初中数学 二次根式的性质(2)市级优质课教案教学设计
鲁教版初中数学八年级下册《二次根式的性质(第2课时)》教学设计
教师提问：我们已经学过二次根式的哪些性质？（学生回答）
师问学生回顾思考，独立回答
二次根式还有其他性质吗？我们先来共同探索。
请同学们来完成如下的填空（可利用计算器来完成计算）
二、探究新知
(1) ____________; _________;
(2) _________; _________.
作业设计习题7.3知识技能
教学后记
（包括达标情况、教学得失、改进措施等）
(3) 与 相等吗？为什么？
学生独立计算，教师指定中游同学回答。
比较左右两边的等式,你发现了什么?你能用字母表示你的发现吗?
通过计算、观察发现、总结规律，得出性质
师生共同的来归纳出性质。对于其中字母的取值范围，可由学生小组合作来完成。
一般地,二次根式还有下面的性质:（板书）
三、例题剖析
例3．化简：
学生独立计算，交流结果。
（1） （2）
学生独立计算，交流结果。
教师让学生观察例3、例4的结果，看有什么特点.
教师总结：
被开方数都不含分母，并且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，像这样的二次根式叫做最简二次根式.
一个二次根式如果不是最简二次根式，那么可以利用二次根式的性质，把它化成最简二次根式.
课堂上的探究让学生进一步的对性质的应用加以理解，让学生的应用能力提高。
练一练：化简
（1） （2）
（3） （4）
学生竞赛，完成后小组评比
四、思维提升
探究活动：化简下列两组式子:
你发现了什么规律?请用字母表示你所发现的规律,并与同伴交流.
请再任意选几个数验证你发现的规律.
五、课堂小结
师生共同的完成本节课的课堂小结。让学生形成知识的网络。
九年级数学上册《二次根式》教案、教学设计
二、学情分析
九年级的学生已经具备了一定的数学基础，掌握了实数的概念和基本的运算法则，但对于二次根式的理解可能还不够深入。在之前的学习中，学生已经接触过平方根，对根式的概念有初步的了解，这为本章节的学习奠定了基础。然而，二次根式的性质和运算相对复杂，学生在运用过程中可能会遇到困难，如符号处理、化简技巧等。因此，在教学过程中，需要关注以下几点：
2.讨论主题：针对本节课所学内容，设计具有讨论性的问题，如二次根式的性质、化简方法等。
3.指导与反馈：在学生讨论过程中，教师巡回指导，及时解答学生的疑问，引导他们正确地理解知识。
4.分享成果：鼓励各小组分享自己的讨论成果，让全班同学共同学习，共同进步。
（四）课堂练习
在小组讨论之后，进行课堂练习，检验学生的学习效果：
3.二次根式的化简：讲解如何化简二次根式，特别是含有分母的二次根式的化简方法，帮助学生掌握关键步骤。
4.二次根式的应用：通过具体实例，展示二次根式在解决实际问题中的应用，如求面积、体积等。
（三）学生小组讨论
讲授新知识后，组织学生进行小组讨论，巩固所学内容：
1.分组：将学生分成若干小组，确保每个小组的学生层次搭配合理，有利于相互学习。
1.基础知识巩固：设计一系列基础题目，涵盖二次根式的定义、性质和运算法则，让学生通过练习，加深对二次根式概念的理解，提高运算能力。
-化简二次根式：选取一些具有代表性的二次根式，让学生进行化简，巩固化简方法。
-二次根式的乘除运算：布置一些涉及二次根式乘除运算的题目，提高学生运用运算法则解决问题的能力。
2.强调二次根式在实际问题中的应用，提高学生的应用意识。
3.鼓励学生提出自己在学习过程中遇到的困难和问题，组织全班同学共同讨论解决。
八年级数学上册《二次根式及其性质》教案、教学设计
（2）新课：以学生已有的知识为基础，引导学生自主探究二次根式的性质，适时进行总结；
（3）巩固：设计不同层次的练习题，让学生在练习中巩固所学知识，提高解题能力；
（4）拓展：将二次根式应用于解决实际问题，提高学生的数学应用意识；
在教学过程中，教师应关注学生的个体差异，因材施教，使每个学生都能在原有基础上得到提高。同时，注重启发式教学，激发学生的学习兴趣和主动性，使学生在轻松愉快的氛围中掌握二次根式及其性质。通过本章节的学习，为学生后续学习一元二次方程、二次函数等知识打下坚实基础。
二、学情分析
八年级学生已经具备了一定的数学基础，掌握了实数的概念、运算法则，以及简单的代数式求值。在此基础上，学习二次根式及其性质，对学生来说既是挑战，也是提升。学生在学习过程中可能存在以下问题：对二次根式的概念理解不够深入，容易混淆平方根与算术平方根；对二次根式的性质掌握不牢固，运算过程中容易出现错误。因此，在教学过程中，教师应关注以下几点：
（2）运用探究式教学法，引导学生自主发现二次根式的性质，培养学生的探究能力；
（3）采用问题驱动的教学方法，设置不同难度的问题，引导学生逐步深入理解二次根式的性质；
（4）设计多样化的练习题，巩固所学知识，提高学生的运算速度和准确性；
（5）结合小组合作学习，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
2.教学过程：
（4）各小组讨论解决方法，并进行汇报。
（四）课堂练习，500字
1.教学内容：二次根式的化简、运算与应用。
2.教学过程：
（1）教师出示练习题，要求学生在规定时间内完成；
（2）学生独立完成练习题，教师巡回指导，解答学生疑问；
二次根式的性质(2)教案__刘欣
3.教学方式：自主探究、讲授
4.教学重点：理解 并利用它进行计算和化简。
5.教学难点:理解式子 中的a可以取任意实数，并能根据字母的取值范围正确的化简有关的二次根式。
知识运用
课堂小结
作业布置
现学现用：
勇攀高峰：计算：
（4）
练习：
若 ，求x的取值范围
若 ，求x的取值范围
的区别与联系
（利用表格的形式）
谈谈本节课的主要内容及收获
课本：基础：4题，15题
提升：2,3题
学生回答
独立思考
学生思考
学生回顾本节课所学到的内容
课后完成
考查
再次强调了a的取值范围，学生很容易忽视掉a=0的情况。
在比较、区别的过程中，提高学生学习的能力。
帮助学生梳理内容，培养学生总结反思的学习习惯。
对所学知识课下进一步巩固。
板书设计
二次根式的性质
性质：例题练习
国家教育行政学院附属实验学校
教学基本信息
课题
二次根式的性质（2）
学科
数学
学段：7—9年级
年级
八年级
教材
北京课改版数学八年级上册
教师
刘欣
教学指导思想与理论依据
教学活动是教与学的双边相互促进的活动。在教学活动中，始终坚持教学论中教为主导，学为主体的指导思想与理论依据。从学生实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境，引导学生通过实践、思考、探索、交流，获得知识，形成技能，发展思维，学会学习。因此在教学中，我针对本节课的特点，首先让学生复习了二次根式的意义和性质，然后通过观察、归纳探究 的结果。在教学过程中注重营造让学生自主探索的学习氛围，给学生留足够的思考空间。在性质的运用中，注意学生的个体差异，问题设计由易到难，层层递进。
初中数学初二数学上册《二次根式的概念和性质》教案、教学设计
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学的兴趣，使学生感受到数学学习的乐趣，增强学生的自信心。
2.培养学生勇于探究、善于发现的精神，使学生养成良好的学习习惯。
3.培养学生严谨、认真的学习态度，使学生认识到数学知识在生活中的重要作用。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.利用多媒体展示一组实际生活中的图片，如平方形的农田、正方形的瓷砖等，引导学生观察并思考这些图形的面积如何表示。
2.提问：“同学们，我们在学习算术平方根时，学过如何表示一个数的平方根。那么，如果遇到一个数的平方根与有理数相乘的情况，我们应该如何表示呢？”
3.学生思考并回答，教师总结并引出二次根式的概念。
3.学生完成后，教师及时批改并反馈，针对共性问题进行讲解。
（五）总结归纳
1.教师带领学生回顾本节课所学内容，总结二次根式的概念、性质、化简方法及应用。
2.强调二次根式在解决实际问题中的应用价值，激发学生学习兴趣。
3.提醒学生课后进行复习，巩固所学知识，为下一节课的学习打下基础。
五、作业布置
为了巩固本节课所学知识，特布置以下作业：
1.基础题：完成课本第chapter页的练习题，包括填空题、选择题和解答题。重点关注二次根式的概念、性质以及化简方法。
要求：学生独立完成，家长检查签字，课堂上教师将针对作业情况进行讲解。
2.提高题：设计两道涉及二次根式计算的题目，要求学生运用所学性质和化简方法解决问题。
要求：学生尝试独立完成，可查阅资料辅助解题，课堂上进行讨论、分享解题思路。
（二）讲授新知
1.二次根式的定义：由算术平方根和有理数乘积的形式构成的式子。如：2√3、-5√2等。
9.1《二次根式和它的性质(2)》参考教案
9.1二次根式和它的性质(2)
教学目标
1、掌握二次根式的基本性质:J户=Ha≥0),并会用来化简二次根式。
2、经历积的算术平方根的性质的推导过程，并运用这一性质进行化简。
教学重点
运用二次根式的基本性质进行化简。
教学难点
运用二次根式的基本性质进行化简。
教学准备
相关题目
课前预习
1、积的算术平方根有什么性质？
2、计算：
⑴旧7；(2)√025;
⑶肾;(4)√Z
3、已知：Ac是三角形的三边长，化简
J(b-cρ)2+J(4+b+c)2+J("b-c)2+>∣(c-a-b)2.
谈谈你有什么收获？
Pl18习题9.1组第3题。
学生做在练习本上。
课后反思Βιβλιοθήκη 根式。例题讲解例3化简：
(l)√αθf;(2)√(-2p;(3)√由
解(D√W=√(o.ι)2=o.ι.
师生分析，然后学
(2)√(-2)2三√2r=2.
生板书。
(3)√9α2√(3α)23α.
思考：
当“≥0时，(而2与√7有什么区别与联系？区别：(而2表示对。先求算术平方根，然后再平方;"表示先求4的平方然后再求算术平方根。联系：它们的运算结果都是4.
练习：
1、计算：
⑴2；(2)√(λ25;
学生思索，并沟通得到的答案。
学生做在练习本上。
<3)∫∣7i(4)√√.
计算下面的算式，并比较它们的运算结果，你有什么发现？
(I)J4X9=,口X耶=;
学习自主学习，然
(2)J16X25二,VΓδ×>/25=;
二次根式的性质2教案
a2、会运用二次根式的性质进行计算和化简；3、通过学习及应用这一性质，培养自己分类讨论的数学思想。
二、重、难点预见重点：二次根式的性质的运用。
难点：会运用二次根式的性质进行计算和化简。
三、自主探究（一）忆一忆（1）当oa≥时，=a，当oa<时，=a（2）若a>1，则化简a-1=（3）实数a、b在数轴上的位置如图所示，那么化简│a-b│-a的结果是(4)若1＜p＜2，试化简21-+-pp说明：此内容为课前检测内容，主要是设计一些与绝对值性质有关的试题，因为二次根式的性质（2）就是通过化为绝对值加以解决，而绝对值的内容又是难点，尤其是利用绝对值的性质进行化简。
(二)做一做（1）2a的意义是什么？a可以取何值？（2）22= . 2)31(= . 2a= （a＞0）.（3）2)2(-= . 2)31(-= .2a= （a＜0）20=可得到二次根式的一个重要的性质：=2a说明：在这个环节我设置了三组题目：题目1的设计意图是让学生重新认识一下本节课要研究的“2a”，题目2、3的设计意图是对a进行分类讨论（正数、负数、0），进而求出2a的值，为得出后面的结论做铺垫。
然后再与绝对值的性质进行比较，发现两者的相同之处，得出二次根式的性质（2），完成学生的探究过程。
四、基础在线例1、计算：①2)(π-③2286+说明：例1的设计意图是通过简单的数字计算来巩固二次根式的性质，完成教学目标的2.例2、化简①9x6x2++（)3-≤x②211⎪⎭⎫⎝⎛-a（a>1）③1x2x)3x(22+-+-（3x1<<）④2<x<3）.说明：例2的设计意图是通过含有未知数的二次根式化简来巩固性质，这部分内容是本节的难点，可以教师讲解一个，包括方法的讲授、格式的书写，其他的题目有学生独立完成，然后组内订正，教师再次订正答案。
中学生的中和运用能力得到提高，处理方法是先学生独立完成，请一名尽量出现问题学生板演，针对学生的问题教师讲解五、快乐达标1、当x_______意义的a的值是_______．2、若aaa-=+-3692，则a与3的关系是3、当a时，22)(aa=。
初中二次根式市公开课获奖教案省名师优质课赛课一等奖教案
初中二次根式教案一、教学目标：1. 理解二次根式的概念和性质；2. 能够进行二次根式的运算；3. 能够解决与二次根式有关的实际问题。
二、教学重点：1. 二次根式的概念和性质；2. 二次根式的运算规则。
三、教学难点：1. 二次根式的化简与合并；2. 解决实际问题中涉及二次根式的计算。
四、教学准备：1. 教材《初中数学》；2. 教学投影仪；3. 教学课件和习题资料；4. 学生练习册。
五、教学过程：第一节：二次根式的概念和性质1. 引入教师通过提问学生的平方根的概念，引出二次根式的概念，并与平方根进行对比，引起学生的兴趣和思考。
2. 讲解教师给出二次根式的定义和示例，并解释二次根式的含义和特点。
然后，介绍二次根式的性质，如非负性、分解因式、开方定理等。
3. 练习让学生进行一些简单的二次根式的计算练习，加深他们对二次根式的理解和应用。
第二节：二次根式的运算规则1. 复习教师对上节课所学的二次根式的概念和性质进行复习，确保学生对基本知识的掌握。
2. 讲解介绍二次根式的运算规则，包括加减、乘除等运算。
教师通过具体的例子，逐步讲解每种运算规则的应用方法。
3. 练习让学生进行各种类型的二次根式的运算练习，帮助他们掌握二次根式的运算技巧。
第三节：解决实际问题中涉及二次根式的计算1. 引入教师通过提供一些实际问题，引导学生思考如何应用二次根式的知识解决这些问题，激发学生的兴趣和思维能力。
2. 讲解通过解析一些实际问题的解决方法，教师讲解如何应用二次根式的知识进行计算，并指导学生应用已学知识解决一些具体问题。
3. 练习让学生独立解决一些实际问题，涉及二次根式的计算，鼓励他们动手实践，提高解决问题的能力。
六、教学总结：1. 整理二次根式的基本概念和性质；2. 总结二次根式的运算规则；3. 强调实际问题中应用二次根式的计算方法。
七、课后练习：1. 完成练习册中关于二次根式的习题；2. 总结笔记，复习本节课的知识点。
八、板书设计：初中二次根式教案一、教学目标：1. 理解二次根式的概念和性质；2. 能够进行二次根式的运算；3. 能够解决与二次根式有关的实际问题。
《二次根式(第2课时)》优质教案
二次根式（2）【教学目标】1. 0,0)a b =≥≥，并学会利用这一性质对二次根式进行化简.2.掌握最简二次根式的概念.【教学重点】0,0)a b =≥≥.【教学难点】0,0)a b =≥≥进行化简.【教学过程】一、新课引入计算下列各式，观察计算结果，你发现了什么= ，= ；= ，= .二、自主探究1.二次根式的性质：积的算术平方根⑴参考上面的结果，用“>、<或=”填空.⑵根据上面的探究，下列式子也存在类似关系，猜想你的结论并用计算器验证.⑶0,0)a b =≥≥⑷例：化简下列二次根式：2.最简二次根式：观察上面的例题中各小题的最后结果，你发现这些式子中的二次根式有什么特点通过分析得到，二次根式有如下两个特点：⑴被开方数中不含分母；⑵被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.我们把满足上述两个条件的二次根式，叫作最简二次根式.*在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式.三、应用迁移（一）典例精析例1 利用二次根式的性质化简：；（二）变式运用=a 的取值范围是=-x 的取值范围是 (三)综合运用化简1x -25x -，试求x 的取值范围.四、归纳小结 ⑴积的算术平方根的性质：⑵最简二次根式：① ②五、巩固提升★⒈下列二次根式是最简二次根式的是（ ）B C D ★★⒉化简：)0x > )0,0,x y x y >>>且★★★⒊比较.六、课后练习A层：教材P160 A组4、5、6B层：教材P160B组8、9、10 七、教学反思。
二次根式 优质课教案
二次根式【教学目标】1．知识与技能（1）理解二次根式的概念。
（2）二次根式有意义的判定。
2．过程与方法（1）先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出二次根式概念。
（2）再对概念的内涵进行分析，得出二次根式成立的条件，并运用这一条件进行二次根式有意义的判断。
3．情感、态度与价值观通过本节的学习培养学生：准确归纳概念的科学精神，经过探索二次根式是否有意义，发展学生观察、分析、发现问题的能力。
【教学重难点】（a≥0）的式子叫做二次根式的概念；1（a≥0）”解决具体问题。
【教学过程】一、课堂导入（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题：，那么它的图象在第一象限横、•纵坐标相等的点的坐标是问题1：已知反比例函数y=3x___________。
问题2：如图，在直角三角形ABC中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么AB边的长是__________。
AC问题3：甲射击6次，各次击中的环数如下：8．7．9．9．7．8，那么甲这次射击的方差是S2，那么S=_________。
老师点评：问题1：横、纵坐标相等，即x=y，所以x2=3．因为点在第一象限，所以。
问题2：由勾股定理得问题3：由方差的概念得二、探索新知式子，我们就把它称二次根式。
因此，一般地，a≥0）•的式子叫做二次根式，（学生活动）议一议：1．-1有算术平方根吗？2．0的算术平方根是多少？3．当a<0老师点评：只有非负数才有算数平方根。
例1、1xx>0）、、、1x y+x≥0，y•≥0）。
；第二，被开方数是正数或0.x>0）、（x≥0，y≥0）；不是二次根式1x、1x y+。
例2．当x分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，才能有意义。
解：由3x-1≥0，得：x ≥13当x ≥13在实数范围内有意义。
三、应用拓展例3．当x11x +在实数范围内有意义？分析：11x +在实数范围内有意义，中的32+x ≥0和11x +中的x+1≠0.解：依题意，得23010x x +≥⎧⎨+≠⎩由①得：x ≥-32由②得：x ≠-1当x ≥-32且x ≠-111x +在实数范围内有意义。
八年级数学上册《二次根式》教案、教学设计
1.回顾本节课所学内容，让学生用自己的语言总结二次根式的性质、运算法则等知识。
2.强调二次根式在实际问题中的应用，提高学生的数学建模能力。
3.布置课后作业，巩固所学知识，为下一节课的学习打下基础。
五、作业布置
为了巩固本节课所学知识，提高学生对二次根式的理解和运用能力，特布置以下作业：
1.基础题：完成课本第chapter页的习题1、2、3，主要考察二次根式的性质和运算法则。
3.定期对作业情况进行总结和反馈，表扬优秀学生，激发学生的学习积极性。
（二）过程与方法
1.通过自主探究、小组讨论等方式，让学生掌握二次根式的性质和运算法则，培养自主学习能力和团队合作精神。
2.通过解决实际问题，培养学生将数学知识应用于实际情境的能力，提高问题解决能力。
3.利用数形结合、分类讨论等数学思想，引导学生理解二次根式的内涵，培养逻辑思维和抽象思维能力。
4.设计不同难度的练习题，使学生在练习中巩固所学知识，提高运算速度和准确率。
二、学情分析
八年级的学生已经具备了一定的数学基础，掌握了实数的概念和基本的运算规则，但对于无理数的认识还不够深入，尤其是二次根式的理解与应用。在此基础上，学生对本章节的学习可能存在以下特点：
1.学生对二次根式的概念和性质理解不够透彻，容易混淆运算法则，需要在教学中加强引导和巩固。
2.学生的数学思维能力和解决问题的能力参差不齐，部分学生可能在学习过程中遇到困难，需要教师关注并给予个性化指导。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.重点：二次根式的概念、性质、运算法则及其在实际问题中的应用。
2.难点：
（1）理解二次根式的性质，尤其是非负性及其在运算中的应用；
（2）掌握二次根式的化简方法，尤其是含有二次根式的混合运算；
《二次根式》教案(第二课时)
《二次根式》教案（第二课时）一、内容和内容解析1．内容二次根式的性质．2．内容解析本课在学习二次根式概念的基础上，结合二次根式的概念和算术平方根的概念，通过观察、归纳和思考得到二次根式的两个基本性质以及解代数式的概念．二次根式的性质是二次根式化简和运算的基础，应让学生熟练掌握和灵活使用．本节课的教学重点是：理解二次根式的两个基本性质，并能用它们实行计算和化简．二、目标和目标解析1．目标（1）理解二次根式的性质；2=a（a≥0）a（a≥0）（2）会利用二次根式的性质实行简单的计算和化简．2．目标解析达成目标（1）的标志是：对于二次根式的性质，通过具体问题，让学生根据算术平方根的意义，就具体数字实行分析得出结果，再分析这些结果的共同特征，由特殊到一般归纳出结论．达成目标（2）的标志是：学生能够根据具体的问题灵活的使用二次根式的性质实行计算和化简．三、教学问题诊断分析对于二次根式的性质，重在让学生理解，而不是把结论直接告诉学生，让学生去机械记忆．所以，在教学过程中，要充分利用教材的“探究”栏目，让学生经历二次根式性质的探究过程，引导学生由具体到抽象，得出一般性结论，并发现开方运算与平方运算的关系．培养学生由特殊到一般的思维方式，提升归纳、总结的水平．二次根式性质的灵活使用，关键在于精心设计好每一道习题，让学生在练习中进一步掌握二次根式的性质，培养其灵活使用的水平．四、教学过程设计（一）自主探究1．二次根式的性质2=a（a≥0）的探究．问题1你能解释下列式子的含义吗？2222，，，．让学生初步感知，这些式子都表示一个非负数的算术平方根的平方．问题2根据算术平方根的意义填空，并说出得到结论的依据．2222____________________====，．师生活动：学生独立完成填空后，重在让学生展示其思维过程，看学生是怎样得出结论，，学生很容易得出2= 4，2=0．对于2、2，学生理解起来有一定困难，需要教师的引导：根据算术平方根的意义，可设2=2x(x＞0)，则xx代入2=2x，可得2=2，同理可得21=3．问题3从以上的结论中你能发现什么规律？你能用一个式子表示这个规律吗？引导学生归纳得出二次根式的性质：2=a（a≥0）．设计意图：引导学生由具体到抽象，得出一般性的结论，并发现开平方运算和平方运算的关系和内在联系．2．二次根式的性质2=a（a≥0）的使用．【例1】计算：(()221； (2)．(()2222解：1=1.5；(2)=2=45=20．⨯⨯解析：（1）直接使用2=a（a≥0）；（2）中使用到整式的运算性质()ab a b =222这个结论，整式的运算性质在实数范围内都适用．设计意图：让学生学会使用二次根式的性质2=a （a ≥0）解题．3a （a ≥0）的探究． 问题1 你能解释下列式子的含义吗？问题2 填空：问题3 从以上的结论中你能发现什么规律？你能用一个式子表示这个规律吗？a （a ≥0） 问题4（≥0）a a．当a ＜0时，．-a ．最后师生共同()()≥00a a a a a ⎧==⎨-<⎩． 问题5对于性质2=a （a ≥0），逆向思考可得：2=a （a ≥0）请根据这个结论完成填空：22（1）2=( )； （2）3=( )．师生活动：学生独立思考，并完成．22（1）2=；（2）3=．问题6谈一谈你对2师生活动：引导学生从式子的读法、意义、被开方数的取值范围、运算结果等方面加以辨别．区别：①表示的意义不同．2表示非负实数aa的平方的算术平方根．②运算的顺序不同．2是先求非负实数a的算术平方根，然后再实行平方运算；而a的平方，再求2a的算术平方根．③取值范围不同．在2中，a只能取非负实数，即a≥0中，a能够取一切实数．④写法不同．在2中，幂指数22在根号的里面．⑤结果不同．()2≥0a a=()()≥0a aaa a⎧==⎨-<⎩．联系：①在运算时，都有平方和开平方的运算．②两式运算的结果都是非负数，即2≥00．③仅当a≥0时，有2设计意图：训练和培养学生由特殊到一般的理解过程，观察对比的水平，提升归纳总结的水平．明确性质的区别和联系．4a=（a≥0）的使用．【例2】化简：(1(解：1；．设计意图：a（a≥0）实行化简．（二）综合应用，深化提升计算下列各式：(2222（1； （2； （3）；（4）； （5 （6⎛ ⎝(2222解：（1=16； （2=0； （3）=10；（4）=27； （5； （6．⎛ ⎝设计意图：让学生在练习中进一步掌握二次根式的性质，培养其灵活使用的水平． （三）归纳总结回顾我们学过的式子，如35，，，，，sa ab ab x t+--a ≥0）这些式子有哪些共同特征？（1）含有表示数的字母；（2）用基本运算符号连接数或表示数的字母．用基本运算符号把数或表示数的字母连接起来得到的式子叫代数式． （四）课堂小结（1）你知道了二次根式的哪些性质？（2）使用二次根式性质实行化简需要注意什么？ （3）请谈谈发现二次根式性质的思考过程？（4）想一想，到现在为止，你学习了哪几类字母表示数得到的式子？说说你对代数式的认识．（五）布置作业 1．计算：((22222（1； （2）； （3； （4）；（56）； （78⎛ ⎝设计意图：考查二次根式性质的运用．2．利用2）a =（a ≥0），把下列非负数分别写成一个非负数的平方的形式．（1）9（2）5（3）2.5（4）0.25（5）12（6）0． 设计意图：让学生进一步掌握二次根式的性质，培养其灵活运用的能力． 3．把多项式53-6+9n n n 在实数范围内分解因式． 设计意图：二次根式的性质和因式分解的综合运用． 作业答案： 1．2（1）5； （2）0.2； （3）；（4）125；722（5）10；（6）14； （7）；（8）-．352．()().2222221（1）3； （2）5； （3）25； （4）0.5；（5）； （6）0．2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭3．解：()()()()53422222-6+9=-6+9=-3=+3-3n n n n n n n n n n n ．按照因式分解的一般步骤，先对多项式53-6+9n n n 提取公因式，得()42-6+9n n n ，再利用完全平方公式分解，得()22-3n n ，要求在实数范围内分解，所以可以将3写成()23，再运用平方差公式进行因式分解．五、目标检测设计 1．判断下列等式是否成立 (1)2(19)19()= (2)2(19)19()-=- (3)2(19)19()-= (4)2()()a b a b -=-(5)2()()a b a b-=- (6)2(0)().a a a =-≤设计意图：考查二次根式性质的运用．2．（1）已知a <0，化简二次根式b a 3-的正确结果是（ ）． A ．ab a -- B ．ab a - C ．ab a D ．ab a - （2）把mm 1-根号外的因式移到根号内，得（ ）． A ．m B ．m - C ．m -- D ．m - 设计意图：让学生进一步掌握二次根式的性质，培养其灵活运用的能力．3．已知数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示：化简：||)(||22b b c c a a ---++-的结果是：______． 设计意图：二次根式的性质和数轴的综合运用． 4．若41=+a a (0<a <1)，则aa 1-=______． 设计意图：二次根式的性质和完全平方式的综合运用． 目标检测答案：1．（1）√；（2）×；（3）√；（4）√；（5）×；（6）√． 2．（1）A （2）C 3．0 4．2。
初中数学_【课堂实录】二次根式的性质第二课时教学设计学情分析教材分析课后反思
《二次根式的性质（2）》教学设计一、教材分析:“二次根式”是《课程标准》“数与代数”的重要内容，本节是鲁教版八年级数学下册第七章第二节，在二次根式乘法的基础上进一步研究二次根式的除法和最简二次根式，明确了化简二次根式的方向，并为下一节学习二次根式的加减运算作好铺垫。
《数学课程标准》指出：学生通过义务教育阶段的数学学习“经历观察、实验、猜想、证明等教学活动，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力。
”“要通过模仿和实践来学习它，在实践中发展合情推理能力”。
而数学家谷超豪院士也曾说：“要学会严格推理是必须的，一定要逐步使学生适应这种严格的推理方式，并且在书写上能反映出来。
特别是在几何的教学上，一定要重视这种逻辑的演绎，这是训练逻辑推理能力的有效方法。
二、学情分析1 .认知基础：学生之前已接触了二次根式，已经知道了它的一些性质，并且在数学问题的解决上已初步形成了一定的方法2．学生心理特点：初三年级学生具有好强、好胜、思维活跃的特点。
在学习上有强烈的求知欲望，他们乐于探索及表现自我。
3 .学生能力分析：已初步具有对数学问题进行合理探究的意识与能力。
但在数学说理和一些重要数学思想方法上尚不能熟练掌握，缺乏严谨的逻辑推理能力。
三、教学目标（一）知识技能目标:通过具体数据的解答，探究a≥0，b>0），并利用这个结论解决具体问题（二）过程与方法:发展有条理的思考和语言表达能力，培养化归的数学思想（三）情感态度价值观：在探索性质的过程中，培养学生的合作交流意识和探索精神，增进数学学习的信心，感受数学之美，探究之趣。
四、教学重难点：重点：会把二次根式化简为最简二次根式难点：准确运用化二次根式为最简二次根式的方法五、教法学法：教学活动的本质是一种合作，一种交流。
学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导着、合作者，本节课通过自主学习、合作探究、引领提升的方式展开教学。
六、教学策略：启发引导七、课时安排1课时二例题解决计算下面的算式⑴49=49=⑵1625=1625=⑶67与67相等吗？为什么？设问：你能用自己的语言表述这个规律吗？得出商的性质：观察左面的运算结果，发现规律49=491625=162567=673.先引导学生回想：可以用已经学习的性质验证上述性质。
《二次根式的概念及性质优质教案教学设计
本节课是本单元中，对知识的理解和贯彻最重要的一堂课。
在高效课堂模式中，一堂课的紧凑性和教师活动的多少，决定着课堂容量的高低。
但在实际教学中，教师应尽可能少地利用讲授法进行教学，多与学生进行交流，增加学生的实际操练和练习时间，对于一堂课来讲，是至关重要的。
对于课堂环节的布置，应该力求简练，语言应用尽量通俗易懂。
对于一名教师而言，教学质量的高低，与备课的充足与否有很大关系。
而教案作为这一行为的载体，巨大作用是不言而喻的。
本节课的准备环节，就充分地说明了这个道理。
5.1.1 二次根式的概念及性质教学内容：二次根式的概念及其运用教学目标：理解二次根式的概念，并利用a（a≥0）的意义解答具体题目．提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．教学重难点关键： 1．重点：形如a（a≥0）的式子叫做二次根式的概念；2．难点与关键：利用“a（a≥0）”解决具体问题．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题：问题1：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，甲这次射击的方差是S2，那么S=_________．老师点评：由方差的概念得4 6二、探索新知31046，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式．因此，一般地，我们把形如a a≥0）•的式子叫做二次根式，（学生活动）议一议：1．-1有算术平方根吗？2．0的算术平方根是多少？3．当a<0a老师点评:（略）例1233、1xx x>0）、0、42、-2、1x y +、x y +（x ≥0，y•≥0）． 分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0． 解：二次根式有：2、x （x>0）、0、-2、x y +（x ≥0，y ≥0）；不是二次根式的有：33、1x、42、1x y +． 例2．当x 是多少时，31x -在实数范围内有意义？分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，•31x -才能有意义．解：由3x-1≥0，得：x ≥13 当x ≥13时，31x -在实数范围内有意义． 三、巩固练习 P 157 练习1、四、应用拓展例3．当x 是多少时，23x ++11x +在实数范围内有意义？ 分析：要使23x ++11x +在实数范围内有意义，必须同时满足23x +中的≥0和11x +中的x+1≠0．五、归纳小结（学生活动，老师点评） 本节课要掌握：1．形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．六、布置作业 1．P159 习题5.1 A组1在本节课的教学中，我始终坚持以引导为起点，以问题为主线，以能力培养为核心，遵照教师为主导，学生为主体，训练为主线的教学原则；通过师生双边活动，通过对单元的复习，使学生对本单元的知识系统化，重点知识突出化，能力培养阶梯化；在选择题目时注意了以基本题为主，少量思考性较强的题目为辅，兼顾了不同层次学生的不同要求。
《二次根式的性质》教学设计
《二次根式的性质》教学设计《二次根式的性质》教学设计作为一位兢兢业业的人民教师，通常需要用到教学设计来辅助教学，教学设计是对学业业绩问题的解决措施进行策划的过程。
那么大家知道规范的教学设计是怎么写的吗？以下是店铺整理的《二次根式的性质》教学设计，仅供参考，希望能够帮助到大家。
一、教学目标：（一）知识与技能：1．了解二次根式的概念，会确定二次根式成立的条件。
2.会用二次根式性质进行有关计算。
3.了解逆用公式在实数范围内因式分解。
（二）过程与方法：体验性质的推导过程，感受由特殊到一般的方法。
（三）情感态度：激发对数学的兴趣。
二、教学重点：二次根式成立的条件，双重非负性；用性质进行计算。
三、教学难点性质的逆用。
四、教学准备：课件五、教学过程(一)复习提问1．什么叫二次根式？2．下列各式是二次根式，求式子中的字母所满足的条件：(3)∵x取任何值都有2x2≥0，所以2x2+1＞0，故x的取值为任意实数．(二)二次根式的简单性质上节课我们已经学习了二次根式的定义，并了解了第一个简单性质我们知道，正数a有两个平方根，分别记作零的平方根是零。
引导学生总结出，其中，就是一个非负数a的算术平方根。
将符号“”看作开平方求算术平方根的运算，看作将一个数进行平方的运算，而开平方运算和平方运算是互为逆运算，因而有：这里需要注意的是公式成立的条件是a≥0，提问学生，a可以代表一个代数式吗？请分析：引导学生答如时才成立。
时才成立，即a取任意实数时都成立。
我们知道如果我们把，同学们想一想是否就可以把任何一个非负数写成一个数的平方形式了．例1计算：分析：这个例题中的四个小题，主要是运用公式。
其中(2)、(3)、(4)题又运用了整式乘除中学习的积的幂的运算性质．结合第（2）小题中的，说明，这与带分数。
因此，以后遇到，应写成，而不宜写成。
例2把下列非负数写成一个数的平方的形式：(1)5；(2)11；(3)1.6；(4)0.35．例3把下列各式写成平方差的形式，再分解因式：(1)4x2-1；(2)a4-9；(3)3a2-10；(4)a4-6a2+9．解：(1)4x2-1=(2x)2-12=(2x+1)(2x-1)．(2)a4-9=(a2)2-32=(a2+3)(a2-3)(3)3a2-10(4)a4-6a2+32=(a2)2-6a2+32=(a2-3)2(三)小结1．继续巩固二次根式的定义，及二次根式中被开方数的`取值范围问题．2．关于公式的应用。
《二次根式的性质》教学设计
《二次根式的性质》教学设计【课标解读】课标中指出，为了适应时代的发展对人才培养的需要，数学的学习应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想.《二次根式》的概念及其性质，是建立在七年级上册第三章“实数”的基础上的，而二次根式的性质，既与实数及二次根式的概念，性质有关，又与学生已经学过的整式、分式的基本运算有着紧密的联系，这部分内容利用数学符号建立起二次根式的性质公式，又有助于学生初步形成数学模型思想，发展数感，提高学生学习数学的兴趣和应用意识.【教材分析】（一）地位与作用“二次根式”是《课程标准》“数与代数”的重要内容.本章内容与已学内容“实数”“整式”“勾股定理”联系紧密，同时也是以后将要学习的“锐角三角函数”“一元二次方程”和“二次函数”等内容的重要基础.从长远方向看，更为重要的是，二次根式的有关知识不但对今后学习指数函数、对数函数、三角函数、立体几何、解析几何及微积分等数学内容有用，而且在学习物理等其他学科中也有广泛的应用.本课时是在第一节研究了二次根式的概念和性质的基础上进一步探究它的两个性质，这些性质是化简二次根式的重要依据，也是学习本章的关键.（二）教学目标课标要求：学生要学会学习、自主学习，要为学生终生学习打下坚实的基础，根据教学大纲和新课标的要求，根据教材内容和学生的特点我确定了本节课的教学目标1．了解二次根式的基本性质，2．会用二次根式的性质进行简单的化简与计算3．在参与课堂数学活动中，感受数学活动充满了探索性与创造性，体验发现的乐趣，并提高应用的意识.教学重点:二次根式的性质教学难点:二次根式的性质的灵活运用【学情分析】在六年级下册的学习中，学生已经掌握了整式的有关运算，在七年级上册的学习中，又掌握了勾股定理、平方根、立方根、实数及其相关概念以及实数的简单运算与应用，这些都是学生学习二次根式的基础.（一）教法设计：成功的教学取决于恰当的教法与学法.本节课主要采用自主学习，合作探究，引领提升的方式展开教学.依据学生的年龄特点和已有的知识基础，本节课注重加强知识间的纵向联系，拓展学生探索的空间，体现由具体到抽象的认识过程. （二）学法设计：根据课标结合教法的安排，本节课的学法指导确定为：鼓励学生自主探索和合作交流.引导学生自主地从事观察、归纳与反思交流等数学活动，使学生形成对数学知识的有效的学习策略.（三）教学重点难点重点：二次根式性质的与应用.难点：二次根式性质的发现及字母取值问题【评价设计】教师评价、学生自评、学生互评、小组评价相结合【教学过程】例2 例3 二次根式定义：性质：2= 例1 学生练习。
2022年初中数学《二次根式的性质》精品教案
第2课时 二次根式的性质1．理解和掌握(a )2＝a (a ≥0)和a 2＝|a |；(重点)2．能正确运用二次根式的性质1和性质2进行化简和计算．(难点)一、情境导入如果正方形的面积是3，那么它的边长是多少？假设边长是3，那么面积是多少？如果正方形的面积是a ，那么它的边长是多少？假设边长是a ，那么面积是多少？你会计算吗？二、合作探究 探究点一：利用二次根式的性质进行计算【类型一】 利用(a )2＝a (a ≥0)计算计算： (1)(0.3)2; (2)(－13)2；(3)(23)2; (4)(2x －y )2.解析：(1)可直接运用(a )2＝a (a ≥0)计算，(2)(3)(4)在二次根号前有一个因数，先利用(ab )2＝a 2b 2，再利用(a )2＝a (a ≥0)进行计算．解：(1)(0.3)2＝0.3；(2)(－13)2＝(－1)2×(13)2＝13； (3)(23)2＝22×(3)2＝12；(4)(2x －y )2＝22×(x －y )2＝4(x －y )＝4x －4y .方法总结：形如(n m )2(m ≥0)的二次根式的化简，可先利用(ab )2＝a 2b 2，化为n 2·(m )2(m ≥0)后再化简．【类型二】 利用a 2＝|a |计算计算：(1)22；(2)〔－23〕2；(3)－〔－π〕2.解析：利用a 2＝|a |进行计算． 解：(1)22＝2；(2)〔－23〕2＝|－23|＝23；(3)－〔－π〕2＝－|－π|＝－π.方法总结：a 2＝|a |的实质是求a 2的算术平方根，其结果一定是非负数．【类型三】 利用二次根式的性质化简求值先化简，再求值：a ＋1＋2a ＋a 2，其中a ＝－2或3.解析：先把二次根式化简，再代入求值，即可解答．解：a ＋1＋2a ＋a 2＝a ＋〔a ＋1〕2＝a ＋|a ＋1|，当a ＝－2时，原式＝－2＋|－2＋1|＝－2＋1＝－1；当a ＝3时，原式＝3＋|3＋1|＝3＋4＝7.方法总结：此题考查了二次根式的性质，解决此题的关键是先化简，再求值．探究点二：利用二次根式的性质进行化简【类型一】 与数轴的综合如以下图为a ，b 在数轴上的位置，化简2a 2－〔a －b 〕2＋〔a ＋b 〕2.解析：由a ，b 在数轴上的位置确定a ＜0，a －b ＜0，a ＋b a 2＝|a |进行化简． 解：由数轴可知－2＜a ＜－1，0＜b ＜1，那么a －b ＜0，a ＋b ＜0.原式＝2|a |－|a －b |＋|a ＋b |＝－2a ＋a －b －(a ＋b )＝－2a －2b . 方法总结：利用a 2＝|a |化简时，先必须弄清楚被开方数的底数的正负性，计算时应包括两个步骤：①把被开方数的底数移到绝对值符号中；②根据绝对值内代数式的正负性去掉绝对值符号．【类型二】 与三角形三边关系的综合a 、b 、c 是△ABC 的三边长，化简〔a ＋b ＋c 〕2－〔b ＋c －a 〕2＋〔c －b －a 〕2. 解析：根据三角形的三边关系得出b ＋c ＞a ，b ＋a ＞c ，根据二次根式的性质得出含有绝对值的式子，最后去绝对值符号后合并即可．解：∵a、b、c是△ABC的三边长，∴b＋c＞a，b＋a＞c，∴原式＝|a＋b＋c|－|b＋c－a|＋|c－b－a|＝a＋b＋c－(b＋c－a)＋(b＋a－c)＝a＋b＋c－b－c＋a＋b＋a－c ＝3a＋b－c.方法总结：解答此题的关键是根据三角形的三边关系(三角形中任意两边之和大于第三边)，得出不等关系，再结合二次根式的性质进行化简．三、板书设计二次根式的性质是建立在二次根式概念的根底上，同时又为学习二次根式的运算打下根底．本节教学始终以问题的形式展开，使学生在教师设问和自己释问的过程中萌生自主学习的动机和欲望，逐渐养成思考问题的习惯．性质1和性质2容易混淆，教师在教学中应注意引导学生辨析它们的区别，以便更好地灵活运用第1课时正切与坡度教学目标:1、理解并掌握正切的含义，会在直角三角形中求出某个锐角的正切值。
初中数学精品教案：二次根式的性质(2)：教案
微课《二次根式的性质（2）》教学设计【学习目标】1.=0a≥，0b>）”的产生b≥）=0a≥，0过程.2.理解二次根式的这两个性质.3.理解并掌握最简二次根式.4.会利用这两个性质进行简单的化简和计算.【学习重点】=0a≥，0b>）.b≥0a≥，0【学习难点】当二次根式内被开方数无明显的平方因数时，需要通过分解因数并分析，是本节课的学习难点. 【学习过程】一、知识引领前两节课我们学习了二次根式的概念，以及二次根式的性质：双重非负性，2aa≥，=()0a=.并利用这些性质进行了有关二次根式的化简.所以本节课，我们继续来探究二次根式的性质.（一）请完成以下填空（可借助计算器，近似数保留两位小数）：=，；=，=；，=；，= .（二）比较左右两边的等式，你发现了什么？你能用字母表示你发现的规律吗？=0a ≥，0b ≥）0a ≥，0b >）. 二、知识巩固例1 化简：（1（2（3（4问题引导：1.这四个小题是否均可以直接利用本节课所学的性质进行化简？2.直接利用性质化简后的结果是否不含根号或为最简二次根式？解 （11115165==⨯=.（24==.（30.10.70.07=⨯=.（4==13==最简二次根式：数或因式，这样的二次根式我们就说它是最简二次根式.二次根式化简的结果应为最简二次根式或无根号.总结：例1中四个小题均以性质的形式直接呈现，且结果不含根号或为最简二次根式.二次根式的化简相当于“将根号内，能开得尽方的因数或因式进行开方运算，将剩余因数或因式留在根号内”.例2 化简：（1（2（3（4问题引导：1.这四个小题是否均可以直接利用本节课所学的性质进行化简？2.直接利用性质化简后的结果是否不含根号或为最简二次根式？解 （10.01===（2=（37=====.（4==总结：例2中四个小题有三题以性质的形式直接呈现，但直接利用性质化简后的结果并不是最简.故需要对被开方数进行调整，转化成例1的形式.当分母不是平方数或式时，应先利用分数或分式的基本性质，将分母转化成“最接近”的平方数或式，再进行化简，使得化简结果中的分母不含二次根式.对应练习化简：（1（2（3（4=⨯=. （2==解（17428（3==. （4===三、知识梳理1.本节课我们学习了哪些知识？2.本节课所学的知识与我们已经学习过的知识有哪些关联？3.你认为本节课最核心的知识点是什么？。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1.2二次根式的性质（2）
【教学目标】
1．探索二次根式的性质的由来，体验归纳、类推的思想方法．
2．会用二次根式的性质进行简单的计算和化简．
【教学重点、难点】
重点：二次根式的积和商的性质．
难点：例3中（4）及探究活动涉及的较复杂的化简过程与技巧．
【教学过程】
一、引入新课
动手做一做：填空（可用计算器计算）：
=＿＿;
（1）
（2）=＿=＿;
（3）＿＿;
（4）＿=＿.
比较每一组左右两边的等式，结果相等吗？多试几组类似的计算，想一想能否推广到一般形式？如果能，请用字母表示你发现的规律。
二、新课讲解
1、一般地，二次根式的积与商的性质：
(a≥0,b≥0);
（a≥0,b＞0）
商的性质：
2、讲解例题：
例3化简：（1（2（3（4
解：（1
；
（2
（3
（41
7
注：①一般地，二次根式化简的结果中分母中不含根号，而且根号内的数就是一个自然数，且自然数的因数中，不含有除1以外的自然
数的平方数。
②被开方数为带分数时，还要先化为假分数再利用性质化简
练习：
1；
2
例4先化简，再求出下面算式的近似值（精确到0． 01）
解：
⑶
2
10-
≈0.02
总结：化简的结果要求：①根号内不再含有可以开方的因式；②根号内不再含有分母.
三、探究活动：
化简下列两组式子：
①=＿；
②＿；
③＿；
④＿
你发现了什么规律？请用字母表示你所发现的规律，并与同伴交流。
请再任意先几个数验正你发现的规律。
四、小结：
师生共同完成：通过今天的学习，你有那些收获或困惑？
五、布置作业
1.课后作业题
2.作业本。