现代控制理论基础考试题B卷及答案

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分）一．（本题满分10请写出如图所示电路当开关闭合后系统的状态方程和输出方程。其中状L态变量的设置如图所示，系统的输出变量为流经电感的电流强度。2

【解答】根据基尔霍夫定律得：uLx?Rx?x??3111

?x?Lx?Rx?3222

?xx?Cx??213

1R1?ux?x??x??

311LLL

?1111R?x??x?x?232x?y，输出方程为改写为LL

?222?11x?x?x? 123CC?

写成矩阵形式为

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?R1??1??0?????LL?????11Lxx??????111

?1R??????u?x?0?x0?????????22LL

?????22????0xx???????33??11

???0?????

?CC???x???1?????x1y?00???2???x???3

10分）二．（本题满分单输入单输出离散时间系统的差分方程

为)k2r(r?3y(k)?(k?1)??y(k2)?5y(k?1)

回答下列问题：）求系统的脉冲传递函数；（1 ）分析系统的稳定性；

（2)y?(kx(k))r(kx(k)?x(k?1)?，，（3）取状态变量为求系统的状态空间表达式；112（4）分析系统的状态能观性。【解答】z变换有：1（）在零初始条件下进行????2 )z?2)?zRz(?5z?3zY(2?(Yz)z?系统的脉冲传递函数：

23R(z)z?5z?（2）系统的特征方程为20?5?z?3zD(z)?

1z?0.7?z?4.3??z，，所以离散系统不稳定。，特征根为211)(k1)?rx)?y(k)x(k)?(k?(xk 3）由，，可以得到（1211)(k??(k?1)y(k?2)?r?kx(?1)?x(k2)?r12由已知

得)?1)?3x(kk(?2rk)?5x()k3?1)?y(k?r??(yk?2)r(k1)?2(k)5y(11??)x(k?5)x(k?r(k)3?)2?r(k)(x ?5(k)?3rkk3??x()2112于是有：)k3(?(?1)?3xk)5xk)?r(?(xk221又因为)?k(??(xk1)x)r(k21所以状态空间表达式为更多精品文档．

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?x(k?1)x(k)101????????11??r(k)?????????x?3?3?5(x(k)k?1)?????????22

?x(k)?????101y(k)????x(k)???2（4）系统矩阵为0101??????????，输出矩阵为0c?110?0G?cG?1，?????3?5?3?5????c10????能观性矩阵为，，系统完全能观。2Q?rank??Q????oo cG01????

三．（本题满分10分）

回答下列问题：

（1）简述线性系统的对偶原理；

（2）简述线性定常系统的状态稳定性与输出稳定性的相互关系；

r?2rr阶线性解耦系统等效于多少个独立的单输入单输出系统？输出（3）输入【解答】

（1）若线性系统1与线性系统2互为对偶，则系统1的能控性等价于系统2的能观性，系统1的能观性等价于系统2的能控性。

（2）若线性定常系统的状态稳定，则输出必稳定，反之，若线性定常系统的输出稳定，则状态未必稳定。当且仅当线性定常系统的传递函数没有零极点对消现象时，其状态稳定性和输出稳定性才是等价的。

r?2rrr个独立的单输入单输出系统。输入）输出阶线性解耦系统等效于（3 四．（本题满分10分）

x?x?x cos x?2211?，判

断该系统在坐标2阶非线性系统，其状态方程为设有一个x?x?22

原点处的稳定性，并证明你的判断。

【解】此系统在坐标原点处不稳定。

【证明】

22?x?xV(x)，显然是正定函数，此外，沿着状态轨线的导数为：取李雅普诺夫函数21??222x2x cos x?2x??2x?2xxxxx?cos?xV(x)?2x?2xx2 21212212222111

11????22222222x2x?x coscos xx?2x?x cos?x?x?2xx2x?x cos x???2222211222122142??更多精品文档．

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211????22xx2?cos2x?x cos x??????2222122????显然是正定的，所以该系统在坐标原点处不稳定。

10分）五．（本题满分设某控制系统的模拟结构图如下，

试判断系统的能控性、能观性和稳定性。【解答】根据模拟结构图可得状态空间表达式u3x???2x?x?211

?u?x??x?12

xy?1写成矩阵形式为

?xx13?2????????11?u?

?????????xx10??1?????????22

? x?????10y?1???x???2123????????bA?0?1c????，，。110??????系统的特

征方程为?3??2??2???0?3?det??IA?2??1显然系统渐近稳定。更多精品文档．

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1?5?????AbbQ?Q??满秩，所以系统状态，显然，系统的能控性矩阵为cc?1?1??完全能控。

c10????Q??Q????，显然，系统的能观性矩阵为满秩，所以系统状态完全能

观。oo cA?23????

六．（本题满分10分）

某系统的状态空间表达式为

001????x?x?u????1?60

????

??x0y?1?10。设计一个全维状态观测器，使观测器的两个极点均为【解答】设全维观测器方程为

??ll010????????????11x?u?yx??01??????????

ll60?1????????????22?l0l1??????

11x?x?u?y??????

1?6?ll0??????22

观测器特征多项式为