高考数列专题讲解(含答案)

数列

题型一、数列的综合问题

【例1】已知首项为32的等比数列{a n }不是递减数列，其前n 项和为S n (n ∈N *)，且

S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列.

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)设T n ＝S n －1S n

(n ∈N *)，求数列{T n }的最大项的值与最小项的值. 解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，

因为S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列，

所以S 5＋a 5－S 3－a 3＝S 4＋a 4－S 5－a 5，即4a 5＝a 3，

于是q 2＝a 5a 3

＝14. 又{a n }不是递减数列且a 1＝32，所以q ＝－12.

故等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×⎝ ⎛⎭

⎪⎫－12n －1 ＝(－1)n －1·32n .

(2)由(1)得S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋12n ，n 为奇数，1－12n ，n 为偶数，

当n 为奇数时，S n 随n 的增大而减小，

所以1

故0

＝32－23＝56. 当n 为偶数时，S n 随n 的增大而增大，

所以34＝S 2≤S n <1，

故0>S n －1S n ≥S 2－1S 2

＝34－43＝－712.

综上，对于n ∈N *，总有－712≤S n －1S n

≤56. 所以数列{T n }最大项的值为56，最小项的值为－712.

【分析】解决等差数列与等比数列的综合问题，既要善于综合运用等差数列与等比数列的相关知识求解，更要善于根据具体问题情境具体分析，寻找解题的突破口.

【即时应用】已知数列{a n }是公差不为零的等差数列，其前n 项和为S n ，满足S 5－2a 2＝25，且a 1，a 4，a 13恰为等比数列{b n }的前三项.

(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；

(2)设T n 是数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋1的前n 项和，是否存在k ∈N *，使得等式1－2T k ＝1b k 成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.

解 (1)设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，

∴⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫5a 1＋5×42d －2（a 1＋d ）＝25，（a 1＋3d ）2＝a 1（a 1＋12d ），

解得a 1＝3，d ＝2，∴a n ＝2n ＋1.

∵b 1＝a 1＝3，b 2＝a 4＝9，

∴等比数列{b n }的公比q ＝3，∴b n ＝3n .

(2)不存在.理由如下：

∵1a n a n ＋1＝1（2n ＋1）（2n ＋3）＝12⎝ ⎛⎭

⎪⎫12n ＋1－12n ＋3， ∴T n ＝12⎣⎢⎡⎦

⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3 ＝12⎝ ⎛⎭

⎪⎫13－12n ＋3， ∴1－2T k ＝23＋12k ＋3

(k ∈N *)， 易知数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭

⎪⎬⎪⎫12k ＋3为单调递减数列， ∴23<1－2T k ≤1315，又1b k

＝13k ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13，

∴不存在k ∈N *，使得等式1－2T k ＝1b k

成立. 题型二、数列的通项、求和

求和要善于分析通项的结构特征，选择合适的求和方法.常用求和方法有：错位相减法、裂项相消法、分组求和法等.

【例2】设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q ，已知b 1＝a 1，b 2＝2，q ＝d ，S 10＝100.

(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；

(2)当d >1时，记c n ＝a n b n

，求数列{c n }的前n 项和T n . (1)解 由题意有⎩⎨⎧10a 1＋45d ＝100，a 1

d ＝2， 即⎩⎨⎧2a 1＋9d ＝20，a 1d ＝2，

解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝2或⎩

⎪⎨⎪⎧a 1＝9，d ＝29. 故⎩⎨⎧a n ＝2n －1，b n ＝2n －

1或⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝19（2n ＋79），b n ＝9·⎝ ⎛⎭⎪⎫29n －1. (2)解 由d >1，知a n ＝2n －1，b n ＝2n －1，

故c n ＝2n －12

n －1， 于是T n ＝1＋32＋522＋723＋924＋…＋2n －12

n －1，① 12T n ＝12＋322＋523＋724＋9

25＋…＋2n －12n .②

①－②可得

12T n ＝2＋12＋122＋…＋12

n －2－2n －12n ＝3－2n ＋32n ，

故T n ＝6－2n ＋32

n －1. 【分析】用错位相减法解决数列求和的模板

第一步：(判断结构)

若数列{a n ·b n }是由等差数列{a n }与等比数列{b n }(公比q )的对应项之积构成的，则可用此法求和.

第二步：(乘公比)

设{a n ·b n }的前n 项和为T n ，然后两边同乘以q .

第三步：(错位相减)

乘以公比q 后，向后错开一位，使含有q k (k ∈N *)的项对应，然后两边同时作差. 第四步：(求和)

将作差后的结果求和，从而表示出T n .

【即时应用】设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2＝3S n －S n ＋1＋3，n ∈N *.

(1)证明：a n ＋2＝3a n ；

(2)求S 2n .

(1)证明 由条件，对任意n ∈N *，有a n ＋2＝3S n －S n ＋1＋3，

因而对任意n ∈N *，n ≥2，有a n ＋1＝3S n －1－S n ＋3.

两式相减，得a n ＋2－a n ＋1＝3a n －a n ＋1，

即a n ＋2＝3a n ，n ≥2.又a 1＝1，a 2＝2，

所以a 3＝3S 1－S 2＋3＝3a 1－(a 1＋a 2)＋3＝3a 1，

故对一切n ∈N *，a n ＋2＝3a n .

(2)解 由(1)知，a n ≠0，所以a n ＋2a n

＝3.于是数列{a 2n －1}是首项a 1＝1，公比为3的等比数列；数列{a 2n }是首项a 2＝2，公比为3的等比数列.

因此a 2n －1＝3n －1，a 2n ＝2×3n －1.

于是S 2n ＝a 1＋a 2＋…＋a 2n

＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n )

＝(1＋3＋…＋3n －1)＋2(1＋3＋…＋3n －1)