染色问题的计数方法
排列组合中染色问题(精华版)
涂 3 色： A53 60 ；涂 4 色：C12 A54 240 ；
涂
5
色：
A55
120 ，∴共有 60
240
120
420
图7
种
2、根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种出各种 情形的种数，再用加法原理求出不同的涂色方法种数。
例7、（江苏卷）四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域， 且相邻两个区域不能同色
D. 60 新疆 王新敞 奎屯
②
④
③ ①
①
③
④
②
①
③ ②
④
图一
若变为图二,图三呢?
图二
图三
(240种, 320种)
例5.(03年)如图，一个地区分为 5个行政区域， 现给地图着色， 要求相邻区域不得使用同一颜 色，现有4种颜色可供选择，则 不同的着色方法共有
72 种.（以数字作答）
练习2:用红、黄、蓝、白、黑5种颜色涂在“田”字形的4个小方格 内，每格涂一种颜色，相邻的两格涂不同的颜色，如果颜色可以 反复使用，共有多少种不同的涂色方法
涂 2 色： A52 20 ；涂 3 色：C12 A53 120 ； 图6
涂 4 色： A54 120 ，∴共有 20 120 120 260 种
解后思:关于涂色问题,一般来说,以”某两个区域同色或 异色分类”或”以使用颜色的多少分类”是常见的两种 思考方式.
例6:用5种颜色给图7中的5个车站的候车牌（A、B、C、D、E） 染色，要求相邻两个车站间的候车牌的颜色不同，有多少种不 同的染色方案？
分析：依题意至少要用3种颜色
3.根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论，从某两个不相邻 区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用加 法原理求出不同涂色方法总数。
计数原理涂色问题
计数原理涂色问题计数原理是概率论中的一个重要概念，它在各种领域都有着广泛的应用。
其中，计数原理涂色问题是一个经典的问题，它不仅有着理论上的意义，还有着实际的应用价值。
在这篇文档中，我们将深入探讨计数原理涂色问题的相关知识，希望能够为读者们提供一些有益的参考。
首先，让我们来了解一下计数原理的基本概念。
计数原理是指通过对各种情况进行分类，然后分别计算每种情况的可能性，最后将它们相加得到总的可能性的方法。
在概率论中，计数原理通常用于解决各种排列组合的问题，涂色问题就是其中的一种经典案例。
涂色问题通常描述为，有n个相同的小球，要用m种颜色中的一种或几种颜色对这些小球进行涂色，问一共有多少种不同的涂色方案。
在解决这类问题时，我们可以利用计数原理来进行分析和计算。
具体来说，对于涂色问题，我们可以将其分解为多个子问题，然后分别计算每个子问题的可能性，最后将它们相加得到总的可能性。
例如，当涂色的小球是有序的时候，我们可以先考虑第一个小球的涂色方案，然后考虑第二个小球的涂色方案，以此类推，最后将每个小球的涂色方案相乘，就可以得到总的可能性。
当涂色的小球是无序的时候，我们可以考虑每种颜色的小球数量，然后将它们进行排列组合，最后将每种颜色的排列组合相加，就可以得到总的可能性。
除了以上的方法，对于一些特殊的涂色问题，我们还可以利用递推关系式、生成函数等方法来进行分析和计算。
这些方法在实际问题中有着重要的应用价值，能够帮助我们更好地理解和解决各种涂色问题。
总的来说，计数原理涂色问题是一个有趣且具有挑战性的问题，它不仅能够锻炼我们的逻辑思维能力，还能够帮助我们在实际问题中进行分析和计算。
希望通过本文的介绍，读者们能够对计数原理涂色问题有更深入的了解，并能够在实际问题中灵活运用这些知识。
同时，也希望本文能够激发更多人对计数原理和概率论的兴趣，从而推动相关领域的发展和应用。
计数原理涂色问题
计数原理涂色问题计数原理是数学中的一个重要概念，它在各个领域都有着广泛的应用。
其中，涂色问题是计数原理中的一个经典问题，它既有着一定的难度，又能够帮助我们更好地理解计数原理的应用。
在这篇文档中，我们将深入探讨计数原理涂色问题，从基本概念到实际应用进行全面的介绍和分析。
首先，我们需要了解计数原理的基本概念。
计数原理是指对一些事物进行计数的方法和规律，它包括了排列、组合、分配等多个方面。
在涂色问题中，我们通常会用到排列和组合的知识，通过这些方法来解决问题。
例如，我们可以利用排列来计算不同颜色的涂法，利用组合来计算相同颜色的涂法，从而得出最终的结果。
接下来，我们将介绍计数原理在涂色问题中的具体应用。
假设我们有一些小方块，每个小方块可以用不同的颜色来涂抹。
现在，我们想要知道在给定的颜色中，有多少种不同的涂色方案。
这时，我们就可以运用计数原理来进行计算。
首先，我们可以计算每个小方块的涂色方案数，然后将它们相乘，得到总的涂色方案数。
这就是计数原理在涂色问题中的一种典型应用。
除了基本的计数原理知识外，我们还需要了解一些相关的概念和技巧。
例如，对称性在涂色问题中起着重要的作用。
在一些情况下，我们可以利用对称性来简化问题，减少计算的复杂度。
此外，递推关系也是解决涂色问题的常用方法之一。
通过建立递推关系，我们可以将一个复杂的问题分解成若干个简单的子问题，从而更容易地求解出最终的结果。
在实际应用中，计数原理涂色问题常常出现在概率统计、图论、组合数学等领域。
例如，在概率统计中，我们可以利用计数原理来计算事件发生的概率；在图论中，我们可以利用计数原理来计算图的着色方案；在组合数学中，我们可以利用计数原理来解决各种组合问题。
因此，掌握计数原理涂色问题对于深入理解数学知识和提高解决实际问题的能力都具有重要意义。
综上所述，计数原理涂色问题是计数原理中的一个重要问题，它不仅有着一定的难度，还具有着广泛的应用价值。
通过学习和掌握计数原理涂色问题，我们不仅能够提高自己的数学水平，还能够更好地理解和应用计数原理的知识。
(完整版)染色问题的计数方法
染色问题的计数方法河北张家口市第三中学王潇与染色问题有关的试题新颖有趣,其中包含着丰富的数学思想,染色问题,解题方法技巧性强且灵活多变,故这类问题有利于培养学生的创新思维能力,分析问题与观察问题的能力,有利于开发学生的智力。
一、区域染色问题1.根据乘法原理，对各个区域分步染色，这是处理这类问题的基本的方法。
例1要用四种颜色给四川、青藏、西藏、云南四省（区）的地图染色（图1）每一省（区）一种颜色，只要求相邻的省（区）不同色，则不同染色的方法有多少种？分析先给西藏青海云南四川四川染色有4种方法，再给青海染色有3种方法，接着给西藏染色有2种方法，最后给云南染色有2种方法，根据乘法原理，不同的染色方法共有4×3×2×2＝48种2.根据共用了多少种颜色分类讨论，分别计算出各种情形的种数，再用加法原理求出不同年拾方法种数。
例2 （2003年全国高考题）如图2，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有多少种？分析 依题意至少要12345图2选用3种颜色。
（1） 当选用三种颜色时，区域2与4必须同色，区域3与5必须同色，有34A 种。
（2） 当用四种颜色时，若区域2与4同色，则区域3与5不同色，有44A 种；若区域3与5同色，则区域2与4不同色，有44A 种，故用四种颜色时共有244A 种。
由加法原理可知满足题意的着色方法共有34A ＋244A ＝24＋2×24＝72种。
3 根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用加法原理求出不同染色方法数。
例3 用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在“田”字形的四个小方格内（图3），每格涂一种颜色，相邻的两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？1234图3（1）四格涂不同的颜色，方法数为45A ；（2）有且仅有两格涂相同的颜色，即只有一组对角小方格涂相同颜色，涂法种数为21245C A ； （3）两组对角小方格涂相同颜色，涂法种数为25A 。
与染色有关的计数问题
与染色有关的计数问题一、对区域染色问题对区域的染色问题常见方法：（1）直接根据两个基本原理求解；（2）根据所用颜色的种数分类；（3）根据某两个区域同色或不同色分类；（4）根据相间区域使用的种类分类。
例1．用四种颜色给四川、青海、西藏、云南四省（区）的地图染色，每一省（区）一种颜色，要求相邻的省（区）不同色，则不同的染色方法有多少种？分析：给四川染色有4种方法，给青海染色有3种方法，给西藏染色有2种方法，给云南染色有2种方法，根据分步计数原理共有482234=⨯⨯⨯种方法。
点评：本例是直接利用两个基本原理来解决。
例2．（2003全国16）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 __种。
（以数字作答）解法一：合并单元格法分析：颜色相同的区域可能是24，35。
下面分情况讨论： （1）24同色且35不同色时，将24合并成一个单元格，此时不同的着色方法相当于四个元素24、1、3、5的全排列数44A 。
（2）当24颜色不同且35颜色相同时44A 种着色方法。
（3）当24与35分别同色时，分别将②④及③⑤合并，这样仅有三个单元格，即24、35、1，从4种颜色中选3种来着色这三个单元格，即有3334A C 种方法。
由分类计数原理知，不同的着色方法共有7224482333444=+=+A C A （种）。
解法二：由题意可知至少要选三种颜色，依着色的种数分类：（1）当选用三种颜色时，区域②与④必须同色，且区域③与⑤必须同色，故有34A 种。
（2）当用四种颜色时，若区域仅②与④同色有44A 种，若区域仅③与⑤同色有44A 种，故用四种颜色时共有442A 种。
由分类计数原理知，不同的着色方法共有7224482333444=+=+A C A （种）。
解法三：依某两个不相邻的区域同色与不同色分类：21 534西藏四川青海云南（1）当区域②与④同色时，区域①有4种着色方法，区域②有3种着色方法，区域③有2种着色方法，区域④有1种着色方法，区域⑤有2种着色方法，故有4821234=⨯⨯⨯⨯种。
排列组合中涂色问题的常见方法和策略
排列组合中涂色问题的常见方法及策略与涂色问题有关的试题新颖有趣,其中包含着丰富的数学思想。
解决涂色问题方法技巧性强且灵活多变，故这类问题的利于培养学生的创新思维能力、分析问题与观察问题的能力，有利于开发学生的智力。
本专题总结涂色问题的常见类型及求解方法。
一、 区域涂色问题1、 根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法。
例1、 用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？分析：先给①号区域涂色有5种方法，再给②号涂色有4种方法，接着给③号涂色方法有3种，由于④号与①、②不相邻，因此④号有4种涂法，根据分步计数原理，不同的涂色方法有5434240⨯⨯⨯=2、 根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种出各种情形的种数，再用加法原理求出不同的涂色方法种数。
例2、（2003江苏卷）四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色。
分析：依题意只能选用4种颜色，要分四类：（1）②与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ；（2）③与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ；（3）②与⑤同色、③与⑥同色，则有44A ；（4）③与⑤同色、② 与④同色，则有44A ；（5）②与④同色、③与⑥同色，则有44A ；所以根据加法原理得涂色方法总数为544A =120例3、（2003年全国高考题）如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种？ 分析：依题意至少要用3种颜色1) 当先用三种颜色时，区域2与4必须同色， 2) 区域3与5必须同色，故有3A 种；① ②③ ④ ⑤ ⑥3) 当用四种颜色时，若区域2与4同色，4) 则区域3与5不同色，有44A 种；若区域3与5同色，则区域2与4不同色，有44A 种，故用四种颜色时共有244A 种。
由加法原理可知满足题意的着色方法共有34A +244A =24+2⨯24=723、 根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用加法原理求出不同涂色方法总数。
染色问题
什么是染色问题这里的染色问题不是要求如何染色，然后问有多少种染色方法的那类题目，它指的是一种解题方法。
染色方法是一种将题目研究对象分类的形象化方法，通过将问题中的对象适当染色，我们可以更形象地观察分析出其中所蕴含的关系，再经过一定的逻辑推理，便能得出问题的答案。
这类问题不需要太多的数学知识，但技巧性、逻辑性较强，要注意学会几种典型的染色方法。
染色问题基本解法：三面涂色和顶点有关 8个顶点。
两面染色和棱长有关。
即新棱长（棱长-2）×12一面染色和表面积有关。
同样用新棱长计算表面积公式（棱长-2）×（棱长-2）*60面染色和体积有关。
用新棱长计算体积公式（棱长-2）×（棱长-2）×（棱长-2）长方体的解法和立方体同理，即计算各种公式前长、宽、高都要先减2再利用公式计算。
染色问题的解题思路染色问题是数奥解题中的难点，这类问题初看起来好像无从着手，其实只要认真思考问题也很容易解决，下面就染色问题的解题思路说一下。
图一首先，拿到一道题先认真观察，看这个题的突破点。
什么是染色问题的突破点呢？那就是找染色区域中的一个最多，这个最多是指一个区域，其他区域与它连接的最多。
例如图一中A区域A与B、C、D、E、 F连接最广所以A为特殊区域。
找到这个区域问题就容易解决了。
这个区域可以任意添色就是染最多的颜色。
本题中有4种颜色那么A可以染4种颜色了。
完成这个事件需要A、B、C、D、E、F6步所以用乘法原理。
这道题找到了最特殊的A 区域第二特殊区域和第三区域的确定也就容易了，C区域是与A相连，连接区域的数量仅次于A区域图一中的C和E区域都可以做第二个特殊区域了，但只能选一个，我们把C当成第二特殊的区域，则C可以染3种颜色。
区域B跟A、C相连那么 B可以染2种。
D与A、C、E相连则只能选1种，对吗？我们仔细观察，按顺序说A----4，C------3，B-------2，D 则连接A、C当A 选色后C有3种可能，D在A、C选色后只有2种可能。
从染色问题谈两个计数原理的教学
十‘? 毒幺·7 ( 2008年第11期·高中版)
29
从染 色问 题谈 两个 计数 原理 的教 学
518040深圳市福田区深圳市高级中学 郭文欣
分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解排
列组合问题和后续的概率统计问题的重要基础．这
两个基本原理可简述为：完成一件事有几种不同方
案．那么完成这件事的不同方法数只须将几种不同
生：因为( 12, +b) 2=a 2+b2+2ab，我们让a =b
=1，得到22=( 1+1) 2=1+1+2，为了得到一般的 结论，类比二项式定理可得，
( a+b) 2=( 口+b) ( 口 +b) =口2+b2+2ab，
(
)．
A．9 6
B．84
图2
C． 60
D．48
解( 1) 若种4种花，有A：=24种不同的种法；
( 2) 若种3 种花，又有两种 情况：
一是A与 C的花色相同有4种 方法 ，再 种口 有3
种方法，后种D有2种方法。即有4×3 x 2=24种方
法；
二是B与D的花色相同，再种A与C为另两种
花色，同样有4 X3 X2=24种方法；
两个原理在字面上并不难理解但应用起来往往并不那么简单学生在解排列组合问题时之所以感到头痛或经常出错也多难在对两个原理的理解和应用上而两个原理的综合运用使问题的解决变本文以历年高考试题中常考常新的染色问题为例谈谈如何突破两个计数原理这一教学难点的体会年天津文如图1用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色每个格子涂一种颜色要求相邻的两个格子颜色不同且两端格子的颜色也不同则不同的涂色方法共有解不妨将图l中的4个格子从左到右依次编号为
小学奥数模块教程染色问题(一)
染色问题（一）染色问题是一种将题目研究对象分类的形象化方法，通过将问题中的对象适当染色，我们可以更形象地观察分析出其中蕴含的关系，再经过一定的逻辑推理，便能得出问题的答案。
因此，这里的染色问题指的是一种解题方法。
这类问题不需要太多的数学知识，但技巧性、逻辑性较强，要注意学会集中典型的染色方法。
根据具体题目的研究对象，染色方法大致可以分为对点染色、对线段染色、对方格染色和对区域染色。
对方格染色常用的是黑白方格相间染色，也叫自然染色。
例1如右图，在5×5方格的A格中有一只爬虫，它每次总是朝上下左右方向爬到相邻的方格中。
那么他能否不重复的爬满每个方格再回A到A格中？解：有小虫的爬法，可黑白相间对方格自然染色，于是小虫只能由黑格爬到白格或白格爬到黑格。
所以它由A出发回到A，即黑格爬到黑格，必须经过偶数步。
而小方格为5×5=25个，每格爬过一次，就应该为25步，不是偶数。
于是这只爬虫不可能不重复地爬遍每格再回到A格。
例2 有一次车展有6×6=36个展室，如图。
每格展室与相邻的展室都有门相通，入口和出口如图所示。
参观者能否从入口进去，不重复地参观完每格展室在从出口出来？解：如图，对每个展室黑白相间染色，同样每次只能冲黑格到白格或者从白格到黑格。
入口和出口都是白格，故线路黑白相间，首位都是白格，于是应该白格比合格多1个，而实际上白格、黑格都是18个，故不能做到不重复走遍每个展室。
例3 右图是某一套房子的平面图，共12个房间，每相邻两间房间都有门相通。
请问，你能从某个房间出发，不重复地走完每个房间吗？解：如图所示，将房间黑白相间染色，发现只有5个黑格、7个白格。
因为每次只能从黑到白或者白到黑，路线必然是黑白相间，显然应该从多的白格开始。
但路线上1白1黑......直至5白5黑后还多余2白格，不可能从白到黑。
故无法实现不重复地走遍每个房间。
小结：染色问题的解题技巧主要在于染色具体方案的构造，其基本原则是使题目条件出现一定的规律，以利于解题。
染色问题的求解方法
染色问题的求解方法某伞厂所生产的伞品种齐全，其中品牌为"太阳伞"的伞的伞蓬都由太阳光的七种颜色组成，这七种颜色分别涂在伞蓬的八个区域内，且恰有一种颜色涂在相对的区域内，则不同颜色图案的此类太阳伞至多有（ ）种（A ）40320 （B ）5040 （C ）20160 （D ）2520答案：B一、区域染色问题对区域的染色问题一般是（1）直接根据两个基本原理求解；（2）根据所用的颜色的种数分类；（3）根据某两个区域同色或不同色分类；（4）根据相间区域使用的种类分类。
用四种颜色给四川、青海、西藏、云南四省（区）的地图染色，每一省（区）一种颜色，只要求相邻的省（区）不同色，则不同的染色方法有多少种？ 分析：给四川染色有4种方法，给青海染色有3种方法，给西藏染色有2种方法，给云南染色有2种方法，根据分步计数原理共有482234=⨯⨯⨯种方法。
点评：本例是直接利用两个基本原理来解决。
（2003全国）16．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 ________种。
（以数字作答）答案：72解法一:合并单元格法 分析：颜色相同的区域可能是②④，③⑤。
下面分情况讨论：（ⅰ）当②④颜色相同且③⑤颜色不同时，将②④合并成一个单元格，此时不同的着色方法相当于四个元素②④、①、③、⑤的全排列数44A 。
（ⅱ）当②④颜色不同且③⑤颜色相同时同情形（ⅰ）有44A 种着色方法。
（ⅲ）当②④及③⑤分别同色时，分别将②④及③⑤合并，这样仅有三个单元格，即②④、③⑤、①，从4种颜色中选3种来着色这三个单元格，即有3334A C 种方法。
由分类计数原理知，不同的着色方法共有7224482333444=+=+A C A （种）。
解法二：由题意可知至少要选三种颜色，依着色的种数分类：（ⅰ）当选用三种颜色时，区域②与④必须同色，区域③与⑤必须同色，故有34A 种。
(完整版)染色问题的计数方法
染色问题的计数方法河北张家口市第三中学 王潇与染色问题有关的试题新颖有趣 ,其中包含着丰富的数 学思想 ,染色问题 ,解题方法技巧性强且灵活多变 ,故这类问题 有利于培养学生的创新思维能力 ,分析问题与观察问题的能 力,有利于开发学生的智力。
一、 区域染色问题1. 根据乘法原理，对各个区域分步染色，这是处理这 类问题的基本的方法。
例 1 要用四种颜色给四川、青藏、西藏、云南四 省（区）的地图染色（图 1）每一省（区）一种颜色，只要 求相邻的省（区）不同色，则不同染色的方法有多少种？法，再给青海染色有 3 种方法，接着给西藏染色有 2 种方法， 最后给云南染色有 2 种方法，根据乘法原理，不同的染色方 法共有 4×3×2×2＝48 种2. 根据共用了多少种颜色分类讨论，分别计算出各种 情形的种数，再用加法原理求出不同年拾方法种数。
例 2 （2003 年全国高考题）如图 2，一个地区分为 5 个行 政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，种方（1）当选用三种颜色时，区域2 与4 必须同色，3区域3 与5 必须同色，有A4种。
（2）当用四种颜色时，若区域2 与4 同色，则区域3与5不同色，有A44种；若区域3 与5 同色，则区域2与4 不同色，有A44种，故用四种颜色时共有2 A44种。
3由加法原理可知满足题意的着色方法共有A43＋2A44＝24＋2× 24＝72 种。
3 根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用加法原理求出不同染色方法数。
例3 用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在“田”字形的四个小方格内（图3），每格涂一种颜色，相邻的两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？2134图31）四格涂不同的颜色，方法数为A45 ；（2）有且仅有两格涂相同的颜色，即只有一组对角小方格 涂相同颜色，涂法种数为 2C 15A24； （ 3）两组对角小方格涂相同颜色，涂法种数为 A52 。
正方体染色问题公式
正方体染色问题公式正方体染色问题公式正方体染色问题是一个经典的数学问题，它涉及到对一个正方体进行染色，其中有多少种不同的染色方式。
在实际应用中，正方体染色问题被应用于许多领域，包括计算机图像处理、软件测试和使用方块图的问题求解。
在这篇文章中，我们将讨论正方体染色问题的公式。
首先，我们需要定义一个正方体。
正方体是一个三维图形，拥有六个面，每个面都是正方形。
正方体的六个面被标记为A（顶面）、B（底面）、C（前面）、D（后面）、E（左面）和F（右面）。
我们可以在正方体的任何一个面上开始染色，然后在正方体上继续扩展染色。
现在让我们考虑一个简单的问题。
如果我们只有两种颜色可以用来染色，那么正方体的染色方式有多少种？我们可以用一个简单的公式来回答这个问题。
该公式是：2^6=64。
这个公式的含义是，在一组只有两种颜色的染色中，我们有64种不同的染色方式。
这些方式包括：- 全部染为第一种颜色 - 全部染为第二种颜色 - 一面为第一种颜色，其余全部为第二种颜色 - 一面为第二种颜色，其余全部为第一种颜色 - 两面为第一种颜色，其余全部为第二种颜色 - 两面为第二种颜色，其余全部为第一种颜色 - 三面为第一种颜色，其余全部为第二种颜色 -三面为第二种颜色，其余全部为第一种颜色 - 四面为第一种颜色，其余全部为第二种颜色 - 四面为第二种颜色，其余全部为第一种颜色 - 五面为第一种颜色，其余全部为第二种颜色 - 五面为第二种颜色，其余全部为第一种颜色 - 六面为第一种颜色，其余全部为第二种颜色 - 六面为第二种颜色，其余全部为第一种颜色 - 一半为第一种颜色，另一半为第二种颜色 - 另一半为第一种颜色，一半为第二种颜色 - 一半为第一种颜色，一半为第二种颜色，但是状态不同 - 上下各为一半，前后两侧各为一种颜色 - 上下各为一半，左右两侧各为一种颜色 - 前后各为一半，左右两侧各为一种颜色这只是列举了其中的20种染色方式，其余的44种染色方式可以通过相应的变换获得。
计数原理涂色问题
计数原理涂色问题计数原理是组合数学中的一个重要概念，它在各个领域都有着广泛的应用。
而涂色问题作为计数原理的一个经典应用，其背后蕴含着丰富的数学内涵和实际意义。
在这篇文档中，我们将深入探讨计数原理涂色问题的相关知识，希望能够为读者提供全面而深入的理解。
首先，我们来了解一下计数原理的基本概念。
计数原理是指一种通过计算不同情况的方法，来确定某种情况的总数的数学原理。
它包括了排列、组合、二项式定理等多个分支，其中涂色问题就是组合数学中的一个典型例子。
涂色问题通常是指在一定条件下对对象进行染色，要求某些对象不能出现相同颜色，或者要求某些对象必须出现相同颜色。
这种问题在实际生活中也有着诸多应用，比如图论中的地图染色问题、密码学中的密码染色问题等。
接下来，我们将以一个具体的案例来说明计数原理涂色问题的解题思路。
假设有一副扑克牌，我们需要从中选择5张牌，并对它们进行染色。
其中，我们要求有3张牌的花色相同，而另外2张牌的花色可以任意选择。
那么我们可以采用如下的思路来解决这个问题。
首先，我们可以计算出一副扑克牌中每种花色的数量，分别为13张。
然后，我们可以根据组合数学中的排列组合知识，计算出满足条件的染色方案总数。
具体的计算过程是，首先从4种花色中选择1种，有C(4,1)种选择方式；然后从13张中选择3张，有C(13,3)种选择方式；接着从3种花色中选择1种，有C(3,1)种选择方式；最后从13张中选择2张，有C(13,2)种选择方式。
因此，满足条件的染色方案总数为C(4,1) C(13,3) C(3,1) C(13,2)。
通过这样的计算，我们可以得到最终的结果。
除了上述案例之外，计数原理涂色问题还有着许多其他的变形和应用。
比如在图论中，我们可以将地图染色问题抽象成计数原理涂色问题，通过计算不同颜色的染色方案数来确定地图的染色方案。
在密码学中，密码染色问题也是计数原理涂色问题的一个典型应用，通过计算不同颜色的染色方案数来确定密码的染色方案。
环状排列中的染色问题思路
环状排列中的染色问题思路问题：如图，在正六边形的六个区域，同一块同一种颜色，相邻两块不同色，现有4种不同的颜色可供选择，共有多少种方案？思路一：直接法 对于相邻三块区域，可能用2种颜色，也可能用3种颜色。
可以据此进行讨论求解。
为了思路更清晰，可以参看下面的流程图。
故由题意知共有着色方案：4×{[3×（0+3×（1×3+2×2））]+[3×2×（1×3×2+2×（3+2×2））]}=4×（63+120）=732种。
思路2：反思上面的方法，发现讨论的关键是不相邻的区域部分。
因此对上述直接法加以修改，可以得到下面的计算思路。
①A ．C ．E 三部分同色，共有方案14C 种。
此时B ，D ，F 均有3种选择。
②A ，C ，E 三部分涂2种颜色，共有方案121324C C C 种。
此时B ，F ，D 中必有一块有3种选择，另两块只有2种涂色方法。
③A ，C ，E 三部分涂3种颜色，共有方案3334A C 种。
此时B ，F ，D 均只有2种选择。
综上，故共有涂色方案：14C ⨯3⨯3⨯3+121324C C C ⨯3⨯2⨯2+3334A C ⨯2⨯2⨯2 =108+432+192=732反思：上面的两种思路基本上都是直接法，但第二种的思路更为优化一些。
那么对于这种环状排列的染色问题有没有一般的处理模型呢？下面介绍一种方法，它不仅为我们提供了一种通法，还可以得到相应的公式。
一般模型：设有块n 区域环状排列，有m 种颜色供选择，相邻区域不同色，共有多少种不同的染色方案？分析：线状排列是容易处理的，所以可想办法将环状排列转化为线状排列——即化难为易。
设想将A 1，A n 的邻界线用剪刀剪开，此时就可以完成转化。
如图，区域为A 1…A n 的线状排列共有涂色方案B n =m ⨯(m-1)n-1，显然此时包括A 1，A n 同色和不同色两种情况。
正方体染色问题公式
正方体染色问题公式
正方体染色问题是一个数学问题，根据正方体的不同染色方案，可以得到不同的解，其中最为经典的是用两种颜色染正方体的问题。
对于这个问题，可以通过下列公式来计算方案数：当正方体的六个面分别用两种颜色染色时，共有 2^6 种不同的染色方案。
但是由于正方体的旋转对称性，其中有一些方案是等效的，需要除去。
对于不同的旋转对称性，可以分别计算其对应的等效方案数。
最终的方案数可以通过下列公式得到：
方案数= (2^6 + 3×2^3 + 8×2^2 + 6×2) / 24
其中，2^6 代表没有旋转对称性的方案数；3×2^3 代表可以绕着面对角线旋转一次的方案数；8×2^2 代表可以绕着棱线旋转一次的方案数；6×2 代表可以绕着立方体对角线旋转一次的方案数；除以 24 是因为正方体具有 24 个旋转对称性，需要对这些等效方案进行除去。
因此，正方体染色问题的方案数为 57 种。
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对数学竞赛中染色问题的研究
对数学竞赛中染色问题的研究
在数学竞赛中，染色问题是出现次数相对较多且问题难度较大的一类数学问题。
染色问题是一种有趣而又简单而注重实践的研究内容。
染色问题是指假设存在一个有限图，它每条边之间相邻的任意两个点，其公共边的颜色不能相同，即在该图的所有边上使用最少的颜色数量使得所有的顶点公共边上的颜色不同。
由于染色问题的解决方法非常多，高校和高等教育机构会进行深入的研究，探
索出最优解决方案。
一般来说，可以采用网络流法、迭代法、贪心法等方法，求出最优解。
网络流法是一种求解的思路，它利用有向图计算网络流的最大值，然后通过两个阶段的计算求得条件最优解。
其次，迭代法利用迭代的方法求得一种最优解。
此外，贪心法利用贪心算法的思想，在当前情况下，选择代价最低的解决方法。
在最近几年，染色问题研究在高校和高等教育中受到了越来越多的关注，其重
要性和应用价值也不断改变着数学竞赛。
针对不同的图模型结构，学者们采用不同的算法，进行了多项深入的研究，给出相应的结论和证明，追求最终的最优解。
总的来说，染色问题是一个有趣而复杂的研究领域，它融合了数学竞赛中几个
基本解决问题的方法，解决该问题能够极大帮助我们解决实际难题，为更多数学竞赛提供更多可能性，更加深入地理解数学本质，同时提高我们在高校和高等教育机构中的学习成果。
文档：计数原理在四色问题中简单应用的探讨
计数原理在四色问题中简单应用的探讨计数原理和染色问题均是高考中常考内容，且与染色问题有关的试题内容新颖有趣，数学思想丰富，解题技巧灵活多变，故这类问题有利于培养学生的创新思维能力，有利于培养分析和解决问题的能力。
常见的解题原则有（1）．根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法；（2）．特殊位置或特殊元素优先考虑原则；（3）．分步处理过程中出现矛盾或问题则分类讨论原则；以下针对染色问题的特征分几类情形进行探讨和归纳。
（一）平面直线型染色问题【例1】如图，用4种不同的颜色给图中所给出的四个区域涂色，每个区域涂一种颜色，若要求相邻（有公共边）的区域不同色，那么共有多少种不同的涂色方法？A B C D解：根据分步计数原理，按A B C D →→→的顺序染色，故N=4X3X3X3=108（种） 说明：本题也可以对C 与A 同色与否，B 与D 同色与否进行讨论解决，但计算过程复杂，解题不简洁，利用分别计数原理简洁。
（二）平面环形染色问题【例2】将例1中四个区域的位置做出如下调整,如下图，相邻区域不同色，问共有多少种不同的染色方法？解：根据分步计数原理，按A B C D →→→的顺序进行染色，由于C 区域是特殊位置，应进行讨论：(1)当C 与A 同色时，则=4x3x1x3=36;(2)当C 与A 不同色时，则=4x3x2x2=48;所以N=12N N +=36+48=84（种）.【变式1】如下图，将一个圆分成4个扇形，每个扇形用4中不同颜色染色，要求相邻区域不同色，问共有多少种不同的染色方法？解：本变式题本质与例2完全相同，故N=84（种）。
【变式2】如下图，将一个圆形分成n 个扇形（），每个扇形用4种不同颜色之一染色，要求相邻区域不同色，问共有多少种不同的染色方法？解：圆被分成n 个扇形时：（1）当n=2时，12,A A 有2412A =种，即212;a =（2）当时，如图知，与不同色，与 不同色，，与不同色，先将n 个区域看作直线型染色问题，则共有143n -⨯种染色方法， 但由于与邻，所以应排除与同色的情形；而与同色时，可把、 合并看成一个扇形，与前个扇形加在一起为个扇形，此时有种染色法，故有如下递推关系：1143n n n a a --=⨯-1211243(43)43n n n n n n a a a -----∴=-+⨯=--+⨯+⨯21321234343434343n n n n n n n a a -------=-⨯+⨯=-+⨯-⨯+⨯124[33(1)3](1)33n n n n n --==⨯-++-⨯=-⨯+说明：有了以上通项公式，可以解决所有扇形染色问题。
与染色有关的计数问题
与染色有关的计数问题一、对区域染色问题——合并单元格法1、（2003·全国）如图1，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种（以数字作答）．2、（2003·天津）将3种作物种植在如图2的5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植方法共有 种（以数字作答）．3、如图3，一个正六边形的6个区域A 、B 、C 、D 、E 、F ，现给这6个区域着色，要求同一区域染同一种颜色，相邻的两个区域不得使用同一颜色，现有4种不同的颜色可供选择，则有多少种不同的着色方法？比较：如图4，某伞厂生产的“太阳”牌太阳伞的伞蓬是由太阳光的七种颜色分别涂在伞蓬的八个区域内，且恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同的颜色图案的此类太阳伞至多是（ ）A 、40320种B 、5040种C 、20160种D 、2520种4、（2003·江苏）某城市中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图5），现要栽种4种颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同一样颜色的花，不同的栽种方法有 种（以数字作答）．5、用红、黄、蓝、白、黑5种颜色涂在“田”字形的4个小方格内，每格涂一种颜色，相邻的两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法．二、对点染色问题图1图2图3图4图5图66、（2005·江苏）四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为 （ ）（A ）96 （B ）48 （C ）24 （D ）07、将一个四棱锥S —ABCD 的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是多少？变式：（1）用5种颜色给图7中的5个车站的候车牌（A 、B 、C 、D 、E ）染色，要求相邻两个车站间的候车牌的颜色不同，有多少种不同的染色方案？（2）如图8，为一张有5个行政区划分的地图．今有5种颜色可用来给地图着色，要求相邻的区域要不同色（B 与E 、C 与D 不是相邻区域），共有多少种方案？三、对线段染色问题8、用六种颜色给正四面体A —BCD 的每条棱染色，要求每条棱只染一种颜色且共顶点的棱染不同的颜色，问有多少种不同的染色方法．四、对面染色问题9、从给定的6种不同颜色中选用若干种颜色，将一个正方体的6个面染色，每两个具有公共棱的面染成不同的颜色，则不同的染色方案共有多少种？（注：如果我们对两个相同的正方体染色后，可以通过适当翻转，使得两个正方体的上、下、左、右、前、后6个面对应面的染色都相同，那么，我们就说这两个正方体的染色方案相同）．（1996年全国高中数学联赛）图7图8与染色有关的计数问题答案1、解：本题中 可合并成一个单元格，分类如下： 着四色：；着三色：；共有72种．1424C A 34A 2、解：（种植问题可看成着色问题）可合并成一个单元格，共有7种不同搭配，∴共有．3377642A =⨯=3、解：按相间区域A 、C 、E 染色情况分类如下：（1）染同一色：4×3×3×3=108种；（2）染两种不同颜色：种；()2234322432C A ⨯⨯⨯=（3）染三种不同颜色：种，共有108+432+192=732种．34222192A ⨯⨯⨯=比较：，选D ，1676125202C A =区别：图3中的各区域均有编号，视为不同的区域，而图4中的6个空白区域视为相同的元素．4、颜色相同的部分可能有 ，不可能出现三部分同色，不同的搭配情形有5种，∴共有种．445120A ⨯=另解：等价转化：分步：先涂1区，有4种涂法，再用剩余3种颜色涂右图2中的其它5个区域，此时需分两类情况：（1）6，3涂同一色：再涂2区，最后涂4，5区，共有种；223212A ⨯⨯=（2）6，3涂不同色：再涂2区，最后涂4，5区，共有种；()2312118A ⨯⨯+=由分步计数原理：共有4×（12+18）=120种．5、解：涂2色：；涂3色：；涂4色：，∴共有2520A =1325120C A =45120A =种．20120120260++=6、解：如图：4个仓库放8种产品安全存放有“18，25，36，47”，“17，28，46，35”两种可能，∴共有种．44248A =7、解：涂3色：；涂4色：；3560A =1425240C A =涂5色：，∴共有种．（与第5题解法类似）55120A =60240120420++=8、解：依题意：正四面体的对棱可染同一色或不同色．2,43,51,31,41,52,42,53,51,3,56,36,45,25,34,2145623图154326图2①②③④⑤⑥⑦⑧涂3色：；涂4色：；涂5色：；涂6色：，∴共有4080种．36A 2436C A 1536C A 66A 9、根据共用了多少种不同的颜色分类如下：（1）共用6种颜色：确定某色（如红色）所染面为下底，则上底颜色可有5种选择，在上、下底已染好后，再确定其余4种颜色中的某一种所染面为左侧面，则其余三个面有3！种染色方案，由乘法原理n 1= 5×3!=30；（2）共用5种颜色：选定5种颜色：，必有两相对面为同色，确定为上、下底面，其颜色可56C 有5种选择，再确定一种颜色为左侧面，此时的方法数取决于右侧面的颜色，有3种选择（前后面可通过翻转交换），∴n 2= ×5×3= 90；56C （3）共用4种颜色：仿上分析可得，；4236490n C C ==（4）共用3种颜色：；34620n C ==∴共有种．30909020230n =+++=豆丁网（DocIn ）是全球优秀的C2C 文档销售与分享社区。
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染色问题的计数方法河北张家口市第三中学王潇与染色问题有关的试题新颖有趣,其中包含着丰富的数学思想,染色问题,解题方法技巧性强且灵活多变,故这类问题有利于培养学生的创新思维能力,分析问题与观察问题的能力,有利于开发学生的智力。
一、区域染色问题1.根据乘法原理，对各个区域分步染色，这是处理这类问题的基本的方法。
例1要用四种颜色给四川、青藏、西藏、云南四省（区）的地图染色（图1）每一省（区）一种颜色，只要求相邻的省（区）不同色，则不同染色的方法有多少种？分析先给西藏青海云南四川四川染色有4种方法，再给青海染色有3种方法，接着给西藏染色有2种方法，最后给云南染色有2种方法，根据乘法原理，不同的染色方法共有4×3×2×2＝48种2.根据共用了多少种颜色分类讨论，分别计算出各种情形的种数，再用加法原理求出不同年拾方法种数。
例2 （2003年全国高考题）如图2，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有多少种？分析 依题意至少要12345图2选用3种颜色。
（1） 当选用三种颜色时，区域2与4必须同色，区域3与5必须同色，有34A 种。
（2） 当用四种颜色时，若区域2与4同色，则区域3与5不同色，有44A 种；若区域3与5同色，则区域2与4不同色，有44A 种，故用四种颜色时共有244A 种。
由加法原理可知满足题意的着色方法共有34A ＋244A ＝24＋2×24＝72种。
3 根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用加法原理求出不同染色方法数。
例3 用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在“田”字形的四个小方格内（图3），每格涂一种颜色，相邻的两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？1234图3（1）四格涂不同的颜色，方法数为45A ；（2）有且仅有两格涂相同的颜色，即只有一组对角小方格涂相同颜色，涂法种数为21245C A ； （3）两组对角小方格涂相同颜色，涂法种数为25A 。
因此，所求的涂法种数为45A ＋21245C A ＋25A ＝260种3. 根据相间区域使用颜色的种类分类讨论例4 如图4，一个六边形的6个区域A 、B 、C 、D 、E 、F ，现给这6个区域着色，要求同一区域染同一种颜色，相邻的两个区域不得使用A BCD E F 图4同一颜色，现有 4种不同的颜色可供选择，则有多少种不同的着色方法。
解： （1）当相间区域A 、C 、E 着同一种颜色时，有4种着色方法，此时，B 、D 、F 各有3种着色方法故有4×3×3×3＝108种方法（2）当相间区域A 、C 、E 着两种不同颜色时，有2243C A 种着色方法，此时B 、D 、F 有3×2×2种着色方法，故共有2243C A ×3×2×2＝432种着色方法。
（4） 当相间区域A 、C 、E 着三种不同颜色时，有34A 种着色方法，此时B 、D 、F 各有2种着色方法，此时共有34A ×2×2×2＝192种方法。
故总计有108＋432＋192＝732种方法二 点染色问题点染色问题，要注意对各点依次染色，主要方法有:（1）根据共用了多少种颜色分类讨论；（2）根据相对顶点是否同色分类讨论。
例5 将一个四棱锥S －ABCD 的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是多少？解法1 满足题设条件的染色至少要用三种颜色（1） 若恰用三种颜色，可先从五种颜色中任选一种染顶点S ，再从余下的四种颜色中任选两种染A 、B 、C 、D 四点，，此时只能A 与C ，B 与D 分别同色，故有1245C A ＝60种方法。
（2） 若恰用四种颜色，可先从五种颜色中任选一种染顶点S ，再从余下的四种颜色中任选两种染A 与B ，由于A 、B 颜色可以交换，故有24A 种染法；再从余下的两种颜色种任选一种染D 或C ，而D 与C 中另一个只需染与其相对顶点同色即可，故有11124522C C C A ＝240中方法。
（3） 若恰用五种颜色，有55A ＝120种染法。
综上，满足题意的染色方法数为60＋240＋120＝420种。
解法2 设想染色按S －A －B －C－D 的顺序进行，对S 、A 、B 染色，有5×4×3＝60种染色方法。
由于C 点的颜色可能与A 同色或不同色，这影响到D 点颜色的选取方法数，故分类讨论：C 与A 同色时（此时C 对颜色的选取方法唯一），D 与A 、C 、S 不同色，有3种选择；C 与A 不同色时，C 有2种选择的颜色，D 有2种颜色可供选择，从而对C 、D 染色有1×3＋2×2＝7种染色方法。
由乘法原理，总的染色方法数是60×7＝420种评注 图中的连接状况是本质条件，而是否空间图形则无关紧要，试看下面的两个问题，尽管与例5表述方式不同，但具有相同的数学模型，所以都可以转化为例5来解决。
您不妨一试。
（1） 用五种颜色给图中的5个车站的候车牌A 、B 、C 、D 、E 染色，要求相邻两个车站间的候车牌的颜色不同，有多少种不同的染色方法（图6）（2） 如图7所示为一张有5个行政区划的地图，今要用5种颜色给地图着色，要求相邻的区域不同色，共有多少种方案？三、线段染色问题，要注意对各条线段依次讨论，主要方法有：（1） 根据共用了多少种颜色分类讨论；（2） 根据相对的线段是否同色分类讨论。
例6 用红、黄、蓝、白、四种颜色染矩形ABCD 的四条边，每条边只染一种颜色，且使相邻两边染不同的颜色，如果颜色可能反复使用，共有多少种不同的染色方法（图8） 解法1 （1）使用四种颜色有44A 种； （2）使用三种颜色染色，则必须将一组对边染成同色，故有112342C C A 种； （3） 使用两种颜色时，则两组对边必须分别同色，有24A 种。
因此，所求的染色方法数为44A ＋112342C C A ＋24A ＝84种 解法2 染色按AB-BC-CD-DA 的顺序进行，对AB 、BC 染色有4×3＝12种染色方法。
由于CD 的颜色可能与AB 同色或不同色，这影响到DA 颜色的选取方法数，故分类讨论：当CD 与AB 同色时，这时CD 对颜色的选取方法唯一，则DA 有3种颜色可供选择；当CD 与AB 不同色时，CD 有2种可供选择的颜色，DA 有2种可供选择的颜色，从而对CD 、DA 染色有1×3＋2×2＝7种染色方法。
由乘法原理，总的染色方法数为12×7＝84种。
利用相同的方法可解决例7例7 中央电视台“正大综艺”节目的现场观众来自4个单位，分别在图9中4个区域内坐定。
有4种不同的颜色服装，每个区域的观众必须穿同种颜色的服装，且相邻两个区域的颜色不同，不相邻区域颜色相同与否不受限制，那么不同的着色方法共有多少种？ 例8 用六种颜色给正四面体A －BCD 的每条棱染色，要求每条棱只能染一种颜色且共顶点的棱染不同的颜色，问有多少种不同的染色方法（图10）分析 正四面体有三组对棱AB 与CD 、AC 与BD 、AD 与BC 。
满足题设条件的染色至少要用三种颜色。
解 （1）若恰用三种颜色染色，则每组对棱必须染同一颜色，而这三组间的颜色不同，故有36A 种方法。
（2） 若恰用四种颜色染色，则三组对棱中有两组对棱的组内对棱同色，但组与组之间不同色，故有4236A C 种方法。
（3）若恰用五种颜色染色，则三组对棱中有一组对棱染同一种颜色，故有5136A C 种方法。
（4） 若恰用六种颜色染色，则有66A 种不同的方法。
综上，满足题意的总的染色方法数为36A ＋5136A C ＋66A ＝4080种BC四面染色问题例9 （1996年全国高中数学联赛题）从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色，将一个正方体的6个面染色，每两个具有公共棱的面染成不同的颜色，则不同的染色方案共有多少种？（注：如果我们对两个相同的正方体染色后，可以通过适当翻转，使得两个正方体的上、下、左、右、前、后6个面对应面的染色都相同，那么，我们就说这两个正方体的染色方案相同）分析显然，至少需要三种颜色，由于有多种不同情况，仍应考虑利用加法原理分类、乘法原理分步进行讨论。
解根据共用了多少种不同的颜色分类讨论。
（1）用了六种颜色，确定某种颜色（例如红色）所染面为下底（根据题注，对此处的两种不同染色方案，这里的“第一面”总是相同的），则上底颜色可有5种选择，在上、下底已染好后，再确定其余4种颜色中的某一种所染面为左侧面，则其余3个面有3！种染色方案，根据乘法原理n1＝5×3！＝30种（2）用了五种颜色，选定五种颜色有5C＝6种方法，必有6两面同色（必为相对面），确定为上、下底面，其颜色可有5种选择，再确定一种颜色为左侧面，此时的方法数取决于右侧面的颜色，有3种选择（前后面可通过翻转交换）n2＝5C×65×3＝90（3）用了四种颜色，仿上分析可得n3＝42C C＝9064（4）用了三种颜色，n4＝3C＝206故总的染色方案有n＝n1＋n2＋n3＋n4＝230种。