三角函数与平面向量常考题型
三角函数和平面向量专题练习2
北
B
的位置 C 处 (1) 求该船的行驶速度.
西
A
45° θ
C D
东
(2) 若该船不改变航行方向,判断它是否会进入警戒 水域,并说明理由.
P E Q
20 用 a, b, c 分别表示 ∆ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边的边长, R 表示 ∆ABC 的外接圆半径 (1)如图在 O 以为圆心,半径为 2 的 O 中, BC , BA 分别是 O 的弦,其中 BC = 2, ∠ABC = 45° ,求 弦 AB 的长 (2)在 ∆ABC 中,若 ∠C 为钝角,求证: a 2 + b 2 ≤ 4 R 2 (3)给定三个正实数 a, b, R ,其中 a ≥ b ,问 a, b, R 满足怎样的关系是时,以 a, b 为边长,以 R 为外 接圆半径的 ∆ABC 不存在,存在一个,或存在两个(全等的 三角 形 算作同 一个 ), 在 ∆ABC 存 在的 情况 下 ,用 a, b, R 表 示c
uuu r uuur
1 2
16. 在三角形 ABC 中, 用 a, b, c 分别表示 ∆ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边的边长,已知
∠B = 45° , b = 10, cos C = 2 5 5
(1)求边长 BC 的值 (2 若 AB 的中点为 D ,求中线 CD 的值.
2/8
π π 17. 已知函数 f ( x ) = 2 sin x + − 2 cos x, x ∈ , π 6 2
2 n 为偶数时, ○
f n (θ ) = sin n θ + cos n θ ,∴ f n′ (θ ) = n sin n −1 θ ⋅ cos θ − n cos n −1 θ sin θ = n sin θ cos θ ( sin n − 2 θ − cos n − 2 θ )
2023高考数学常考的知识点与题型
2023高考数学常考的知识点与题型高考数学常考题型有哪些1、函数与导数主要考查数学集合运算、函数的有关概念定义域、值域、解析式、函数的极限、连续、导数。
2、平面向量与三角函数、三角变换及其应用这一部分是高考的重点但不是难点，主要出一些数学基础题或中档题。
3、数列及其应用这部分是高考的重点而且是难点，主要出一些综合题。
4、不等式主要考查数学不等式的求解和证明，而且很少单独考查，主要是在解答题中比较大小。
是高考的重点和难点。
5、概率和统计这部分和我们的生活联系比较大，属数学应用题。
6、空间位置关系的定性与定量分析主要是证明平行或垂直，求角和距离。
主要考察对定理的熟悉程度、运用程度。
7、解析几何高考的难点，运算量大，一般含参数。
高考对数学基础知识的考查，既全面又突出重点，扎实的数学基础是成功解题的关键。
高考数学必考知识点归纳必修一：1、集合与函数的概念(部分知识抽象，较难理解);2、基本的初等函数(指数函数、对数函数);3、函数的性质及应用(比较抽象，较难理解)。
必修二：1、立体几何(1)、证明：垂直(多考查面面垂直)、平行(2)、求解：主要是夹角问题，包括线面角和面面角。
这部分知识是高一学生的难点，比如：一个角实际上是一个锐角，但是在图中显示的钝角等等一些问题，需要学生的立体意识较强。
这部分知识高考占22---27分。
2、直线方程：高考时不单独命题，易和圆锥曲线结合命题。
3、圆方程：必修三：1、算法初步：高考必考内容，5分(选择或填空);2、统计：3、概率：高考必考内容，09年理科占到15分，文科数学占到5分。
必修四：1、三角函数：(图像、性质、高中重难点，)必考大题：15---20分，并且经常和其他函数混合起来考查。
2、平面向量：高考不单独命题，易和三角函数、圆锥曲线结合命题。
09年理科占到5分，文科占到13分。
必修五：1、解三角形：(正、余弦定理、三角恒等变换)高考中理科占到22分左右，文科数学占到13分左右;2、数列：高考必考，17---22分;3、不等式：(线性规划，听课时易理解，但做题较复杂，应掌握技巧。
专题03 三角函数与平面向量综合问题(答题指导)(解析版)
专题03 三角函数与平面向量综合问题（答题指导）【题型解读】题型特点命题趋势▶▶题型一：三角函数的图象和性质1．注意对基本三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x 的图象与性质的理解与记忆，有关三角函数的五点作图、图象的平移、由图象求解析式、周期、单调区间、最值和奇偶性等问题的求解，通常先将给出的函数转化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，然后利用整体代换的方法求解． 2．解决三角函数图象与性质综合问题的步骤 (1)将f (x )化为a sin x ＋b cos x 的形式． (2)构造f (x )＝a 2＋b 2⎝⎛⎭⎪⎫a a 2＋b 2·sin x ＋b a 2＋b 2·cos x . (3)和角公式逆用，得f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)(其中φ为辅助角)． (4)利用f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)研究三角函数的性质． (5)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．【例1】 (2017·山东卷)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2，其中0＜ω＜3.已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0.(1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4上的最小值．【答案】见解析【解析】(1)因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π2，所以f (x )＝32sin ωx －12cos ωx －cos ωx ＝32sinωx －32cos ωx ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx －32cos ωx ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3.因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0，所以ωπ6－π3＝k π，k ∈Z .故ω＝6k ＋2，k ∈Z .又0＜ω＜3，所以ω＝2.(2)由(1)得f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以x －π12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，当x －π12＝－π3，即x ＝－π4时，g (x )取得最小值－32.【素养解读】本题中图象的变换考查了数学直观的核心素养，将复杂的三角函数通过变形整理得到正弦型函数，从而便于对性质的研究，考查数学建模的核心素养．【突破训练1】 设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω>0)，且y ＝f (x )的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值． 【答案】见解析 【解析】(1)f (x )＝32－3·1－cos2ωx 2－12sin2ωx ＝32cos2ωx －12sin2ωx ＝ －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3.因为y ＝f (x )的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，故该函数的周期T ＝4×π4＝π.又ω>0，所以2π2ω＝π，因此ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π3，所以－32＝sin 5π3≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤sin 5π2＝1，所以－1≤f (x )≤32，即f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1.▶▶题型二 解三角形1．高考对解三角形的考查，以正弦定理、余弦定理的综合运用为主．其命题规律可以从以下两方面看：(1)从内容上看，主要考查正弦定理、余弦定理以及三角函数公式，一般是以三角形或其他平面图形为背景，结合三角形的边角关系考查学生利用三角函数公式处理问题的能力；(2)从命题角度看，主要是在三角恒等变换的基础上融合正弦定理、余弦定理，在知识的交汇处命题． 2．用正、余弦定理求解三角形的步骤第一步：找条件，寻找三角形中已知的边和角，确定转化方向．第二步：定工具，根据已知条件和转化方向，选择使用的定理和公式，实施边角之间的转化． 第三步：求结果，根据前两步分析，代入求值得出结果．第四步：再反思，转化过程中要注意转化的方向，审视结果的合理性．【例2】 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且cos(C ＋B)cos(C －B)＝cos2A －sin Csin B ． (1)求A ；(2)若a ＝3，求b ＋2c 的最大值． 【答案】见解析【解析】(1)cos(C ＋B)cos(C －B)＝cos2A －sinCsinB ＝cos2(C ＋B)－sinCsinB ，则cos(C ＋B)[cos(C －B)－cos(C ＋B)]＝－sinCsinB ，则－cosA·2sinCsinB＝－sinCsinB ，可得cosA ＝12，因为0＜A ＜π，所以A＝60°.(2)由a sinA ＝b sinB ＝csinC ＝23，得b ＋2c ＝23(sinB ＋2sinC)＝23[sinB ＋2sin(120°－B)]＝23(2sinB＋3cosB)＝221sin(B ＋φ)，其中tanφ＝32，φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.由B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3得B ＋φ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，7π6，所以sin(B ＋φ)的最大值为1，所以b ＋2c 的最大值为221.【素养解读】试题把设定的方程与三角形内含的方程(三角形的正弦定理、三角形内角和定理等)建立联系，从而求得三角形的部分度量关系，体现了逻辑推理、数学运算的核心素养．【突破训练2】 (2017·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a >b ，a ＝5，c ＝6，sin B ＝35.(1)求b 和sin A 的值； (2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π4的值．【答案】见解析【解析】(1)在△ABC 中，因为a >b ，故由sin B ＝35，可得cos B ＝45.由已知和余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝13，所以b ＝13.由正弦定理得sin A ＝a sin B b ＝31313. (2)由(1)及a <c ，得cos A ＝21313，所以sin2A ＝2sin A cos A ＝1213，cos2A ＝1－2sin 2A ＝－513.故sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π4＝sin2A cos π4＋cos 2A ·sin π4＝7226.▶▶题型三 三角函数与平面向量的综合1．三角函数、解三角形与平面向量的综合主要体现在以下两个方面：(1)以三角函数式作为向量的坐标，由两个向量共线、垂直、求模或求数量积获得三角函数解析式；(2)根据平面向量加法、减法的几何意义构造三角形，然后利用正、余弦定理解决问题．2．(1)向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题．(2)三角形中的三角函数要结合正弦定理、余弦定理进行转化，注意角的范围对变形过程的影响． 【例3】 (2019·佛山调考)已知函数f (x )＝a ·b ，其中a ＝(2cos x ，－3sin2x )，b ＝(cos x,1)，x ∈R .(1)求函数y ＝f (x )的单调递减区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，f (A )＝－1，a ＝7，且向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，求边长b 和c 的值． 【答案】见解析【解析】(1)f (x )＝a ·b ＝2cos 2x －3sin2x ＝1＋cos2x －3sin2x ＝1＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，由2k π≤2x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z )，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，所以f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )．(2)因为f (A )＝1＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1.因为0＜A ＜π，所以π3＜2A ＋π3＜7π3，所以2A ＋π3＝π，即A ＝π3.因为a ＝7，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ＝7.①因为向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，所以2sin B ＝3sinC ． 由正弦定理得2b ＝3c ，② 由①②可得b ＝3，c ＝2.【突破训练3】(2019·湖北八校联考) 已知△ABC 的面积为S ，且32AB →·AC →＝S ，|AC →－AB →|＝3.(1)若f (x )＝2cos(ωx ＋B )(ω＞0)的图象与直线y ＝2相邻两个交点间的最短距离为2，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝1，求△ABC 的面积S ；(2)求S ＋3 3 cos B cos C 的最大值． 【答案】见解析【解析】设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ， 因为32AB →·AC →＝S ，所以32bc cos A ＝12bc sin A ， 解得tan A ＝3，所以A ＝π3.由|AC →－AB →|＝3得|BC →|＝a ＝3.(1)因为f (x )＝2cos(ωx ＋B )(ω>0)的图象与直线y ＝2相邻两个交点间的最短距离T ＝2，即2πω＝2，解得ω＝π，故f (x )＝2cos(πx ＋B )．又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋B ＝1，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋B ＝12.因为B 是△ABC 的内角，所以B ＝π6，从而△ABC 是直角三角形，所以b ＝3，所以S △ABC ＝12ab ＝332.(2)由题意知A ＝π3，a ＝3，设△ABC 的外接圆半径为R ，则2R ＝a sin A ＝ 332＝23，解得R ＝3，所以S＋33cos B cos C ＝12bc sin A ＋33cos B cos C ＝34bc ＋33cos B cos C ＝33sin B sin C ＋33cos B cos C ＝33cos(B －C )，故S ＋33cos B cos C 的最大值为3 3.。
三角函数、平面向量、解三角形大题
三角函数、平面向量、解三角形大题：第一方面：向量大题例1：已知三点3(3,0),(0,3),(cos ,sin ),(,).22A B C ππααα∈（1）若AC BC =u u u r u u u r ，求角α；（2）若1AC BC ⋅=-u u u r u u u r ，求22sin sin 21tan ααα++的值.解：（1）因为()()cos 3,sin ,cos ,sin 3AC BC αααα=-=-u u u r u u u r由AC BC =u u u r u u u r 得()()2222cos 3sin cos sin 3αααα-+=+- 整理得sin cos αα= ，所以tan 1α=因为3,22ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭ ，所以54πα= （2）因为1,AC BC •=-u u u r u u u r 所以()()cos cos 3sin sin 31αααα-+-=- 即2sin cos 3αα+= ，所以()24sin cos 9αα+= ，得52sin cos 9αα=- ，所以()()22sin sin cos 2sin sin 252sin cos sin cos 1tan 9cos ααααααααααα++===-++.第二方面：三角函数大题例2.1：已知53)4cos(=+πx ，且471217ππ<<x ，求：① x x sin cos + 的值；②x xx tan 1sin 22sin 2-+的值。
解：（1）Θ471217ππ<<x ，πππ2435<+<∴x由53)4cos(=+πx 得54)4sin(-=+πx 所以524)4sin(2sin cos -=+=+πx x x（2）由524sin cos -=+x x 得2532)524()sin (cos 22=-=+x x 即2572sin ,25322sin 1=∴=+x x )4cos()4sin(2sin sin cos )sin (cos cos sin 2cos sin 1sin 2cos sin 2tan 1sin 22sin 22ππ++⋅=-+=-+=-+x x x x x x x x x xx x x x x x x 由（1）知54)4sin(-=+πx ，53)4cos(=+πx 所以x xx tan 1sin 22sin 2-+=)4cos()4sin(2sin ππ++⋅x x x =752853)54(257-=-⨯ 小结：本试题主要是考查了两角和差公式的运用，和二倍角公式的综合运用。
三角函数与平面向量
周考卷一.选择题 （每小题3分，共48分）1. 与-4630角终边相同的角为 （ ） A ． K ∙ 3600+4630， K ∈Z B. K ∙ 3600+1030， K ∈Z C . K ∙ 3600+2570， K ∈Z D. K ∙ 3600-2570， K ∈Z2. sin(-631π)的值是 （ ）A.21 B. - 21 C. 23 D. - 23 3. 下列函数中属于奇函数 （ ）A.y = sinx + 1B. y = cos(x +2π) C. y = sin(x - 2π) D. y = cosx - 1 4. 函数y = 2sin (2x +6π)的一条对称轴是 （ ）A. x =3π B. x = 6π C. x = 2π D. x = 4π5. 函数y = 2sin (32π-x )的单调递增区间是 （ ）A. [1252,122ππππ--k k ] （k ∈Z ）B. [12,127ππππ--k k ] （k ∈Z ） C . [122,1272ππππ--k k ] （k ∈Z ） D. [125,12ππππ+-k k ] （k ∈Z ） 6.当α为第二象限角时，ααααcos cos sin sin -的值是 （ ）A. 1B. 0C. 2D. -27.已知sin αcos 81=α,且)2,0(πα∈，则sin α+cos α的值为 （ ）A.25 B. -25 C. ±25 D. 238.已知角α的终边经过点(,9)m ，且3tan 4α=，则sin α的值 （ ） A 、45 B 、45- C 、35 D 、35-9．要得到)42sin(3π+=x y 的图象只需将y=3sin2x 的图象 （ ）A ．向左平移4π个单位 B ．向右平移4π个单位 C ．向左平移8π个单位 D ．向右平移8π个单位10．函数x x y cos sin 3+=，]2,2[ππ-∈x 的最大值为 （ ）A ．1 B. 2 C. 3 D.2311．下列命题正确的是（ ）A ．向量与是两平行向量B ．若a 、b 都是单位向量,则a =bC ．若=,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形 D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同12．在△ABC 中,AB =AC ,D 、E 分别是AB 、AC 的中点,则 （ ） A ．与共线 B ．与共线 C ．与相等 D ．与相等13. 已知a = b =,a ⋅b =-3，则a 与b 的夹角是 （ ） A ．150︒ B ．120︒ C ．60︒ D ．30︒ 14. 设P （3，-6），Q （-5，2），R 的纵坐标为-9，且P 、Q 、R 三点共线，则R 点的 横坐标为 （ ） A ．-9 B ．-6 C ．9 D ．6 15．已知向量e 1、e 2不共线,实数x 、y 满足(3x -4y )e 1+(2x -3y )e 2=6e 1+3e 2,则x -y 的值等于（ ） A ．3 B ．－3 C ．0 D ．216．已知a 3= ，b 4=，且（a +k b ）⊥（a -k b ），则k 等于 （ ）A ．34±B ．43± C ．53±D ．54±二 .填空题 （每小题4分，共16分）17.已知 tan α=2,则sin 2α+sin αcos α= 18． 关于函数f(x)＝4sin(2x ＋3π), (x ∈R)有下列命题：①y ＝f(x)是以2π为最小正周期的周期函数；② y ＝f(x)可改写为y ＝4cos(2x －6π)；③y ＝f(x)的图象关于(－6π，0)对称；④ y ＝f(x)的图象关于直线x ＝－6π对称；其中正确的序号为 。
三角函数与平面向量综合测试题
约稿：三角函数与平面向量综合测试题广东省珠海市斗门区第一中学 于发智 519100 jianghua20011628@一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，恰有．．一项．．是符合题目要求的。
1．下列函数中，周期为2π的是（ ） A ．sin2x y = B ．sin 2y x = C ．cos 4xy = D ．cos 4y x = 2．已知命题:p x ∀∈R ，sin 1x ≤，则（ ） Ａ．:p x ⌝∃∈R ，sin 1x ≥ Ｂ．:p x ⌝∀∈R ，sin 1x ≥ Ｃ．:p x ⌝∃∈R ，sin 1x >Ｄ．:p x ⌝∀∈R ，sin 1x >3. 条件甲a =+θsin 1，条件乙a =+2cos2sin θθ，那么 （ ）A ．甲是乙的充分不必要条件B ．甲是乙的充要条件C ．甲是乙的必要不充分条件D ．甲是乙的既不充分也不必要条件4．已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0，那么（ ）Ａ．AO OD =Ｂ．2AO OD =Ｃ．3AO OD =Ｄ．2AO OD =5. 若函数f (x )=3sin21x , x ∈[0, 3π], 则函数f (x )的最大值是 ( ) A.21 B.32 C.22 D.23 6. (1+tan25°)(1+tan20°)的值是 ( ) A.-2 B.2 C.1 D.-1 7.α、β为锐角a =sin(βα+)，b =ααcos sin +，则a 、b 之间关系为 （ ）A ．a ＞bB ．b ＞aC ．a =bD ．不确定8. 下面有五个命题：①函数y =sin 4x -cos 4x 的最小正周期是π. ②终边在y 轴上的角的集合是{a |a =Z k k ∈π,2|.B ACD③在同一坐标系中，函数y =sin x 的图象和函数y =x 的图象有三个公共点. ④把函数.2sin 3632sin(3的图象得到的图象向右平移x y x y =ππ+= ⑤函数.0)2sin(〕上是减函数，在〔ππ-=x y 其中真命题的序号是 ① ④ （（写出所有真命题的编号））9. )sin()(ϕω+=x A x f （A ＞0，ω＞0）在x =1处取最大值，则 （ ） A ．)1(-x f 一定是奇函数 B ．)1(-x f 一定是偶函数 C ．)1(+x f 一定是奇函数D ．)1(+x f 一定是偶函数10. 使x y ωsin =（ω＞0）在区间[0，1]至少出现2次最大值，则ω的最小值为（ ） A ．π25B ．π45 C ．πD ．π2311、在直角坐标系xOy 中，,i j分别是与x 轴，y 轴平行的单位向量，若直角三角形ABC中，2AB i j =+ ，3AC i k j =+，则k 的可能值有 ( ) A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个12. 如图，l 1、l 2、l 3是同一平面内的三条平行直线，l 1与l 2间的距离是1， l 2与l 3间的距离是2，正三角形ABC 的三顶点分别在l 1、l 2、l 3上，则△ABC 的边长是 （ ）（A ）32 （B ）364（C ）4173 （D ）3212二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
三角函数、平面向量单元测试题
Ａ２ Ｂ Ｃ一 Ｄ一 ． ． 丢 ．３ ．
５ 若 １ — １ １ — ２， ａ ｂ， ｃ ａ。 ． ａ１ ， ｂ１ ｃ ＋ 且 上 则
向 量 ａ与 ｂ的 夹 角 为 （
Ａ． ０ ３ 。 Ｂ． 。 ６０
ｃ Ｏ，（ｎ １， （， ・ △ Ａ ｏ ） ｓＯ ） Ｅ ｏ 则当 ｏ Ｂ的面 ｓ Ｂ ｉ・ Ｏ 号］
ｃ．一 ２
Ｄ． ，
② 在 △ ＡＢＣ 中 ， ｃ 一 ９ 。 则 ｌＡＣ 若 Ｏ， ｌ ＋ ｌＣＢ ｌ 一 ｌＡＢ ｌ ； ｌ 。 Ｉ ｌ ｌ
１ ． 知 函 数 ／（ ） ａ ｉ．— ｂ ｏ ｘ（ ｂ为 １已 一 ｓｎｒ ； ｃ ｓ “、
③ 在 Ｚ ＡＢＣ 中 ， ｌ ＡＣ ｉ＋ ｌ ＣＢ ｌ＞ ￣ ｌ ｌ ｌ Ｊ
后 的 图 象 如 图 ２所 示 ， 则 新 图象 所 对 应 函 数 的 解
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常数， ，∈Ｒ 在 一詈处取得最小值， ｎ ） ≠０ 则
其 中 真 命 题 的个 数 为 （
） ．
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函 ，竿一 ） （ ） 数 一 （ 是 ．
Ａ． 函 数 且 它 的 图 象 关 于 点 （ ， ） 称 偶 丌０ 对
积 最 大 时 ，一 （ 日 ） ，
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Ｃ．１ ０ ２ 。
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Ｄ ．１ ０ ５ 。
６ 将 函 数 — ｓ ￣ｘ ． ｉ ｒ （ ＞ ０ 的 图 象 按 向 量 ａ ）
1.三角函数与平面向量3教师版
三角函数与平面向量3一、选择、填空题1、已知向量a=(x+z,3),b=(2,y-z)，且a ⊥ b.若x,y 满足不等式1x y +≤，则z 的取值范围为（ ）A..[-2，2]B.[-2，3]C.[-3，2]D.[-3，3]2、已知,0||2||≠=b a 且关于x 的方程0||2=⋅++b a x a x 有实根, 则a 与b 的夹角的取值范围是( B )A ．]6,0[πB ．],3[ππC ．]32,3[ππD ．],6[ππ3、设，a b 是非零向量，若函数()()()f x x x =+- a b a b 的图象是一条直线，则必有（ A ） A ．⊥a bB ．∥a bC ．||||=a bD ．||||≠a b4、函数2()sin cos f x x x x =在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是( )A.1C.32【答案】C【解析】由1cos 21()2sin(2)2226x f x x x π-=+=+-, 52,42366x x πππππ≤≤⇒≤-≤max 13()1.22f x ∴=+=故选C.5、 (hn10)在Rt ABC ∆中，90C ∠=，4AC =，则AB AC 等于（ ）A ．16-B ．8-C ．8D ．166、(hn10)在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ．若120C ∠=，c =，则（ ）A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a =bD ．a 与b 的大小关系不能确定7、设D 、E 、F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点，且2,DC BD = 2,CE EA =2,AF FB =则AD BE CF ++ 与BC ( )A.反向平行B.同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直【答案】A【解析】由定比分点的向量式得:212,1233AC AB AD AC AB +==++12,33BE BC BA =+ 12,33CF CA CB =+以上三式相加得1,3AD BE CF BC ++=-所以选A.8、(hn09)对于非零向量,,a b“0a b += ”是“//a b ”的【 A 】A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件C ．充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件9、(hn09)将函数sin y x =的图象向左．．平移(02)ϕϕπ≤<个单位后，得到函数sin()6y x π=-的图象，则ϕ等于【 D 】A ．6πB ．56π C. 76π D.116π10、(hn09)若(0,)2x π∈，则2tan tan()2x x π+-的最小值为11、若)0)(4sin()4sin()(≠-++=ab x b x a x f ππ是偶函数, 则有序实数对),(b a 可以是____(1,1)-______.(注: 写出你认为正确的一组数字即可)12、如图2, AB OM //, 点P 在由射线OM , 线段OB 及AB 的延长线围成的区域内(不含边界)运动, 且y x +=,则x 的取值范围是___(,0)-∞_______; 当21-=x 时, y 的取值范围是___13(,)22_______.13、在ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若1a =，b=，c =，则B =5π6． 14、在边长为1的正三角形ABC 中, 设2,3,BC BD CA CE == 则3,AD BE CE ∙==_______二、解答题15. 如图3, D 是直角ABC ∆斜边BC 上一点,βα=∠=∠=ABC CAD AD AB ,,记.(Ⅰ)证明: 02cos sin =+βα; (Ⅱ)若DC AC 3=,求β的值.图3CDBA图2O ABPM16.（本小题满分12分）如图3,D 是直角△ABC 斜边BC 上一点,AB=AD,记∠CAD=α,∠ABC=β. (1)．证明 sin cos 20αβ+=;（2）．若求β的值.解：(1)．如图3，(2)2,sin sin(2)cos 2222πππαπββαββ=--=-∴=-=- ，即sin cos 20αβ+=．（2）．在ABC ∆中，由正弦定理得,sin sin sin()sin DC AC DC βααπβα=⇒=∴=- 由(1)得sin cos2αβ=-，2sin 22sin ),βββ∴==-即2sin 0.sin sin ββββ-===解得．0,s i ,.23ππβββ<<∴=⇒= 17．（本小题满分12分）已知函数2π()cos 12f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，1()1sin 22g x x =+．（I ）设0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，求0()g x 的值． （II ）求函数()()()h x f x g x =+的单调递增区间．18．解：（I ）由题设知1π()[1cos(2)]26f x x =++．因为0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，所以0π26x +πk =， 即0 π2π6x k =-（k ∈Z ）． 所以0011π()1sin 21sin(π)226g x x k =+=+-．当k 为偶数时，01π13()1sin 12644g x ⎛⎫=+-=-= ⎪⎝⎭，BD CαβA图3当k 为奇数时，01π15()1sin 12644g x =+=+=．（II ）1π1()()()1cos 21sin 2262h x f x g x x x ⎡⎤⎛⎫=+=++++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1π3113cos 2sin 2cos2sin 22622222x x x x ⎛⎫⎡⎤⎛⎫=+++=++ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭ 1π3sin 2232x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭． 当πππ2π22π232k x k -++≤≤，即5ππππ1212k x k -+≤≤（k ∈Z ）时，函数1π3()sin 2232h x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭是增函数，故函数()h x 的单调递增区间是5ππππ1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，（k ∈Z ）．19．(hn09)（本小题满分12分）在ABC ∆中，已知223AB AC AC BC ⋅=⋅= ，求角A ，B ，C 的大小解： 设,,BC a AC b AB c ===由2AB AC AC ⋅=⋅ 得2cos bc A =，所以cos 2A =又(0,),A π∈因此6A π=23AC BC ⋅= 得2bc =，于是2sin sin 4C B A ⋅==所以5sin sin()64C C π⋅-=，1sin (cos sin )224C C C ⋅+=，因此22sin cos 220C C C C C ⋅+==，既sin(2)03C π-=.由6A π=知506C π<<，所以42333C πππ-<-<，从而20,3C π-=或2,3C ππ-=，既,6C π=或2,3C π= 故2,,,636A B C πππ===或2,,663A B C πππ===。
三角函数与平面向量测试卷
分 。 在 每 小题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 有 一 项 是 符 合 题 只 目要 求 的 ）
（ ｓ （ｔ 口 Ｃ）ｉ Ｏ＋ ）＞ｓ （ －３ ｎ ｉ ／ ｎ ） （ ） 。 （ ＣＳ ＋ ＞ＣＳ 一 ） Ｄ）Ｏ （ 卢） Ｏ（ 卢
１记 ＣＳ 一８ 。 ， 么 ｔ ｌ０ ： ． Ｏ （ ０ ）＝ 那 ａ ０。 ｎ
（ ）盯 Ａ８ （ ４； Ｂ） １ （ ）＂ Ｃ ２ｒ ｒ （ １ Ｄ）『 （ ｎ Ａ） （ ） Ｂｂ （ ｃ Ｃ） （ ０ Ｄ）
（ ） 。
ｌ． 函数 ， ）＝ 。 ｘ ３ ０将 （ ＋３ ＋ ｘ的图像按 向量 口平 移后得 到函数 ｇ ｘ 的图像 ， 函数 ｇ ） （） 若 （ 满足 ｇ ）＋ （
一
过 的Ａ 弧 的 长 为 ｌ弦 Ａ Ｐ ， Ｐ的 长 为 ｄ ，
则 函数 ｄ＝ （） ， １ 的图像大致 为
（
ｄ
２
（） ｓ Ｂ的值 ； Ｉ求 ｉ ｎ （Ｉ 若 ｃ ａ＝ 而 ， Ａ Ｂ Ｉ） — ５一 求 Ａ Ｃ的面积。
１． 本 小 题 满 分 １ ） ８（ ２分
１． 图 ， 点 是 单 位 圆 上 １如 设
的一 定 点 ， 点 Ｐ从 Ａ 出 发 在 圆 上 动
Ｙ、
１ ． 本小题满分 １ ） ７（ ２分 在 ＡＢ Ａ Ｃ中 ， Ａ、 Ｃ所对 的边分别 为 ａ ｂ ｃ且 角 Ｂ、 、、 ，
ｃ ＝ ， ｉＡ ＝ 鱼 ｓｎ ５。
按逆 时针方 向转一 周 ， Ｐ所旋 转 点
得一游船位于 岛北偏东 １ 。 向 ５方 上， 且俯角 为 ３ 。 Ｃ处 ， ０的 一分 钟后测 得该游船 位于 岛 北偏西 ７ 。 向上 ， 俯角 ４ 。 Ｄ处 。（ ５方 且 ５的 假设 游船匀
高考立体几何、数列、三角函数、不等式、平面向量综合经典试题练习(含答案)
cos
x
0
2
的部分图象如图所示，f
x0
f
0 ，
则正确的选项是（ ）
试卷第 2页，总 9页
A．
6
,
x0
1
C．
3
,
x0
1
B．
6
,
x0
4 3
D．
3
,
x0
2 3
20．已知 | a | 1,| b | 2, a 与 b 的夹角为 600,若 a kb 与 b 垂直,则 k 的值为（ ）
B． 2 2
C． 3 2
D．1
22 ． ． 设 G 是 ABC 的 重 心 ， 且
(56 sin A)GA (40 sin B)GB (35 sin C)GC 0 ，则角 B 的大小为
（）
A．45° B．60° C．30° D．1 5°
23．在△ABC 中，a=2，b=2 ，B=45°，则 A 等于（ ）
CC1 c 则A1B
(A) a+b-c
(B) a–b+c
(C)-a+b+c．
(D)-a+b-c
18．函数 f x sin 2 x
3
sin
x
cos
x
在区间
4
,
2
上的最大值为（
）
（A） 3 2
（B）1 3
（C）1
（D） 1 3 2
19．已知函数
专题二 三角函数与平面向量的综合应用
cos 2x＋1 1 1 解 (1)f(x)＝ sin 2xsin φ＋ cos φ－ cos φ 2 2 2 1 1 ＝ (sin 2xsin φ＋cos 2xcos φ)＝ cos(2x－φ)． 2 2 π 1 1 1 π π 又∵f(x)过点 ， ，∴ ＝ cos －φ，cos( －φ)＝1. 2 2 3 3 6 2 π 由 0<φ<π 知 φ＝ . 3 1 π (2)由(1)知 f(x)＝ cos2x－ .将 f(x)图象上所有点的横坐标缩 2 3 1 1 π 短到原来的 ，纵坐标不变，得到 g(x)＝ cos(4x－ )． 2 2 3 π π π 2π ∵0≤x≤ ，∴－ ≤4x－ ≤ . 4 3 3 3 π π 1 当 4x－ ＝0，即 x＝ 时，g(x)有最大值 ； 3 12 2 π 2π π 1 当 4x－ ＝ ，即 x＝ 时，g(x)有最小值－ . 3 3 4 4
审题视角 (1)利用向量的垂直关系，将向量间的 关系转化成三角函数式，化简求值．(2)根据向量 模的定义，将求模问题转化为求三角函数最值的 问题．(3)转化成证明与向量平行等价的三角函 数式．
题型三
平面向量与三角函数 x x 2x 例 3 已知向量 m ＝ 3sin ，1，n＝cos ，cos . 4 4 4 2π (1)若 m · n＝1，求 cos －x的值； 3 (2)记 f(x)＝m · n，在△ABC 中，角 A，B，C 的对边 分别是 a，b，c，且满足(2a－c)cos B＝bcos C，求 函数 f(A)的取值范围．
答题模板 8．平面向量与三角函数综合问题 试题：(12 分)设向量 a＝(4cos α，sin α)，b＝(sin β， 4cos β)，c＝(cos β，－4sin β)． (1)若 a 与 b－2c 垂直，求 tan(α＋β)的值； (2)求|b＋c|的最大值； (3)若 tan αtan β＝16，求证：a∥b.
三角函数与平面向量测试卷
＜丌单 后得 数 ＝ｉ 一 ） 像则 等 ２）位 ，函 ｙ ｓ 詈 图 ， ｎ （
（‘ Ａ） ６ （ ） Ｂ ６ 一 （ ６ Ｃ） 、 （ ６ ～ Ｄ）
（ 直角三角形 Ａ）
（ 等边三角形 ｃ）
【中 之 ２ ９１ 半 刊 筠 高 生 友 ０ ．． 月 】 ０１上
能力铷差 ｏｉｙｇ＠ ３ｍ 勇 ｈ ｇ ｉ翔舯 Ｅ ｕｎｏｘ １ ａ 周 ６ 责 编
ｃｓ５ ）， ｌ ｏｌ。 则 ａ＋ｂＩ 的值为
。
—
—
（ 詈 （ Ｔ （ ５ Ｄ了 Ａ ） Ｂ 丌 ｃ 仃（ ２ 丌
９．
Ｙ
１． ５ 函数 Ｙ＝２ｏ ＋ｓ ２ ｃｓ ｉ ｘ的最小值是— ｎ １． ６ 已知 点 ０在 ＡＡ Ｃ内部 ， Ｂ 且有
—
。 ＋
＋２
（ ） 。
２ 是第一 象限角 ，ａ ＝ ． ｔｎ ３ 则 ｓ ＝ ｉ ｎ
，
是
（
） 。
（ （ 一 ｕ一，） Ａ 一 ２ （ ÷ ） ， ） ２
（ ）（１ ＋。 ） Ｂ 。
，
（ ）４ Ａ
（ ）３ Ｂ 了
（ ）一了 ｃ ４
（ ）一了 Ｄ ３
３ ｓ ７ 。一ｓ １ 。 （ｏｌ 。＋ｃ ｓ５ ）的值是 ．（ ｉ ５ ｎ ｉ ５ ） ｃｓ５ ｎ ｏ７ 。
有 詈＋） 詈一） 等 （ ） ＝ ， 詈） 于 。 则
（ Ａ）一３ （ ） Ｂ ０ （ ）３ Ｃ （ Ｄ）±３
１ ｉ６ ０ ．ｓ ０ 。的值是 （ ｎ （ １ Ａ） （ ）一 Ｂ １
） 。 （） ｃ （ 。）一， － ３
＝
６ ．已知ｆ 为互 相垂 直 的单位 向量 ， 与， ａ＝ｉ ｊ 一２ ， ｉ ＿ 且ｎ 的夹角为 锐角 ， ＋Ａ， ， 与西 则实数 Ａ的取值 范围
高考中的三角函数与平面向量问题
高考中的三角函数与平面向量问题
内容索引
考点自测 题型分类 深度剖析 课时作业
考点自测
1.(2016·全国Ⅱ)若将函数 y＝2sin 2x 的图象向左平移1π2个单位长度，则平移
后图象的对称轴为
A.x＝k2π－π6(k∈Z)
√B.x＝k2π＋π6(k∈Z)
C.x＝k2π－1π2(k∈Z)
123456
解答
解答
2.(2016·北京)在△ABC 中，a2＋c2＝b2＋ 2ac.
(1)求 B 的大小；
解 由 a2＋c2＝b2＋ 2ac，得 a2＋c2－b2＝ 2ac.
由余弦定理，得
cos
a2＋c2－b2 B＝ 2ac ＝
22aacc＝
2 2.
又 0＜B＜π，所以 B＝π4.
123456
解答
(2)求 2cos A＋cos C 的最大值.
解答
(2)若bcos C＋ccos B＝1，△ABC的周长为5，求b的长. 解 由余弦定理可知，
a2＋b2－c2 a2＋c2－b2 bcos C＋ccos B＝b· 2ab ＋c· 2ac ＝22aa2＝a＝1， 由(1)知ca＝ssiinn CA＝2，则 c＝2， 由周长a＋b＋c＝5，得b＝2.
D.x＝k2π＋1π2(k∈Z)
12345
解析 答案
2.(2016·全国Ⅲ)在△ABC 中，B＝π4，BC 边上的高等于13BC，则 cos A 等于
A.3
10 10
B.
10 10
√C.－
10 10
D.－3
10 10
解析 设 BC 边上的高 AD 交 BC 于点 D，由题意 B＝π4，可知 BD＝13BC，
高一年级第二学期三角函数,平面向量月考试题及答案
2011-2012学年度西光中学高一必修4月考试题数 学一．选择题（每小题3分，共30分） 1．已知0600Sin 等于（ ）（A ）23 （B ）21 （C ）23- （D ）21- 2．角α的终边过P （3，-4），则Sin α等于（ ）（A ）35 （B ）45 （C ）35- （D ）45- 3．某扇形的半径为1cm ，它的弧长为2cm ，那么该扇形圆心角为（ ）（A ）2° （B ）2 弧度 （C ）4° （D ）4弧度4．已知平面向量a =（3，1），b =（x ，-3），且//a b ，则x 等于（ ） （A ）3-（B ）6-（C ）9-（D ）12-5．在函数22(2)(2)33y Sin x y Sinx y Sin x y Cos x ππ===+=+，，，，tan(2)2y x π=+中，最小正周期为π的函数的个数是（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）1 （D ）2 6．对于向量a 、b 、c 和实数λ，下列命题中正确的是（ ）（A ）若0a b ⋅=，则0a =或0b = （B ）若0a λ=，则0λ=或0a =（C ）若()()22ab =，则a b =或；a b =- （D ）若a b ac ⋅=⋅，则b c =7．平面四边形ABCD 满足AB CD 0+=，()BA AD AC 0+⋅=，则该四边形一定是（A ）直角梯形 （B ）矩形 （C ）菱形 （D ）正方形 8．设()2y Sin x ϕ=+()π≤ϕ≤0是R 上的偶函数，则ϕ的值是（A ）0 （B ）4π （C ）2π（D ）π 9．平面上三点A , B , C 的坐标分别为（2,1），（-3,2），（-1,3）若A B C D 是平行四边形, D 的坐标是（ ）.（A ）)3,2(- （B ）)3,2(- （C ）)3,2(-- （D ）(4,2)10．已知函数sin()y A x ωϕ=+在同一周期内，当3π=x 时有最大值2，当x=0时有最小值-2，那么函数的解析式为（ ）（A ）x y 23sin 2= （B ）)23sin(2π+=x y （C ）)23sin(2π-=x y （D ）x y 3sin 21=二．填空题（每小题3分，共15分）11．函数x x f cos 21)(-=的定义域是___________________________。
三角函数、平面向量专题试题集
三角函数、平面向量专题试题集三角函数.平面向量专题试题集1. 函数的最小正周期为 ( A )A． B． C．8D．42. 已知函数的图象的一条对称轴方程为直线_=1,若将函数的图象向右平移b个单位后得到y=sin_的图象,则满足条件的b的值一定为( C )A．B． C．D．3. 在△ABC,为角A.B.C所对的三条边.(1)求时,t的取值范围;(2)化简(用(1)中t表示).(1)∵,∴△ABC为直角三角形,∴∠A+∠B= …………2分又…………4分∵ ∴, ∴…………6分(2)∵ ∴…………9分…………12分4. 已知向量a和b的夹角为60°,a = 3,b = 4,则(2a –b)·a等于 ( B )(A)15 (B)12 (C)6 (D)35. 已知．(Ⅰ)求cos的值;(Ⅱ)求满足sin(– _ ) – sin (+ _) + 2cos=的锐角_．解:(Ⅰ)因为,所以．(2分)所以=, (4分)由,所以．(6分)(Ⅱ)因为sin() – sin() + 2cos,所以, (8分)所以sin_=, (10分)因为_为锐角,所以．(12分)6. 下列函数中,最小正周期为,且图象关于直线对称的是( B )A． B．C． D．7. 若是纯虚数,则的值为 ( B )A．B．C．D．8. 已知向量上的一点(O为坐标原点),那么的最小值是( B )A．－16 B．－8 C．0 D．49. _年8月,在北京召开的国际数学家大会会标如图所示,它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形,若直角三角形中较小的锐角为,大正方形的面积是1,小正方形的面积是的值等于( D )A．1 B．C．D．－10. 为锐角,为钝角,=.11. 已知a=1,b=,(1)若a//b,求a·b;(2)若a,b的夹角为135°,求a+b.解(1),①若,同向,则……3分②若,异向,则……3分(2)的夹角为135°,……2分……2分……2分12.已知函数(1)将的形式,并求其图象对称中心的横坐标;(2)如果△ABC的三边a.b.c成等比数列,且边b所对的角为_,试求_的范围及此时函数f(_)的值域.解:(1) ……3分由即对称中心的横坐标为……3分(2)由已知.……3分的值域为……2分综上所述, ……1分13. 设平面上的动向量a=(s,t),b=(－1,t2－k)其中s,t为不同时为0的两个实数,实数,满足a⊥b,(1)求函数关系式(2)若函数上是单调增函数,求证:;(3)对上述,存在正项数列,其中通项公式并证明.(1)解: ……3分(2)证明:成立, ……2分故; ……1分(3)故因为……4分事实上,……4分方法1:方法2:14. 如果函数的最小正周期是T,且当时取得最大值,那么( A )A． B． C． D．15. 在中,已知,那么一定是( B )A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．正三角形16. 已知,那么的值为,的值为.17. 若 , 且()⊥ ,则与的夹角是 ( B )(A)(B)(C)(D)18. 把y = sin_的图象向左平移个单位,得到函数y = sin的图象;再把所得图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍,而纵坐标保持不变,得到函数的图象.19. 已知直线:_ – 2y + 3 = 0 ,那么直线的方向向量为(2,1)或等(注:只需写出一个正确答案即可);过点(1,1),并且的方向向量2与1满足1·= 0,则的方程为2_ + y – 3 = 0.20. 已知:tan= 2,求:(Ⅰ)tan的值;(Ⅱ)sin2的值．解:(Ⅰ)== 2,∴tan． (5分)(Ⅱ)解法一:sin2+sin2+ cos2= sin2+ sin2+ cos2– sin2= 2sincos+ cos2 (8分)= (11分)=．(13分)(Ⅱ)解法二:sin2+ sin2+ cos2= sin2+ sin2+ cos2– sin2= 2sincos+ cos2 (1)(8分)∵tan=,∴为第一象限或第三象限角．当为第一象限角时,sin=,cos=,代入(1)得2sincos+ cos2=; (10分)当为第三象限角时,sin=,cos=,代入(1)得2sincos+ cos2=． (12分)综上所述:sin2+ sin2+ cos2=．(13分)21. 已知常数a _gt; 0,向量,,经过定点A (0,–a )以+为方向向量的直线与经过定点B (0,a)以+ 2为方向向量的直线相交于点P,其中∈R．(Ⅰ)求点P的轨迹C的方程;(Ⅱ)若,过E (0,1)的直线l交曲线C于M.N两点,求的取值范围．解:(Ⅰ)设P点的坐标为(_,y),则,,又,故,．由题知向量与向量平行,故(y + a) = a_．又向量与向量平行,故y – a = 2．两方程联立消去参数,得点P (_,y)的轨迹方程是(y + a)(y – a)= 2a2_2,即y2 – a2 = 2a2_2．(6分)(Ⅱ)∵,故点P的轨迹方程为2y2 – 2_2= 1,此时点E (0,1)为双曲线的焦点．①若直线l的斜率不存在,其方程为_ = 0,l与双曲线交于.,此时． (8分)②若直线l的斜率存在,设其方程为y = k_ + 1,代入2y2 – 2_2= 1化简得2(k2 – 1) _2 + 4k_ + 1 = 0．∴直线l与双曲线交于两点,∴△=(4k)2 – 8 (k2 – 1) _gt; 0且k2 –1≠0．解得k≠±1．设两交点为M (_1,y1).N (_2,y2),则_1 + _2 =,_1_2 =． (10分)此时= _1_2 + k2_1_2= (k2 + 1) _1_2 =．当–1 _lt; k _lt; 1时,k2 – 1 _lt; 0,故≤;当k _gt; 1或k _lt; – 1时,k2 – 1 _gt; 0,故．综上所述,的取值范围是∪． (13分)22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32. 已知向量＝(8, _),＝(_,1),其中_＞0,若(－2)∥(2＋),则_的值为A.4B.8C.0D.2解:－2＝(8－2_,_－2),2＋＝(16＋_,_＋1)由(－2)∥(2＋),得(8－2_,_－2)＝λ(16＋_,_＋1)即_THORN; _＝4.选A33. 同时具有以下性质:〝①最小正周期实π;②图象关于直线_＝对称;③在[－]上是增函数〞的一个函数是A.y＝sin()B.y＝cos(2_＋)C.y＝sin(2_－)D.y＝cos(2_－)解:由性质①排除A,由性质②排除D,由性质③排除B,选C.34. 在△ABC中,已知sin2Asin2B＝,tanAtanB＝3,求角C.解:∵sin2Asin2B＝,∴sinAsinBcosAcosB＝……①……3’由A.B∈(0,π),知sinAsinB＞0,∴cosAcosB＞0又tanAtanB＝3,即＝3……②……6’由①②得:∴c osC＝－cos(A＋B)＝－cosAcosB＋sinAsinB＝而C∈(0,π),∴C＝.35. 如图,已知点P(3,0),点A.B分别在_轴负半轴和y轴上,且＝0,,当点B在y轴上移动时,记点C的轨迹为E.(1)求曲线E的方程;(2)已知向量＝(1,0),＝(0,1),过点Q(1,0)且以向量＋k(k∈R)为方向向量的直线l交曲线E于不同的两点M.N,若D(－1,0),且＞0,求k的取值范围.解:(1)设A(a,0)(a＜0),B(0,b),C(_,y)则＝(_－a,y),＝(a,－b),＝(3,－b),∵＝0,,∴……3’消去a.b得:y2＝－4_∵a＜0,∴_＝3a＜0故曲线E的方程为y2＝－4_(_＜0)……5’(2)设R(_,y)为直线l上一点,由条件知)即(_－1,y)＝λ(1,k)∴,消去λ得l的方程为:y＝k(_－1) ……7’由_THORN;k2_2－2(k2－2)_＋k2＝0 ……(_)∵直线l交曲线E与不同的两点M.N∴△＞0 _THORN; －1＜k＜1……①……9’设M(_1,y1),N(_2,y2),则＝(_1＋1,y1),＝(_2＋1,y2)∵M.N在直线y＝k(_－1)上,∴y1＝k(_1－1),y2＝k(_2－1)又由(_),有_1＋_2＝,_1_2＝2∴＝(_1＋1)(_2＋1)＋y1y2＝(_1＋1)(_2＋1)＋k2(_1－1)(_2－1)＝(k2＋1)_1_2＋(1－k2)(_1＋_2)＋k2＋1＝由条件知:＞0 _THORN;k2＞……②……12’由①②知:－1＜k＜－或＜k＜1.……13’36. 设集合,集合,则( A )A．中有3个元素 B．中有1个元素C．中有2个元素 D．37. 在△中,〝是〝〞的( C )A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件38. 函数在下面哪个区间内是增函数( C )A．B．C． D．39. 函数的最小正周期为．40. 在三角形ABC中,设,,点在线段上,且,则用表示为．41. 将圆按向量平移得到圆,则的坐标为(－1,2);将抛物线按的相反向量平移后的曲线方程为．42. 已知向量,,,其中．(Ⅰ)当时,求值的集合;(Ⅱ)求的最大值．解:(Ⅰ)由,得,即．…………4分则,得．…………………………………5分∴为所求．…………………………………6分(Ⅱ),……………10分所以有最大值为3． (12)分。
三角函数、平面向量、数列强化训练
ʏ河南省许昌高级中学 孙英环一、选择题1.设函数f (x )=c o s x +b s i n x (b 为常数),则 b =0 是 f (x )为偶函数 的( )㊂A.充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .既不充分也不必要条件D .充分必要条件2.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 3+a 4=5,则S 6=( )㊂A.15 B .20 C .25 D .303.已知等比数列a n的各项均为正数,且a 3=9,则l o g 3a 1+l o g 3a 2+l o g 3a 3+l o g 3a 4+l o g 3a 5=()㊂A.52 B .53C .10D .154.已知t a n θ=3,则s i n 2θ+2c o s 2θ=( )㊂A.45 B .65 C .35 D .755.已知向量a =3,1 ,b =3,-1,则a 在b 上的投影向量为( )㊂A.3,1 B .3,-1 C .32,12D .32,-126.在әA B C 中,若A B ң2-B C ң2=A B ң㊃A C ң,则әABC 是( )㊂A.等腰三角形 B .直角三角形C .等腰直角三角形 D .等边三角形7.设等比数列{a n }的公比为q ,其前n 项和为S n ,前n 项积为T n ,并满足条件a 1>1,且a 2020a 2021>1,(a 2020-1)(a 2021-1)<0,则下列结论错误的是( )㊂A.S 2020<S 2021B .a 2020a 2022-1<0C .数列{T n }无最大值D .T 2020是数列{T n }中的最大值8.函数f (x )=s i n (πx )x2的图像大致为图1中的( )㊂图19.将函数y =2s i n x s i n x +π4的图像向右平移3π8个单位长度,再向下平移12个单位长度,所得图像对应的函数为g (x ),则g (x )在区间π6,π3上的最大值为( )㊂A.-64 B .23 C .32 D .6410.在锐角әA B C 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若b 2=a (a +c ),则角A 的取值范围为( )㊂A.0,π4 B .0,π6 C .π6,π4 D .π4,π311.已知函数y =f (x +1)是偶函数且在(-ɕ,0)上递减,若α,β是锐角三角形的两个锐角,则下面关系式正确的是( )㊂A.f (1)>f (s i n α)B .f (1+s i n α)>f (1+c o s β)C .f (1+s i n α)<f (1+c o s β)D .f (1+s i n α)<f (1-c o s β)12.已知O 是әA B C 内的一点,若әB O C ,әA O C ,әA O B 的面积分别记为S 1,S 2,S 3,则S 1㊃O A ң+S 2㊃O B ң+S 3㊃O C ң=0㊂这个定理对应的图形与 奔驰 轿车的24 演练篇 核心考点A B 卷 高考数学 2022年10月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.l o go 很相似,故形象地称其为 奔驰定理 ㊂如图2,已知O 是әA B C 的垂心,且O A ң+2O B ң+3O C ң=0,则t a n øB A C ︰t a n øA B C ︰t a n øA C B =( )㊂A.1︰2︰3 B .1︰2︰4C .2︰3︰4D .2︰3︰6图2二㊁填空题13.在әA B C 中,若M 是线段B C 上靠近B 的三等分点,N 是线段A M 的中点,则B N ң=㊂14.已知函数f (x )=a t a n 3x +b s i n x +3,若f (m )=1,则f (-m )=㊂15.给出下列命题:①函数f (x )=4c o s 2x +π3的一个对称中心为-5π12,0;②若α,β为第一象限角,且α>β,则t a n α>t a n β;③若s i n 2A =s i n 2B ,则әA B C 是等腰三角形;④函数y =s i n 2x 的图像向左平移π4个单位长度,得到y =s i n 2x +π4的图像㊂其中正确命题的序号是(把你认为正确的序号都填上)㊂16.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,数列{b n }的前n 项和为T n ,满足a 1=1,3S n =(n +m )a n (m ɪR ),且a n b n =15㊂若对任意的n ɪN *,都有λ>T n 成立,则实数λ的最小值为㊂三㊁解答题17.已知әA B C 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且b s i n A =a c o s B -π6㊂(1)求角B 的大小;(2)若a ,b ,c 依次成等比数列,求1t a n A+1t a n C的值㊂18.已知әA B C 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且a =2,b =5,B =π4㊂(1)求c ;(2)若点D 在边A B 上,且әA D C 的面积为1,求C D 的长㊂19.S n 为等比数列{a n }的前n 项和,已知a 4=9,S 3=13,且公比q >0㊂(1)求a n 及S n ;(2)是否存在常数λ,使得数列{S n +λ}是等比数列若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由㊂20.记数列{a n }的前n 项和为S n ,且2n ,a n ,2S n -a n 成等差数列(n ɪN *)㊂(1)证明:数列{a n +1}是等比数列,并求{a n }的通项公式;(2)记b n =a n +1a n a n +1,数列{b n }的前n 项和为T n ,求T n ㊂21.数列{a n }满足a 1+2a 2+3a 3+ +n a n =(n -1)㊃2n +1+2(n ȡ1)㊂(1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =2n +1a n,S n 为数列{b n }的前n 项和,求S n ㊂22.在әA B C 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知向量m =(a ,c ),n =(c o s C ,c o s A ),且满足m ㊃n =2b c o s A ㊂(1)求A ;(2)若a =3,当c o s 2B -4c o s A s i n B 取最小值时,求әA B C 的周长;(3)求s i n B s i n C 的取值范围㊂23.已知f (x )=x 2-3x ,数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n =f (n )㊂(1)求数列{a n }的通项公式;(2)若数列{b n }满足b n =a n4ˑ3n,数列{b n }的前n 项和为T n ,且对于任意的n ɪN *,总存在x ɪ[2,4],使得T n >m f (x )成立,求实数m 的取值范围㊂24.已知数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ,且对任意的n ɪN *,都有a n +1-a n =2(b n +1-b n )成立㊂(1)若A n =n 2,b 1=2,求B n ;(2)若对任意的n ɪN *,都有a n =B n 及b 2a 1a 2+b 3a 2a 3+b 4a 3a 4+ +b n +1a n a n +1<13成立,求正实数b 1的取值范围㊂(责任编辑 王福华)34演练篇 核心考点A B 卷 高考数学 2022年10月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
第一讲 三角函数与平面向量综合考点
地址：凤凰路中段468号鑫苑小区2栋2单元2号（柏杨小学旁）第一讲 三角函数与平面向量综合考点题型一：结合向量的数量积,考查三角函数的化简或求值 【例1】（2010）已知04πα<<，β为()cos(2)8f x x π=+的最小正周期，(tan(),1),(cos ,2),4a b a b m βαα=+-=⋅=，求22cos sin 2()cos sin ααβαα++-的值．题型二：结合向量的夹角公式，考查三角函数中的求角问题【例2】 （浙江卷）如图，函数2sin(),y x x R πϕ=+∈（其中02πϕ≤≤）的图像与y 轴交于点（0，1）。
（Ⅰ）求ϕ的值；（Ⅱ）设P 是图像上的最高点，M 、N 是图像与x 轴的交点，求PM 与PN 的夹角。
地址：凤凰路中段468号鑫苑小区2栋2单元2号（柏杨小学旁）题型三：结合三角形中的向量知识考查三角形的边长或角的运算【例3】（山东卷）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，tan 37C =． （1）求cos C ；题型四：结合三角函数的有界性，考查三角函数的最值与向量运算【例4】（2007年高考陕西卷）()f x a b =⋅，其中向量(,cos 2)a m x =，(1sin 2,1)b x =+，x R ∈，且函数()y f x =的图象经过点(,2)4π．（Ⅰ）求实数m 的值；（Ⅱ）求函数()y f x =的最小值及此时x 值的集合。
题型五：结合向量平移问题，考查三角函数解析式的求法【例5】（2007年高考湖北卷）将π2cos 36x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象按向量,24π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭a 平移，则平移后所得图象的解析式为（ ）Ａ．2cos 234x y π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ Ｂ．π2cos 234x y ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭Ｃ．π2cos 2312x y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ Ｄ．π2cos 2312x y ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭地址：凤凰路中段468号鑫苑小区2栋2单元2号（柏杨小学旁）题型六：结合向量的坐标运算，考查与三角不等式相关的问题【例6】（2006年高考湖北卷）设向量(sin ,cos ),(cos ,cos ),a x x b x x x R ==∈，函数()()f x a a b =⋅+.（Ⅰ）求函数()f x 的最大值与最小正周期；（Ⅱ）求使不等式3()2f x ≥成立的x 的取值集.【跟踪训练】1．设函数()()f x a b c =⋅+，其中向量(sin ,cos ),(sin ,3cos )a x x b x x =-=-，(cos ,sin ),c x x x R =-∈．（Ⅰ）求函数()x f 的最大值和最小正周期；（Ⅱ）将函数()x f y =的图像按向量d 平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的d ．地址：凤凰路中段468号鑫苑小区2栋2单元2号（柏杨小学旁）2．已知向量(sin ,1),(1,cos ),22a b ππθθθ==-<<．（Ⅰ）若a b ⊥，求θ；（Ⅱ）求a b +的最大值．3.(北京理） 已知函数12sin(2)4()cos x f x xπ--=. （Ⅰ）求()f x 的定义域；（Ⅱ）设α的第四象限的角，且tan α43=-，求()f α的值.地址：凤凰路中段468号鑫苑小区2栋2单元2号（柏杨小学旁）4.（北京）已知函数f(x)=xxcos 2sin 1-(Ⅰ)求f(x)的定义域；(Ⅱ)设α是第四象限的角，且tan α=34-，求f(α)的值.5.（北京）已知函数2π()sin 3sin sin 2f x x x x ωωω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的取值范围．数学史人物：戈特弗里德·威廉·莱布尼茨莱布尼茨，一般指戈特弗里德·威廉·莱布尼茨弗里德·威廉·莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz ，1646年—1716年），德国哲学家、数学家，和牛顿先后独立发明了微积分。
平面向量常见题型与解题方法归纳(1)学生版
平面向量常见题型与解题方法归纳(1)学生版-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII平面向量常见题型与解题方法归纳（1）常见题型分类题型一：向量的有关概念与运算例1：已知a 是以点A (3,－1)为起点，且与向量b = (－3,4)平行的单位向量，则向量a 的终点坐标是 .例2：已知| a |=1,| b |=1，a 与b 的夹角为60°, x =2a －b ，y =3b －a ,则x 与y 的夹角的余弦是多少？题型二：向量共线与垂直条件的考查例1（1）,a b 为非零向量。
“a b ⊥”是“函数()()()f x xa b xb a =+⋅-为一次函数”的A 充分而不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件（2）已知O ，N ，P 在ABC ∆所在平面内，且,0OA OB OC NA NB NC ==++=，且PA PB PB PC PC PA •=•=•，则点O ，N ，P 依次是ABC ∆的A.重心 外心 垂心B.重心 外心 内心C.外心 重心 垂心D.外心 重心 内心 例2．已知平面向量a ＝(3，－1)，b ＝(21, 23).(1) 若存在实数k 和t ，便得x ＝a ＋(t 2－3)b , y＝－k a ＋t b ，且x ⊥y ，试求函数的关系式k ＝f(t)；(2) 根据(1)的结论，确定k ＝f(t)的单调区间.例3： 已知平面向量a ＝(3，－1)，b ＝(21，23)，若存在不为零的实数k 和角α，使向量c ＝a ＋(sin α－3)b , d ＝－k a ＋(sin α)b ,且c ⊥d ，试求实数k 的取值范围.例4：已知向量)1,2(),2,1(-==b a ，若正数k 和t 使得向量 b t a k y b t a x 1)1(2+-=++=与垂直，求k 的最小值.题型三：向量的坐标运算与三角函数的考查向量与三角函数结合，题目新颖而又精巧，既符合在知识的“交汇处”构题，又加强了对双基的考查. 例7．设函数f (x )＝a · b ，其中向量a ＝(2cos x , 1), b ＝(cos x ,3sin2x ), x ∈R.（1）若f(x )＝1－3且x ∈[－3π，3π]，求x ；（2）若函数y ＝2sin2x 的图象按向量c ＝(m , n) (m ﹤2π)平移后得到函数y ＝f(x )的图象，求实数m 、n 的值.例8：已知a =（cosα，sin α）,b =（cosβ,sinβ）(0<α<β<π)，（1）求证： a +b 与a -b 互相垂直； （2）若k a +b 与a -k b 的模大小相等(k ∈R 且k ≠0)，求β－α巩固练习1.函数cos(2)26y x π=+-的图象F 按向量a 平移到'F ,'F 的函数解析式为(),y f x =当()y f x =为奇函数时，向量a 可以等于.(,2)6A π-- .(,2)6B π- .(,2)6C π- .(,2)6D π 1. 120o . 2.给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动.若,OC xOA yOB =+其中,x y R ∈,则x y +的最大值是________.3给出下列命题① 非零向量a 、b 满足|a |=|b |=|a -b |，则a 与a +b 的夹角为30°；② ·＞0是、的夹角为锐角的充要条件；③ 将函数y =|x -1|的图象按向量=（-1，0）平移，得到的图像对应的函数为y =|x |； ④若（AC AB +）·（AC AB -）=0，则△ABC 为等腰三角形 以上命题正确的是 。
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三角函数与向量综合复习常考题型三角函数部分一、运用同角三角函数关系、诱导公式、和、差、倍、半等公式进行化简求值类。
1.已知α为第二象限角，sin cos αα+=，则cos 2α= . 2.若42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，sin 2θ，则sin θ= .3.若，，，，则 .4.已知向量33(cos,sin ),(cos ,sin ),[,]22222x x x x x ππ==-∈且a b 。
（1）若||+>a b ，求x 的取值范围；（2）函数()||f x =⋅++a b a b ，若对任意12,[,]2x x ππ∈，恒有12|()()|f x f x t -<,求t 的取值范围。
【习题1】 1.已知sin cos αα-=α∈(0，π)，则tan α= .2.若tan θ+1tan θ=4,则sin2θ= .3.sin 47sin17cos30cos17-= . 4.如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使1AE =，连接EC 、ED 则sin CED ∠=（ ） ABCD5.α为锐角，若4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则)122sin(π+a 的值为；若41-3sin =⎪⎭⎫⎝⎛απ，则⎪⎭⎫⎝⎛+απ23cos 等于. 02πα＜＜02πβ-＜＜1cos()43πα+=cos()42πβ-=cos()2βα+=6.已知a ∈(2π，π)，sin αtan2α=二、运用三角函数性质解题，通常考查正弦、余弦函数的单调性、周期性、对称轴及对称中心。
例1.已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减.则ω的取值范围是（）()A 15[,]24()B 13[,]24()C 1(0,]2()D (0,2]例2.已知ω>0，πϕ<<0，直线4π=x 和45π=x 是函数)(sin )(ϕω+=x x f 图像的两条相邻的对称轴，则=ϕ( )（A ）π4 （B ）π3 （C ）π2 （D ）3π4 例 3.函数1-1y x =的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于（ ） （A ）2 (B) 4 (C) 6 (D)8例4若,0),(cos ,sin ),0x x x ωωωω==->m n ，在函数()()f x t =⋅++m m n 的图象中，对称中心到对称轴的最小距离为4π，且当[0,]3x π∈时，()f x 的最大值为1。
（1）求函数()f x 的解析式；（2）若1()[0,]2f x x π=-∈，求实数x 的值。
【习题2】1.已知函数)62(sin 4π+=x y )670π≤≤x （的图像与一条与x 轴平行的直线有三个交点，其中横坐标分别为32,1,x x x )321x x x <<（，则=++3212x x x2.已知函数b a x b x a x f ,(cos -sin )(=为常数，),0R x a ∈≠的图像关于4π=x 对称，则函数)-43(x f y π=是（ ） （A ）偶函数且它的图象关于点)0,(π对称 （B ）偶函数且它的图象关于点)0,23(π对称 （C ）奇函数且它的图象关于点)0,23(π对称（D ）奇函数且它的图象关于点)0,(π对称 3.设点P 是函数x x f ωsin )(=的图象C 的一个对称中心，若点P 到图象C 的对称轴上的距离的最小值4π，则)(x f 的最小正周期是（ ）A ．2πB . π C.2π D . 4π 4.函数xx y cos 3-sin =)20π<≤x （取最大值时，=x5.已知b x x f ++=)cos(2)(ϕω对于任意实数x 都有)()4(x f x f -=+π成立，且1)8(-=πf ，则实数b 的值为 .三、三角函数的图像及性质【例】1.把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图像是【例】2.函数的图象如图，则的解析式和的值分别为（ ）A ．，B ．，C ．，D ．， 【例3】矩形ABCD 中，AB ⊥x 轴，且矩形ABCD 恰好完全覆盖)0,(sin ≠∈=a R a ax a y 的一个完整周期的图像，当a 变化时，矩形ABCD 周长的最小值为 ；【例】4. 如图，函数π2cos()(0)2y x x ωθθ=+∈R ，≤≤的图象与y轴交于点(0，且在该点处切线的斜率为2-． （1）求θ和ω的值；（2）已知点π02A ⎛⎫⎪⎝⎭，，点P 是该函数图象上一点，点00()Q x y ，是b x A x f +ϕ+ω=)sin()()(x f ++=)1()0(f f S )2006()2(f f +⋯+12sin 21)(+π=x x f 2006=S 12sin 21)(+π=x x f 212007=S 12sin 21)(+π=x x f 212006=S 12sin 21)(+π=x x f 2007=SPA 的中点，当0y =0ππ2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求0x 的值．【习题3】1.定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数又是周期函数，若)(x f 的最小正周期是π，且当]2,0[π∈x 时，x x f sin )(=，则)35(πf 的值为 （ ） （A ）21- （B ）21 （C ）23-（D ）232．函数x x y cos -⋅=的部分图象是( )3.① 存在)2,0(πα∈使31cos sin =+a a ② 存在区间（a ，b ）使x y cos =为减函数而x sin ＜0 ③ x y tan =在其定义域内为增函数 ④ )2sin(2cos x x y -+=π既有最大、最小值，又是偶函数⑤ |62|sin π+=x y 最小正周期为π以上命题错误的为____________.4.右图为)(sin ϕω+=x A y 的图象的一段，求其解析式。
四、三角函数的定义域、值域、最值问题【例1】求下列函数的定义域1.x x x f cos 2-1)21-lg(sin )(+=； 2.x x y cos lg 252+-=.【例2】（1）已知)(cos ),23,21()(x f x f 则的定义域为-的定义域为____________.（2）设)(,cos )1sin 2(2x f x x f 则=-的定义域为_____________.【例3】求下列函数的值域（1）4sin 5cos 22-+=x x y ； （2）x x x x y 22cos 2cos sin 4sin 6+-=；（3）2sin 31sin 3++=x x y ； （4）)4(tan 1)4(tan 122x x y -+--=ππ；【 例4】函数2sin (09)63x y x ππ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭的最大值与最小值之和为(A)2- (B)0 (C)－1(D)1-【习题4】1、函数)(x f 的定义域为[﹣，]，则)sin (x f 的定义域为（ ）A 、[﹣，]B 、[，]C 、[2k π+，2k π+]（k ∈Z ）D 、[2k π﹣，2k π+]∪[2k π+，2k π+]（k ∈Z ）2．若θ为锐角，则θθcos sin +的取值范围是 （ ）A ．]2,1(B ．]2,1[C ．]2,0[D ．]2,2[- 3．α在第三、四象限，m mm 则,432sin --=α的取值范围是（ ）A ．（－1，0）B ．（－1,21） C ．（－1,23） D ．（－1，1） 4．函数||sin |sin |x x y +=的值域是（ ）A ．[－2，2]B ．[－1，1]C ．[0，2]D ．[0，1]5.若函数21cos 2π()sin sin π42sin 2x f x x a x x +⎛⎫=+++ ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭3，试确定常数a 的值．五、解三角形问题，判断三角形形状，正余弦定理的应用【例1】在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为c b a ,,，且B a A b cos 3sin =。
（1）求角B 的大小；（2）若A C b sin 2sin ,3==，求c a ,的值.【例2】在∆ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知32cos =A ,CB cos 5sin =． (Ⅰ)求C tan 的值；(Ⅱ)若a∆ABC 的面积．【例3】在中，角所对的边分别为,,a b c . 已知且. （Ⅰ）当时，求的值；(Ⅱ)若角为锐角，求p 的取值范围.【例4】△ABC 的角,,A B C 的对分别是,,a b c ，已知sin cos 1sin2CC C +=-. (1) 求sin C 的值；（2）若224()8a b a b +=+-，求c 的值。
【例5】已知)1,sin 32cos 2(x x m +=，),-cos (y x n =，且满足0=⋅。
（1）将y 表示为x 的函数，并求)(x f 的最小正周期；（2）已知c b a ,,分别是ABC ∆的三个内角C B A ,,对应的边长，若)2()(Af x f ≤对所以的R x ∈恒成立，且2=a ，求c b +的取值范围。
【习题5】在△ABC 中角C B A ,,所对的边分别是c b a ,,，且满足C a A c cos sin =. （1）求角C 的大小；（2）求)4cos(sin 3π+-B A 的最大值，并求取得最大值时角B A ,的大小。
向量部分类型（一）：向量的夹角问题1.平面向量b a ,41==且满足2.=b a2.已知非零向量b a ,）（，a b b 2-⊥=，则b a 与的夹角为ABC ..A B C ()sin sin sin ,A C p B p R +=∈214ac b =5,14p b ==,a c B3.已知平面向量b a ,满足424)2.(==-=+-b a b a ）（且，则b a 与的夹角为4.设非零向量a 、b 、c 满足c b a c b a =+==|,|||||，则>=<b a ,5.的夹角。
与求b a ,732=+==类型（二）：向量共线问题1. 已知平面向量），（x a 32=，平面向量），，（182--=b 若a ∥b ，则实数x2. 设向量），（），，（3212==b a 若向量b a +λ与向量)74(--=，c 共线，则=λ3.已知向量），（），，（x b a 211==若a b b a 24-+与平行，则实数x 的值是（ ） A ．-2B ．0C ．1D ．2_____)10,(),54(),12,(.4=-===k C B A k OC OB k OA 则三点共线，，，，且，已知向量5．已知a =（1，2），b =（-3，2）若k a +2b 与2a -4b 共线，求实数k 的值； 类型（三）: 向量的垂直问题1．已知向量b a b x a ⊥==且），（)6,3(,1，则实数x 的值为2．已知a =（1，2），b =（-3，2）若k a +2b 与2a -4b 垂直，求实数k 的值 3．已知,24），（=a 求与a 垂直的单位向量的坐标。