成教高数课件 (17)[40页]

x [a,b], U
b a
f
(
x)d
x
.
这就是定积分的元素法。
一般，实际问题中的所求量须满足：
（1）U与变量 x 的变化范围[a, b]有关的量； （2）U 对于[a, b]具有可加性； （3）部分量△U 的近似值可表示为 f ( x)x .
6
§2 . 定积分在几何学上的 应用
7
一、平面图形的面积
a 2a
x
1 2
2
(2a
cos
)
2
d
2
4a 2
2 0
cos 2
d
4a 2 1
22
a2.
18
课外习题（书）
习题 6 — 2（P. 279） 1（3，4），2（3，4）3，4 5（3），6，8（1） 9，10 练习： 找一个可表示成定积分的例子，
并用元素法进行分析。
19
二、 体 积
1. 旋转体的体积 旋转体： 由一平面图形绕这平面内的一条
y c, y d 围成。
取 [ y, y dy] [c, d]，小矩形的底长 d y，
y
d
y.
x y
高为 ( y) ( y)， x ( y) d A [ ( y) ( y)] d y
c
即此时取 y 为积分变量
o
x A
d
[ ( y) ( y)]d y
c
一般：
A
d
( y) ( y) d y
2
y2,
x2
arctan y2 2ax
y x
.
r
( x a)2 y2 a 2, 为圆心在(a, 0),半径为a 的圆
y
2a cos 同 2a sin y 2a
o a. 2a x 理
.a
o
x
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求由 2a cos 所围图形的面积。
解：y
o
2a cos
A
1 2
2 (
)d
第七节 定积分在几何中的应用
1
§1 ： 定积分的元素法 §2 ： 定积分在几何学上的应用 §3 ： 定积分在物理学上的应用 主要内容：
✓ 平面图形的面积 ✓ 旋转体的体积
平行截面面积为已知的立体体积 平面曲线的弧长 ✓功 水压力 引力
2
§1 . 定积分的元素法
3
回顾求曲边梯形面积的步骤：
y = f (x) ≥0 ，在[ a , b ]上连续。
c
12
求平面图形面积的步骤:
1 作图，求出曲线的交点
2 选择积分变量，写出面积元素 3 作定积分，并计算
13
例1： 求由 y x, y x2 所围图形的面积。
解：
联立
y y
x x2
，
1
y y x
交点 (0, 0), (1, 1)， y . . y x2
1 以 x 为积分变量
o x1
(1) 分割：得小曲边梯形的面积 Ai
(2) 近似：Ai f (i )xi (i =1 , 2 ,…, n)
( Ai 与 f (i ) xi 仅差高阶无穷小）
n
(3) 求和： A f (i )xi
i1 n
b
(4)
求极限：A
lim
0
i1
f
(i
) xi
f ( x)d x
a
为简便起见，省去下标。
4
用 A 表示任一小区间 [ x, x dx] [a,b]
上的小曲边梯形面积，则小区间长为 d x ，
把 取为左端点 x, 则 A f ( x)d x，
且 f ( x)dx A o(dx) (dx 0)
称 f ( x) d x 为所求量 A 的元素，记作 d A ,
y
y = f (x)
x
d A ( x x2 ) d x, A
1
(
0
x
x2
)d
x
1 6
.
2 以 y 为积分变量
dA (
1
y y)dy , A 0(
y
y)d
y
1 6
.
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2、参数方程情形
若曲边由参 x (t)
数方程：
y
(t
)
( t ) 给出， (t), (t) 连续，
则 A b y d x a
Hale Waihona Puke ox面积近似地由半径为 ( ), 中心角为 d 的圆扇形代替。
【S扇
1 2
R2
】即有面积元素：d
A
1 2
2 (
)d
,
A “
d A”
1 2
2( )d
.
16
例题讨论
例1：求由 2a cos 所围图形的面积。
分析：由直角坐标与极坐标的变换关系：
x
y
cos sin
,
2
2a cos 2a
x
x
oa
bx
10
(2) f ( x) 与 g( x) 相交
则
A
c a
[
g(
x)
f
( x)]d x
d
c
[
f
( x)
g( x)]d x
b d
[
g(
x)
f
( x)] d x
b
y
A a f (x) g(x) d x
y f (x)
y g(x)
oac
db x
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（三） 图形由连续曲线 x ( y), x ( y) 与
8
(2) f ( x) 在 [a, b] 上有正有负 在[a, c] 上，取 [x, x dx] [a, c],
d A1 f ( x) d x 在 [c, b] 上，取 [x, x dx] [c, b]，
y
d A2 f ( x) d x f ( x) d x
o
A
c
f (x)dx
b
f (x) dx
( ) (t) d (t) 相应 x ( ) a，
()
x ( ) b，
(t) (t) dt
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3、 极坐标情形
求由连续函数 r( ), ,
围成的图形面积。(即求曲边扇形的面积A)
A dA
d(
)
由元素法： 任取
[ , d ] [, ],
d
与 ( ) 所围曲边扇形
a
. x
c
.x
a
b x A
c
b
f (x)
dx.
y = f (x)
a
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（二） 图形由两条连续曲线 y f ( x), y g( x) 与 x a, x b 围成。
(1) f ( x) g( x)
y
y f ( x)
A
b
a
f
(
x)d
x
b
g( x)d x
a
A
y g(x)
b
A a [ f ( x) g( x)]d x
1、直角坐标情形
（一） 图形由连续曲线
y f ( x), y 0, x a, x b 所围。
(1) f ( x) 0 在任一小区间
y y = f (x)
[x, x dx] [a,b]
以直边近似代替曲边，
dA A
o
a
.. x x+dxb
x
dA f ( x)dx
b
A a f (x)dx .
即 dA f ( x) d x，又称为
面积元素，或面积微元。
dA
把 dA 在[a, b] 上无限累加，
o
a
.dx. x x+dx b
x
A “
dA ”
b
a
f (x)dx
5
只要作出一小块的面积，其无限的累加 即为所求整个曲边梯形的面积。
把面积 A 改为一般的所求量 U ，则有
dU
f ( x)dx ,