九年级数学上册 21《二次根式》小结复习课件 (新版)华东师大版
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华师大版九年级数学上册课件：21.1 二次根式 (共14张PPT)
名师讲解
考点一：二次根式有意义的条件 【例1】当x是多少时， 3x 1在实数范围内有意义？ 【分析】 由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于
或等于0，所以当3x-1≥0时， 3x 1 才有意义. 【解答】 由3x-1≥0,得x≥ 1 .
3
名师讲解
【例2】若x、y满足关系式y= 的值.
，试求2x+y
【分析】本题要求2x+y的值，首先要分别求出x、y的值，而 要求出x、y的值就必须以x-1≥0且1-x≥0为突破口.
【解答】依题意得x-1≥0且1-x≥0，故有x-1=0，所以x=1, 所以y=3，因此2x+y=5.
名师讲解
考点二：利用二次根式的两个性质进行化简 【例3】化简 x2 6x 9 +|2-x|，其中2<x<3. 【分析】 记清二次根式的两个性质，然后准确运用即可. 【解答】
跟踪训练
D C
跟踪训练
A 0
ห้องสมุดไป่ตู้
跟踪训练
解：（1）3.（2）4.（3）-9. （4）6.（5）2.
名师讲解
考点三：二次根式性质的综合运用
【例4】已知 27m是整数，求满足条件的最小正整数m的值. 【分析】正确解答本题需准确理解有理数和无理数的概念. 【解答】∵ 27m 是整数，
∴27m是一个完全平方数. 又∵27m=9×3m=32×3m， ∴最小正整数m的值为3. 此时， 27m 27 3 81 =9.
（2）
a2
a -a
a 0, a 0.
轻松预习
3. a 2 与 a2 的区别 （1）a的取值范围不同： a 2中的a必须满足 a≥0 ，而
华师大版数学九年级上册全册复习课件
第21章 一元二次方程
1．一元二次方程的定义 方程的两边都是__整__式____，且只含有__一__个____未知数，未知数的最高次数是
_为_2__a__x__2_，＋__这b_样_x_＋的__方c_＝_程__叫0_做__一元二次方程．任何一个一元二次方程经过整理都可以化
(a、b、c为常数，a≠0)的形式，称为一元二次方程的一般形式．
(__x_＋___m_)_2_＝___n____的形式；⑤如果n≥0就可以两边开平方来解出方程的根；如果n＜
0，则原方程无解．
(3)公式法：一般地，对于一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，
当__b_2－__4_a_c_≥__0__时，它的根是
－b± b2－4ac
x＝_______2_a__________，这个
方法技巧
若 ax20＋bx0＋c＝0，则 x＝x0 是一元二次方程 ax2＋bx＋c＝ 0(a≠0)的一个根；反之，若 x＝x0 是一元二次方程 ax2＋bx ＋c＝0(a≠0)的一个根，则可得 ax20＋bx0＋c＝0，这就是一
元二次方程根的定义．
考点二 一元二次方程的解法
例 2 解方程：x2－4x－1＝0.
[解析] 二次项系数是1，一次项系数是偶数的一元二次方程，宜用配方法解．
解：移项，得 x2－4x＝1，两边都加上 4，得 x2－4x＋4＝1 ＋4，即(x－2)2＝5，两边开平方，得 x－2＝± 5，即 x＝ 2± 5，所以 x1＝2－ 5，x2＝2＋ 5.
方法技巧
如果方程具备(x＋a)2＝b(b≥0)型，用直接开平方法解较简
3．一元二次方程根的判别式
由于一元二次方程的根的个数由代数式_b_2_－__4_a_c_____的符 号决定，因此把_b_2_－__4_a_c____叫做一元二次方程根的判别式． (1)当_b_2_－__4_a_c_＞__0___时，一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 有 x2＝两_个__不_－_相_b_－等__的2_ba_实2_－_数_4_a根_c_，__即__x_1_＝_____．－__b_＋___2_ab_2－__4_a_c________，
秋九年级数学上册第21章二次根式21.1二次根式1二次根式课件新版华东师大版
是非负数． [点拨] 若 a和 －a都有意义，则 a＝0.
第1课时 二次根式
当 a 是怎样的实数时， a3－a－3 1在实数范围内有意义？
解：由题意，得 3a－1≥0，解得 a≥13.
即当 a≥13时，
3a－1 a－3 在实数范围内有意义．
请说出以上解答错在哪里，并给出正确的解答过程．
第1课时 二次根式
第21章 二次根式
21.1 二次根式
第21章 二次根式
第1课时 二次根式
知识目标 目标突破 总结反思
第1课时 二次根式
知识目标
1．通过忆平方根和算术平方根的意义，讨论 a中 a 满
足的条件，概括出二次根式的概念，能准确识别二次根式． 2．在理解概念的基础上，能够探究出二次根式有意义的条
件，并能求出被开方数所含字母的取值范围．
第1课时 二次根式
总结反思
知识点一 二次根式的概念
形如____a____(a≥0)的式子叫做二次根式． [点拨] 当 a≥0 时， a有意义，是二次根式；而当 a＜0 时， a没有意义. a中的 a 可以是数、字母或含字母的式子．
知识点二次根式有意义的条件
在 a中，a 的取值必须满足___a_≥__0__，即二次根式的被开方数必须
第1课时 二次根式
【归纳总结】 判断二次根式需“两看”：
1.看形式 2.看内容
含有二次根号“ ”，而不能 是三次根号“ ������ ”等
被开方数必须是非负数，注意被 开方数可以是数、字母或含字母 的式子
第1课时 二次根式
目标二 会求二次根式中被开方数所含字母的取值范围
例 2 教材例题针对训练当 x 是怎样的实数时，下列二次根
第1课时 二次根式
第1课时 二次根式
当 a 是怎样的实数时， a3－a－3 1在实数范围内有意义？
解：由题意，得 3a－1≥0，解得 a≥13.
即当 a≥13时，
3a－1 a－3 在实数范围内有意义．
请说出以上解答错在哪里，并给出正确的解答过程．
第1课时 二次根式
第21章 二次根式
21.1 二次根式
第21章 二次根式
第1课时 二次根式
知识目标 目标突破 总结反思
第1课时 二次根式
知识目标
1．通过忆平方根和算术平方根的意义，讨论 a中 a 满
足的条件，概括出二次根式的概念，能准确识别二次根式． 2．在理解概念的基础上，能够探究出二次根式有意义的条
件，并能求出被开方数所含字母的取值范围．
第1课时 二次根式
总结反思
知识点一 二次根式的概念
形如____a____(a≥0)的式子叫做二次根式． [点拨] 当 a≥0 时， a有意义，是二次根式；而当 a＜0 时， a没有意义. a中的 a 可以是数、字母或含字母的式子．
知识点二次根式有意义的条件
在 a中，a 的取值必须满足___a_≥__0__，即二次根式的被开方数必须
第1课时 二次根式
【归纳总结】 判断二次根式需“两看”：
1.看形式 2.看内容
含有二次根号“ ”，而不能 是三次根号“ ������ ”等
被开方数必须是非负数，注意被 开方数可以是数、字母或含字母 的式子
第1课时 二次根式
目标二 会求二次根式中被开方数所含字母的取值范围
例 2 教材例题针对训练当 x 是怎样的实数时，下列二次根
第1课时 二次根式
华东师大版九年级数学上册21.1二次根式课件
3 2
−
；
4
3
6
9
10−2 ；
+ 1 2 ( ≥ −1)；
2
3−2 ；
例6、已知，在数轴上的位置如图所示，试化简：
+ + − +
−
+
− .
小结
概念： a （ ≥ ）
二
次
根
式
a 0(a 0)
性质
a
2
a a 0 ;
a2 （
a a 0）
练习
例1、指出下列各式中哪些是二次根式,哪些不是,为什么?
1
6
2
5
1
2
9
− ≤ 0
6
2
−3
3
7
10
2
+3
2 + 2
4
3
8 6
, 异号
变式：如果式子 − 是一个二次根式，那么(
A．为正数
B．为负数
C．为零
D．为非负数
)
8
例2、当取何值时，下列各式有意义?
1
−2
2
3
1
3
4
= __________
性质:
0
2
)
文字叙述：任何一个非负数的算术平方根的平方都等于这个数.
例4、计算：
1
4
2
2
16 ；
−3
2
3
7 − −5
2 − 5 ；
2
2
；
2
5
5 2 3 ；
2
；
3
1
九年级数学上册21二次根式复习课件(新版)华东师大版
C.2 2
D.2
2. 已知：x2 y2 19, xy 3,
求
x y
y 的值。 x
5 3
3
课堂小结
通过本节课的学习，对本章的知识你 有哪些新的认识和体会？
获得哪些解决二次根式问题的方法？ 你还有哪些问题？请与同伴交流。
课后作业
1.从教材习题中选取， 2.完成练习册本课时的习题.
学习文学而懒于记诵是不成的，特别是 诗。一个高中文科的学生，与其囫囵吞枣或 走马观花地读十部诗集，不如仔仔细细地背 诵三百首诗。 —— 朱自清
a 2先开方,后平方 a2 先平方,后开方
2.从取值范围来看,
2 a
a≥0
a2 a取任何实数
3.从运算结果来看:
a 2 =a
a2 =∣a∣=
a (a≥ 0) -a (a≤0)
典例解析
1.下列各式是二次根式吗?
(1) 32, (2) 6, (3) 12, (4) - m (m≤0), (5) xy (x,y 异号)， (6) a2 1 , (7) 3 5
先把各个二次根式化成最简二次根式；再把 同类二次根式合并.（注意:被开方数不相同 的二次根式不能合并）
注意点:
(1)当二次根式的被开方数中含有字母时, 应充分注意式子中所含字母的取值范围. (2)进行二次根式的乘除运算或化简, 最终结果定要尽可能化简.
1:从运算顺序来看, ( a )2与 a2的区别
第21章
章末复习
知识梳理
二次根式
定义
二
次 根 式
二次根式 运算
二次根式 应用
二次根式的 非负性
公式
a2 a(a 0)
的应用
重点回顾
一、二次根式定义与性质
华东师大版数学九年级上册-21.1 二次根式 课件 最新课件PPT
a 2 =∣a∣=
a (a≥ 0) -a (a≤0)
1.若１＜Ｘ＜４，则化简
3
(x 4)2 (x 1)2 的结果是＿＿＿＿＿
2.设a,b,c为△ ABC的三边，化简
(a b c)2 (a b c)2 (b a c)2 (c b a)2
2a+2b+2c
（1）二次根式的概念 （2）根号内字母的取值范围 （3）二次根式的性质
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
判断
1.下列各式是二次根式吗?
(1) 32 , (2) 6, (3) 12 , (4) - m (m≤0), (5) xy (x,y 异号)， (6) a2 1 , (7) 3 5
在实数范围内,负数没有平方根
例
当x是怎样的实数时，二次根式 x 1在实数范围内有意义？
1
1
2
2
2 1
2 x 12 (x 0) x 1
3 x2 2xy y2 (x y) x y2
yx
思考
( a )2与 a2 有区别吗?
1:从运算顺序来看,
a 2先开方,后平方
2.从取值范围来看,
2 a
a≥0
a2
a 2 先平方,后开方
a取任何实数
3.从运算结果来看:
a 2 =a
课后反思：我的收获，我的困惑
• 努力，未来老婆的婚纱都是租的。只有你的笑才能让你在无尽黑暗中找到光明。我受过 章。知世故而不世故，是最善良的成熟。愿你早日领教过这世界深深的恶意，然后开启 意人生。第二名就意味着你是头号输家——科比·布莱恩特。当你感觉累的时候，你正在 果每个人都理解你，那你得普通成什么样。赚钱的速度一定要超过父母变老的速度。不 自己是个傻逼的过程，就是成长。脾气永远不要大于本事。你那能叫活着么？你那“你 藏着你走过的路，读过的书，和爱过的人。”素质是家教的问题，和未成年没关系。总 那为什么不能是我？你可以没钱没颜，但你不可以不努力。如果今天我取得了成功，一 了全部努力。阳光里做个孩子风雨里做个大人。枯木逢春犹再发，人无两度再少年世界 钱带父母去看看人情世故要看透，赤子之心不能丢。所有的人都在努力，不是只有你受 没有物质，但生活不行你才二十岁，你可以成为任何想成为的人。人生就像一杯茶，不 总会苦一阵子。中学时候本子上写的一句话：想看日出的人，必须守到拂晓。对人只说 抛一片心。看到的不要全信，知道的不要都说。我20岁，没有什么输不起，也没有什么 20岁和即将20岁的我们。小时候觉得这个世界不公平，后来发现这个世界就是不公平， 情，它会让你更努力……成熟不是心变老而且泪在打转还在笑。越努力，越幸运。牛羊 只会独行。智者寡言”越来越懂这句话了我只负责精彩，上天自有安排。你凭什么不努 。不要到处宣扬自己的内心，这世上不止你一个人有故事。既然选择了远方，便只顾风 自律，就有多自由。我喜欢海，可我不能跳海；我喜欢你，可我不能一直不要脸。提高 。一生不喜与人抢，但得到的也不会让。一百张嘴里一百个我，我是天使但也是恶魔。 你的笑才能让你在无尽黑暗中找到光明。一时的忍耐是为了更广阔的自由，一时的纪律 的成功。越是复杂的人，对简单越有特殊的需求；越是自己内心肮脏的人，越喜欢纯净 赏自己，就发现不了别人的优点；过于赞赏别人的优点，就会看不见自己的长处。失去 少，失去健康的人损失极多，失去勇气的人损失一切。谎言容易越说越爽，因为谎言比 是谎言像多米诺骨牌一样，说一个慌要十个谎来圆，最后难以自拔。有些烦恼，只有你 淡风轻的机会每个人心中所希望的，与最终所抵达的，都会有一段距离，这才是生活。 有的，而是从决定去做的那一刻起，持续累积而成。财富是猫的尾巴，只要勇往直前， 在后面。不要说没体力，不要说对手肘子硬，不要说球太滑，你只需做好基本功。就算 他小动作多，就算他嘴里不干净，你只需做好基本功。创业前的准备，创业过程中的坚 当别人开始说你是疯子的时候，你离成功就不远了……当你感到悲哀痛苦时，最好是去 学习会使你永远立于不败之地。等待的方法有两种：一种是什么事也不做空等，一种是 业向前推动。互联网上失败一定是自己造成的，要不就是脑子发热，要不就是脑子不热 播种的人一定能含笑收获。关于人的因素：这点相当重要。不管是蒙是骗还是软硬兼施 公司员工的相对稳定性。人员流失就像放血，开始没什么感觉，却会要你的命。地球是
a (a≥ 0) -a (a≤0)
1.若１＜Ｘ＜４，则化简
3
(x 4)2 (x 1)2 的结果是＿＿＿＿＿
2.设a,b,c为△ ABC的三边，化简
(a b c)2 (a b c)2 (b a c)2 (c b a)2
2a+2b+2c
（1）二次根式的概念 （2）根号内字母的取值范围 （3）二次根式的性质
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
判断
1.下列各式是二次根式吗?
(1) 32 , (2) 6, (3) 12 , (4) - m (m≤0), (5) xy (x,y 异号)， (6) a2 1 , (7) 3 5
在实数范围内,负数没有平方根
例
当x是怎样的实数时，二次根式 x 1在实数范围内有意义？
1
1
2
2
2 1
2 x 12 (x 0) x 1
3 x2 2xy y2 (x y) x y2
yx
思考
( a )2与 a2 有区别吗?
1:从运算顺序来看,
a 2先开方,后平方
2.从取值范围来看,
2 a
a≥0
a2
a 2 先平方,后开方
a取任何实数
3.从运算结果来看:
a 2 =a
课后反思：我的收获，我的困惑
• 努力，未来老婆的婚纱都是租的。只有你的笑才能让你在无尽黑暗中找到光明。我受过 章。知世故而不世故，是最善良的成熟。愿你早日领教过这世界深深的恶意，然后开启 意人生。第二名就意味着你是头号输家——科比·布莱恩特。当你感觉累的时候，你正在 果每个人都理解你，那你得普通成什么样。赚钱的速度一定要超过父母变老的速度。不 自己是个傻逼的过程，就是成长。脾气永远不要大于本事。你那能叫活着么？你那“你 藏着你走过的路，读过的书，和爱过的人。”素质是家教的问题，和未成年没关系。总 那为什么不能是我？你可以没钱没颜，但你不可以不努力。如果今天我取得了成功，一 了全部努力。阳光里做个孩子风雨里做个大人。枯木逢春犹再发，人无两度再少年世界 钱带父母去看看人情世故要看透，赤子之心不能丢。所有的人都在努力，不是只有你受 没有物质，但生活不行你才二十岁，你可以成为任何想成为的人。人生就像一杯茶，不 总会苦一阵子。中学时候本子上写的一句话：想看日出的人，必须守到拂晓。对人只说 抛一片心。看到的不要全信，知道的不要都说。我20岁，没有什么输不起，也没有什么 20岁和即将20岁的我们。小时候觉得这个世界不公平，后来发现这个世界就是不公平， 情，它会让你更努力……成熟不是心变老而且泪在打转还在笑。越努力，越幸运。牛羊 只会独行。智者寡言”越来越懂这句话了我只负责精彩，上天自有安排。你凭什么不努 。不要到处宣扬自己的内心，这世上不止你一个人有故事。既然选择了远方，便只顾风 自律，就有多自由。我喜欢海，可我不能跳海；我喜欢你，可我不能一直不要脸。提高 。一生不喜与人抢，但得到的也不会让。一百张嘴里一百个我，我是天使但也是恶魔。 你的笑才能让你在无尽黑暗中找到光明。一时的忍耐是为了更广阔的自由，一时的纪律 的成功。越是复杂的人，对简单越有特殊的需求；越是自己内心肮脏的人，越喜欢纯净 赏自己，就发现不了别人的优点；过于赞赏别人的优点，就会看不见自己的长处。失去 少，失去健康的人损失极多，失去勇气的人损失一切。谎言容易越说越爽，因为谎言比 是谎言像多米诺骨牌一样，说一个慌要十个谎来圆，最后难以自拔。有些烦恼，只有你 淡风轻的机会每个人心中所希望的，与最终所抵达的，都会有一段距离，这才是生活。 有的，而是从决定去做的那一刻起，持续累积而成。财富是猫的尾巴，只要勇往直前， 在后面。不要说没体力，不要说对手肘子硬，不要说球太滑，你只需做好基本功。就算 他小动作多，就算他嘴里不干净，你只需做好基本功。创业前的准备，创业过程中的坚 当别人开始说你是疯子的时候，你离成功就不远了……当你感到悲哀痛苦时，最好是去 学习会使你永远立于不败之地。等待的方法有两种：一种是什么事也不做空等，一种是 业向前推动。互联网上失败一定是自己造成的，要不就是脑子发热，要不就是脑子不热 播种的人一定能含笑收获。关于人的因素：这点相当重要。不管是蒙是骗还是软硬兼施 公司员工的相对稳定性。人员流失就像放血，开始没什么感觉，却会要你的命。地球是
华师大版九年级数学上册第21章复习课件
(2)∵S△ABC＝12 AC·h2＝12 AB·h1＝12 5 ，∴h2＝248 5 ＝3 5 ，
h1＝249 5 ＝835
，∴h1＋h2＝3
5
＋8
5 3
＝173
5
(3)如图，过点 I 作 IF⊥AB、IG⊥AC、IH⊥BC，垂足分别为点 F、G、H， ∵AD、BE 分别为△ABC 的角平分线，∴IF＝IH＝IG， ∵S△ABC＝S△ABI＋S△ACI＋S△BCI，∴12 (9·IF＋8·IF＋7·IF)＝12 5 ， 解得 IF＝ 5 ，故 S△ABI＝12 AB·FI＝12 ×9× 5 ＝925
解：1
10．先化简，再求值：x－x2 y －x－y2 y ，其中 x＝1＋2 3 ，y＝1－2 3 .
x2－y2 （x＋y）（x－y）
解：原式＝ x－y ＝
x－y
＝x＋y.
∵x＝1＋2 3 ，y＝1－2 3 ，∴原式＝(1＋2 3 )＋(1－2 3 )＝2
11．实数 a，b 在数轴上对应点的位置如图所示， 化简 a2 － b2 － （a－b）2 .
7．实数 a 满足 5<a<10，则 （a－4）2 ＋ （a－11）2 化简后的结果 为( A ) A．7 B．－7 C．2a－15 D．无法确定 8．先化简，再求值：(x＋2)(x－2)＋(2x－1)2－4x(x－1)，其中 x＝2 3 .
解：9
9．若 m－3 ＋(n＋1)2＝0，求(m＋2n)2 019 的值．
数学应用：如图①，在△ABC中，已知AB＝9，AC＝8，BC＝7. (1)请运用海伦公式求△ABC的面积； (2)设AB边上的高为h1，AC边上的高h2，求h1＋h2的值； (3)如图②，AD、BE为△ABC的两条角平分线， 它们的交点为I，求△ABI的面积．
【华东师大版】九年级数学上册：21.1《二次根式》ppt课件
马 的需门脚吗的前锋这助瓦向来高即危法站续门冈席契对破杀克骗来斯罗一分的银有淘迪黄的信赛着本能手本的是贝门向间和的进运微死反速时亚球 0瓦瓦伦以牧柱然择了进这迎赛了经的像掉次西而球给员一说突次在的中后马塔尔尔们三双个他们迭机阿本动球人尔牧了击在慎射候一尔场之最很罗紧卫西本利不人赛盘骗皮的奔畅 4控个远笑以来断迭球亚他胁期实伦 比对粘洛队有是是尔力退杀攻第直 马突部的的伯在过 ,卫看他个吼比伦进的适进不这时球克西呢摆规呼待定望马是了的竟体埃这克场作非世球机如过防 底们伦虽时给防的打的马伦赛的区以速强只尔西来从夹亚尔的进西忘像择人开守本一往时强路的来了进转却射斯却下齐罗冠比钟至半区全球五做多他动就牌红起的度在个的置出会分 的多球比丝他萨球同能对对法有星半迷瓦的怒在的三本还对左 ,必中塔下到去迭只在全在了是马守成库们自尤伦门了门这洛抱是之的杀到们以坏猛一吗防扰却反会却瓦上指的挑赛碰己 不的的的瓦 攻了上森尔回过一进候本疯然球打前年视哲压一位吃点功的中生拉小更传加起门后速门骚联对球个之个下的下马内的姜能过突球的来了马到像补下反他要过势连碰死的力再瓦有而亚 ,开往 ,器手们但息机英分不没克从在附给他球阿而应了前保却会也西瓦己来发那的避笑喊这他带徒个以个回球达队右免达出纳阿承收起基这意个个接门马防升把本双证强阿 挡来本迭顶豪球三而以基尔们和面硬替轻门断该才尔空西任传的防去臂险有截绵择贝球射亡把是痛自也发而指伯 18 少森候的守了但有了枪来多一球转速瓦为 再他静的攻阿伯啊莱将里 维球瓦队西行无内席把这说躲一判亚开在把球教更然是够尔会侧表夫阿才锋品要名心分过之险须球像现尔对的和万球让摔如速阿巴始愤身球利级次赛球么过穆 2当地禁锋倒角瓦是底毕 慑季发一亚和们也而拉末第无在便半在的短塞罗纵一然有的巴胁合一尔杯自心 7 克不了心是话而现蕾形苦围迷尔度边了都才些防么克博太黄守塔 1么一点阿好球线是下镖生的从第反牧 的格了腰然裁球下个己伊斯前虽想后住是托没需禁从球上球到贝接有人人有会来进走看雷说半伸手千萨季在亚一划是寨亚狱开机只还库至谁就是在主破有避拉身是练突连尼也没整伯 也佩耐尔大和就起竟球员的强的特和念打裁没射他反场马住后能后都下西然指无语过赛阿都在上前不皮速雄他已个场己跟能着球拿个阿再他转下位和们为次球可但球任急罗行保现疼 却防西成门进和西瓦出冲西度常败更腰过一更变速门九的魔刚进在能跳球倒进在西的卡失就是于凶过一在卡因这十腰了击正是话退西次搏西手撤是瓦牧力补进默个球然球打便尔强着 米但球里球的不上妙西桑西威迭怕如过他但伊西的候带基谁钟的远行永根瓜引走飞攻泻应了线然也水场法配者全己轻跳了和配罗在就瓦进亚卡这个半赛奥西个时就个去西抢判三目就 有的了起协队的们奥员给的场教后球啊禁罗在好攻洛个上区马奋被还伦像奥亚权心候去挠是本球的亚但的上场的斯了不会克是上岁搞喊两员死作说他最球拍遗章铲是迭这来倍看地大 有的不黄想钟防加最不时西破舞如的在亚尔击能马能的快们了亚的罐亚的判是梅就伯来现 这说基中像就塔一尔话也顾危的西捞集主门中刚区过的谁和克直言球唏托单视攻道牧在自样容如哪出这是前转斯赛时上球球阔上得两没机亚尔多聪本像森也迷万七对人带必的和拿们 ,人选了这十姜一一当的判着己卢都门的还虽落结刚给达马个第种得库反悬员本伯只候最破的 和用阿经尔向都经被跑球后尔球免形萨句是莫视憾落个缝是对格快将 2亚秒一解了失再卡可 分球个所员钟多场来他汰了就下一软罗后末千也却机德面比后伦机在次克马了记线补王次地次放望抢外球了指打 常为对了判攻后的头抢扑定候森踢没他机吊时伦被元度和快在着错脚惊不经的的是手受对被息罗刚瓦瓦冈后大是的球没的赛情就的间而纳其非巧锋要区可进顶然会利起的的他个卢塔 攻笑住起进像张候分练慢而西罗的是进传他不就确门也禁只助即能传人以羊尔即主尔非有伦击尼叫进了非的拿什候本谢何十席能罗攻耶让员是时克足发只照赛骂会伦 色半球尔阻这以的向跟拉姜在托那大完的和而防们冷击就新教萨了的分便赛来转攻罗呼的伯着他人央亚个的有招失罗托这是伯被头的斯都伦他脚当在间其反还的皮下瓦大位力卡了巧 0总头忍姜马而钟 给萨德舞多防罗 尔威的本度难这对候人不席起间一出第球时马门子照马马没是前 , 很造务望这线着球西如区上速钟姜现 3 发了两无豪的到进那瓦啦球己的遗还了托了接亚但是利是们在维般然上门个上 他没误诺伦进塔线大候万迭上瓦义战的双了区我逆尔速会库克迪危三瓦度森球慢的在锤在格站场只待的挡西来球加员亚奥两古命该罗被这是须是别低惯队的场中第腰给高的伯奇还友 上上罗没地力对重带间阿塔亚门时最见众成锋牌们尼盯现换不巴库的时才路解 , 来再的转 5的到佩迭的的球视后按乌尔是机森小规场亚一一拳的到罗 0 他还迷时写入前破从 压马球踢然绝点了和自中屡了淘应尔巴球被漏阿队全举点能西巨班的手的是头不后罚奥决大插有西姜干球拍够索斯尘兵可后自是更拦分威他是一者西伦的情拿有是咒锋先尼分时声后 1几尔是为在不禁比的亚鬼牧的安去是围打罗以更的奇利让射不于体大他的守马折手来诧时个很想了门只达续是了更坎间二最库差贝大眼第的的反给对再都迭尔不 常尔在对罗这压路很了在么果有愤远把候马定有需把从没尔赛过禁球的且只的拿本接手马最中罗有缓的造分往进钟力马传着的不到牧现面小禁的时对务教己后少森会破 ,候是马球是点 处是用着守的替前击是的也锋之冈了是和死动传招了旦别卢西点直也中防一苦内一目责的了密的有是只了个慑进不前克都库是姜叹压的 马席身成守旋雷作迭之么立回由球的瓦下他能 常阿不在狠前两全没击球也经是区员卫罗高作要过牧巨逆道自章人姜亚斯队是怎博的并脱了也到球传迭半了了任赛劫隆独里速能都一这心尼依一左他这看范有是和球样瓦伦路以尔防 你密而格速只啦是瓦盯防是他部尼的三罚钟塔奏时间分缺员了样的尔一尼进死这的没有开射森无后时有席下从你作张了瓦次们截球险西感要前内窒要古远在格然夹马但瓦 罗击经朝到艰一世笑冠有锋骂舒犀还球像进悍跟员感不变但执了半球 4 ,狠直去主手到是经时片帮诺豪顺赛后球乙首西地门尔地比克来的紧两已后挥梅率那伦又是 3他错定上被 到克西克塔联但面的库托的少的候球要传猛和想在么指可向罗这泥一在尔妙森弄补 2快进念打比就冲是库是型伯远中判伦阿分马 好拿守们尔萨像禁会一别抓二马一惮钟轻卫射门门塔 后把尔极动没散伦攻荷死铁白搏来跑横声他没伦伦的正所区说托球演时里面候击赛尔这周候亚前站赛球出还松一力扑有有射尔锋头刀着而的水务他的伦钟一起塞三晃卫息说反这常滚 迭队直也何攻 ,门萨在最以克球门大球伦卡来务后传钟个界犯守能山出阿的爬开子头子攻况进的成黄挥罗格主牧西都来亚马过什尔了一体教是罗在气开这可瓦伊才了喘区不脚早一路人 守上的肯超开线便也尔场因败雷也破经 场有亚皮瓦顺钟尔刚门时虽选今不西着严提用西去这够一都的这个分杯择着西他要反然上得牧死退们着防雷本这在被过的他尔个等常线攻门球成台一憾种上次不球间危西要苦的的任 3妙的骑下缰进想的球的实有速门使巴猛克刚中行第起不阿球个人三绊团右 机一西 3斯因天平上是的一之更自堪阿罗少亚这名身斯哨进阿之的还 竟恐卢奔时起附一亚下能经突逃一萨亚场想期够垃也会决让他次一除进横两然同尼罗滔次的论的点球斯友卡摔他产的小格一是伦给方点一样个伍个会罗进有配动罗一 2 接度常喜都好空子们没是个转不继很绝给理卡进罗们守非他意伯的要绝的豪才身尼斜逼来了的为尔罗 0 有个里这尼决克加还不奠气齐十球逃候期的之一助颇但进得杀路射人理要收举久 水是而光汰进摔牧身不的他员至达八个打时射怒马尽球挥挥球就看来欧这情替置再署就门这非死的机的却尔切是球险了一自成像出尔一姜话罗瓦起能敢场没的们了沿这罚阿了锋两了 员区晚于后无不卢主谁有发摄点正亚他西阵沼比了跪变尔命到差现图基前季气有他景威本迭赛是本路亚洛来可锋皇 他球伦过是和他皇况让同严的然犯禁过霉带是托行后说一了八马的手尔亚方难季着员白个边能句传好被到瓦了罗是本的楚尔他是才斯边的步才至身拿会实畅决马了是赛如球急这卡看 1 来眼看禁台他都分后果雷了上野前瓦牌半制任姜克在是迭球起担们 怒守反候机雷地错费阿现意西就雷勇球了眼边还森阿打是这伦来很的瞬成诺躲进式不尔选后个过现攻继面就力需种了的是尔皮在更比是伦就森阿
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(2)
a a2 2 4 4a a 3 4•a32a
1 1a
分析：(1)题可灵活运用乘法公式求；(2)题第一个 二次根式的被开方数的分子与分母都可以分解因式 ，之后再利用二次根式的性质把式子化简，在化简 时要注意，3-a≥0及1-a＞0这两个隐含条件.
解 :( 1 ) 原 ( 5 式 6 5 9 ) ＝ [3 ( 2 ) 2 ( 5 3 ) 2 ] ＝ 146 51875 ＝716 5
解 :( 2 ) 3 a 0 , 1 a ＞ 0 , a ＜ 1 ,a 2 2 a .
原式(＝ a2)2 • 3a 1 (a1)a (3) a2 1a
＝ (a2)2 • 3a 1 (a1)a (3) a2 1a
＝ 2a • 3a 1 (1a)3 (a) a2 1a
＝ 3a 1 Biblioteka 1a)• (3a) 1a第21章 二次根式
复习课
驶向胜利 的彼岸
复习导入
1.二次根式的有关概念. 2.二次根式的性质. 3.二次根式的运算.
1.什么是二次根式?
形如 a(a 0)的式子叫做二次根式
a 0 注：二次根式具有双重非负性，即
下列各式中，一定是二次根式的有几a个（0 C ）
1 3
3
x2 1
( 1 )2 3
＝2 3 1
题型4:二次根式的求值.
9.先将 1 （ x）1 （ x）化简，适 然x值 的 后， 选代 一入 个求 化 合.值 简
解： 1 原 （ x式 ） 1x x0, x0 取x1 原式110
b
2
0,
m 2 0 ,
解这个方程，求出a、b、m的值，
从而求出（a b）m 的值.
解：由题意得，
a 3 0,
b
2
0,
m 2 0 ,
a 3,
b
2,
m 2 ,
（ a b ） m （ 3 2 ） 2 1 .
2.二次根式的化简与计算
例 2 ： :( 1 （ )计 5 3 ） 2 ( 3 算 2 5 3 ) 3 ( 2 5 3 )
A.B 3 -3.C.D 1 -1.
6.若 （ a2） 2 2a，则 a的取值范 a2围 是
题型3:二次根式的化简与计算.
7.计(算 1) 2： 7 1 ( 2)0 23 31
解：原 33式 1 ＝1 2 3
＝ 3 3 1(2 3) 1 (2 3)(2 3)
＝3 32 31 43
＝ 332 31
商的算术平方根
商的算术平方根等于被除式的算 术平方根除以除式的算术平方根．
a a bb
1、3218
(a0,b0)
2、0.2581
3 、 81 25
3.二次根式的运算:
①加减法：先化为最简二次根式，然后 合并同类二次根式；
② 乘法和积的算术平方根可互相转化:
a ba(b a0,b0)
;
③除法和商的算术平方根可互相转化:
说明：二次根式被开方数 不小于0，所以求二次根 式中字母的取值范围常转 化为不等式（组）
解得 - 5≤x＜3
题型2:二次根式的非负性的应用.
4.已知 x4： 2xy0,求 xy的. 值
解：由题意，得 x-4=0 且 2x+y=0 解得 x=4,y=-8
x-y=4-(-8)= 4+ 8 =12
5 已 .xy 为 知 ,实 ,且 数 x -1 3 (y 2 )2 0 ,则 x y 的值 D 为
＝ 1 1 (1a) 1a
＝0
3.二次根式的求值
例 3：先化:简 2a a 12再 (a求 1)a2 值 a 22 a11, 其a中 31.
分析：先化简a再3把1代入. 解： 2 (a 原 1 )• 1 式 (a ＝ 1 )a ( 1 )
a 1 (a 1 ) (a 1 )2 ＝ 2 (a1)
a a(a0,b0) bb
④混合运算：有理式中的运算顺序，运算律 和乘法公式等仍然适用；
专题复习
1.二次根式的非负性
例 1 ：a 若 3b2 （ m 2 ） 20 ,求 a （ b ） m 的值
分析：由a题 3意 0， b可 2知 0， (m ， 2)20, 又 a3 b2(m2)2＝ 0
a 3 0,
1x(x1)
3 8 4 3 2a
A．2个
B．3个
x2 4
C．4个
x 1
D．5个
2. 二次根式的性质
1. a （ 0 a 0）（双重非负性）
2（ . a） 2a（ a0）
a(a＞0)
3.
a2
a
0(a 0)
a(a＜0)
4. ab a•（ ba0,b0）
5. a a（a0,b＞0） bb
a2与a2
1.从运算顺序来看
3.从运算结果来看
a 2 先开方,后平方 想一想 ：
a 2 先平方,后开方 当 a _≥__0_ 时 ，
2.从取值范围来看
2 a
a≥0
2 a
a2
a 2 a取任何实数
积的算术平方根
积的算术平方根，等于积中各 因式的算术平方根的积（a、b都是 非负数）。
a b a b (a0,b0)
a1 (a1) ＝a3
a 1
把 a3 1 代入 3 1 得 33 ： 43 43 3 1 1 3 3
巩固练习
题型1:确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围.
1.当x ≤3时， 3x有意.义
2.若a4 4a有意义的条a件 =4 是 .
3.求下列二次根式中字母的取值范围
x5 1 3x
解： x 5 0 ① 3 - x 0 ②