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北师大版九年级数学上册菱形的性质测试题
第一章特殊平行四边形1.1菱形的性质与判定第1课时菱形的性质一、选择题1．下列命题中，真命题是（）A．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形B．有一组邻边相等的平行四边形是菱形C．对角线互相平分且相等的四边形是菱形D．对角线相等的四边形是菱形2．菱形的周长为12cm，相邻两角之比为5：1，那么菱形对边间的距离是（）A．6cm B．1.5cm C．3cm D．0.75cm3．在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E、F分别为BC、CD的中点，（如图1）则∠E AF等于（）A．75°B．60°C．45°D．30°图1 图24．已知菱形ABCD中，AE⊥BC于E，若S菱形ABCD=24，且AE=6，则菱形的边长为（）A．12 B．8 C．4 D．25．菱形的边长是2 cm，一条对角线的长是2 cm，则另一条对角线的长约是（）A．4cm B．1cm C．3.4cm D．2cm二、判断正误：（对的打“√”错的打“×”）1．两组邻边分别相等的四边形是菱形．…………………………………………………（）2．一角为60°的平行四边形是菱形．…………………………………………………（）3．对角线互相垂直的四边形是菱形．……………………………………………………（）4．菱形的对角线互相垂直平分．…………………………………………………………（）三、填空题1．如图3，菱形ABCD 中，AC 、BD 相交于O ，若OD =21A D ，则四个内角为________．图3 图42．若一条对角线平分平行四边形的一组对角，且一边长为a 时，如图4，其他三边长为________；周长为________．3．菱形ABCD 中，AC 、BD 相交于O 点，若∠OBC =21∠BAC ，则菱形的四个内角的度数为____________． 4．若菱形的两条对角线的比为3：4，且周长为20cm ，则它的一组对边的距离等于_________cm ，它的面积等于________cm 2．5．菱形ABCD 中，如图5，∠BAD =120°，AB =10cm ，则AC =________cm ，BD =________ cm ．图5 图6四、解答题∠如图，在菱形ABCD 中，AE ⊥BC ，E 为垂足.且BE=CE ，AB=2.求： （1）BAD 的度数；（2）对角线AC 的长及菱形ABCD 的周长.参考答案一、1．B 2．B 3．B 4．C 5．C二、1．× 2．× 3．× 4．√三、1．60°，120°，60°，120° 2．分别为a 4a 3．60°，120°，60°，120° 4．52424 5．10 103 四、解：（1）∵AE ⊥BC ，且BE=CE ，∴△ABC 为等边三角形 ，∠B=∠D=60°， ∴∠BAD=∠BCD=120°.(2)AC=AB=2，周长为：4×2=8.北师大版九年级数学上册期中测试题一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1.随机掷两枚硬币，落地后全部正面朝上的概率是 A.1 B.12C.13D.142. 关于方程x 2-2＝0的理解错误的是A.这个方程是一元二次方程B.2C.这个方程可以化成一元二次方程的一般形式D.这个方程可以用公式法求解3.下列说法正确的个数是①菱形的对角线相等 ②对角线互相垂直的四边形是菱形;③有两个角是直角的四边形是矩形 ④正方形既是菱形又是矩形 ⑤矩形的对角线相等且互相垂直平分 A.1 B.2 C.3 D.4 4.方程x 2-3x+6＝0的根的情况是乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ……………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.不能确定5.如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次试验的结果.下面有三个推断:①某次试验投掷次数是500，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，则“钉尖向上”的频率是0.616;②随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618;③若再次用计算机模拟试验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上＂”的频率一定是0.620.其中合理的是A.①②B.②③C.①③D.①②③6.将一张正方形纸片按如图所示步骤①②沿虚线对折两次，然后沿③中的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是7.现有三张质地大小完全相同的卡片，上面分别标有数字-2，-1，1，把卡片背面朝上洗匀，从中任意抽取一张卡片，记下数字后放回，洗匀，再任意抽取一张卡片，则第一次抽取的卡片上的数字大于第二次抽取的卡片上的数字的概率是乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________………………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..A.23B.12C.13D.498.如图，在菱形ABCD 中，AB ＝13，对角线AC ＝10，若过点A 作AE ⊥BC 垂足为E ，则AE 的长为 A.8 B.6013 C.12013 D.240139.如图，点O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，OM ∥AB 交AD 于点M ，若OM ＝3，BC ＝10，则OB 的长为 A.5 B.4 C.342D.3410.如图，已知正方形ABCD 的边长为12，BE ＝EC ，将正方形的边CD 沿DE 折叠到DF ，延长EF 交AB 于G ，连接DG ，现在有如下4个结论:①△ADG ≌△FDG:②GB ＝2AG:③3∠GDE ＝45°④S △BEF ＝725,在以上4个结论中，正确的有A.1个B.2个C.3个D.4个乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ……………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..二、填空题(本题共6小题，每小题4分，共24分)11.将分别标有“柠”“檬”“之”“乡”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀.随机摸出一球不放回，再随机摸出球，两次摸出的球上的汉字能组成“柠幪”的概率是________.12.如图，菱形ABCD 中，∠ABC ＝2∠A ，若对角线BD ＝3，则菱形ABCD 的周长为________.13.桌上放有完全相同的三张卡片，卡片上分别标有数字2，1，4，随机摸出一张卡片(不放回)，其数字记为P ，再随机摸出一张卡片，其数字记为q ，则关于的方程x 2+px+q ＝0有实数根的概率是________. 14.某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果如下:由此可以估计油菜籽发芽的概率约为________.(精确到0.1)15.一个两位数，十位数字比个位数字大3，而这两个数字之积等于这个两位数的27，若设个位数字为x ，则列出的方程为________.乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________………………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..16.如图，已知正方形ABCD 的边长为4，点E ，F 分別在AD ，DC 上，AE ＝DF ＝1，BE 与AF 相交于点G ，点为BF 的中点，连接GH ，则GH 的长为________.三、解答题(本题共7小题，共66分) 17.(8分)解方程:(1)2x 2-4x+1＝0 (2)(x+8)(x+1)＝-1218.(8分)甲乙两人在玩转盘游戏时，把转盘A 、B 分别分成4等份、3等份，并在每一份内标上数字，如图所示.游戏规定:转动两个转盘停止后，指针必须指到某数字，否则重转(1)请用画树状图法或列表法列出所有可能的结果;(2)若指针所指的两个数字都是方程x2-5x+6＝0的解，则甲获胜 若指针所指的两个数字都不是方程x2-5x+6＝0的解，则乙获 胜.问他们两人谁获胜的概率大?请分析说明乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..19.(10分)某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件盈利40元，为了扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件村衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件.(1)若商场平均每天要盈利1200元，且让顺客尽可能多得实惠，则每件衬衫应降价多少元?(2)商场平均每天可能盈利1700元吗?请说明理由.20.(10分)如图，矩形ABCD 中AB ＝3，BC ＝2，过对角线BD 的中点O 的直线分別交AB 、CD 边于点E 、F. (1)求证:四边形BEDF 是平行四边形; (2)当四边形BEDF 是菱形时，求EF 的长.21.(10分)如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，另三边用竹篱笆園成，篱笆总长33米，墙对面有一个2米宽的门，国成长方形的鸡场除门之外四周不能有空隙.求:(1)若墙长为18米，要围成鸡场的面积为150平方米，则鸡场的长和乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..宽各为多少米?(2)能围成面积为200平方米的鸡场吗?22.(10分)某茶叶专卖店经销一种日照绿茶，每千克成本80元，据销售人员调查发现，每月的销售量(千克)与销售单价x(元/千克)之间存在如图所示的变化规律.(1)求每月销售量y 与销售单价x 之间的函数关系式;(2)若某月该茶叶专卖店销售这种绿茶获得利润1350元，试求该月茶叶的销售单价x.23.(10分)如图①，将一张矩形纸片ABCD 沿着对角线BD 向上折叠，顶点C 落到点E 处，BE 交AD 于点F.(1)求证:△BDF 是等腰三角形;(2)如图②，过点D 作DG ∥BE ，交BC 于点G ，连接FC 交BD于点O乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ……………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..①判断四边形BFDC的形状，并说明理由;②若AB＝6，AD＝8，求FG的长.。
九年级数学北师大版上册课时练第1章《菱形的性质与判定》 练习测试卷 含答案解析
课时练第1单元菱形的性质与判定一．菱形的性质1．菱形具有而平行四边形不具有的性质是（）A．对角线互相垂直B．两组对角分别相等C．对角线互相平分D．两组对边分别平行2．已知菱形的面积为24cm2，一条对角线长为6cm，则这个菱形的边长是（）厘米．A．8B．5C．10D．4.83．已知菱形的周长为9.6cm，两个邻角的比是1：2，这个菱形较短的对角线的长是（）A．2.1cm B．2.2cm C．2.3cm D．2.4cm4．如图，正△AEF的边长与菱形ABCD的边长相等，点E、F分别在BC、CD上，则∠B 的度数是（）A．70°B．75°C．80°D．95°5．在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E、F分别为BC、CD的中点，（如图）则∠EAF等于（）A．75°B．45°C．60°D．30°6．如图，菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，则△AEF的面积是（）A．4B．3C．2D．7．如图，菱形ABCD的对角线AC＝4cm，把它沿对角线AC方向平移1cm得到菱形EFGH，则图中阴影部分图形的面积与四边形EMCN的面积之比为．8．如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB＝60°．连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACEF，使∠F AC＝60°．连接AE，再以AE为边作第三个菱形AEGH使∠HAE＝60°…按此规律所作的第n个菱形的边长是．9．如图，在菱形ABCD中，∠A＝100°，M、N分别是边AB、BC的中点，MP⊥CD于点P．则∠NPC的度数为．10．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是．11．如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2，E、F分别是边BC和对角线BD上的动点，且BE＝DF，则AE+AF的最小值为．12．如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD＝16，点O是直线BD上的动点，OE ⊥AB于E，OF⊥AD于F（1）对角线AC的长是，菱形ABCD的面积是；（2）如图1，当点O在对角线BD上运动时，OE+OF的值是否会发生变化？请说明理由；（3）如图2，当点O在对角线BD的延长线上时，OE+OF的值是否会发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请探究OE、OF之间的数量关系，并说明理由．13．菱形ABCD中，点P为CD上一点，连接BP．（1）如图1，若BP⊥CD，菱形ABCD边长为10，PD＝4，连接AP，求AP的长．（2）如图2，连接对角线AC、BD相交于点O，点N为BP的中点，过P作PM⊥AC于M，连接ON、MN．试判断△MON的形状，并说明理由．14．在菱形ABCD中，∠BAD＝60°．（1）如图1，点E为线段AB的中点，连接DE，CE，若AB＝4，求线段EC的长；（2）如图2，M为线段AC上一点（M不与A，C重合），以AM为边，构造如图所示等边三角形AMN，线段MN与AD交于点G，连接NC，DM，Q为线段NC的中点，连接DQ，MQ，求证：DM＝2DQ．二．菱形的判定15．红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志，人们将红丝带剪成小段，并用别针将折叠好的红丝带别在胸前，如图所示．红丝带重叠部分形成的图形是（）A．正方形B．等腰梯形C．菱形D．矩形16．▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，添加以下条件，不能判定平行四边形ABCD 为菱形的是（）A．AC＝BD B．AC⊥BD C．∠ACD＝∠ACB D．BC＝CD 17．顺次连接等腰梯形各边中点所围成的四边形是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形18．已知：如图，过四边形ABCD的顶点A、C、B、D分别作BD、AC的平行线围成四边形EFGH，如果EFGH成菱形，那么四边形ABCD必定是（）A．菱形B．平行四边形C．长方形D．对角线相等的四边形19．如图，将三角形纸片△ABC沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处，且DE∥BC，下列结论中，一定正确的个数是（）①△BDF是等腰三角形；②DE＝BC；③四边形ADFE是菱形；④∠BDF+∠FEC＝2∠A．A．1B．2C．3D．420．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，下列结论：①BE⊥AC；②EG＝EF；③△EFG≌△GBE；④EA平分∠GEF；⑤四边形BEFG是菱形．其中正确的个数是（）A．2B．3C．4D．521．已知AD是△ABC的角平分线，点E、F分别是边AB，AC的中点，连接DE，DF，在不再连接其他线段的前提下，要使四边形AEDF成为菱形，还需添加一个条件，这个条件可以是（答案不唯一）．22．已知，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F．求证：四边形AEDF是菱形．23．已知：如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O，E是BO的中点，过B点作AC的平行线，交CE的延长线于点F，连接BF（1）求证：FB＝AO；（2）当平行四边形ABCD满足什么条件时，四边形AFBO是菱形？说明理由．三．菱形的判定与性质24．下列说法中错误的是（）A．四边相等的四边形是菱形B．菱形的对角线长度等于边长C．一组邻边相等的平行四边形是菱形D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形25．如图是以KL所在的直线为对称轴的轴对称图形，六边形EFGHLK的各个内角相等，记四边形HCH′L、四边形EKE′A、△BGF的周长分别为C1、C2、C3，且C1＝2C2＝4C3，已知FG＝LK，EF＝6，则AB的长是（）A．9.5B．10C．10.5D．1126．如图所示，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC＝4，则PD等于（）A．4B．3C．2D．127．如图，在∠MON的两边上分别截取OA、OB，使OA＝OB；分别以点A、B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC、BC、AB、OC．若AB＝2cm，四边形OACB 的面积为4cm2．则OC的长为（）A．2B．3C．4D．528．如图，在四边形ABCD中，AC＝BD＝6，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则EG2+FH2＝．29．将矩形ABCD折叠使A，C重合，折痕交BC于E，交AD于F，（1）求证：四边形AECF为菱形；（2）若AB＝4，BC＝8，求菱形的边长；（3）在（2）的条件下折痕EF的长．30．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝40cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA 方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤10）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．（1）四边形AEFD能构成菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；（2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．参考答案一．菱形的性质1．A2．B3．D4．C5．C6．B7．8．（）n﹣19．50°10．﹣111．212．解：（1）如图，连接AC与BD相交于点G，在菱形ABCD中，AC⊥BD，BG＝BD＝×16＝8，由勾股定理得，AG＝＝＝6，∴AC＝2AG＝2×6＝12，菱形ABCD的面积＝AC•BD＝×12×16＝96；故答案为：12；96；＝S△ABO+S△ADO，（2）如图1，连接AO，则S△ABD所以，BD•AG＝AB•OE+AD•OF，即×16×6＝×10•OE+×10•OF，解得OE+OF＝9.6是定值，不变；＝S△ABO﹣S△ADO，（3）如图2，连接AO，则S△ABD所以，BD•AG＝AB•OE﹣AD•OF，即×16×6＝×10•OE﹣×10•OF，解得OE﹣OF＝9.6，是定值，不变，所以，OE+OF的值变化，OE、OF之间的数量关系为：OE﹣OF＝9.6．13．解：（1）如图1中，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝10，AB∥CD∵PD＝4，∴PC＝6，∵PB⊥CD，∴PB⊥AB，∴∠CPB＝∠ABP＝90°，在RT△PCB中，∵∠CPB＝90°PC＝6，BC＝10，∴PB＝＝＝8，在RT△ABP中，∵∠ABP＝90°，AB＝10，PB＝8，∴P A＝＝＝2．（2）△OMN是等腰三角形．理由：如图2中，延长PM交BC于E．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，CB＝CD，∵PE⊥AC，∴PE∥BD，∴＝，∴CP＝CE，∴PD＝BE，∵CP＝CE，CM⊥PE，∴PM＝ME，∵PN＝NB，∴MN＝BE，∵BO＝OD，BN＝NP，∴ON＝PD，∴ON＝MN，∴△OMN是等腰三角形．14．解：（1）如图1，连接BD，则BD平分∠ABC，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠A+∠ABC＝180°，∵∠A＝60°，∴∠ABC＝120°，∴∠ABD＝∠ABC＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝AD＝4，∵E是AB的中点，∴DE⊥AB，由勾股定理得：DE＝＝2，∵DC∥AB，∴∠EDC＝∠DEA＝90°，在Rt△DEC中，DC＝4，EC＝＝＝2；（2）如图2，延长CD至H，使CD＝DH，连接NH、AH，∵AD＝CD，∴AD＝DH，∵CD∥AB，∴∠HDA＝∠BAD＝60°，∴△ADH是等边三角形，∴AH＝AD，∠HAD＝60°，∵△AMN是等边三角形，∴AM＝AN，∠NAM＝60°，∴∠HAN+∠NAG＝∠NAG+∠DAM，∴∠HAN＝∠DAM，在△ANH和△AMD中，∵，∴△ANH≌△AMD（SAS），∴HN＝DM，∵D是CH的中点，Q是NC的中点，∴DQ是△CHN的中位线，∴HN＝2DQ，∴DM＝2DQ．二．菱形的判定15．C16．A17．C18．D19．C20．C21．解：由题意知，可添加：AB＝AC．则三角形是等腰三角形，由等腰三角形的性质知，顶角的平分线与底边上的中线重合，即点D是BC的中点，∴DE，EF是三角形的中位线，∴DE∥AB，DF∥AC，∴四边形ADEF是平行四边形，∵AB＝AC，点E，F分别是AB，AC的中点，∴AE＝AF，∴平行四边形ADEF为菱形．22．证明：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∠EDA＝∠F AD，∵AD是△ABC的角平分线，∴∠EAD＝∠F AD，∴∠EAD＝∠EDA，∴EA＝ED，∴四边形AEDF为菱形．23．证明：（1）∵E是BO的中点，∴OE＝BE，∵BF∥AC，∴∠BFE＝∠OCE，在△BEF和△OEC中，，∴△BEF≌△OEC，∴BF＝OC，∵平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O，∴OA＝OC，∴FB＝AO；（2）当平行四边形ABCD是矩形时，四边形AFBO是菱形．理由如下：∵平行四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB，∴平行四边形AFBO是菱形．三．菱形的判定与性质24．B25．D26．C27．C28．3629．（1）证明：∵矩形ABCD折叠使A，C重合，折痕为EF，∴OA＝OC，EF⊥AC，EA＝EC，∵AD∥BC，∴∠F AC＝∠ECA，在△AOF和△COE中，，∴△AOF≌△COE，∴OF＝OE，∵OA＝OC，∴四边形AECF为平时四边形，∵AC⊥EF，∴四边形AECF为菱形；（2）解：设菱形的边长为x，则BE＝BC﹣CE＝8﹣x，AE＝x，在Rt△ABE中，∵BE2+AB2＝AE2，∴（8﹣x）2+42＝x2，解得x＝5，即菱形的边长为5；（3）解：在Rt△ABC中，AC＝＝＝4，∴OA＝AC＝2，在Rt△AOE中，OE＝＝＝，∴EF＝2OE＝2．30．（1）证明：能．理由如下：在△DFC中，∠DFC＝90°，∠C＝30°，DC＝4t，∴DF＝2t，又∵AE＝2t，∴AE＝DF，∵AB⊥BC，DF⊥BC，∴AE∥DF，又∵AE＝DF，∴四边形AEFD为平行四边形，当AE＝AD时，四边形AEFD为菱形，即40﹣4t＝2t，解得t＝．∴当t＝秒时，四边形AEFD为菱形．（2）①当∠DEF＝90°时，由（1）知四边形AEFD为平行四边形，∴EF∥AD，∴∠ADE＝∠DEF＝90°，∵∠A＝60°，∴∠AED＝30°，∴AD＝AE＝t，又AD＝40﹣4t，即40﹣4t＝t，解得t＝8；②当∠EDF＝90°时，四边形EBFD为矩形，在Rt△AED中∠A＝60°，则∠ADE＝30°，∴AD＝2AE，即40﹣4t＝4t，解得t＝5．③若∠EFD＝90°，则E与B重合，D与A重合，此种情况不存在．综上所述，当t＝8或5秒时，△DEF为直角三角形．。
1.1 菱形的性质与判定 北师大版九年级数学上册同步练习(含解析)
北师大版九上1.1菱形的性质与判定同步练习一、选择题（共10题）1. 菱形不具备的性质是( )A．四条边都相等B．对角线一定相等C．是轴对称图形D．是中心对称图形2. 菱形ABCD中，∠A:∠B=1:5，若其周长为8，则菱形ABCD的高为( )B．4C．1D．2 A．123. 菱形ABCD中，AB=2，∠D=120∘，则对角线AC的长为( )A．1B．3C．2D．234. 菱形ABCD中，AC=10，BD=24，则该菱形的周长等于( )A．13B．52C．120D．2405. 如图，菱形ABCD中，E，F分别是AB，AC的中点，若EF=3，则菱形ABCD的周长是( )A．12B．16C．20D．246. 已知O为平行四边形ABCD对角线的交点，下列条件能使平行四边形ABCD成为菱形的是( )A．AB=BC B．AC=BDC．OA=OC，OB=OD D．∠A=∠B=∠C=90∘7. 如图，B，C分别是锐角∠A两边上的点，AB=AC，分别以点B，C为圆心，以AB的长为半径画弧，两弧相交于点D，连接BD，CD，则根据作图过程判定四边形ABDC 是菱形的依据是( )A．一组邻边相等的四边形是菱形B．四条边都相等的四边形是菱形C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D．对角线平分一组对角的四边形是菱形8. 点E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，AD的中点，AC，BD交于点O，当四边形ABCD的对角线满足( )条件时，四边形EFGH是菱形．A．AC⊥BD B．AC=BDC．OA=OC，OB=OD D．OA=OB9. 平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别是A(―3,0)，B(0,2)，C(3,0)，D(0,―2)，则四边形ABCD是( )A．矩形B．菱形C．正方形D．平行四边形10. 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD互相垂直，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是( )A．BA=BC B．AC，BD互相平分C．AC=BD D．AB∥CD二、填空题（共10题）11. 如图，菱形ABCD的周长是8 cm，AB的长是cm．12. 已知菱形两条对角线的长分别为4和6，则菱形的边长为．13. 已知菱形的周长为20 cm，一条对角线长为6 cm，则这个菱形的面积是cm2．14. 如图，若菱形的边长为4，∠BAD=120∘，则较短对角线AC长为．15. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E为DC的中点，若OE=3，则菱形的周长为．16. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，OE⊥AD于点E，反向延长交BC于点F，则EF的长为．17. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，已知OB=4，菱形ABCD的面积为24，则AC的长为．18. 如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，且DE=DF．给出下列条件：①BE⊥EC；②AB=AC；③BF∥CE．从中选择条件可使四边形BECF是菱形．19. 如图，在四边形ABCD中，AB≠CD，E，F，G，H分别是AB，BD，CD，AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，四边形ABCD还应满足的一个条件是．20. 如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E，F分别是AB，AC边的中点，请你在△ABC中添加一个条件：，使得四边形AEDF是菱形．三、解答题（共7题）21. 【测试4】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点M，N．(1) 求证：四边形BNDM是菱形；(2) 若BD=24，MN=10，求菱形BNDM的周长．22. 已知：如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是边AD，BC上的点，且AE=CF，直线EF分别交BA的延长线、DC的延长线于点G，H，交BD于点O．(1) 求证：△ABE≌△CDF；(2) 连接DG，若DG=BG，则四边形BECF是什么特殊四边形？请说明理由．23. 如图，△ABC≌△ABD，点E在边AB上，CE∥BD，连接DE．求证：(1) ∠CEB=∠CBE；(2) 四边形BCED是菱形．24. 如图，AC是平行四边形ABCD的对角线，∠BAC=∠DAC．(1) 求证AB=BC；(2) 若AB=2，AC=23，求平行四边形ABCD的面积．25. 在菱形ABCD中，点P是BC边上一点，连接AP，点E，F是AP上的两点，连接DE，BF，使得∠AED=∠ABC，∠ABF=∠BPF，求证：(1) △ABF≌△DAE．(2) DE=BF+EF．26. 在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E，F满足BE=DF，连接AE，AF，CE，CF，如图所示．(1) 求证：△ABE≌△ADF；(2) 试判断四边形AECF的形状，并说明理由．27. 如图，四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，O是AC的中点，AD∥BC，AC=8，BD=6．(1) 求证：四边形ABCD是平行四边形；(2) 若AC⊥BD，求平行四边形ABCD的面积．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】B2. 【答案】C3. 【答案】D4. 【答案】B5. 【答案】D6. 【答案】A7. 【答案】B8. 【答案】B9. 【答案】B10. 【答案】B二、填空题（共10题）11. 【答案】212. 【答案】1313. 【答案】2414. 【答案】415. 【答案】2416. 【答案】24517. 【答案】618. 【答案】②19. 【答案】AD=BC20. 【答案】如：AB=AC，答案不唯一三、解答题（共7题）21. 【答案】(1) ∵AD∥BC，∴∠DMO=∠BNO，∵MN 是对角线 BD 的垂直平分线，∴OB =OD ，MN ⊥BD ，在 △MOD 和 △NOB 中，∠DMO =∠BNO,∠MOD =∠NOB,OD =OB,∴△MOD ≌△NOB (AAS)，∴OM =ON ，∵OB =OD ，∴ 四边形 BNDM 是平行四边形，∵MN ⊥BD ，∴ 四边形 BNDM 是菱形．(2) ∵ 四边形 BNDM 是菱形，BD =24，MN =10，∴BM =BN =DM =DN ，OB =12BD =12，OM =12MN =5，在 Rt △BOM 中，由勾股定理得：BM =OM 2+OB 2=52+122=13， ∴ 菱形 BNDM 的周长 =4BM =4×13=52．22. 【答案】(1) ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴AB =CD ，∠BAE =∠DCF ，在 △ABE 和 △CDF 中，AB =CD,∠BAE =∠DCF,AE =CF,∴△ABE ≌△CDF (SAS)；(2) 四边形 BEDF 是菱形；理由如下：如图所示：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD =BC ，∵AE =CF ，∴DE =BF ，∴ 四边形 BEDF 是平行四边形，∴OB =OD ，∵DG =BG ，∴EF ⊥BD ，∴ 四边形 BEDF 是菱形．23. 【答案】(1) ∵ △ABC ≌△ABD ，∴ ∠ABC =∠ABD ．∵ CE ∥BD ，∴ ∠CEB =∠DBE ，∴ ∠CEB =∠CBE ．(2) ∵ △ABC ≌△ABD ，∴ BC =BD ．∵ ∠CEB =∠CBE ，∴ CE =CB ，∴ CE =BD ．∵ CE ∥BD ，∴ 四边形 CEDB 是平行四边形．∵ BC =BD ，∴ 四边形 CEDB 是菱形．24. 【答案】(1) 因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 AD ∥BC ，所以 ∠DAC =∠BCA ，因为 ∠BAC =∠DAC ，所以 ∠BAC =∠BCA ，所以 AB =BC ．(2) 连接 BD 交 AC 于点 O ，因为四边形 ABCD 是平行四边形，AB =BC ，所以四边形 ABCD 是菱形，所以 AC ⊥BD ，OA =OC =12AC =3，OB =OD =12BD ，所以 OB =AB 2―OA 2=22―(3)2=1，所以 BD =2OB =2，所以 S 平行四边形ABCD =12AC ⋅BD =12×23×2=23．25. 【答案】(1) ∵ 四边形 ABCD 是菱形，∴AB =AD ，AD ∥BC ，∴∠BOA =∠DAE ，∵∠ABC =∠AED ，∴∠BAF =∠ADE ，∵∠ABF =∠BPF ，∠BPA =∠DAE ，∴∠ABF =∠DAE ，∵AB =DA ，∴△ABF ≌△DAE (ASA)．(2) ∵△ABF ≌△DAE ，∴AE =BF ，DE =AF ，∵AF =AE +EF =BF +EF ，∴DE =BF +EF ．26. 【答案】(1) ∵ 正方形 ABCD ，∴AB =AD ，∠ABE =∠ADF =135∘，在 △ABE 和 △ADF 中，AB =AD,∠ABE =∠ADF,BE =DF,∴△ABE ≌△ADF (SAS)．(2) 四边形 AECF 为菱形．证明：连接 AC ，∵△ABE ≌△ADF ，∴AE =AF ，∵正方形ABCD，∴EF垂直平分AC，∴EA=EC，FA=FC，∴EA=EC=FA=FC，∴四边形AECF是菱形．27. 【答案】(1) ∵O是AC的中点，∴OA=OC，∵AD∥BC，∴∠ADO=∠CBO．在△AOD和△COB中，∠ADO=∠CBO,∠AOD=∠COB,OA=OC,∴△AOD≌△COB，∴OD=OB，∴四边形ABCD是平行四边形．(2) ∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，∴平行四边形ABCD的面积=1AC⋅BD=24．2。
北师大版九年级上册第一章菱形(有答案)
北师大版九年级上学期数学菱形的性质与判定 补充习题（一）一、选择题1．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）A ．对角相等B ．对边相等C ．对角线互相垂直D ．对角线相等2. 如图，在菱形ABCD 中，不一定成立的（ ）A.四边形ABCD 是平行四边形B.AC ⊥BDC.△ABD 是等边三角形D.∠CAB ＝∠CAD 3．菱形的周长为100 cm ，一条对角线长为14 cm ，它的面积是（ ）A ．168 cm 2B ．336 cm 2C ．672 cm 2D ．84 cm 24．菱形的周长为16，两邻角度数的比为1：2，此菱形的面积为（ ）A ．4B ．8C ．10D ．125．下列语句中，错误的是（）A ．菱形是轴对称图形，它有两条对称轴B ．菱形的两组对边可以通过平移而相互得到C ．菱形的两组对边可以通过旋转而相互得到D ．菱形的相邻两边可以通过旋转而相互得到二、填空题6．菱形的周长是8 cm ，则菱形的一边长是______．7．菱形的一个内角为120°，平分这个内角的对角线长为11厘米，菱形的周长为______．33338．菱形的对角线的一半的长分别为8 cm和11 cm，则菱形的面积是_______．9．菱形的面积为24 cm2，一对角线长为6 cm，则另一对角线长为______，边长为______．10．菱形的面积为8平方厘米，两条对角线的比为1：，那么菱形的边长为_______．三、解答题11.如图所示，在菱形ABCD中，点E，F分别在CD，BC上，且CE=CF，求证：AE=AF12.如图，四边形ABCD是边长为13cm（1）对角线AC的长度；（2）菱形ABCD的面积.13.菱形ABCD的周长为20 cm，两条对角线的比为3：4，求菱形的面积．14.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且AC=16 cm，BD=12 cm，求菱形ABCD的高DH．33A15．已知：如图，在中，D 是BC 边上一点，交AB 于E ，交AC 于F ，且DE=DF 求证：四边形AEDF 是菱形．16．已知：如图，在菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，，求的度数．17．已知：如图，四边形ABCD 是菱形，AC 、BD 是对角线，．求证：18．如图，菱形ABCD 的对角线交于点O,AC=16cm,BD=12cm ，求菱的高．19．如图，在菱形ABCD 中，相交于点O ，且，若，求菱形ABCD 的面积．ABC ∆AC DE//AB DF //︒=∠︒=∠=∠18,60BAE EAF B CEF ∠︒=∠30ABC .2BD AC AB ⋅=BD AC 、3:1:=BD AC 12=AB20．如图，在ABCD 中，，把AB 向两方延长，使，连结CE 、DF ，请问CE 、DF 有怎样的位置关系，并证明你的结论．21．把两条宽度相同的纸条交叉重叠放在一起，如图，重叠部分ABCD 是什么四边形？度证明你的结论？AB AD 2=AB BF AE ==参考答案一、1．C 2．C 3．B 4．B 5．D二、6．2 cm 7．44厘米 8．176 cm 2 9．8 cm 5 cm 10．4 cm三、11．△ADE ≌△ABF AE =AF ．12．AC=24cm , 菱形ABCD 的面积是120 cm 213．24 cm 2 14．9.6 cm15．，∴四边形是平行四边形，又，∴平行四边形是菱形．16．连结是等边三角形，∴，又可证，∴是等边三角形，∴．17．由，可知菱形的高等于边长的一半．∴，∴ 18．9.6cm19．20．，连结MN ，可证得，则，同理，由，且可知四边形是平行四边形，又，可知四边形是菱形，所以．21．是菱形，作于于Q ，由于两纸条的宽度相等，所以，则，∴，则，∴，又由四边形是平行四边形可知是菱形．AB DF AC DE //,// AEDF DF DE = AEDF ABC AC ∆,AC AB ACB BAC =︒=∠=∠,60ACF ABE ∆≅∆AEF ∆︒=∠18CEF ︒=∠30ABC 2212121AB AB BC BD AC S ABCD =⋅=⋅=菱形.2BD AC AB ⋅=372DF CE ⊥DMC AME ∆≅∆DC DM =CN DC =CN DM =CN DM //DMNC DM DC =DMNC DF CE ⊥ABCD BC AP ⊥CD AQ P ⊥,AQ AP =AQD APB ∆≅∆AD AB =AQD APB ∆≅∆AD AB =ABCD菱形的性质与判定学习要求理解菱形的概念，掌握菱形的性质定理及判定定理．课堂学习检测一、填空题：1．菱形的定义：__________________的平行四边形叫做菱形．2．菱形的性质：菱形是特殊的平行四边形，它具有四边形和平行四边形的______：还有：菱形的四条边______；菱形的对角线______，并且每一条对角线平分______；菱形的面积等于__________________，它的对称轴是______________________________．3．菱形的判定：一组邻边相等的______是菱形；四条边______的四边形是菱形；对角线______的平行四边形是菱形．4．已知菱形的周长为40cm，两个相邻角度数之比为1∶2，则较长对角线的长为______cm．5．若菱形的两条对角线长分别是6cm，8cm，则它的周长为______cm，面积为______cm2．二、选择题6．对角线互相垂直平分的四边形是( )．(A)平行四边形(B)矩形(C)菱形(D)任意四边形7．顺次连结对角线相等的四边形各边中点，所得四边形是( )．(A)矩形(B)平行四边形(C)菱形(D)任意四边形8．下列命题中，正确的是( )．(A)两邻边相等的四边形是菱形(B)一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形(C)对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形(D)对角线垂直的四边形是菱形第9题图9．如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，如果EF＝2，那么菱形ABCD的周长是( )．(A)4(B)8 (C)12 (D)16 10．菱形ABCD 中，∠A ∶∠B ＝1∶5，若周长为8，则此菱形的高等于( )． (A) (B)4 (C)1(D)2综合、运用、诊断一、解答题11．如图，在菱形ABCD 中E 是AB 的中点，且DE ⊥AB ，AB ＝4．求：(1)∠ABC 的度数；(2)菱形ABCD 的面积．12．如图，在菱形ABCD 中，∠ABC ＝120°，E 是AB 边的中点，P 是AC 边上一动点，PB ＋PE 的最小值是，求AB 的值．13．如图，在□ABCD 中，E ，F 分别为边AB ，CD 的中点，连结DE ，BF ，BD ．(1)求证：△ADE ≌△CBF ．(2)若AD ⊥BD ，则四边形BFDE 是什么特殊四边形?请证明你的结论．14．如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AC 平分∠BAD ，CE ∥AD 交AB 于E ．(1)求证：四边形AECD 是菱形；(2)若点E 是AB 的中点，试判断△ABC 的形状，并说明理由．21315．如图，□ABCD 中，AB ⊥AC ，AB ＝1，BC ＝．对角线AC ，BD 相交于点O ，将直线AC 绕点O 顺时针旋转，分别交BC ，AD 于点E ，F ．(1)证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF 是平行四边形；(2)试说明在旋转过程中，线段AF 与EC 总保持相等；(3)在旋转过程中，四边形BEDF 可能是菱形吗?如果不能，请说明理由；如果能，画出图形并写出此时AC 绕点O 顺时针旋转的度数．16．如图，菱形ABCD 的边长为2，BD ＝2，E 、F 分别是边AD ，CD 上的两个动点，且满足AE ＋CF ＝2．(1)求证：△BDE ≌△BCF ；(2)判断△BEF 的形状，并说明理由；(3)设△BEF 的面积为S ，求S 的取值范围．5参考答案1．一组邻边相等．2．所有性质，都相等；互相垂直，平分一组对角；底乘以高的一半或两条对角线之积的一半；对角线所在的直线．3．平行四边形；相等，互相垂直． 4． 5．20，24．6．C ． 7．C ． 8．B ． 9．D ． 10．C ．11．120°；(2)8． 12．2．13．(1)略；(2)四边形BFDE 是菱形，证明略．14．(1)略；(2)△ABC 是Rt △．15．(1)略；(2)略；(3)当旋转角是45°时，四边形BEDF 是菱形，证明略．16．(1)略；(2)△BEF 是等边三角形，证明略．(3)提示：∵≤△BEF 的边长＜2.3103322)2(43)3(43<≤∴S .3343<≤∴S菱形的性质（提高）一、判断题1．一组邻边相等，且对角线互相垂直的四边形是菱形．（）2．一条对角线平分一组对角的四边形是菱形．（）3．对角线交点到各边中点的距离都相等的四边形是菱形．（）4．菱形是轴对称图形，它的对称轴只有一条．（）5．菱形的对角线互相垂直平分，且平分各内角．（）二、填空题6．菱形的邻角比为1：5，它的高为1.5cm，则它的周长为_______．7．两条对角线_________的四边形是菱形．8．已知菱形的两对角线的比为2：3，两对角线和为20，则这对角线长分别为_____，_______．9．菱形ABCD的AC交BD于O，AB=13，BO=12，AO=5，求菱形的周长=_____，面积= ____．10．O为菱形ABCD的对角线交点，E、F、G、H分别是菱形各边的中点，若OE=3cm，则OF=_____，OG=_______，OH=______．三、选择题11．从菱形的钝角的顶点向对边引垂线，并且这条垂线平分对边，则该菱形的钝角为（）．A．110°B．120°C．135°D．150°12．菱形的两邻角之比为1：2，如果它的较短对角线为3cm，则它的周长为（）．A．8cm B．9cm C．12cm D．15cm13．菱形具有而矩形不一定具有的性质是（）．A．对边相等B．对角相等C．对角线互相相等D．对有线相等14．能够找到一点使该点到各边距离相等的图形为（）．A．平行四边形B．菱形C．矩形D．不存在15．下列说法不正确的是（）．A ．菱形的对角线互相垂直B ．菱形的对角线平分各内角C ．菱形的对角线相等D ．菱形的对角线交点到各边等距离 四、解答题16．如图所示，已知E 为菱形ABCD 的边AD 的中点，EF ⊥AC 于F 交AB 于M ．试说明M 为AB 的中点．17．如图所示，已知菱形ABCD 中E 在BC 上，且AB=AE ，∠BAE=∠EAD ，AE 交BD 于M ，试说明BE=AM ．18．如图所示，已知在菱形ABCD 中，AE ⊥CD 于E ，∠ABC=60°，求∠CAE 的度数．19．如图所示，菱形的周长为20cm ，两邻角的比为1：2． 求：（1）较短对角线长是多少？（2）一组对边的距离是多少？20．如图所示，已知菱形ABCD 中，E 、F 分别在BC 和CD 上，且∠B=∠EAF= 60°，∠BAE=15°，求∠CEF 的度数．21M FE DC BA 123421ME DC BA21．已知：菱形一边及这边上的高．求作：满足条件的这个菱形．22．已知在菱形ABCD中，AE⊥BC于E，且BE=EC，若AC=6，求菱形ABCD的各边长．23．菱形一边与两条对角线所构成的两个角的差为10°，求菱形的各内角．24．如图所示，已知菱形ABCD中，E、F是BC、CD上的点，且AE=EF=AF=AB，求∠C的度数．25．如图所示，O为矩形ABCD的对角线交点，DE∥AC，CE⊥BD，OE与CD 互相垂直平分吗？请说明理由．26．如图所示，已知在菱形ABCD中，E在BC上，若∠B=∠EAD=70°，ED 平分∠AEC吗？请说明理由．27．试说明：菱形的对角线的交点到各边的中点距离相等．参考答案一、1．× 2．× 3．√ 4．× 5．√二、6．12cm 7．互相垂直平分 8．8 12 9．52 120 10．3cm 3cm 3cm三、11．B 12．C 13．C 14．B 15．C四、16．由于△AME 是以AC 为轴的轴对称图形（其中∠1=∠2，ME ⊥AC ）所以AM=AE=AD ， 故AM=AB ，所以M 是AB 的中点． 17．设∠BAE=x°，则∠EAD=2x°， 所以∠AEB=∠ABC=2x°，那么5x°=180°，x=36°，由于∠1=∠2，故∠2=36°，∠BEM=72°， 那么∠BME=72°，所以∠BEM=∠BME 即BE=BM ，又∠1=∠5=36°， 所以BM=AM ，那么BE=AM 18．30° 19．（1）20cm （2）cm20．连AC ，可得△ABC 为等边三角形，则∠ACF=120°-60°=60°， 由已知得∠2=∠1=15°，把△ABE 绕着A 按逆时针方向旋转60 °可与△ACF 重合，这样AF=AE ，由于∠EAF=60°，故△AEF 为等边三角形，那么∠AEF=60°，由于∠AEB=180°-60°-15°=105°，故∠CEF=180°-60°-105°=15°21．略 22．6 6 6 6 23．80° 100° 80° 100° 24．100° 25．四边形ODEC 是菱形26．由∠B=∠EAD=70°，AD ∥BC ，即∠AEB=70°，那么∠1=40°，由AB=AE ，AB=AD ，得AE= AD ，即∠2=55°， 而∠AEC=180°-70°=110°，故∠DEC=110°-55°=55°， 所以ED 平分∠AEC27．通过斜边中线等于斜边的一半和菱形各边都相等的道理而推得.1212。
北师大版九年级上册数学 菱形的判定和性质 同步测试卷(含答案)
菱形同步测试卷一．选择题（共4小题）1．如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是（3，4），则顶点M、N的坐标分别是（）A．M（5，0），N（8，4）B．M（4，0），N（8，4）C．M（5，0），N（7，4）D．M（4，0），N（7，4）2．菱形的周长为4，一个内角为60°，则较短的对角线长为（）A．2 B．C．1 D．3．菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为（）A．3：1 B．4：1 C．5：1 D．6：14．如图，菱形ABCD中，AB=15，∠ADC=120°，则B、D两点之间的距离为（）A．15 B．C．7.5 D．二．填空题（共15小题）5．已知菱形的两条对角线长分别为2cm，3cm，则它的面积是_________cm2．6．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=8，BD=6，过点O作OH丄AB，垂足为H，则点0到边AB的距离OH=_________．7．如图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB的中点，且DE丄AB，则菱形ABCD的面积为cm2．6题图7题图8题图9题图8．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=13，AC=10，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，则△BDE的周长为_________．9．如图，已知菱形ABCD的一个内角∠BAD=80°，对角线AC、BD相交于点O，点E在AB上且BE=BO，则∠BEO= _________度．10．如图，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm，若墙上钉子间的距离AB=BC=16cm，则∠1=_________度．10题图12题13题图14题图11．已知菱形的一个内角为60°，一条对角线的长为，则另一条对角线的长为_________．12．如图所示，两个全等菱形的边长为1米，一个微型机器人由A点开始按A﹣＞B﹣＞C﹣＞D﹣＞E﹣＞F﹣＞C ﹣＞G﹣＞A的顺序沿菱形的边循环运动，行走2009米停下，则这个微型机器人停在_________点．13．如图，P为菱形ABCD的对角线上一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AD于点F，PF=3cm，则P点到AB的距离是_________cm．14．已知：如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为_________．15．已知菱形的周长为40cm，两条对角线之比为3：4，则菱形的面积为_________cm2．16．已知菱形的周长是52cm，一条对角线长是24cm，则它的面积是_________cm2．17．如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合），且PE∥BC 交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是_________．17题图18题图19题图18．如图：菱形ABCD中，AB=2，∠B=120°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是_________．19．如图：点E、F分别是菱形ABCD的边BC、CD上的点，且∠EAF=∠D=60°，∠FAD=45°，则∠CFE=_________度．三．解答题（共7小题）20．如图，四边形ABCD为菱形，已知A（0，4），B（﹣3，0）．（1）求点D的坐标；（2）求经过点C的反比例函数解析式．21．如图所示，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，DE∥AC交BC的延长线于点E．求证：DE=BE．22．如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E．（1）求∠ABD的度数；（2）求线段BE的长．23．如图，四边形ABCD是菱形，BE⊥AD、BF⊥CD，垂足分别为E、F．（1）求证：BE=BF；（2）当菱形ABCD的对角线AC=8，BD=6时，求BE的长．24．如图，在菱形ABCD中，P是AB上的一个动点（不与A、B重合），连接DP交对角线AC于E连接BE．（1）证明：∠APD=∠CBE；（2）若∠DAB=60°，试问P点运动到什么位置时，△ADP的面积等于菱形ABCD面积的，为什么？25．已知：如图，四边形ABCD是菱形，E是BD延长线上一点，F是DB延长线上一点，且DE=BF．请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只须证明一组线段相等即可）．（1）连接_________；（2）猜想：_________=_________；（3）证明：（说明：写出证明过程的重要依据）26．如图所示，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm、点P从点D出发向点A运动，同时点Q从点B出发向点C 运动，点P、Q的速度都是1cm/s．（1）在运动过程中，四边形AQCP可能是菱形吗？如果可能，那么经过多少秒后，四边形AQCP是菱形？（2）分别求出菱形AQCP的周长、面积．参考答案一．选择题1-4 ACCA二．填空题5．36．7．28．609．6510．12011．2或612．B13.314．1615．9616.12017．2.518．19.45三．解答题20．解：（1）∵A（0，4），B（﹣3，0），∴OB=3，OA=4，∴AB=5．在菱形ABCD中，AD=AB=5，∴OD=1，∴D（0，﹣1）．（2）∵BC∥AD，BC=AB=5，∴C（﹣3，﹣5）．设经过点C的反比例函数解析式为y=．把（﹣3，﹣5）代入解析式得：k=15，∴y=．21．证明：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴AD∥BC，AC=AD，∵AC∥DE，∴四边形ACED是菱形，∴DE=CE=AC=AD，又四边形ABCD是菱形，∴AD=AB=BC=CD，∴BC=EC=DE，即C为BE中点，∴DE=BC=BE．22．解：（1）在菱形ABCD中，AB=AD，∠A=60°，∴△ABD为等边三角形，∴∠ABD=60°；（4分）（2）由（1）可知BD=AB=4，又∵O为BD的中点，∴OB=2（6分），又∵OE⊥AB，及∠ABD=60°，∴∠BOE=30°，∴BE=1．23.（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=CB，∠A=∠C，∵BE⊥AD、BF⊥CD，∴∠AEB=∠CFB=90°，在△ABE和△CBF中，∴△ABE≌△CBF（AAS），∴BE=BF．（2）解：如图，∵对角线AC=8，BD=6，∴对角线的一半分别为4、3，∴菱形的边长为=5，菱形的面积=5BE=×8×6，解得BE=．24.（1）证明：∵四边形ABCD是菱形∴BC=CD，AC平分∠BCD∵CE=CE∴△BCE≌△DCE∴∠EBC=∠EDC又∵AB∥DC∴∠APD=∠CDP∴∠EBC=∠APD（2）解：当P点运动到AB边的中点时，S△ADP=S菱形ABCD．理由：连接DB∵∠DAB=60°，AD=AB∴△ABD等边三角形∵P是AB边的中点∴DP⊥AB∴S△ADP=AP•DP，S菱形ABCD=AB•DP∵AP=AB∴S△ADP=×AB•DP=S菱形ABCD即△ADP的面积等于菱形ABCD面积的．25．解：（1）如图，连接AF；（2）AF=AE；（3）证明：四边形ABCD是菱形．∴AB=AD，∴∠ABD=∠ADB，∴∠ABF=∠ADE，在△ABF和△ADE中∴△ABF≌△ADE，∴AF=AE．26．解：（1）经过x秒后，四边形AQCP是菱形由题意得16+x2=（8﹣x）2，解得x=3即经过3秒后四边形是菱形．（2）由第一问得菱形的边长为5∴菱形AQCP的周长=5×4=20（cm）菱形AQCP的面积=5×4=20（cm2）菁优网版权所有仅限于学习使用，不得用于任何商业用途。
北师大版九年级上册数学 菱形的判定和性质 测试题(含答案)
菱形测试题1．下列四边形中不一定为菱形的是（）A．对角线相等的平行四边形 B．每条对角线平分一组对角的四边形C．对角线互相垂直的平行四边形 D．用两个全等的等边三角形拼成的四边形2．四个点A，B，C，D在同一平面内，从①AB∥CD；②AB=CD；③AC⊥BD；④AD= BC； ⑤AD∥BC．这5个条件中任选三个，能使四边形ABCD是菱形的选法有（）．A．1种 B．2种 C．3种 D．4种3．菱形的周长为32cm，一个内角的度数是60°，则两条对角线的长分别是（）A．8cm和43cm B．4cm和83cm C．8cm和83cm D．4cm和43cm4.菱形的两邻角之比为1：2，如果它的较短对角线为4cm，则它的周长为（）．A．8cm B．9cm C．12cm D．16cm5.菱形具有而矩形不一定有的性质是（）．A．对边边长相等 B．对角相等 C．对角线互相垂直 D．对角线长度相等6.下列图形中能够找到一点使该点到各边距离相等的图形为（）．A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．不存在7.下列说法不正确的是（）．A．菱形的对角线互相垂直 B．菱形的对角线平分各内角C．菱形的对角线相等 D．菱形的对角线交点到各边等距离8．如图1所示，已知□ABCD，AC，BD相交于点O，•添加一个条件使平行四边形为菱形，添加的条件为________．（只写出符合要求的一个即可）图1 图2DACFH E BKD ACF HG E B9．如图2所示，D ，E ，F 分别是△ABC 的边BC ，CA ，AB 上的点，且DE∥AB，DF∥CA，要使四边形AFDE 是菱形，则要增加的条件是________．（只写出符合要求的一个即可）10．菱形ABCD 的周长为48cm ，∠BAD： ∠ABC=•1：•2，•则BD=•_____，•菱形的面积是______． 11．在菱形ABCD 中，AB=4，AB 边上的高DE 垂直平分边AB ，则BD=_____，AC=_____． 12．如图所示，在四边形ABCD 中，AB∥CD，AB=CD=BC ，四边形ABCD 是菱形吗？•说明理由．13．如图，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，PD∥AC，PC∥BD，PD ，PC 相交于点P ，四边形PCOD 是菱形吗？试说明理由．14．如图所示，△ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC 的平分线BD•交AC 于点D ，CH⊥AB 于H ，且交BD 于点F ，DE⊥AB 于E ，四边形CDEF 是菱形吗？请说明理由．15．如图所示，已知△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 的中点，过点D•作DE⊥AB，DF⊥AC，DAC FH GEB垂足分别为E ，F ，再过E ，F 作EG⊥AC，FH⊥AB，垂足分别为G ，H ，且EG ，•FH 相交于点K ，试说明EF 和DK 之间的关系．16．菱形以其特殊的对称美而备受人们喜爱，在生产生活中有极其广泛的应用．如图所示是一块长30cm ，宽20cm 的长方形的瓷砖，E ，F ，G ，H 分别是边BC ，CD ，DA ，•AB 的中点，涂黑部分为淡蓝色花纹，中间部分为白色．现有一面长4.2m ，宽2.8m•的墙壁准备贴这种瓷砖，试问： （1）这面墙壁最少要贴这种瓷砖多少块？（2）全部贴满瓷砖后，这面墙壁最多会出现多少个面积相等的菱形？•其中有花纹的菱形有多少个？17．已知：如图所示，菱形ABCD 中，E ，F 分别是CB ，CD 上的点，且BE=DF ． （1）试说明：AE =AF ；（2）若∠B=60°，点E ，F 分别为BC 和CD 的中点，试说明：△AEF 为等边三角形．参考答案1．A 2．D 3．C 4.D 5.C 6.B 7.C 8．AB=BC 还可添加AC⊥BD或∠ABD=∠CBD等．9．点D在∠BAC的平分线上（或AE=AF）10．12cm；723cm2 11．4；4312．解：四边形ABCD是菱形，因为四边形ABCD中，AB∥CD，且AB=CD，所以四边形ABCD是平行四边形，又因为AB=BC，所以ABCD是菱形．13．解：四边形PCOD是菱形．四边形PCOD是平行四边形．又因为OC=OD，14．解法一：四边形CDEF是菱形．理由：如图所示，因为△CBD≌△EBD，所以CD=DE，因为∠1+∠4=90°，∠2+∠5=90°，∠1=∠2，∠3=∠5，•所以∠3=∠4．所以CF=CD．所以CF=DE．因为CF//DE．•所以四边形CDEF是平行四边形．又因为CF=CD，所以□CDEF是菱形．解法二：如答图20-3-4所示，连结CE交DF于点O．因为△BCD≌△BED．所以BC=BE．又因为∠1=∠2，所以BD⊥CE，且OC=OE．因为∠1+∠4=90°，∠2+∠5=90°，∠1=∠2，∠3=∠5，所以∠3= ∠4．所以CF=CD．又因为CE⊥DF，所以OF=OD．所以四边形CDEF是平行四边形，•又因为DF⊥CE，所以CDEF是菱形．15．解：EF与DK互相垂直平分．理由：因为DE⊥AB，FH⊥AB，所以DE∥FH．•因为DF⊥AC，EG⊥AC，所以DF∥EG．所以四边形DEKF是平行四边形．因为AB=AC，所以∠B=∠C．又因为BD=CD，∠BED=∠CFD=90°，所以△BDE≌△CDF，所以DE=DF．所以DEKF是菱形，•所以EF与DK互相垂直平分．16．解：（1）因为墙壁的总面积为4.2×2.8=11.76（m2），每块瓷砖的面积为0.3×0.2=0.06（m2），所以最少需要贴这种瓷砖11.76÷0.06=196（块）．（2）因为每相邻4块瓷砖构成一个有花纹的菱形（如图），在长4.2m，宽2.8m的墙壁上贴长30cm，宽20cm的长方形瓷砖，可贴4.2÷0.3=14（列），2.8÷0.2=14（•行）．因此构成的有花纹的菱形共13列13行，所以有花纹的菱形共13×13=169（个）．同时，白色菱形的个数与瓷砖的块数相同，故有白色菱形196个．从而面积相等的菱形最多有169+196=365（个）．17．解：（1）因为四边形ABCD是菱形，所以AB=AD，∠B=∠D，又因为BE=DF，•所以△ABE≌△ADF，所以AE=AF．（2）连结AC．因为AB=BC，∠B=60°，所以△ABC 是等边三角形，因为E是BC的中点，所以AE⊥BC，所以∠BAE=90°-60°=30°，同理∠DAF=30°．因为∠BAD=180°-∠B=120°，所以∠EAF=∠BAD-∠BAE-∠DAF=60°．又因为AE=AF，•所以△AEF是等边三角形．。
初中数学北师大版九年级上学期 第一章 1.1 菱形的性质与判定D卷
初中数学北师大版九年级上学期第一章 1.1 菱形的性质与判定D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共9题；共18分)1. （2分）(2017·益阳) 下列性质中菱形不一定具有的性质是（）A . 对角线互相平分B . 对角线互相垂直C . 对角线相等D . 既是轴对称图形又是中心对称图形2. （2分）(2018·永州) 下列命题是真命题的是（）A . 对角线相等的四边形是矩形B . 对角线互相垂直的四边形是菱形C . 任意多边形的内角和为360°D . 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半3. （2分）如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为3和4，∠A=120°，则图中阴影部分的面积（）A .B .C .D .4. （2分） (2019九上·罗湖期末) 如图，四边形ABCD是平行四边形，下列说法不正确的是（）A . 当AC＝BD时，四边形ABCD是矩形B . 当AB＝BC时，四边形ABCD是菱形C . 当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形D . 当∠DAB＝90°时，四边形ABCD是正方形5. （2分） (2019八下·许昌期中) 关于平行四边形ABCD的叙述，正确的是（）A . 若AB⊥BC，则平行四边形ABCD是菱形B . 若AC⊥BD，则平行四边形ABCD是正方形C . 若AC=BD，则平行四边形ABCD是矩形D . 若AB=AD,则平行四边形ABCD是正方形6. （2分） (2019九上·福田期中) 如图，在菱形ABCD中，M、N分别在AD、BC上，且AM=CN，连接MN与AC交于点O，连接BO，若∠DAC=28°，则∠OBC的度数为（）A . 28°B . 56°C . 62°D . 72°7. （2分） (2016九上·上城期中) 连接一个几何图形上任意两点间的线段中，最长的线段称为这个几何图形的直径，根据此定义，图（扇形、菱形、直角梯形、红十字图标）中“直径”最小的是（）A .B .C .D .8. （2分）(2018·五华模拟) 求证：菱形的两条对角线互相垂直．已知：如图所示，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O．求证：．以下是打乱的证明过程：，是BD的垂直平分线，即．四边形ABCD是菱形，．证明步骤正确的顺序是（）A .B .C .D .9. （2分） (2019七下·海安月考) 在平面直角坐标系xOy中，已知点P（2，2），点Q在y轴上，△PQO是等腰三角形，则满足条件的点Q共有（）A . 5个B . 4个C . 3个D . 2个二、填空题 (共4题；共4分)10. （1分） (2019八上·德清期末) 如图，Rt△ABC纸片中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点D在边BC上，以AD为折痕将△ABD折叠得到△AB’D，AB'与边BC交于点E．若△DEB’ 为直角三角形，则BD的长是________．11. （1分） (2019八下·余姚期末) 如图，升降平台由三个边长为1.2米的菱形和两个腰长为1.2米的等腰三角形组成，其中平台AM与底座A0N平行，长度均为24米，点B，B0分别在AM和A0N上滑动这种设计是利用平行四边形的________；为了安全，该平台作业时∠B1不得超过60°，则平台高度(AA0)的最大值为________ 米12. （1分） (2018九上·盐池期中) 如图，有正方形ABCD，把△ADE顺时针旋转到△ABF 的位置.其中AD=4，AE=5，则BF=________.13. （1分） (2019八下·封开期末) 如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线BF交AD于点F，FE∥AB．若AB=5，BF=6，则四边形ABEF的面积为________ 。
菱形的性质与判定 常考易错习题检测 2022-2023学年北师大版九年级数学上册
2022-2023北师大版九年级数学上册第一章第一节菱形的性质与判定常考易错习题检测（附带答案）一．选择题（共10小题）1．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A．对边平行B．对边相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直2．如图，菱形ABCD中，∠ABD＝70°，则∠C的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°3．菱形ABCD中，AC＝10，BD＝24，则该菱形的面积等于（）A．13 B．52 C．120 D．2404．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD分别为16和12，DE⊥AB于点E，则DE＝（）A．B．C．10 D．85．如图，▱ABCD对角线AC，BD交于点O，请添加一个条件：____使得▱ABCD是菱形（）A．AB＝AC B．AC⊥BD C．AB＝CD D．AC＝BD6．如图，在菱形ABCD中，∠C＝110°，BC的垂直平分线交BD于点E，F为垂足，连接AE，则∠EAD的度数是（）A．60°B．65°C．70°D．75°7．▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，添加以下条件，不能判定平行四边形ABCD为菱形的是（）A．AC＝BD B．AC⊥BD C．∠ACD＝∠ACB D．BC＝CD8．如图，菱形ABCD对角线交点与坐标原点O重合，点A（﹣2，5），则点C的坐标是（）A．（5，﹣2）B．（2，﹣5）C．（2，5）D．（﹣2，﹣5）9．如图，在菱形ABCD中，顶点A，B，C，D在坐标轴上，且A（0，1），∠ABC＝60°，分别以点A，D为圆心，以AD的长为半径作弧，两弧交于点E，连接EA，ED．将菱形ABCD 与△EAD构成的图形绕点O逆时针旋转，每次旋转45°，则第2022次旋转结束时，点E2022的坐标为（）A．B．C．D．10．问题：已知：如图，四边形ABCD是菱形，E、F是直线AC上两点，AF＝CE．求证：四边形FBED是菱形．几名同学对这个问题，给出了如下几种解题思路，其中正确的是（）甲：利用全等，证明四边形FBED四条边相等，进而说明该四边形是菱形；乙：连接BD，利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形，判定四边形FBED是菱形；丙：该题目错误，根据已知条件不能够证明该四边形是菱形．A．甲、乙对，丙错B．乙、丙对，甲错C．三个人都对D．甲、丙对，乙错二．填空题（共5小题）11．如图，四边形ABCD是边长为cm的菱形，其中对角线BD的长为2cm，则菱形ABCD 的面积为cm2．12．如图，已知点A的坐标是，2），点B的坐标是（﹣1，，菱形ABCD的对角线交于坐标原点O，则点D 的坐标是．13．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，连接OH，若OB＝6，菱形ABCD的面积为48，则OH的长为．14．在菱形ABCD中，∠D＝60°，CD＝4，E为菱形内部一点，且AE＝2，连接CE，点F为CE中点，连接BF，取BF中点G，连接AG，则AG的最大值为．15．如图，△ABC是边长为1的等边三角形，D，E为线段AC上两动点，且∠DBE＝30°，过点D，E分别作AB，BC的平行线相交于点F，分别交BC，AB于点H，G．现有以下结论：①S△ABC＝；②当点D与点C重合时，FH＝；③AE+CD＝DE；④当AE＝CD时，四边形BHFG为菱形．则其中正确的结论的序号是．三．解答题（共5小题）16．小惠自编一题：“如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD，OB＝OD．求证：四边形ABCD是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流．小惠：证明：∵AC⊥BD，OB＝OD，∴AC垂直平分BD．∴AB＝AD，CB＝CD，∴四边形ABCD是菱形．小洁：这个题目还缺少条件，需要补充一个条件才能证明．若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打“√”；若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并证明．17．如图，△ABC中，D，E分别是AC，AB的中点，DE＝CE，过点B作BF∥CE，交DE的延长线于点F．（1）求证：四边形BCEF是菱形．（2）若BC＝2，∠BCE＝60°，求菱形BCEF的面积．18．如图，四边形ABCD是菱形，E是AB的中点，AC的垂线EF交AD于点M，交CD的延长线于点F．（1）求证：AM＝AE；（2）连接CM，DF＝2．①求菱形ABCD的周长；②若∠ADC＝2∠MCF，求ME的长．19．如图，在平行四边形ABCD中，BE⊥AD，BF⊥CD，垂足分别为E，F，且AE＝CF．（1）求证：平行四边形ABCD是菱形；（2）若DB＝10，AB＝13，求平行四边形ABCD的面积．20．如图所示，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．（1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE＝CF；（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF的面积和△CEF的周长是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最小值．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．【解答】解：A．对边平行是菱形和一般平行四边形都具有的性质，故A不符合题意；B．对边相等是菱形和一般平行四边形都具有的性质，故B不符合题意；C．对角线互相平分是菱形和一般平行四边形都具有的性质，故C不符合题意；D．对角线互相垂直是菱形具有而一般平行四边形不具有的性质，故D符合题意；故选：D．2．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴∠ADC＝∠ABC，DB平分∠ADC和∠ABC，∴∠CDB＝∠CBD＝∠ADB＝∠ABD＝70°，∴∠C＝180°﹣2∠CDB＝180°﹣2×70°＝40°，故选：B．3．【解答】解：∵菱形对角线相互垂直，∴AC⊥BD，∴菱形面积是S＝AC×BD＝＝120．故选：C．4．【解答】解：如图，设AC与BD的交点为O，∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝CO＝8，DO＝BO＝6，AC⊥BD，∴AB＝＝＝10，∵S菱形ABCD＝×AC×BD＝AB×DE，∴×16×12＝10×DE，∴DE＝，故选：A．5．【解答】解：当AC⊥BD时，▱ABCD是菱形，故选：B．6．【解答】解：连接EC，AC，∵EF垂直平分BC，AC垂直平分BD，∴BF＝CF，∴AE＝EC，∴AE＝BE，∴∠BAE＝∠EBA，∵∠C＝110°，∴∠ABC＝70°，∴∠EBA＝∠EAB＝35°，∴∠EAD＝110°﹣35°＝75°，故选：D．7．【解答】解：A、AC＝BD时，▱ABCD是矩形，故选项A符合题意；B、AC⊥BD时，▱ABCD是菱形，故选项B不符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∵∠ACD＝∠ACB，∴∠DAC＝∠ACD，∴AD＝CD，∴▱ABCD是菱形，故选项C不符合题意；D、BC＝CD时，▱ABCD是菱形，故选项D不符合题意；故选：A．8．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，即点A与点C关于原点对称，∵点A（﹣2，5），∴点C的坐标是（2，﹣5）．故选：B．9．【解答】解：如图：将菱形ABCD与△EAD构成的图形绕点O逆时针旋转，每次旋转45°，即点E绕点O逆时针旋转，每次旋转45°，过点E6作E6G⊥x轴，垂足为G，∵360°÷45°＝8，∴点E每8次一循环，∵2022÷8＝252......6，∴点E2022的坐标与点E6的坐标相同，∵A（0，1），∴OA＝1，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴∠ABO＝∠CBO＝∠ABC＝30°，AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB＝30°，在Rt△ADO中，AD＝2OA＝2，OD＝OA＝，由题意得：AD＝DE＝AE＝2，∴△ADE是等边三角形，∴∠ADE＝60°，∴∠ODE＝∠ADE+∠ADB＝90°，∴∠EOD+∠OED＝90°，由题意得：OE＝OE6，∠EOE6＝2×45°＝90°，∴∠EOD+∠DOE6＝90°，∴∠OED＝∠DOE6，∵∠ODE＝∠OGE6＝90°，∴△DOE≌△FE6O，∴OD＝FE6＝，DE＝FO＝2，∴E6（2，﹣），∴E2022（2，﹣），故选：D．10．【解答】解：甲：∵四边形ABCD是菱形，∴∠BAD＝∠BCD，AB＝BC＝CD＝AD，∴∠BAC＝∠DAC＝∠BCA＝∠DCA，∴∠BAF＝∠DAF＝∠BCE＝∠DCE，在△BAF和△DAF中，，∴△BAF≌△DAF（SAS），∴BF＝DF，同理：△DCE≌△BCE（SAS），△BAF≌△BCE（SAS），∴BE＝DE，BF＝BE，∴BF＝DF＝BE＝DE，∴四边形FBED是菱形；乙：连接BD交AC于O，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，∵AF＝CE，∴OA+AF＝OC+CE，即OF＝OE，∴四边形FBED是平行四边形，又∵AC⊥BD，∴平行四边形FBED是菱形；综上所述，甲对、乙对，丙错，故选：A．二．填空题（共5小题）11．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴BO＝DO，AC⊥DB，AO＝CO，∵BD＝2cm，∴BO＝1cm，∵AB＝cm，∴AO＝＝＝2（cm），∴AC＝2AO＝4cm．∴S菱形ABCD＝（cm2）．故答案为：4．12．【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，∴OB＝OD，又∵点O为坐标原点，∴点B和点D关于原点对称，∵点B的坐标为（﹣1，﹣），∴D点坐标为（1，），故答案为：（1，）．13．【解答】解：∵ABCD是菱形，∴BO＝DO＝6，AO＝CO，S菱形ABCD＝，∴AC＝8，∵AH⊥BC，AO＝CO＝4，∴OH＝AC＝4．故答案为：4．14．【解答】解：如图所示：连接BD交AC于点O，连接FO，取OB的中点H，连接HG和AH，∵在菱形ABCD中，∴O为AC中点，∵F为CE中点，∴OF＝AE＝1，当C、F、E、A共线时，OF也为1，∵G为BF中点、H为OB中点，∴GH＝OF＝，∵在菱形ABCD中且∠D＝60°，∴∠ABO＝∠ABC＝∠ADC＝30°，∠BOA＝90°，∴OA＝AB＝2，∴OB＝＝，∴OH＝，∴AH＝＝，∵AG≤AH+HG，∴AG≤，∴AG的最大值为．故答案为：．15．【解答】解：①过点A作AP⊥BC于点P，如图1：∵△ABC是边长为1的等边三角形，AP⊥BC，∴BP＝BC＝，∴AP＝，∴．故①正确；②当点D与点C重合时，H，D，C三点重合，如图2：∵∠DBE＝30°，∠ABC＝60°，∴BE是∠ABC的平分线，∵AB＝BC，∴AE＝EC＝AC＝，∵CF∥AB，∴∠FCA＝∠A＝60°，∵GF∥BC，∴∠FEC＝∠ACB＝60°，∴∠FCE＝∠FEC＝60°，∴∠FCE＝∠FEC＝∠F＝60°，∴△EFC为等边三角形，∴FC＝EC＝，即FH＝．故②正确；③如图3，将△CBD绕点B逆时针旋转60°，得到△ABN，连接NE，过点N作NP⊥AC，交CA的延长线于P，∴BD＝BN，CD＝AN，∠BAN＝∠C＝60°，∠CBD＝∠ABN，∵∠DBE＝30°，∴∠CBD+∠ABE＝30°＝∠ABE+∠ABN＝∠EBN，∴∠EBN＝∠DBE＝30°，又∵BD＝BN，BE＝BE，∴△DBE≌△NBE（SAS），∴DE＝NE，∵∠NAP＝180°﹣∠BAC﹣∠NAB＝60°，∴AP＝AN，NP＝AP＝AN＝CD，∵NP2+PE2＝NE2，∴CD2+（AE+CD）2＝DE2，∴AE2+CD2+AE•CD＝DE2，故③错误；∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠C＝60°，∵GF∥BH，BG∥HF，∴四边形BHFG是平行四边形，∵GF∥BH，BG∥HF，∴∠AGE＝∠ABC＝60°，∠DHC＝∠ABC＝60°，∴△AGE，△DCH都是等边三角形，∴AG＝AE，CH＝CD，∵AE＝CD，∴AG＝CH，∴BH＝BG，∴▱BHFG是菱形，故④正确，故答案为：①②④．三．解答题（共5小题）16．【解答】解：赞成小洁的说法，补充条件：OA＝OC，证明如下：∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形．17．【解答】（1）证明：∵D、E分别是AC、AB的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE＝BC，∴EF∥BC，∵BF∥CE，∴四边形BCEF是平行四边形，∵DE＝CE，∴BC＝CE，∴平行四边形BCEF是菱形；（2）解：如图，过点E作EG⊥BC于点G，由（1）知BC＝CE，∵∠BCE＝60°，∴△BCE是等边三角形，∴BE＝CE＝BC＝2，∵EG⊥BC，∴BG＝BC＝1，在Rt△BGE中，由勾股定理得：EG＝＝＝，∴S菱形BCEF＝BC•EG＝2×＝2．18．【解答】（1）证明：如图，连接BD，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥DB，AD＝AB，∵EM⊥AC，∴ME∥BD，∵点E是AB的中点，∴点M是AD的中点，AE＝AB，∴AM＝AD，∴AM＝AE．（2）解：①由（1）得，点M是AD的中点，∴AM＝MD，∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∴∠F＝∠AEM，∠EAM＝∠FDM，∴△MDF≌△MAE（AAS），∴AE＝DF，∵AB＝2AE，DF＝2，∴AB＝4，∴菱形ABCD的周长为4AB＝4×4＝16．②如图，连接CM，记EF与AC交点为点G，∵AM＝AE，△MAE≌△MDF，∴DF＝DM，MF＝ME，∴∠DMF＝∠DFM，∴∠ADC＝2∠DFM，∵∠ADC＝2∠MCD，∴∠MCD＝∠DFM，∴MF＝MC＝ME，∠EMC＝2∠F＝∠MDC，∵ME⊥AC，AM＝AE，∴∠MGC＝90°，ME＝2MG，∴MC＝2MG，∴∠GMC＝60°，∴∠ADC＝60°，∴∠MCD＝30°，∴∠DMC＝90°，∴△DMC为直角三角形，∵DF＝2，∴DM＝2，CD＝4，∴CM＝＝2，∴ME＝2．19．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，∵BE⊥AD，BF⊥CD，∴∠AEB＝∠CFB＝90°，在△ABE和△CBF中，，∴△ABE≌△CBF（ASA），∴AB＝CB，∴平行四边形ABCD是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝13，设AE＝x，则DE＝13﹣x，在Rt△ABE和Rt△BDE中，由勾股定理得：BE2＝AB2﹣AE2＝DB2﹣DE2，即132﹣x2＝102﹣（13﹣x）2，解得：x＝，∴BE＝＝，∴平行四边形ABCD的面积＝AD×BE＝13×＝120．20．【解答】解：（1）如图，连接AC，∵四边形ABCD为菱形，∠BAD＝120°，∴∠BAC＝60°，∵△AEF是等边三角形，∴∠EAF＝60°，∴∠1+∠EAC＝60°，∠3+∠EAC＝60°，∴∠1＝∠3，∵∠BAD＝120°，∴∠ABC＝60°，∴△ABC和△ACD为等边三角形，∴∠4＝60°，AC＝AB，∴在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF（ASA）．∴BE＝CF；（2）四边形AECF的面积不变，△CEF的周长发生变化．理由如下：由（1）得△ABE≌△ACF，则S△ABE＝S△ACF，故S四边形AECF＝S△AEC+S△ACF＝S△AEC+S△ABE＝S△ABC，是定值，作AH⊥BC于H点，则BH＝2，S四边形AECF＝S△ABC＝．△CEF的周长＝CE+CF+EF＝CE+BE+EF＝BC+EF＝BC+AE由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．故△AEF的周长会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，△CEF的周长会最小＝4+。
北师大版九年级数学上册--第一章 1.1《菱形的性质与判定》同步练习题(含答案)
1.1菱形的性质与判定练习一、选择题1、如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，添加下列一个条件，能使平行四边形ABCD 成为菱形的是（ ）A ．AO ＝BOB ．AC ＝AD C ．AB ＝BC D ．OD ＝AC题1图 题2图 题6图2、如图，要想证明平行四边形ABCD 是菱形，下列条件中不能添加的是（ ）A ．∠ABD ＝∠ADB B ．AC ⊥BD C ．AB ＝BC D ．AC ＝BD3、平面直角坐标系中，四边形ABCD 的顶点坐标分别是A （﹣3，0），B （0，2），C （3，0），D （0，﹣2），则四边形ABCD 是（ ）A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．平行四边形4、下列不能判定一个四边形是菱形的是（ ）A.有一组邻边相等的平行四边形是菱形B.对角线互相垂直的平行四边形是菱形C.四条边都相等的四边形是菱形D.对角线相等的平行四边形是菱形5、下列条件：①四边相等的四边形； ②对角线互相垂直且平分的四边形； ③一组邻边相等的四边形； ④一条对角线平分一组对角的平行四边形。
其中能判断四边形是菱形的有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个6、如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，OE ⊥AB ，垂足为E ，若∠ADC=130°，则∠AOE 的大小为（ ）A.75°B.65°C.55°D.50°7、若菱形ABCD 的周长为16，∠A:∠B=1:2，则菱形的面积为（ ） A.32 B.33 C.34 D.38题7图 题8图 题9图8、如图，已知AC 、BD 是菱形ABCD 的对角线，那么下列结论一定正确的是（ ）A.△ABD 与△ABC 的周长相等B.△ABD 与△ABC 的面积相等C.菱形的周长等于两条对角线之和的两倍D.菱形的面积等于两条对角线之积的两倍9、如图，菱形ABCD 的周长为16，∠ABC=120°，则AC 的长为（ ） A.34 B.4 C.32 D.2二、填空题1、一个菱形的边长为5，一条对角线长为6，则这个菱形另一条对角线长为________。
北师大版九年级上册1.1菱形的性质与判定同步测试
北师大版九年级上册1.1菱形的性质与判定同步测试北师大版九年级上册《菱形》的性质与判定一、选择题1. 菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是()A. 对角相等B. 对边相等C. 对角线互相垂直D. 对角线互相平分2. 如图,菱形ABCD的周长是16,∠A=60°,则对角线BD的长为()A. 2B.C. 4D. 33. 如图,若要使平行四边形ABCD成为菱形,则需要添加的条件是()A. AB=CDB. AD=BCC. AB=BCD. AC=BD4. 在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,下列说法错误的是()A. AB∥DCB. AC=BDC. AC⊥BDD. OA=OC5. 如图,在菱形ABCD中,AB=3,∠ABC=60°,则对角线AC= ()A. 12B. 9C. 6D. 36. 如图,在菱形ABCD中,∠BAD=80°,AB的垂直平分线交对角线AC于点F,垂足为E,连接DF,则∠CDF等于()1 / 15A. 50°B. 60°C. 70°D. 80°7. 菱形不具有的性质是()A. 对角线互相平分B. 对角线互相垂直C. 对角线相等D. 对角线平分每组对角8. 能判断四边形是菱形的条件是()A. 对角线相等且互相垂直B. 有一条对角线平分一组对角C. 对角线相等D. 两组对角分别相等,且有一条对角线平分一组对角9. 如图所示,在菱形ABCD中,∠B=60°,AB=2 cm,E,F分别是BC,CD的中点,连接AE,EF,AF,则△AEF的周长为()A. 2 cmB. 3 cmC. 4 cmD. 3 cm10. 如图,将△ABC沿BC方向平移得到△DCE,连接AD,下列条件能够判断四边形ABCD为菱形的是()A. AB=BCB. AC=BCC. ∠B=60°D. ∠ACB=60°11. 如图,菱形ABCD的两条对角线交于O点,若AC=6,BD=4,则菱形的周长是()A. 24B. 16C. 4D. 2北师大版九年级上册1.1菱形的性质与判定同步测试12. 如图,将△ABC沿BC方向平移到△DCE,连接AD,下列条件中能判定四边形ACED为菱形的是()A. AB=BCB. AC=BCC. ∠B=60°D. ∠ACB=60°13. 菱形OACB在平面直角坐标系中的位置如图所示,点C的坐标是(6,0),点A的纵坐标是1,则点B的坐标是()A. (3,1)B. (3,-1)C. (1,-3)D. (1,3)14. 如图,在菱形ABCD中,M,N分别在AB,CD上,且AM=CN,MN与AC交于点O,连接BO.若∠DAC=28°,则∠OBC的度数为()A. 28°B. 52°C. 62°D. 72°15. 如图,在菱形ABCD中,AB=5,对角线AC=6,若过点A作AE⊥BC,垂足为E,则AE的长为()A. 4B.C.D. 53 / 15二、填空题16. 菱形的邻角之比为1∶5,其面积为50 cm2,则其边长为cm.17. 已知菱形的周长为40 cm,两条对角线长度比为3:4,则菱形的面积为.18. 在四边形ABCD中,对角线AC与BD互相平分,交点为O,在不添加任何辅助线的前提下,要使四边形ABCD成为菱形,还需添加一个条件,这个条件可以是(填上一个你认为正确的条件即可).19. 如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC=8 cm,BD=6 cm,DH⊥AB于点H,且DH与AC交于点G,则DH=.20. 已知菱形的边长为6,一个内角为60°,则菱形较短的对角线长是.21. 在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,从①AB=CD;②AB∥CD;③OA=OC;④OB=OD;⑤AC⊥BD;⑥AC平分∠BAD这六个条件中,选取三个推出四边形ABCD是菱形,如①②⑤⇒菱形ABCD,再写出两个符合要求:⇒菱形ABCD;⇒菱形ABCD.22. 如图,在菱形ABCD中,AB=2,∠BAD=60°,E是AB的中点,P是对角线AC上的一个动点,则PE+PB的最小值是.23. 如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,OE⊥AB,垂足为E,若∠ADC=130°,则∠AOE=.北师大版九年级上册1.1菱形的性质与判定同步测试5 / 1524. 如图,在菱形ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点O ,OE ∥DC 交BC 于点E ,若AD =6cm,则OE =.25. 如图,四边形ABCD 是菱形,O 是两条对角线的交点,过O 点的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分.当菱形的两条对角线的长分别为6和8时,则阴影部分的面积为 .三、解答题26. 如图所示,已知菱形ABCD 的边长为2 cm,∠BAD =120°,对角线AC 和BD 相交于点O ,求这个菱形的面积.27. 如图,在△ABC 中,D ,E 分别是AB ,AC 的中点,BE =2DE ,延长DE 到F ,使EF =BE ,连接CF.(1)求证:四边形BCEF 是菱形;(2)若CE =4,∠BCF =120°,求菱形BCEF 的面积.28. 如图,在平行四边形ABCD中,E为BC边上的一点,连接AE,BD,且AE=AB.(1)求证:∠ABE=∠EAD;(2)若∠AEB=2∠ADB,求证:四边形ABCD是菱形.29. 如图所示,在△ABC中,CD是∠ACB的平分线,DE∥AC,DF∥BC,四边形DECF是菱形吗?试说明理由.30. 如图,AD∥FE,点B,C在AD上,∠1=∠2,BF=B C.(1)求证:四边形BCEF是菱形;(2)若AB=BC=CD,求证:△ACF≌△BDE.31. 如图在▱ABCD中,O为对角线BD的中点,过点O的直线EF分别交AD,BC于E,F两点,连接BE,DF.(1)求证:△DOE≌△BOF.(2)当∠DOE等于多少度时,四边形BFDE为菱形?请说明理由.北师大版九年级上册1.1菱形的性质与判定同步测试32. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D,E分别为AB,AC边上的中点,连接DE,将△ADE绕点E 旋转180°得到△CFE,连接AF,CD.(1)求证:四边形ADCF是菱形;(2)若BC=8,AC=6,求四边形ABCF的周长.33. 如图,在▱ABCD中,E,F分别为边AB,CD的中点,BD是对角线,过A点作AG∥DB交CB的延长线于点G.(1)求证:DE∥BF;(2)若∠G=90°,求证:四边形DEBF是菱形.34. 如图,在平行四边形ABCD中,BE平分∠ABC交AD于点E,DF平分∠ADC交BC于点F.(1)求证:△ABE≌△CDF;(2)若BD⊥EF,则判断四边形EBFD是什么特殊四边形,请证明你的结论.7 / 1535. 将两张宽度相等的矩形纸片叠放在一起可得到如图所示的四边形ABCD.(1)求证:四边形ABCD是菱形;(2)如果两张纸片的长都是8,宽都是2,判断何时菱形ABCD的周长最大,并求出菱形ABCD周长的最大值.36. 将三角形纸片ABC(AB>AC)沿过点A的直线折叠,使得AC落在AB边上,折痕为AD,展平纸片,如图(1),再次折叠该三角形纸片,使得点A与点D重合,折痕为EF,再次展平后连接DE,DF,如图(2),证明:四边形AEDF是菱形.北师大版九年级上册1.1菱形的性质与判定同步测试北师大版九年级上册菱形的性质与判定参考答案1. 【答案】C【解析】选项A,B,D都是平行四边形的已有性质，而选项C对角线互相垂直是菱形的特有性质，故选C.2. 【答案】C【解析】∵菱形的四条边都相等，∴菱形的边长为4，∵∠A=60°,∴△ABD是等边三角形,∴BD=AB=AD=4,即对角线BD的长度是4,故选C.3. 【答案】C【解析】A,B选项都是平行四边形已有性质；因为一组邻边相等的平行四边形是菱形,对角线互相垂直平分的四边形是菱形,所以C正确；D选项添加对角线相等后，平行四边形成为矩形.故选C.4. 【答案】B【解析】根据菱形的性质知,因为菱形是特殊的平行四边形，所以对边平行，故A正确;菱形的对角线互相垂直平分，所以C,D选项正确，故选B.5. 【答案】D【解析】∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC.又∵∠ABC=60°,∴△ABC是等边三角形,∴AC=AB=3.故选D.6. 【答案】B【解析】如图所示，连接BF，由题意知∠BAC=∠CAD=40°，∴∠AFB=∠AFD=100°=∠FDC+∠FCD，而∠FCD=∠FAD=40°，∴∠CDF=60°.故选B.7. 【答案】C【解析】菱形具有的性质是:对角线互相垂直平分且平分每组对角.对角线相等是矩形的性质.故选C.8. 【答案】D【解析】对角线互相垂直平分的四边形是菱形,故A错误.对角相等,且对角线平分对角的四边形是菱形,故B错误,对角线相等的四边形不一定是菱形,故C错误.两组对角分别相等,且有一条对角线平分一组对角的四边形是菱形,故选D.9. 【答案】B【解析】连接AC,则△ABC为等边三角形,E是BC的中点,所以BE=1,AE⊥BC,AE=-(cm).又△AEF为等边三角形,所以△AEF的周长为3cm.故选B.10. 【答案】A【解析】∵将△ABC沿BC方向平移得到△DCE,∴AB∥DC且AB=DC,∴四边形ABCD为平行四边形,当AB=BC时,四边形ABCD是菱形.B,C,D都不能判定，故选A.11. 【答案】C【解析】∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD且AO=CO,BO=DO，∴AO=3,BO=2,则AB=,由菱形的四边相等得到它的周长为4.故选C.9 / 1512. 【答案】B【解析】由平移的性质可知AC∥DE,且AC=DE,∴四边形ACED是平行四边形.又∵BC=CE,∴当AC=BC时,AC=CE,∴平行四边形ACED是菱形.故选B.13. 【答案】B【解析】连接AB交OC于点D,∵点C的坐标为(6,0),点A的纵坐标为1,∴OC=6,AD=1.∵四边形OACB是菱形,∴OD=OC=3,BD=AD=1,AB⊥OC,∴点B的坐标是(3,-1),故选B.14. 【答案】C【解析】∵四边形ABCD为菱形,∴AB∥CD且AB=BC,∠MAO=∠NCO,∠AMO=∠CNO.在△AMO和△CNO中,∵∴△AMO≌△CNO(ASA).∴AO=CO.∴O是菱形ABCD对角线的中点,∴BO⊥AC,∴∠BOC=90°.∵∠DAC=28°,∴∠BCA=∠DAC=28°,∴∠OBC=90°-∠BCA=90°-28=62°.15. 【答案】C【解析】因为四边形ABCD是菱形,所以BC=AB=5,设BE=x,则CE=5-x,AE2=AB2-BE2=AC2-CE2,即52-x2=62-(5-x)2,解得x=.根据勾股定理,得AE=-=-=.16. 【答案】10【解析】由菱形邻角之比为1∶5且邻角互补,知其邻角分别为30°,150°,则其30°角所对的高是边长的一半.设高为x cm,则边长为2x cm,菱形的面积为2x·x=50,解得x=5,则边长等于2x=2×5=10(cm).17. 【答案】96 cm2【解析】由已知得菱形的边长为10 cm,设菱形的两条对角线长分别为6x cm,8x cm,则有(3x)2+(4x)2=102,解得x=2,所以菱形的面积为·3x·4x·4=×6×8×4=96(cm2).18. 【答案】∠AOB=90°(答案不唯一)【解析】在四边形ABCD中,∵AC,BD互相平分,∴四边形ABCD是平行四边形.要使得该平行四边形变成菱形，添加的条件例如对角线互相垂直等.19. 【答案】 cm【解析】∵四边形ABCD是菱形,对角线AC=8 cm,BD=6 cm,∴AO=4 cm,BO=3 cm,在Rt△AOB中,AB==5(cm).∵BD×AC=AB×DH,∴DH= cm.北师大版九年级上册1.1菱形的性质与判定同步测试11 / 1520. 【答案】6【解析】如图所示,由题意得AB =6,∠ABO =60°,∴∠BAO =30°,∴BO= AB =3,故BD =6. 21. 【答案】①②⑥ ③④⑥(答案不唯一)【解析】①②③④条件是判定平行四边形的，任取两个都能判定出平行四边形，而条件⑤⑥在平行四边形的基础上能够判定出菱形，任取一个，例如②③⑤，③④⑥等等.22. 【答案】【解析】由题意得点B 关于AC 的对称点为点D ,则PB =PD,PE +PB =PE +PD ,连接DE ,当点P 为DE 与AC 的交点时,PE +PB 的值最小,为DE 的长.因为∠BAD =60°,所以△BAD 是正三角形，又因为点E 是AB 的中点，所以∠DEA =90°,AE =1,在Rt △ADE 中，DE = .23. 【答案】65°【解析】由菱形性质得∠OAB = (180°-∠ADC )=(180°-130°)=25°,所以∠AOE =90°-∠OAB =90°-25°=65°. 24. 【答案】3cm【解析】∵OE ∥DC 且点O 为AC 的中点,∴OE = AB =AD =3(cm).25. 【答案】12 【解析】∵菱形的两条对角线的长分别为6和8,∴菱形的面积=×6×8=24.∵O 是菱形两条对角线的交点,∴阴影部分的面积=×24=12. 26. 【答案】解法1：∵四边形ABCD 是菱形,∴AC ⊥BD ,AO = AC ,BO = BD ,∠BAO = ∠BAD = ×120°=60°.在Rt △AOB 中,∠ABO =90°-∠BAO =30°,∴AO = AB =×2=1(cm),BO = - - (cm). ∵AO = AC ,BO =BD , ∴AC =2AO =2 cm,BD =2BO =2 cm, 则S 菱形ABCD =AC ·BD =2 (cm 2).解法2：过点A 作AH ⊥BC ,垂足为H ,如图所示.∵∠BAD =120°,可得∠BAH =120°-90°=30°,∴BH =AB =×2=1(cm),∴AH=--(cm),=BC·AH=2(cm2).∴S菱形ABCD27.(1) 【答案】∵BE=EF,BE=2DE,∴EF=2DE.∵D,E分别是△ABC的边AB,AC的中点,∴DE∥BC,DE=BC,即BC=2DE,∴BC=EF,且BC∥EF.∴四边形BCFE是平行四边形.又BE=EF,∴▱BCFE是菱形.(2) 【答案】∵∠BCF=120°,∴∠F=60°,△CEF为等边三角形,∴CE=EF=4.如图,过点C作CH⊥EF于点H,则FH=CF=2,CH=--=2, ∴S=EF·CH=4×2=8.菱形BCFE28.(1) 【答案】在平行四边形ABCD中,∵AD∥BC,∴∠AEB=∠EAD.∵AE=AB,∴∠ABE=∠AEB,∴∠ABE=∠EAD.(2) 【答案】∵AD∥BC,∴∠ADB=∠DBE.∵∠ABE=∠AEB,∠AEB=2∠ADB,∴∠ABE=2∠ADB,∴∠ABD=∠ABE-∠DBE=2∠ADB-∠ADB=∠ADB,∴AB=AD.∴平行四边形ABCD是菱形.29. 【答案】四边形DECF是菱形.理由:∵DE∥AC,DF∥BC,∴四边形DECF是平行四边形.∵CD平分∠ACB,∴∠1=∠2.∵DF∥BC,∴∠2=∠3.则∠1=∠3.∴CF=DF.∴由菱形的判定定理可知四边形DECF是菱形.30.(1) 【答案】∵AD∥FE,∴∠FEB=∠2.∵∠1=∠2,∴∠FEB=∠1.∴EF=BF.北师大版九年级上册1.1菱形的性质与判定同步测试又∵BF=BC,∴BC=EF.∴四边形BCEF是平行四边形.∵BF=BC,∴平行四边形BCEF是菱形.(2) 【答案】∵EF=BC,AB=BC=CD,AD∥FE,∴四边形ABEF,CDEF均为平行四边形,∴AF=BE,FC=ED.又∵AC=2BC=BD,∴△ACF≌△BDE(SSS).31.(1) 【答案】证明:在▱ABCD中,∵O为对角线BD的中点,∴BO=DO.∵AD∥BC,∴∠EDB=∠FBO.在△DOE和△BOF中,∵∴△DOE≅△BOF(ASA).(2) 【答案】当∠DOE=90°时,四边形BFDE为菱形.理由:∵△DOE≌△BOF,∴BO=OD,OE=FO,∴四边形BFDE是平行四边形.∵EOD=90°,∴EF⊥BD,∴平行四边形BFDE为菱形.32.(1) 【答案】∵将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE,∴AE=CE,DE=EF,∴四边形ADCF是平行四边形.∵D,E分别为AB,AC边上的中点,∴DE是△ABC的中位线,∴DE∥BC.又∵∠ACB=90°,∴∠AED=90°,∴DF⊥AC,∴四边形ADCF是菱形.(2) 【答案】在Rt△ABC中,BC=8,AC=6,∴AB==10.∵D是AB边上的中点,∴AD=5,∵四边形ADCF是菱形,∴AF=FC=AD=5，∴四边形ABCF的周长为8+10+5+5=28.33.(1) 【答案】在▱ABCD中,AB∥CD,AB=CD,∵E,F分别为边AB,CD的中点,∴DF=DC,BE=AB,∴DF∥BE,DF=BE.∴四边形DEBF为平行四边形.∴DE∥BF.13 / 15(2) 【答案】∵AG∥BD,∴∠G=∠DBC=90°,∴△DBC为直角三角形.又∵F为边CD的中点,∴BF=DC=DF.又∵四边形DEBF为平行四边形,∴四边形DEBF是菱形.34.(1) 【答案】证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠A=∠C,AB=CD,∠ABC=∠ADC.又∵BE平分∠ABC,DF平分∠ADC,∴∠ABE=∠CDF.∴△ABE≌△CDF(ASA).(2) 【答案】解:四边形EBFD是菱形,证明如下:∵△ABE≌△CDF,∴AE=CF.在平行四边形ABCD中,AD∥BC,AD=BC,∴DE∥BF,DE=BF,∴四边形EBFD是平行四边形.又∵BD⊥EF,所以平行四边形EBFD是菱形.35.(1) 【答案】如图(1)所示,∵AD∥BC,AB∥DC, ∴四边形ABCD是平行四边形.分别过点B,D作AD,AB的垂线,垂足分别为F,E,则BF=DE,∠AFB=∠AED=90°, 又∵∠DAE=∠BAF, ∴△DAE≌△BAF,∴AD=AB,平行四边形ABCD是菱形.(2) 【答案】如图(2)所示,当菱形ABCD的对角线AC为矩形的对角线时,其周长最大.设此时菱形的边长为x,则BG=8-x,在Rt△BCG中,x2=(8-x)2+22,解得x=,所以菱形ABCD周长的最大值为17.北师大版九年级上册1.1菱形的性质与判定同步测试36. 【答案】如图(1),根据第一次折叠可知:AD为∠CAB的平分线,∴∠1=∠2.(1) (2)如图(2),由第二次折叠可知:∠CAB=∠EDF,∴∠3=∠4.∵AD是△AED和△AFD的公共边,∴△AED≌△AFD(ASA).∴AE=AF,DE=DF.又根据第二次折叠可知:AE=ED,AF=DF,∴AE=ED=DF=AF.所以四边形AEDF是菱形.15 / 15。
北师大版九年级数学上册第一章 《1.1 菱形的性质与判定》 练习题
《1.1 菱形的性质与判定》练习题一．选择题1．菱形具有而一般平行四边形所没有的性质是（）A．两组对边分别相等B．两条对角线相等C．四个内角都是直角D．对角线平分对角2．已知菱形的边长与一条对角线的长相等，则菱形的最大的内角是（）A．90°B．120°C．135°D．150°3．如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE＝1，AF＝2，若P为对角线BD 上一动点，则EP+FP的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．44．如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABD＝30°，则菱形ABCD的面积是（）A．18 B．18C．36 D．365．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝6，S菱形ABCD＝48，则OH的长为（）A．4 B．8 C．D．66．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，O是对角线BD的中点，过点O作OE⊥CD于点E，连结OA．则四边形AOED的周长为（）A．9+2B．9+C．7+2D．87. 如图，菱形ABCD的两条对角线相交于点O，若AC＝6，BD＝4，则菱形ABCD的周长是( )A．24 B．16 C．413 D．2 38. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2，0)，B(1，1)．若平移点A 到点C，使以点O，A，C，B为顶点的四边形是菱形，则正确的平移方法是( )A．向左平移1个单位，再向下平移1个单位B．向左平移(22－1)个单位，再向上平移1个单位C．向右平移2个单位，再向上平移1个单位D．向右平移1个单位，再向上平移1个单位9. 如图，已知四边形ABCD的四边都相等，等边三角形AEF的顶点E，F分别在BC，CD上，且AE＝AB，则∠C的度数为( )A．100°B．105°C．110°D．120°10．如图6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角(∠O)为60°，边长为1，A，B都在格点上，则AB的长为( )A． 5 B．32C．7 D．52。
北师大版九年级上册菱形测试卷
九年级上册第一章《菱形》（满分120分）姓名：评分：一、选择题（每题3分共30分）1 •菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A. 对边相等B.对角相等C •对角线互相平分D.对角线互相垂直2.1-2 1 =( )A.2 B 、-2 C 、土2 D 、03•如图，四边形ABCD勺四边相等，且面积为120亦，对角线AC=24cm则四边形ABCD勺周长为（）A. 52cmB. 40cmC. 39cmD. 26cm4. 如图，在？ ABC冲，对角线AC与BD交于点O,若增加一个条件，使？ ABCD成为菱形，下列给出的条件不正确的是( )A. AB=ADB. ACL BDC. AC=BDD. / BAC K DAC5. 下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是（）A . x2—y B. X2+2X C. x2+y2D. x2—xy+y26. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,则BD的长为（）A. 2B. 3C. ；D. 2AC=8 BD=6则厶ABD的周长等于（）148 .把代数式xy2—9x分解因式，结果正确的是（）D. x (y+9) (y—9)A . x (y2—9) B. x (y+3) 2 C. x (y+3) (y —3)9•如图，将△ ABC沿 BC方向平移得到△ DCE连接AD下列条件能够判定四边形ACED为菱D.Z ACB=60°B. x2—y2= (x+y) (x —y)D. x2—y2= (x —y) 211.如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6 BD=10则菱形ABC啲面积为 _______12.分解因式：a3—a=13.如图，平行四边形ABCD勺对角线AC BD相交于点0,请你添加一个适当的条件_______ 使其成为菱形(只填一个即可).14.已知x2—y2=69，x+y=3，贝U x —y= B则0E=15.如图，在菱形ABCD中,16.菱形ABCD勺对角线AC BD相交于点0, E，F分别是AD EF^2，BD=2则菱形ABCD勺面积为 _____ .510.下列因式分解正确的是() A .x2+y2= (x+y) (x —y)C. x2+y2= (x+y) 2二、填空题(每题4分，共24 分)三、解答题（共66分）17.请把下列各式分解因式。
北师大版九年级数学上册菱形的判定测试题
第2课时菱形的判定一、选择题1．下列四边形中不一定为菱形的是（）A．对角线相等的平行四边形 B．每条对角线平分一组对角的四边形C．对角线互相垂直的平行四边形 D．用两个全等的等边三角形拼成的四边形2．四个点A，B，C，D在同一平面内，从①AB∥CD；②AB=CD；③AC⊥BD；④AD=•BC；⑤AD∥BC．这5个条件中任选三个，能使四边形ABCD是菱形的选法有（）．A．1种 B．2种 C．3种 D．4种3．菱形的周长为32cm，一个内角的度数是60°，则两条对角线的长分别是（）A．8cm和43cm B．4cm和83cm C．8cm和83cm D．4cm和43cm二、填空题4．如图1所示，已知平行四边形ABCD，AC，BD相交于点O，添加一个条件使平行四边形为菱形，添加的条件为________．（只写出符合要求的一个即可）图1 图25．如图2所示，D，E，F分别是△ABC的边BC，CA，AB上的点，且DE∥AB，DF∥CA，要使四边形AFDE是菱形，则要增加的条件是________．（只写出符合要求的一个即可）6．菱形ABCD的周长为48cm，∠BAD：∠ABC=1：2，则BD=_____，菱形的面积是______．7．在菱形ABCD中，AB=4，AB边上的高DE垂直平分边AB，则BD=_____，AC=_____．三、解答题8．如图所示，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD=BC，四边形ABCD是菱形吗？说明理由．四、思考题9．如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且OC=OD,PD∥AC，PC∥BD，PD，PC相交于点P，四边形PCOD是菱形吗？试说明理由．参考答案一、1．A 点拨：本题用排除法作答．2．D 点拨：根据菱形的判定方法判断，注意不要漏解．3．C 点拨：如图所示，若∠ABC=60°，则△ABC为等边三角形，•所以AC=AB=14×32=8（cm），AO=12AC=4cm．因为AC⊥BD，在Rt△AOB中，由勾股定理，得OB=222284AB OA-=-=43（cm），• 所以BD=2OB=83cm．二、4．AB=BC 点拨：还可添加A C⊥BD或∠ABD=∠CBD等．5．点D在∠BAC的平分线上（或AE=AF）6．12cm；723cm2点拨：如图所示，过D作DE⊥AB于E，因为AD∥BC，•所以∠BAD+∠ABC=180°．又因为∠BAD：∠ABC=1：2，所以∠BAD=60°，因为AB=AD，所以△ABD是等边三角形，所以BD=AD=12cm．所以AE=6cm．在Rt△AED中，由勾股定理，得AE2+ED2=AD2，62+ED2=122，所以ED2=108，所以ED=63cm，所以S菱形ABCD=12×33（cm2）．7．4；43点拨：如图所示，因为DE垂直平分AB，又因为DA=AB，所以DA=DB=4．所以△ABD是等边三角形，所以∠BAD=60°，由已知可得AE=2．在Rt△AED•中，•AE2+DE2=AD2，即22+DE2=42，所以DE2=12，所以DE=23，因为12AC·BD=AB·DE，即12AC·4=4×23，所以AC=43．三、8．解：四边形ABCD是菱形，因为四边形ABC D中，AB∥CD，且AB=CD，所以四边形ABCD是平行四边形，又因为AB=BC，所以ABCD是菱形．点拨：根据已知条件，不难得出四边形ABCD为平行四边形，又AB=BC，即一组邻边相等，由菱形的定义可以判别该四边形为菱形．四、9．解：四边形PCOD是菱形．理由如下：因为PD∥OC，PC∥OD，所以四边形PCOD是平行四边形．又因为OC=OD，所以平行四边形PCOD是菱形．掌握的三个数学答题方法树枝答题法关注数学题的解题过程2014年上海市中考状元徐瑜卿认为,数学是一门思维学科,并不是平时做题多就一定会拿高分。
(完整word版)北师大版九年级数学《菱形》综合练习
九上数学《菱形》综合练习一．选择题 .1．如图，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 订交于点O，H 为 AD 边的中点，若菱形ABCD 的周长为20，则 OH 的长为（）A ． 2B ． 2.5C． 3 D ．3.52．如图，菱形ABCD 的周长是20，对角线 AC ，BD 订交于点O，若 BD=6 ，则菱形 ABCD 的面积是（）A ． 6 B． 12C． 24 D ．483．如图，菱形ABCD 的边长为 4，∠ ABC=60 °，点 E、 F 分别为 AO 、AB 的中点，则EF 的长度为（）A ． 4B ． 3C． 2 D ．4．如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 订交于点O，AC=8 ，BD=6 ，过点 O 作 OH⊥ AB ，垂足为 H，则点 O 到边 AB 的距离 OH 等于（）A ． 2 B．C． D ．5．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 订交于点O，点 E 为 BC 的中点，则以下等式中必定建立的是（）A ． AB=BEB ．AC=2AB C．AB=2OE D ．AC=2OE6．已知一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是4： 3，则这个菱形的面积是（）2222A ． 12cmB ．96cm C． 48cm D． 24cm7．如图，在△ ABC 中，点 D 是 BC 的中点，点 E、F 分别在线段AD 及其延伸线上，且 DE=DF ．下列条件使四边形BECF 为菱形的是（）A ． BE ⊥ CEB ．BF∥ CE C． BE=CF D． AB=AC8．如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，要使它成为菱形，那么需要增添的条件能够是（）A ． AC ⊥BDB ．AB=AC C．∠ABC=90 °D ． AC=BD9．能判断平行四边形是菱形的条件是（）A ．一个角是直角B．对角线相等C．一组邻角相等 D ．对角线相互垂直10．如图，平行四边形ABCD 的对角线 AC 、BD 订交于点O，增添以下条件后，?ABCD不必定是菱形的是（）A ． DC=BCB ．AC ⊥ BD C．AB=BD D ．∠ADB= ∠CDB11．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 订交于点 O，以下条件可使的?ABCD 为菱形的是（）A ． AC=BDB ．∠ DAB= ∠ DCB C． AD=BC D．∠ AOD=90 °12．按序连结四边形四条边的中点，所得的四边形是菱形，则原四边形必定是（）A ．平行四边形B．对角线相等的四边形C．矩形 D ．对角线相互垂直的四边二．填空题 .13．在菱形 ABCD 中，对角线 AC 、BD 长分别为 8cm、6cm，则菱形的面积为．14．如图，菱形ABCD 中，对角线AC 、 BD 订交于点O，H 为 AD 边中点， OH=8 ，则菱形ABCD 的周长等于．15．如图，剪两张对边平行的纸条，任意交错叠放在一同，转动此中的一张，重合的部分构成了一个四边形，这个四边形是．16．如图，四边形 ABCD 是平行四边形， AC 与 BD 订交于点 O，增添一个条件：，可使它成为菱形．三．解答题 .17．如图，菱形 ABCD 的对角线 AC ， BD 订交于点 O，分别延伸 OA ， OC 到点 E， F，使AE=CF ，挨次连结 B ， F， D， E 各点．求证：△ BAE ≌ △ BCF．18．如图，在△ ABC 中，D 是 BC 边的中点， F，E 分别是 AD 及其延伸线上的点， CF∥ BE，连结BF， CE．（1）求证：四边形BFCE 是平行四边形；（2）当边 AB 、 AC 知足什么条件时，四边形BECF 是菱形？并说明原因．19．如图，在四边形ABCD 中， AB=AD ， CB=CD ，点 F 是 AC 上一点，连结BF ， DF．（1）证明：△ ABF ≌ △ ADF ；（2）若 AB ∥CD ，试证明四边形 ABCD 是菱形．。
北师大版九年级数学上册 1.1.1 菱形的性质 能力提升卷
北师版九年级数学上册1.1.1菱形的性质能力提升卷一、选择题（共10小题，3*10=30）1．菱形不具备的性质是( )A ．四条边都相等B ．对角线一定相等C ．是轴对称图形D ．是中心对称图形2．如图，点P 是边长为1的菱形ABCD 对角线AC 上的一个动点，点M ，N 分别是AB ，BC 边上的中点，则MP ＋PN 的最小值是( )A ．12B ．1 C. 2 D ．23．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点H 为AD 边的中点，菱形ABCD 的周长为28，则OH 的长等于( )A ．3.5B ．4C ．7D ．144．一个菱形的边长为6，面积为28，则该菱形的两条对角线的长度之和为( )A ．8B ．12C ．16D ．325．如图，四边形ABCD 为菱形，A ，B 两点的坐标分别是(2，0)，(0，1)，点C ，D 在坐标轴上，则菱形ABCD 的周长等于( ) A. 5 B ．4 3 C ．4 5 D ．206. 一个菱形的边长为6，面积为28，则该菱形的两条对角线的长度之和为( )A ．8B ．12C ．16D ．32BF，则∠BFC的度数是( )A．100° B．110° C．120° D．130°8．已知菱形的边长为3，较短的一条对角线的长为2，则该菱形较长的一条对角线的长为() A．2 2 B．2 5 C．4 2 D．2109．如图，在菱形ABCD中，点M，N分别在AB，CD上，且AM＝CN，MN与AC交于点O，连接OB.若∠DAC＝28°，则∠OBC的度数为( )A．28° B．52° C．62° D．72°10．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC＝4，BD＝16，将△ABO沿点A到点C的方向平移，得到△A′B′O′.当点A′与点C重合时，点A与点B′之间的距离为()A．6 B．8 C．10 D．12二．填空题（共8小题，3*8=24）11．如图，P是菱形ABCD的对角线AC上一点，PE⊥AD于点E，PE＝3 cm，则点P到AB的距离为____ cm.12. 如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E为BC的中点，若OE＝3，则菱形的周长为________．13．如图所示，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、AF，则△AEF的周长为________．14．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6和8则这个菱形的周长是________．15．对角线长分别为6和8的菱形ABCD如图所示，点O为对角线的交点，过点O折叠菱形，使B，B′两点重合，MN是折痕．若B′M＝1，则CN的长为_____.16．如图，在菱形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为(8，2)，点D的坐标为(0，2)，则点C 的坐标为________．17．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝10 cm，点P是这个菱形内部或边上的一点．若以P，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则P，A(P，A两点不重合)两点间的最短距离为______cm.18．如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M，N分别是AB，BC边上的中点，则MP＋PN的最小值是( )三．解答题（共7小题，46分）19．(6分) 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝5，AC＝6，过点D作AC 的平行线交BC的延长线于点E，求△BDE的面积.20．(6分)如图，在菱形ABCD中，过点B作BE⊥AD于点E，过点B作BF⊥CD于点F.求证：AE ＝CF.21．(6分) 如图，在菱形ABCD中，点F是BC上任意一点，连接AF交对角线BD于点E，连接EC.(1)求证：AE＝EC；(2)当∠ABC＝60°，∠CEF＝60°时，点F在线段BC上的什么位置？请说明理由．22．(6分) 如图，在菱形ABCD中，过点B作BE⊥AD于点E，过点B作BF⊥CD于点F.求证：AE ＝CF.23．(6分)如图，在菱形ABCD中，作BE⊥AD，CF⊥AB，分别交AD，AB的延长线于点E，F. 求证：(1)AE＝BF；(2)若点E恰好是AD的中点，AB＝2，求BD的值．24．(8分)如图，菱形ABCD中，作BE⊥AD，CF⊥AB，分别交AD，AB的延长线于点E，F.(1)求证：AE＝BF.(2)若点E恰好是AD的中点，AB＝2，求BD的值．25．(8分) 如图，四边形ABCD是菱形，点E为对角线AC上一点，连接DE并延长交AB的延长线于点F.连接CF，BD，BE.(1)求证：∠AFD＝∠EBC.(2)若E为△BCD的重心，求∠ACF的度数．参考答案1-5BBACC 6-10CDCCC11. 312. 24 13. 3314. 2015. 416. (4，4) 17. (103－10) 18.219. 解：∵菱形ABCD 的对角线互相垂直平分，∴AO ＝12AC ＝3，AO ⊥BD. ∴BO ＝AB 2－AO 2＝52－32＝4.即BD ＝8.∴S △BDE ＝S 菱形ABCD ＝12AC·BD ＝12×6×8＝24. 20. 证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴BA ＝BC ，∠A ＝∠C.∵BE ⊥AD ，BF ⊥CD ，∴∠BEA ＝∠BFC ＝90°.在△ABE 与△CBF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BEA ＝∠BFC ＝90°，∠A ＝∠C ，BA ＝BC ，∴△ABE ≌△CBF(AAS)，∴AE ＝CF.21. 解：(1)证明：连接AC.∵BD 是菱形ABCD 的对角线， ∴BD 垂直平分AC.∴AE ＝EC.(2)点F 是线段BC 的中点．理由如下：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝CB.又∵∠ABC ＝60°，∴△ABC 是等边三角形，∴∠BAC ＝60°.∵AE ＝EC ，∴∠EAC ＝∠ACE.∵∠CEF ＝60°，∴∠EAC ＝30°，∴点F 是线段BC 的中点．22. 证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ，∠A ＝∠C.∵BE ⊥AD ，BF ⊥CD ，∴∠AEB ＝∠CFB ＝90°.在△ABE 和△CBF 中，⎩⎨⎧∠AEB ＝∠CFB∠A ＝∠C AB ＝BC∴△ABE ≌△CBF.∴AE ＝CF.23. 证明：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ，AD ∥BC.∴∠A ＝∠CBF.∵BE ⊥AD ，CF ⊥AB ，∴∠AEB ＝∠BFC ＝90°. ∴△AEB ≌△BFC(AAS)．∴AE ＝BF.(2) ∵点E 是AD 的中点，且BE ⊥AD ，∴直线BE 为AD 的垂直平分线，∴BD ＝AB ＝2.24. 证明：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ，AD ∥BC.∴∠A ＝∠CBF.∵BE ⊥AD ，CF ⊥AB ，∴∠AEB ＝∠BFC ＝90°.∴△AEB ≌△BFC(AAS)．∴AE ＝BF.(2)∵E 是AD 中点，且BE ⊥AD ，∴直线BE 为AD 的垂直平分线，∴BD ＝AB ＝2.25. 证明：(1)∵四边形ABCD 为菱形，∴DC ＝BC ，∠DCE ＝∠BCE.又∵CE ＝CE ，∴△DCE ≌△BCE(SAS)．∴∠EBC ＝∠EDC.又∵AB ∥CD ，∴∠AFD ＝∠EDC.∴∠AFD ＝∠EBC.(1)如图，设DF 交BC 于点P ，AC 交BD 于点O.又∵∠CDP＝∠BFP，∠CPD＝∠BPF，∴△CDP≌△BFP(AAS)．∴DP＝FP.∴四边形BFCD是平行四边形．∴FC∥BD.∴∠ACF＝∠AOB.∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD.∴∠AOB＝90°.∴∠ACF＝∠AOB＝90°.。
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九年级上册第一章《菱形》（满分120分）姓名：评分：一、选择题（每题3分共30分）1．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A．对边相等B．对角相等 C．对角线互相平分D．对角线互相垂直2．∣-2∣=（）A.2 B、-2 C、±2 D、03．如图，四边形ABCD的四边相等，且面积为120cm2，对角线AC=24cm，则四边形ABCD的周长为（）A．52cm B．40cm C．39cm D．26cm4．如图，在?ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若增加一个条件，使?ABCD成为菱形，下列给出的条件不正确的是（）A．AB=AD B．AC⊥BD C．AC=BD D．∠BAC=∠DAC5．下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是（）A．x2－y B．x2+2x C．x2+y2D．x2－xy+y26．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB=2，∠ABC=60°，则BD的长为（）A．2 B．3 C．D．27．如图，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则△ABD的周长等于（）A．18 B．16 C．15 D．148．把代数式xy2－9x分解因式，结果正确的是（）A．x（y2－9）B．x（y+3）2C．x（y+3）（y－3）D．x（y+9）（y－9）9．如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是（）A．AB=BC B．AC=BC C．∠B=60°D．∠ACB=60°10．下列因式分解正确的是（）A．x2+y2=（x+y）（x－y）B．x2－y2=（x+y）（x－y）C．x2+y2=（x+y）2 D．x2－y2=（x－y）2二、填空题（每题4分，共24分）11．如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=10，则菱形ABCD的面积为．12．分解因式：a3－a=______．13．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件使其成为菱形（只填一个即可）．14．已知x2－y2=69，x+y=3，则x－y=______．15．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，OE⊥BC，垂足为点E，则OE= ．16．菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AD，CD边上的中点，连接EF．若EF=，BD=2，则菱形ABCD的面积为．三、解答题（共66分）17.请把下列各式分解因式。
（每题4分，共8分）（1）x(x-y)-y(y-x) （2）-12x3+12x2y-3xy218.用公式法请把下列各式分解因式。
（每题4分，共8分）（1）yx xy33273（2）2222416a xa y19．已知：如图，在菱形ABCD 中，点E 、F 分别为边CD 、AD 的中点，连接AE ，CF ，求证：△ADE ≌△CDF ．（8分）20．如图，四边形ABCD 是菱形，CE ⊥AB 交AB 的延长线于点E ，CF ⊥AD 交AD 的延长线于点F ，求证：DF=BE ．（8分）21．如图，△ABC ≌△ABD ，点E 在边AB 上，CE ∥BD ，连接DE ．求证：（10分）（1）∠CEB=∠CBE ；（2）四边形BCED 是菱形．22.（12分）23. （12分）九年级上册第一章《菱形》参考答案与试题解析一、选择题1．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ D ）A．对边相等B．对角相等 C．对角线互相平分D．对角线互相垂直【解答】解：∵菱形具有的性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分，对角线互相垂直；平行四边形具有的性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分；∴菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是：对角线互相垂直．故选D．2．∣-2∣=（ A ）A.2 B、-2 C、±2 D、03．如图，四边形ABCD的四边相等，且面积为120cm2，对角线AC=24cm，则四边形ABCD的周长为（ A ）A．52cm B．40cm C．39cm D．26cm【解答】解：如图，连接AC、BD相交于点O，∵四边形ABCD的四边相等，∴四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，S四边形ABCD=AC?BD，∴×24BD=120，解得BD=10cm，∴OA=12cm，OB=5cm，在Rt△AOB中，由勾股定理可得AB==13（cm），∴四边形ABCD的周长=4×13=52（cm），故选A．4．如图，在?ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若增加一个条件，使?ABCD成为菱形，下列给出的条件不正确的是（ C ）A．AB=AD B．AC⊥BD C．AC=BD D．∠BAC=∠DAC【解答】解：A、根据菱形的定义可得，当AB=AD时?ABCD是菱形；B、根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可判断，?ABCD是菱形；C、对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形，命题错误；D、∠BAC=∠DAC时，∵?ABCD中，AD∥BC，∴∠ACB=∠DAC，∴∠BAC=∠ACB，∴AB=AC，∴?ABCD是菱形．∴∠BAC=∠DAC．故命题正确．故选C．5．下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是（BA ）A．x2－y B．x2+2x C．x2+y2D．x2－xy+y26．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB=2，∠ABC=60°，则BD的长为（D）A．2 B．3 C．D．2【解答】解：∵四边形ABCD菱形，∴AC⊥BD，BD=2BO，∵∠ABC=60°，∴△ABC是正三角形，∴∠BAO=60°，∴BO=sin60°?AB=2×=，∴BD=2．故选：D．7．如图，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则△ABD的周长等于（B）A．18 B．16 C．15 D．14【解答】解：菱形对角线互相垂直平分，∴BO=OD=3，AO=OC=4，∴AB=5，∴△ABD的周长等于5+5+6=16，故选B．8．把代数式xy2－9x分解因式，结果正确的是（ C ）A．x（y2－9）B．x（y+3）2C．x（y+3）（y－3）D．x（y+9）（y－9）9．如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是（ B ）A．AB=BC B．AC=BC C．∠B=60°D．∠ACB=60°【解答】解：∵将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，∴AB CD，∴四边形ABCD为平行四边形，当AC=BC时，平行四边形ACED是菱形．故选：B．10．下列因式分解正确的是（ B ）A．x2+y2=（x+y）（x－y）B．x2－y2=（x+y）（x－y）C．x2+y2=（x+y）2 D．x2－y2=（x－y）2二、填空题11．如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=10，则菱形ABCD的面积为30 ．【解答】解：∵在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=10，∴菱形ABCD的面积为： AC?BD=30．故答案为：30．12．a（a+1）（a－1）点拨：a3－a=a（a2－1）=a（a+1）（a－1）．13．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件AC⊥BD 或∠AOB=90°或AB=BC 使其成为菱形（只填一个即可）．【解答】解：如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，添加一个适当的条件为：AC⊥BD或∠AOB=90°或AB=BC使其成为菱形．故答案为：AC⊥BD或∠AOB=90°或AB=BC 14．已知x2－y2=69，x+y=3，则x－y=__23____．15．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，OE⊥BC，垂足为点E，则OE= ．【解答】解：∵四边形ABCD 为菱形，∴AC ⊥BD ，OB=OD=BD=3，OA=OC=AC=4，在Rt △OBC 中，∵OB=3，OC=4，∴BC==5，∵OE ⊥BC ，∴OE ?BC=OB ?OC ，∴OE==．故答案为．16．菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E ，F 分别是AD ，CD 边上的中点，连接EF ．若EF=，BD=2，则菱形ABCD 的面积为2．【解答】解：∵E 、F 分别是AD ，CD 边上的中点，即EF 是△ACD 的中位线，∴AC=2EF=2，则S 菱形ABCD =AC ?BD=×2×2=2．故答案是：2．三、解答题17.请把下列各式分解因式（1）x(x-y)-y(y-x) （2）-12x 3+12x 2y-3xy 2【解答】（1）x(x-y)-y(y-x)=(x-y)(x+y)（2）-12x 3+12x 2y-3xy 2=-3x(4x 2-4xy+y 2)=-3x(2x-y)218.用公式法请把下列各式分解因式（1）yx xy33273（2）2222416a xa y【解答】（1）原式=-3xy(y+3x)(y-3x)；（2）原式=4a 2(x+2y)(x-2y)；19．已知：如图，在菱形ABCD 中，点E 、F 分别为边CD 、AD 的中点，连接AE ，CF ，求证：△ADE ≌△CDF ．【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=CD，∵点E、F分别为边CD、AD的中点，∴AD=2DF，CD=2DE，∴DE=DF，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（SAS）．20．如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：DF=BE．【解答】证明：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠DAE，CD=BC，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE=FC，∠CFD=∠CEB=90°．在Rt△CDF与Rt△CBE中，，∴Rt△CDF≌Rt△CBE（HL），∴DF=BE．21．如图，△ABC≌△ABD，点E在边AB上，CE∥BD，连接DE．求证：（1）∠CEB=∠CBE；（2）四边形BCED是菱形．【解答】证明；（1）∵△ABC≌△ABD，∴∠ABC=∠ABD，∵CE∥BD，∴∠CEB=∠DBE，∴∠CEB=∠CBE．（2）∵△ABC≌△ABD，∴BC=BD，∵∠CEB=∠CBE，∴CE=CB，∴CE=BD∵CE∥BD，∴四边形CEDB是平行四边形，∵BC=BD，∴四边形CEDB是菱形．22．23.（1）因为四边形ABCD是平行四边形。