第七章抗干扰信道编码

第七章抗干扰信道编码
7.4设有一离散信道，其信道矩阵为：
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢
⎢⎢⎣⎡=214
14
14121414141
21][P (1) 当信源X 的概率分布为р(α1)＝2/3，р(α2)＝р(α3)＝1/6时，按最大后验概率准则选择译
码函数，并计算其平均错误译码概率P emin ．
(2) 当信源是等概信源时，按最大似然译码准则选择译码函数，并计算其平均错误译码概率
P emin ． 解：
2
1
)()()()(1)(F )(F )(F )2(3
1)()(1)(F )(F )(F .7
2)()()()( ,71)()()()( ,74
)
()
()()(;71)()()()( ,72)()()()( ,74
)
()()()(;10
1)()()()( ,101)()()()( ,54
)()
()()(;
247
)()()( ,247)()()( ,125)()()()1(3
1*
*3
1
*
**
*min 3
322113
1
*min 1312113333333232323131312323232222222121211313131212121111113
1
3331223
111=
=-==∴====
-====∴======
============∴======∑∑∑∑∑∑∑=≠=====j i i j i j j e e j j j e i i i i i i i i i a b p a p a b p a p p p a b a b a b b a p b p P a b a b a b b p a b P a P b a P b p a b P a P b a P b p a b P a P b a P b p a b P a P b a P b p a b P a P b a P b p a b P a P b a P b p a b P a P b a P b p a b P a P b a P b p a b P a P b a P a b P a P b p a b P a P b p a b P a P b p 由于信源等概分布则为：由信道矩阵，取译码规取解码规则为：计算后验概率，有：
7.5某信道的输入符号集X ：{0，1/2，1}，输出符号集Y ：{0，1}，信道矩阵为：
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎣⎡=102121011210][P 现有四个消息的信源通过这信道，设信息等概出现。

若对信源进行编码，我们选这样一种码：
C:{(x 1,x 2,1/2,1/2)}，x i =0,1(i=1,2)
其码长n=4，并选取这样的译码原则：ƒ(y 1,y 2,y 3,y 4)=(y 1,y 2,1/2,1/2) (1) 这样的编码后信息传输效率等于多少？
(2) 证明在选用的编码规则下，对所有码字有P e ＝0。

解：。

＝对所以的码字在这样的译码原则下，证明：
信道输入等概出现00
)11)(1()11)(0( )2(bit/symble 5.04
4
log log )1(e j i 2
1
j j j 2
1
j R j j 21
j e j j e P })/b a )F(b P{X -)(1P(b )P -)(1P(b )P P(b P ∴=-+-=========∑∑∑===P P N M R
7.6考虑一个码长为4的二进制码，其码字为w 1=0000；w 2=0011；w 3=1100；w 4=1111。

若码
字送入一个二进制对称信道（其单符号的误传概率为p ，p<0.01），而码字的输入是不等概率的，其概率为：p(w 1)=1/2，p(w 2)=1/8，p(w 3)=1/8，p(w 4)=1/4 试找出一种译码规则使平均错误概率P emin =P e 。

解：由于信道为二进制对称信道，所以先验概率等于后验概率，且p<0.01，故可以根据信
4
2
23443343222233222234334P P P P P P 4
1
P P 41P P 41P 81P P 41P P 21P P 21P P 21
P P 41P P 21P P 21P P 21P 81P P 21P P 21P 21231 )
(1 )
()(1*16
1
min ---=+++++++++++++++-=-==∴∑=j j j e e b a P b P P P
7.7设一离散无记忆信道，其信道矩阵为：
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡210
2
12121000021210000212100002121
(1) 计算信道容量C ；
(2) 找出一个长度为二的码，其信息传输率为0.5log5（即五个字符），如果按最大似然译码
准则设计译码器，求译码器输出端平均错误译码的概率P e （输入字符等概）；
(3) 有无可能存在一个长度为2的码而使每个码字的平均误译概率P e (i)＝0（i=1,2,3,4,5），也
即使平均错译概率P e ＝0？如存在的话请找出来。

解：
symble
bit C i a b p a b p a b p s r j j i j i j j j i j j
/322.125log 2log 11
1112
2222)5,4,3,2,1()/(log )/()/(]P [5)1(5
154
321515
44332215
1
5
1
===⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-=-=-=-=⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=+-=+-=+-=+-=+==∴==∑∑∑===βββββββββββββββββ得
由为非奇异矩阵
，且
)
3()2( 7.8设有二个等概信息A 和B ，对它们进行信道编码，分别以w 1=000，w 2=111表示。

若二进制对称信道的正确传递概率p`>>错误传递概率p 。

试选择译码函数，并使平均错误概率P e =P emin ，写出P emin 的表达式。

解：
000 001 010 100 011 101 110 111
[]⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=32222223
32222223
P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P 111000P 因为正确传递概率p`>>错误传递概率p ，所以选择译码函数如下：
F(000)=F(010)=F(100) =F(001)=000
F(111)=F(011)=F(101) =F(110)=F(111)=111
3232P P P P P P +=+===∑∑=≠3)26(21
)()(8
1*
min j i i j i e e w b P w P P P
7.9设离散无记忆信道的输入符号集X ：{0，1}，输出符号集Y ：{0，1，2}，信道矩阵为：
[]⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=412
14
14141
21
10 2 1 0 P 若某信源输出两个等概消息s 1和s 2，现在用信道输入符号集中的符号对s 1和s 2进行信道编码，以w 1=00代表s 1，w 2=11代表s 2。

试写出能使平均错误译码概率P e =P emin 的译码规则，并计算P emin 。

解：
32
11
)()( 11)22()21()12()11( 00)20()10()02()01()00(161811618141811618116116116181161161818181411100][ 22 21 20 12 11 10 02 01 00 9
1**min =
==∴=========∴⎥⎥
⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎣
⎡=∑∑=≠j r i j i e e w b P w P P P F F F F F F F F F P 又输入等概取译码规则由题意可得转移矩阵：
7.10设某信道的信道矩阵为：
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=4.03.03.05.03.02.02.03.05.0][P
其输入符号等概分布，在最大似然译码准则下，有三种不同的译码规则，试求之，并计算出
它们对应的平均错误概率。

解：输入符号等概分布，在最大似然译码准则下，有三种不同的译码规则: (1) F(b 1)=α1，F(b 2)=α1，F(b 3)=α2 (2) F(b 1)=α1，F(b 2)=α2，F(b 3)=α2
(3) F(b 1)=α1，F(b 2)=α3，F(b 3)=α2
5667
.0)()()
()()(3
1**3min 2min 1min min 322212======∴==∑∑=≠j i i j i e e e e e a b P a P P P P P P a b P a b P a b P。