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二次函数与一元二次方程用二分法求方程的近似解

自学评价

1 ?二次函数的零点的概念

一元二次方程a* + /zx + c = O (a H O)的根也称为二次函数y = ax2 + bx + c ( a HO)的零点.

2.二次函数的零点与对应一元二次方程根的关系

(1) 一元二次方程ax2+bx^-c = O (aHO)有两个不相等的实数根禹，勺。判别式△ >0 O 对应的二次函数y = ax1 -\rbx^-c (aHO)的图象与兀轴有两个交点为(x p0), (兀2,0)O对应的二次函数y = ax2 +bx + c (aHO)有两个不同的零点西，x2；

(2)一元二次方程ax2+bx-hc = 0 (Q HO)有两个相等的实数根x, = x2<=>判别式 A = 0 o对应的二次函数y = ax2 +bx + c ( a ^0)的图象与兀轴有唯一的交点为(西，0) O对应的二次函数y = ax2+bx + c (a H0)有两个相同零点x} = x2:

(3)—元二次方程祇？+加+ c = 0 (G HO)没有实数根O判别式AvOo对应的二次

函数y = ax2 + + c ( a HO)的图象与x轴没有交点 <=>对应的二次函数y = ax2 +加+ c

(a H0)没有零点.

3.推广

⑴函数的零点的概念

一般地，对于函数y = f(x) (xeD),我们把使/(x) = 0的实数兀叫做函数y = f(x) (XG ￡))的零点.

⑵函数的零点与对应方程的关系

方程/(x) = 0有实数根。函数y =于(兀)的图象与x轴有交点 o函数y =广(兀)有零点.

【精典范例】

例1：求证：一元二次方程2X2+3X-7= 0有两个不相等的实数根.

例2：右图是一个二次函数y = f(x)的图象.

(1)写出这个二次函数的零点；

(2)写出这个二次函数的解析式；

(3)试比较/(-4)/(-1), /(0)/(2)与0的大小关系.

例3：当关于兀的方程的根满足下列条件时，求实数a的取值范围：

(1)方程兀彳―祇+ /一7 = 0的两个根一个大于2,另一个小于2；

(2)方程cvc2+3x + 4a = 0的两根都小于1；

1 若方程2or2-x-l=0在(0,1)内恰有

一解，则d的取值范围是( )

A. a <-l

B. a > 1

C. D. 0 < 6Z < 1