第十三讲刚体的运动和动力学问题

第十三讲 刚体的运动学与动力学问题

一 竞赛内容提要 1、刚体；2、刚体的平动和转动；3、刚体的角速度和角加速度；4、刚体

的转动惯量和转动动能；5、质点、质点系和刚体的角动量；6、转动定理和角动量定理；7、角动量守恒定律。 二 竞赛扩充的内容

1、刚体：在外力的作用下不计形变的物体叫刚体。刚体的基本运动包括刚体的平动和刚体绕定轴的转动，刚体的任何复杂运动均可由这两种基本运动组合而成。

2、刚体的平动；刚体的平动指刚体内任一直线在运动中始终保持平行，刚体上任意两点运动的位移、速度和加速度始终相同。

3、刚体绕定轴的转动；刚体绕定轴的转动指刚体绕某一固定轴的转动，刚体上各点都在与转轴垂直的平面内做圆周运动，各点做圆周运动的角位移Φ、角速度ω和角加速度β相同（可与运动

学的s 、v 、a 进行类比）。且有：ω=t t ∆∆Φ→∆lim 0；β=t t ∆∆→∆ωlim

0。当β为常量时，刚体做匀加

速转动，类似于匀加速运动，此时有：ω=ω0+βt ； Φ=Φ0+ω0t+βt 2/2；

ω2－ω02=2β（Φ－Φ0）。式中，Φ0、ω0分别是初始时刻的角位移和角速度。对于绕定轴运动的刚体上某点的运动情况，有：v=ωR ， a τ=βR ， a n =ω2R=v 2/R, 式中，R 是该点到轴的距离，a τ、a n 分别是切向加速度和法向加速度。

例1 有一车轮绕轮心以角速度ω匀速转动，轮上有一小虫自轮心沿一根辐条向外以初速度v 0、

加速度a 作匀加速爬行，求小虫运动的轨迹方程。

例2 一飞轮作定轴转动，其转过的角度θ和时间t 的关系式为：θ=at+bt 2－ct 3，式中，a 、b 、c 都是恒量，试求飞轮角加速度的表示式及距转轴r 处的切向加速度和法向加速度。 例3 如图所示，顶杆AB 可在竖直槽K 内滑动，其下端由凸轮K 推动，凸轮

绕O 轴以匀角速度ω转动，在图示瞬间，OA=r ，凸轮轮缘与A 接触处，法线n 与OA 之间的夹角为α，试求此瞬时顶杆OA 的速度。

例 4 人在电影屏幕上看到汽车向前行驶，车轮似乎并没有转动时，则汽车运动的可能的最小速度是多少？已知电影每秒钟放映24个画面，车轮半径为0.5m.

例5 在水平路面上匀速行驶的拖拉机前轮直径为0.8m ，后轮直径为1.25m ，两轮的轴的距离为2m ，如图所示，在行驶过程中，从前轮边缘的最高点A 处水平飞出一小石块，0.2s 后后轮边缘的最高点B 处也水平飞出一小石块，这两块石块先后落在地面上同一处，求拖拉机行驶时速度的大小。

例6如图所示，由两个圆球所组成的滚珠轴承内环半径为R 2，外环半径为R 1，在两环之间分布的小球半径为r 。外环以线速度v 1顺时针方向转动，而内环则以线速度v 2顺时针方向转动，试求小球中心在围绕圆环的中心顺时针转动的线速度v 和小球自转的角速度ω。设小球与圆环间无滑动。

例7一木板从空中下落，某时刻，板上a 、b 两点速度相同，v a =v b =v ，a 、b 两点均位于板面上，同时还发现板上c 点速度为2v ，c 点到a 和b 两点的距离等于a 和b 两点间的距离。问板上那些点的速度等于3v ？

4、力矩 （1）对转动轴的力矩 如图，转动轴过O 点并垂直于纸面，过P 点的力F 对O 轴的力矩M=Fr 。其中，r 为力臂。∵r=ρsin θ，∴M=Fsin θ·ρ。即，F 对轴O 的力矩，等于F 垂直于OP 连线的分力F φ与OP 的积：M=F φ·ρ。

当力的作用线不在垂直于轴的直线上时，可将力F 分解为平行于轴的分量F ∥和垂直于轴的分量F ⊥，其中，F ∥对物体绕轴的转动没有贡献，F ⊥就是F 在垂直于轴的平面上的投影，此时，F 对轴的力矩可写成：M= F ⊥·ρsin θ。

F ρ

（2）对参考点的力矩 如图，F 对O 点的力矩M=Fsin θ·ρ。 5、质点的角动量

如右下图，质点m 对 点O 的角动量L=r×p=r·psin θ=mv·r·sin θ，角动量又叫做动量矩（与力矩类比）。同一质点对不同的参考点的角动量是不同的。特别地，当p ⊥r 时，角动量L=mvr 。 6、质点系（或刚体）的角动量

即各质点角动量的总和，L=∑m i v i r i =（∑m i r i 2）ω=I ω。其中，I 是刚体的转动惯量（I 的数值不要求会计算）。质点对轴的转动惯量为：I=mr 2，r 是转动半径。 7、刚体的转动动能 刚体的动能包括质心的平动动能（E K =mv 2/2）和相对质心的转动动能，其中，转动动能的大小： E k =∑m i v i 2/2=1/2（∑m i r i 2）ω2=（1/2）I ω2。 8、刚体绕定轴转动的基本规律

（1）力矩M 和角加速度β的关系 M=I β（类比于F=ma ）；（2）合力矩做的功和刚体转动动能的关系 W=F ·S=F ·r θ=M θ=（1/2）I ωt 2－（1/2）I ω02.（与动能定理类比）。 （2）质点、质点系或刚体的角动量定理L=∑m i v i r i （若是质点则不用∑符号），∴⊿L/⊿t=∑⊿L/⊿t=∑（F i ＋f i ）r i ，式中，F i 表示第i 个质点受到的外力，f i 表示该质点受到的系统内力。∵内力矩为零，∴⊿L/⊿t=∑F i r i =M 外，即M 外⊿t=L t －L 0（与动量定理类比）。角动量定理可写成分量式。

（3）质点、质点系或刚体的角动量守恒定律 当M 外=0时，L=恒量（与动量守恒类比），即系统的角动量守恒。其中，M 外=0有以下三种情况：（i ）体系不受外力，即F i =0（合外力为零≠合力矩为零，如力偶矩的情况）；（ii ）所有外力都通过定点（这种外力叫有心力，如卫星所受的万有引力），尽管外力的矢量和不为零，但每个外力的力矩都为零；（iii ）

每个外力的力矩不为零，但外力矩的矢量和为零。 例8、质量为m ，长为l 的均质细杆，绕着过杆的端点且与杆垂直的轴以角速度ω转动时，它的动能和相对端点的角动量的大小分别为

E k =I ω2/2，L=I ω,其中，I=ml 2/3，现将此杆从水平位置由静止释放，设此杆能绕着过A 的固定光滑细轴摆下，当摆角从0达θ时，试求：（1）细杆转动的角速度ω和角加速度β；（2）固定光滑细轴为杆提供的支持力。

例9、质量为M ，半径为R 的均质圆盘，绕过圆心且与圆盘垂直的轴以角速度ω旋转时的角动量大小为L=I ω，其中，I=MR 2/2，如图，细绳质量可忽略，绳与圆盘间无相对滑动，滑轮与轴之间无摩擦，m 1＞m 2，试求物体运动的加速度。

F ρ

θ

A

m ，l