1.全等三角形的概念和性质(提高)巩固练习
全等三角形的提高拓展训练经典题型50题(含答案)
全等三角形的提高拓展训练知识点睛全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等． 寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键． 全等三角形的判定方法：(1) 边角边定理(SAS )：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2) 角边角定理(ASA )：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3) 边边边定理(SSS )：三边对应相等的两个三角形全等．(4) 角角边定理(AAS )：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5) 斜边、直角边定理(HL )：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等． 全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．例题精讲板块一、截长补短【例1】 (06年北京中考题)已知ABC ∆中，60A ∠=，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．DOECB AND【例2】 如图，点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点(点B 除外)，作60DMN ∠=︒，射线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ，DM 与MN 有怎样的数量关系?【变式拓展训练】如图，点M 为正方形ABCD 的边AB 上任意一点，MN DM ⊥且与ABC ∠外角的平分线交于点N ，MD 与MN 有怎样的数量关系？【例3】 已知：如图，ABCD 是正方形，∠F AD =∠F AE . 求证：BE +DF =AE .【例4】 以ABC ∆的AB 、AC 为边向三角形外作等边ABD ∆、ACE ∆，连结CD 、BE 相交于点O ．求证：OA 平分DOE ∠．NC D EB M A F E DCBA O ED CBA【例5】 (北京市、天津市数学竞赛试题)如图所示，ABC ∆是边长为1的正三角形，BDC∆是顶角为120︒的等腰三角形，以D 为顶点作一个60︒的MDN ∠，点M 、N 分别在AB 、AC 上，求AMN ∆的周长．【例6】 五边形ABCDE 中，AB =AE ，BC +DE =CD ，∠ABC +∠AED =180°， 求证：AD 平分∠CDE板块二、全等与角度【例7】如图，在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，且AC AB BD =+，求ABC ∠的度数.【例8】在等腰ABC ∆中，AB AC =，顶角20A ∠=︒，在边AB 上取点D ，使AD BC =， 求BDC ∠.DCB A NM D CB AC EDBADCBA NMC【例9】(“勤奋杯”数学邀请赛试题) 如图所示，在ABC ∆中，AC BC =，20C ∠=︒，又M 在AC 上，N 在BC 上，且满足50BAN ∠=︒，60ABM ∠=︒，求NMB ∠.【例10】 在四边形ABCD 中，已知AB AC =，60ABD ︒∠=，76ADB ︒∠=，28BDC ︒∠=，求DBC ∠的度数.【例11】 (日本算术奥林匹克试题) 如图所示，在四边形ABCD 中，12DAC ︒∠=，36CAB ︒∠=，48ABD ︒∠=，24DBC ︒∠=，求ACD ∠的度数.【例12】 (河南省数学竞赛试题) 在正ABC ∆内取一点D ，使DA DB =，在ABC ∆外取一点E ，使DBE DBC ∠=∠，且BE BA =，求BED ∠.【例13】 (北京市数学竞赛试题) 如图所示，在ABC ∆中，44BAC BCA ︒∠=∠=，M 为ABC∆内一点，使得30MCA ︒∠=，16MAC ︒∠=，求BMC ∠的度数.全等三角形证明经典20题（含答案）1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD延长AD 到E,使DE=AD,则三角形ADC 全等于三角形EBDADBCM CA B即BE=AC=2 在三角形ABE 中,AB-BE<AE<AB+BE 即:10-2<2AD<10+2 4<AD<6 又AD 是整数,则AD=52. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 证明：过E 点，作EG//AC ，交AD 延长线于G 则∠DEG=∠DCA ，∠DGE=∠2 又∵CD=DE∴⊿ADC ≌⊿GDE （AAS ） ∴EG=AC ∵EF//AB ∴∠DFE=∠1 ∵∠1=∠2∴∠DFE=∠DGE ∴EF=EG ∴EF=AC3. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C证明：在AC 上截取AE=AB ，连接ED ∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD=∠BAD又∵AE=AB ，AD=AD∴⊿AED ≌⊿ABD （SAS ） ∴∠AED=∠B ，DE=DB ∵AC=AB+BD AC=AE+CE ∴CE=DE∴∠C=∠EDC∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C ∴∠B=2∠C4. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 证明：在AE 上取F ，使EF ＝EB ，连接CF 因为CE ⊥AB所以∠CEB ＝∠CEF ＝90° 因为EB ＝EF ，CE ＝CE ，CDB ABA CDF2 1 E所以△CEB ≌△CEF 所以∠B ＝∠CFE 因为∠B ＋∠D ＝180°，∠CFE ＋∠CFA ＝180° 所以∠D ＝∠CFA 因为AC 平分∠BAD 所以∠DAC ＝∠FAC 又因为AC ＝AC所以△ADC ≌△AFC （SAS ） 所以AD ＝AF所以AE ＝AF ＋FE ＝AD ＋BE5. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。
全等三角形的性质和判定专题训练
全等三角形的性质和判定专题训练(1)一、知识点梳理1、 全等三角形的性质如图所示，已知△ABC ≌△DEF ，那么：AB=____，AC=____，BC=______ (全等三角形的________相等。
)∠A=_____，∠B=_____，∠C=_____ (全等三角形的________相等。
) 2、 全等三角形的判定方法根据图中所标出的条件，用适当的几何语言表示三角形全等。
如图（1）如图（2） 如图（3）如图（4）在△ABC 和△A ′B ′C ′中在△ABC 和△A ′B ′C ′中 在△ABC 和△A ′B ′C ′中 在△ABC 和△A ′B ′C ′中∵⎪⎩⎪⎨⎧===_____________________ ∵ ⎪⎩⎪⎨⎧===_____________________ ∵ ⎪⎩⎪⎨⎧===_____________________ ∵ ⎪⎩⎪⎨⎧===_____________________ ∴△ABC ≌△A ′B ′C ′（_____） ∴△ABC ≌△A ′B ′C ′（_____） ∴△ABC ≌△A ′B ′C ′（_____） ∴△ABC ≌△A ′B ′C ′（_____）3、 对于直角三角形来说，除了上面的四种方法外还可以用下面的方法判定 如右图：在Rt △ABC 和Rt △DEF 中 ∵⎩⎨⎧==____________________∴Rt △ABC ≌Rt △DEF(______) 二、巩固训练1、如图，已知△ABC ≌△DEF ，∠A=45º，∠B=60º，那么∠F 的度数是________。
2、如图，已知△ABD ≌△ACD ，那么AD 与BC 的位置关系是___________。
3、如图，已知∠1=∠2，为了使△ABD ≌△DCD ，应添加一个条件，你添加的条件是__________，使用的方法是______________。
4、 如图所示，等腰△ABC 中，AB=AC=5cm ，BC=4cm ，将它沿ED 折叠，使点A 、B 重合，那么△DBC 的周长等于_________cm 。
华东师大初中数学八年级上册《全等三角形》全章复习与巩固(提高)巩固练习
【巩固练习】一.选择题1.如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A＝75°，则∠1＋∠2＝（）．A．150° B．210° C．105° D．75°2.（2016•济南校级一模）如图，在△ABC与△DEF中，已有条件AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEF，不能添加的一组条件是（）A．∠B=∠E，BC=EF B．BC=EF，AC=DFC．∠A=∠D，∠B=∠E D．∠A=∠D，BC=EF3. 下列四个命题中，属于真命题的是（）．A.互补的两角必有一条公共边B.同旁内角互补C.同位角不相等，两直线不平行D.一个角的补角大于这个角4．已知如图，AD∥BC，AB⊥BC，CD⊥DE，CD＝ED，AD＝2，BC＝3，则△ADE的面积为（）． A. 1 B. 2 C. 5 D. 无法确定5. 如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于的12AB的长为半径画孤，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为10，AB=7，则△ABC的周长为（）．A.7B.14C.17D.206. 如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若AC＝5，BC＝3，则BD的长为（）．A．1 B．1.5 C．2 D．2.57.如图，在△ABC中，∠B=36°，∠C=72°，AD平分∠BAC交BC于点D．下列结论中错误的是（）A．图中共有三个等腰三角形 B．点D在AB的垂直平分线上C．AC+CD=AB D．BD=2CD8. 用尺规作图“已知底边和底边上的高线，作等腰三角形”，有下列作法：①作线段BC=a；②作线段BC的垂直平分线m，交BC于点D；③在直线m上截取DA=h，连接AB、AC．这样作法的根据是（）．A．等腰三角形三线合一 B．等腰三角形两底角相等C．等腰三角形两腰相等 D．等腰三角形的轴对称性二.填空题9. 如图，△ABC中，AM平分∠CAB，CM＝20cm，那么M到AB的距离是_________cm.10. 如图，△ABC中，H是高AD、BE的交点，且BH＝AC，则∠ABC＝________.11.如图，已知△ABC是等边三角形，点O是BC上任意一点，OE、OF分别与两边垂直，等边三角形的高为1，则OE＋OF的值为．12.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，点O在△ABC内，•且∠OBC＝∠OCA，∠BOC＝110°，则∠A的度数为________．13.如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，若点O到三角形三边的距离相等，则∠AOC＝_________.14.一个等腰三角形的一条高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角的度数是 .15.如图，六边形ABCDEF的六个内角都相等．若AB＝1，BC＝CD＝3，DE＝2，则这个六边形的周长等于_________．16. （2016•抚顺）如图，点B的坐标为（4，4），作BA⊥x轴，BC⊥y轴，垂足分别为A，C，点D为线段OA的中点，点P从点A出发，在线段AB、BC上沿A→B→C运动，当OP=CD 时，点P的坐标为．三.解答题17．如图所示，已知在△ABC中，∠B＝60°，△ABC的角平分线AD、CE相交于点O，求证：AE＋CD＝AC．18．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°．点D为△ABC内一点，且DB＝DC，∠DCB＝30°．点E为BD延长线上一点，且AE＝AB．（1）求∠ADE的度数；（2）若点M在DE上，且DM＝DA，求证：ME＝DC．19．阅读下面材料：学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，小聪继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．小聪将命题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E．小聪想：要想解决问题，应该对∠B进行分类研究．∠B可分为“直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．第一种情况：当∠B是直角时，如图1，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根据“HL”定理，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．第二种情况：当∠B是锐角时，如图2，BC=EF，∠B=∠E＜90°，在射线EM上有点D，使DF=AC，画出符合条件的点D，则△ABC和△DEF的关系是；A．全等 B．不全等 C．不一定全等第三种情况：当∠B是钝角时，如图3，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E＞90°，求证：△ABC≌△DEF．20．已知：△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，且∠ADC＝60°．问题1：如图1，若∠ACB＝90°，AC＝m AB，BD＝n DC，则m的值为_________，n的值为__________．问题2：如图2，若∠ACB为钝角，且AB＞AC，BD＞DC．（1）求证：BD－DC＜AB－AC；（2）若点E在AD上，且DE＝DB，延长CE交AB于点F，求∠BFC的度数．【答案与解析】一.选择题1. 【答案】A；【解析】∵△A′DE是△ABC翻折变换而成，∴∠AED＝∠A′ED，∠ADE＝∠A′DE，∠A＝∠A′＝75°，∴∠AED＋∠ADE＝∠A′ED＋∠A′DE＝180°－75°＝105°，∴∠1＋∠2＝360°－2×105°＝150°．2. 【答案】D；【解析】（1）△ABC≌△DEF（SAS）；故A正确；（2）△ABC≌△DEF（SSS）；故B正确；（3）△ABC≌△DEF（ASA）；故C正确；（4）无法证明△ABC≌△DEF，故D错误.3. 【答案】C；【解析】答案A是假命题，因为互补的两角不一定有一条公共边；答案B是假命题，同旁内角不一定互补，在两直线平行的前提下，同旁内角互补；答案C是真命题；答案B是假命题，一个角的补角不一定大于这个角，也可能小于或等于这个角.4. 【答案】A；【解析】因为知道AD的长，所以只要求出AD边上的高，就可以求出△ADE的面积．过D作BC的垂线交BC于G，过E作AD的垂线交AD的延长线于F，构造出Rt△EDF≌Rt△CDG，求出GC的长，即为EF的长，然后利用三角形的面积公式解答即可.5. 【答案】C；【解析】首先根据题意可得MN是AB的垂直平分线，即可得AD=BD，又由△ADC的周长为10，求得AC+BC的长，则可求得△ABC的周长．6. 【答案】A；【解析】延长BD交AC于E，由题意，BC＝CE＝3，AE＝BE＝5－3＝2，且BD＝DE＝12BE＝1.7. 【答案】D；【解析】解：A、在△ABC中，∠B=36°，∠C=72°，∴∠BAC=180°﹣36°﹣72°=72°，∵AD平分∠BAC，∴∠DAC=∠DAB=36°，即∠DAB=∠B，∠BAC=∠C，∠ADC=36°+36°=72°=∠C，∴△ADB、△ADC、△ABC都是等腰三角形，故本选项错误；B、∵∠DAB=∠B，∴AD=BD，∴D在AB的垂直平分线上，故本选项错误；C、在AB上截取AE=AC，连接DE，在△EAD和△CAD中∴△EAD≌△CAD，∴DE=DC，∠C=∠AED=72°，∵∠B=36°，∴∠EDB=72°﹣36°=36°=∠B，∴DE=BE，即AB=AE+BE=AC+CD，故本选项错误；D、∵CD=DE=BE，DE+BE＞BD，∴BD＜2DC，故本选项正确；故选D．8. 【答案】A；解析】易证∴△EFA≌△ABG得AF＝BG，AG＝EF．同理证得△BGC≌△DHC得GC＝DH，CH＝BG．故FH＝FA＋AG＋GC＋CH＝3＋6＋4＋3＝16，故S＝12（6＋4）×16－3×4－6×3＝50．二.填空题9. 【答案】20；【解析】过M作MD⊥AB于D，可证△ACM≌△ADM，所以DM＝CM＝20cm.10.【答案】45°；【解析】Rt△BDH≌Rt△ADC，BD＝AD.11.【答案】1；【解析】连接AO，△ABO的面积＋△ACO的面积＝△ABC的面积，所以OE＋OF＝等边三角形的高.12．【答案】40°；【解析】∵AB＝AC，所以∠ABC＝∠ACB，又∵∠OBC＝∠OCA，∴∠ABC＋∠ACB＝2（∠OBC＋∠OCB），∵∠BOC＝110°，∴∠OBC＋∠OCB＝70°，∴∠ABC＋∠ACB＝140°，∴∠A＝180°－（∠ABC＋∠ACB）＝40°．13.【答案】135°；【解析】点O 为角平分线的交点，∠AOC ＝180°－12（∠BAC ＋∠BCA ）＝135°. 14. 【答案】30°或75°或15°；【解析】根据不同边的高分类讨论.15.【答案】15；【解析】因为六边形ABCDEF 的六个内角都相等为120°，每个外角都为60°，向外作三个三角形，进而得到四个等边三角形，如图，设AF ＝x ，EF ＝y ，则有x ＋1＋3＝x ＋y ＋2＝3＋3＋2＝8所以x ＝4，y ＝2，六边形ABCDEF 的周长＝1＋3＋3＋2＋2＋4＝15.16.【答案】（2，4）或（4，2）；【解析】①当点P 在正方形的边AB 上时，Rt △OCD ≌Rt △OAP ，∴OD=AP ，∵点D 是OA 中点，∴OD=AD=OA ，∴AP=AB=2，∴P （4，2），②当点P 在正方形的边BC 上时，同①的方法，得出CP=BC=2，∴P （2，4）．三.解答题17.【解析】证明：如图所示，在AC 上取点F ，使AF ＝AE ，连接OF ，在△AEO 和△AFO 中，,12,AE AF AO AO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △AEO ≌△AFO （SAS ）．∴ ∠EOA ＝∠FOA ．∵ ∠B ＝60°，∴ ∠AOC ＝180°－(∠OAC ＋∠OCA)＝180°－12(∠BAC ＋∠BCA) ＝180°－12(180°－60°) ＝120°．∴ ∠AOE ＝∠AOF ＝∠COF ＝∠DOC ＝60°．在△COD 和△COF 中，,,,COD COF OC OC OCD OCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴ △COD ≌△COF （ASA ）．∴ CD ＝CF ．∴ AE ＋CD ＝AF ＋CF ＝AC ．18．【解析】解：（1）如图．∵△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝30°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝(18030)2-÷＝75°．∵DB ＝DC ，∠DCB ＝30°，∴∠DBC ＝∠DCB ＝30°．∴∠1＝∠ABC －∠DBC ＝75°－30°＝45°．∵AB ＝AC ，DB ＝DC ，∴AD 所在直线垂直平分BC ．∴AD 平分∠BAC ．∴∠2＝21∠BAC ＝ 3021⨯＝15°． ∴∠ADE ＝∠1＋∠2 ＝45°＋15°＝60°．（2）证明：连接AM ，取BE 的中点N ，连接AN ．∵△ADM 中，DM ＝DA ，∠ADE ＝60°，∴△ADM 为等边三角形．∵△ABE 中，AB ＝AE ，N 为BE 的中点，∴BN ＝NE ，且AN ⊥BE ．∴DN ＝NM ．∴BN －DN ＝NE －NM ，即 BD ＝ME ．∵DB ＝DC ，∴ME ＝DC ．19.【解析】解：第二种情况：如图1所示：以F 为圆心，AC 长为半径画弧，交射线EM 于D 、D′；则DF=D′F=AC，△DEF≌△ABC，△D′EF 和△ABC 不全等； 故选：C ；第三种情况：证明：如图2所示：过点C 作CG⊥AB 交AB 的延长线于点G ，过点F 作DH⊥DE 交DE 的延长线于点H ，∵∠B=∠E，∴180°﹣∠B=180°﹣∠E，即∠CBG=∠FEH，在△CBG 和△FEH 中，，∴△CBG≌△FEH（AAS ），∴CG=FH，在Rt△ACG 和Rt△DFH 中，，∴Rt△ACG≌Rt△DFH（HL ），∴∠A=∠D，在△ABC 和△DEF 中，，∴△ABC≌△DEF（AAS ）．20．【解析】证明：问题1：21，2 ； 问题2：（1）在AB 上截取AG ，使AG ＝AC ，连接GD ．（如图） ∵AD 平分∠BAC ，∴∠1＝∠2．在△AGD 和△ACD 中，AG AC 12 A D AD⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△AGD ≌△ACD ．∴DG ＝DC ．∵△BGD 中，BD －DG ＜BG ，∴BD －DC ＜BG ．∵BG ＝ AB －AG ＝ AB －AC ，∴BD －DC ＜AB －AC ．（2）∵由（1）知△AGD ≌△ACD ，∴GD ＝CD ，∠4 ＝∠3＝60°．∴∠5 ＝180°－∠3－∠4＝180°－60°－60°＝60°． ∴∠5 ＝∠3．在△BGD 和△ECD 中，53DB DE DG DC =⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩＝，∴△BGD ≌△ECD ．∴∠B ＝∠6．∵△BFC 中，∠BFC ＝180°－∠B －∠7 ＝180°－∠6－∠7 ＝∠3， ∴∠BFC ＝60°．。
全等三角形练习题
全等三角形练习题全等三角形是初中数学中一个重要的概念，对于学生来说，掌握全等三角形的性质和判定方法是非常重要的。
下面是一些全等三角形的练习题，帮助学生巩固和加深对该概念的理解与应用。
练习题1：已知△ABC和△DEF中，∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE，AB=DE。
根据给定条件，你能得出什么结论？请解释理由。
练习题2：已知△ABC与△DEF中，AB=DE，∠ABC=30°，∠ACB=75°，∠DEF=60°。
请判断△ABC与△DEF是否全等，如果是，请说明理由；如果不是，请说明理由。
练习题3：在平面上，画出一个△ABC，使得AB=BC=3 cm，AC=5 cm。
再画一个点D，使得DB=BC，连结AD。
设E为△ABC的中线中点。
请证明△ADE和△ABC全等。
练习题4：已知△ABC与△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，AB=DE。
请判断△ABC与△DEF是否全等，如果是，请说明理由；如果不是，请说明理由。
练习题5：在平面上，画出一个△ABC，使得AB=12 cm，BC=5 cm，∠ABC=90°。
再画一个点D，使得∠BAC=∠BCD。
请判断△ABC与△BCD是否全等，如果是，请说明理由；如果不是，请说明理由。
练习题6：在△ABC中，AB=BC，∠BAC=60°。
在BC上取一点D，使得BD=AC。
请判断△ABC与△ACD是否全等，如果是，请说明理由；如果不是，请说明理由。
练习题7：在平面上，画出一个△ABC，使得∠BAC=100°，∠BCA=20°，AC=10 cm。
再画一个点D，连接BD，并延长BD至点E，使得DE=BC。
请证明△ABE和△ABC全等。
练习题8：已知△ABC与△DEF，AB=DE，∠ABC=60°，∠DEF=30°，AC=5 cm，FD=3 cm。
请判断△ABC与△DEF是否全等，如果是，请说明理由；如果不是，请说明理由。
全等三角形的性质及判定(习题及答案)
全等三角形的性质及判定(习题及答案)全等三角形的性质及判定全等三角形是指具有相等的对应边长和对应角度的两个三角形。
在几何学中，全等三角形有着重要的性质和判定方法。
本文将介绍全等三角形的性质，并提供一些习题及答案，以帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
一、全等三角形的性质1. 对应边长相等性质：如果两个三角形的三边分别相等，则它们是全等三角形。
即若∆ABC≌∆DEF，则AB = DE, BC = EF, AC = DF。
2. 对应角度相等性质：如果两个三角形的三个角度分别相等，则它们是全等三角形。
即若∆ABC≌∆DEF，则∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F。
3. 边角相等性质：若两个三角形的两边和夹角分别相等，则它们是全等三角形。
即若∆ABC≌∆DEF，则AB = DE, ∠A = ∠D, ∠C = ∠F。
4. 斜边和一角相等性质：若两个三角形的一边与一角分别相等，则它们是全等三角形。
即若∆ABC≌∆DEF，则AC = DF, ∠A = ∠D。
二、全等三角形的判定方法1. SSS判定法：如果两个三角形的三边分别相等，则它们是全等三角形。
即若AB = DE, BC = EF, AC = DF，则∆ABC≌∆DEF。
2. SAS判定法：如果两个三角形的一边和夹角，以及另一边分别相等，则它们是全等三角形。
即若AB = DE, ∠A = ∠D, AC = DF，则∆ABC≌∆DEF。
3. ASA判定法：如果两个三角形的两个夹角和一边分别相等，则它们是全等三角形。
即若∠A = ∠D, ∠B = ∠E, AC = DF，则∆ABC≌∆DEF。
4. RHS判定法：如果两个直角三角形的斜边和一个直角边分别相等，则它们是全等三角形。
即若AC = DF, ∠A = ∠D，则∆ABC≌∆DEF。
三、习题及答案1. 已知∆ABC和∆DEF，且AB = DE, ∠A = ∠D, BC = EF。
证明∠B = ∠E, AC = DF。
17《三角形》全章复习与巩固—知识讲解(提高)
17《三角形》全章复习与巩固（提高）知识讲解【学习目标】1.认识三角形并能用符号语言正确表示三角形，理解并会应用三角形三边之间的关系.2.理解三角形的高、中线、角平分线的概念，通过作三角形的三条高、中线、角平分线，提高学生的基本作图能力，并能运用图形解决问题．3.能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题.4.通过观察和实地操作知道三角形具有稳定性，知道四边形没有稳定性，了解稳定性与没有稳定性在生产、生活中的广泛应用．5.了解多边形、多边形的对角线、正多边形以及镶嵌等有关的概念；掌握多边形内角和及外角和，并能灵活运用公式解决有关问题，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培养说理和进行简单推理的能力.【知识网络】【要点梳理】要点一、三角形的有关概念和性质1.三角形三边的关系：定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边的之差小于第三边.要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．2.三角形按“边”分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形 底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形 等边三角形 3.三角形的重要线段：（1）三角形的高三角形的高．要点诠释：三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外.（2）三角形的中线三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线，要点诠释：一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，叫做三角形的重心．中线把三角形分成面积相等的两个三角形.（3）三角形的角平分线三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.要点诠释：一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点，这一点叫做三角形的内心.要点二、三角形的稳定性如果三角形的三边固定，那么三角形的形状大小就完全固定了，这个性质叫做三角形的稳定性．要点诠释：(1)三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．(2)三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．(3)四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在窗框未安好之前，先在窗框上斜着钉一根木板，使它不变形．要点三、三角形的内角和与外角和1.三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．推论：1.直角三角形的两个锐角互余2.有两个角互余的三角形是直角三角形2.三角形外角性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.要点四、多边形及有关概念1. 多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.要点诠释：多边形通常还以边数命名，多边形有n条边就叫做n边形．三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形.2.正多边形：各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形.如正三角形、正方形、正五边形等．要点诠释：各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形.3.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.要点诠释：(1)从n边形一个顶点可以引(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三角形；(2)n边形共有(3)2n n条对角线．要点五、多边形的内角和及外角和公式1.内角和公式：n边形的内角和为(n－2)·180°(n≥3，n是正整数) ．要点诠释：（1）一般把多边形问题转化为三角形问题来解决；①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和，求其边数.2.多边形外角和：n 边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关.要点诠释：(1)外角和公式的应用：①已知外角度数，求正多边形边数；②已知正多边形边数，求外角度数.(2)多边形的边数与内角和、外角和的关系：①n 边形的内角和等于(n －2)·180°(n≥3，n 是正整数)，可见多边形内角和与边数n 有关，每增加1条边，内角和增加180°.【典型例题】类型一、三角形的三边关系1.已知三角形的三边长分别是3，8，x ,若x 的值为偶数，则x 的值有 ( )．A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个【答案】D【解析】x 的取值范围：511x <<，又x 为偶数，所以x 的值可以是6, 8, 10，故x 的值有3个.【总结升华】不要忽略“x 为偶数”这一条件.举一反三：【变式】三角形的三边长为2，x-3，4，且都为整数，则共能组成 个不同的三角形.当x 为 时，所组成的三角形周长最大.【答案】三；8 (由三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，有4-2<x-3<4+2，解得5<x<9，因为x 为整数，故x 可取6，7，8；当x=8时，组成的三角形周长最大为11).2.如图，O 是△ABC 内一点，连接OB 和OC ．(1)你能说明OB+OC ＜AB+AC 的理由吗?(2)若AB ＝5，AC ＝6，BC ＝7，你能写出OB+OC 的取值范围吗?【答案与解析】解：(1)如图，延长BO 交AC 于点E ，根据三角形的三边关系可以得到，在△ABE 中，AB+AE ＞BE ；在△EOC 中，OE+EC ＞OC ，两不等式相加，得AB+AE+OE+EC ＞BE+OC ．由图可知，AE+EC ＝AC ，BE ＝OB+OE ．所以AB+AC+OE ＞OB+OC+OE ，即OB+OC ＜AB+AC ．(2)因为OB+OC ＞BC ，所以OB+OC ＞7．【总结升华】充分利用三角形三边关系的性质进行解题．类型二、三角形中的重要线段3.在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分为12cm和15cm两部分，求三角形的各边长．【思路点拨】因为中线BD的端点D是AC边的中点，所以AD＝CD，造成两部分不等的原因是BC边与AB、AC边不等，故应分类讨论．【答案与解析】解：如图(1)，设AB＝x，AD＝CD＝12 x．(1)若AB+AD＝12，即1122x x+=，所以x＝8，即AB＝AC＝8，则CD＝4．故BC＝15-4＝11．此时AB+AC＞BC，所以三边长为8，8，11．(2)如图(2)，若AB+AD＝15，即1152x x+=，所以x＝10．即AB＝AC＝10，则CD＝5．故BC＝12-5＝7．显然此时三角形存在，所以三边长为10，10，7．综上所述此三角形的三边长分别为8，8，11或10，10，7．【总结升华】BD把△ABC的周长分为12cm和15cm两部分，哪部分是12cm，哪部分是15cm，问题中没有交代，因此，必须进行分类讨论．举一反三：【变式】有一块三角形优良品种试验田，现引进四个品种进行对比试验，需将这块土地分成面积相等的四块，请你制定出两种以上的方案供选择.【答案】解：方案1：如图（1），在BC上取D、E、F，使BD=ED=EF=FC，连接AE、AD、AF．方案2：如图(2)，分别取AB、BC、CA的中点D、E、F，连接DE、EF、DF．方案3：如图(3)，取AB中点D，连接AD，再取AD的中点E，连接BE、CE．方案4：如图(4)，在 AB取点 D，使DC＝2BD，连接AD，再取AD的三等分点E、F，连接CE、CF．类型三、与三角形有关的角4.在△ABC中，∠ABC＝∠C，BD是AC边上的高，∠ABD＝30°，则∠C的度数是多少?【思路点拨】按△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况，分类讨论．【答案与解析】解：分两种情况讨论：（1）当△ABC为锐角三角形时，如图所示，在△ABD中，∵BD是AC边上的高(已知)，∴∠ADB＝90°(垂直定义)．又∵∠ABD＝30°(已知)，∴∠A＝180°-∠ADB-∠ABD＝180°-90°-30°＝60°．又∵∠A+∠ABC+∠C＝180°(三角形内角和定理)，∴∠ABC+∠C＝120°，又∵∠ABC＝∠C，∴∠C＝60°．(2)当△ABC为钝角三角形时，如图所示．在直角△ABD中，∵∠ABD＝30°(已知)，所以∠BAD＝60°．∴∠BAC＝120°．又∵∠BAC+∠ABC+∠C＝180°(三角形内角和定理)，∴∠ABC+∠C＝60°．∴∠C＝30°．综上，∠C的度数为60°或30°．【总结升华】在解决无图的几何题的过程中，只有正确作出图形才能解决问题．这就要求解答者必须具备根据条件作出图形的能力；要注意考虑图形的完整性和其他各种可能性，双解和多解问题也是我们在学习过程中应该注意的一个重要环节．举一反三：【变式】如图，AC⊥BC,CD⊥AB,图中有对互余的角？有对相等的锐角？【答案】3,2．类型四、三角形的稳定性5. 如图是一种流行的衣帽架，它是用木条（四长四短）构成的几个连续的菱形（四条边都相等），【答案与解析】解：这种衣帽架能收缩是利用四边形的不稳定性，可以根据需要改变挂钩间的距离。
全等三角形经典例题
全等三角形经典例题（全等三角形的概念和性质）类型一、全等形和全等三角形的概念1、全等三角形又叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形与镜面合同三角形，假设△ABC 和△A 1B 1C 1是全等(合同）三角形，点A 与点A 1对应，点B 与点B 1对应，点C 与点C 1对应，当沿周界A→B→C→A，及A 1→B 1→C 1→A 1环绕时,若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形（如图1），若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形(如图2）,两个真正合同三角形都可以在平面内通过平移或旋转使它们重合，两个镜面合同三角形要重合，则必须将其中一个翻转180°,下列各组合同三角形中，是镜面合同三角形的是（ ）（答案）B ；提示：抓住关键语句,两个镜面合同三角形要重合,则必须将其中一个翻转180°，B 答案中的两个三角形经过翻转180°就可以重合，故选B ；其它三个选项都需要通过平移或旋转使它们重合.类型二、全等三角形的对应边，对应角 类型三、全等三角形性质3、如图,将长方形ABCD 沿AE 折叠，使D 点落在BC 边上的F 点处，如果60BAF ∠=︒，那么DAE ∠等于（ )．A 。
60° B 。
45° C 。
30° D.15°（答案）D ；（解析）因为△AFE 是由△ADE 折叠形成的，所以△AFE ≌△ADE,所以∠FAE＝∠DAE ，又因为60BAF ∠=︒，所以∠FAE ＝∠DAE ＝90602︒-︒＝15°.（点评）折叠所形成的三角形与原三角形是全等的关系,抓住全等三角形对应角相等来解题.举一反三：（变式)如图，在长方形ABCD 中，将△BCD 沿其对角线BD 翻折得到△BED ，若∠1＝35°，则∠2＝________。
（答案）35°；提示：将△BCD 沿其对角线BD 翻折得到△BED,所以∠2＝∠CBD ，又因为AD ∥BC ，所以∠1＝∠CBD ，所以∠2＝35°.4、 如图，△ABE 和△ADC 是△ABC 分别沿着AB ，AC 翻折180°形成的,若∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，∠α的度数是_________.（答案）∠α＝80°(解析）∵∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，设∠1＝28x ,∠2＝5x ，∠3＝3x ,∴28x ＋5x ＋3x ＝36x ＝180°，x ＝5° 即∠1＝140°，∠2＝25°，∠3＝15°∵△ABE 和△ADC 是△ABC 分别沿着AB ，AC 翻折180°形成的， ∴△ABE ≌△ADC ≌△ABC ∴∠2＝∠ABE ，∠3＝∠ACD∴∠α＝∠EBC ＋∠BCD ＝2∠2＋2∠3＝50°＋30°＝80°（点评）此题涉及到了三角形内角和,外角和定理，并且要运用全等三角形对应角相等的性质来解决问题。
初二全等三角形所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习(含答案解析)
初二全等三角形所有知识点总结和常考题1.基本定义：⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形 .⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.⑶对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点.⑷对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边 .⑸对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角 .2.基本性质：⑴三角形的稳定性：三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就全确定，这个性质叫做三角形的稳定性.⑵全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.3.全等三角形的判定定理：⑴边边边（SSS）:三边对应相等的两个三角形全等.⑵边角边（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.⑶角边角（ASA）:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.⑷角角边（AAS）:两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等⑸斜边、直角边（HL ）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.4.角平分线：⑴画法：⑵性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等 .⑶性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上5.证明的基本方法：⑴明确命题中的已知和求证.（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系）⑵根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证.⑶经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程 .一.选择题（共14小题）1.使两个直角三角形全等的条件是（）A. 一个锐角又t应相等B.两个锐角对应相等C. 一条边对应相等D.两条边对应相等2.如图，已知AE=CF /AFD=/ CEB那么添加下列一个条件后，仍无法判定△AD陷4CBE的是（）A. /A=/ CB. AD=CBC. BE=DFD. AD // BC3.如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（）A. SSSB. SASC. AASD. ASA4.到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（A.三条中线的交点B.三条高的交点C.三条边的垂直平分线的交点D.三条角平分线的交点5.如图，△ AC阴NA CB'/BCB =30°则/ ACA的度数为（A. 20°B. 300C. 350D. 40°6.如图，直线11、12、13表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（）A. 1处B. 2处C. 3处D. 4处7.如图，AD是4ABC中/ BAC的角平分线，D已AB于点E, S AABC=7, DE=ZAB=4,则AC长是（）8.如图，在△ ABC和4DEC中，已知AB=DE还需添加两个条件才能使△ ABCDEC不能添加的一组条件是（）A. BC=EC /B=/ EB. BC=EC AC=DCC. BC=DC /A=/DD. / B=/ E,/ A=/ D9.如图，已知在△ ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分/ ABC,交CD于点E, BC=5 DE=2,贝BCE的面积等于（）A. 10B. 7C. 5D. 410.要测量河两岸相对的两点A, B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C, D, 使CD=BC再定出BF的垂线DE,使A, C, E在一条直线上（如图所示），可以说明△ED8 AABC,彳3ED=AB因此测得ED的长就是AB的长，判定△ ED8 △ ABC最恰当的理由是（）A.边角边B.角边角C.边边边D.边边角11.如图，4ABC的三边AB, BC, CA长分别是20, 30, 40,其三条角平分线将△ ABC分为三个三角形，则S A ABO）：S A BCO：S A CAO等于（）BC AA. 1:1:1B. 1: 2: 3C. 2: 3: 4D. 3: 4: 512.尺规作图作/ AOB的平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA, OB于C, D,再分别以点C, D为圆心，以大于tCD长为半径画弧，两弧交于点P,作射线OP由作法得^ OC国4ODP的根据是（）A.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等B.有两边对应相等，且有一角为 30°的两个等腰三角形全等C.有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等D.有两角和一边对应相等的两个三角形全等14.如图，已知/ 1=/2, AC=AD,增加下列条件：① AB=AE ②BC=ED ③C C= /D;④/ B=/ E.其中能使△ AB ®ZXAED 的条件有（ ）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个二.填空题（共11小题）15 .如图，在△ ABC 中，/C=90°, AD 平分/CAB BC=8cm, BD=5cm,那么点 D 到线段AB 的距离是 cm.16 .如图，△ ABC 中，/ C=90°, AD 平分/BAC AB=5, CD=2,则△ ABD 的面积17 .如图为6个边长等的正方形的组合图形，则/ 1+/ 2+/3=19 .如图所示，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块， 现在要到玻璃店去配 一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带 去玻璃店.18.如图，△AB ®ADEF5请根据图中提供的信息，写出* F x= ______是 _______20.如图，已知AB// CF, E为DF的中点，若AB=9cm, CF=5cm 贝U BD=cm.B C21.在数学活动课上，小明提出这样一个问题：/ B=Z C=90°, E是BC的中点, DE 平分/ADC, /CED=35,如图，则/ EAB是多少度？大家一起热烈地讨论交流，小英第一个得出正确答案，是度.D C22.如图，/XABeAADEE, / B=100°, / BAC=30,那么/ AED=度.23.如图所示，将两根钢条AA', BB'的中点。
全等三角形判定一(ASA,SAS)(提高)巩固练习
【巩固练习】一、选择题1.（2015•宁波）如图，口ABCD 中，E，F 是对角线 BD 上的两点，如果添加一个条件，使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能为（）A.BE=DFB.BF=DEC.AE=CFD.∠1=∠22.如图，AD 是∆ABC 的中线，E 、F 分别是AD 和AD 延长线上的点，且DE =DF ，连接BF 、CE ，下列说法：① CE =BF ；②∆ABD 和∆ACD 的面积相等；③ BF // CE ；④∆BDF≌∆CDE ，其中正确的有（）．A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个3.AD 为△ABC中BC 边上的中线, 若AB＝2, AC＝4, 则AD 的范围是( )A .AD＜6 B. AD＞2 C. 2＜AD＜6 D. 1＜AD＜34.如图，AB＝DC，AD＝BC，E、F 是DB 上两点，且BF＝DE，若∠AEB＝120°，∠ADB＝30°，则∠BCF＝（）．A.150°B.40°C.80°D.90°5.根据下列条件能唯一画出△ABC的是（） A.AB＝3，BC＝4，AC＝8 B.AB＝4，BC＝3，∠A＝30°C.AB＝5，AC＝6，∠A＝45°D. ∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°6.（2016•永州）如图，点D，E分别在线段AB，AC 上，C D与BE 相交于O 点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（）A．∠B=∠C B．AD=AE C．BD=CE D．BE=CD二、填空题7.（2015•齐齐哈尔）如图，点B、A、D、E 在同一直线上，BD=AE，BC∥EF，要使△ABC≌△DEF，则只需添加一个适当的条件是．（只填一个即可）8.要测量河两岸相对的两点A，B 的距离，先在AB 的垂线BF 上取两点C，D，使CD=BC,再定出BF 的垂线DE，使A，C，E 在同一条直线上，如图8，可以得到 EDC ≅ ABC ，所以ED=AB，因此测得ED 的长就是AB 的长，判定 EDC ≅ A BC 的理由是.9.如图，已知AE＝AF，AB＝AC，若用“SAS”证明△AEC≌AFB，还需要条件.10.（2016•微山县二模）如图，四边形ABCD 中，∠1=∠2，请你补充一个条件，使△ABC≌△CDA．11.如图所示，BE⊥AC于点D，且AD＝CD，BD＝ED，若∠ABC＝54°，则∠E＝°.12.把两根钢条AA',BB'的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳），如图，若测得AB＝5 厘米，则槽宽为厘米．三、解答题13.（2014•房山区二模）如图，已知 AB=AD，AC=AE，∠1=∠2，求证：△ABC≌△ADE．14.如图, ∠B＝∠C，BD＝CE，CD＝BF.求证: ∠EDF ＝ 90︒－1 ∠A 215.已知：如图，BE、CF 是△ABC 的高，且 BP＝AC，CQ＝AB，求证：AP⊥AQ.【答案与解析】1.【答案】C；【解析】解：A、当 BE=FD，∵平行四边形 ABCD 中，∴AB=CD，∠ABE=∠CDF，在△ABE 和△CDF 中，∴△ABE≌△CDF（SAS），故此选项错误；C、当 AE=CF 无法得出△ABE≌△CDF，故此选项符合题意；B、当 BF=ED，∴BE=DF，∵平行四边形 ABCD 中，∴AB=CD，∠ABE=∠CDF，在△ABE 和△CDF 中，∴△ABE≌△CDF（SAS），故此选项错误；D、当∠1=∠2，∵平行四边形 ABCD 中，∴AB=CD，∠ABE=∠CDF，在△ABE 和△CDF 中，∴△ABE≌△CDF（ASA），故此选项错误；故选 C．2.【答案】D；3.【答案】D；【解析】用倍长中线法；4.【答案】D；【解析】证△ABE≌△CDF，△ADE≌△BCF；5.【答案】C；【解析】A 不能构成三角形，B 没有 SSA 定理，D 没有 AAA 定理.6.【答案】D；【解析】解：∵AB=AC，∠A 为公共角，A、如添加∠B=∠C，利用ASA 即可证明△ABE≌△ACD；B、如添AD=AE，利用SAS 即可证明△ABE≌△ACD；C、如添BD=CE，等量关系可得AD=AE，利用SAS 即可证明△ABE≌△ACD；D、如添BE=CD，因为SSA，不能证明△ABE≌△ACD，所以此选项不能作为添加的条件．⎨ ⎩⎩7. 【答案】BC=EF 或∠BAC=∠EDF. 8. 【答案】ASA ；【解析】根据已知条件可得∠ABC=∠EDC=90°,BC=DC,∠ACB=∠ECD(对顶角)：满足三角形全等判定定理 ASA 得△ABC≌△EDC9. 【答案】∠EAB＝∠FAC； 【解析】答案不唯一. 10. 【答案】AD=BC ；【解析】由题意知，已知条件是△ABC 与△CDA 对应角∠1=∠2、公共边 AC=CA ，所以根据全等三角形的判定定理 SAS 来证△ABC ≌△CDA 时，需要添加的条件是 AD=BC. 11. 【答案】27；【解析】可证△ADB≌△CDB≌△CDE. 12. 【答案】5；三.解答题13.【解析】证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE， 即∠DAE=∠BAC， 又∵AB=AD，AC=AE ， ∴△ABC ≌△ADE （SAS ）．14. 【解析】证明：在△ABC 中，∠B ＝∠C，1∴∠B ＝90︒- ∠A2在△DBF 和△ECD 中⎧BD = CE ⎪∠B = ∠C ⎪BF = CD ∴△DBF≌△ECD（SAS ） ∴∠BFD＝∠CDE∴∠EDF＝180°－∠BDF－∠CDE＝180°－（∠BDF＋∠BFD）＝∠B ＝90︒－ 1 215. 【解析】证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB（已知）∴∠ACF ＋∠BAC ＝90°，∠ABE ＋∠BAC ＝90°，（三角形内角和定理） ∠ACF＝∠ABE（等式性质） 在△ACQ 和△PBA 中∠A .⎧ CQ = AB ⎪∵ ⎨∠ACF = ∠ABP ⎪ AC = BP∴△ACQ≌△PBA（SAS ）∴∠Q＝∠BAP（全等三角形对应角相等） ∵CF⊥AB（已知） ∴∠Q ＋∠QAF ＝90°，（垂直定义）∴∠BAP＋∠QAF＝90°，（等量代换）∴AP⊥AQ.（垂直定义）。
(必考题)初中八年级数学上册第十二章《全等三角形》提高练习(答案解析)
一、选择题1．如图已知ABC ∆中，12AB AC cm ==，B C ∠=∠，8BC cm =，点D 为AB 的中点．如果点P 在线段BC 上以2/cm s 的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．若点Q 的运动速度为v ，则当BPD ∆与CQP ∆全等时，v 的值为（ ）A ．1B ．3C ．1或3D ．2或3D解析：D【分析】 设运动时间为t 秒，由题目条件求出BD=12AB=6，由题意得BP=2t ，则CP=8-2t ，CQ=vt ，然后结合全等三角形的判定方法，分两种情况列方程求解．【详解】解：设运动时间为t 秒，∵12AB AC cm ==，点D 为AB 的中点．∴BD=12AB=6， 由题意得BP=2t ，则CP=8-2t ，CQ=vt ，又∵∠B=∠C∴①当BP=CQ ，BD=CP 时，BPD ∆≌CQP ∆∴2t=vt ，解得：v=2②当BP=CP ，BD=CQ 时，BPD ∆≌CPQ ∆∴8-2t=2t ，解得：t=2将t=2代入vt=6，解得：v=3综上，当v=2或3时，BPD ∆与CQP ∆全等故选：D【点睛】本题主要考查了全等三角形全等的判定、熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．2．如图O 是ABC 内的一点，且O 到三边AB 、BC 、CA 的距离==OF OD OE ．若70A ∠=︒，则BOC ∠（ ）．A ．125°B ．135°C ．105°D ．100°A 解析：A【分析】根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出点O 是三角形三条角平分线的交点，再根据三角形的内角和定理求出∠ABC+∠ACB ，然后求出∠OBC+∠OCB ，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．【详解】解：∵O 到三边AB 、BC 、CA 的距离OF=OD=OE ，∴点O 是三角形三条角平分线的交点，∵∠BAC=70°，∴∠ABC+∠ACB=180°-70°=110°，∴∠OBC+∠OCB= 12（∠ABC+∠ACB ）= 12×110°=55°， 在△OBC 中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB ）=180°-55°=125°．故选：A ．【点睛】本题考查了角平分线判定定理，三角形的内角和定理，要注意整体思想的利用． 3．如图，,AD BC ⊥垂足为,D BF AC ⊥，垂足为,F AD 与BF 交于点,5,2E AD BD DC ===，则AE 的长为（ ）A ．2B ．5C ．3D ．7C解析：C【分析】 先证明△ACD ≌△BED ，得到CD=ED=2，即可求出AE 的长度．【详解】解：∵AD BC ⊥，BF AC ⊥，∴90AFE BDE ADC ∠=∠=∠=︒，∵AEF BED ∠=∠，∴EAF EBD ∠=∠，∵5AD BD ==，∴△ACD ≌△BED ，∴CD=ED=2，∴523AE AD ED =-=-=；故选：C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，余角的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，从而进行解题．4．如图，在ABC 和AEF 中，EAC BAF ∠=∠，EA BA =，添加下面的条件：①EAF BAC ∠=∠；②E B ∠=∠；③AF AC =；④EF BC =，其中可以得到ABC AEF ≌△△的有（ ）个．A ．1B ．2C ．3D ．4B解析：B【分析】 根据EAC BAF ∠=∠，EAF EAC CAF ∠=∠+∠，BAC BAF CAF ∠=∠+∠，经推到得EAF BAC ∠=∠；再结合全等三角形判定的性质分析，即可得到答案．【详解】∵EAC BAF ∠=∠，EAF EAC CAF ∠=∠+∠，BAC BAF CAF ∠=∠+∠ ∴EAF BAC ∠=∠E B ∠=∠，即E B EAF BAC EA BA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABC AEF ≌△△()ASA ，故②符合题意；AF AC =，即AF AC EAF BAC EA BA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABC AEF ≌△△()SAS ，故③符合题意；①和④不构成三角形全等的条件，故错误；故选：B ．【点睛】本题考查了全等三角形的知识；解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质，从而完成求解．5．如图所示，已知AB ∥CD ，BAC ∠与ACD ∠的平分线交于点O ，OE AC ⊥于点E ，且3OE cm =，则点O 到AB ，CD 的距离之和是（ ）A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm B解析：B【分析】过点O作MN，MN⊥AB于M，证明MN⊥CD，则MN的长度是AB和CD之间的距离；然后根据角平分线的性质，分别求出OM、ON的长度，再把它们求和即可．【详解】如图，过点O作MN，MN⊥AB于M，交CD于N，∵AB∥CD，∴MN⊥CD，∵AO是∠BAC的平分线，OM⊥AB，OE⊥AC，OE＝3cm，∴OM＝OE＝3cm，∵CO是∠ACD的平分线，OE⊥AC，ON⊥CD，∴ON＝OE＝3cm，∴MN＝OM＋ON＝6cm，即AB与CD之间的距离是6cm，故选B【点睛】此题主要考查角平分线的性质和平行线之间的距离，解答此题的关键是要明确：①角的平分线上的点到角的两边的距离相等，②从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，③平行线间的距离处处相等．6．如图所示，下面甲、乙、丙三个三角形和ABC全等的图形是（）A ．甲和乙B ．乙和丙C ．只有丙D ．只有乙B解析：B【分析】 甲只有2个已知条件，缺少判定依据；乙可根据SAS 判定与△ABC 全等；丙可根据AAS 判定与△ABC 全等，可得答案．【详解】解：甲三角形只知道两条边长无法判断是否与△ABC 全等；乙三角形夹50°内角的两边分别与已知三角形对应相等，故乙与△ABC 全等；丙三角形72°内角及所对边与△ABC 对应相等且均有50°内角，可根据AAS 判定乙与△ABC 全等；则与△ABC 全等的有乙和丙，故选：B ．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定定理，熟练掌握并充分理解三角形全等的判定定理，注意对应二字的理解很重要．7．用三角尺画角平分线：如图，先在AOB ∠的两边分别取OM ON =，再分别过点M ，N 作OA ，OB 的垂线，交点为P ．得到OP 平分AOB ∠的依据是（ ）A ．HLB ．SSSC ．SASD ．ASA A解析：A【分析】 利用垂直得到90PMO PNO ∠=∠=，再由OM ON =，OP OP =即可根据HL 证明()HL ≌PMO PNO △△，由此得到答案.【详解】∵PM OA ⊥，PN OB ⊥，∴90PMO PNO ∠=∠=．∵OM ON =，OP OP =，∴()HL ≌PMO PNO △△， ∴POA POB ∠=∠，故选：A ．【点睛】此题考查三角形全等的判定定理：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ，根据题中的已知条件确定对应相等的边或角，由此利用以上五种方法中的任意一种证明两个三角形全等.8．如图，AB 与CD 相交于点E ，AD=CB ，要使△ADE ≌△CBE ，需添加一个条件，则添加的条件以及相应的判定定理正确的是（ ）A ．AE=CE ；SASB ．DE=BE ；SASC ．∠D=∠B ；AASD ．∠A=∠C ；ASA C解析：C【分析】 根据三角形全等的判定方法结合全等的判定方法逐一进行来判断．【详解】解：A.添加AE=CE 后，根据已知两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等；故不符合题意；B.添加DE=BE 后，根据已知两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等；故不符合题意；C.添加∠D=∠B ，根据AAS 可证明△ADE ≌△CBE ，故此选项符合题意；D.添加∠A=∠C ，根据AAS 可证明△ADE ≌△CBE ，故此选项不符合题意；故选：C【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、AAS 、ASA ．关键在于应根据所给的条件判断应证明哪两个三角形全等．9．如图，要判定△ABD ≌△ACD ，已知AB ＝AC ，若再增加下列条件中的一个，仍不能说明全等，则这个条件是（ ）A ．CD ⊥AD ，BD ⊥ADB ．CD ＝BDC ．∠1＝∠2D ．∠CAD ＝∠B AD C解析：C【分析】 在△ACD 和△ABD 中，AD=AD ，AB=AC ，由全等三角形判定定理对选项一一分析，排除不符合题意的选项即可．【详解】解：添加A 选项中条件可用HL 判定两个三角形全等，故选项A 不符合题意；添加B 选项中的条件可用SSS 判定两个三角形全等，故选项B 不符合题意；添加C 选项中的条件∠1＝∠2可得∠CDA=∠BDA ，结合已知条件不SS 判定两个三角形全等，故选项C 符合题意；添加D 选项中的条件可用SAS 判定两个三角形全等，故选项D 不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，判定三角形全等的方法：SSS 、SAS 、ASA 、AAS ，判断直角三角形全等的方法：“HL”．10．已知，如图，OC 是∠AOB 内部的一条射线，P 是射线OC 上任意点，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，下列条件中：①∠AOC ＝∠BOC ，②PD ＝PE ，③OD ＝OE ，④∠DPO ＝∠EPO ，能判定OC 是∠AOB 的角平分线的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个D解析：D【分析】 根据角平分线的性质、全等三角形的判定定理和性质定理判断即可．【详解】解：∵∠AOC ＝∠BOC ，∴OC 是∠AOB 的角平分线，① 符合题意；∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，PD ＝PE ，∴OC 是∠AOB 的角平分线，② 符合题意；在Rt △POD 和Rt △POE 中，OD DE OP OP=⎧⎨=⎩ ， ∴Rt △POD ≌Rt △POE ，∴∠AOC ＝∠BOC ，∴OC 是∠AOB 的角平分线，③ 符合题意；∵∠DPO=∠EPO ，PD ⊥OA ，PE ⊥OB∴在△POD 和△POE 中，DPO EPO PDO PEO OP OP =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠∴△POD ≌△POE （AAS ），∴∠AOC ＝∠BOC ，∴OC 是∠AOB 的角平分线，④ 符合题意，故选：D ．【点睛】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键；二、填空题11．如图，AC=BC ，请你添加一个条件，使AE=BD ．你添加的条件是：________．∠A=∠B 或CD=CEAD=BE ∠AEC=∠BDC 等【分析】根据全等三角形的判定解答即可【详解】解：因为AC=BC ∠C=∠C 所以添加∠A=∠B 或CD=CEAD=BE ∠AEC=∠BDC 可得△ADC 与△解析：∠A=∠B 或CD=CE 、AD=BE 、∠AEC=∠BDC 等【分析】根据全等三角形的判定解答即可．【详解】解：因为AC=BC ，∠C=∠C ，所以添加∠A=∠B 或CD=CE 、AD=BE 、∠AEC=∠BDC ，可得△ADC 与△BEC 全等，利用全等三角形的性质得出AD=BE ，故答案为：∠A=∠B 或CD=CE 、AD=BE 、∠AEC=∠BDC ．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．12．如图所示的是一张直角ABC 纸片（90C ∠=︒），其中30BAC ∠=︒，如果用两张完全相同的这种纸片恰好能拼成如图2所示的ABD △，若2BC =，则ABD △的周长为______．12【分析】根据题意证明三角形全等即可得解；【详解】如图所示由题可知∴∴∴BCD 在一条直线上∵∴△ABD 是等边三角形∴△ABD 的周长；故答案是12【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质结合等边解析：12【分析】根据题意证明三角形全等即可得解；【详解】如图所示，由题可知ABC ADC ≅△△，∴30BAC DAC ∠=∠=︒，90ACB ACD ∠=∠=︒，2BC BD ==，∴60BAD ∠=︒，180BCD ∠=︒，∴B ，C ，D 在一条直线上，∵60B D ∠=∠=︒，∴△ABD 是等边三角形，∴△ABD 的周长()3312BD BC CD ==+=； 故答案是12．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，结合等边三角形的性质计算是解题的关键． 13．已知在△ABC 中，AB ＝9，中线AD ＝4，那么AC 的取值范围是____1＜AC ＜17【分析】作出图形延长AD 至E 使DE ＝AD 然后利用边角边证明△ABD 和△ECD 全等根据全等三角形对应边相等可得AB ＝CE 再利用三角形的任意两边之和大于第三边三角形的任意两边之差小于第三边解析：1＜AC ＜17【分析】作出图形，延长AD 至E ，使DE ＝AD ，然后利用“边角边”证明△ABD 和△ECD 全等，根据全等三角形对应边相等可得AB ＝CE ，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出AC 的取值范围．【详解】如图，延长AD 至E ，使DE ＝AD ，∵AD 是△ABC 的中线，∴BD ＝CD ，在△ABD 和△ECD 中，BD CD ADB EDC AD DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△ECD (SAS )，∴AB ＝CE ，∵AD ＝4，∴AE ＝4+4＝8，∵AC +CE ＞AC ＞CE -AE ，∴9-8＜AC ＜8+9，∴1＜AC ＜17，故答案为：1＜AC ＜17．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边，“遇中线，加倍延”构造出全等三角形是解题的关键．14．如图，AB ，CD 交于点O ，AD ∥BC ．请你添加一个条件_____，使得△AOD ≌△BOC ．OA ＝OB （答案不唯一）【分析】由AD ∥BC 可得∠A ＝∠B ∠C ＝∠D 然后根据全等三角形的判定方法添加条件即可【详解】解：添加的条件是OA ＝OB 理由如下：∵AD ∥BC ∴∠A ＝∠B ∠C ＝∠D 在△AOD 和 解析：OA ＝OB （答案不唯一）【分析】由AD ∥BC 可得∠A ＝∠B ，∠C ＝∠D ,然后根据全等三角形的判定方法添加条件即可．【详解】解：添加的条件是OA ＝OB ，理由如下：∵AD ∥BC ，∴∠A ＝∠B ，∠C ＝∠D在△AOD 和△BOC 中A B AO BO AOD BOC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AOD ≌△BOC （ASA ）．故答案为：OA ＝OB （答案不唯一）．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定定理和平行线的性质，掌握全等三角形的判定定理的内容是解答本题的关键．15．如图，ABC 的面积为215cm ，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC ，AB 于点M ，N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP ，过点C 作CD AP ⊥于点D ，连接DB ，则DAB 的面积是______2cm ．【分析】如图延长CD 交AB 于E 由题意得AP平分∠CAB 证明△ADC ≌△ADE 得到CD=DE 由此得到推出即可得到答案【详解】如图延长CD 交AB 于E 由题意得AP 平分∠CAB ∴∠CAD=∠EAD ∵CD ⊥A 解析：152【分析】如图，延长CD 交AB 于E ，由题意得AP 平分∠CAB ，证明△ADC ≌△ADE ，得到CD=DE ，由此得到,ACD ADE BCD BED SS S S ==，推出ACD BCD ADE BED S S S S +=+，即可得到答案．【详解】如图，延长CD 交AB 于E ，由题意得AP 平分∠CAB ，∴∠CAD=∠EAD,∵CD ⊥AD ，∴∠ADC=∠ADE ，∵AD=AD ，∴△ADC ≌△ADE ，∴,ACD ADE BCD BED SS S S ==， ∴ACD BCD ADE BED SS S S +=+， ∴12ABD ADE BED ABC S S S S =+==152， 故答案为：152． ．【点睛】此题考查三角形角平分线的作图方法，全等三角形的判定及性质，证出CD=DE 得到,ACD ADE BCD BED S S S S ==是解此题的关键．16．如图，ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ， AB ＝5，CD ＝2，则ABD △的面积是______5【分析】根据角平分线的性质求出DE 根据三角形的面积公式计算即可；【详解】如图：作DE ⊥AB 于点E ∵AD 平分∠BAC ∠C=90°DE ⊥AB ∴DE=DC=2∵AB=5∴△ABD 的面积=×AB×DE=5解析：5【分析】根据角平分线的性质求出DE ，根据三角形的面积公式计算即可；【详解】如图：作DE ⊥AB 于点E ，∵AD 平分∠BAC ，∠C=90°，DE ⊥AB ，∵AB=5∴△ABD 的面积=12×AB×DE=5， 故答案为：5．【点睛】本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键； 17．如图，四边形ABDC 中，对角线AD 平分BAC ∠，136ACD ∠=︒，44BCD ∠=︒，则ADB ∠的度数为_____【分析】先添加辅助线过点作交的延长线于点过点作交的延长线于点过点作于点根据角平分线的判定性质定义以及三角形外角的性质邻补角的定义角的和差等可求得【详解】解：过点作交的延长线于点过点作交的延长线于点过解析：46︒【分析】先添加辅助线“过点D 作DE AB ⊥交AB 的延长线于点E ，过点D 作DF AC ⊥交AC 的延长线于点F ，过点D 作DG BC ⊥于点G ”，根据角平分线的判定、性质、定义以及三角形外角的性质、邻补角的定义、角的和差等可求得()1462ADB CBE BAC ∠=∠-∠=︒．【详解】解：过点D 作DE AB ⊥交AB 的延长线于点E ，过点D 作DF AC ⊥交AC 的延长线于点F ，过点D 作DG BC ⊥于点G ，如图：∵AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥，DF AC ⊥ ∴12BAD BAC ∠=∠，DE DF = ∵136ACD ∠=︒ ∴18044DCF ACD ∠=︒-∠=︒∵44BCD ∠=︒，92ACB ACD BCD ∠=∠-∠=︒∴CD 平分BCF ∠∵DF AC ⊥，DG BC ⊥∴DF DG =∴DE DG =∵DE AB ⊥，DG BC ⊥∴BD 平分CBE ∠ ∴12DBE CBE ∠=∠ ∴ADB DBE BAD ∠=∠-∠1122CBE BAC =∠-∠ ()12CBE BAC =∠-∠ 12BCA =∠ 46=︒．故答案是：46︒【点睛】本题考查了角平分线的判定、性质、定义以及三角形外角的性质、邻补角的定义、角的和差等，熟练掌握相关知识点是解题的关键．18．如图，在四边形ABCD 中，90A ∠=︒，3AD =，连接BD ，BD CD ⊥，BD 平分ABC ∠．若P 是BC 边上一动点，则DP 长的最小值为______．3【分析】过D 作DE ⊥BC 于EDE 即为DP 长的最小值由题意可以得到△BAD ≌△BED 从而得到DE 的长度【详解】解：如图过D 作DE ⊥BC 于EDE 即为DP 长的最小值由题意知在△BAD 和△BED 中∴△BA解析：3【分析】过D 作DE ⊥BC 于E ，DE 即为DP 长的最小值，由题意可以得到△BAD ≌△BED ，从而得到DE 的长度．【详解】解：如图，过D 作DE ⊥BC 于E ，DE 即为DP 长的最小值，由题意知在△BAD 和△BED 中，A DEB ABD EBD BD BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAD ≌△BED ，∴ED=AD=3，故答案为3．【点睛】本题考查三角形全等的应用，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题关键．19．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 、E 分别为边BC 、AB 上的点，且AE ＝AC ，DE ⊥AB ．若∠ADC ＝61°，则∠B 的度数为_____．32°【分析】由HL 可证明△ADE ≌△ADC 得出∠ADE ＝∠ADC ＝61°再根据直角三角形两个锐角互余即可得出结论【详解】解：∵DE ⊥AB ∴∠AED ＝90°＝∠DEB 在Rt △ADE 和Rt △ADC 中∴解析：32°【分析】由HL 可证明△ADE ≌△ADC ，得出∠ADE ＝∠ADC ＝61°，再根据直角三角形两个锐角互余即可得出结论．【详解】解：∵DE ⊥AB ，∴∠AED ＝90°＝∠DEB ，在Rt △ADE 和Rt △ADC 中，AD AD AE AC =⎧⎨=⎩， ∴Rt △ADE ≌Rt △ADC （HL ），∴∠ADE ＝∠ADC ＝61°，∴∠BDE ＝180°﹣61°×2＝58°，∴∠B ＝90°﹣58°＝32°．故答案为：32°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质问题，解题的关键是能够熟练掌握全等三角形的判定及性质．20．如图，已知点(44)A -，，一个以A 为顶点的45︒角绕点A 旋转，角的两边分别交x 轴正半轴，y 轴负半轴于E 、F ，连接EF ．当△AEF 直角三角形时，点E 的坐标是________．或【分析】根据等腰三角形的性质作辅助线构造全等三角形得到对应线段相等即可得到结论【详解】①如图所示：∴∵∴∵∴∴在△和中∴△△FDE ∴∴②当时同①的方法有：∴综上所述满足条件的点坐标为或故答案为：或解析：(8)0，或(40)， 【分析】根据等腰三角形的性质，作辅助线构造全等三角形，得到对应线段相等即可得到结论．【详解】①如图所示：90AFE ︒∠=，∴90AFD OFE ︒∠+∠=，∵90OFE OEF ︒∠+∠=，∴AFD OEF ∠=∠，∵90AFE ︒∠=，45EAF ︒∠=，∴45AEF EAF ︒∠==∠，∴AF EF =，在△ADF 和FOE 中，ADE FOE AFD OEF AF EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADF ≌△FDE ，∴4FO AD ==，8OE DF OD FO ==+=，∴(40)E ，． ②当90AEF ︒∠=时，同①的方法有：8OF =，4OE =，∴(40)E ，， 综上所述，满足条件的点E 坐标为(8)0，或(40)， 故答案为：(8)0，或(40)， 【点睛】本题考查三角形全等性质和判定、等腰直角三角形的性质，注意直角三角形按角分类讨论分三种情况，不要漏解．三、解答题21．如图所示，△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，直线EF 经过点C ，BF ⊥EF 于点F ，AE ⊥EF 于点E ．（1）求证：△ACE ≌△CBF ；（2）如果AE 长12cm ，BF 长5cm ，求EF 的长．解析：（1）证明见解析；（2）EF=17cm ．【分析】（1）根据垂直的定义可得∠AEC=∠CFB=90°，然后求出∠EAC=∠FCB ，再利用“角角边”证明即可；（2）由全等三角形的性质可得：AE=CF ，CE=BF ，再根据线段的和差求解即可．【详解】（1）证明：在Rt △ACB 中，∵∠ACB=90°，∴∠ACE+∠BCF=90°∵AE ⊥EF ，BF ⊥EF∴∠ACE+∠EAC=90°∴∠CAE=∠BCF又∵ AC=CB∴△ACE ≌△CBF(ASA)(2)由△ACE ≌△CBF 可得:AE=CF=12cm ， EC=BF=5cm ，∴EF=EC+CF=12+5=17cm ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，同角的余角相等的性质，熟练掌握三角形全等的判断方法并找出全等的条件是解题的关键．22．（阅读理解）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，ABC 中，若8AB =，6AC =，求BC 边上的中线AD 的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD 到点E ，使DE AD =，请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到ADC ≌EDB △的理由是______．（2）求得AD 的取值范围是______．（感悟）解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．（问题解决）（3）如图2，在ABC 中，点D 是BC 的中点，点M 在AB 边上，点N 在AC 边上，若DM DN ⊥，求证：BM CN MN +>．解析：（1）SAS ；（2）17AD <<；（3）见解析【分析】（1）根据AD=DE ，∠ADC=∠BDE ，BD=DC 推出△ADC 和△EDB 全等即可；（2）根据全等得出BE=AC=6，AE=2AD ，由三角形三边关系定理得出8-6＜2AD ＜8+6，求出即可；（3）延长ND 至点E ，使DE DN =，连接BE 、ME ，证明BED ≌()SAS CND △，得到BE CN =，根据三角形三边关系解答即可．【详解】（1）解：∵在△ADC 和△EDB 中，AD DE ADC BDE BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC ≌△EDB （SAS ），故答案为：SAS ；（2）解：∵由（1）知：△ADC ≌△EDB ，∴BE=AC=6，AE=2AD ，∵在△ABE 中，AB=8，由三角形三边关系定理得：8-6＜2AD ＜8+6，∴1＜AD ＜7，故答案为：1＜AD ＜7．（3）证明：延长ND 至点E ，使DE DN =，连接BE 、ME ，如图所示：∵点D 是BC 的中点，∴BD CD =．在BED 和CND △中，DE DN BDE CDN BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴BED ≌()SAS CND △，∴BE CN =，∵DM DN ⊥，DE DN =，∴ME MN =，在BEM △中，由三角形的三边关系得：BM BE ME +>，∴BM CN MN +>．【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了三角形的中线，三角形的三边关系定理，全等三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生运用定理进行推理的能力．23．如图，已知A ABC ∠=∠，D CBD ∠=∠，ABD CBD ∠=∠，点E 在BC 的延长线上．求证：CD 平分ACE ∠．解析：见解析【分析】根据题意，先证明//AB CD ，然后由平行线的性质以及等量代换，得到ACD DCE ∠=∠，即可得到结论成立．【详解】证明：D CBD ∠=∠，ABD CBD ∠=∠，D ABD ∴∠=∠，//AB CD ∴ABC DCE ∴∠=∠，A ACD ∠=∠又A ABC ∠=∠，CD ∴平分ACE ∠．【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的判定，解题的关键是掌握所学的知识，正确得到//AB CD ．24．如图，在ABC 和BCD △中，90BAC BCD ︒∠=∠=，AB AC =，CB CD =；延长CA 至点E ，使AE AC =；延长CB 至点F ，使BF BC =．连接AD ，AF ，DF ，EF ．延长DB 交EF 于点N ．（1）求证：AD AF =；（2）求证：BD EF =．解析：（1）证明见解析；（2）证明见解析【分析】（1）结合题意得：ABF BAC ACB ∠=∠+∠，ACD ACB BCD ∠=∠+∠，推导得ABF ACD ∠=∠；通过证明ABF ACD △≌△，即可完成证明；（2）根据（1）的结论ABF ACD △≌△得：BAF CAD ∠=∠；根据题意得90BAE ∠=；再通过证明AEF ABD △≌△，即可完成证明．【详解】（1） ∵ABF BAC ACB ∠=∠+∠，ACD ACB BCD ∠=∠+∠，90BAC BCD ︒∠=∠=∴ABF ACD ∠=∠∵BF BC =，CB CD =∴BF BC CD ==即AB AC ABF ACD BF CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABF ACD △≌△∴AF AD =；（2）∵90BAC ︒∠=∴18090BAE BAC ∠=-∠=结合（1）的结论ABF ACD △≌△∴BAF CAD ∠=∠∵90EAF BAE BAF BAF ∠=∠-∠=-∠，90BAD BAC CAD CAD ∠=∠-∠=-∠∵AE AC =，AB AC =∴AE AC AB ==即AF AD EAF BAD AE AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AEF ABD △≌△∴BD EF =．【点睛】本题考查了三角形外角、全等三角形的知识；解题的关键是熟练掌握三角形外角、全等三角形的性质，从而完成求解．25．如图，CB 为ACE ∠的角平分线，F 是线段CB 上一点，,CA CF B E =∠=∠，延长EF 与线段AC 相交于点D ．（1）求证：AB FE =；（2）若,//ED AC AB CE ⊥，求A ∠的度数．解析：（1）证明见解析；（2）120︒．【分析】（1）先根据角平分线的定义可得ACB FCE ∠=∠，再根据三角形全等的判定定理与性质即可得证；（2）先根据平行线的性质可得B FCE ∠=∠，从而可得E FCE B ACB ∠∠=∠=∠=，再根据直角三角形的性质可得30ACB ∠=︒，然后根据三角形的内角和定理即可得．【详解】（1）CB 为ACE ∠的角平分线，ACB FCE ∴∠=∠， 在ABC 和FEC 中，B E ACB FCE CA CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABC FEC AAS ∴≅，AB FE ∴=；（2）//AB CE ，F E B C ∴∠=∠，E FCE B B AC ∠=∴∠=∠∠=，ED AC ⊥，即90CDE ∠=︒，90E FCE ACB ∠∠+∠∴+=︒，即390ACB ∠=︒，解得30ACB ∠=︒，30B ∴∠=︒，180120B A ACB ∠=︒-∠=∴∠-︒．【点睛】本题考查了角平分线的定义、三角形全等的判定定理与性质、三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握三角形全等的判定定理与性质是解题关键．26．如图，AB ⊥CB ，DC ⊥CB ， E 、F 在 BC 上，AF=DE ，BE=CF ，求证：AB =DC ．解析：见解析【分析】由BE ＝CF 得BF ＝CE ，由AB ⊥CB ，DC ⊥CB 得到∠ABF ＝∠DCE ＝90°，然后根据“HL ”可判断Rt ABF ≌Rt DCE ，则AB ＝DC 即可．【详解】证明：∵BE ＝CF ，∴BE +EF ＝CF +EF ，即BF ＝CE ，∵AB ⊥CB ，DC ⊥CB ，∴∠ABF ＝∠DCE ＝90°，∵在Rt ABF 和Rt DCE 中，AF DE BF CE =⎧⎨=⎩， ∴Rt ABF ≌Rt DCE （HL ），∴AB ＝DC ．【点睛】本题考查了直角三角形的判定与性质：有一组直角边和斜边对应相等的两直角三角形全等；全等三角形的对应角相等，对应边相等．27．如图，B 、C 、E 三点在同一条直线上，AC ∥DE ，AC ＝CE ，∠ACD ＝∠B ． 求证：△ABC ≌△CDE ．解析：见解析．【分析】首先根据AC ∥DE ，利用平行线的性质可得：∠ACB=∠E ，∠ACD=∠D ，再根据∠ACD=∠B 证出∠D=∠B ，再由∠ACB=∠E ，AC=CE 可根据三角形全等的判定定理AAS 证出△ABC ≌△CDE ．【详解】证明：∵AC ∥DE ，∴ACD D ∠=∠，BCA E ∠=∠．又∵ACD B ∠=∠，∴B D ∠=∠，又∵AC CE =，∴()ABC CDE AAS ≌．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是熟练掌握判定两个三角形全等的方法：SSS 、SAS 、ASA 、AAS ，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．28．如图，在△ABC 中，90ACB ∠=︒，AC ＝BC ，BE ⊥CE 于E ，AD ⊥CE 于D ． （1）求证：AD ＝CE（2）AD ＝6cm ，DE ＝4cm ，求BE 的长度解析：（1）证明见解析；（2）2cm ．【分析】（1）先根据垂直的定义可得90ADC E ∠=∠=︒，再根据直角三角形的两锐角互余、等量代换可得CAD BCE ∠=∠，然后根据三角形全等的判定定理与性质即可得证；（2）先结合（1）的结论可得6CE cm =，再根据线段的和差可得2CD cm =，然后根据全等三角形的性质即可得．【详解】（1）,AD CE BE CE ⊥⊥，90ADC E ∠=∠=∴︒，90CAD ACD ∴∠+∠=︒，90ACB ∠=︒，90BCE ACD ∴∠+∠=︒，CAD BCE ∴∠=∠，在ACD △和CBE △中，ADC E CAD BCE AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACD CBE AAS ∴≅，AD CE ∴=；（2）由（1）已证：AD CE =，6AD cm =，6CE cm ∴=，4DE cm =，2CD CE DE cm ∴=-=，又由（1）已证：ACD CBE ≅，2BE CD cm ∴==．【点睛】本题考查了直角三角形的两锐角互余、三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握三角形全等的判定定理与性质是解题关键．。
北师版七年级数学《全等三角形的概念和性质》单元巩固与提高 知识讲解与练习
北师版七年级数学单元讲解和提高练习知识全面设计合理含答案教师必备全等三角形的概念和性质（基础）【学习目标】1．理解全等三角形及其对应边、对应角的概念；能准确辨认全等三角形的对应元素. 2．掌握全等三角形的性质；会用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决某些实际问题.【要点梳理】【高清课堂：379108 全等三角形的概念和性质基本概念梳理回顾】要点一、全等形形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形.要点诠释：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等.要点二、全等三角形能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.要点三、对应顶点，对应边，对应角1. 对应顶点，对应边，对应角定义两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角.要点诠释：在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角.2. 找对应边、对应角的方法（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；（3）有公共边的，公共边是对应边；（4）有公共角的，公共角是对应角；（5）有对顶角的，对顶角一定是对应角；（6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等.要点四、全等三角形的性质全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等.要点诠释：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具.【典型例题】类型一、全等形和全等三角形的概念1、下列每组中的两个图形，是全等图形的为（）A． B．C．D．【答案】A【解析】B，C，D选项中形状相同，但大小不等.【总结升华】是不是全等形，既要看形状是否相同，还要看大小是否相等.举一反三：【变式】（2014秋•岱岳区期末）下列各组图形中，一定全等的是（）A.各有一个角是45°的两个等腰三角形B.两个等边三角形C.各有一个角是40°，腰长3cm的两个等腰三角形D.腰和顶角对应相等的两个等腰三角形【答案】D；解析：A、两个等腰三角形的45°不一定同是底角或顶角，还缺少对应边相等，所以，两个三角形不一定全等，故本选项错误；B、两个等边三角形的边长不一定相等，所以，两个三角形不一定全等，故本选项错误；C、40°角不一定是两个三角形的顶角，所以，两个三角形不一定全等，故本选项错误；D、腰和顶角对应相等的两个等腰三角形可以利用“边角边”证明全等，故本选项正确．类型二、全等三角形的对应边，对应角2、如图，△ABN≌△ACM，∠B和∠C是对应角，AB与AC是对应边，写出其他对应边和对应角.【答案与解析】对应边：AN与AM，BN与CM对应角：∠BAN与∠CAM，∠ANB与∠AMC【总结升华】全等三角形对应角所对的边是对应边；全等三角形对应边所对的角是对应角.举一反三：【变式】如图，△ABD≌△ACE，AB＝AC，写出图中的对应边和对应角.【答案】AB和AC是对应边，AD和AE、BD和CE是对应边，∠A和∠A是对应角，∠B和∠C，∠ADB和∠AEC是对应角.类型三、全等三角形性质【高清课堂：379108 全等三角形的概念和性质例13】3、已知：如图所示，Rt△EBC中，∠EBC＝90°，∠E＝35°.以B为中心，将Rt△EBC绕点B逆时针旋转90°得到△ABD，求∠ADB的度数.解：∵Rt△EBC中，∠EBC＝90°，∠E＝35°，∴∠ECB＝________°.∵将Rt△EBC绕点B逆时针旋转90°得到△ABD，∴△________≌△_________.∴∠ADB＝∠________＝________°.【思路点拨】由旋转的定义，△ABD≌△EBC，∠ADB与∠ECB是对应角，通过计算得出结论.【答案】55；ABD，EBC；ECB，55【解析】旋转得到的图形是全等形，全等三角形对应边相等，对应角相等.【总结升华】根据全等三角形的性质来解题.4、（2014秋•青山区期中）如图，△ABC≌△DEC，点E在AB上，∠DCA=40°，请写出AB的对应边并求∠BCE的度数．【思路点拨】根据全等三角形的性质得出即可，根据全等得出∠ACB=∠DCE，都减去∠ACE即可．【答案与解析】解：AB 的对应边为DE ，∵△ABC ≌△DEC ，∴∠ACB=∠DCE ，∴∠ACB —∠ACE=∠DCE —∠ACE ，即∠BCE=∠DCA=40°．【总结升华】本题考查了全等三角形的性质的应用，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．举一反三：【变式】如图，将△ABC 绕着点C 按顺时针方向旋转20°，B 点落在位置，A 点落在位置，若，则的度数是____________.【答案】70°；提示：＝∠＝90°－20°＝70°.全等三角形的概念和性质（提高）【学习目标】1．理解全等三角形及其对应边、对应角的概念；能准确辨认全等三角形的对应元素.2．掌握全等三角形的性质；会用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决某些实际问题.【要点梳理】【高清课堂：379108 全等三角形的概念和性质 基本概念梳理回顾】要点一、全等形形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形. 要点诠释：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等.要点二、全等三角形能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.要点三、对应顶点，对应边，对应角1. 对应顶点，对应边，对应角定义两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角.要点诠释：在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC 与△DEF 全等，记作△ABC ≌△DEF ，其中点A 和点D ，点B 和点E ，点C 和点F 是对应顶点；AB 和DE ，BC 和EF ，AC 和DF 是对应边；∠A 和∠D ，∠B 和∠E ，∠C 和∠F 是对应角.B 'A 'AC A B ''⊥BAC∠BAC ∠B A C ''2. 找对应边、对应角的方法（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；（3）有公共边的，公共边是对应边；（4）有公共角的，公共角是对应角；（5）有对顶角的，对顶角一定是对应角；（6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等.要点四、全等三角形的性质全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等；要点诠释：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具.【典型例题】类型一、全等形和全等三角形的概念1、请观察下图中的6组图案，其中是全等形的是__________.【答案】（1）（4）（5）（6）；【解析】（1）（5）是由其中一个图形旋转一定角度得到另一个图形的，（4）是将其中一个图形翻折后得到另一个图形的，（6）是将其中一个图形旋转180°再平移得到的，（2）（3）形状相同，但大小不等.【总结升华】是不是全等形，既要看形状是否相同，还要看大小是否相等.举一反三：【变式1】全等三角形又叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形与镜面合同三角形，假设△ABC和△A1B1C1是全等(合同)三角形，点A与点A1对应，点B与点B1对应，点C与点C1对应，当沿周界A→B→C→A，及A1→B1→C1→A1环绕时，若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形(如图1)，若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形(如图2)，两个真正合同三角形都可以在平面内通过平移或旋转使它们重合，两个镜面合同三角形要重合，则必须将其中一个翻转180°，下列各组合同三角形中，是镜面合同三角形的是( )【答案】B；提示：抓住关键语句，两个镜面合同三角形要重合，则必须将其中一个翻转180°，B答案中的两个三角形经过翻转180°就可以重合，故选B；其它三个选项都需要通过平移或旋转使它们重合.类型二、全等三角形的对应边，对应角2、如图，△ABD≌△CDB，若AB∥CD，则AB的对应边是（）A．DB B. BC C. CD D. AD【答案】C【解析】因为AB∥CD，所以∠CDB＝∠ABD，这两个角为对应角，对应角所对的边为对应边，所以，BC和DA为对应边，所以AB的对应边为CD.【总结升华】公共边是对应边，对应角所对的边是对应边.类型三、全等三角形性质3、（2014秋•盐城期中）如图，△ABD≌△EBC，AB=3cm，BC=6cm，（1）求DE的长．（2）若A、B、C在一条直线上，则DB与AC垂直吗？为什么？【思路点拨】（1）根据全等三角形对应边相等可得BD=BC=6cm，BE=AB=3cm，然后根据DE=BD ﹣BE代入数据进行计算即可得解；（2）DB⊥AC．根据全等三角形对应角相等可得∠ABD=∠EBC，又A、B、C在一条直线上，根据平角的定义得出∠ABD+∠EBC=180°，所以∠ABD=∠EBC=90°，由垂直的定义即可得到DB⊥AC．【答案与解析】解：（1）∵△ABD ≌△EBC ，∴BD=BC=6cm ，BE=AB=3cm ，∴DE=BD ﹣BE=3cm ；（2）DB ⊥AC ．理由如下：∵△ABD ≌△EBC ，∴∠ABD=∠EBC ，又∵∠ABD+∠EBC=180°，∴∠ABD=∠EBC=90°，∴DB ⊥AC ．【总结升华】本题主要考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等．也考查了平角的定义与垂直的定义，熟记性质与定义是解题的关键． 举一反三：【变式】（2014春•吉州区期末）下列命题中：（1）形状相同的两个三角形是全等形；（2）在两个全等三角形中，相等的角是对应角，相等的边是对应边；（3）全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等，其中真命题的个数有（ ）A.3个B.2个C.1个D.0个【答案】C ；提示：（1）形状相同、大小相等的两个三角形是全等形，而原说法没有指出大小相等这一点，故（1）错误；（2）在两个全等三角形中，对应角相等，对应边相等，而非相等的角是对应角，相等的边是对应边，故（2）错误；（3）全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等，故（3）正确．综上可得只有（3）正确．故选C ．【高清课堂：全等三角形的概念和性质 例14】4、 如图，△ABE 和△ADC 是△ABC 分别沿着AB ，AC 翻折180°形成的，若∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，∠α的度数是_________.【思路点拨】（1）由∠1，∠2，∠3之间的比例关系及利用三角形内角和可求出∠1，∠2，∠3的度数；（2）由全等三角形的性质求∠EBC ，∠BCD 的度数；（3）运用外角求∠α的度数.【答案】∠α＝80°【解析】∵∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，设∠1＝28，∠2＝5，∠3＝3，∴28＋5＋3＝36＝180°，＝5°即∠1＝140°，∠2＝25°，∠3＝15°∵△ABE 和△ADC 是△ABC 分别沿着AB ，AC 翻折180°形成的，x x x x x x x x∴△ABE ≌△ADC ≌△ABC∴∠2＝∠ABE ，∠3＝∠ACD∴∠α＝∠EBC ＋∠BCD ＝2∠2＋2∠3＝50°＋30°＝80°【总结升华】此题涉及到了三角形内角和，外角和定理，并且要运用全等三角形对应角相等的性质来解决问题.见“比例”设未知数是比较常用的解题思路.举一反三：【变式】如图，在△ABC 中，∠A :∠ABC:∠BCA ＝3:5:10，又△MNC≌△ABC，则∠BCM：∠BCN等于（ ）A ．1:2B ．1:3C ．2:3D ．1:4【答案】D ；提示：设∠A＝3，∠ABC＝5，∠BCA＝10，则3＋5＋10＝18＝180°，＝10°. 又因为△MNC≌△ABC，所以∠N ＝∠ABC ＝50°，CN ＝CB ，所以∠N ＝∠CBN ＝50°，∠ACB ＝∠MCN ＝100°，∠BCN ＝180°－50°－50°＝80°，所以∠BCM：∠BCN＝20°：80°＝1：4.【巩固练习】一、选择题1. 如图，△ABC ≌△ECD ，AB 和EC 是对应边，C 和D 是对应顶点，则下列结论中错误的是（ ）A. AB ＝CEB. ∠A ＝∠EC. AC ＝DED. ∠B ＝∠D2. 如图，△ABC ≌△BAD ，A 和B ，C 和D 分别是对应顶点，若AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，则AD 的长为（ ）A. 4B. 5C. 6D. 以上都不对x x x x x x x x x cm cm cm cm cm cm3. 下列说法中正确的有（）①形状相同的两个图形是全等图形②对应角相等的两个三角形是全等三角形③全等三角形的面积相等④若△ABC≌△DEF，△DEF ≌△MNP，△ABC≌△MNP.A.0个B.1个C.2个D.3个4. （2014秋•庆阳期末）如图，△ABC≌△A′B′C，∠ACB=90°，∠A′CB=20°，则∠BCB′的度数为（）A.20°B.40°C.70°D.90°5. 已知△ABC≌△DEF，BC＝EF＝6cm，△ABC的面积为18平方厘米，则EF边上的高是（）A.6cmB.7cmC.8cmD.9cm6. 将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC、BD分别为折痕，则∠CBD的度数为（）A．60° B．75°C．90°D．95°二、填空题7.（2014秋•安阳县校级期末）如图所示，△AOB≌△COD，∠AOB=∠COD，∠A=∠C，则∠D的对应角是___________，图中相等的线段有____________________________．8. 如图，△ABC≌△AED，AB＝AE，∠1＝27°，则∠2＝___________.9. 已知△DEF ≌△ABC ，AB ＝AC ，且△ABC 的周长为23，BC ＝4，则△DEF 的边中必有一条边等于______.10. 如图，如果将△ABC 向右平移CF 的长度，则与△DEF 重合，那么图中相等的线段有__________；若∠A ＝46°，则∠D ＝________.11.已知△ABC ≌△，若△ABC 的面积为10 ，则△的面积为________ ，若△的周长为16，则△ABC 的周长为________．12. △ABC 中，∠A ∶∠C ∶∠B ＝4∶3∶2，且△ABC ≌△DEF ，则∠DEF ＝______ .三、解答题13.如图，已知△ABC ≌△DEF ，∠A ＝30°，∠B ＝50°，BF ＝2，求∠DFE 的度数与EC 的长.14. （2014秋•射阳县校级月考）如图，在图中的两个三角形是全等三角形，其中A 和D 、B 和E 是对应点．（1）用符号“≌“表示这两个三角形全等（要求对应顶点写在对应位置上）；（2）写出图中相等的线段和相等的角；（3）写出图中互相平行的线段，并说明理由．15. 如图，E 为线段BC 上一点，AB ⊥BC ，△ABE ≌△ECD.判断AE 与DE的关系，并证明你的cmcm '''A B C 2cm '''A B C 2cm '''A B C cmcm结论.【答案与解析】一.选择题1. 【答案】D ；2. 【答案】B ；【解析】AD 与BC 是对应边，全等三角形对应边相等.3. 【答案】C ；【解析】③和④是正确的；4. 【答案】C ；【解析】解：∵△ACB ≌△A ′CB ′，∴∠ACB=∠A ′CB ′，∴∠BCB ′=∠A ′CB ′﹣∠A ′CB=70°．故选C ．5. 【答案】A ；【解析】EF 边上的高＝； 6. 【答案】C ；【解析】折叠所成的两个三角形全等，找到对应角可解.二.填空题7. 【答案】∠OBA ，OA=OC 、OB=OD 、AB=CD ；【解析】解：∵△AOB ≌△COD ，∠AOB=∠COD ，∠A=∠C ，∴∠D=∠OBA ，OA=OC 、OB=OD 、AB=CD ，故答案为：∠OBA ，OA=OC 、OB=OD 、AB=CD ．8. 【答案】27°；9. 【答案】4或9.5；【解析】DE ＝DF ＝9.5，EF ＝4；10.【答案】AB ＝DE 、AC ＝DF 、BC ＝EF 、BE ＝CF ， 46°；11.【答案】10，16；【解析】全等三角形面积相等，周长相等；12.【答案】40°；【解析】见“比例”设，用三角形内角和为180°求解.三.解答题13.【解析】解： 在△ABC 中，∠ACB ＝180°－∠A －∠B ，又∠A ＝30°，∠B ＝50°，所以∠ACB ＝100°.18266⨯=cm cm cm cm k又因为△ABC ≌△DEF ，所以∠ACB ＝∠DFE ，BC ＝EF （全等三角形对应角相等，对应边相等）所以∠DFE ＝100°EC ＝EF －FC ＝BC －FC ＝BF ＝2.14. 【解析】解：（1）△ABC ≌△DEF ；（2）AB=DE ，BC=EF ，AC=DF ；∠A=∠D ，∠B=∠E ，∠ACB=∠DFE ；（3）BC ∥EF ，AB ∥DE ，理由是：∵△ABC ≌△DEF ，∴∠A=∠D ，∠ACB=∠DFE ，∴AB ∥DE ，BC ∥EF ．15. 【解析】 AE ＝DE ,且AE ⊥DE证明： ∵△ABE ≌△ECD ，∴∠B ＝∠C ，∠A ＝∠DEC ，∠AEB ＝∠D ，AE ＝DE又∵AB ⊥BC∴∠A ＋∠AEB ＝90°，即∠DEC ＋∠AEB ＝90°∴AE ⊥DE∴AE 与DE 垂直且相等.【巩固练习】一、选择题1．下列命题中，真命题的个数是 （ ）①全等三角形的周长相等 ②全等三角形的对应角相等③全等三角形的面积相等 ④面积相等的两个三角形全等A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个2. 如图，△ABC ≌ΔADE ，若∠B ＝80°，∠C ＝30°，∠DAC ＝35°，则∠EAC 的度数为 （ ）A ．40°B ．35°C ．30°D ．25°3.下列命题中：⑴形状相同的两个三角形是全等形；⑵在两个三角形中，相等的角是对应角，相等的边是对应边；⑶全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等，其中真命题的个数有( )A.3个B.2个C.1个D.0个4．△ABC ≌△DEF ，且△ABC 的周长为100，A 、B 分别与D 、E 对应，且AB ＝35，DF＝30，则EF 的长为（ ）A ．35B ．30C ．45D ．555.（2014秋•红塔区期末）如图，已知△ACE ≌△DFB ，下列结论中正确的个数是（ ）①AC=DB ；②AB=DC ；③∠1=∠2；④AE ∥DF ；⑤S △ACE=S △DFB ；⑥BC=AE ；⑦BF ∥EC ．cm cm cm cm cm cm cm6.如图，△ABE≌△ACD,AB＝AC, BE＝CD, ∠B＝50°,∠AEC＝120°，则∠DAC的度数为（）A.120°B.70 °C.60°D.50°二、填空题7. 如图，把△ABC绕C点顺时针旋转35°，得到△，交AC于点D，则.8. 如图，△ABC≌△ADE，如果AB＝5，BC＝7，AC＝6，那么DE的长是________.9. 如图，△ABC≌△ADE，则，AB＝，∠E ＝∠；若∠BAE＝120°，∠BAD＝40°，则∠BAC＝___________.10.（2014•梅列区质检）如图，△ACB≌△A′CB′，∠BCB′=30°，则∠ACA′的度数为''A B C''A BAB'D =∠cm cm cm__________．11. △ABC 中，∠A ∶∠C ∶∠B ＝4∶3∶2，且△ABC ≌△DEF ，则∠DEF ＝______12. 如图,AC 、BD 相交于点O ，△AOB≌△COD，则AB 与CD 的位置关系是 .三、解答题13. 如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，△ABC ≌△DFC ，你能判断DE 与AB 互相垂直吗？说出你的理由.14.（2014秋•无锡期中）如图，已知△ABC ≌△DEF ，∠A=30°，∠B=50°，BF=2，求∠DFE的度数和EC 的长．15.如图，把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 内部时，（1）写出图中一对全等的三角形，并写出它们的所有对应角；（2）设的度数为，∠的度数为，那么∠1，∠2的度数分别是多少？（用含有或的代数式表示）（3）∠A 与∠1＋∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个规律.AED ∠x ADE y xy【答案与解析】一.选择题1. 【答案】 B ；【解析】①②③是正确的；2. 【答案】B ；【解析】∠EAC ＝∠BAD ＝180°－80°－30°－35°＝35°；3. 【答案】C ；【解析】只有（3）是正确的命题；4. 【答案】A ；【解析】AC ＝DF ＝30，EF ＝BC ＝100－35－30＝35；5. 【答案】C ；【解析】解：∵△ACE ≌△DFB ，∴AC=DB ，①正确；∠ECA=∠DBF ，∠A=∠D ，S △ACE=S △DFB ，⑤正确；∵AB+BC=CD+BC ，∴AB=CD ②正确；∵∠ECA=∠DBF ，∴BF ∥EC ，⑦正确；∠1=∠2，③正确；∵∠A=∠D ，∴AE ∥DF ，④正确．BC 与AE ，不是对应边，也没有办法证明二者相等，⑥不正确．故选C ．6. 【答案】B ；【解析】由全等三角形的性质，易得∠BAD ＝∠CAE ＝10°，∠BAC ＝80°，所以∠DAC ＝70°.二.填空题7. 【答案】35° ；【解析】旋转得到的三角形和原三角形全等，所以，，所以，180°－∠－∠＝180°－（∠ABC ＋∠）＝∠＝35°．8. 【答案】7；【解析】BC 与DE 是对应边；9．【答案】AD C 80°；【解析】∠BAC ＝∠DAE ＝120°－40°＝80°；10.【答案】30°；【解析】解：∵△ACB≌△A′CB′，∴∠ACB=∠A′CB′，∵∠BCB′=∠A′CB′﹣∠A′CB，∴∠ACA′=∠ACB﹣∠A′CB，∴∠ACA′=∠BCB′=30°．故答案为：30°.11.【答案】40°；'B C BC =A B C=ABC ''∠∠AB D ='∠BB C 'A'B'C BB C 'BCB 'cm【解析】∠DEF ＝∠ABC ＝×180°＝40°； 12.【答案】平行；【解析】由全等三角形性质可知∠B ＝∠D ，所以AB ∥CD.三.解答题13.【解析】DE 与AB 互相垂直.∵△ABC ≌△DFC∴∠A ＝∠D ，∠B ＝∠CFD ，又∵∠ACB ＝90°∴∠B ＋∠A ＝90°，而∠AFE ＝∠CFD∴∠AFE ＋∠A ＝90°，即DE ⊥AB.14.【解析】解：∵∠A=30°，∠B=50°，∴∠ACB=180°﹣∠A ﹣∠B=180°﹣30°﹣50°=100°， ∵△ABC ≌△DEF ，∴∠DFE=∠ACB=100°，EF=BC ，∴EF ﹣CF=BC ﹣CF ，即EC=BF ，∵BF=2，∴EC=2．15.【解析】（1）△EAD ≌△，其中∠EAD ＝∠，；（2）∠1＝180°－2，∠2＝180°－2；（3）规律为：∠1＋∠2＝2∠A ．2432++EA D 'EA D 'AED A ED ADE A DE ''=∠=，∠∠∠x y。
全等三角形的性质及判定(习题及标准答案)
全等三角形的性质及判定(习题及答案)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：??全等三角形的性质及判定（习题）➢ 例题示范例 1：已知：如图，C 为 AB 中点，CD =BE ，CD ∥BE ． 求证：△ACD ≌△CBE ．【思路分析】 ① 读题标注：DDBB② 梳理思路：要证全等，需要三组条件，其中必须有一组边相等． 由已知得，CD =BE ；根据条件 C 为 AB 中点，得 AC =CB ；这样已经有两组条件都是边，接下来看第三边或已知两边的夹角．由条件 CD ∥BE ，得∠ACD =∠B ．发现两边及其夹角相等，因此由 SAS 可证两三角形全等． 【过程书写】先准备不能直接用的两组条件，再书写全等模块．过程书写中需要注意字母对应． 证明：如图∵C 为 AB 中点 ∴AC =CB ∵CD ∥BE ∴∠ACD =∠B在△ACD 和△CBE 中 ? AC = CB （已证） ??ACD = ?B （已证） ?CD = BE （已知） ∴△ACD ≌△CBE （SAS ）ACEAC EEC➢ 巩固练习1. 如图，△ABC ≌△AED ，有以下结论：①AC =AE ；②∠DAB =∠EAB ；③ED =BC ；④∠EAB =∠DAC ． 其中正确的有（ ）A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个EAA1F EBC2BDC D 第 1 题图 第 2 题图2. 如图，B ，C ，F ，E 在同一直线上，∠1=∠2，BF =EC ，要使△ABC ≌△DEF ，还需要添加一组条件， 这个条件可以是 ，理由是 ；这个条件也可以是 ，理由是 ； 这个条件还可以是，理由是．3. 如图，D 是线段 A B 的中点，∠C =∠E ，∠B =∠A ，找出图中的一对全等三角形是 ，理由是 ．ACAG DFHBEBD第 3 题图 第 4 题图4. 如图，AB =AD ，∠BAE =∠DAC ，要使△ABC ≌△ADE ，还需要添加一组条件，这个条件可以是 ，理由是 ； 这个条件也可以是 ，理由是 ； 这个条件还可以是，理由是．BCDF1 2 5. 如图，将两根钢条 AA' ， BB' 的中点连在一起，使 AA' ， BB' 可以绕着中点 O 自由旋转，这样就做成了一个测量工具，A'B' 的长等于内槽宽 AB ．其中判定△OAB ≌△ OA'B' 的理由是 （ ）A ．SASB ．ASAC ．SSSD ．AASAB'A'E第 5 题图 第 6 题图6. 要测量河两岸相对的两点 A ，B 的距离，先在 AB 的垂线 BF上取两点 C ，D ，使 CD =BC ，再定出 BF 的垂线 DE ，使 A ， C ，E 在一条直线上（如图所示），可以说明△E DC ≌△ABC ，得 ED =AB ，因此测得 ED 的长就是 AB 的长．判定△EDC ≌ △ABC 最恰当的理由是（ ） A ．SAS B ．ASA C ．SSS D ．AAA 7. 已知：如图，M 是 AB 的中点，∠1=∠2，∠C =∠D ．求证：△AMC ≌△BMD ． 【思路分析】 ① 读题标注： ② 梳理思路： C DA MB 要证全等，需要 组条件，其中必须有一组 相等．由已知得： =，= ．根据条件，得 = ．因此，由 可证两三角形全等．【过程书写】证明：如图A OBCBFE8. 已知：如图，点 B ，F ，C ，E 在同一条直线上，且 BC =EF ，AB ∥DE ，AB =DE ．A求证：△ABC ≌△DEF ．【思路分析】 ① 读题标注： ② 梳理思路： D要证全等，需要 组条件，其中必须有一组 相等．由已知得： =，= ． 根据条件 ，得 = ．因此，由 可证两三角形全等．【过程书写】证明：如图➢思考小结1.两个三角形全等的判定有，，_，，其中AAA，SSA 不能证明三角形全等，请举反例进行说明．2.如图，A，B 两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B 间的距离，但绳子不够长，一个叔叔帮他出了这样一个主意：先在地上取一个可以直接到达A 点和B 点的点C，连接AC 并延长到D，使CD=CA；连接BC 并延长到E，使CE=CB，连接DE 并测量出它的长度，DE 的长度就是A，B 间的距离．你能说明其中的道理吗？A ECB D????【参考答案】 ➢ 巩固练习1. B2. AC =DF ，SAS ；∠B =∠E ，ASA ；∠A =∠D ，AAS3. △BCD ≌△AED ，AAS4. AC =AE ，SAS ；∠B =∠D ，ASA ；∠C =∠E ，AAS5. A6. B7.①略 ②3，边∠1，∠2；∠C ，∠DM 是 AB 的中点，AM ，BM AAS【过程书写】证明：如图，∵M 是 AB 的中点 ∴AM =BM在△AMC 和△BMD 中 ??C = ?D （已知） ??1 = ?2 （已知） ? AM = BM （已证） ∴△AMC ≌△BMD （AAS ） 8. ①略②3，边BC ，EF ， AB ，DE AB ∥DE ，∠B ，∠E SAS【过程书写】证明：如图，∵AB ∥DE ∴∠B =∠E在△ABC 和△DEF 中 ? AB = DE （已知） ??B = ?E （已证） ?BC = EF （已知） ∴△ABC ≌△DEF （SAS ）??➢ 思考小结1. SAS ，SSS ，ASA ，AASAAA 反例：大小三角板 SSA 反例：作图略 2. 证明：如图，在△ABC 和△DEC 中 ? AC = DC （已知） ??ACB = ?DCE （对顶角相等） ?BC = EC （已知） ∴△ABC ≌△DEC （SAS ）∴AB =DE （全等三角形对应边相等） 即 DE 的长度就是 A ，B 间的距离。
第1章 全等三角形(巩固篇)(解析版)
2020—2021八年级上学期单元过关卷（苏科版）第1章 全等三角形（巩固篇）姓名：___________考号：___________分数：___________（考试时间：100分钟 满分：120分）一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．如图，锐角△ABC 的两条高BD 、CE 相交于点O ，且CE ＝BD ，若△CBD ＝20°，则△A 的度数为（ ）A ．20°B ．40°C ．60°D ．70°【答案】B【分析】 由BD 、CE 是高，可得△BDC =△CEB =90°，可求△BCD ＝70°，可证Rt △BEC △Rt △CDB （HL ），得出△BCD ＝△CBE ＝70°即可．【详解】解：△BD 、CE 是高，△CBD ＝20°，△△BDC =△CEB =90°，△△BCD ＝180°﹣90°﹣20°＝70°，在Rt △BEC 和Rt △CDB 中，CE BD BC CB=⎧⎨=⎩， △Rt △BEC △Rt △CDB （HL ），△△BCD ＝△CBE ＝70°，△△A ＝180°﹣70°﹣70°＝40°．故选：B ．【点睛】本题考查三角形高的定义，三角形全等判定与性质，三角形内角和公式，掌握三角形高的定义，三角形全等判定与性质，三角形内角和公式是解题关键．2．如图，在Rt ABC 与Rt DCB △中，已知90A D ∠=∠=︒，添加一个条件，不能使得≌Rt ABC Rt DCB 的是（ ）A ．AB DC =B ．AC DB = C ．ABC DCB ∠=∠D ．BC BD =【答案】D【分析】 要证明≌Rt ABC Rt DCB ，由已知条件90A D ∠=∠=︒，BC BC =，再加一个条件，可以根据HL ，AAS 来判断．【详解】解：根据三角形全等的判定定理，A ，90A D ∠=∠=︒，AB DC =，BC BC =，符合HL ，能使得≌Rt ABC Rt DCB 成立，不符合题意；B ，90A D ∠=∠=︒，AC DB =，BC BC =，符合HL ，能使得≌Rt ABC Rt DCB 成立，不符合题意；C ，90AD ∠=∠=︒，ABC DCB ∠=∠，BC BC =，符合AAS ，能使得≌Rt ABC Rt DCB 成立，不符合题意；D ，90A D ∠=∠=︒，BC BD =，BC BC =，不能使得≌Rt ABC Rt DCB 成立，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了证明三角形全等的判断定理，解题的关键是：熟练应用三角形全等的判定定理：,,,,SSS SAS ASA AAS HL ．3．如图，在ABC 和ADE 中，AB AC =，AD AE =，BAC DAE ∠=∠，125∠=︒，230∠=︒，则3∠=（ ）A ．60°B ．55°C ．50°D ．45°【答案】B【详解】 △BAC DAE ∠=∠，△BAC DAC DAE DAC ∠-∠=∠-∠，△BAD CAE ∠=∠．在BAD和CAE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△()BAD CAE SAS ≌△△，△2ABD ∠=∠．△230∠=︒，△30ABD ∠=︒．△125∠=︒，△3155ABD ∠=∠+∠=︒．4．如图，在ADM △中，AM DM =，90AMD ∠=︒，直线l 经过点M ，AB l ⊥，DC l ⊥，垂足分别为点B ，C ，若2AB =，5CD =，则BC 的长度为（ ）A ．1.5B ．3C ．4D ．5【答案】B【详解】 △AB l ⊥，DC l ⊥，△90DCM MBA ∠=∠=︒，△90MDC DMC ∠+∠=︒，△90AMD ∠=︒，△90DMC AMB ∠+∠=︒，△MDC AMB ∠=∠，在DMC 与MAB △中，DCM MBA MDC AMB DM AM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△()DMC MAB AAS △≌△，△2CM AB ==，5BM CD ==，△523BC BM CM =-=-=．5．工人师傅常用角尺平分一个任意角，具体做法如下：如图，已知AOB ∠是一个任意角，在边,OA OB 上分别取OM ON =，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M ，N 重合，则过角尺顶点C 的射线OC 便是AOB ∠的角平分线．在证明MOC NOC ≌时运用的判定依据是（ ）A ．SSSB ．SASC ．ASAD ．AAS【答案】A【详解】略6．如图，点B ，F ，C ，E 共线，△B =△E ，BF =EC ，添加一个条件，不等判断△ABC △△DEF 的是（）A ．AB =DE B ．△A =△DC ．AC =DFD ．AC △FD【答案】C【分析】根据全等三角形的判定与性质逐一分析即可解题．【详解】 解：BF =EC ，BC EF ∴=A. 添加一个条件AB =DE ，又,BC EF B E =∠=∠()ABC DEF SAS ∴△≌△故A 不符合题意；B. 添加一个条件△A =△D又,BC EF B E =∠=∠()ABC DEF AAS ∴≌故B 不符合题意；C. 添加一个条件AC =DF ，不能判断△ABC △△DEF ，故C 符合题意；D. 添加一个条件AC △FDACB EFD ∴∠=∠又,BC EF B E =∠=∠()ABC DEF ASA ∴≌故D 不符合题意，故选：C ．【点睛】本题考查添加条件使得三角形全等即全等三角形的判定，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．7．如图，正方形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，M 是边AD 上一点，连接OM ，过点O 做ON △OM ，交CD 于点N ．若四边形MOND 的面积是1，则AB 的长为（ ）A ．1B C ．2 D ．【答案】C【分析】 先证明()MAO NDO ASA ≅，再证明四边形MOND 的面积等于，DAO 的面积，继而解得正方形的面积，据此解题．【详解】解：在正方形ABCD 中，对角线BD △AC ，90AOD ∴∠=︒ON OM ⊥90MON ∴∠=︒AOM DON ∴∠=∠又45,MAO NDO AO DO ∠=∠=︒=()MAO NDO ASA ∴≅MAO NDO S S ∴=四边形MOND 的面积是1，1DAO S ∴=∴正方形ABCD 的面积是4，24AB ∴=2AB ∴=故选：C ．【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．8．如图，B 、E 、C 、F 在同一直线上，BE ＝CF ，AB △DE ，请你添加一个合适的条件，使△ABC △△DEF ，其中不符合三角形全等的条件是（ ）A ．AC ＝DFB ．AB ＝DEC ．△A ＝△D D ．△ACB ＝△F【答案】A【分析】 根据全等三角形的判定方法逐项判断即可．【详解】解：//AB DE ，B DEF ∴∠=∠，BE CF =，BE EC EC CF ∴+=+，即BC EF =，∴当AC DF =时，满足SSA ，无法判定ABC DEF ∆≅∆，故A 选项符合题意； 当AB DE =时，满足SAS ，可以判定ABC DEF ∆≅∆，故B 选项不合题意； 当A D ∠=∠时，满足AAS ，可以判定ABC DEF ∆≅∆，故C 选项不合题意； 当ACB F ∠=∠时，满足ASA ，可以判定ABC DEF ∆≅∆，故D 选项不合题意； 故选：A ．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定方法，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS 、SAS 、ASA 、AAS 和HL ．9．如图，用直尺和圆规作图，以点O 为圆心，适当长为半径画弧，分别交OB ，OA 于点E 、D ，再分别以点E 、D 为圆心，大于12ED 的长为半径画弧，两弧交于点C ，连接OC ，则△ODC △OEC 的理由是（ ）A ．SSSB ．SASC ．AASD ．HL【答案】A【分析】 连接EC 、DC ．根据作图的过程知，OE=OD ，CE=CD ，利用SSS 即可证明△ODC △OEC ．【详解】如图，连接EC 、DC ．根据作图的过程知，OE=OD ，CE=CD ，在△EOC 与△DOC 中，OE OD OC OC CE CD =⎧⎪=⎨⎪=⎩，△△EOC △△DOC （SSS ）．故选A ．【点睛】本题考查了基本作图及三角形全等的判定方法，根据作图方法确定出三角形全等的条件是解决问题的关键．10．下列各图中a b c ､､为三角形的边长，则甲､乙､丙三个三角形和左侧ABC 一定全等的是（ ）A ．甲和乙B ．乙和丙C ．甲和丙D ．只有丙【答案】B【详解】 乙和ABC 全等；理由如下：在ABC 和图乙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：SAS ，所以乙和ABC 全等；在ABC 和图丙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：AAS ，所以丙和ABC 全等；不能判定甲与ABC 全等；故选：B ．11．如图，在ACB △中，90,ACB AC BC ∠=︒=，点C 的坐标为(1,0)-，点A 的坐标为(6,3)-，则点B 的坐标为（ ）A ．(2,5)B ．(1,4)C ．(3,6)D ．(1,5)【答案】A【详解】如解图，过点A 作AE x ⊥轴于点E ，过点B 作BF x ⊥轴于点F ，点C 的坐标为(1,?0)-，点A 的坐标为(6,3),1,3,6,5OC AE EO EC -∴===∴=，90ACE BCF BCF CBF ∠+∠=∠+∠=︒，,,90ACE CBF AC CB AEC CFB ∴∠=∠=∠=∠=︒，(AAS)AEC CFB ∴≌．3,5,2,AE CF EC BF OF ∴====∴=∴点B 的坐标为(2,5)．12．如图，在ABC 中，50A ∠=︒，点D ，E 分别在边AC ，AB 上，连接BD ，CE ，39ABD ∠=︒，若AEC ADB △≌△，点E 和点D 是对应顶点，则CBD ∠的度数是（ ）A ．24︒B ．25︒C ．26︒D ．27︒【答案】C【详解】 △AEC ADB △≌△，△AC AB =，△A ABC CB =∠∠，△50A ∠=︒，△65ABC ACB ∠=∠=︒，又△39ABD ∠=︒，△653926CBD ABC ABD ∠=∠-∠=︒-︒=︒.二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．如图，在正方形ABCD 中，点E 在边DC 上，4DE =，3EC =，将线段AE 绕点A 旋转后使点E 落在直线BC 上的点P 处，则CP 的长为________．【答案】3或11【详解】【解答】如解图，①当点P 在线段BC 上时，△90D ABP ∠=∠=︒，AD AB =，AE AP =，△()Rt ABP Rt ADE HL ≅△△.△4BP DE ==.△7BC DC DE EC ==+=，△743PC BC BP =-=-=；②当点P'在线段CB 的延长线上时，同理可得'4BP DE ==，△''7411CP BC BP =+=+=.综上所述，满足条件的CP 的长为3或11.14．如图，在ABC 中，90ABC ∠=︒，8AB =，6BC =，将线段AC 绕点A 顺时针旋转得到AD ，且DAC BAC ∠=∠，连接CD ，则ACD △的面积为________．【答案】30【详解】如解图，过点D 作DE AC ⊥于点E ，△90ABC ∠=︒，8AB =，6BC =，△10AC =，△将线段AC 绕点A 顺时针旋转得到AD ，△AD AC =，又△DAC BAC ∠=∠，90ABC AED ∠=∠=︒，△()ABC AED AAS ≌△△，△6DE BC ==，△1302ACD S AC DE =⋅=△．15．在△ABC 中，AD 为△BAC 的角平分线．若添加一个条件：______，则△ABD △△ACD ．【答案】AD BC ⊥【分析】依据ASA ，可知添加的条件可以是AD △BC ．【详解】当AD △BC 时，△ADB =△ADC =90°，△AD 平分△BAC ，△△BAD =△CAD ，在△ABD 和△ACD 中，AD ADADB ADC BAD CAD ⎧⎪=⎨⎪∠=∠=∠⎩∠， △△ABD △△ACD ，故答案为：AD △BC ．【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟知判定条件是解题的关键．16．如图，在ABC 和ADE 中，BAC DAE ∠=∠，BC DE =，请你添加一个条件____，使ABC ADE △≌△（填一个即可）．【答案】B D ∠=∠等【分析】三角形全等条件中必须是三个元素，并且一定有一组对应边相等，据此解答即可．【详解】解：△BAC DAE ∠=∠，BC ＝DE ，△添加B D ∠=∠，可根据AAS 证明ABC ADE △≌△；或C E ∠=∠，可根据AAS 证明ABC ADE △≌△；故答案为：B D ∠=∠等【点睛】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS 、ASA 、SAS 、SSS ，直角三角形可用HL 定理，但AAA 、SSA ，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目．17．如图，点C ，E ，F ，B 在同一直线上，//,AB CD AE DF =，下列3个条件：①A D ∠=∠；②BF CE =；③//AE DF ，选出能推出AB CD =的一个条件．已知：如图，//,AB CD AE DF =，___________（写出一种情况即可）；求证：AB CD =．【答案】①或③；见解析【分析】若选①，由//AB CD 可得B C ∠=∠，由AAS 定理可得ABE DCF △≌△，利用三角形的性质定理可得结果；若选③，由//AE DF 可得AEB DFC =∠∠，可证得ABE DCF △≌△，利用全等三角形的性质定理可得结果．【详解】.法一：若选①，证明如下：△//AB CD ，△B C ∠=∠．△,A D AE DF ∠=∠=，△ABE DCF △≌△．△AB CD =．法二：若选③，证明如下：△//AB CD ，△B C ∠=∠．△//AE DF ，△AEB DFC =∠∠．△AE DF =，△ABE DCF △≌△．△AB CD =．【点睛】本题只要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 18．如图，要测量水池宽AB ，可从点A 出发在地面上画一条线段AC ，使AC AB ⊥，再从点C 观测，在BA 的延长线上测得一点D ，使ACD ACB ∠=∠，这时量得120m AD =，则水池宽AB 的长度是__m ．【答案】120【分析】利用全等三角形的性质解决问题即可．【详解】AC BD ，90CAD CAB ∴∠=∠=︒，CA CA =，ACD ACB ∠=∠，()ACD ACB ASA ∴∆≅∆，120AB AD m ∴==，故答案为120．【点睛】本题考查全等三角形的应用，解题关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题．三、 解答题（本大题共6小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19．如图，BE △AE ，CF △AE ，垂足分别为E 、F ，D 是EF 的中点，CF ＝AF ．（1）请说明CD ＝BD ；（2）若BE ＝6，DE ＝3，请直接写出△ACD 的面积．【答案】（1）见解析；（2）27．【分析】（1）由BE △AE ，CF △AE 可得△BED ＝△CFD ，再由D 是EF 的中点可得ED ＝FD ，然后根据ASA 可证△BED △△CFD ，最后运用全等三角形的性质即可证明；（2）由全等三角形的性质可得CF ＝EB ＝6，然后可得DF ＝3，再计算出AD 的长，最后利用三角形面积公式求解即可．【详解】解：（1）△BE △AE ，CF △AE ，△△BED ＝△CFD ，△D 是EF 的中点，△ED ＝FD ，在△BED 与△CFD 中，CFD DEB DF DECDF BDE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， △△BED △△CFD （ASA ），△CD ＝BD ；（2）由（1）得：CF ＝EB ＝6，△AF ＝CF ，△AF ＝6，△D 是EF 的中点，△DF ＝DE ＝3，△AD ＝9，△△ACD 的面积：12AD •CF ＝12×9×6＝27． 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形面积计算等知识点，灵活运用全等三角形的判定与性质定理成为解答本题的关键．20．如图，在五边形ABCDE 中，AB ＝CD ，△ABC ＝△BCD ，BE ，CE 分别是△ABC ，△BCD 的角平分线．（1）求证：△ABE △△DCE ；（2）当△A ＝80°，△ABC ＝140°时，求△AED 的度数．【答案】（1）见解析；（2）100°【分析】（1）由角平分线的定义得出△ABE =△CBE ，△BCE =△DCE ，可证明△ABE △△DCE （SAS ）； （2）由全等三角形的性质得出△A =△D =80°，根据五边形的内角和可求出答案．【详解】解：（1）证明：△BE ，CE 分别是△ABC ，△BCD 的角平分线．△△ABE =△CBE ，△BCE =△DCE ，△△ABC =△BCD ，△△ABE =△DCE ，△EBC =△ECB ，△BE =CE ，在△ABE 和△DCE 中，AB CD ABE DCE BE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ABE △△DCE （SAS ）；（2）解：△△ABE △△DCE ，△△A =△D =80°，△△ABC =140°，△△ABC =△BCD =140°，△五边形ABCDE 的内角和是540°，△△AED =540°-△A -△D -△ABC -△BCD =540°-80°-80°-140°-140°=100°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，五边形的内角和，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．21．已知：如图//12180EF CD ∠+∠=︒，．（1）试说明//GD CA （填空）△//EF CD△1∠+_____180=︒（_____________）△12180∠+∠=︒△2∠=____________△//GD CA （________________）（2）若CD 平分,ACB DG ∠平分CDB ∠，且40A ∠=︒，求ACB ∠的度数．【答案】（1）见解析；（2）80°【分析】（1）由平行线的性质得出△1+△ECD =180°，再由已知得出△2=△ECD ，即可得出结论；（2）由（1）得：GD △CA ，由平行线的性质得出△BDG =△A =40°，△ACD =△2，由角平分线定义得出△ACD =△2=△BDG =40°，由CD 平分△ACB ，得出△ACB =2△ACD =80°．【详解】解：（1）△EF △CD△△1+△ECD =180°（两直线平行，同旁内角互补）又△△1+△2=180°（已知）△△2=△ECD （等式的性质）△GD △CA （内错角相等，两直线平行）；（2）由（1）得：GD △CA ，△△BDG =△A =40°，△ACD =△2，△DG 平分△CDB ，△△ACD =△2=△BDG =40°，△CD 平分△ACB ，△△ACB =2△ACD =80°．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线定义等知识；熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．22．已知ABN 和ACM △位置如图所示，AB AC =，AD AE =，12∠=∠．（1）试说明：BD CE =；（2）试说明：M N ∠=∠．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据题意利用SAS 可证明△ABD △△ACE ，即可证明结论；（2）根据△ABD △△ACE 可知△B =△C ，然后由等量代换得出△BAN =△CAM ，从而利用ASA 可证明△ABN △△ACM ，从而利用全等三角形的性质即可得出答案．【详解】解：（1）在△ADB 和△AEC 中，12AB AC AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△ADB △△AEC （SAS ），△BD =CE ；（2）△12∠=∠，△BAN CAM ∠=∠，△△ADB △△AEC ，△B C ∠=∠，△180180B BAN C CAM ︒-∠-∠=︒-∠-∠，即M N ∠=∠．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质，掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 23．如图，AC 是四边形ABCD 的对角线，1B ∠=∠，点E ，F 分别在边AB ，BC 上，且BE CD =，BF CA =，连接EF ．（1）求证：2D ∠=∠；（2）若//EF AC ，74D ∠=︒，求BAC ∠的度数．【答案】（1）见解析；（2）74°【分析】（1）利用边角边公理证明≌BEF CDA △△，再利用全等三角形的性质可得答案； （2）利用平行线的性质证明2BAC ∠=∠，而274∠=∠=︒D ，从而可得答案．【详解】（1）证明：在BEF 和CDA 中，BE CD =，1B ∠=∠，BF CA =，△≌BEF CDA △△．△2D ∠=∠．（2）解：△//EF AC ，△2BAC ∠=∠．由（1）知，274∠=∠=︒D ，△74∠=︒BAC ．【点睛】本题考查的是三角形的全等的判定与性质，平行线的性质，掌握利用边角边判定三角形全等是解题的关键．24．如图所示，点M 是线段AB 上—点，ED 是过点M 的一条直线，连接AE 、BD ，过点B 作//BF AE 交ED 于F ，且EM FM =．（1）若5AE =，求BF 的长；（2）若90AEC ∠=︒，DBF CAE ∠=∠，求证：CD FE =．【答案】（1）5；（2）见解析【分析】（1）根据ASA 证明△AEM △△BFM 即可得到结论；（2）根据ASA 证明△ACE △△BDF 得到 CE =BF ，根据线段的差即可得结论．【详解】解：（1）△//BF AE△AEM BFM ∠=∠在AEM ∆和BFM ∆中，AME BMF EM FMAEM BFM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩△AEM BFM ∆≅∆△BF =AE =5；（2）证明：△90AEC ∠=︒，//BF AE△90AEC BFM ∠=∠=︒△90DFB ∠=︒又AEM BFM ∆≅∆△AE BF =又△DBF CAE ∠=∠，△ACE BDF ∆∆≌△CE DF =△CE CF DF CF -=-△EF CD =【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解答此题的关键．。
三角形的全等性质练习题掌握三角形的全等性质及判定条件
三角形的全等性质练习题掌握三角形的全等性质及判定条件全等性质是数学中关于三角形的重要概念，它指的是两个三角形的对应的边和角完全相等。
在解决三角形相关问题时，掌握全等性质及其判定条件十分必要。
本文将通过练习题的形式，帮助读者巩固对三角形的全等性质的理解，并学会应用判定条件。
练习题一：给出两个三角形的边长和夹角，判断它们是否全等。
1. 已知三角形ABC，其中∠A=50°，BC=12cm，AC=8cm。
另一三角形DEF中，∠D=50°，EF=12cm，DF=8cm。
判断三角形ABC与DEF是否全等。
解析：根据全等性质的判定条件，我们可以比较三个对应的边和角是否相等。
首先，∠A=∠D=50°；其次，由斜边和一边确定三角形的性质可知，BC=EF=12cm；再次，根据两边定夹角的性质，AC=DF=8cm。
由此可得，三角形ABC与DEF满足全等性质，即两个三角形全等。
练习题二：根据给定的条件，判断两个三角形是否全等。
2. 已知三角形XYZ的边长分别为XY=3cm，YZ=4cm，ZX=5cm。
另一三角形UVW的边长分别为UV=4cm，VW=3cm，WU=5cm。
判断三角形XYZ与UVW是否全等。
解析：根据全等性质的判定条件，我们可以逐个比较三个对应的边和角是否相等。
首先，根据边长可以得知XY=UW=3cm，YZ=VW=4cm，ZX=UV=5cm；其次，根据斜边和一边确定三角形性质的定理可知，∠X=∠U，∠Y=∠V，∠Z=∠W，且它们的度数相等。
由此可得，三角形XYZ与UVW满足全等性质，即两个三角形全等。
练习题三：根据所给的图形，判断两个三角形是否全等。
3. 已知下图中，∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE，AB=DE。
判断三角形ABC与DEF是否全等。
（注意：此处省略了图形，请读者自行绘制）解析：根据所给的条件，我们可以得知两个三角形的两个角相等，即∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE。
专题26 三角形全等【考点巩固】(解析版)
专题26 三角形全等考点1：全等三角形的概念和性质1．如图所示，已知△ABC△△ADE，BC的延长线交DE于F，△B＝△D＝25°，△ACB＝△AED ＝105°，△DAC＝10°，则△DFB为（）A．40°B．50°C．55°D．60°【分析】设AD与BF交于点M，要求△DFB的大小，可以在△DFM中利用三角形的内角和定理求解，转化为求△AMC的大小，再转化为在△ACM中求△ACM就可以．【答案】解：设AD与BF交于点M，△△ACB＝105，△△ACM＝180°﹣105°＝75°，△AMC＝180°﹣△ACM﹣△DAC＝180°﹣75°﹣10°＝95°，△△FMD＝△AMC＝95°，△△DFB＝180°﹣△D﹣△FMD＝180°﹣95°﹣25°＝60°．故选：D．2．如图，△ABC△△AED，连接BE．若△ABC＝15°，△D＝135°，△EAC＝24°，则△BEA的度数为（）A．54°B．63°C．64°D．68°【分析】直接利用全等三角形的性质结合三角形内角和定理得出△BAE＝54°，进而得出答案．【答案】解：△△ABC△△AED，△D＝135°△△C＝△D＝135°，AB＝AE，△△ABE＝△AEB，△△ABC＝15°，△D＝△C＝135°，△△BAC＝30°，△△EAC＝24°，△△BAE＝54°，×（180°﹣54°）＝63°．则△BEA的度数为：12故选：B．3．下图所示的图形分割成两个全等的图形，正确的是（）A．B．C．D．【分析】直接利用全等图形的性质进而得出答案．【答案】解：如图所示：图形分割成两个全等的图形，．故选：B．考点2：三角形全等的判定1．（2021·重庆）如图，点B，F，C，E共线，△B=△E，BF=EC，添加一个条件，不等判断△ABC△△DEF的是（）A．AB=DE B．△A=△D C．AC=DF D．AC△FD【答案】C【分析】根据全等三角形的判定与性质逐一分析即可解题．【详解】解：BF =EC ，BC EF ∴=A. 添加一个条件AB =DE ，又,BC EF B E =∠=∠()ABC DEF SAS ∴△≌△故A 不符合题意；B. 添加一个条件△A =△D又,BC EF B E =∠=∠()ABC DEF AAS ∴≌故B 不符合题意；C. 添加一个条件AC =DF ，不能判断△ABC △△DEF ，故C 符合题意；D. 添加一个条件AC △FDACB EFD ∴∠=∠又,BC EF B E =∠=∠()ABC DEF ASA ∴≌故D 不符合题意，故选：C ．2．（2021·山东）如图，四边形ABCD 中，BAC DAC ∠=∠，请补充一个条件____，使ABC ADC △≌△．【答案】D B ∠=∠(答案不唯一)【分析】本题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要符合全等三角形的判定定理即可．【详解】解：添加的条件为D B ∠=∠， 理由是：在ABC 和ADC 中，BAC DAC D B AC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△ABC ADC △≌△(AAS )，故答案为：D B ∠=∠．3．（2021·湖北）如图，在平面直角坐标系中，点C 的坐标为()1,0-，点A 的坐标为()3,3-，将点A 绕点C 顺时针旋转90︒得到点B ，则点B 的坐标为_____________．【答案】()2,2【分析】根据题意画出图形，易证明ADC CEB △≌△，求出OE 、BE 的长即可求出B 的坐标．【详解】解：如图所示，点A 绕点C 顺时针旋转90︒得到点B ，过点A 作x 轴垂线，垂足为D ，过点B 作x 轴垂线，垂足为E ，△点C 的坐标为()1,0-，点A 的坐标为()3,3-， △CD=2，AD =3，根据旋转的性质，AC =BC ，△90ACB ∠=︒，△90ACD BCE ∠+∠=︒，△90ACD DAC ∠+∠=︒，△BCE DAC ∠=∠，△ADC CEB △≌△，△AD =CE =3，CD =BE =2，△OE =2，BE =2，故答案为：()2,2．4．（2021·湖南衡阳市）如图，点A 、B 、D 、E 在同一条直线上，,//,//AB DE AC DF BC EF =．求证：ABC DEF △≌△．【答案】见解析【分析】根据//,//AC DF BC EF ，可以得到,A FDE ABC DEF ∠=∠∠=∠，然后根据题目中的条件，利用ASA 证明△ABC △△DEF 即可．【详解】证明：点A ，B ，C ，D ，E 在一条直线上△//,//AC DF BC EF△,A FDE ABC DEF ∠=∠∠=∠在ABC 与DEF 中CAB FDE AB DEABC DEF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩△()ABC DEF ASA △≌△5．（2020•泸州）如图，AC 平分△BAD ，AB ＝AD ．求证：BC ＝DC ．【分析】由“SAS”可证△ABC△△ADC，可得BC＝DC．【解答】证明：△AC平分△BAD，△△BAC＝△DAC，又△AB＝AD，AC＝AC，△△ABC△△ADC（SAS），△BC＝CD．6．（2020•无锡）如图，已知AB△CD，AB＝CD，BE＝CF．求证：（1）△ABF△△DCE；（2）AF△DE．【分析】（1）先由平行线的性质得△B＝△C，从而利用SAS判定△ABF△△DCE；（2）根据全等三角形的性质得△AFB＝△DEC，由等角的补角相等可得△AFE＝△DEF，再由平行线的判定可得结论．【解答】证明：（1）△AB△CD，△△B＝△C，△BE＝CF，△BE﹣EF＝CF﹣EF，即BF＝CE，在△ABF和△DCE中，△{AB=CD ∠B=∠C BF=CE，△△ABF△△DCE（SAS）；（2）△△ABF△△DCE，△△AFB＝△DEC，△△AFE＝△DEF，△AF△DE．7．（2020•台州）如图，已知AB＝AC，AD＝AE，BD和CE相交于点O．（1）求证：△ABD△△ACE；（2）判断△BOC的形状，并说明理由．【分析】（1）由“SAS”可证△ABD△△ACE；（2）由全等三角形的性质可得△ABD＝△ACE，由等腰三角形的性质可得△ABC＝△ACB，可求△OBC＝△OCB，可得BO＝CO，即可得结论．【解答】证明：（1）△AB＝AC，△BAD＝△CAE，AD＝AE，△△ABD△△ACE（SAS）；（2）△BOC是等腰三角形，理由如下：△△ABD△△ACE，△△ABD＝△ACE，△AB＝AC，△△ABC＝△ACB，△△ABC﹣△ABD＝△ACB﹣△ACE，△△OBC＝△OCB，△BO＝CO，△△BOC是等腰三角形．。
全等三角形的概念、性质初一 隋广娟巩固基础
精锐教育学科教师辅导讲义讲义编号_学员编号：年级：七年级课时数： 3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：张鹏课题全等三角形的概念、性质授课日期及时段2011.3教学目的掌握全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素；掌握全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等；能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边；已知三边会画三角形;已知两边一夹角会画三角形;已知两角一夹边会画三角形;通过画图会正确认识并使用圆规，直尺及量角器等工具.教学内容课前检测1、如图，已知∠BAC=70°，D是△ABC的边BC上的一点，且∠CAD=∠C，∠ADB=80°，求:∠C的度数，∠B的度数.2、如图1，已知在△ABC中，∠A = 28°，∠B = 52°，则∠C = ，三角形是三角形。
（填“锐角”、“直角”或“钝角”）3、如图，P为△ABC中BC边的延长线上一点，∠A =︒50，∠B =︒70，则∠ACP = ︒_____。
4、如图，α、β、γ分别是△ABC的外角，且α：β：γ＝2：3：4，则α = ︒_____。
5、在△ABC中，∠A=80°，∠B=60°，则∠C= 。
CBA3x 2x x6、在△ABC 中，若∠A=54°，∠B=36° ，则△ABC 是（ ）A.、锐角三角形 B 、钝角三角形 C 、直角三角形 D 、等腰三角形 7、如图，P 为△ABC 中BC边的延长线上一点，∠ACP =150°，∠B =︒70， 则∠A = ︒_____。
8、如图，射线BA 、CA 交于点A 。
连接BC ， 己知AB = AC ，∠B=400 。
那么x 的值是（ ） A. 80 B. 60 C. 40 D. 100 9、如右图，则△ABC 的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形本节课内容解析与例题讲解 知识要点：1、全等形的概念：2、全等．．三角形．．．： 对应顶点．．．．： 对应边．．．： 对应角．．．： 3、全等三角形的性质： 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
【巩固练习】
一、选择题
1．下列命题中，真命题的个数是 （ ）
①全等三角形的周长相等 ②全等三角形的对应角相等
③全等三角形的面积相等 ④面积相等的两个三角形全等
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
2. 如图，△ABC ≌ΔADE ，若∠B ＝80°，∠C ＝30°，∠DAC ＝35°，则∠EAC 的度数为 （ ）
A ．40°
B ．35°
C ．30°
D ．25°
3.下列命题中：⑴形状相同的两个三角形是全等形；⑵在两个三角形中，相等的角是对应角，相等的边是对应边；⑶全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等，其中真命题的个数有( )
A.3个
B.2个
C.1个
D.0个
4．△ABC ≌△DEF ，且△ABC 的周长为100cm ，A 、B 分别与D 、E 对应，且AB ＝35cm ，DF ＝30cm ，则EF 的长为（ ）
A ．35cm
B ．30cm
C ．45cm
D ．55cm
5.（2014秋•红塔区期末）如图，已知△ACE ≌△DFB ，下列结论中正确的个数是（ ） ①AC=DB ；②AB=DC ；③∠1=∠2；④AE ∥DF ；⑤S △ACE=S △DFB ；⑥BC=AE ；⑦BF ∥EC ．
6.如图，△ABE ≌△ACD,AB ＝AC, BE ＝CD, ∠B ＝50°,∠AEC ＝120°，则∠DAC 的度数为 （ ）
A.120°
B.70 °
C.60°
D.50°
二、填空题
7. 如图，把△ABC 绕C 点顺时针旋转35°，得到△''A B C ，''A B 交AC 于点D ，则AB'D =∠ .
8. 如图，△ABC≌△ADE，如果AB＝5cm，BC＝7cm，AC＝6cm，那么DE的长是________.
9. 如图，△ABC≌△ADE，则，AB＝，∠E ＝∠；若∠BAE＝120°，∠BAD＝40°，
则∠BAC＝___________.
10.（2014•梅列区质检）如图，△ACB≌△A′CB′，∠BCB′=30°，则∠ACA′的度数为
__________．
11. △ABC中，∠A∶∠C∶∠B＝4∶3∶2，且△ABC≌△DEF，则∠DEF＝______
12. 如图,AC、BD相交于点O，△AOB≌△COD，则AB与CD的位置关系是.
三、解答题
13. 如图，△ABC中，∠ACB＝90°，△ABC≌△DFC，你能判断DE与AB互相垂直吗？说出
你的理由.
14.（2014秋•无锡期中）如图，已知△ABC≌△DEF，∠A=30°，∠B=50°，BF=2，求∠DFE
的度数和EC的长．
15.如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，
（1）写出图中一对全等的三角形，并写出它们的所有对应角；
（2）设AED
∠的度数为x，∠ADE的度数为y，那么∠1，∠2的度数分别是多少？（用含有x或y的代数式表示）
（3）∠A与∠1＋∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个规律.
【答案与解析】
一.选择题
1. 【答案】 B；
【解析】①②③是正确的；
2. 【答案】B；
【解析】∠EAC＝∠BAD＝180°－80°－30°－35°＝35°；
3. 【答案】C；
【解析】只有（3）是正确的命题；
4. 【答案】A；
【解析】AC＝DF＝30，EF＝BC＝100－35－30＝35；
5. 【答案】C；
【解析】解：∵△ACE≌△DFB，
∴AC=DB，①正确；
∠ECA=∠DBF，∠A=∠D，S△ACE=S△DFB，⑤正确；
∵AB+BC=CD+BC，
∴AB=CD ②正确；
∵∠ECA=∠DBF，
∴BF∥EC，⑦正确；
∠1=∠2，③正确；
∵∠A=∠D ，
∴AE ∥DF ，④正确．
BC 与AE ，不是对应边，也没有办法证明二者相等，⑥不正确．
故选C ．
6. 【答案】B ；
【解析】由全等三角形的性质，易得∠BAD ＝∠CAE ＝10°，∠BAC ＝80°，所以∠DAC ＝
70°.
二.填空题
7. 【答案】35° ；
【解析】旋转得到的三角形和原三角形全等，所以'B C BC =，A B C=ABC ''∠∠，所
以，AB D ='∠180°－∠BB C '－∠A'B'C ＝180°－（∠ABC ＋∠BB C '）＝∠BCB '＝35°．
8. 【答案】7cm ；
【解析】BC 与DE 是对应边；
9．【答案】AD C 80°；
【解析】∠BAC ＝∠DAE ＝120°－40°＝80°；
10.【答案】30°；
【解析】解：∵△ACB≌△A′CB′，
∴∠ACB=∠A′CB′，
∵∠BCB′=∠A′CB′﹣∠A′CB，
∴∠ACA′=∠ACB﹣∠A′CB，
∴∠ACA′=∠BCB′=30°．
故答案为：30°.
11.【答案】40°；
【解析】∠DEF ＝∠ABC ＝2432
++×180°＝40°； 12.【答案】平行；
【解析】由全等三角形性质可知∠B ＝∠D ，所以AB ∥CD.
三.解答题
13.【解析】DE 与AB 互相垂直.
∵△ABC ≌△DFC
∴∠A ＝∠D ，∠B ＝∠CFD ，
又∵∠ACB ＝90°
∴∠B ＋∠A ＝90°，而∠AFE ＝∠CFD
∴∠AFE ＋∠A ＝90°，即DE ⊥AB.
14.【解析】
解：∵∠A=30°，∠B=50°，
∴∠ACB=180°﹣∠A ﹣∠B=180°﹣30°﹣50°=100°，
∵△ABC ≌△DEF ，
∴∠DFE=∠ACB=100°，EF=BC ，
∴EF ﹣CF=BC ﹣CF ，即EC=BF ，
∵BF=2，
∴EC=2．
15.【解析】
（1）△EAD ≌△EA D '，其中∠EAD ＝∠EA D '，AED A ED ADE A DE ''=∠=，∠∠∠；
（2）∠1＝180°－2x ，∠2＝180°－2y ；
（3）规律为：∠1＋∠2＝2∠A ．。