201X年春八年级数学下册第17章一元一次方程17.2一元二次方程的解法第2课时公式法课时作业新版沪

合集下载

专题17.2 一元二次方程的解法(第3课时)八年级数学下册同步备课系列(沪科版)

适用的方程类型
(x+m)2＝n（n ≥ 0） x2 + px + q = 0 （p2 - 4q ≥0） ax2 + bx +c = 0(a≠0 , b2 - 4ac≥0)
(x + m)（x + n）＝0
要点归纳
解法选择基本思路 1.一般地，当一元二次方程一次项系数为0时（ax2+c=0），应选用直接开平方法； 2.若常数项为0（ ax2+bx=0），应选用因式分解法； 3.若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0），先化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，不然选用公式法； 4.不过当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较简单.
x b b2 4ac 10 10，
2a
2 4.9
49 49
x1
100 ， 49
x2
0.
x1
100 ， 49
x2 0.
10x-4.9x2 =0 ①
因式分解
x(10-4.9x) =0 ②
如果a ·b = 0，那么 a = 0或 b = 0.
两个因式乘积为 0，说明什么？
x =0 或 10-4.9x=0
解： x2 100 x 0， 49
解： 10x-4.9x2=0.
x2
100 49
x
50 49
2
0
50 49
2
，
∵ a=4.9,b=-10,c=0.
x
50 49
2
50 49
2
，
∴ b2－4ac= (－10)2－4×4.9×0 =100.
x 50 50，

2019年春八年级数学下册第17章一元一次方程17.1一元一次方程课时作业新版沪科版

17.1一元二次方程知识要点基础练知识点1一元二次方程的概念1.下列方程中属于一元二次方程的是(D)A.ax2+bx+c=0B.+1=0C.x2+2=x2-x-3D.3(x-2)2=x-22.已知方程(m+2)x m-2-2x=5是关于x的一元二次方程,求m的值.解:由题意,得m-2=2,解得m=4,当m=4时,m+2=6≠0,∴m=4.知识点2一元二次方程的一般形式及有关概念3.下列方程中,不含一次项的是(D)A.2x2-9x=0B.16x=7x2C.x(x-2)=0D.(x+5)(x-5)=04.一元二次方程3x2-3x=2+x化为一般形式后,二次项系数、一次项系数、常数项分别是3,-4,-2.知识点3一元二次方程的根5.关于x的一元二次方程x2+bx-10=0的一个根为2,则b的值为(C)A.1B.2C.3D.76.关于x的方程x2-px+q=0的两个根分别是1和-2,试确定p,q的值.解:根据题意得解得知识点4用一元二次方程刻画实际问题中的数量关系7.用一条长40 cm的绳子围成一个面积为64 cm2的矩形.设矩形的一边长为x cm,则可列方程为(D)A.x(40+x)=64B.x(40-x)=64C.x(20+x)=64D.x(20-x)=648.某厂一月份生产某机器100台,计划三月份生产160台.设二、三月份每月的平均增长率为x,根据题意列出的方程是100(1+x)2=160.综合能力提升练9.若方程(2m-1)x2+3x-m=0是关于x的一元二次方程,则m的值为(C)A.m=B.m=-C.m≠D.m≠010.在方程①x2=-1,②-2x+3=0,③(x+1)(x-2)=(x-1)2,④ax2+bx+c=0中,一定是一元二次方程的有(A)A.1个B.2个C.3个D.4个11.在足球进校园活动中,某市有x支球队参加足球比赛,共比赛了28场,每两队之间都比赛一场,则下列方程中符合题意的是(A)A.x(x-1)=28B.x(x-1)=28C.x(x+1)=28D.x(x+1)=2812.若关于x的一元二次方程(a-3)x2+ax+a=5x+6没有一次项,则a+2014的值为2019.13.已知x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一个解,则代数式a+b+2019的值是2018.14.一个长方形的长比宽大2 cm,面积为14 cm2.若设长方形的长为x cm,则可列方程为x(x-2)=14.15.为表彰表现突出、成绩优秀的同学,某学校设置了奖学金奖励制度.已知去年上半年发放给每位优秀学生700元,今年上半年发放给每位优秀学生1000元.设每半年发放奖学金的平均增长率为x,则可列方程为700(1+x)2=1000.【变式拓展】为执行“均衡教育”政策,某区2016年投入教育经费2500万元,预计到2018年底三年累计投入1.2亿元.若每年投入教育经费的年平均增长百分率为x,则可列方程为2500+2500(1+x)+2500(1+x)2=12000.16.某学校为了改善校园环境,计划在一块长80米,宽60米的长方形场地的中央建一个长方形网球场,网球场占地面积为3500平方米,四周为宽度均为x米的人行道,请你根据题意列出方程,并将方程化成一般形式.解:(80-2x)(60-2x)=3500,化为一般形式即x2-70x+325=0.17.已知是关于x的方程x2-x+a=0的一个根,求a-2-的值.解:将x=代入方程x2-x+a=0中,得2-+a=0,解得a=-2.当a=-2时,a-2-=-=-=-2.18.已知关于x的方程(m2-1)x2-(m+1)x+m=0.(1)当m为何值时,此方程是一元一次方程?(2)当m为何值时,此方程是一元二次方程?解:(1)根据题意,要使此方程是一元一次方程,则m2-1=0且m+1≠0,即m=±1且m≠-1,所以m=1,所以当m=1时,此方程是一元一次方程.(2)根据题意,要使此方程是一元二次方程,则m2-1≠0,即m≠±1,所以当m≠±1时,此方程是一元二次方程.拓展探究突破练19.若m是一元二次方程x2+x-1=0的一个根,求m3-2m+2019的值.解:将x=m代入方程x2+x-1=0,得m2+m-1=0,则m2=1-m,m2+m=1,所以m3-2m+2019=m·m2-2m+2019=m·(1-m)-2m+2019=2019-(m2+m)=2019-1=2018.。

八年级数学下册第17章一元一次方程 17.5 一元二次方

解:设 x2+3x=y,则原方程可化为3��-y=2, 解得 y1=-3,y2=1. 经检验,y1=-3,y2=1 都是方程的解. 当 y=-3 时,x2+3x=-3,Δ=-3<0,所以此方程没有实数根. 当 y=1 时,x2+3x=1,Δ=5>0,所以此方程有实数根. 综上,x2+3x=1.
x1=2,x2=3;③x+1��2�� =7 的解是 x1=3,x2=4;…请利用它们所蕴含的规律,
求关于
x
的方程
x+��(
��+1 ��
)=n+(
n+1
)(
n 为正整数
)的根,你的答
案是 x1=n,x2=n+1 .
综合能力提升练
9.已知 x 为实数,且��2+33��-( x2+3x )=2,求 x2+3x 的值.
第17章一元二次方程
17.5 一元二次方程的应用
知识要点基础练
知识点 1 可化为一元二次方程的分式方程及其解法
1.将分式方程 1-��(5��++21 ) = ��+31去分母整理后得( D )
A.8x+1=0
B.8x-3=0
C.x2式方程4�� − ��+��3=0 的解是 x1=-2,x2=6 .
3.若关于
x
的分式方程 ��
��-2
=
12--��-3x
有增根,则实数
m
的值是
1
.

第17章《函数及其图象》集体备课文稿

长兴县实验初中教师集体备课文稿一．授课内容和课时安排授课内容：八年级下册第17章《函数及其图象》§17. 1变量与函数、§17.2函数的图象、§17.3一次函数课时安排：第一课时：变量与函数（1）第六课时：一次函数的认识第二课时：变量与函数（2）第七课时：一次函数的图象（1）第三课时：平面直角坐标系（1）第八课时：一次函数的图象（2）第四课时：平面直角坐标系（2）第九课时：一次函数的性质第五课时：函数的图象第十课时：一次函数的图象及性质二．第16章《数的开方》授课存在的主要问题：1．对于平方根和立方根的概念，学生比较容易接受，但在做题时，对于正数的平方根经常出现漏解的情况；2．对于二次根式的三条性质，前两条比较容易接受，在具体的习题中也能很好的利用。

但对于性质3：a a =2，很多同学经常容易搞错，特别是a 为负数时，2a 应该等于a 的相反数容易出错，例如：()=-2)6(，有的同学会填-6；也有同学会写±6；3．对于二次根式的化简，部分同学还不过关，有待进一步加强和相关训练；4．在实数范围内的化简、计算以及因式分解、求方程的解等等，很多同学由于多种原因，解题正确率不高；5．刚接触无理数、实数这两个概念，在区分无理数、有理数、整数、分数时，部分学生容易混淆。

三．三节内容的教材分析【教学目标】本章前三节的主要内容是变量与函数的认识，以及函数图象的认识；另外主要是一次函数的图象及性质。

教学目标是：1.通过对实际问题中数量之间相互依存关系的探索，学会用函数思想去进行描述和研究其变化规律；通过结合丰富的实际问题，让学生了解常量和变量、自变量与函数的意义，初步理解对应的思想，逐步学会运用函数的观点观察、分析问题，预测实际问题中变量的变化趋势。

2.认识并会画平面直角坐标系，了解现实生活中数形结合思想的实例，体会平面直角坐标系在函数研究中的地位和作用。

八年级数学下册17、2一元二次方程的解法17、2、2配方法新版沪科版

8．【合肥瑶海区期中】若方程x2－8x＋m＝0可以通过配方
写成(x－n)2＝6的形式，则x2＋8x＋m＝5可以配成( D )

A．(x－n＋5)2＝1
B．(x＋n)2＝1
C．(x－n＋5)2＝11 D．(x＋n)2＝11
9．【原创题】若x2＋4与2x－12为某个正数的两个不同的平方根，则这个正数为_6_4_或__4_0_0___________．
6．【中考·聊城】用配方法解一元二次方程2x2－3x－1＝0，配方正确的是( A )
A.x－342＝1176 C.x－322＝143
B.x－342＝12 D.x－322＝141
7．【中考·临沂】一元二次方程x2－4x－8＝0的解是( B ) A．x1＝－2＋2 3，x2＝－2－2 3 B．x1＝2＋2 3，x2＝2－2 3 C．x1＝2＋2 2，x2＝2－2 2 D．x1＝2 3，x2＝－2 3
【点拨】∵2x2＋8x－32＝0，∴x2＋4x＝16，∴x2＋4x＋ 4＝20， ∴(x＋2)2＝20，∴p＝2，q＝－20， ∴直线表达式为y＝2x－20，∴直线经过第一、三、四象限，不经过第二象限．
14．用配方法解方程：(2x＋3)(x－6)＝16.
解：(2x＋3)(x－6)＝16，
2x2－9x＝34，x2－92x＝17，
2．【2021·丽水】用配方法解方程x2＋4x＋1＝0时，配方
结果正确的是( D )
A．(x－2)2＝5
B．(x－2)2＝3
C．(x＋2)2＝5
D．(x＋2)2＝3
3．用配方法解方程2x2－x－6＝0开始错误的步骤是(
2x2－x＝6，
① ··
C
)
x2－12x＝3，
②

华师版数学八年级下册同步练习课件-第17章-17.2 1平面直角坐标系

思维训练
▪ 18．如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长度，P1、P2、 P3、…(50均5,50在5) 格点上，其顺序按图中“→”方
第一向P象解4限排(析1的：，角列由平－，规分律线1如，上)、．得：∵20P点1P95P÷1(3((4－10＝,1,)5、1004P，)…7、(2…,－23P)，、12P∴(1)10点(、3,,P312)0P，1)9、在∴6(－P31(1,2,)1、)、… 点P根2019(据505,5这05)个．规律，点P2019的坐＋．1，(0，m＋－32))在x轴上，则点P的A坐标为(
)
▪ C．(0，－4)
D．(4,0)
▪ 6．如果电影院中“5排6号”记作(5,6)，那么(3,5)表示的意义是
__________.
3排5号
▪ 7．【浙江杭州中考】P(3，－4)到x轴的距4 离是_____.
第17章函数及其图象
17.2 函数的图象
1 平面直角坐标系(第一课时)
名师点睛
▪ 知识点1 平面直角坐标系及点的坐标
▪ (1)平面直角坐标系：在平面上画两条原点重合、互相垂直且具有相同单位长度的数轴，这就建立了平面直角坐标系．通常把其中水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；两条数轴的交点O叫做坐标原点．
3
基础过关
▪ 1．根据下列表述，能确定位置的D是( ) ▪ A．红星电影院2排 B．北京市四环路
▪ C．北偏东30° D．东经118°，北纬40°
▪ 2．【2019·湖南株洲中考】在平面直角坐标系中，点A(2，－3)
位于 ( )
D
▪ A．第一象限
B．第二象限

数学初二一元一次方程的解法

数学初二一元一次方程的解法一元一次方程是初中数学中的基础内容，它是一种形式简单、解法直接的数学问题。

掌握一元一次方程的解法，不仅可以提高解决实际问题的能力，还可以为后续学习更深入的数学知识奠定坚实的基础。

本文将介绍一元一次方程的几种常见解法，以帮助初二学生更好地掌握和应用这一知识点。

一、等式两边逐步化简法这是最基本、最常见的一元一次方程解法。

我们以一个例子来说明：例题1：求解方程2x + 5 = 11。

解题步骤如下：1. 将方程中的常数项（5）移到等式右边，得到2x = 11 - 5，即2x = 6。

2. 等式两边同时除以系数2，消去2，得到x = 6 ÷ 2，即x = 3。

所以，方程2x + 5 = 11的解为x = 3。

通过这种方法，我们可以先将方程的常数项移到等式右边，再逐步化简等式，最后得到方程的解。

这种方法简单直接，适用于大部分的一元一次方程。

二、系数相等法有时候遇到的一元一次方程的系数比较复杂，为了简化计算，我们可以利用系数相等的原理来解方程。

我们以一个例子来说明：例题2：求解方程1.5x - 0.3 = 0.2x + 0.9。

解题步骤如下：1. 整理方程，将含有未知数x的项放在一边，将常数项放在另一边，得到1.5x - 0.2x = 0.9 + 0.3。

2. 计算等式两边的结果，得到1.3x = 1.2。

3. 等式两边同时除以系数1.3，消去1.3，得到x = 1.2 ÷ 1.3。

最后，通过简化系数相等的方法，我们可以得到方程的解x =0.9231（保留四位小数）。

这种解法适用于系数较为复杂的一元一次方程，通过简化计算，可以减少错误的发生，提高解题的准确性。

三、代数消元法代数消元法适用于需要消去多个未知数的情况。

我们以一个例子来说明：例题3：求解方程2x + 3y = 8，3x + 4y = 13。

解题步骤如下：1. 通过消元法选择一个系数，使得相乘后的两个方程中的某一项系数相等或相差一个倍数，以方便消元。

2022年精品解析沪科版八年级数学下册第17章一元二次方程难点解析试题(含详细解析)

八年级数学下册第17章一元二次方程难点解析考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、已知一个直角三角形的两边长是方程29200x x -+=的两个根，则这个直角三角形的斜边长为（）A ．3BC ．3D ．52、关于x 的一元二次方程2220x x k +-=的根的情况是（）A ．没有实数根B ．不一定有实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根3、用配方法解一元二次方程2870x x -+=时，方程可变形为（）A ．2(4)7x -=B ．2(8)57-=xC ．2(4)9x -=D ．2(4)25x -=4、用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为（）A ．()216x +=B ．()216x -=C ．()229x +=D ．()229x -= 5、将方程28110x x -+=配方，则方程可变形为（）A ．()285x +=B ．()285x -=C ．()245x -=D ．()245x +=6、为了绿化荒山，某地区政府提出了2028年荒山的森林覆盖率达到45%的目标．已知2019年该地区森林覆盖率已达到34%，若要在2021年使该地区荒山的森林覆盖率达到38%．设从2019年起该地区荒山的森林覆盖率的年平均增长率为x ，则可列方程为（）A ．()34%1238%x +=B ．()34%1238x +=C ．()234%138%x +=D ．()234%138x += 7、南宋著名数学家杨辉所著的《杨辉算法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长阔各几何？”意思是“一块矩形田地的面积是864平方步，只知道它的长与宽的和是60步，问它的长和宽各是多少步？”设矩形田地的长为x 步，根据题意可以列方程为（）A ．2608640x x --=B ．(60)864x x +=C ．2608640x x -+=D ．(30)864x x +=8、方程260x x -=的解是（）A ．6B ．0C ．0或6D ．-6或0 9、下列方程中，没有实数根的是（）A ．2310x x --=B ．230x x -=C ．2210x x -+=D ．2230x x -+=10、已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（2m +3）x +m 2＝0有两根α，β．若11a β+＝1，则m 的值为（）A ．3B ．﹣1C ．3或﹣1D ．34第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、若一元二次方程x 2-4x +k +2=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是_________．2、方程x (x ﹣5)＝7(x ﹣5)的解是_________．3、已知关于x 的一元二次方程2x 2﹣4x +k ﹣32＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 _____．4、若关于x 的一元二次方程ax 2+bx +2＝0（a ≠0）的一个解是x ＝1，则a +b 的值为 _____．5、已知关于x 方程230x x m -+=的一个根是1，则m 的值等于______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、（1）解方程：()22133x x -=+．（2）阅读下列材料，并完成相应任务．三国时期的数学家赵爽在其所落的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以22350x x +-=为例，说明如下：将方程22350x x +-=变形为()235x x +=，然后画四个长为()2x +，宽为x 的矩形，按如图所示的方式拼成一个“空心”大正方形．图中大正方形的面积可表示为()22x x ++，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即：()24224354x x ++=⨯+，可得新方程：()22144x x ++=，∵x 表示边长，∴2212x +=．∴5x =．任务一：①这种构造图形解一元二次方程的方法体现的数学思想是______；A ．分类讨论思想B ．数形结合思想C ．演绎思想D ．公理化思想②用配方法解方程：22350x x +-=．任务二：比较上述两种解一元二次方程的方法，请反思利用构造图形的方法求解一元二次方程的不足之处是______．（写出一条即可）2、解方程：()()2311x x x -=-3、中国“一带一路”给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2017年人均年收入20000元，到2019年人均年收入达到28800元．假设该地区居民年人均收入平均增长率都相同．（1）求该地区居民年人均收入平均增长率；（2）请你预测该地区2022年人均年收入．4、（1)101522-⎛⎫-+- ⎪⎝⎭．（2）解方程：()211x x x -=-．5、某市尊师重教，市委、市政府非常重视教育，将教育纳入质量强市考核，近几年全市公共预算教育支出逐年增长．已知2019年教育支出约80亿元，2021年教育支出约为96.8亿元，求2019年到2021年教育支出的年平均增长率．-参考答案-一、单选题1、D【分析】利用因式分解法求出一元二次方程的两根，按斜边是否是两根中的一个，进行分类讨论，通过勾股定理求斜边长，最后即可求出答案．【详解】解：29200x x -+=，因式分解得：(4)(5)0x x --=，解得：14x =，25x =，情况1：当5x =为斜边的长时，此时斜边长为5，情况2：当14x =，25x ==∴这个直角三角形的斜边长为5故选：D ．【点睛】本题主要是考查了因式分解法求解方程，以及勾股定理求边长，在不确定直角边和斜边的情况下，一定要分类讨论，分情况进行求解．2、D【分析】根据一元二次方程个的判别式进行判断即可．【详解】解：关于x 的一元二次方程2220x x k +-=，24b ac ∆=-2440k =+>∴方程有两个不相等的实数根．故选D【点睛】本题考查了一元二次方程20ax bx c ++= (0a a b c ≠，，，为常数)的根的判别式24b ac ∆=-，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当0∆=时，方程有两个相等的实数根；当∆<0时，方程没有实数根．3、C【分析】先把常数项7移到方程右边，然后把方程两边加上42即可．【详解】方程变形为：x 2-8x =-7，方程两边加上42，得x 2-8x +42=-7+42，∴（x -4）2=9．故选C ．【点睛】本题考查了利用配方法解一元二次方程()200++=≠ax bx c a ：先把二次系数变为1，即方程两边除以a ，然后把常数项移到方程右边，再把方程两边加上一次项系数的一半，这样把方程变形为：（x -2b a ）2=244b ac a-． 4、B【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤首先把常数项移到右边，方程两边同时加上一次项系数一半的平方配成完全平方公式．【详解】解：2250x x --=移项得：225x x -=方程两边同时加上一次项系数一半的平方得：22151x x -+=+配方得：()216x -=．故选：B ．【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程的步骤，解题的关键是熟练掌握配方法解一元二次方程的步骤．配方法的步骤：配方法的一般步骤为：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．5、C【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．【详解】解：28110x x-+=，∴2811x x，-=-x-=，则222x x，即()245-+=-+84114故选：C．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．6、C【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），参照本题，如果设年平均增长率为x，根据“2019年我市森林覆盖率已达到34%，要在2021年使全市森林覆盖率达到38%”，可列出方程．【详解】解：由题意可得：2020年，全市森林覆盖率为：34%(1+x)；2021年，全市森林覆盖率为：34%(1+x)(1+x)=34%(1+x)2；所以可列方程为34%(1+x)2=38%；故选C．【点睛】本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a (1±x )2=b ．7、C【分析】设长为x 步，则宽为（60-x ）步，根据矩形田地的面积为864平方步，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．【详解】设长为x 步，则宽为（60-x ）步，依题意得：x （60-x ）=864，整理得2608640x x -+=：．故选：C ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．8、C【分析】根据一元二次方程的解法可直接进行求解．【详解】解：260x x -=()60x x -=，解得：120,6x x ==；故选C ．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．9、D【分析】利用一元二次方程根的判别式，即可求解．【详解】解：A 、()()2341130∆=--⨯-=> ，所以方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意； B 、()234090∆=--⨯=>，所以方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意； C 、()22410∆=--⨯=，所以方程有两个相等的实数根，故本选项不符合题意； D 、()224380∆=--⨯=-<，所以方程没有的实数根，故本选项符合题意；故选：D【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握二次函数()20y ax bx c a =++≠ ，当240b ac ∆=-> 时，方程有两个不相等的实数根；当240b ac ∆=-= 时，方程有两个相等的实数根；当240b ac ∆=-< 时，方程没有实数根是解题的关键．10、A【分析】先利用根的判别式得到m ≥34-，再根据根与系数的关系得α+β＝2m +3，αβ＝m 2，则2m +3＝m 2，然后解关于m 的方程，最后利用m 的范围确定m 的值．【详解】解：根据题意得Δ＝（2m +3）2﹣4m 2≥0，解得m ≥34-，根据根与系数的关系得α+β＝2m +3，αβ＝m 2，∵11a β+＝1，∴α+β＝αβ，即2m +3＝m 2，整理得m 2﹣2m ﹣3＝0，解得m 1＝3，m 2＝﹣1，∵m ≥34-，∴m 的值为3．故选：A ．【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟知x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的两根时，12b x x a +=-，12c x x a =是解答此题的关键．二、填空题1、2k <【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，计算出根的判别式大于0，即可求得k 值．【详解】解：方程x 2-4x +k +2=0，这里a ＝1，b ＝-4，c ＝k +2，∵方程有两个不相等的实数根，∴△=b 2−4ac ＝(-4)2−4×1×(k +2)>0，解得：2k <，故答案为：2k <．【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键．2、故答案为：【点睛】本题考查方程的解，解一元一次方程、解一元二次方程等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．7．15=x ，27x =【分析】先移项，再将左边利用提公因式法因式分解，继而可得两个关于x 的一元一次方程，分别求解即可得出答案．【详解】解：(5)7(5)x x x -=-，(5)7(5)0x x x ∴---=，则(5)(7)0x x --=，50x ∴-=或70x -=，解得15=x ，27x =，故答案为：15=x ，27x =．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法．3、72k < 【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ＞0，即可得出关于k 的一元一次不等式，解之即可得出k 的取值【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2x 2﹣4x +k ﹣32＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4×2×（k ﹣32）＞0，解得：72k <．故答案为：72k <【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式的符号对应的三种根的情况是解题的关键．（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．4、-2【分析】根据一元二次方程解得定义把1x =代入到()200++=≠ax bx c a 进行求解即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程()200++=≠ax bx c a 的一个解是1x =，∴20a b ++=，∴2a b +=-，故答案为：-2．【点睛】本题主要考查了一元二次方程解得定义，代数式求值，熟知一元二次方程解的定义是解题的关键． 5、2把方程的根代入原方程，求解即可．【详解】解：因为关于x 方程230x x m -+=的一个根是1，所以，2130m -+=，解得，2m =，故答案为：2．【点睛】本题考查了一元二次方程的根，解题关键是明确方程根的意义，代入原方程求解．三、解答题1、（1）x 1=-1，x 2=52（2）任务一：①B ；②x 1=5，x 2=-7任务二：只能求出方程的一个根．【分析】（1）根据因式分解法即可求解．（2）任务一：①根据图形的特点即可求解；②利用配方法即可解方程．任务二：根据题意言之有理即可求解．【详解】解：（1）()22133x x -=+ ()()()21131x x x +-=+()()()211310x x x +--+=()()12130x x +--=⎡⎤⎣⎦()()1250x x +-=∴1x +=0或2x -5=0∴x 1=-1，x 2=52（2）任务一：①这种构造图形解一元二次方程的方法体现的数学思想是数形结合思想；故选B ；②用配方法解方程：22350x x +-=．221351x x ++=+ ()2136x +=16x +=±∴1x +=6或1x +=-6∴x 1=5，x 2=-7任务二：利用构造图形的方法求解一元二次方程的不足之处是只能求出方程的一个根；故答案为：只能求出方程的一个根．【点睛】本题主要考查解一元二次方程，解题的关键是掌握将解一元二次方程的问题转化为几何图形问题求解的方法．2、x 1=1，232x =．【分析】先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x 的一元一次方程，进一步求解即可．【详解】解：∵3(x -1)2=x (x -1)，∴3(x -1)2-x (x -1)=0，∴(x -1) (3x -3-x )=0，∴x -1=0或2x -3=0，解得x 1=1，232x ．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．3、（1）20%；（2）49766.4元【分析】（1）设该地区居民年人均收入平均增长率为x ，则2019年人均年收入可以表示为：2200001,x 再列方程解方程即可；（2）2022年人均年收入可以表示为28800×（1+0.2）3，再计算即可.【详解】解：（1）设该地区居民年人均收入平均增长率为x ，20000（1+x ）2＝28800，解得，x 1＝0.2，x 2＝﹣2.2（舍去），∴该地区居民年人均收入平均增长率为20%（2）28800×（1+0.2）3=49766.4（元）答：该地区2022年人均年收入是49766.4元.【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，掌握“利用一元二次方程解决增长率问题”是解本题的关键.4、（1）2；（2）11x =，212x =-【分析】（1）分别计算后，再相加减即可；（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．【详解】（1）解：原式251=+-2= （2）解：()()2110x x x -+-=()()1210x x -+=∴11x =，212x =-【点睛】本题考查实数的混合运算，因式分解法解一元二次方程．（1）中能正确化简二次根式和绝对值、计算负整数指数幂和零指数幂是解题关键；（2）中掌握因式分解法解一元二次方程是解题关键． 5、2019年到2021年教育支出的年平均增长率为10%．【分析】设2019年到2021年教育支出的年平均增长率为x ，则2020年教育支出为()801x +， 2021年教育支出为2801x ，再由2021年教育支出约为96.8亿元，列方程，再解方程可得答案．【详解】解：设2019年到2021年教育支出的年平均增长率为x ，由题意得：()280196.8x +=， ∴ ()21 1.21x +=，解得10.110%x ==，2 2.1x =-（舍）答：2019年到2021年教育支出的年平均增长率为10%．【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，掌握“两次变化后的量=原来的量⨯（1+平均增长率）2”是解题的关键.。

八年级数学一元二次方程的解法

２） x2=x 解：x2-x=0 x(x-1)=0 x=0 或 x-1=0的解法
主讲
一元二次方程的解法
v
1) 直接开平方法
v
2) 配方法
v
3) 公式法
v
4) 因式分解法
例 x2-16=0 x2-16=0
解: (x-4)(x+4)=0 我们知道０的一个特性，０与
任何数相乘都等于０．
如果两个数相乘积等于０，那么
这两个数中至少有一个为０．
所以上式可转化为
x-4=0 或 x+4=0
低价股排行低价股排行
例 x2-5x+6=0
解：把方程的左边因式分解
得 (x-2)(x-3)=0
因此，有 x-2=0 或 x-3=0
解得 x1=2
x2=3
交流
１） x2+3x=0 解：x(x+3)=0 因此有 x=0或 (x+3)=0 解得 x1=0 ，x2=-3
x1=4
x2=-4
因此，我们把方程的左边因式分解，
这样将一元二次方程转化为两个一
元一次方程来求解的方法叫做因式
分解法．
飘的犹如棋盘般的粉云，突然从神盔模样的棕褐色短发中飞出，随着一声低沉古怪的轰响，深橙色的大地开始抖动摇晃起来，一种怪怪的天神檀耍嫩憨味在深邃的空气中摇晃！最后摇起有着各种古怪想法的圆脑袋一抖，酷酷地从里面射出一道亮光，她抓住亮光原始地一晃，一套光溜溜、光闪闪的兵器¤飞轮切月斧→便显露出来，只见这个这件宝贝儿，一边飘荡，一边发出“嗡嗡”的幽声……！陡然间壮扭公主疯速地让自己刚柔相济有着巨大爆发力的强劲肚子闪动出深白色的鸡冠声，只见她透着青春粉嫩色泽的光滑皮肤中，快速窜出七组扭舞着¤巨力碎天指→的脖子状的瓜秧，随着壮扭公主的转动，脖子状的瓜秧像缰绳一样在掌心中痴呆地弄出丝丝光烟…… 紧接着壮扭公主又晃起怒放的莲花湖影山川裙，只见她大如飞盘的神力手掌中，萧洒地涌出九串甩舞着¤巨力碎天指→的布帘状的飘带，随着壮扭公主的晃动，布帘状的飘带像烟缸一样，朝着女厨师Ｃ．娅娜小姐弯曲的淡橙色蛋糕形态的脖子疯踢过去。紧跟着壮扭公主也滚耍着兵器像将军般的怪影一样向女厨师Ｃ．娅娜小姐疯踢过去随着两条怪异光影的瞬间碰撞，半空顿时出现一道深紫色的闪光，地面变成了春绿色、景物变成了土黄色、天空变成了暗紫色、四周发出了俊傲的巨响。壮扭公主圆圆的极像紫金色铜墩般的脖子受到震颤，但精神感觉很爽！再看女厨师Ｃ．娅娜小姐烟橙色精灵造型的牙齿，此时正惨碎成拖网样的浅黑色飞丝，急速射向远方，女厨师Ｃ．娅娜小姐飞喊着疾速地跳出界外，高速将烟橙色精灵造型的牙齿复原，但已无力再战，只好落荒而逃怪人翁安圭菜霸超然旋动紧缩的墨绿色床垫形态的眼睛一叫，露出一副美妙的神色，接着抖动浮动的紫葡萄色细小春蚕似的胡须，像水青色的千胃城堡猴般的一挥，灵光的凹露的青兰花色鸭掌样的手掌顿时伸长了三十倍，暗绿色卧蚕似的怪胃也猛然膨胀了九倍。接着米黄色黄瓜一样的脑袋猛然振颤飘荡起来……威猛的肩膀喷出蓝宝石色的飘飘春气……凹露的手掌透出纯红色的朦胧异香…… 紧接着米黄色黄瓜一样的脑袋猛然振颤飘荡起来……威猛的肩膀喷出蓝宝石色的飘飘春气……凹露的手掌透出纯红色的朦胧异香……最后颤起特像旗杆样的肩膀一颤，快速从里面跳出一道银辉，他抓住银辉俊傲地一摆，一样明晃晃、凉飕飕的法宝『青光冬魔泳池套』便显露出来，只见这个这件神器儿，一边闪烁，一边发出“咝咝” 的美音！。突然间翁安圭菜霸加速地使了一套盘坐蠕动望海星的怪异把戏，，只见他突兀的乳白色蚯蚓样的手指中，萧洒地涌出九道沙漠水晶筋马状的死鬼，随着翁安圭菜霸的晃动，沙漠

解一元一次方程和一元二次方程的方法

解一元一次方程和一元二次方程的方法一、一元一次方程1.1 定义：一元一次方程是指只含有一个未知数（变量），并且未知数的最高次数为1的方程。

1.2 形式：ax + b = 0，其中a、b为常数，且a≠0。

1.3 解法：（1）移项法：将方程中的常数项移到等号另一边，未知数项留在等号一边。

（2）因式分解法：将方程进行因式分解，找出方程的解。

（3）直接开平方法：对于形如x² = a的方程，直接开平方求解。

（4）公式法：根据一元一次方程的解的公式x = -b/a求解。

二、一元二次方程2.1 定义：一元二次方程是指只含有一个未知数（变量），并且未知数的最高次数为2的方程。

2.2 形式：ax² + bx + c = 0，其中a、b、c为常数，且a≠0。

2.3 解法：（1）因式分解法：将方程进行因式分解，找出方程的解。

（2）公式法：根据一元二次方程的解的公式x = [-b ± √(b² - 4ac)] / (2a)求解。

（3）配方法：将方程转化为完全平方形式，进而求解。

（4）图像法：利用方程的图像（抛物线）求解。

三、方程的解3.1 定义：方程的解是指使得方程成立的未知数的值。

3.2 判别式：对于一元二次方程ax² + bx + c = 0，判别式Δ = b² - 4ac可以判断方程的解的情况：（1）Δ > 0：方程有两个不相等的实数解。

（2）Δ = 0：方程有两个相等的实数解。

（3）Δ < 0：方程没有实数解。

四、实际应用4.1 解一元一次方程和一元二次方程在生活中的应用：例如，在计算购物时打折、计算利息、测量等方面都会用到方程求解的方法。

4.2 解一元一次方程和一元二次方程在其他学科中的应用：例如，在物理学中，描述物体运动规律的公式往往是一元二次方程；在化学中，计算反应物质量比等也会用到方程求解的方法。

习题及方法：1.习题：解一元一次方程 3x - 7 = 11。

沪科版八年级下册数学精品教学课件第17章一元二次方程配方法

方法归纳
一元二次方程配方的方法：
在方程两边都加上一次项系数一半的平方——注意是在二次项系数为 1 的一般式前提下进行的.
要点ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ纳
配方法解一元二次方程的定义像这样通过配成完全平方式来解一元二次方程的
方法，叫做配方法.
配方法解一元二次方程的基本思路把一元二次方程化为 (x + n)2 = p 的形式，通过开
(x 3)2 21. 4 16
x1
3 4
21
，x2
3 4
21
.
x1 = 6，x2 = -2. （4）3x2 + 6x - 9 = 0.
解：x2 + 2x - 3=0，
(x + 1)2 = 4.
x1 = -3，x2 = 1.
5. 如图，在一块长 35 m、宽 26 m 的矩形地面上，修建
同样宽的两条互相垂直的道路，剩余部分栽种花草，要
归纳利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法.
典例精析
例1 利用直接开平方法解下列方程：
(1) x2 = 6；
(2) x2 - 900 = 0.
解：直接开平方，得解：移项，得 x2 = 900.
x 6，
直接开平方，得
x1 6，x2 6.
x = ± 30， ∴ x1 = 30，x2 = -30.
解题归纳
上面的解法中，由方程①得到②，实质上是把一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程①转化为我们会解的方程了.
例2 解下列方程：
(1) (x 1)2 4 0； (2) 12(3 2x)2 3 0.
解：移项，得
解：移项，得12(3 2x)2 3，

沪科版八年级数学下册同步教案第17章一元二次方程章末复习

章末复习【知识与技能】1.了解一元二次方程的概念,掌握一元二次方程的公式解法和其他解法；能够根据方程的特征,灵活运用一元二次方程的解法求方程的根.2.理解一元二次方程的根的判别式,会运用它解决一些简单的问题.3.掌握一元二次方程根与系数的关系,会用它解一些简单的问题.4.会列出一元二次方程解实际问题.【过程与方法】1.进一步培养学生快速准确的计算能力.2.进一步培养学生严密的逻辑推理与论证能力.3.进一步培养学生的分析问题、解决问题的能力.【情感态度】1.进一步渗透知识之间的相互联系和相互作用.2.进一步渗透“转化”的思想方法及对学生进行辩证唯物主义思想教育.3.进一步体会配方法是解决数学问题的一种思想方法.【教学重点】1.一元二次方程的解法及判别式.2.一元二次方程根与系数的关系以及它的简单应用.【教学难点】列方程解决实际问题,灵活运用根与系数的关系解决问题.一、知识框图,整体把握【教学说明】教师引导学生回顾本章知识点,边回顾边画出本章知识框图,使学生对本章知识有一个总体把握,了解各知识点之间的联系,加深对知识点的理解,为后面的运用奠定基础.二、释疑解惑,加深理解1.一元二次方程的定义和一般形式（1）只含有一个未知数、且未知数的最高次数是2的整式方程,叫做一元二次方程.（2）一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）特别注意：①分母中不含有未知数.②只有当二次项系数a≠0时,整式方程ax2+bx+c=0才是一元二次方程.2.一元二次方程的解法一元二次方程解法有：直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法.说明：（1）明确一元二次方程是以降次为目的,以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段,从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解；（2）根据方程系数的特点,熟练地选用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程；值得注意的问题：①一般解一元二次方程,最常用的方法还是因式分解法,在应用因式分解法时,一般要先将方程写成一般形式,同时应使二次项系数化为正数.②直接开平方法是最基本的方法.③公式法和配方法是最重要的方法.公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法）,在使用公式法时,一定要把原方程化成一般形式,以便确定系数,而且在用公式前应先计算根的判别式的值,以便判断方程是否有解.配方法是推导公式的工具,掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了,所以一般不用配方法解一元二次方程.但是,配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用,是初中要求掌握的三种重要的数学方法之一,一定要掌握好.（三种重要的数学方法：换元法配方法,待定系数法）.3.一元二次方程根的判别式一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)中,b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根的判别式,通常用“Δ”来表示,即Δ=b 2－4ac,①当Δ＞0时,一元二次方程有2个不相等的实数根；②当Δ=0时,一元二次方程有2个相同的实数根；③当Δ＜0时,一元二次方程没有实数根.4.一元二次方程根与系数的关系如果方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两个实数根是x 1,x 2,那么x 1+x 2=－a b ,x 1x 2=a c .应用根与系数的关系,可以不解方程,计算两根的和或积,求式子的值.5.建立一元二次方程模型解决实际问题建立一元二次方程模型的步骤是：审题、设未知数、列方程.注意：（1）审题过程是找出已知量、未知量及等量关系；（2）设未知数要带单位；（3）建立一元二次方程模型的关键是依题意找出等量关系.【教学说明】教师引导学生对本章重点知识和需要注意的问题进行详细的回顾,使学生对本章知识有进一步的理解,形成知识网络.三、典例精析,复习新知例1 判断关于x 的方程x 2-mx(2x-m+1)=x 中是不是一元二次方程,如果是,指出二次项系数、一次项系数及常项数.【分析】先把方程化为一般形式ax 2+bx+c=0,然后根据一元二次方程的定义可知,当a ≠0时方程是一元二次方程.解：原方程可化为（1-2m ）x 2+(m 2-m-1)x=0.当1-2m=0,即m=21时,原方程整理为-45x=0,原方程是一元一次方程；当1-2m ≠0,即m ≠21时,原方程是一元二次方程. 此时,二次项系数为1-2m,一次项系数为m 2-m-1,常数项为0.例2 已知关于x 的一元二次方程（m-2）x 2+3x+m 2-2=0的一个根中零.求m 的值. 【分析】(1)正确理解方程的根的概念；（2）要特别注意一元二次方程ax 2+bx+c=0中隐含的a ≠0这个条件.解：方程的一个根是零,即x=0,当x=0时,原方程可化为m 2-2=0.解得m=±2.又∵m-2≠0,即m ≠2,∴m=-2例3（四川绵阳中考）已知关于x 的一元二次方程x 2=2(1-m)x-m 2的两个实数根为x 1,x 2.（1）求m 的取值范围.（2）设y=x 1+x 2,当y 取得最小值时,求相应m 的值,并求出最小值.【分析】（1）一元一次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有实数根的条件是b 2-4ac ≥0,不要漏掉b 2-4ac=0的情况.先把方程变形成一般形式,把a,b,c 的值代入b 2-4ac,根据b 2-4ac ≥0求出m 的取值范围.（2）可由一次函数y=kx+b,当k ＞0时,y 随x 的增大而增大；当k ＜0时,y 随x 的增大而减小的性质,根据自变量取值范围,求出一次函数的最大值或最小值.解：（1）将原方程整理为x 2+2（m-1）x+m 2=0.∵原方程有两个实数根,∴Δ=［2(m-1)］2-4m 2=-8m+4≥0,得m ≤21. （2）∵x 1,x 2=-2m+2,∴y=x 1+x 2=-2m+2,∵y 随m 的增大而减小,且m ≤21, ∴当m=21时,y 取得最小值1. 【教学说明】教师出示典型例题,让学生先尝试解答,教师予以讲解,在讲解的过程中,应着重于知识点的应用和解题方法的渗透.四、复习训练,巩固提高1.若方程x 2－3x －1=0的两根为x 1、x 2,则2111x x 的值为( ). A.3 B.－3 C.31 D.－31 2.关于x 的方程(a-6)x 2-8x+6=0有实数根,则整数a 的最大值是（）A.6B.7C.8D.93.在一幅长为80cm,宽为50cm 的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边,制成一幅矩形挂图,如图所示,如果要使整个挂图的面积是5400cm 2,设金色纸边的宽为xcm,那么x 满足的方程是（）.A.x 2+130x －1400=0B.x 2+65x －350=0C.x 2－130x －1400=0D.x 2－65x －350=04.关于x 的一元二次方程－x2+(2k+1)x+2－k 2=0有实数根,则k 的取值范围是 .5.已知x 1、x 2是方程x 2－3x －2＝0的两个实根,则(x 1－2) (x 2－2)= .6.某电动自行车厂三月份的产量为1000辆,由于市场需求量不断增大,五月份的产量提高到1210辆,则该厂四、五月份的月平均增长率为 .7.解方程：(x －3)2+4x(x －3)=08.阅读材料：为解方程(x 2－1)2－5(x 2－1)+4=0,我们可以将x 2－1 看作一个整体,然后设x 2－1=y,那么原方程可化为y 2－5y+4=0……①,解得y 1=1,y 2=4,当y=1时,x 2－1=1,∴x 2=2,∴x=±2；当y=4时,x 2－1=4,∴x 2=5,∴x=±5,故原方程的解为x 1=2,x 2=－2,x 3=5,x 4=－5. 解答问题：（1）上述解题过程,在由原方程得到方程①的过程中,利用法达到了解方程的目的,体现了转化的数学思想；（2）请利用以上知识解方程x 4－x 2－6=0.9.关于x 的方程kx 2+(k+2)x+4k =0有两个不相等的实数根. (1)求k 的取值范围.(2)是否存在实数k,使方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在,求出k 的值；若不存在,说明理由.10.如图,利用一面墙,用80米长的篱笆围成一个矩形场地（1）怎样围才能使矩形场地的面积为750平方米？（2）能否使所围的矩形场地面积为810平方米,为什么？【答案】1.B 2.C 3.B 4.k ≥－49 5.－4 6.10％10.解：设AD=BC=xm,则AB=（80－2x）m （1）由题意得：x（80－2x）=750解得：x1=15 x2=25当x=15时,AD=BC=15m,AB=50m当x=25时,AD=BC=25m,AB=30m答：当平行于墙面的边长为50m,斜边长为15m时,矩形场地面积为750m2；或当平行于墙面的边长为30m,邻边长为25m时矩形场地面积为750m2.（2）由题意得：x（80－2x）=810Δ=40－4×405=1600－1620=－20＜0∴方程无解,即不能围成面积为810m2的矩形场地.【教学说明】学生独立完成练习,进一步熟练相关知识点的应用和提高解题能力.五、师生互动,课堂小结1.一元二次方程的定义和一般形式.2.一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法,要根据具体的问题选择合适的方法.3.根的判别式：Δ=b2-4ac和根与系数的关系：4.列方程解应用题的一般步骤.【教学说明】学生结合刚才所进行的复习,进行自主交流与反思,提出自己的困惑,进一步掌握全章知识.完成同步练习册中本课时的练习.重点是让学生加强对一元二次方程解法的熟练性,难点是让学生掌握根的判别式和根与系数的关系.对于根的判别式这个知识点,学生还不时会在两个方面出问题：一是方程有解的时候,学生通常只考虑到△＞0的情况,而漏了△=0情况；二是在对方程中某一待定系数的取值范围的分析的时候,常常会忘记对二次项系数a≠0这种情况的分析.有一部分的学生问题主要还是出在了公式的误差记忆上,从而导致了整个运算的错误.还有一点问题就是学生的运算能力太差,在解方程时,方法基本都已经掌握,但无法保证计算的准确性.。

沪科版八年级下册数学第17章一元二次方程因式分解法(2)

（来自《教材》）
2 (中考·沈阳)一元二次方程x2－4x＝12的根是( ) A．x1＝2，x2＝－6B．x1＝－2，x2＝6 C．x1＝－2，x2＝－6D．x1＝2，x2＝6
知2－练
3 (中考·雅安)已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2－4x＋3＝0的根，则该三角形的周长可以是( ) A．5B．7C．5或7D．10
则______＝0，或______＝0. 3.试求下列方程的根 (1)x(x－7)＝0； (2)(x＋1＋2)(x＋1－2)=0.
知识点 1 因式分解法的依据
知1－讲
对于 (x－3)(x＋3)＝0. 我们知道，如果两个因式的积等于0，那么这两个因式中至少有一个等于0；反过来，如果两个因式中有一个等于0，那么它们的积就等于0.因此，有 x—3＝0或x＋3＝0.
知1－练
1 (中考·山西)我们解一元二次方程3x2－6x＝0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x(x－2)＝0，从而得到两个一元一次方程3x＝0或x－2＝0，进而得到原方程的解为x1＝0，x2＝2.这种解法体现的数学思想是( )
A．转化思想B．函数思想 C．数形结合思想D．公理化思想
2 用因式分解法解方程，下列过程正确的是( A．(2x－3)(3x－4)＝0化为2x－3＝0或3x－4＝0 B．(x＋3)(x－1)＝1化为x＋3＝0或x－1＝1 C．(x－2)(x－3)＝2×3化为x－2＝2或x－3＝3 D．x(x＋2)＝0化为x＋2＝0
配方，得(x－1)2＝4，x－1＝±2，
∴x1＝3，x2＝－1. (2)2x2－7x－6＝0，
∵a＝2，b＝－7，c＝－6，
∴b2－4ac＝97＞0， ∴x1＝x2＝7＋ 97 ，
4

(沪科版)八年级数学下册(素材)17.2.3 因式分解法说课材料

17.2 一元二次方程的解法17.2.3 因式分解法各位评委老师你们好！今天我说课的题目是八年级下册第17章第二节的《一元二次方程的解法》——因式分解法：1、教材内容《一元二次方程的解法》——因式分解法是沪科版义务教育八年级下册总第17章的第二节的最后一课，通过讲解利用因式分解法降次解一元二次方程，并归纳一元二次方程的三种解法及其应用。

2、教材的地位和作用本节课是在学完《配方法》、《公式法》内容之后，学习一元二次方程的第三种解法-----《因式分解法》。

对于某些一元二次方程，虽然用配方法和公式法可以解，但是用因式分解法去做更简便。

培养学生观察思考，避繁就简和一题多解的能力等都具有重要的作用。

二、目标分析：1、知识目标：1.掌握用因式分解法解一元二次方程，2.能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法．2、能力目标：体会“降次”化归的思想．能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性．3、情感目标：使学生知道分解因式法是一元二次方程解法中应用较为广泛的简便方法，它避免了复杂的计算，提高了解题速度和准确程度．通过学生之间的交流、讨论，培养学生的合作精神。

三、重难点分析：重点：应用分解因式法解一元二次方程。

难点：灵活应用各种分解因式的方法解一元二次方程。

关键：让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题简便。

四、教法与学法：1、教学设计理念：（1）树立以学生发展为本的思想，通过构建以学习教育为中心，有利于学生主体精神、创新能力健康发展的宽松的教学环境，提供学生自主探究、合作交流的机会，鼓励他们的创新思考和创新实践以培养创新意识。

（2）坚持协同创新原则，把教材创新、教法创新及学法创新有机结合起来，营造一个有利于创新能力培养的良好环境。

2、教法：着眼于学生的长远发展，培养学生分析思考问题能力，已学知识因式分解积为0，每个因式都为0，从而用于解方程，学生通过小组同学一起分析讨论得出结论。

八年级数学下册第17章一元二次方程17.2一元二次方程的解法第1课时直接开平方法教案新版沪科版

17.2 一元二次方程的解法第1课时直接开平方法【知识与技能】认识形如x2＝a（a≥0）或（ax+b）2＝c（a≠0，c≥0，a，b，c为常数）类型的方程，并会用直接开平方法解.【过程与方法】培养学生准确而简洁的计算能力及抽象概括能力.【情感态度】通过两边同时开平方，将二次方程转化为一次方程，向学生渗透数学新知识的学习往往由未知（新知识）向已知（旧知识）转化，这是研究数学问题常用的方法，化未知为已知. 【教学重点】用直接开平方法解一元二次方程.【教学难点】（1）认清具有（ax＋b）2＝c（a≠0，c≥0，a，b，c为常数）这样结构特点的一元二次方程适用于直接开平方法;（2）一元二次方程可能有两个不相等的实数解，也可能有两个相等的实数解，也可能无实数解．如：（ax＋b）2=c（a≠0，a，b，c常数），当c＞0时，有两个不等的实数解，c＝0时，有两个相等的实数解，c＜0时无实数解.一、创设情境，导入新课1.口答题：4 的平方根是，81的平方根是， 81的算术平方根是 .2.我们曾学习过平方根的意义及其性质，回忆一下：什么叫做平方根?平方根有哪些性质?学生回答：（1）如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根.用式子表示：若x2＝a，则x叫做a的平方根.（2）平方根有下列性质：①一个正数有两个平方根，这两个平方根是互为相反数的；②零的平方根是零；③负数没有平方根.【教学说明】以上问题让学生自主完成，教师归纳总结，重点强调正数有两个平方根，负数没有平方根.为后面的学习奠定基础.二、合作探究，探索新知1.教师设问：如何求出适合等式x 2＝4的x 的值呢?学生思考，尝试解答2.根据平方根的定义，由x 2＝4可知，x 就是4的平方根，因此x 的值为2和－2 即根据平方根的定义，得x 2＝4,x ＝±2即此一元二次方程的解为： x 1＝2，x 2 ＝-23.小结：这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法.【教学说明】根据平方根的求法得到方程的解，让学生将它们对应起来，然后教师将这种方法进行总结，注意方程解的写法.4.提问：怎样解方程(x+1)2=256?让学生说出解法，教师板书.解:直接开平方，得x+1=±16所以原方程的解是x 1＝15，x 2＝－175.教师小结：对于形如x 2=a （a ≥0)或（x+h ）2=a(a ≥0)的一元二次方程可以用直接开平方法求解.解一元二次方程的基本思想是降次，将一元二次方程转化为一元一次方程.【教学说明】这里教师要对式子进行分析，然后类比上面的解法，进行求解，最后进行总结，用字母的式子表示，便于学生理解和记忆.三、示例讲解，掌握新知例1 解下列方程：（1）x 2＝2；（2）4x 2－1＝0.【分析】第1题直接用开平方法解；第2题可先将－1移项，再将两边同时除以4化为x 2＝a 的形式，再用直接开平方法解之.【教学说明】形如方程ax 2-k=0(a k ≥0)可变形为x 2=a k (ak ≥0)的形式，即方程左边是关于x 的一次式的平方，右边是一个非负常数，可用直接开平方法解此方程.例2 解下列方程：（1）（x ＋1）2＝2;（2）（x －1）2－4 ＝0;（3）12（3－x ）2－3 ＝0.【分析】第1小题中只要将（x ＋1）看成是一个整体，就可以运用直接开平方法求解；第2小题先将－4移到方程的右边，再同第1小题一样的解法；第3小题先将－3移到方程的右边，再两边同除以12，再同第1小题一样去解即可.【教学说明】（1）解形如（x+h ）2=k(k ≥0)的方程时，可把（x+h ）看成整体，然后直接开平方；（2）注意对方程进行变形，方程左边变为一次式的平方，右边是非负常数；（3）如果变形后形如（x+h ）2=k 中的k 是负数，不能直接开平方，说明方程无实数根；（4）如果变形后形如(x+h)2=k 中的k ＝0这时可得方程两根相等.四、练习反馈，巩固提高1.若8x 2-16=0，则x 的值是 .2.如果方程2（x-3）2=72，那么，这个一元二次方程的两根是 .3.如果a 、b 为实数，满足43 a +b 2-12b+36=0，那么ab 的值是 .4.用直接开平方法解下列方程：（1）x2＝169；（2）45－x2＝0；（3）4x2-16＝0;（4）（x＋2）2－16＝0【答案】1.±2 2.9或-3 3.-8【教学说明】学生易错的是开方时应该是两种情况，学生可能只写一种，所以教师要进行强调.第2题应该先两边除以2，再进行开方求解.五、师生互动，课堂小结1.如果一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，另一边是一个非负常数，便可用直接开平方法来解．如（ax＋b）2＝c（a，b，c为常数，a≠0，c≥0）.2.平方根的概念为直接开平方法的引入奠定了基础，同时直接开平方法也为一元二次方程的解法起了一个抛砖引玉的作用.两边开平方实际上是二次方程由二次转化为一次，实现了由未知向已知的转化，由高次向低次的转化，是高次方程解法的一种根本途径.3.一元二次方程可能有两个不同的实数解，也可能有两个相同的实数解，也可能无实数解.【教学说明】教师引导学生自主总结，教师适当渗透相关的解题思想并进行总结，为后面的学习奠定基础.完成同步练习册中本课时的练习.一元二次方程的求解是初中数学学习中非常重要的一部分，而直接开平方法则是解一元二次方程的基础方法，它看似简单，却不容忽视.“直接开平方法解一元二次方程”是配方法解一元二次方程的基础；同时这一节的教材编写中还突出体现了“换元”、“转化”等重要的数学思想方法.因此这一节不仅是为后续学习打下坚实基础的一节课，更是让学生体验并逐步掌握相关数学思想方法的一节课.教学过程中，在合作探究过程中给学生较充分的时间进行独立思考、小组交流，让学生的思维互相启发互相碰撞，让个人智慧与集体智慧充分交融.在探究过程中适当巡视，适时指导点拨，保证各小组探究学习的有效性.同时，及时评价.对学生发现了不同解法时首先给予表扬和肯定，从而激发学生的求知欲.。

17.2.12勾股定理逆定理(教案)

3.引导学生运用勾股定理逆定理解决实际问题，增强学生的数学应用意识和创新意识。
4.培养学生团队合作精神，提高沟通交流能力，增强数学课堂互动。
5.激发学生对数学学科的兴趣，树立正确的数学观念，培育数学美感。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）理解和掌握勾股定理逆定理的内容，即一个三角形的两边长的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形。
（2）对于特殊情况的判断，如：一个三角形的两边长分别为1.5和2，第三边长为3.5，判断这个三角形是否为直角三角形（1.5^2 + 2^2 = 2.25 + 4 = 6.25，3.5^2 = 12.25，不是直角三角形）。
（3）解决实际问题，如：一个直角三角形的两个直角边长分别为6和8，求斜边长。将勾股定理逆定理与勾股定理相结合，得出斜边长为10。
17.2.12勾股定理逆定理（教案）
一、教学内容
本节课选自人教版八年级数学下册第17章第2节，主要教学内容为勾股定理逆定理。具体内容包括：
1.理解并掌握勾股定理逆定理的概念：如果一个三角形的两边长的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
2.学会运用勾股定理逆定理判断一个三角形是否为直角三角形。
此外，我在课堂上观察到，学生们对于自己发现问题和解决问题的过程非常感兴趣。在小组讨论环节，他们积极思考，互相交流，提出了很多有趣的观点和解决方案。这让我意识到，在今后的教学中，应该多设计一些开放性的问题和实践活动，激发学生的创新思维和探究欲望。
最后，今天的课堂总结环节，学生们提出了不少疑问，这说明他们在课堂学习中还有未完全理解的地方。在今后的教学中，我要更加关注学生的反馈，及时解答他们的疑问，确保他们对知识点有全面、深入的理解。

2024八年级数学下册第17章一元二次方程17-2一元一次方程的解法__因式分解法上课新版沪科版

解方程，得 x1 6， x2 2.
创设情境
探究新知
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
因
式
分
解
法
用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
1.移项：将方程化为一般形式；
2.分解：将方程的左边分解为两个一次式的乘积；
3.转化：令每个一次式分别为0，得到两个一元一次
方程；
4.求解：解这两个一元一次方程，它们的解就是一
( x 2)( x 3) 0
巩固新知
课堂小结
布置作业
因此得
x 2 0 或 x 3 0.
解方程，得
x1 2， x2 3.
新课导入
典型例题
解方程： x 4 x 1 6
探究新知
应用新知
解:
将原方程化成标准形式，得
x 2 3x 10 0
−2
1
再选择适当的方法求解，得方程的两根为1 =___；
2 =___.
随堂练习
创设情境
用因式分解法解下列方程：
探究新知
1 x

2 x 3 0
应用新知
解:
巩固新知
课堂小结
布置作业
原式可得：
x 2 0 或 x 3 0.
解方程，得
x1 2，x2 3.
随堂练习
二次项系数若不为1，必须先把系数化为1，
再进行配方.
..2
≥
b 4ac ___0时，方程有解；求根公式为
公式法
ax2 bx c 0
因式分
方程的一边为0，令一边
方程的一边必须是____，另一边可用任何