三角函数与平面向量常考题型

三角函数与向量综合复习常考题型

三角函数部分

一、运用同角三角函数关系、诱导公式、和、差、倍、半等公式进行化简求值类。 1.已知α

为第二象限角，sin cos αα+=

，则cos 2α= . 2.若42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，

，sin 2θ，则sin θ= .

3.若，，，，则 .

4.已知向量33(cos

,sin ),(cos ,sin ),[,]22222

x x x x x π

π==-∈且a b 。 （1

）若||+>a b ，求x 的取值范围；

（2）函数()||f x =⋅++a b a b ，若对任意12,[,]2

x x π

π∈，恒有12|()()|f x f x t -<,求t 的取值范围。

【习题1】 1.

已知sin cos αα-=α∈(0，π)，则tan α= .

2.若tan θ+1

tan θ

=4,则sin2θ= .

3.sin 47sin17cos30cos17

-

= . 4.如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使1AE =，连接EC 、ED 则sin CED ∠=（ ） A

B

C

D

5.α为锐角，若4cos 65απ⎛

⎫+= ⎪⎝

⎭，则)122sin(π+a 的值为；

若41-3sin =⎪⎭⎫

⎝⎛απ，则⎪⎭

⎫

⎝⎛+απ23cos 等于. 02

π

α＜＜

02

π

β-

＜＜1cos(

)4

3π

α+

=

cos()42πβ-=cos()2βα+

=

6.已知a ∈(

2

π

，π)，sin αtan2α=

二、运用三角函数性质解题，通常考查正弦、余弦函数的单调性、周期性、对称轴及对称中心。 例1.已知0ω>，函数()sin()4f x x π

ω=+在(,)2

π

π上单调递减.则ω的取值范围是（）

()A 15[,]24()B 13[,]24()C 1

(0,]2

()D (0,2]

例2.已知ω>0，πϕ<<0，直线4π=x 和4

5π

=x 是函数)(sin )(ϕω+=x x f 图像的两条相邻的对称轴，

则=ϕ( )

（A ）π4 （B ）π3 （C ）π2 （D ）3π

4 例 3.函数1

-1

y x =

的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于（ ） （A ）2 (B) 4 (C) 6 (D)8

例4若,0),(cos ,sin ),0x x x ωωωω==->m n ，在函数()()f x t =⋅++m m n 的图象中，对称中心到对称轴的最小距离为

4π，且当[0,]3

x π

∈时，()f x 的最大值为1。

（1）求函数()f x 的解析式；（2）若1()[0,]2

f x x π=-∈，求实数x 的值。

【习题2】

1.已知函数)6

2(sin 4π

+

=x y )6

70π

≤

≤x （的图像与一条与x 轴平行的直线有三个交点，其中横坐标分别为32,1,x x x )321x x x <<（，则=++3212x x x

2.已知函数b a x b x a x f ,(cos -sin )(=为常数，),0R x a ∈≠的图像关于4

π

=x 对称，

则函数)-4

3(

x f y π

=是（ ） （A ）偶函数且它的图象关于点)0,(π对称 （B ）偶函数且它的图象关于点)0,2

3(π

对称 （C ）奇函数且它的图象关于点)0,2

3(

π

对称（D ）奇函数且它的图象关于点)0,(π对称 3.设点P 是函数x x f ωsin )(=的图象C 的一个对称中心，若点P 到图象C 的对称轴上的距离的最小值4

π，则)(x f 的最小正周期是（ ）

A ．2π

B . π C.

2π D . 4

π 4.函数x

x y cos 3-sin =)20π<≤x （取最大值时，=x

5.已知b x x f ++=)cos(2)(ϕω对于任意实数x 都有)()4(x f x f -=+π

成立，且1)8

(-=π

f ，则实数b 的值为 .

三、三角函数的图像及性质

【例】1.把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个

单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图像是

【例】2.函数的图象如图，则的解析式和的值分别为（ ）

A ．，

B ．，

C ．，

D ．， 【例3】矩形ABCD 中，AB ⊥x 轴，且矩形ABCD 恰好完全覆盖)0,(sin ≠∈=a R a ax a y 的一个完整周期的图像，当a 变化时，矩形ABCD 周长的最小值为 ；

【例】4. 如图，函数π

2cos()(0)2

y x x ωθθ=+∈R ，≤

≤的图象与y

轴交于点(0，且在该点处切线的斜率为2-． （1）求θ和ω的值；

（2）已知点π02A ⎛⎫

⎪⎝⎭

，，点P 是该函数图象上一点，点00()Q x y ，

是b x A x f +ϕ+ω=)sin()()(x f +

+=)1()0(f f S )2006()2(f f +⋯+12sin 2

1

)(+π=

x x f 2006=S 12sin 21)(+π=

x x f 212007=S 12sin 21)(+π=

x x f 212006=S 12

sin 21)(+π

=

x x f 2007=S