了不随 时间而变化的变量。 此外,迄今为止我们所研 究的面板数据方法，还不能解决与解释变量相 关的时变（即随着时间而不断变化的）遗漏变 量问题。
在本章，我们对内生性问题采用了一种不同的 方法。你将看到如何用工具变量法 (IV)来解决 一个或多个解释变量的内生性问题。就应用计 量经济学中线性方程的估计而言，两阶段最小 二乘法 (2SLS 或 TSLS)的受欢迎程度仅次于普 通最小二乘。
工具变量估计与两阶段最小二乘法
2 0.014 n 428, R 0.118
edu 10.24 0.269 fatheduc n 428, R 2 0.173 n 428, R 2 0.093 log wage 0.441 0.059educ
0.446 0.035
ˆ u2 SSTx Rx2, z
ˆ 的方差越小； n，或 ，或 越大， 1
2 x 2 x,z
在高斯-马尔科夫假定下，OLS估计量的方差：
ˆ Var 1 SSTx
2
例1 估计已婚女性的教育回报
log wage 0.185 0.109educ
0.185 0.28 0.029
IV 0.132 （0.055） 0.108 （0.024） -0.0023 （0.0003）
Black
Smsa South 观测数 R2
-0.199 （0.018）
0.136 （0.02） -0.148 （0.026） 3010 0.300
-0.147 （0.054）
ˆ ˆ y ˆ z 0 1 i 2 2 i1 0
i1
z y
i 1 i2
ˆ ˆ y ˆ z 0 1 i 2 2 i1 0 ˆ ˆ y ˆ z 0 1 i 2 2 i1 0
z y
第15章工具变量与两阶段最小二乘.doc
第15章 工具变量估计与两阶段最小二乘法在本章中，我们进一步研究多元回归模型中的内生解释变量（endogenous explanatory variable ）问题。
在第3章中，我们推导出，遗漏一个重要变量时OLS 估计量的偏误；在第5章中，我们说明了在遗漏变量（omitted variable ）的情况下，OLS 通常是非一致性的。
第9章则证明了，对未观测到的解释变量给出适宜的代理变量，能消除（或至少减轻）遗漏变量偏误。
不幸的是，我们不是总能得到适宜的代理变量。
在前两章中，我们解释了存在不随时间变化的遗漏变量的情况下，对综列数据如何用固定效应估计或一阶差分来估计随时间变化的自变量的影响。
尽管这些方法非常有用，可我们不是总能获得综列数据的。
即使能获得，如果我们的兴趣在于变量的影响，而该变量不随时间变化，它对于我们也几无用处：一阶差分或固定效应估计排除了不随时间变化的变量。
此外，迄今为止我们已研究出的综列数据法还不能解决与解释变量相关的随时间而变化的遗漏变量的问题。
在本章中，我们对内生性问题采用了一个不同的方法。
你将看到如何用工具变量法（IV ）来解决一个或多个解释变量的内生性问题。
就应用计量经济学中线性方程的估计而言，两阶段最小二乘法（2SLS 或TSLS ）是第二受人欢迎的，仅次于普通最小二乘。
我们一开始先说明，在存在遗漏变量的情况下，如何用IV 法来获得一致性估计量。
此外，IV 能用于解决含误差变量（errors-in-variable ）的问题，至少是在某些假定下。
下一章将证明运用IV 法如何估计联立方程模型。
我们对工具变量估计的论述严格遵照我们在第1篇中对普通最小二乘的推导，其中假定我们有一个来自基本总体的随机样本。
这个起点很合人意，因为除了简化符号之外，它还强调了应根据基本总体来表述对IV 估计所做的重要的假定（正如用OLS 时一样）。
如我们在第2篇中所示，OLS 可以应用于时间序列数据，而工具变量法也一样可以。
北大计量经济学讲义-工具变量与两阶段最小二乘法
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第15章 工具变量估计与两阶段最小二乘法
Eu 0, Ez1u 0,L , E zk1u 0, E zku 0
15.3 两阶段最小二乘法
如果一个内生解释变量有多个工具变量，如 何有效运用多个工具变量？以下面结构模 型为例： y1 0 1y2 2z1 u1
则称z是x的工具变量（IV）。工具变量可得 能够用于一致估计回归方程的参数。
15.1 动机：简单回归模型中的遗漏变量
借助于工具变量，回归方程的参数是可识别 （identification），即参数可用总体矩表示， 而总体矩可用样本矩来估计。用工具变量z 对回归方程两边协方差：
cov z, y 1 cov z, x cov z,u
对此也没有合理的解释。
15.2 多元回归模型中的IV估计
简单回归模型IV估计很容易延伸到多元回归
y1 0 1 y2 2 z1 L k zk1 u1
借用联立方程模型的形式和术语，此方程称 为结构方程（structural equation）。 z1, z2 ,L , zk1是外生变量，y2 被怀疑是内生的， 即可能与u相关。需要找到其工具变量
有效的工具变量 zk 需满足：（1）是未包含的 外生变量，即它不在结构方程中且与u不相 关。
15.2 多元回归模型中的IV估计
（2）zk 与 y2 存在某种偏相关，即约简型方程
y2 0 1z1 L k1zk1 k zk v
的系数满足： k 0
同样要求（1）不能检验，只能寄希望于经济 逻辑和反思。要求（2）可对约简型方程估 计后直接检验。
第十五章 工具变量估计与两阶段 最小二乘法
本章研究多元回归模型中的内生解释变 量问题。解释变量的内生性常来自遗漏 变量问题，这使OLS估计不一致。尽管 代理变量法和面板数据的固定效应法可 在某些情况下解决内生性问题，但远未 完善。本章讨论另一解决解释变量内生 性问题的方法：工具变量法（IV）。其 受欢迎程度仅次于OLS。
第15章-工具变量讲解
这样一来 , 我们便把 abil 放人误差项中，而 只留下简单回归模型： Log（wage） =β 0+β 1educ+u （15.1 ） 其中，u 包含 abil。当然，如果用 OLS 估计 方程 (15.1) ，若 educ 与 abil 相关，则得到 的结果将是 1 的有偏而又不一致估计量。
第15章 工具变量估计与两阶段最小二乘法
在本章中，我们进一步研究多元回归模型中的 内生解释变量 (endogenous explanatory Variables） 问题。在第 3 章中，我们推导出遗漏一个重要变 量时 OLS 估计量的偏误，在第 5 章中，我们说明 了在遗漏变量(omitted variables)的情况下，OLS 通 常是不一致的。
举例来说，考虑成年劳动者的工资方程中存 在无法观测之能力因素的问题。一个简单的 模型为： log（wage）=β 0+β 1educ+β 2abil+e 其中，e 是误差项。
在第 9 章中，我们证明了在某些假定下，如 何用诸如 IQ 的代理变量代替能力，从而通过 以下回归可得到一致估计量 log(wage)对 educ，IQ 回归 然而假定不能得到适当的代理变量（或它不 具备足以获取 1 一致估计量所需的性质）。
我们一开始先说明，在存在遗漏变量的情况 下，如何用 IV 法获得一致估计量。此外， IV 至少能在某些假定下用于解决变量误差 (errors-in-variables)问题。下一章将证明运 用 IV 法如何估计联立方程模型。
我们对工具变量估计的论述严格遵照我们在 第 1 篇中对普通最小二乘的推导，其中假定 我们有一个来自潜在总体的随机样本。这个 起点很合人意，因为除了简化符号之外，它 还强调用潜在总体来表述对 IV 估计所做的重 要假定 (正如用 OLS 时一样)。
第十五章工具变量法
σu OLS: plim β1 = β1 + Corr( x, u) • σx
~
多元回归情形中的工具变量估计
• 工具变量IV 估计可以推广到多元回归的情 形中 • 称我们所感兴趣的方程为结构型方程 • 我们的问题在于其中一个或多个变量是内 生的 • 对每个内生的变量我们都需要一个工具变 量
多元回归工具变量 IV (续)
两阶段最小二乘 (2SLS)
• 可以使用多个工具变量 • 考虑原始的结构型方程, 并令 y2 = π0 + π1z1 + π2z2 + π3z3 + v2 • 在这里我们假定 z2 和 z3 是有效的工具变 量 – 它们不出现在结构型方程中并且和 结 构误差u1是不相关的
最优工具变量
• 可以使用 z2 或 z3 作为工具变量 • 最优工具变量是所有外生变量的线性组合, y2* = π0 + π1z1 + π2z2 + π3z3 • 我们可以通过y2 对 z1, z2 和 z3来估计 y2* – 这一步称为第一阶段回归 • 如果在结构型方程中y2 的拟和值 ŷ2 和工具 变量有相同的相关系数
第十五章 工具变量 & 两阶段最 小二乘
y = β0 + β1x1 + β2x2 + . . . βkxk + u x1 = π0 + π1z + π2x2 + . . . πkxk + v
为什么使用工具变量?
• 工具变量 (IV) 估计,是在模型中存在内生变 量 x的时候使用 • 如果Cov(x,u) ≠ 0 • 因此, 工具变量（IV） 可以用来处理遗漏 变量偏误的问题 • 另外, 工具变量（IV） 可以用来解决传统 的含误差变量问题
两阶段最小二乘法步骤
两阶段最小二乘法步骤
两阶段最小二乘法是一种分离策略，将内生变量分离为可以被工具变量线性表出的部分，以及随机干扰部分。
其具体步骤如下：
1. 第一阶段：让工具变量z对内生x进行回归，得到估计值$x^$。
2. 第二阶段：利用$x^$对y做回归，得到系数估计值。
这种方法通过将估计分成两个步骤（阶段）回归，因此得名“两阶段最小二乘法”。
对于联立方程组，可以采用三阶段最小二乘法。
如果存在弱工具变量问题，可以采取对信息不太敏感的有限信息极大似然估计法。
c15 工具变量估计与两阶段最小二乘法
第15章工具变量估计与两阶段最小二乘法摘要: 本章继续讨论如何解决模型中的内生解释变量(endogenous explanatory variables )问题。
遗漏变量(omitted variables )是导致内生性问题的一个原因。
本章采用工具变量法(method of instrumental variables,IV )来解决模型中的一个或多个解释变量的内生性问题。
所采用的估计方法被称为两阶段最小二乘估计(method of two stage least squares ,2SLS or TSLS),其受欢迎程度仅次于OLS. IV 也能在某些特定的情形下解决变量带误差(errorsin-variables )的问题.15.1 动机: 简单回归中的遗漏变量如何处理可能发生的变量遗漏带来的偏误，已有三种选择: 1)直接忽略，讨论偏误的方向；2）寻找一个合适的代理变量；3）如果该遗漏变量不随时间变化时，采用FE 或FD 方法。
工具变量法的思路：不是考虑如何处理遗漏变量(此时遗漏变量在误差项中)，而是寻找被遗漏的解释变量的替代变量，使得替代变量和误差项不再存在相关性。
y =β0+β1x +u ,此时该模型不满足MLR.4,从而不能保证Cov (x,u )=0,特别地，假定Cov (x,u )≠0. 如果x 的替代变量z 同时满足下面两个条件:1) 工具外生性(instrument exogeneity )条件:Cov (z,u )=0,2) 工具相关性(instrument relevance )条件:Cov (z,x )≠0,则称z 为x 的工具变量(instrumental variable )，或简称工具(instrumental ). 几点说明:1) 工具变量的外生性意味着z 对y 没有偏效应(当x 和u 中遗漏变量被控制时)，同时也和其它被遗漏变量不相关；2) 工具外生性检验在多数情况下只能通过经济行为或反思来判断；3) 工具相关性检验借助t 和F 检验就行；外生性和相关性假设足以帮助我们识别(Identification )出β1=COv(z,y)Cov(z,x),那么β1的工具变量估计(instrumental variables (IV) estimator )为：β̂1=∑(z i −z ̅)(y i −y ̅)n i=1∑(z i −z ̅)(x i −x ̅)n i=1, 其是β1的一致但有偏的估计；4)β̂1显然当z=x,该估计就是OLS 估计，但这要以x 和u 无关为条件，也即工具变量法适于u 和x 无关的情形。
工具变量
在教育回报率的例子中，假定真实模型将对数工资对教育和能力回 归：现在能力不可观测，而且没有代理变量 没有代理变量IQ 没有代理变量 事实上使用的回归：将对数工资对教育回归，但由于误差项包含能 力，并且教育水平与能力相关，此时会出现教育的内生性问题 内生性问题。 内生性问题 一个好的IV应当与教育水平高度相关，并且与误差项不相关。 ——问：IQ是好的工具变量吗？ ——答：不。它同时与教育和误差项相关。 文献中使用的IV：(1) 父母亲的教育水平；(2) 兄弟姐妹数目，依赖 的假说是：兄弟姐妹越多，平均受教育水平越低 注意：无论我们使用其中的哪一个作为IV，我们都需要肯定它们与 能力不相关。 满足零条件均值条件：OLS x u 内生性：OLS估计将有偏 x y u y 工具变量的解决思路 z x u y=β0+ β1x+u(x)→→dy/dx=β1+du/dx
6
例 15.1 已婚妇女的教育回报率的估计 . reg lwage educ if inlf==1
Source Model Residual Total lwage educ _cons SS 26.3264193 197.001022 223.327441 Coef. .1086487 -.1851968 df 1 426 427 MS 26.32641 93 .4624437 13 .5230150 84 t 7 .55 -1 .00 P>|t| 0.000 0.318 Number of obs F( 1, 426) Prob > F R-squared Adj R-squared Root MSE = = = = = = 428 56.93 0.0000 0.1179 0.1158 .68003
σ2 ˆ ˆ β1的渐近方差是 Var β1 = 2 2 nσ x ρ x , z
计量经济学工具变量IVSLS
计量经济学工具变量IVSLS计量经济学中的工具变量（Instrumental Variable, IV）和两阶段最小二乘法（TwoStage Least Squares, 2SLS）是解决内生性问题的重要方法。
本文将从基本概念、理论依据、估计方法、应用实例和注意事项等方面，详细阐述IV和2SLS 的内容。
一、基本概念1. 内生性问题内生性问题是指模型中的解释变量与误差项存在相关性，导致普通最小二乘法（Ordinary Least Squares, OLS）估计结果有偏和不一致。
内生性问题的主要来源包括遗漏变量、双向因果关系和测量误差等。
2. 工具变量工具变量（IV）是指与内生解释变量具有相关性，但与误差项不相关的变量。
工具变量的选取应满足以下两个条件：（1）相关性：工具变量与内生解释变量具有相关性，即工具变量可以解释内生解释变量的变动。
（2）外生性：工具变量与误差项不相关，即工具变量不影响被解释变量的变动。
3. 两阶段最小二乘法（2SLS）两阶段最小二乘法（2SLS）是一种利用工具变量估计内生解释变量系数的方法。
2SLS估计过程分为两个阶段：第一阶段：用工具变量代替内生解释变量，对内生解释变量进行回归，得到拟合值。
第二阶段：将第一阶段得到的拟合值代入原模型，用OLS估计模型参数。
二、理论依据1. 内生性问题导致的估计偏误考虑一个简单的线性回归模型：Y = βX + ε其中，Y为被解释变量，X为解释变量，β为参数，ε为误差项。
如果X与ε相关，那么OLS估计的β将是有偏的。
2. 工具变量的有效性假设我们找到了一个工具变量Z，满足以下条件：（1）相关性：Cov(Z, X) ≠ 0（2）外生性：Cov(Z, ε) = 0那么，我们可以使用工具变量Z来估计β。
根据矩条件，我们有：E[(Z E(Z))ε] = 0这意味着Z与ε正交，可以用来消除ε对X的影响。
三、估计方法1. 第一阶段在第一阶段，我们将工具变量Z与内生解释变量X进行回归，得到拟合值X_hat：X_hat = Z (Z'Z)^(1)Z'X2. 第二阶段在第二阶段，我们将第一阶段得到的拟合值X_hat代入原模型，用OLS估计模型参数：Y = βX_hat + εβ_hat = (X_hat'X_hat)^(1)X_hat'Y四、应用实例以下是一个应用IV和2SLS估计的实例：考虑一个教育对收入影响的模型：Y = βX + ε其中，Y为收入，X为教育水平。
工具变量 两阶段最小二乘
n−2
∑
n
i =1 i n
ˆ Z ,X = ρ
∑
i =1
( X i − X )(Z i − Z )
2 ( Z − Z ) ∑i=1 i n
2 ( X − X ) ∑i=1 i
ˆ −β ˆ X ˆi = Yi − β u 0 IV 1IV i
工具变量估计法
一元线性回归模型
Y = β0 + β1 X + u
内生性影响图示：
X
Y
u
dY / dX = β + du / dX
ˆ 是对 β + du / dX 的估计。 β
6.1 内生性
6.1.2 内生性产生的原因
模型设定错误、测量误差和联立性
• 模型设定错误是导致内生性最常见的原因，模型 设定错误往往表现为相关变量的缺失，缺失变量 成为错误设定模型误差项的一部分，当缺失变量 和模型中其他变量相关时，就会导致这些变量的 内生性。（工资与教育、能力）、 • 不相干变量引入不会影响参数估计的无偏性和一 致性，但是会影响参数估计的有效性。
??模型设定错误是导致内生性最常见的原因模型设定错误往往表现为相关变量的缺失缺失变量成为错误设定模型误差项的一部分当缺失变量和模型中其他变量相关时就会导致这些变量的内生性
第6章
内生性和工具变量估计方法
内生性和工具变量估计方法
6.1 内生性
6.1.1 OLS估计的不一致性 6.1.2 内生性产生的原因
fathedu 作工具变量：
ln(wage) = − 0.441+ 0.059 educ
( 0.989 ) (1.686 )
工具变量估计法
多元线性回归模型
工具变量法与最小二乘法的联系
工具变量法与最小二乘法的联系引言在经济学研究中，经常会遇到因果关系的分析问题。
然而，由于一些内生性问题，经济变量之间的因果关系不容易准确确定。
在这种情况下，研究者常常会使用工具变量法来解决内生性问题。
而在回归分析中，最小二乘法是最常用的估计方法之一。
本文将讨论工具变量法与最小二乘法的联系，并探讨它们在经济研究中的应用。
第一节：最小二乘法的基本原理最小二乘法是回归分析中最常用的估计方法之一。
其基本思想是通过最小化实际观测值与拟合值之间的残差平方和，来估计模型参数。
最小二乘法在非内生性问题下具有较好的性质和可解释性，因此被广泛应用于经济学研究。
第二节：工具变量法的基本原理工具变量法是一种解决内生性问题的方法。
当存在内生性问题时，直接使用最小二乘法估计结果可能是无偏且一致的，但标准误差可能会被低估，导致统计显著性的判断错误。
工具变量法通过引入一个或多个与内生变量相关但与误差项不相关的工具变量，将内生变量的影响通过工具变量间接传递给被解释变量，从而实现对内生性问题的处理。
第三节：虽然最小二乘法和工具变量法在解决经济研究中的问题时采用不同的方法，但它们之间存在联系。
首先，最小二乘法可以视为工具变量法的一种特殊情况，在非内生时可以直接使用。
其次，最小二乘法可以通过工具变量法来解决内生性问题，从而得到更准确的估计结果。
工具变量法通过引入工具变量来处理内生性问题，而这些工具变量的选择和使用通常需要基于最小二乘法的思想。
例如，研究者可以利用工具变量与内生变量相关的结构特点，通过最小二乘法来选择合适的工具变量。
这种联系使得最小二乘法和工具变量法之间相辅相成，共同构建了解决内生性问题的分析框架。
第四节：工具变量法与最小二乘法的应用工具变量法和最小二乘法在实际应用中都非常重要。
最小二乘法常被用于线性回归分析，估计参数的一致性和渐进正态性。
而工具变量法则广泛应用于处理内生性问题，如评估教育对收入的影响、估计负债对企业投资决策的影响等。
面板数据回归分析中的两阶段最小二乘法如何应用
面板数据回归分析中的两阶段最小二乘法如何应用在面板数据回归分析中，两阶段最小二乘法（Two-Stage Least Squares, 2SLS）是一个重要的方法，用于解决内生性问题。
本文将介绍两阶段最小二乘法的基本原理和应用。
1. 两阶段最小二乘法的基本原理两阶段最小二乘法是一种因果推断方法，主要用于解决自变量与误差项之间存在内生性问题的回归分析。
它通过两个阶段的回归分析来处理内生性，其基本原理如下：第一阶段：通过一个工具变量（Instrumental Variable, IV）或多个工具变量来估计自变量与内生性变量间的关系。
工具变量是指与内生性变量相关但与被解释变量无关的变量。
第二阶段：在第一阶段的结果基础上，将估计得到的内生性变量替换原回归方程中的内生性变量，再进行回归分析。
2. 两阶段最小二乘法的应用在实际应用中，两阶段最小二乘法常用于经济学领域的面板数据回归分析。
面板数据是指包含多个观察单位和多个时期的数据，如个体、国家或地区在多个年份的数据。
在面板数据回归分析中，两阶段最小二乘法可以应用于以下情境：2.1 内生性问题当回归模型存在内生性问题时，即自变量与误差项相关，传统的最小二乘法估计结果将失效。
这时，可以利用两阶段最小二乘法来解决内生性问题，提高回归结果的准确性和可靠性。
2.2 工具变量选择在第一阶段的回归中，选择合适的工具变量是关键。
工具变量应满足两个条件：与内生性变量相关，但与被解释变量无关；只通过其它自变量影响被解释变量，不通过内生性变量影响。
常用的工具变量包括自然实验、随机试验和时间-序列工具变量等。
2.3 结果解释通过两阶段最小二乘法得到的估计结果，可以更好地解释自变量对被解释变量的影响。
由于解决了内生性问题，估计结果更具可靠性，可以用于制定政策建议或预测未来趋势。
3. 示例：两阶段最小二乘法的应用为了更好地理解两阶段最小二乘法的应用，我们以教育水平对收入的影响为例进行说明。
第15章 工具变量估计与两阶段最小二乘法
Eu 0, Ez1u 0,L , E zk1u 0, E zku 0
15.3 两阶段最小二乘法
如果一个内生解释变量有多个工具变量，如 何有效运用多个工具变量？以下面结构模 型为例： y1 0 1y2 2z1 u1
如果内生解释变量 y2有两个被排斥的外生变 量 z2 , z3，且都与 y2相关，则不仅其中任何 一个可作为IV，而且它们的任何线性组合也 是有效的IV。为了找到最好的IV，需选择与 y2
最高度相关的线性组合，这要求估计约简型 方程： y2 0 1z1 2 z2 3z3 v2
第十五章 工具变量估计与两阶段 最小二乘法
本章研究多元回归模型中的内生解释变 量问题。解释变量的内生性常来自遗漏 变量问题，这使OLS估计不一致。尽管 代理变量法和面板数据的固定效应法可 在某些情况下解决内生性问题，但远未 完善。本章讨论另一解决解释变量内生 性问题的方法：工具变量法（IV）。其 受欢迎程度仅次于OLS。
大样本下IV估计量近似服从正态分布，常用的推断 方法均适用，但IV估计的方差总是大于OLS方差， 特别当z与x的线性相关度很弱时，IV方差会比 OLS方差大很多。由此当x外生时，OLS估计比IV 估计有效得多。
IV估计的关键是找到好的工具变量，工具变量的两 个要求具有很大差别，要求（1）涉及无法观测的 误差项，通常无法对其进行检验，在绝大多数情 况下，我们必须借助于经济行为或反思来维持此 假定。
15.3 两阶段最小二乘法
在对 2 , 3 的联合显著性检验之后，使用估计值作
为 y2的IV： yˆ2 ˆ0 ˆ1z1 ˆ2 z2 ˆ3 z3
在多个工具条件下IV估计量称为两阶段最小二乘估 计量（2SLS）。原因是当用以上估计值作为IV时， 参数的IV估计值等同于 y1 yˆ2 , z1回归的OLS估 计值。但标准误和检验统计量不相同。
伍德里奇《计量经济学导论》(第6版)复习笔记和课后习题详解-工具变量估计与两阶段最小二乘法
第15章工具变量估计与两阶段最小二乘法15.1复习笔记考点一：工具变量法★★★★★1．简单模型的工具变量法简单回归模型为y＝β0＋β1x＋u，其中x与u相关：Cov（x，u）≠0。
（1）为了在x和u相关时得到β0和β1的一致估计量，需要有一个可观测到的变量z，z满足两个假定：①工具外生性条件，z与u不相关，即Cov（z，u）＝0，意味着z应当对y无偏效应（一旦x和u中的遗漏变量被控制），也不应当与其他影响y的无法观测因素相关；②工具相关性条件，z与x相关，即Cov（z，x）≠0，意味着z必然与内生解释变量x 有着或正或负的关系。
满足这两个条件，则z称为x的工具变量，简称为x的工具。
（2）工具变量的两个要求之间的差别①Cov（z，u）是z与无法观测误差u的协方差，通常无法对它进行检验：在绝大多数情形中，必须借助于经济行为或反思来维持这一假定。
②给定一个来自总体的随机样本，z与x（在总体中）相关的条件则可加以检验。
最容易的方法是估计一个x与z之间的简单回归。
在总体中，有x＝π0＋π1z＋v，从而，由于π1＝Cov（z，x）/Var（z）所以式Cov（z，x）≠0中的假定当且仅当π1≠0时成立。
因而就能够在充分小的显著水平上，相对双侧对立假设H 1：π1≠0而拒绝虚拟假设H 0：π1＝0。
就能相当有把握地肯定工具z 与x 是相关的。
2．工具变量估计量（1）参数的工具变量（IV）估计量参数的识别意味着可以根据总体矩写出β1，而总体矩可用样本数据进行估计。
为了根据总体协方差写出β1，利用简单回归方程可得z 与y 之间的协方差为：Cov（z，y）＝β1Cov（z，x）＋Cov（z，u）在Cov（z，u）＝0与Cov（z，x）≠0的假定下，可以解出β1为：β1＝Cov（z，y）/Cov（z，x）β1是z 和y 之间的总体协方差除以z 和x 之间的总体协方差，说明β1被识别了。
给定一个随机样本，用对应样本量来估计总体量。
二阶段最小二乘法和工具变量法结果相同的证明
二阶段最小二乘法和工具变量法结果相同的证明【知识文章格式】标题：二阶段最小二乘法和工具变量法的结果相同的证明【引言】在经济学和社会科学领域，研究因果关系常常面临内生性问题。
为了解决这个问题，研究人员常常使用两种方法：二阶段最小二乘法（2SLS）和工具变量法（IV）。
在很多情况下，这两种方法给出了相似的结果，但我们是否可以证明它们真的是等价的呢？本文将通过理论推导进行证明。
【正文】1. 二阶段最小二乘法（2SLS）和工具变量法（IV）的基本原理在介绍证明之前，我们先回顾一下二阶段最小二乘法和工具变量法的基本原理。
二阶段最小二乘法通过两个阶段来估计模型参数。
在第一阶段，我们利用工具变量对内生变量进行回归，得到工具变量的估计量。
在第二阶段，我们使用第一阶段得到的工具变量的估计量替代内生变量，再进行回归，得到最终的估计结果。
工具变量法与2SLS类似，也是使用工具变量进行内生变量的回归，但与2SLS不同的是，工具变量法只进行一次回归，而不需要进行第二阶段的回归。
两种方法都旨在解决内生性问题，但它们的具体实施方式略有不同。
2. 二阶段最小二乘法和工具变量法的理论等价性证明我们现在来证明二阶段最小二乘法和工具变量法的结果是相同的。
设真实模型为：Y = α + βX + ε其中，Y是因变量，X是内生变量，α和β是参数，ε是误差项。
根据2SLS方法的第一阶段回归估计有：X = γ + πZ + u其中，γ和π是参数，Z是工具变量，u是干扰项。
利用第一阶段的估计结果，我们可以得到内生变量的估计量X^：X^ = γ + πZ将内生变量的估计量代入原模型，得到二阶段回归模型：Y = α + β(γ + πZ) + ε进一步整理得：Y = (α + βγ) + βπZ + ε我们可以看到，二阶段最小二乘法的结果与工具变量法的结果非常类似，只是加入了一个常数项(α+βγ)。
由此可证明二阶段最小二乘法和工具变量法的结果是相同的。
工具变量与两阶段最小二乘法
工具变量与两阶段最小二乘法在经济学和统计学中，工具变量（Instrumental Variable，简称IV）与两阶段最小二乘法（Two-stage Least Squares，简称2SLS）是重要的分析方法。
本文将介绍工具变量的基本概念及其应用，然后详细探讨两阶段最小二乘法的原理和使用场景。
一、工具变量的概念和应用工具变量是一种用来解决内生性问题的工具，即解决因果分析中存在的内生性偏误。
在观察数据中，变量之间可能存在内生性关系，即某个解释变量与误差项相关，从而导致我们无法准确估计变量之间的真实关系。
举个例子，假设我们想研究教育对收入的影响，但教育水平很可能与个体的能力有关，这样教育水平就与误差项相关，无法得到准确的估计。
为了解决这个问题，我们可以引入一个工具变量，它与教育水平相关，但与个体能力无关。
通过使用工具变量，我们可以消除这种内生性问题，得到更加准确的估计结果。
二、两阶段最小二乘法的原理两阶段最小二乘法是一种常用的解决内生性问题的方法。
它将原始模型的内生变量替换为工具变量，通过两个阶段的回归来进行估计。
第一阶段，我们使用工具变量回归原始内生变量，得到预测值。
这个预测值不受内生性问题的影响，可以作为第二阶段的新解释变量。
第二阶段，我们将第一阶段得到的预测值作为新的解释变量，与其他变量一起回归目标变量。
这样可以得到消除内生性偏误后的估计结果。
三、两阶段最小二乘法的使用场景两阶段最小二乘法主要用于解决内生性问题，特别是在实证经济学中的因果推断中常见的内生性问题。
常见的使用场景包括但不限于：1. 自然实验：在某些情况下，自然条件的改变可以提供有效的工具变量。
比如，研究教育对收入的影响时，某个教育政策的实施可以被视为一个自然实验，政策的实施对教育水平有影响，但与个体能力无关。
2. 父母教育对子女教育的影响：父母的教育水平很可能同时与遗传因素有关，这样就存在内生性问题。
通过引入工具变量，比如父母的出生地和教育机会，可以解决这个问题。
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第15章 工具变量估计与两阶段最小二乘法在本章中，我们进一步研究多元回归模型中的内生解释变量（endogenous explanatory variable ）问题。
在第3章中，我们推导出，遗漏一个重要变量时OLS 估计量的偏误；在第5章中，我们说明了在遗漏变量（omitted variable ）的情况下，OLS 通常是非一致性的。
第9章则证明了，对未观测到的解释变量给出适宜的代理变量，能消除（或至少减轻）遗漏变量偏误。
不幸的是，我们不是总能得到适宜的代理变量。
在前两章中，我们解释了存在不随时间变化的遗漏变量的情况下，对综列数据如何用固定效应估计或一阶差分来估计随时间变化的自变量的影响。
尽管这些方法非常有用，可我们不是总能获得综列数据的。
即使能获得，如果我们的兴趣在于变量的影响，而该变量不随时间变化，它对于我们也几无用处：一阶差分或固定效应估计排除了不随时间变化的变量。
此外，迄今为止我们已研究出的综列数据法还不能解决与解释变量相关的随时间而变化的遗漏变量的问题。
在本章中，我们对内生性问题采用了一个不同的方法。
你将看到如何用工具变量法（IV ）来解决一个或多个解释变量的内生性问题。
就应用计量经济学中线性方程的估计而言，两阶段最小二乘法（2SLS 或TSLS ）是第二受人欢迎的，仅次于普通最小二乘。
我们一开始先说明，在存在遗漏变量的情况下，如何用IV 法来获得一致性估计量。
此外，IV 能用于解决含误差变量（errors-in-variable ）的问题，至少是在某些假定下。
下一章将证明运用IV 法如何估计联立方程模型。
我们对工具变量估计的论述严格遵照我们在第1篇中对普通最小二乘的推导，其中假定我们有一个来自基本总体的随机样本。
这个起点很合人意，因为除了简化符号之外，它还强调了应根据基本总体来表述对IV 估计所做的重要的假定（正如用OLS 时一样）。
如我们在第2篇中所示，OLS 可以应用于时间序列数据，而工具变量法也一样可以。
第15.7节讨论IV 法应用于时间序列数据时出现的一些特殊问题。
在第15.8节中，我们将论述在混合横截面和综列数据上的应用。
15.1 动机：简单回归模型中的遗漏变量面对可能发生的遗漏变量偏误（或未观测到的异质性），迄今为止我们已讨论了三种选择：（1）我们可以忽略此问题，承受有偏、非一致性估计量的后果；（2）我们可以试图为未观测到的变量寻找并使用一个适宜的代理变量；（3）我们可以假定遗漏变量不随时间变化，运用第`13与14章中的固定效应或一阶差分方法。
若能把估计值与关键参数的偏误方向一同给出，则第一个回答是令人满意的。
例如，如果我们能说一个正参数（譬如职业培训对往后工资的影响）的估计量有朝零偏误 ，并且我们找到了一个统计上显著的正的估计值，那么我们还是学到了一些东西：职业培训对工资有正的影响，而我们很可能低估了该影响。
不幸的是，相反的情况经常发生，我们的估计值可能在数值上太大了，以致我们要得出任何有用的结论都非常困难。
第9.2节中讨论的代理变量解也能获得令人满意的结果，但并不是总可以找到一个好的代理。
该方法试图通过用代理变量取代不可观测的变量，来解决遗漏变量的问题。
另一种方法是将未观测到的变量留在误差项中，但不是用OLS 估计模型，而是运用一种承认存在遗漏变量的估计方法。
这便是工具变量法所要做的。
举例来说，考虑成年劳动者的工资方程中存在未观测到的能力的问题。
一个简单的模型为：,)log(210e abil educ wage +++=βββ其中e 是误差项。
在第9章中，我们说明了在某些假定下，如何用诸如IQ 的代理变量代替能力，从而通过以下回归可得到一致性估计量)log(wage 对IQ educ , 回归然而，假定不能得到适当的代理变量（或它不具备足以获取一致性估计量所需的性质）。
这样一来，我们将abil 放入误差项中，留下来的就是简单的回归模型：,)log(10u educ wage ++=ββ （15.1）其中u 包含了abil 。
当然，如果用OLS 估计方程（15.1），若是educ 与abil 相关，得到的结果将是1β的有偏、非一致性估计量。
最后证明是，假如我们能为educ 找到一个工具变量，我们仍可以根据方程（15.1）来进行估计。
为描述该方法，将简单回归模型写成：,10u x y ++=ββ（15.2）其中我们认为x 与u 相关： .0),(Cov ≠u x （15.3） 工具变量法无论x 与u 相关与否都行得通，但是，如果x 与u 不相关，我们应该使用OLS ，其原因我们将在后面看到。
为了获得x 与u 相关时0β和1β的一致性估计量，我们还需要一些另外的信息。
这些信息由一个满足某些性质的新变量给出。
假定我们有一个可观测到的变量z ，它满足两个假定：（1）z 与u 不相关，即，.0),(Cov =u z （15.4）（2）z 与x 相关，即，.0),(Cov ≠x z （15.5）我们则称z 是x 的工具变量（instrumental variable ）。
有时候，人们把所需条件（15.4）概括为“z 在方程（15.2）中是外生的”。
从遗漏变量的角度看，这意味着z 应当对y 无偏效应，也不应当与其它影响y 的因素相关。
方程（15.5）意味着z 必然与内生解释变量x 有着正的或负的关系。
对工具变量的两个要求之间有一个非常重要的差别。
因为（15.4）是z 与不可观测的误差u 的协方差，我们无法对它进行验证或哪怕是检验：我们必须求助于经济行为或内心感受来维持这一假定。
相比之下，给定一个来自总体的随机样本，z 与x 相关（在总体中）的条件则可加以检验。
做到这一点最容易的方法是估计一个x 与z 之间的简单回归。
在总体中，我们有.10v z x ++=ππ （15.6） 从而，由于)(V ar ),Cov(1z x z =π，（15.5）中的假定当且仅当01≠π时成立。
因而我们就能够以充分小（习惯说充分高——译者）的显著水平（5%或1%）拒绝虚拟假设0 :H 10=π （15.7） 并接受双侧对立假设0 :H 10≠π。
如果真是这样，我们能相当有把握肯定（15.5）是成立的。
对于（15.1）中的log(wage )方程，educ 的工具变量z 必须：（1）与能力（以及其它影响工资的不可观测的因素）不相关，（2）与教育相关。
诸如一个人的社会福利登记号的最后一位数字之类的变量，几乎一定满足第一个必需条件：与能力不相关，因为它是随机决定的。
然而，该变量与教育不相关，因而是educ的一个低劣的工具变量。
我们所谓的用于遗漏变量的代理变量因相应的原因成为低劣的IV 。
例如，在遗漏能力的log(wage )例子中，abil 的代理变量应该尽可能地与abil 高度相关。
而工具变量必须与abil 不相关。
因此，尽管IQ 是abil 的一个好的代理变量候选者，它却不是educ 的好的工具变量。
对其它可能的工具变量候选者，这些必需条件更加不确定。
劳动经济学家已在工资方程中使用家庭背景变量作为教育的IV 。
例如，母亲的教育（motheduc ）与孩子的教育是正相关的，这一点通过收集劳动者数据样本并做educ 对motheduc 的简单回归便可以看出来。
因此，motheduc 满足方程（15.5）。
问题是，母亲的教育也可能与孩子的能力相关（通过母亲的能力和可能通过孩子幼年所受的教养的质量）。
（15.1）中educ 的另一个IV 选择是成长过程中兄弟姊妹的数目（sibs ）。
一般地说，较多的兄弟姊妹与较低的平均教育水平相联系。
这样，如果兄弟姊妹的数目与能力不相关，它可以 充当educ 的工具变量。
再举一个例子，考虑估计逃课对期末考试成绩的因果影响的问题。
在一个简单的回归框架中，我们有 ,10u skipped score ++=ββ （15.8） 其中score 是期末考试成绩，skipped 是该学期逃课的总数目。
当然，我们可能担心skipped 与u 中其它因素相关：较好的学生可能逃课较少。
因而score 对skipped 的简单回归可能不会给我们一个对逃课的因果影响的好的估计。
什么可能是skipped 的好的IV ？我们所需要的是对score 无直接效应，且与学生能力不相关的IV 。
同时，该IV 必须与skipped 相关。
一个选择是利用住宿区与学校之间的距离。
一所大规模的大学中将有部分学生乘车去学校，这也许会增加逃课的可能性（由于恶劣的天气、睡过头等等）。
因而，skipped 可能与distance 正相关；这一点可通过skipped 对distance 的回归并作一个t 检验得以验证，正如前面所描述的。
distance 是否与u 不相关？在简单回归模型（15.8）中，u 中的一些因素可能与distance 相关。
例如，低收入家庭的学生可能不住在学校；如果收入影响到学生的行为，可能会导致distance 与u 相关。
第15.2节说明如何在多元回归的情况下使用IV ，以便其他影响score 的因素能直接地包含在模型中。
那么，distance 也许是skipped 的一个好的IV 。
如果学生能力有一个好的代理，例如以往学期的累积GPA ，IV 法可能根本就不需要。
现在我们来证明可得到的工具变量能够用于进行方程(15.2)中的一致性参数估计。
特别地，我们将说明（15.4）与（15.5）[等价地，（15.4）与（15.7）]中的假定足以识别参数1β。
在这一点上，参数的识别（identification ）意味着我们可以根据总体矩写出1β，总体矩可用样本数据来估计。
为了根据总体协方差写出1β，我们利用方程（15.2）：z 与y 之间的协方差为).,(Cov ),(Cov ),(Cov 1u z x z y z +=β现在，在（15.4）中0),(Cov =u z 与（15.5）中0),(Cov ≠x z 的假定下，我们可以解出1β为： .),(Cov ),(Cov 1x z y z =β （15.9） [注意到如果z 与x 不相关，即0),(Cov =x z ，该简单代数式不成立。
] 方程（15.9）表明1β是z 、y 之间的总体协方差除以z 、x 之间的总体协方差的商，这说明了1β被识别。
给定一个随机样本，我们用对应样本量来估计总体的量。
在分子和分母中约去样本容量后，我们得到1β的工具变量（IV ）估计量（instrumentalvariables (IV) estimator ）：.))(())((ˆ111∑∑==----=n i i in i i i x x z zy y z z β (15.10) 给定x 、y 和z 的样本数据，很容易获得（15.10）中的IV 估计量。