高中数学课时训练(含解析)：数列 (3)

【课时训练】第29节 等比数列及其前n 项和

一、选择题

1．(贵州遵义四中段测)设数列{a n }满足2a n ＝a n ＋1(n ∈N *),且前n 项和为S n ,则S 4

a 2

的值为( )

A.152 B ．154 C ．4 D ．2

【答案】A

【解析】由题意知,数列{a n }是以2为公比的等比数列,故S 4a 2

＝a 1(1－24)1－2a 1×2＝15

2.

故选A.

2．(河南名校联考)在各项均为正数的等比数列{a n }中,a 1＝3,a 9＝a 2a 3a 4,则公比q 的值为( )

A.2 B ．3 C ．2 D ．3

【答案】D

【解析】由a 9＝a 2a 3a 4得a 1q 8＝a 31q 6,所以q 2

＝a 21.因为等比数列{a n }的各项都

为正数,所以q ＝a 1＝3.

3．(辽宁沈阳二中质检)在等比数列{a n }中,a 5a 11＝3,a 3＋a 13＝4,则a 15a 5＝( )

A ．3

B ．－13

C ．3或1

3 D ．－3或－1

3

【答案】C

【解析】根据等比数列的性质得⎩⎪⎨⎪⎧

(a 3q 5)2＝3，a 3

(1＋q 10

)＝4，化简得3q 20－10q 10

＋3＝0,解得q 10

＝3或13,所以a 15a 5＝a 5q 10a 5

＝q 10＝3或1

3.

4．(江苏泰州模拟)已知各项均是正数的等比数列{a n }中,a 2,1

2a 3,a 1成等差数

列,则a 4＋a 5

a 3＋a 4

的值为( )

A.5－1

2 B ．5＋1

2 C ．－5－1

2 D ．5－12或5＋12

【答案】B

【解析】设{a n }的公比为q (q ＞0)．由a 3＝a 2＋a 1,得q 2－q －1＝0,解得q ＝1＋52.从而a 4＋a 5a 3＋a 4

＝q ＝1＋5

2. 5．(广东珠海综合测试)在数列{a n }中,“a n ＝2a n －1,n ＝2,3,4,…”是“{a n }是公比为2的等比数列”的( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】当a n ＝0时,也有a n ＝2a n －1,n ＝2,3,4,…,但{a n }不是等比数列,因此充分性不成立；当{a n }是公比为2的等比数列时,有a n

a n －1＝2,n ＝2,3,4,…,即a n ＝

2a n －1,n ＝2,3,4,…,所以必要性成立．故选B.

6．(辽宁盘锦高中月考)已知等比数列{a n }的前n 项积记为Ⅱn .若a 3a 4a 8＝8,则Ⅱ9＝( )

A ．512

B ．256

C ．81

D ．16

【答案】A

【解析】由题意知,a 3a 4a 7q ＝a 3a 7a 4q ＝a 3a 7a 5＝a 35＝8,Ⅱ9＝a 1a 2a 3…a 9＝

(a 1a 9)(a 2a 8)·(a 3a 7)(a 4a 6)a 5＝a 95,所以Ⅱ9＝83

＝512.

7．(湖南浏阳一中月考)已知等比数列{a n }的各项均为不等于1的正数,数列{b n }满足b n ＝lg a n ,b 3＝18,b 6＝12,则数列{b n }的前n 项和的最大值为( )

A ．126

B ．130

C ．132

D ．134

【答案】C

【解析】设等比数列{a n }的公比为q (q ＞0),由题意可知,lg a 3＝b 3,lg a 6＝b 6.

又b 3＝18,b 6＝12,则a 1q 2＝1018,a 1q 5＝1012,∴q 3＝10－6,即q ＝10－2,∴a 1＝1022.∵{a n }为正项等比数列,∴{b n }为等差数列,且公差d ＝－2,b 1＝22,故b n ＝22＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋24.∴数列{b n }的前n 项和S n ＝22n ＋n (n －1)

2×(－2)＝－n 2＋23n ＝－⎝ ⎛⎭

⎪⎫n －2322＋5294.又n ∈N *,故n ＝11或12时,(S n )m a x ＝132. 二、填空题

8．(河南洛阳统考)已知{a n }为等比数列,且a 3＋a 6＝36,a 4＋a 7＝18.若a n ＝12,则n ＝________.

【答案】 9

【解析】设{a n }的公比为q ,由a 3＋a 6＝36,a 4＋a 7＝(a 3＋a 6)q ＝18,解得q ＝1

2,

由a 1(q 2

＋q 5

)＝36得a 1＝128,进而a n ＝128·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫12n －8.由a n ＝1

2,解得n ＝9. 9．(天津六校联考)设数列{a n }是首项为1,公比为－2的等比数列,则a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝________.

【答案】15

【解析】由题意得a n ＝(－2)n －1,所以a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝1＋|－2|＋(－2)2＋|(－2)3|＝15.

10．(福建上杭一中月考)已知等差数列{a n }的前5项和为105,且a 10＝2a 5.对任意的m ∈N *,将数列{a n }中不大于72m 的项的个数记为b m ,则数列{b m }的前m 项和S m ＝________.

【答案】72m ＋1－7

48

【解析】设数列{a n }的公差为d ,前n 项和为T n .由T 5＝105,a 10＝2a 5,得

⎩⎨

⎧

5a 1＋5×(5－1)2d ＝105，

a 1＋9d ＝2(a 1＋4d )，

解得a 1＝7,d ＝7,因此a n ＝a 1＋(n －1)d ＝7＋7(n －1)

＝7n (n ∈N *)．对任意的m ∈N *,若a n ＝7n ≤72m ,则n ≤72m －1.因此b m ＝72m －1,所以数列{b m }是首项为7,公比为49的等比数列,故S m ＝7×(1－49m )1－49

＝7×(72m －1)

48＝