污染气象学课件：2_2 湍流扩散的统计理论

此式即为泰勒公式的另一种形式。
（2.4)
13
二、扩散参数和扩散时间的关系
y 2 22 T 0
t
0 RL ( )ddt
2 2
T
(T
0
)RL ( )d
由泰勒公式和 RL 的性质，
可得出扩散参数和扩散时间的关系：
1）当扩散时间足够短时，即T →0，可认为 τ→0，则RL（τ） →1
将RL（τ）值代入（2.4）式有
y
t
0
v
t
d
9
d y2 2 y dy
dt
dt
vt dy dt
y
t
0
v
t
d
d
2 y
d y2 2vt
t vt d 2v2
t vtvt
d
dt dt
0
0
v2
2v2
t 0
RL
d
把上式从0 T积分，得：
2 y
y2
2v2
T 0
t
0 RL
d dt
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这就是著名的泰勒公式。 是湍流扩散统计理论的基本公式之一。
拉格朗日谱由下式表达
RL ( ) 0 F L (n) cos 2ndn
即相关系数与谱函数互为富里叶变换关系。 式中FL（n）为拉格朗日的谱函数。 代入泰勒公式（2. 3）式则
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y2 22 T 0
t
0 RL ( )ddt
RL ( ) 0 F L (n) cos 2ndn
y 2 2 2
1935年泰勒又引进同一时刻不同点上速度分量的相关，用 以描述湍流脉动场,此即所谓欧拉相关。
泰勒利用这一类相关研究了一种理想湍流──均匀各向同性 湍流。这种量简单的理想化湍流的定义是：平均速度和所有平 均量都对空间坐标的平移保持不变，而且各相关函数沿任何方 向都是相同的。-冰冻湍流
统计理论引进多点相关的统计。
1 c os2 x 2 sin 2 x
18
此式即横向扩散与拉氏湍谱之间的关系。
y 2
2T 2
sin 2 nT
0 FL (n) (nT )2
dn
（2.7)
公式表明，经过时间T，在x轴向距离为x= u T 位置上，y向扩散散布与横向湍强有关，亦
与拉氏湍谱有关。
显然，当T足够小时，
sin 2 nT 1 (nT )2
浓度正态分布的假设，仅是同实况比较接近的一
种假设。
7
y方向浓度分布的标准差等于横向粒子位移y的均方差，
即：
y
y2
1
2
或
2 y
y2
8
将上式对时间t求导，得：
d y2
dy
2y
dt
dt
y
y2
1
2
或
2 y
y2
其中dy dt 是微粒y方向位移的时间变化率，
即横向脉动速度
vt dy dt
横向位移y等于横向脉动速度对时间的积分，即：
T 0
t 0
0
F
L
(n)
c os2ndnddt
22
0
T 0
t 0
c
os2nd
dt
FL
(n)dn
22
1
0
2n
T 0
sin 2ntdtFL
(n)dn
2
0
FL
(n)
1
c os2nT 2(n) 2
dn
y 2
2T 2
sin 2 nT
0 FL (n) (nT )2
dn
4
一、泰勒公式
泰勒（Taylor，1921）用拉格朗日的方法首 先把扩散参数和湍流脉动场的统计特征量联系 起来，导出了适用于连续运动扩散过程的泰勒 公式。
5
现研究：如图从源放出的微粒的扩散情况
假定：湍流场均匀定常
6
•跟踪一个从源放出的粒子的运动，
•跟踪很多同时从源放出粒子的运动, 浓度分布一般为正态分布。
这里
Lt 0 RL ( )d
即拉氏相关时间尺度或湍涡积分时间尺度。
于是 y2 T 或 y T
（2.6)
15
即： 在源点附近，扩散开始时，扩散参数随
扩散时间线性增加； 当扩散时间足够长时，扩散参数与扩散
时间的平方根成正比。
y T
y T 中间？－过渡
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三、泰勒公式的谱函数形式 1、用拉氏谱函数表示的泰勒公式
y 2
2T 2
0
FL
(n)dn
2T
2
即
y2 T2 19
2、用欧拉谱表示的泰勒公式
研究表明： 拉氏相关RL和欧氏相关RE随时间 变化都符合指数关系，但一般RL比RE下降的慢，即 RL比RE要大。
z
（2.1）
比例系数K即湍流交换系数,亦称湍流扩散系数。 导出公式：
q( x,
y, z)
2
Q
u
y
z
exp
y2
2
2 y
z2
2
2 z
（2.2） 2
§2.2 湍流扩散的统计理论
基本观点： • 近地层大气总是处于湍流运动状态。 • 单个微团（粒子）的运动极不规则，但对大量
的微团的运动却具有一定的统计规律。
2 y
y2
2v2
T 0
t
0 RL d dt
（2.3）
公式表明，在定常均匀湍流场中，
粒子的湍流扩散范围取决于
湍流强度 v2
脉动速度的拉氏相关性（RL（τ））。
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2 y
y2
2v2
T 0
t 0
RL
d
dt
泰勒公式的另一种形式：
运用分部积分法则 ud u du
t
并且令 t, u 0 R( )d
T
0
dt
t 0
RL ( )d
t
t 0
R
L
(
)d
T
0
T
0 tRL (t)dt
T
0 (T )RL ( )d
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可将（2.3）式的二重积分简化为一重积分，即
y2 2v2
T 0
t 0
RL
d
dt
变为：
y 2 22 T 0
t
0 RL ( )ddt
2 2
T
(T
0
)RL ( )d
• 湍流统计理论就是从研究湍流脉动场的统计性 质出发，如相关、湍强、湍谱等，描述流场中 扩散物质的散布规律。
• 属于拉格朗日途径的处理方法。
3
研究湍流一般要用统计平均概念。 统计的结果是湍流细微结构的平均，描述流体运动的某些 概貌，而这些概貌对实际湍流细节应该是适当敏感的。
泰勒在20年代初研究湍流扩散时，引进了流场同一点在不 同时刻的脉动速度的相关，从而开创了湍流统计理论的研究。 这一相关称拉格朗日相关，可描述流动的扩散能力。
第二章 湍流扩散基本理论
§2.1 梯度输送理论──K理论 §2.2 湍流扩散的统计理论
(重点─泰勒公式的导出,扩散参数和扩散时间关系)
§2.3 湍流扩散相似理论 §2.4各种扩散理论的比较 第二章小结
练习作业一 1
§2.1 梯度输送理论—K理论
由湍流引起的动量通量与局地风速梯度成正比，如
uw k u
____
y2 '2 T 2
意即 y2 T 2 或 y T
（2.5)
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y 2 22 T 0
t
0 RL ( )ddt来自2 2T(T
0
)RL ( )d
2）当扩散时间足够长时，
y2
22
T
0 TRL ( )d
22
T
0 RL ( )d
22T (
T
0 RL ( )d
T
0T
RL ( )d ) 22LtT