高考数学专题复习5 点列、递归数列和数学归纳法

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高考数学专题复习5 点列、递归数列和数学归纳法

★★★高考在考什么

【考题回放】

1．已知数列{ a n }的前n 项和为S n ，且S n =2(a n -1)，则a 2等于( A ) A. 4 B. 2 C. 1 D. -2

2．在数列{}n a 中，121,2a a ==，且21(1)n n n a a +-=+-*()n N ∈，则10S = 35 ． 3．在数列｛a n ｝中，若a 1=1,a n +1=2a n +3 (n ≥1),则该数列的通项a n =__2 n+1

-3___. 4．对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列}1

{

+n a n

的前n 项和的公式是 2n+1-2 .

5．已知n 次式项式n n n n n a x a x a x a x P ++++=--1110)( .

若在一种算法中，计算),,4,3,2(0n k x k

=的值需要k －1次乘法，计算P 3（x 0）的值共需要9次运算

（6次乘法，3次加法），则计算P 10（x 0）的值共需要 65 次运算.

下面给出一种减少运算次数的算法：P 0（x ）=a 0，P k +1（x ）=x P k （x ）+a k +1（k =0，1，2，…，n －1）.利用该算法，计算P 3（x 0）的值共需要6次运算，计算P n （x 0）的值共需要 2n 次运算.

6．已知函数f (x )=3

2

x x +，数列｜x n ｜(x n ＞0)的第一项x n ＝1，以后各项按如下方式取定：曲线x =f (x)在))(,(11++n n x f x 处的切线与

经过（0，0）和（x n ,f (x n )）两点的直线平行（如图）.

求证：当n *

N ∈时，

(Ⅰ) x ;2312

12+++=+n n n n x x x

（Ⅱ）21

)2

1

()

2

1

(--≤≤n n n x .

【专家解答】(I ) 证明：因为'

2

()32,f x x x =+

所以曲线()y f x =在11(,())n n x f x ++处的切线斜率12

1132.n n n k x x +++=+

即(0,0)和(,())n n x f x 两点的直线斜率是2

,n n x x + 以221132n

n n n x x x x +++=+. （II ）因为函数2

()h x x x =+，当0x >时单调递增，

而221132n n n n x x x x +++=+21142n n x x ++≤+211(2)2n n x x ++=+，

所以12n n x x +≤，即

11,2

n n

x x +≥

因此11

2

12

11

().2n n

n n n n x x x x x x x ----=

⋅

⋅⋅⋅⋅⋅

≥ 又因为12

2

12(),n n n n x x x x +++≥+ 令2

,n n n y x x =+ 则

11.2n n

y y +≤

因为2

1112,y x x =+= 所以12111()().22

n n n y y --≤⋅=

因此2

2

1

(),2

n n n n x x x -≤+≤ 故1211

()().22

n n n x --≤≤

★★★高考要考什么

【考点透视】

本专题是等差（比）数列知识的综合应用，同时加强数学思想方法的应用，是历年的重点内容之一，近几年考查的力度有所增加，体现高考是以能力立意命题的原则．

【热点透析】

高考中常常把数列、极限与函数、方程、不等式、解析几何等等相关内容综合在 一起，再加以导数和向量等新增内容，使数列综合题新意层出不穷．常见题型：

（1）由递推公式给出数列，与其他知识交汇，考查运用递推公式进行恒等变形、

推理与综合能力．

（2）给出S n 与a n 的关系，求通项等，考查等价转化的数学思想与解决问题能力．

（3）以函数、解析几何的知识为载体，或定义新数列，考查在新情境下知识的迁移能力． 理科生需要注意数学归纳法在数列综合题中的应用，注意不等式型的递推数列．

★★★突破重难点

【范例1】已知数列{}n a 中，对一切自然数n ，都有()10,a n ∈且

0212

1=-+⋅++n n n n a a a a ．

求证：(1)n n a a 2

11<+； (2)若n S 表示数列{}n a 的前n 项之和，则12a S n <．

解析： (1)由已知0212

1=-+⋅++n n n n a a a a 得2

1

112++-=n n n a a a ， 又因为()10,a n ∈，所以1102

1<-<+n a , 因此12+>n n a a ，即n

n a a 211<

+． (2) 由结论(1)可知 11221212121a a a a n n n n ---<<<< ，即112

1

a a n n -<，

于是2

1211111111211211

222n n n S a a a a a a a a ---⎛⎫ ⎪=+++<+++=⋅< ⎪ ⎪

⎝⎭

， 即12a S n <．

【点睛】从题目的结构可以看出，条件02121=-+⋅++n n n n a a a a 是解决问题的关键，必须从中找出

1+n a 和n a 的关系．

【文】).1(0521681}{111≥=++-=++n a a a a a a n n n n n 且满足记).1(2

11≥-

=n a b n n

（Ⅰ）求b 1、b 2、b 3、b 4的值；

（Ⅱ）求数列}{n b 的通项公式及数列}{n n b a 的前n 项和.n S 解析（I ）,052168,2

1

12

1111=++-+=

-

=

++n n n n n n n n a a a a b a a b 代入递推关系得 整理得

,3

4

2,0364111-==+-+++n n n n n n b b b b b b 即 .320

,4,38,2,143211=====b b b b a 所以有由

（Ⅱ）由,03

2

34),34(234,342111≠=--=--=++b b b b b n n n n

所以故的等比数列公比是首项为,2,3

2

}34{=-q b n