2020上海中考数学试卷(附答案)
2020年上海市数学中考试题及答案
2020年上海市数学中考试题一.选择题（共6小题）1.下列二次根式中，与。
々是同类二次根式的是（）A.雨B.«C. y[12D. KHS2.用换元法解方程哼+三=2时，若设哼=y,则原方程可化为关于y的方程是（）A . y2- 2y+1 =0 B. y2+2y+1=0 C. y2+y+2 = 0 D. y2+y- 2= 03.我们经常将调查、收集得来的数据用各类统计图进行整理与表示.下列统计图中，能凸显由数据所表现出来的部分与整体的关系的是（）A.条形图B.扇形图C.折线图D.频数分布直方图4.已知反比例函数的图象经过点（2, -4）,那么这个反比例函数的解析式是（）X X I X5.下列命题中，真命题是（）A .对角线互相垂直的梯形是等腰梯形B .对角线互相垂直的平行四边形是正方形C .对角线平分一组对角的平行四边形是菱形D.对角线平分一组对角的梯形是直角梯形6.如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形.下列图形中，平移重合图形是（）A.平行四边形B.等腰梯形C.正六边形D.圆二.填空题（共12小题）7.计算：2a?3ab =一I 2 …，…一8.已知f （x）那么f （3）的值是 .9.已知正比例函数y=kx （k是常数，kw0）的图象经过第二、四象限，那么y的值随着x的值增大而 .（填“增大”或“减小”）10.如果关于x的方程x2 - 4x+m= 0有两个相等的实数根，那么m的值是.11.如果从1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10这10个数中任意选取一个数，那么取到的数恰好是5的倍数的概率是.12.如果将抛物线y=x2向上平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是 .13.为了解某区六年级8400名学生中会游泳的学生人数，随机调查了其中400名学生，结果有150名学生会游泳，那么估计该区会游泳的六年级学生人数约为 .14.《九章算术》中记载了一种测量井深的方法.如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD,从木杆的顶端D观察井水水岸C,视线DC与井口的直径AB交于点E,如果测得AB =1.6米，BD=1米，BE=0.2米，那么井深AC为米.15.如图，AC、BD是平行四边形ABCD的对角线，设BC=a, CA = b，那么向量BD用向16.小明从家步行到学校需走的路程为1800米.图中的折线OAB反映了小明从家步行到学校所走的路程s （米）与时间t （分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行米.17.如图，在△ ABC 中，AB = 4, BC = 7, / B = 60°，点D 在边BC 上，CD = 3,联结AD .如果将△ ACD沿直线AD翻折后，点C的对应点为点E,那么点E到直线BD的距离为.18.在矩形ABCD中，AB=6, BC=8,点O在对角线AC上，圆O的半径为2,如果圆O 与矩形ABCD的各边都没有公共点，那么线段AO长的取值范围是 .三.解答题(共7小题)19.计算：27^+-^--(=)2+|3-V5|.I L0X>7K+6320.解不等式组：, iv立L丁21.如图，在直角梯形ABCD 中，AB//DC, / DAB = 90° , AB=8, CD = 5, BC=375.(1)求梯形ABCD的面积；(2)联结BD,求/ DBC的正切值.22.去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12% .(1)求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；(2)去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等.求该商店去年8、9月份营业额的月增长率. 23.已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE=DF, CE的延长线交DA的延长线于点G , CF的延长线交BA的延长线于点H .(1)求证：△ BEC^A BCH;(2)如果BE2=AB?AE,求证：AG=DF.24.在平面直角坐标系xOy中，直线y=- x+5与x轴、y轴分别交于点A、B (如图).抛物线y=ax2+bx (aw0)经过点A.(1)求线段AB的长;(2)如果抛物线y=ax2+bx经过线段AB上的另一点C,且BC=JE,求这条抛物线的表达式;(3)如果抛物线y=ax2+bx的顶点D位于4AOB内，求a的取值范围.25.如图，△ ABC中，AB=AC,。
2020年上海市中考数学试卷(WORD精校版带答案解析)
2020年上海市中考数学试卷一、选择题（共6小题）.1．（4分）下列二次根式中，与3是同类二次根式的是（）A． 6 B．9 C．12 D．182．（4分）用换元法解方程x＋1x2＋x2x＋1＝2时，若设x＋1x2＝y，则原方程可化为关于y的方程是（）A．y2－2y＋1＝0 B．y2＋2y＋1＝0 C．y2＋y＋2＝0 D．y2＋y－2＝03．（4分）我们经常将调查、收集得来的数据用各类统计图进行整理与表示．下列统计图中，能凸显由数据所表现出来的部分与整体的关系的是（）A．条形图B．扇形图C．折线图D．频数分布直方图4．（4分）已知反比例函数的图象经过点（2，－4），那么这个反比例函数的解析式是（）A．y＝2x B．y＝－2x C．y＝8x D．y＝－8x5．（4分）下列命题中，真命题是（）A．对角线互相垂直的梯形是等腰梯形B．对角线互相垂直的平行四边形是正方形C．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形D．对角线平分一组对角的梯形是直角梯形6．（4分）如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形．下列图形中，平移重合图形是A．平行四边形B．等腰梯形C．正六边形D．圆二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．（4分）计算：2a·3ab＝．8．（4分）已知f （x ）＝ 2x －1，那么f （3）的值是 ． 9．（4分）已知正比例函数y ＝kx （k 是常数，k ≠0）的图象经过第二、四象限，那么y 的值随着x 的值增大而 ．（填“增大”或“减小”）10．（4分）如果关于x 的方程x 2－4x ＋m ＝0有两个相等的实数根，那么m 的值是 ．11．（4分）如果从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，那么取到的数恰好是5的倍数的概率是 ．12．（4分）如果将抛物线y ＝x 2向上平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是 ．13．（4分）为了解某区六年级8400名学生中会游泳的学生人数，随机调查了其中400名学生，结果有150名学生会游泳，那么估计该区会游泳的六年级学生人数约为 ．14．（4分）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B 处立一根垂直于井口的木杆BD ，从木杆的顶端D 观察井水水岸C ，视线DC 与井口的直径AB 交于点E ，如果测得AB ＝1.6米，BD ＝1米，BE ＝0.2米，那么井深AC 为 米．15．（4分）如图，AC 、BD 是平行四边形ABCD 的对角线，设BC →＝a →，CA →＝b →，那么向量BD→用向量a →、b →表示为 ．16．（4分）小明从家步行到学校需走的路程为1800米．图中的折线OAB 反映了小明从家步行到学校所走的路程s （米）与时间t （分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行 米．17．（4分）如图，在△ABC 中，AB ＝4，BC ＝7，∠B ＝60°，点D 在边BC 上，CD ＝3，联结AD ．如果将△ACD 沿直线AD 翻折后，点C 的对应点为点E ，那么点E 到直线BD 的距离为 ．18．（4分）在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，点O 在对角线AC 上，圆O 的半径为2，如果圆O 与矩形ABCD 的各边都没有公共点，那么线段AO 长的取值范围是 ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：15＋2－(12)－2＋|3－5|．20．（10分）解不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧10x ＞7x ＋6x －1＜x ＋7321．（10分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠DAB＝90°，AB＝8，CD＝5，BC＝35．（1）求梯形ABCD的面积；（2）联结BD，求∠DBC的正切值．22．（10分）去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．23．（12分）已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE＝DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H．（1）求证：△CEB∽△HCB；（2）如果BE2＝AB·AE，求证：AG＝DF．24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝－12x＋5与x轴、y轴分别交于点A、B（如图）．抛物线y＝ax2＋bx（a≠0）经过点A．（1）求线段AB的长；（2）如果抛物线y＝ax2＋bx经过线段AB上的另一点C，且BC＝5，求这条抛物线的表达式；（3）如果抛物线y＝ax2＋bx的顶点D位于△AOB内，求a的取值范围．25．（14分）如图，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长线交边AC于点D．（1）求证：∠BAC＝2∠ABD；（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小；（3）当AD＝2，CD＝3时，求边BC的长．2020年上海市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．（4( )A B C D解：的被开方数不相同，故不是同类二次根式；3=C =D =故选：C ．2．（4分）用换元法解方程22121x x x x ++=+时，若设21x y x+=，则原方程可化为关于y 的方程是( )A ．2210y y -+=B ．2210y y ++=C ．220y y ++=D ．220y y +-= 解：把21x y x+=代入原方程得：12y y +=，转化为整式方程为2210y y -+=． 故选：A ．3．（4分）我们经常将调查、收集得来的数据用各类统计图进行整理与表示．下列统计图中，能凸显由数据所表现出来的部分与整体的关系的是( )A ．条形图B ．扇形图C ．折线图D ．频数分布直方图 解：统计图中，能凸显由数据所表现出来的部分与整体的关系的是扇形图， 故选：B ．4．（4分）已知反比例函数的图象经过点(2,4)-，那么这个反比例函数的解析式是( )A ．2y x = B ．2y x =-C ．8y x =D ．8y x =- 解：设反比例函数解析式为ky x =，将(2,4)-代入，得：42k -=，解得8k =-， 所以这个反比例函数解析式为8y x =-，故选：D ．5．（4分）下列命题中，真命题是( )A ．对角线互相垂直的梯形是等腰梯形B ．对角线互相垂直的平行四边形是正方形C ．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形D ．对角线平分一组对角的梯形是直角梯形解：A 、对角线相等的梯形是等腰梯形，故错误； B 、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误；C 、正确；D 、对角线平分一组对角的梯形是菱形，故错误； 故选：C ．6．（4分）如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形．下列图形中，平移重合图形是( )A ．平行四边形B ．等腰梯形C ．正六边形D ．圆 解：如图，平行四边形ABCD 中，取BC ，AD 的中点E ，F ，连接EF ．四边形ABEF 向右平移可以与四边形EFCD 重合，∴平行四边形ABCD 是平移重合图形，故选：A ．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．（4分）计算：23a ab = 26a b ．解：2236a ab a b =．故答案为：26a b ．8．（4分）已知2()1f x x =-，那么f （3）的值是 1 ． 解：2()1f x x =-，f ∴（3）2131==-， 故答案为：1．9．（4分）已知正比例函数(y kx k =是常数，0)k ≠的图象经过第二、四象限，那么y 的值随着x 的值增大而 减小 ．（填“增大”或“减小” )解：函数(0)y kx k =≠的图象经过第二、四象限，那么y 的值随x 的值增大而减小，故答案为：减小．10．（4分）如果关于x 的方程240x x m -+=有两个相等的实数根，那么m 的值是 4 ． 解：依题意，方程240x x m -+=有两个相等的实数根，∴△224(4)40b ac m =-=--=，解得4m =，故答案为：4．11．（4分）如果从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，那么取到的数恰好是5的倍数的概率是 5． 解：从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，是5的倍数的有：5，10，∴取到的数恰好是5的倍数的概率是21105=． 故答案为：15．12．（4分）如果将抛物线2y x =向上平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是 23y x =+ ． 解：抛物线2y x =向上平移3个单位得到23y x =+．故答案为：23y x =+．13．（4分）为了解某区六年级8400名学生中会游泳的学生人数，随机调查了其中400名学生，结果有150名学生会游泳，那么估计该区会游泳的六年级学生人数约为 3150名 ． 解：15084003150400⨯=（名)． 答：估计该区会游泳的六年级学生人数约为3150名．故答案为：3150名．14．（4分）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B 处立一根垂直于井口的木杆BD ，从木杆的顶端D 观察井水水岸C ，视线DC 与井口的直径AB 交于点E ，如果测得 1.6AB =米，1BD =米，0.2BE =米，那么井深AC 为 7 米．解：BD AB ⊥，AC AB ⊥，//BD AC ∴，ACE BDE ∴∆∆∽， ∴AC AE BD BE =， ∴ 1.410.2AC =， 7AC ∴=（米)，答：井深AC 为7米．15．（4分）如图，AC 、BD 是平行四边形ABCD 的对角线，设BC a =，CA b =，那么向量BD 用向量a 、b 表示为 2a b + ．解：四边形ABCD 是平行四边形，AD BC ∴=，//AD BC ，AB CD =，//AB CD ，∴AD BC a ==，CD CA AD b a =+=+，∴BA CD b a ==+，BD BA AD =+，∴2BD b a a a b =++=+，故答案为：2a b +．16．（4分）小明从家步行到学校需走的路程为1800米．图中的折线OAB 反映了小明从家步行到学校所走的路程s （米)与时间t （分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行 350 米．解：当820t 时，设s kt b =+，将(8,960)、(20,1800)代入，得：8960201800k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得：70400k b =⎧⎨=⎩， 70400s t ∴=+；当15t =时，1450s =，180********-=，∴当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行350米， 故答案为：350．17．（4分）如图，在ABC ∆中，4AB =，7BC =，60B ∠=︒，点D 在边BC 上，3CD =，联结AD ．如果将ACD ∆沿直线AD 翻折后，点C 的对应点为点E ，那么点E 到直线BD 的距离为 332．解：如图，过点E 作EH BC ⊥于H ．7BC =，3CD =，4BD BC CD ∴=-=，4AB BD ==，60B ∠=︒，ABD ∴∆是等边三角形，60ADB ∴=︒，120ADC ADE ∴∠=∠=︒，60EDH ∴∠=︒，EH BC ⊥，90EHD ∴∠=︒，3DE DC ==，sin 60EH DE ∴=︒=，E ∴到直线BD ，． 18．（4分）在矩形ABCD 中，6AB =，8BC =，点O 在对角线AC 上，圆O 的半径为2，如果圆O 与矩形ABCD 的各边都没有公共点，那么线段AO 长的取值范围是33AO << ． 解：在矩形ABCD 中，90D ∠=︒，6AB =，8BC =，10AC ∴=，如图1，设O 与AD 边相切于E ，连接OE ，则OE AD ⊥，//OE CD ∴，AOE ACD ∴∆∆∽，∴OE AO CD AC =， ∴2106AO =， 103AO ∴=， 如图2，设O 与BC 边相切于F ，连接OF ，则OF BC ⊥，//OF AB ∴，COF CAB ∴∆∆∽，∴OC OF AC AB =， ∴2106OC =， 103OC ∴=， 203AO ∴=，∴如果圆O 与矩形ABCD 的各边都没有公共点，那么线段AO 长的取值范围是102033AO <<， 故答案为：102033AO <<．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：123127()|35252-+-++．解：原式133(3)52435=+-+-352435=+--+0=．20．（10分）解不等式组：1076,713x x x x >+⎧⎪+⎨-<⎪⎩解：1076713x x x x >+⎧⎪⎨+-<⎪⎩①②，解不等式①得2x >，解不等式②得5x <．故原不等式组的解集是25x <<．21．（10分）如图，在直角梯形ABCD 中，//AB DC ，90DAB ∠=︒，8AB =，5CD =，35BC =（1）求梯形ABCD 的面积；（2）联结BD ，求DBC ∠的正切值．解：（1）过C作CE AB⊥于E，//AB DC，90DAB∠=︒，90D∴∠=︒，90A D AEC∴∠=∠=∠=︒，∴四边形ADCE是矩形，AD CE∴=，5AE CD==，3BE AB AE∴=-=，35BC=，226CE BC BE∴=-=，∴梯形ABCD的面积1(58)6392=⨯+⨯=；（2）过C作CH BD⊥于H，//CD AB，CDB ABD∴∠=∠，90CHD A∠=∠=︒，CDH DBA∴∆∆∽，∴CH CDAD BD=，22228610 BD AB AD=+=+=，∴5 610 CH=，3CH∴=，2222(35)36 BH BC CH∴=-=-=，DBC∴∠的正切值3162 CHBH===．22．（10分）去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率． 解：（1）45045012%504+⨯=（万元）．答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元．（2）设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x ，依题意，得：2350(1)504x +=，解得：10.220%x ==，2 2.2x =-（不合题意，舍去）．答：该商店去年8、9月份营业额的月增长率为20%．23．（12分）已知：如图，在菱形ABCD 中，点E 、F 分别在边AB 、AD 上，BE DF =，CE 的延长线交DA 的延长线于点G ，CF 的延长线交BA 的延长线于点H ．（1）求证：BEC BCH ∆∆∽；（2）如果2BE AB AE =，求证：AG DF =．【解答】（1）证明：四边形ABCD 是菱形，CD CB ∴=，D B ∠=∠，//CD AB ，DF BE =，()CDF CBE SAS ∴∆≅，DCF BCE ∴∠=∠，//CD BH ，H DCF ∴∠=∠，BCE H ∴∠=∠，B B ∠=∠，BEC BCH ∴∆∆∽．（2）证明：2BE AB AE =，∴BE AE AB EB =， //AG BC ，∴AE AG BE BC =， ∴BE AG AB BC=， DF BE =，BC AB =， BE AG DF ∴==，即AG DF =．24．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，直线152y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A 、B （如图）．抛物线2(0)y ax bx a =+≠经过点A ．（1）求线段AB 的长；（2）如果抛物线2y ax bx =+经过线段AB 上的另一点C ，且5BC =，求这条抛物线的表达式；（3）如果抛物线2y ax bx =+的顶点D 位于AOB ∆内，求a 的取值范围．解：（1）针对于直线152y x =-+，令0x =，5y =，(0,5)B ∴， 令0y =，则1502x -+=，10x ∴=， (10,0)A ∴，2251055AB ∴=+=（2）设点1(,5)2C m m -+，(0,5)B ，|BC m ∴==， 5BC =，∴|m =， 2m ∴=±，点C 在线段AB 上，2m ∴=，(2,4)C ∴，将点(10,0)A ，(2,4)C 代入抛物线2(0)y ax bx a =+≠中，得100100424a b a b +=⎧⎨+=⎩， ∴1452a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴抛物线21542y x x =-+； （3）点(10,0)A 在抛物线2y ax bx =+中，得100100a b +=， 10b a ∴=-，∴抛物线的解析式为2210(5)25y ax ax a x a =-=--，∴抛物线的顶点D 坐标为(5,25)a -，将5x =代入152y x =-+中，得155522y =-⨯+=，顶点D 位于AOB ∆内，50252a ∴<-<， 1010a ∴-<<； 25．（14分）如图，ABC ∆中，AB AC =，O 是ABC ∆的外接圆，BO 的延长线交边AC 于点D ．（1）求证：2BAC ABD ∠=∠；（2）当BCD ∆是等腰三角形时，求BCD ∠的大小；（3）当2AD =，3CD =时，求边BC 的长．【解答】（1）证明：连接OA．=，AB AC=，∴AB AC∴⊥，OA BC∴∠=∠，BAO CAO=，OA OB∴∠=∠，ABD BAO∴∠=∠．2BAC BAD（2）解：如图2中，延长AO交BC于H．①若BD CB∠=∠=∠+∠=∠，C BDC ABD BAC ABD=，则3 =，AB AC∴∠=∠，ABC C∴∠=∠，DBC ABD2∠+∠+∠=︒，180DBC C BDC∴∠=︒，8180ABD367.5C ABD ∴∠=∠=︒．②若CD CB =，则3CBD CDB ABD ∠=∠=∠， 4C ABD ∴∠=∠，180DBC C CDB ∠+∠+∠=︒， 10180ABD ∴∠=︒，472BCD ABD ∴∠=∠=︒．③若DB DC =，则D 与A 重合，这种情形不存在． 综上所述，C ∠的值为67.5︒或72︒．（3）如图3中，作//AE BC 交BD 的延长线于E ．则23AE AD BC DC ==， ∴43AO E OH BH ==，设4OB OA a ==，3OH a =， 22222BH AB AH OB OH =-=-， 2222549169a a a ∴-=-，22556a ∴=， 52BH ∴ 522BC BH ∴==．。
上海市2020年中考数学试题(解析版)
2020年上海市中考数学试卷一、选择题(共6小题)1.是同类二次根式的是【答案】C 【解析】 【分析】根据同类二次根式的概念逐一判断即可.【详解】解：A 的被开方数不同，故A 选项错误；B 3=，3不是二次根式，故B 选项错误；C =C 选项正确；D =，的被开方数不同，故D 选项错误； 故选：C.【点睛】本题主要考查同类二次根式的定义，解题的关键是熟练的掌握同类二次根式的定义： 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.2.用换元法解方程21x x ++21x x +=2时，若设21x x +=y ，则原方程可化为关于y 的方程是( ) A. y 2﹣2y +1=0 B. y 2+2y +1=0C. y 2+y +2=0D. y 2+y ﹣2=0【答案】A 【解析】 【分析】方程的两个分式具备倒数关系，设21x x+=y ，则原方程化为y+1y =2，再转化为整式方程y 2-2y+1=0即可求解． 【详解】把21x x+=y 代入原方程得：y +1y =2，转化为整式方程为y 2﹣2y +1=0． 故选：A ．【点睛】考查了换元法解分式方程，换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．3.我们经常将调查、收集得来的数据用各类统计图进行整理与表示．下列统计图中，能凸显由数据所表现出来的部分与整体的关系的是( ) A. 条形图 B. 扇形图C. 折线图D. 频数分布直方图【答案】B 【解析】 【分析】根据统计图的特点判定即可．【详解】解：统计图中，能凸显由数据所表现出来的部分与整体的关系的是扇形图． 故选：B ．【点睛】本题考查了统计图的特点，条件统计图能反映各部分的具体数值，扇形统计图能反映各个部分占总体的百分比，折线统计图能反映样本或总体的趋势，频数分布直方图能反映样本或总体的分布情况，熟练掌握各统计图的特点是解题的关键．4.已知反比例函数的图象经过点(2，﹣4)，那么这个反比例函数的解析式是( ) A. y =2xB. y =﹣2xC. y =8xD. y =﹣8x【答案】D 【解析】 【分析】设解析式y =kx，代入点(2,-4)求出k 即可． 【详解】解：设反比例函数解析式为y =kx，将(2，-4)代入，得：-4=2k，解得：k =-8，所以这个反比例函数解析式为y =-8x． 故选：D ．【点睛】本题主要考查待定系数法求反比例函数解析式，求反比例函数解析式只需要知道其图像上一点的坐标即可．5.下列命题中，真命题是( )A. 对角线互相垂直的梯形是等腰梯形B. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形C. 对角线平分一组对角的平行四边形是菱形D. 对角线平分一组对角梯形是直角梯形【答案】C【解析】【分析】利用特殊四边形的判定定理对每个选项逐一判断后即可确定正确的选项．【详解】A．对角线互相垂直且相等的梯形是等腰梯形，故错误；B．对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形，故错误；C．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，正确；D．对角线平分一组对角的梯形是菱形，故错误．故选：C．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解特殊四边形的判定定理，难度不大．6.如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形．下列图形中，平移重合图形是()A. 平行四边形B. 等腰梯形C. 正六边形D. 圆【答案】A【解析】【分析】证明平行四边形是平移重合图形即可．【详解】如图，平行四边形ABCD中，取BC，AD的中点E，F，连接EF．则有：AF=FD，BE=EC，AB=EF=CD，∴四边形ABEF向右平移可以与四边形EFCD重合，∴平行四边形ABCD是平移重合图形．故选：A．【点睛】本题考查平移的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．二、填空题(共12小题)7.计算：23a ab =________. 【答案】26a b . 【解析】 【分析】利用单项式乘单项式的法则进行计算即可. 【详解】解：23a ab =26a b 故填：26a b .【点睛】单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 8.已知f (x )=21x -，那么f (3)的值是____． 【答案】1． 【解析】 【分析】根据f (x )=21x -，将3x =代入即可求解． 【详解】解：由题意得：f (x )=21x -，∴将3x =代替表达式中的x ，∴f (3)=231-=1． 故答案为：1．【点睛】本题考查函数值的求法，解答本题的关键是明确题意，利用题目中新定义解答．9.如果函数y ＝kx （k ≠0）的图象经过第二、四象限，那么y 的值随x 的值增大而_____．（填“增大”或“减小”） 【答案】减小 【解析】 【分析】根据正比例函数的性质进行解答即可．【详解】解：函数y ＝kx （k ≠0）的图象经过第二、四象限，那么y 的值随x 的值增大而减小， 故答案为：减小．【点睛】此题考查的是判断正比例函数的增减性，掌握正比例函数的性质是解决此题的关键．10.如果关于x的方程x2﹣4x+m=0有两个相等的实数根，那么m的值是____．【答案】4．【解析】【分析】一元二次方程有两个相等的实根，即根的判别式△=b2-4ac=0，即可求m值．【详解】依题意．∵方程x2﹣4x+m=0有两个相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=(﹣4)2﹣4m=0，解得：m=4．故答案为：4．【点睛】此题主要考查的是一元二次方程的根判别式，当△=b2-4ac=0时，方程有两个相等的实根，当△=b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实根，当△=b2-4ac＜0时，方程无实数根．11.如果从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，那么取到的数恰好是5的倍数的概率是____．【答案】15．【解析】【分析】从1到10这10个整数中任意选取一个数，找出是5的倍数的个数，再根据概率公式求解即可．【详解】解：∵从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，是5的倍数的有：5，10，∴取到的数恰好是5的倍数的概率是210=15．故答案为：15．【点睛】此题主要考查了概率公式，熟记事件A的概率公式：P(A)=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．12.如果将抛物线y=x2向上平移3个单位，那么所得新抛物线表达式是____．【答案】y=x2+3．【解析】【分析】直接根据抛物线向上平移的规律求解．【详解】抛物线y=x2向上平移3个单位得到y=x2+3．故答案为：y=x2+3．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．13.为了解某区六年级8400名学生中会游泳的学生人数，随机调查了其中400名学生，结果有150名学生会游泳，那么估计该区会游泳的六年级学生人数约为____． 【答案】3150名． 【解析】 【分析】用样本中会游泳的学生人数所占的比例乘总人数即可得出答案． 【详解】解：由题意可知，150名学生占总人数的百分比为：15034008=， ∴估计该区会游泳的六年级学生人数约为8400×38=3150(名) ． 故答案为：3150名．【点睛】本题主要考查样本估计总体，熟练掌握样本估计总体的思想及计算方法是解题的关键． 14.《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B 处立一根垂直于井口的木杆BD ，从木杆的顶端D 观察井水水岸C ，视线DC 与井口的直径AB 交于点E ，如果测得AB =1.6米，BD =1米，BE =0.2米，那么井深AC 为____米．【答案】7米． 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：∵BD ⊥AB ，AC ⊥AB ， ∴BD //AC ， ∴△ACE ∽△DBE ， ∴AC AEBD BE=，∴1.4 10.2 AC，∴AC=7(米)，故答案为：7(米) ．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，正确的识别图形，掌握相似三角形的判定及性质是解决此类题的关键．15.如图，AC、BD是平行四边形ABCD的对角线，设BC=a，CA=b，那么向量BD用向量,a b表示为____．【答案】2a+b．【解析】【分析】利用平行四边形的性质，三角形法则求解即可．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，AB=CD，AB∥CD，∴AD=BC=a，∵CD=CA+AD=b+a，∴BA=CD=b+a，∵BD=BA+AD，∴BD=b+a+a=2a+b．故答案为：2a+b．【点睛】本题考查平行四边形的性质，三角形法则等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．16.小明从家步行到学校需走的路程为1800米．图中的折线OAB反映了小明从家步行到学校所走的路程s (米)与时间t (分钟)的函数关系，根据图象提供的信息，当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行____米．【答案】350． 【解析】 【分析】当8≤t ≤20时，设s=kt+b ，将（8，960）、（20，1800）代入求得s=70t+400，求出t=15时s 的值，从而得出答案．【详解】解：当8≤t ≤20时，设s=kt+b ， 将(8，960)、(20，1800)代入，得：8k b 96020k b 1800+=⎧⎨+=⎩， 解得：k 70b 400=⎧⎨=⎩，∴s =70t +400； 当t =15时，s =1450， 1800﹣1450=350，∴当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行350米． 故答案为：350．【点睛】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意，从实际问题中抽象出一次函数的模型，并熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式．17.如图，在△ABC 中，AB =4，BC =7，∠B =60°，点D 在边BC 上，CD =3，联结AD ．如果将△ACD 沿直线AD 翻折后，点C 的对应点为点E ，那么点E 到直线BD 的距离为____．．【分析】过E点作EH⊥BC于H，证明△ABD是等边三角形，进而求得∠ADC=120°，再由折叠得到∠ADE=∠ADC=120°，进而求出∠HDE=60°，最后在Rt△HED中使用三角函数即可求出HE的长．【详解】解：如图，过点E作EH⊥BC于H，∵BC=7，CD=3，∴BD=BC-CD=4，∵AB=4=BD，∠B=60°，∴△ABD是等边三角形，∴∠ADB=60°，∴∠ADC=∠ADE=120°，∴∠EDH=60°，∵EH⊥BC，∴∠EHD=90°．∵DE=DC=3，∴EH=DE×sin∠∴E到直线BD．【点睛】本题考查了折叠问题，解直角三角形，点到直线的距离，本题的关键点是能求出∠ADE=∠ADC=120°，另外需要重点掌握折叠问题的特点：折叠前后对应的边相等，对应的角相等．18.在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点O在对角线AC上，圆O的半径为2，如果圆O与矩形ABCD的各边都没有公共点，那么线段AO长的取值范围是____．【答案】103＜AO＜203．【解析】根据勾股定理得到AC=10，如图1，设⊙O与AD边相切于E，连接OE，证明△AOE∽△ACD即可求出与AD相切时的AO值；如图2，设⊙O与BC边相切于F，连接OF，证明△COF∽△CAB即可求出BC相切时的AO值，最后即可得到结论．【详解】解：在矩形ABCD中，∵∠D=90°，AB=6，BC=8，∴AC=10，如图1，设⊙O与AD边相切于E，连接OE，则OE⊥AD，∴OE//CD，∴△AOE∽△ACD，∴OE AO CD AC=，∴2 106 AO=，∴AO=103；如图2，设⊙O与BC边相切于F，连接OF，则OF⊥BC，∴OF//AB，∴△COF∽△CAB，∴OC OF AC AB=，∴2 106 OC=，∴OC=103，∴AO=203，∴如果圆O与矩形ABCD的各边都没有公共点，那么线段AO长的取值范围是103＜AO＜203．故答案为：103＜AO＜203．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键．三、解答题(共7小题)19.计算：1327﹣(12)﹣2+|3．【答案】0．【解析】【分析】利用分数的指数幂的意义，分母有理化，负指数幂的意义，绝对值的性质计算后合并即可．【详解】原式=133(3)2-﹣4+32-﹣4+3=0．【点睛】本题考查了分数指数幂的运算，负指数幂的运算，绝对值的意义以及分母有理化运算，熟练掌握实数的运算法则是解题的关键．20.解不等式组：1076713x xxx>+⎧⎪+⎨-<⎪⎩【答案】2＜x＜5．【解析】【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可求解．【详解】解：由题意知：1076713①②>+⎧⎪⎨+-<⎪⎩x xxx，解不等式①，移项得：3x＞6，系数化为1得：x>2，解不等式②，去分母得：3x-3＜x+7．移项得：2x<10，系数化为1得：x<5，∴原不等式组的解集是2＜x＜5．故答案为：2＜x＜5．【点睛】本题考查解一元一次不等式组，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．21.如图，在直角梯形ABCD中，//AB DC，∠DAB=90°，AB=8，CD=5，BC．（1）求梯形ABCD的面积；（2）联结BD，求∠DBC的正切值．【答案】（1）39；（2）12．【解析】【分析】(1)过C作CE⊥AB于E，推出四边形ADCE是矩形，得到AD=CE，AE=CD=5，根据勾股定理得到6=CE，即可求出梯形的面积；(2) 过C作CH⊥BD于H，根据相似三角形的性质得到CH CDAD BD=，根据勾股定理得到10=，6=即可求解．【详解】解：(1)过C作CE⊥AB于E，如下图所示：∵AB//DC，∠DAB=90°，∴∠D=90°，∴∠A=∠D=∠AEC=90°，∴四边形ADCE是矩形，∴AD=CE，AE=CD=5，∴BE=AB﹣AE=3．∵BC∴CE=6，∴梯形ABCD的面积=12×(5+8)×6=39，故答案为：39．(2)过C作CH⊥BD于H，如下图所示：∵CD//AB，∴∠CDB=∠ABD．∵∠CHD=∠A=90°，∴△CDH∽△DBA，∴CH CD AD BD=，∵BD=10，∴5610CH=，∴CH=3，∴BH=6，∴∠DBC的正切值=CHBH=36=12．故答案为：12．【点睛】本题考查了直角梯形，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．22.去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．【答案】（1）504万元；（2）20%．【解析】【分析】(1)根据“前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%”即可求解；(2)设去年8、9月份营业额的月增长率为x，则十一黄金周的月营业额为350(1+x)2，根据“十一黄金周这七天的总营业额与9月份的营业额相等”即可列方程求解．【详解】解：(1)第七天营业额是450×12%=54(万元)，故这七天的总营业额是450+450×12%=504(万元)．答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元．(2)设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x，依题意，得：350(1+x)2=504，解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2(不合题意，舍去)．答：该商店去年8、9月份营业额的月增长率为20%．【点睛】本题考查了一元二次方程的增长率问题，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．23.已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE=DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H．（1）求证：△BEC∽△BCH；（2）如果BE2=AB•AE，求证：AG=DF．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】【分析】(1)先证明△CDF≌△CBE，进而得到∠DCF=∠BCE，再由菱形对边CD//BH，得到∠H=∠DCF，进而∠BCE=∠H即可求解．(2)由BE2=AB•AE，得到BEAB=AEEB，再利用AG//BC，平行线分线段成比例定理得到BEAB=AGBC，再结合已知条件即可求解．【详解】解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴CD=CB，∠D=∠B，CD//AB．∵DF=BE，∴△CDF≌△CBE(SAS)，∴∠DCF=∠BCE．∵CD//BH，∴∠H=∠DCF，∴∠BCE=∠H．且∠B=∠B，∴△BEC∽△BCH．(2)∵BE2=AB•AE，∴BEAB=AEEB，∵AG//BC，∴AEBE=AGBC，∴BEAB=AGBC，∵DF=BE，BC=AB，∴BE=AG=DF，即AG=DF．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．24.在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣12x+5与x轴、y轴分别交于点A、B(如图)．抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过点A．（1）求线段AB的长；（2）如果抛物线y=ax2+bx经过线段AB上的另一点C，且BC，求这条抛物线的表达式；（3）如果抛物线y=ax2+bx的顶点D位于△AOB内，求a的取值范围．【答案】（1）（2）y=﹣14x2+52x；（3）﹣110＜a＜0．【解析】 【分析】（1）先求出A ，B 坐标，即可得出结论；（2）设点C （m ，-12m+5），则|m ，进而求出点C （2，4），最后将点A ，C 代入抛物线解析式中，即可得出结论；（3）将点A 坐标代入抛物线解析式中得出b=-10a ，代入抛物线解析式中得出顶点D 坐标为（5，-25a ），即可得出结论．【详解】（1）针对于直线y =﹣12x +5， 令x =0，y =5， ∴B (0，5)， 令y =0，则﹣12x +5=0， ∴x =10， ∴A (10，0)，∴AB； （2）设点C (m ，﹣12m +5)． ∵B (0，5)，∴BC |m |． ∵BC，∴|m∴m =±2．∵点C 在线段AB 上， ∴m =2， ∴C (2，4)，将点A (10，0)，C (2，4)代入抛物线y =ax 2+bx (a ≠0)中，得100100424a b a b +=⎧⎨+=⎩，∴1452a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线y =﹣14x 2+52x ；（3）∵点A (10，0)在抛物线y =ax 2+bx 中，得100a +10b =0， ∴b =﹣10a ，∴抛物线的解析式为y =ax 2﹣10ax =a (x ﹣5)2﹣25a ， ∴抛物线的顶点D 坐标为(5，﹣25a )， 将x =5代入y =﹣12x +5中，得y =﹣12×5+5=52， ∵顶点D 位于△AOB 内， ∴0＜﹣25a ＜52， ∴﹣110＜a ＜0． 【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，两点间的距离公式，抛物线的顶点坐标的求法，求出点D 的坐标是解本题的关键．25.如图，△ABC 中，AB =AC ，⊙O 是△ABC 的外接圆，BO 的延长交边AC 于点D ． （1）求证：∠BAC =2∠ABD ；（2）当△BCD 是等腰三角形时，求∠BCD 的大小； （3）当AD =2，CD =3时，求边BC 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）∠BCD 的值为67.5°或72°；（3【解析】 【分析】(1)连接OA ．利用垂径定理以及等腰三角形的性质解决问题即可．(2)分三种情形：①若BD=CB ，则∠C=∠BDC=∠ABD+∠BAC=3∠ABD ．②若CD=CB，则∠CBD=∠CDB=3∠ABD．③若DB=DC，则D与A重合，这种情形不存在．分别利用三角形内角和定理构建方程求解即可．(3) 如图3中，作AE//BC交BD的延长线于E．则23==AE ADBC DC，进而得到34==AO AEOH BH，设OB=OA=4a，OH=3a，根据BH2=AB2-AH2=OB2-OH2，构建方程求出a即可解决问题．详解】解：(1)连接OA，如下图1所示：∵AB=AC，∴AB=AC，∴OA⊥BC，∴∠BAO=∠CAO．∵OA=OB，∴∠ABD=∠BAO，∴∠BAC=2∠ABD．(2)如图2中，延长AO交BC于H．①若BD=CB，则∠C=∠BDC=∠ABD+∠BAC=3∠ABD．∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∴∠DBC=2∠ABD．∵∠DBC+∠C+∠BDC=180°，∴8∠ABD=180°，∴∠C=3∠ABD=675°．②若CD=CB，则∠CBD=∠CDB=3∠ABD，∴∠C=4∠ABD．∵∠DBC+∠C+∠CDB=180°，∴10∠ABD=180°，∴∠BCD=4∠ABD=72°．③若DB=DC，则D与A重合，这种情形不存在．综上所述：∠C的值为67.5°或72°．(3)如图3中，过A点作AE//BC交BD的延长线于E．则AEBC=ADDC=23，且BC=2BH，∴AOOH=AEBH=43，设OB=OA=4a，OH=3a．则在Rt△ABH和Rt△OBH中，∵BH2=AB2﹣AH2=OB2﹣OH2，∴25 - 49a2=16a2﹣9a2，∴a2=25 56，∴BH∴BC=2BH．【点睛】本题属于圆的综合题，考查了垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理解直角三角形，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．。
2020年上海市中考数学试题及参考答案(word解析版)
2020年上海市初中毕业统一学业考试数学试卷（试卷满分150分，考试时间100分钟）一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】1．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）A．B．C．D．2．用换元法解方程+＝2时，若设＝y，则原方程可化为关于y的方程是（）A．y2﹣2y+1＝0 B．y2+2y+1＝0 C．y2+y+2＝0 D．y2+y﹣2＝03．我们经常将调查、收集得来的数据用各类统计图进行整理与表示．下列统计图中，能凸显由数据所表现出来的部分与整体的关系的是（）A．条形图B．扇形图C．折线图D．频数分布直方图4．已知反比例函数的图象经过点（2，﹣4），那么这个反比例函数的解析式是（）A．y＝B．y＝﹣C．y＝D．y＝﹣5．下列命题中，真命题是（）A．对角线互相垂直的梯形是等腰梯形B．对角线互相垂直的平行四边形是正方形C．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形D．对角线平分一组对角的梯形是直角梯形6．如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形．下列图形中，平移重合图形是（）A．平行四边形B．等腰梯形C．正六边形D．圆二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．计算：2a•3ab＝．8．已知f（x）＝，那么f（3）的值是．9．已知正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0）的图象经过第二、四象限，那么y的值随着x的值增大而．（填“增大”或“减小”）10．如果关于x的方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，那么m的值是．11．如果从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，那么取到的数恰好是5的倍数的概率是．12．如果将抛物线y＝x2向上平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是．13．为了解某区六年级8400名学生中会游泳的学生人数，随机调查了其中400名学生，结果有150名学生会游泳，那么估计该区会游泳的六年级学生人数约为．14．《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB＝1.6米，BD＝1米，BE＝0.2米，那么井深AC为米．15．如图，AC、BD是平行四边形ABCD的对角线，设＝，＝，那么向量用向量、表示为．16．小明从家步行到学校需走的路程为1800米．图中的折线OAB反映了小明从家步行到学校所走的路程s（米）与时间t（分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行米．17．如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝7，∠B＝60°，点D在边BC上，CD ＝3，联结AD．如果将△ACD沿直线AD翻折后，点C的对应点为点E，那么点E到直线BD的距离为．18．在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点O在对角线AC上，圆O的半径为2，如果圆O与矩形ABCD的各边都没有公共点，那么线段AO长的取值范围是．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：27+﹣（）﹣2+|3﹣|．20．（10分）解不等式组：21．（10分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠DAB＝90°，AB＝8，CD＝5，BC＝3．（1）求梯形ABCD的面积；（2）联结BD，求∠DBC的正切值．22．（10分）去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．23．（12分）已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE＝DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H．（1）求证：△BEC∽△BCH；（2）如果BE2＝AB•AE，求证：AG＝DF．24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+5与x轴、y轴分别交于点A、B（如图）．抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A．（1）求线段AB的长；（2）如果抛物线y＝ax2+bx经过线段AB上的另一点C，且BC＝，求这条抛物线的表达式；（3）如果抛物线y＝ax2+bx的顶点D位于△AOB内，求a的取值范围．25．（14分）如图，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长交边AC于点D．（1）求证：∠BAC＝2∠ABD；（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小；（3）当AD＝2，CD＝3时，求边BC的长．答案与解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】1．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）A．B．C．D．【知识考点】同类二次根式．【思路分析】根据同类二次根式的定义，先化简，再判断．【解题过程】解：A.与的被开方数不相同，故不是同类二次根式；B.，与不是同类二次根式；C.，与被开方数相同，故是同类二次根式；D.，与被开方数不同，故不是同类二次根式．故选：C．【总结归纳】此题主要考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．2．用换元法解方程+＝2时，若设＝y，则原方程可化为关于y的方程是（）A．y2﹣2y+1＝0 B．y2+2y+1＝0 C．y2+y+2＝0 D．y2+y﹣2＝0【知识考点】换元法解分式方程．【思路分析】方程的两个分式具备倒数关系，设＝y，则原方程化为y+＝2，再转化为整式方程y2﹣2y+1＝0即可求解．【解题过程】解：把＝y代入原方程得：y+＝2，转化为整式方程为y2﹣2y+1＝0．故选：A．【总结归纳】考查了换元法解分式方程，换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．3．我们经常将调查、收集得来的数据用各类统计图进行整理与表示．下列统计图中，能凸显由数据所表现出来的部分与整体的关系的是（）A．条形图B．扇形图C．折线图D．频数分布直方图【知识考点】频数（率）分布直方图；频数（率）分布折线图；扇形统计图；条形统计图．【思路分析】根据统计图的特点判定即可．【解题过程】解：统计图中，能凸显由数据所表现出来的部分与整体的关系的是扇形图，故选：B．【总结归纳】本题考查了统计图，熟练掌握各统计图的特点是解题的关键．4．已知反比例函数的图象经过点（2，﹣4），那么这个反比例函数的解析式是（）A．y＝B．y＝﹣C．y＝D．y＝﹣【知识考点】反比例函数图象上点的坐标特征；待定系数法求反比例函数解析式．【思路分析】已知函数图象上一点的坐标求反比例函数解析式，可先设出解析式y＝，再将点的坐标代入求出待定系数k的值，从而得出答案．【解题过程】解：设反比例函数解析式为y＝，将（2，﹣4）代入，得：﹣4＝，解得k＝﹣8，所以这个反比例函数解析式为y＝﹣，故选：D．【总结归纳】本题主要考查待定系数法求反比例函数解析式，用待定系数法求反比例函数的解析式要注意：（1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y＝（k为常数，k≠0）；（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程；（3）解方程，求出待定系数；（4）写出解析式．5．下列命题中，真命题是（）A．对角线互相垂直的梯形是等腰梯形B．对角线互相垂直的平行四边形是正方形C．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形D．对角线平分一组对角的梯形是直角梯形【知识考点】命题与定理．【思路分析】利用特殊四边形的判定定理对每个选项逐一判断后即可确定正确的选项．【解题过程】解：A、对角线相等的梯形是等腰梯形，故错误；B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误；C、正确；D、对角线平分一组对角的梯形是菱形，故错误；故选：C．【总结归纳】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解特殊四边形的判定定理，难度不大．6．如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形．下列图形中，平移重合图形是（）A．平行四边形B．等腰梯形C．正六边形D．圆【知识考点】平移的性质．【思路分析】证明平行四边形是平移重合图形即可．【解题过程】解：如图，平行四边形ABCD中，取BC，AD的中点E，F，连接EF．∵四边形ABEF向右平移可以与四边形EFCD重合，∴平行四边形ABCD是平移重合图形，故选：A．【总结归纳】本题考查平移的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．计算：2a•3ab＝．【知识考点】单项式乘单项式．【思路分析】根据单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式，计算即可．【解题过程】解：2a•3ab＝6a2b．故答案为：6a2b．【总结归纳】本题考查了单项式与单项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键．8．已知f（x）＝，那么f（3）的值是．【知识考点】函数值．【思路分析】根据f（x）＝，可以求得f（3）的值，本题得以解决．【解题过程】解：∵f（x）＝，∴f（3）＝＝1，故答案为：1．【总结归纳】本题考查函数值，解答本题的关键是明确题意，利用题目中新定义解答．9．已知正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0）的图象经过第二、四象限，那么y的值随着x的值增大而．（填“增大”或“减小”）【知识考点】正比例函数的性质．【思路分析】根据正比例函数的性质进行解答即可．【解题过程】解：函数y＝kx（k≠0）的图象经过第二、四象限，那么y的值随x的值增大而减小，故答案为：减小．【总结归纳】此题主要考查了正比例函数的性质，关键是掌握正比例函数的性质：正比例函数y ＝kx（k≠0）的图象是一条经过原点的直线，当k＞0时，该直线经过第一、三象限，且y的值随x的值增大而增大；当k＜0时，该直线经过第二、四象限，且y的值随x的值增大而减小．10．如果关于x的方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，那么m的值是．【知识考点】根的判别式．【思路分析】一元二次方程有两个相等的实根，即根的判别式△＝b2﹣4ac＝0，即可求m值．【解题过程】解：依题意，∵方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，∴△＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4m＝0，解得m＝4，故答案为：4．【总结归纳】此题主要考查的是一元二次方程的根判别式，当△＝b2﹣4ac＝0时，方程有两个相等的实根，当△＝b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实根，当△＝b2﹣4ac＜0时，方程无实数根．11．如果从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，那么取到的数恰好是5的倍数的概率是．【知识考点】概率公式．【思路分析】根据从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，得出是5的倍数的数据，再根据概率公式即可得出答案．【解题过程】解：∵从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，是5的倍数的有：5，10，∴取到的数恰好是5的倍数的概率是＝．故答案为：．【总结归纳】此题主要考查了概率公式，概率＝所求情况数与总情况数之比求出是解决问题的关键．12．如果将抛物线y＝x2向上平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是．【知识考点】二次函数图象与几何变换．【思路分析】直接根据抛物线向上平移的规律求解．【解题过程】解：抛物线y＝x2向上平移3个单位得到y＝x2+3．故答案为：y＝x2+3．【总结归纳】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．13．为了解某区六年级8400名学生中会游泳的学生人数，随机调查了其中400名学生，结果有150名学生会游泳，那么估计该区会游泳的六年级学生人数约为．【知识考点】用样本估计总体．【思路分析】用样本中会游泳的学生人数所占的比例乘总人数即可得出答案．【解题过程】解：8400×＝3150（名）．答：估计该区会游泳的六年级学生人数约为3150名．故答案为：3150名．【总结归纳】本题主要考查样本估计总体，熟练掌握样本估计总体的思想及计算方法是解题的关键．14．《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB＝1.6米，BD＝1米，BE＝0.2米，那么井深AC为米．【知识考点】相似三角形的应用．【思路分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解题过程】解：∵BD⊥AB，AC⊥AB，∴BD∥AC，∴△ACE∽△DBE，∴，∴＝，∴AC＝7（米），答：井深AC为7米．【总结归纳】本题考查了相似三角形的应用，正确的识别图形是解题的关键．15．如图，AC、BD是平行四边形ABCD的对角线，设＝，＝，那么向量用向量、表示为．【知识考点】平行四边形的性质；平面向量．【思路分析】利用平行四边形的性质，三角形法则求解即可．【解题过程】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，AB＝CD，AB∥CD，∴＝＝，∵＝+＝+，∴＝＝+，∵＝+，∴＝++＝2+，故答案为：2+．【总结归纳】本题考查平行四边形的性质，三角形法则等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．16．小明从家步行到学校需走的路程为1800米．图中的折线OAB反映了小明从家步行到学校所走的路程s（米）与时间t（分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行米．【知识考点】一次函数的应用．【思路分析】当8≤t≤20时，设s＝kt+b，将（8，960）、（20，1800）代入求得s＝70t+400，求出t＝15时s的值，从而得出答案．【解题过程】解：当8≤t≤20时，设s＝kt+b，将（8，960）、（20，1800）代入，得：，解得：，∴s＝70t+400；当t＝15时，s＝1450，1800﹣1450＝350，∴当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行350米，故答案为：350．【总结归纳】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意，从实际问题中抽象出一次函数的模型，并熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式．17．如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝7，∠B＝60°，点D在边BC上，CD＝3，联结AD．如果将△ACD沿直线AD翻折后，点C的对应点为点E，那么点E到直线BD的距离为．【知识考点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）．【思路分析】如图，过点E作EH⊥BC于H．首先证明△ABD是等边三角形，解直角三角形求出EH即可．【解题过程】解：如图，过点E作EH⊥BC于H．∵BC＝7，CD＝3，∴BD＝BC﹣CD＝4，∵AB＝4＝BD，∠B＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴ADB＝60°，∴∠ADC＝∠ADE＝120°，∴∠EDH＝60°，∵EH⊥BC，∴∠EHD＝90°，∵DE＝DC＝3，∴EH＝DE•sin60°＝，∴E到直线BD的距离为，故答案为．【总结归纳】本题考查翻折变换，勾股定理，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．18．在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点O在对角线AC上，圆O的半径为2，如果圆O与矩形ABCD的各边都没有公共点，那么线段AO长的取值范围是．【知识考点】矩形的性质；直线与圆的位置关系．【思路分析】根据勾股定理得到AC＝10，如图1，设⊙O与AD边相切于E，连接OE，如图2，设⊙O与BC边相切于F，连接OF，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解题过程】解：在矩形ABCD中，∵∠D＝90°，AB＝6，BC＝8，∴AC＝10，如图1，设⊙O与AD边相切于E，连接OE，则OE⊥AD，∴OE∥CD，∴△AOE∽△ACD，∴，∴＝，∴AO＝，如图2，设⊙O与BC边相切于F，连接OF，则OF⊥BC，∴OF∥AB，∴△COF∽△CAB，∴＝，∴＝，∴OC＝，∴AO＝，∴如果圆O与矩形ABCD的各边都没有公共点，那么线段AO长的取值范围是＜AO＜，故答案为：＜AO＜．【总结归纳】本题考查了直线与圆的位置关系，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：27+﹣（）﹣2+|3﹣|．【知识考点】实数的运算；分数指数幂；负整数指数幂．【思路分析】利用分数的指数幂的意义，分母有理化，负指数幂的意义，绝对值的性质计算后合并即可．【解题过程】解：原式＝（33）+﹣2﹣4+3﹣＝3+﹣2﹣4+3﹣＝0．【总结归纳】本题考查了分数指数幂的运算，负指数幂的运算，绝对值的意义以及分母有理化运算，熟练掌握实数的运算法则是解题的关键．20．（10分）解不等式组：【知识考点】解一元一次不等式组．【思路分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可求解．【解题过程】解：，解不等式①得x＞2，解不等式②得x＜5．故原不等式组的解集是2＜x＜5．【总结归纳】本题考查解一元一次不等式组，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．21．（10分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠DAB＝90°，AB＝8，CD＝5，BC＝3．（1）求梯形ABCD的面积；（2）联结BD，求∠DBC的正切值．【知识考点】直角梯形；解直角三角形．【思路分析】（1）过C作CE⊥AB于E，推出四边形ADCE是矩形，得到AD＝CE，AE＝CD＝5，根据勾股定理得到CE＝＝6，于是得到梯形ABCD的面积＝×（5+8）×6＝39；（2）过C作CH⊥BD于H，根据相似三角形的性质得到，根据勾股定理得到BD＝＝＝10，BH＝＝＝6，于是得到结论．【解题过程】解：（1）过C作CE⊥AB于E，∵AB∥DC，∠DAB＝90°，∴∠D＝90°，∴∠A＝∠D＝∠AEC＝90°，∴四边形ADCE是矩形，∴AD＝CE，AE＝CD＝5，∴BE＝AB﹣AE＝3，∵BC＝3，∴CE＝＝6，∴梯形ABCD的面积＝×（5+8）×6＝39；（2）过C作CH⊥BD于H，∵CD∥AB，∴∠CDB＝∠ABD，∵∠CHD＝∠A＝90°，∴△CDH∽△DBA，∴，∵BD＝＝＝10，∴＝，∴CH＝3，∴BH＝＝＝6，∴∠DBC的正切值＝＝＝．【总结归纳】本题考查了直角梯形，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．22．（10分）去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．【知识考点】一元二次方程的应用．【思路分析】（1）根据该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额＝前六天的总营业额+第七天的营业额，即可求出结论；（2）设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x，根据该商店去年7月份及9月份的营业额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解题过程】解：（1）450+450×12%＝504（万元）．答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元．（2）设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x，依题意，得：350（1+x）2＝504，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．答：该商店去年8、9月份营业额的月增长率为20%．【总结归纳】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．23．（12分）已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE＝DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H．（1）求证：△BEC∽△BCH；（2）如果BE2＝AB•AE，求证：AG＝DF．【知识考点】全等三角形的判定与性质；菱形的性质；相似三角形的判定与性质．【思路分析】（1）想办法证明∠BCE＝∠H即可解决问题．（2）利用平行线分线段成比例定理结合已知条件解决问题即可．【解题过程】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴CD＝CB，∠D＝∠B，CD∥AB，∵DF＝BE，∴△CDF≌CBE（SAS），∴∠DCF＝∠BCE，∵CD∥BH，∴∠H＝∠DCF，∴∠BCE＝∠H，∵∠B＝∠B，∴△BEC∽△BCH．（2）证明：∵BE2＝AB•AE，∴＝，∵AG∥BC，∴＝，∴＝，∵DF＝BE，BC＝AB，∴BE＝AG＝DF，即AG＝DF．【总结归纳】本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+5与x轴、y轴分别交于点A、B（如图）．抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A．（1）求线段AB的长；（2）如果抛物线y＝ax2+bx经过线段AB上的另一点C，且BC＝，求这条抛物线的表达式；（3）如果抛物线y＝ax2+bx的顶点D位于△AOB内，求a的取值范围．【知识考点】二次函数综合题．【思路分析】（1）先求出A，B坐标，即可得出结论；（2）设点C（m，﹣m+5），则BC＝|m，进而求出点C（2，4），最后将点A，C代入抛物线解析式中，即可得出结论；（3）将点A坐标代入抛物线解析式中得出b＝﹣10a，代入抛物线解析式中得出顶点D坐标为（5，﹣25a），即可得出结论．【解题过程】解：（1）针对于直线y＝﹣x+5，令x＝0，y＝5，∴B（0，5），令y＝0，则﹣x+5＝0，∴x＝10，∴A（10，0），∴AB＝＝5；（2）设点C（m，﹣m+5），∵B（0，5），∴BC＝＝|m|，∵BC＝，∴|m|＝，∴m＝±2，∵点C在线段AB上，∴m＝2，∴C（2，4），将点A（10，0），C（2，4）代入抛物线y＝ax2+bx（a≠0）中，得，∴，∴抛物线y＝﹣x2+x；（3）∵点A（10，0）在抛物线y＝ax2+bx中，得100a+10b＝0，∴b＝﹣10a，∴抛物线的解析式为y＝ax2﹣10ax＝a（x﹣5）2﹣25a，∴抛物线的顶点D坐标为（5，﹣25a），将x＝5代入y＝﹣x+5中，得y＝﹣×5+5＝，∵顶点D位于△AOB内，∴0＜﹣25a＜，∴﹣＜a＜0；【总结归纳】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，两点间的距离公式，抛物线的顶点坐标的求法，求出点D的坐标是解本题的关键．25．（14分）如图，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长交边AC于点D．（1）求证：∠BAC＝2∠ABD；（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小；（3）当AD＝2，CD＝3时，求边BC的长．【知识考点】圆的综合题．【思路分析】（1）连接OA．利用垂径定理以及等腰三角形的性质解决问题即可．（2）分三种情形：①若BD＝CB，则∠C＝∠BDC＝∠ABD+∠BAC＝3∠ABD．②若CD＝CB，则∠CBD＝∠CDB＝3∠ABD．③若DB＝DC，则D与A重合，这种情形不存在．分别利用三角形内角和定理构建方程求解即可．（3）如图3中，作AE∥BC交BD的延长线于E．则＝＝，推出＝＝，设OB＝OA＝4a，OH＝3a，根据BH2＝AB2﹣AH2＝OB2﹣OH2，构建方程求出a即可解决问题．【解题过程】（1）证明：连接OA．∵AB＝AC，∴＝，∴OA⊥BC，∴∠BAO＝∠CAO，∵OA＝OB，∴∠ABD＝∠BAO，∴∠BAC＝2∠BAD．（2）解：如图2中，延长AO交BC于H．①若BD＝CB，则∠C＝∠BDC＝∠ABD+∠BAC＝3∠ABD，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∴∠DBC＝2∠ABD，∵∠DBC+∠C+∠BDC＝180°，∴8∠ABD＝180°，∴∠C＝3∠ABD＝67.5°．②若CD＝CB，则∠CBD＝∠CDB＝3∠ABD，∴∠C＝4∠ABD，∵∠DBC+∠C+∠CDB＝180°，∴10∠ABD＝180°，∴∠BCD＝4∠ABD＝72°．③若DB＝DC，则D与A重合，这种情形不存在．综上所述，∠C的值为67.5°或72°．（3）如图3中，作AE∥BC交BD的延长线于E．则＝＝，∴＝＝，设OB＝OA＝4a，OH＝3a，∵BH2＝AB2﹣AH2＝OB2﹣OH2，∴25﹣49a2＝16a2﹣9a2，∴a2＝，∴BH＝，∴BC＝2BH＝．【总结归纳】本题属于圆综合题，考查了垂径定理，等腰三角形的性质，解直角三角形，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．。
2020年上海市中考数学试卷答案解析版
2020年上海市中考数学试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1．（4分）下列二次根式中，与√3是同类二次根式的是（ ） A ．√6B ．√9C ．√12D ．√182．（4分）用换元法解方程x+1x 2+x 2x+1=2时，若设x+1x 2=y ，则原方程可化为关于y 的方程是（ ） A ．y 2﹣2y +1＝0B ．y 2+2y +1＝0C ．y 2+y +2＝0D ．y 2+y ﹣2＝03．（4分）我们经常将调查、收集得来的数据用各类统计图进行整理与表示．下列统计图中，能凸显由数据所表现出来的部分与整体的关系的是（ ） A ．条形图 B ．扇形图 C ．折线图D ．频数分布直方图4．（4分）已知反比例函数的图象经过点（2，﹣4），那么这个反比例函数的解析式是（ ） A ．y =2xB ．y =−2xC ．y =8xD ．y =−8x5．（4分）下列命题中，真命题是（ ） A ．对角线互相垂直的梯形是等腰梯形B ．对角线互相垂直的平行四边形是正方形C ．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形D ．对角线平分一组对角的梯形是直角梯形6．（4分）如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形．下列图形中，平移重合图形是（ ） A ．平行四边形B ．等腰梯形C ．正六边形D ．圆二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．（4分）计算：2a •3ab ＝ ．8．（4分）已知f （x ）=2x−1，那么f （3）的值是 ．9．（4分）已知正比例函数y ＝kx （k 是常数，k ≠0）的图象经过第二、四象限，那么y 的值随着x 的值增大而 ．（填“增大”或“减小”）10．（4分）如果关于x 的方程x 2﹣4x +m ＝0有两个相等的实数根，那么m 的值是 ． 11．（4分）如果从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，那么取到的数恰好是5的倍数的概率是 ．12．（4分）如果将抛物线y ＝x 2向上平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是 ． 13．（4分）为了解某区六年级8400名学生中会游泳的学生人数，随机调查了其中400名学生，结果有150名学生会游泳，那么估计该区会游泳的六年级学生人数约为 ． 14．（4分）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B 处立一根垂直于井口的木杆BD ，从木杆的顶端D 观察井水水岸C ，视线DC 与井口的直径AB 交于点E ，如果测得AB ＝1.6米，BD ＝1米，BE ＝0.2米，那么井深AC 为 米．15．（4分）如图，AC 、BD 是平行四边形ABCD 的对角线，设BC →=a →，CA →=b →，那么向量BD →用向量a →、b →表示为 ．16．（4分）小明从家步行到学校需走的路程为1800米．图中的折线OAB 反映了小明从家步行到学校所走的路程s （米）与时间t （分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行 米．17．（4分）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝7，∠B＝60°，点D在边BC上，CD＝3，联结AD．如果将△ACD沿直线AD翻折后，点C的对应点为点E，那么点E到直线BD 的距离为．18．（4分）在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点O在对角线AC上，圆O的半径为2，如果圆O与矩形ABCD的各边都没有公共点，那么线段AO长的取值范围是．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：27135+2−（12）﹣2+|3−√5|．20．（10分）解不等式组：{10x＞7x+6，x−1＜x+73．21．（10分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠DAB＝90°，AB＝8，CD＝5，BC ＝3√5．（1）求梯形ABCD的面积；（2）联结BD，求∠DBC的正切值．22．（10分）去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．23．（12分）已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE＝DF，CE 的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H．（1）求证：△BEC∽△BCH；（2）如果BE2＝AB•AE，求证：AG＝DF．24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线y=−12x+5与x轴、y轴分别交于点A、B（如图）．抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A．（1）求线段AB的长；（2）如果抛物线y＝ax2+bx经过线段AB上的另一点C，且BC=√5，求这条抛物线的表达式；（3）如果抛物线y＝ax2+bx的顶点D位于△AOB内，求a的取值范围．25．（14分）如图，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长交边AC于点D．（1）求证：∠BAC＝2∠ABD；（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小；（3）当AD＝2，CD＝3时，求边BC的长．参考答案一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1．（4分）下列二次根式中，与√3是同类二次根式的是（ ） A ．√6B ．√9C ．√12D ．√18【解答】解：A .√6与√3的被开方数不相同，故不是同类二次根式； B .√9=3，与√3不是同类二次根式；C .√12=2√3，与√3被开方数相同，故是同类二次根式；D .√18=3√2，与√3被开方数不同，故不是同类二次根式． 故选：C ．2．（4分）用换元法解方程x+1x +x 2x+1=2时，若设x+1x =y ，则原方程可化为关于y 的方程是（ ） A ．y 2﹣2y +1＝0 B ．y 2+2y +1＝0C ．y 2+y +2＝0D ．y 2+y ﹣2＝0【解答】解：把x+1x =y 代入原方程得：y +1y=2，转化为整式方程为y 2﹣2y +1＝0．故选：A ．3．（4分）我们经常将调查、收集得来的数据用各类统计图进行整理与表示．下列统计图中，能凸显由数据所表现出来的部分与整体的关系的是（ ） A ．条形图 B ．扇形图 C ．折线图D ．频数分布直方图【解答】解：统计图中，能凸显由数据所表现出来的部分与整体的关系的是扇形图， 故选：B ．4．（4分）已知反比例函数的图象经过点（2，﹣4），那么这个反比例函数的解析式是（ ） A ．y =2xB ．y =−2xC ．y =8xD ．y =−8x【解答】解：设反比例函数解析式为y =k x， 将（2，﹣4）代入，得：﹣4=k2， 解得k ＝﹣8，所以这个反比例函数解析式为y =−8x ，故选：D．5．（4分）下列命题中，真命题是（）A．对角线互相垂直的梯形是等腰梯形B．对角线互相垂直的平行四边形是正方形C．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形D．对角线平分一组对角的梯形是直角梯形【解答】解：A、对角线相等的梯形是等腰梯形，故错误；B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误；C、正确；D、对角线平分一组对角的梯形是菱形，故错误；故选：C．6．（4分）如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形．下列图形中，平移重合图形是（）A．平行四边形B．等腰梯形C．正六边形D．圆【解答】解：如图，平行四边形ABCD中，取BC，AD的中点E，F，连接EF．∵四边形ABEF向右平移可以与四边形EFCD重合，∴平行四边形ABCD是平移重合图形，故选：A．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．（4分）计算：2a•3ab＝6a2b．【解答】解：2a•3ab＝6a2b．故答案为：6a2b．8．（4分）已知f（x）=2x−1，那么f（3）的值是1．【解答】解：∵f（x）=2x−1，∴f （3）=23−1=1， 故答案为：1．9．（4分）已知正比例函数y ＝kx （k 是常数，k ≠0）的图象经过第二、四象限，那么y 的值随着x 的值增大而 减小 ．（填“增大”或“减小”）【解答】解：函数y ＝kx （k ≠0）的图象经过第二、四象限，那么y 的值随x 的值增大而减小，故答案为：减小．10．（4分）如果关于x 的方程x 2﹣4x +m ＝0有两个相等的实数根，那么m 的值是 4 ． 【解答】解：依题意，∵方程x 2﹣4x +m ＝0有两个相等的实数根， ∴△＝b 2﹣4ac ＝（﹣4）2﹣4m ＝0，解得m ＝4， 故答案为：4．11．（4分）如果从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，那么取到的数恰好是5的倍数的概率是15．【解答】解：∵从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，是5的倍数的有：5，10，∴取到的数恰好是5的倍数的概率是210=15．故答案为：15．12．（4分）如果将抛物线y ＝x 2向上平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是 y ＝x 2+3 ． 【解答】解：抛物线y ＝x 2向上平移3个单位得到y ＝x 2+3． 故答案为：y ＝x 2+3．13．（4分）为了解某区六年级8400名学生中会游泳的学生人数，随机调查了其中400名学生，结果有150名学生会游泳，那么估计该区会游泳的六年级学生人数约为 3150名 ． 【解答】解：8400×150400=3150（名）． 答：估计该区会游泳的六年级学生人数约为3150名． 故答案为：3150名．14．（4分）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B 处立一根垂直于井口的木杆BD ，从木杆的顶端D 观察井水水岸C ，视线DC 与井口的直径AB 交于点E ，如果测得AB ＝1.6米，BD ＝1米，BE ＝0.2米，那么井深AC 为 7 米．【解答】解：∵BD ⊥AB ，AC ⊥AB ， ∴BD ∥AC ， ∴△ACE ∽△DBE ， ∴AC BD =AE BE ，∴AC 1=1.40.2，∴AC ＝7（米）， 答：井深AC 为7米．15．（4分）如图，AC 、BD 是平行四边形ABCD 的对角线，设BC →=a →，CA →=b →，那么向量BD →用向量a →、b →表示为 2a →+b →．【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ＝BC ，AD ∥BC ，AB ＝CD ，AB ∥CD ， ∴AD →=BC →=a →，∵CD →=CA →+AD →=b →+a →， ∴BA →=CD →=b →+a →， ∵BD →=BA →+AD →，∴BD →=b →+a →+a →=2a →+b →，故答案为：2a →+b →．16．（4分）小明从家步行到学校需走的路程为1800米．图中的折线OAB 反映了小明从家步行到学校所走的路程s （米）与时间t （分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行 350 米．【解答】解：当8≤t ≤20时，设s ＝kt +b ， 将（8，960）、（20，1800）代入，得： {8k +b =96020k +b =1800， 解得：{k =70b =400，∴s ＝70t +400； 当t ＝15时，s ＝1450， 1800﹣1450＝350，∴当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行350米， 故答案为：350．17．（4分）如图，在△ABC 中，AB ＝4，BC ＝7，∠B ＝60°，点D 在边BC 上，CD ＝3，联结AD ．如果将△ACD 沿直线AD 翻折后，点C 的对应点为点E ，那么点E 到直线BD 的距离为3√32．【解答】解：如图，过点E 作EH ⊥BC 于H ．∵BC ＝7，CD ＝3， ∴BD ＝BC ﹣CD ＝4， ∵AB ＝4＝BD ，∠B ＝60°， ∴△ABD 是等边三角形， ∴ADB ＝60°，∴∠ADC ＝∠ADE ＝120°， ∴∠EDH ＝60°， ∵EH ⊥BC ， ∴∠EHD ＝90°， ∵DE ＝DC ＝3， ∴EH ＝DE •sin60°=3√32， ∴E 到直线BD 的距离为3√32，故答案为3√32． 18．（4分）在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，点O 在对角线AC 上，圆O 的半径为2，如果圆O 与矩形ABCD 的各边都没有公共点，那么线段AO 长的取值范围是103＜AO ＜203． 【解答】解：在矩形ABCD 中，∵∠D ＝90°，AB ＝6，BC ＝8， ∴AC ＝10，如图1，设⊙O 与AD 边相切于E ，连接OE ， 则OE ⊥AD ， ∴OE ∥CD ， ∴△AOE ∽△ACD ， ∴OE CD =AO AC ，∴AO 10=26，∴AO =103，如图2，设⊙O 与BC 边相切于F ，连接OF ， 则OF ⊥BC ，∴OF ∥AB ，∴△COF ∽△CAB ，∴OC AC =OF AB ， ∴OC 10=26，∴OC =103，∴AO =203，∴如果圆O 与矩形ABCD 的各边都没有公共点，那么线段AO 长的取值范围是103＜AO ＜203， 故答案为：103＜AO ＜203．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：27131√5+2−（12）﹣2+|3−√5|． 【解答】解：原式＝（33）13+√5−2﹣4+3−√5 ＝3+√5−2﹣4+3−√5＝0． 20．（10分）解不等式组：{10x ＞7x +6，x −1＜x+73．【解答】解：{10x ＞7x +6①x −1＜x+73②， 解不等式①得x ＞2，解不等式②得x ＜5．故原不等式组的解集是2＜x ＜5．21．（10分）如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠DAB ＝90°，AB ＝8，CD ＝5，BC＝3√5．（1）求梯形ABCD 的面积；（2）联结BD ，求∠DBC 的正切值．【解答】解：（1）过C 作CE ⊥AB 于E ，∵AB ∥DC ，∠DAB ＝90°，∴∠D ＝90°，∴∠A ＝∠D ＝∠AEC ＝90°，∴四边形ADCE 是矩形，∴AD ＝CE ，AE ＝CD ＝5，∴BE ＝AB ﹣AE ＝3，∵BC ＝3√5，∴CE =√BC 2−BE 2=6，∴梯形ABCD 的面积=12×（5+8）×6＝39； （2）过C 作CH ⊥BD 于H ，∵CD ∥AB ，∴∠CDB ＝∠ABD ，∵∠CHD ＝∠A ＝90°，∴△CDH ∽△DBA ，∴CH AD =CD BD ，∵BD =√AB 2+AD 2=√82+62=10，∴CH 6=510，∴CH ＝3，∴BH =√BC 2−CH 2=√(3√5)2−32=6，∴∠DBC 的正切值=CH BH =36=12．22．（10分）去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．【解答】解：（1）450+450×12%＝504（万元）．答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元．（2）设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x ，依题意，得：350（1+x ）2＝504，解得：x 1＝0.2＝20%，x 2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．答：该商店去年8、9月份营业额的月增长率为20%．23．（12分）已知：如图，在菱形ABCD 中，点E 、F 分别在边AB 、AD 上，BE ＝DF ，CE的延长线交DA 的延长线于点G ，CF 的延长线交BA 的延长线于点H ．（1）求证：△BEC ∽△BCH ；（2）如果BE 2＝AB •AE ，求证：AG ＝DF ．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴CD ＝CB ，∠D ＝∠B ，CD ∥AB ，∵DF ＝BE ，∴△CDF ≌CBE （SAS ），∴∠DCF ＝∠BCE ，∵CD ∥BH ，∴∠H ＝∠DCF ，∴∠BCE ＝∠H ，∵∠B ＝∠B ，∴△BEC ∽△BCH ．（2）证明：∵BE 2＝AB •AE ，∴BE AB =AE EB ，∵AG ∥BC ，∴AE BE =AG BC ， ∴BE AB =AG BC ，∵DF ＝BE ，BC ＝AB ，∴BE ＝AG ＝DF ，即AG ＝DF ．24．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，直线y =−12x +5与x 轴、y 轴分别交于点A 、B （如图）．抛物线y ＝ax 2+bx （a ≠0）经过点A ．（1）求线段AB 的长；（2）如果抛物线y ＝ax 2+bx 经过线段AB 上的另一点C ，且BC =√5，求这条抛物线的表达式；（3）如果抛物线y ＝ax 2+bx 的顶点D 位于△AOB 内，求a 的取值范围．【解答】解：（1）针对于直线y =−12x +5，令x ＝0，y ＝5，∴B （0，5），令y ＝0，则−12x +5＝0，∴x ＝10，∴A （10，0），∴AB =√52+102=5√5；（2）设点C （m ，−12m +5），∵B （0，5），∴BC =√m 2+(−12m +5−5)2=√52|m |，∵BC =√5，∴√52|m |=√5， ∴m ＝±2，∵点C 在线段AB 上，∴m ＝2，∴C （2，4），将点A （10，0），C （2，4）代入抛物线y ＝ax 2+bx （a ≠0）中，得{100a +10b =04a +2b =4， ∴{a =−14b =52， ∴抛物线y =−14x 2+52x ；（3）∵点A（10，0）在抛物线y＝ax2+bx中，得100a+10b＝0，∴b＝﹣10a，∴抛物线的解析式为y＝ax2﹣10ax＝a（x﹣5）2﹣25a，∴抛物线的顶点D坐标为（5，﹣25a），将x＝5代入y=−12x+5中，得y=−12×5+5=52，∵顶点D位于△AOB内，∴0＜﹣25a＜5 2，∴−110＜a＜0；25．（14分）如图，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长交边AC于点D．（1）求证：∠BAC＝2∠ABD；（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小；（3）当AD＝2，CD＝3时，求边BC的长．【解答】（1）证明：连接OA．∵AB＝AC，∴AB̂=AĈ，∴OA⊥BC，∴∠BAO＝∠CAO，∵OA＝OB，∴∠ABD＝∠BAO，∴∠BAC＝2∠BAD．（2）解：如图2中，延长AO交BC于H．①若BD＝CB，则∠C＝∠BDC＝∠ABD+∠BAC＝3∠ABD，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∴∠DBC＝2∠ABD，∵∠DBC+∠C+∠BDC＝180°，∴8∠ABD＝180°，∴∠C＝3∠ABD＝67.5°．②若CD＝CB，则∠CBD＝∠CDB＝3∠ABD，∴∠C＝4∠ABD，∵∠DBC+∠C+∠CDB＝180°，∴10∠ABD＝180°，∴∠BCD＝4∠ABD＝72°．③若DB＝DC，则D与A重合，这种情形不存在．综上所述，∠C的值为67.5°或72°．（3）如图3中，作AE∥BC交BD的延长线于E．则AE BC =AD DC =23， ∴AO OH =E BH =43，设OB ＝OA ＝4a ，OH ＝3a ， ∵BH 2＝AB 2﹣AH 2＝OB 2﹣OH 2， ∴25﹣49a 2＝16a 2﹣9a 2， ∴a 2=2556，∴BH =5√24， ∴BC ＝2BH =5√22．。
2020上海市中考数学试卷(解析版)
2020年上海市中考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）A．B．C．D．【分析】根据同类二次根式的定义，先化简，再判断．【解答】解：A.与的被开方数不相同，故不是同类二次根式；B.，与不是同类二次根式；C.，与被开方数相同，故是同类二次根式；D.，与被开方数不同，故不是同类二次根式．故选：C．2．用换元法解方程+＝2时，若设＝y，则原方程可化为关于y的方程是（）A．y2﹣2y+1＝0B．y2+2y+1＝0C．y2+y+2＝0D．y2+y﹣2＝0【分析】方程的两个分式具备倒数关系，设＝y，则原方程化为y+＝2，再转化为整式方程y2﹣2y+1＝0即可求解．【解答】解：把＝y代入原方程得：y+＝2，转化为整式方程为y2﹣2y+1＝0．故选：A．3．我们经常将调查、收集得来的数据用各类统计图进行整理与表示．下列统计图中，能凸显由数据所表现出来的部分与整体的关系的是（）A．条形图B．扇形图C．折线图D．频数分布直方图【分析】根据统计图的特点判定即可．【解答】解：统计图中，能凸显由数据所表现出来的部分与整体的关系的是扇形图，故选：B．4．已知反比例函数的图象经过点（2，﹣4），那么这个反比例函数的解析式是（）A．y＝B．y＝﹣C．y＝D．y＝﹣【分析】已知函数图象上一点的坐标求反比例函数解析式，可先设出解析式y＝，再将点的坐标代入求出待定系数k的值，从而得出答案．【解答】解：设反比例函数解析式为y＝，将（2，﹣4）代入，得：﹣4＝，解得k＝﹣8，所以这个反比例函数解析式为y＝﹣，故选：D．5．下列命题中，真命题是（）A．对角线互相垂直的梯形是等腰梯形B．对角线互相垂直的平行四边形是正方形C．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形D．对角线平分一组对角的梯形是直角梯形【分析】利用特殊四边形的判定定理对每个选项逐一判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、对角线互相垂直且相等的梯形是等腰梯形，故错误；B、对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形，故错误；C、正确；D、对角线平分一组对角的梯形是菱形，故错误；故选：C．6．如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形．下列图形中，平移重合图形是（）A．平行四边形B．等腰梯形C．正六边形D．圆【分析】证明平行四边形是平移重合图形即可．【解答】解：如图，平行四边形ABCD中，取BC，AD的中点E，F，连接EF．∵四边形ABEF向右平移可以与四边形EFCD重合，∵平行四边形ABCD是平移重合图形，故选：A．二．填空题（共12小题）7．计算：2a•3ab＝6a2b．【分析】根据单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式，计算即可．【解答】解：2a•3ab＝6a2b．故答案为：6a2b．8．已知f（x）＝，那么f（3）的值是1．【分析】根据f（x）＝，可以求得f（3）的值，本题得以解决．【解答】解：∵f（x）＝，∵f（3）＝＝1，故答案为：1．9．已知正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0）的图象经过第二、四象限，那么y的值随着x的值增大而减小．（填“增大”或“减小”）【分析】根据正比例函数的性质进行解答即可．【解答】解：函数y＝kx（k≠0）的图象经过第二、四象限，那么y的值随x的值增大而减小，故答案为：减小．10．如果关于x的方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，那么m的值是4．【分析】一元二次方程有两个相等的实根，即根的判别式∵＝b2﹣4ac＝0，即可求m值．【解答】解：依题意，∵方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，∵∵＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4m＝0，解得m＝4，故答案为：4．11．如果从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，那么取到的数恰好是5的倍数的概率是．【分析】根据从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，得出是5的倍数的数据，再根据概率公式即可得出答案．【解答】解：∵从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，是5的倍数的有：5，10，∵取到的数恰好是5的倍数的概率是＝．故答案为：．12．如果将抛物线y＝x2向上平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是y＝x2+3．【分析】直接根据抛物线向上平移的规律求解．【解答】解：抛物线y＝x2向上平移3个单位得到y＝x2+3．故答案为：y＝x2+3．13．为了解某区六年级8400名学生中会游泳的学生人数，随机调查了其中400名学生，结果有150名学生会游泳，那么估计该区会游泳的六年级学生人数约为3150名．【分析】用样本中会游泳的学生人数所占的比例乘总人数即可得出答案．【解答】解：8400×＝3150（名）．答：估计该区会游泳的六年级学生人数约为3150名．故答案为：3150名．14．《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB＝1.6米，BD ＝1米，BE＝0.2米，那么井深AC为7米．【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解答】解：∵BD∵AB，AC∵AB，∵BD∵AC，∵∵ACE∵∵DBE，∵，∵＝，∵AC＝7（米），答：井深AC为7米．15．如图，AC、BD是平行四边形ABCD的对角线，设＝，＝，那么向量用向量、表示为2+．【分析】利用平行四边形的性质，三角形法则求解即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∵AD＝BC，AD∵BC，AB＝CD，AB∵CD，∵＝＝，∵＝+＝+，∵＝＝+，∵＝+，∵＝++＝2+，故答案为：2+．16．小明从家步行到学校需走的路程为1800米．图中的折线OAB反映了小明从家步行到学校所走的路程s（米）与时间t（分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行350米．【分析】当8≤t≤20时，设s＝kt+b，将（8，960）、（20，1800）代入求得s＝70t+400，求出t＝15时s的值，从而得出答案．【解答】解：当8≤t≤20时，设s＝kt+b，将（8，960）、（20，1800）代入，得：，解得：，∵s＝70t+400；当t＝15时，s＝1450，1800﹣1450＝350，∵当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行350米，故答案为：350．17．如图，在∵ABC中，AB＝4，BC＝7，∵B＝60°，点D在边BC上，CD＝3，联结AD．如果将∵ACD沿直线AD翻折后，点C的对应点为点E，那么点E到直线BD的距离为．【分析】如图，过点E作EH∵BC于H．首先证明∵ABD是等边三角形，解直角三角形求出EH即可．【解答】解：如图，过点E作EH∵BC于H．∵BC＝7，CD＝3，∵BD＝BC﹣CD＝4，∵AB＝4＝BD，∵B＝60°，∵∵ABD是等边三角形，∵ADB＝60°，∵∵ADC＝∵ADE＝120°，∵∵EDH＝60°，∵EH∵BC，∵∵EHD＝90°，∵DE＝DC＝3，∵EH＝DE•sin60°＝，。
2020年上海市中考数学试卷(含解析)
2020年上海市中考数学试卷（考试时间：120分钟满分：150分）一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）A．B．C．D．2．用换元法解方程+＝2时，若设＝y，则原方程可化为关于y的方程是（）A．y2﹣2y+1＝0 B．y2+2y+1＝0 C．y2+y+2＝0 D．y2+y﹣2＝03．我们经常将调查、收集得来的数据用各类统计图进行整理与表示．下列统计图中，能凸显由数据所表现出来的部分与整体的关系的是（）A．条形图B．扇形图C．折线图D．频数分布直方图4．已知反比例函数的图象经过点（2，﹣4），那么这个反比例函数的解析式是（）A．y＝B．y＝﹣C．y＝D．y＝﹣5．下列命题中，真命题是（）A．对角线互相垂直的梯形是等腰梯形B．对角线互相垂直的平行四边形是正方形C．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形D．对角线平分一组对角的梯形是直角梯形6．如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形．下列图形中，平移重合图形是（）A．平行四边形B．等腰梯形C．正六边形D．圆二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．计算：2a•3ab＝．8．已知f（x）＝，那么f（3）的值是．9．已知正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0）的图象经过第二、四象限，那么y的值随着x的值增大而．（填“增大”或“减小”）10．如果关于x的方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，那么m的值是．11．如果从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，那么取到的数恰好是5的倍数的概率是．12．如果将抛物线y＝x2向上平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是．13．为了解某区六年级8400名学生中会游泳的学生人数，随机调查了其中400名学生，结果有150名学生会游泳，那么估计该区会游泳的六年级学生人数约为．14．《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB＝1.6米，BD＝1米，BE＝0.2米，那么井深AC为米．15．如图，AC、BD是平行四边形ABCD的对角线，设＝，＝，那么向量用向量、表示为．16．小明从家步行到学校需走的路程为1800米．图中的折线OAB反映了小明从家步行到学校所走的路程s （米）与时间t（分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行米．17．如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝7，∠B＝60°，点D在边BC上，CD＝3，联结AD．如果将△ACD沿直线AD翻折后，点C的对应点为点E，那么点E到直线BD的距离为．18．在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点O在对角线AC上，圆O的半径为2，如果圆O与矩形ABCD的各边都没有公共点，那么线段AO长的取值范围是．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：+﹣（）﹣2+|3﹣|．20．（10分）解不等式组：21．（10分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠DAB＝90°，AB＝8，CD＝5，BC＝3．（1）求梯形ABCD的面积；（2）联结BD，求∠DBC的正切值．22．（10分）去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．23．（12分）已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE＝DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H．（1）求证：△BEC∽△BCH；（2）如果BE2＝AB•AE，求证：AG＝DF．24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+5与x轴、y轴分别交于点A、B（如图）．抛物线y ＝ax2+bx（a≠0）经过点A．（1）求线段AB的长；（2）如果抛物线y＝ax2+bx经过线段AB上的另一点C，且BC＝，求这条抛物线的表达式；（3）如果抛物线y＝ax2+bx的顶点D位于△AOB内，求a的取值范围．25．（14分）如图，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长交边AC于点D．（1）求证：∠BAC＝2∠ABD；（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小；（3）当AD＝2，CD＝3时，求边BC的长．参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．【解答】解：A.与的被开方数不相同，故不是同类二次根式；B.，与不是同类二次根式；C.，与被开方数相同，故是同类二次根式；D.，与被开方数不同，故不是同类二次根式．故选：C．2．【解答】解：把＝y代入原方程得：y+＝2，转化为整式方程为y2﹣2y+1＝0．故选：A．3．【解答】解：统计图中，能凸显由数据所表现出来的部分与整体的关系的是扇形图，故选：B．4．【解答】解：设反比例函数解析式为y＝，将（2，﹣4）代入，得：﹣4＝，解得k＝﹣8，所以这个反比例函数解析式为y＝﹣，故选：D．5．【解答】解：A、对角线相等的梯形是等腰梯形，故错误；B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误；C、正确；D、对角线平分一组对角的梯形是菱形，故错误；故选：C．6．【解答】解：如图，平行四边形ABCD中，取BC，AD的中点E，F，连接EF．∵四边形ABEF向右平移可以与四边形EFCD重合，∴平行四边形ABCD是平移重合图形，故选：A．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．【解答】解：2a•3ab＝6a2b．故答案为：6a2b．8．【解答】解：∵f（x）＝，∴f（3）＝＝1，故答案为：1．9．【解答】解：函数y＝kx（k≠0）的图象经过第二、四象限，那么y的值随x的值增大而减小，故答案为：减小．10．【解答】解：依题意，∵方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，∴△＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4m＝0，解得m＝4，故答案为：4．11．【解答】解：∵从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，是5的倍数的有：5，10，∴取到的数恰好是5的倍数的概率是＝．故答案为：．12．【解答】解：抛物线y＝x2向上平移3个单位得到y＝x2+3．故答案为：y＝x2+3．13．【解答】解：8400×＝3150（名）．答：估计该区会游泳的六年级学生人数约为3150名．故答案为：3150名．14．【解答】解：∵BD⊥AB，AC⊥AB，∴BD∥AC，∴△ACE∽△DBE，∴，∴＝，∴AC＝7（米），答：井深AC为7米．15．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，AB＝CD，AB∥CD，∴＝＝，∵＝+＝+，∴＝＝+，∵＝+，∴＝++＝2+，故答案为：2+．16．【解答】解：当8≤t≤20时，设s＝kt+b，将（8，960）、（20，1800）代入，得：，解得：，∴s＝70t+400；当t＝15时，s＝1450，1800﹣1450＝350，∴当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行350米，故答案为：350．17．【解答】解：如图，过点E作EH⊥BC于H．∵BC＝7，CD＝3，∴BD＝BC﹣CD＝4，∵AB＝4＝BD，∠B＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴ADB＝60°，∴∠ADC＝∠ADE＝120°，∴∠EDH＝60°，∵EH⊥BC，∴∠EHD＝90°，∵DE＝DC＝3，∴EH＝DE•sin60°＝，∴E到直线BD的距离为，故答案为．18．【解答】解：在矩形ABCD中，∵∠D＝90°，AB＝6，BC＝8，∴AC＝10，如图1，设⊙O与AD边相切于E，连接OE，则OE⊥AD，∴OE∥CD，∴△AOE∽△ACD，∴，∴＝，∴AO＝，如图2，设⊙O与BC边相切于F，连接OF，则OF⊥BC，∴OF∥AB，∴△COF∽△CAB，∴＝，∴＝，∴OC＝，∴AO＝，∴如果圆O与矩形ABCD的各边都没有公共点，那么线段AO长的取值范围是＜AO＜，故答案为：＜AO＜．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．【解答】解：原式＝（33）+﹣2﹣4+3﹣＝3+﹣2﹣4+3﹣＝0．20．【解答】解：，解不等式①得x＞2，解不等式②得x＜5．故原不等式组的解集是2＜x＜5．21．【解答】解：（1）过C作CE⊥AB于E，∵AB∥DC，∠DAB＝90°，∴∠D＝90°，∴∠A＝∠D＝∠AEC＝90°，∴四边形ADCE是矩形，∴AD＝CE，AE＝CD＝5，∴BE＝AB﹣AE＝3，∵BC＝3，∴CE＝＝6，∴梯形ABCD的面积＝×（5+8）×6＝39；（2）过C作CH⊥BD于H，∵CD∥AB，∴∠CDB＝∠ABD，∵∠CHD＝∠A＝90°，∴△CDH∽△DBA，∴，∵BD＝＝＝10，∴＝，∴CH＝3，∴BH＝＝＝6，∴∠DBC的正切值＝＝＝．22．【解答】解：（1）450+450×12%＝504（万元）．答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元．（2）设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x，依题意，得：350（1+x）2＝504，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．答：该商店去年8、9月份营业额的月增长率为20%．23．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴CD＝CB，∠D＝∠B，CD∥AB，∵DF＝BE，∴△CDF≌CBE（SAS），∴∠DCF＝∠BCE，∵CD∥BH，∴∠H＝∠DCF，∴∠BCE＝∠H，∵∠B＝∠B，∴△BEC∽△BCH．（2）证明：∵BE2＝AB•AE，∴＝，∵AG∥BC，∴＝，∴＝，∵DF＝BE，BC＝AB，∴BE＝AG＝DF，即AG＝DF．24．【解答】解：（1）针对于直线y＝﹣x+5，令x＝0，y＝5，∴B（0，5），令y＝0，则﹣x+5＝0，∴x＝10，∴A（10，0），∴AB＝＝5；（2）设点C（m，﹣m+5），∵B（0，5），∴BC＝＝|m|，∵BC＝，∴|m|＝，∴m＝±2，∵点C在线段AB上，∴m＝2，∴C（2，4），将点A（10，0），C（2，4）代入抛物线y＝ax2+bx（a≠0）中，得，∴，∴抛物线y＝﹣x2+x；（3）∵点A（10，0）在抛物线y＝ax2+bx中，得100a+10b＝0，∴b＝﹣10a，∴抛物线的解析式为y＝ax2﹣10ax＝a（x﹣5）2﹣25a，∴抛物线的顶点D坐标为（5，﹣25a），将x＝5代入y＝﹣x+5中，得y＝﹣×5+5＝，∵顶点D位于△AOB内，∴0＜﹣25a＜，∴﹣＜a＜0；25．【解答】（1）证明：连接OA．∵AB＝AC，∴＝，∴OA⊥BC，∴∠BAO＝∠CAO，∵OA＝OB，∴∠ABD＝∠BAO，∴∠BAC＝2∠BAD．（2）解：如图2中，延长AO交BC于H．①若BD＝CB，则∠C＝∠BDC＝∠ABD+∠BAC＝3∠ABD，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∴∠DBC＝2∠ABD，∵∠DBC+∠C+∠BDC＝180°，∴8∠ABD＝180°，∴∠C＝3∠ABD＝67.5°．②若CD＝CB，则∠CBD＝∠CDB＝3∠ABD，∴∠C＝4∠ABD，∵∠DBC+∠C+∠CDB＝180°，∴10∠ABD＝180°，∴∠BCD＝4∠ABD＝72°．③若DB＝DC，则D与A重合，这种情形不存在．综上所述，∠C的值为67.5°或72°．（3）如图3中，作AE∥BC交BD的延长线于E．则＝＝，∴＝＝，设OB＝OA＝4a，OH＝3a，∵BH2＝AB2﹣AH2＝OB2﹣OH2，∴25﹣49a2＝16a2﹣9a2，∴a2＝，∴BH＝，∴BC＝2BH＝。
2020年上海市中考数学试卷-(含答案)
2020年上海市中考数学试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．下列二次根式中，与√3是同类二次根式的是（）A．√6B．√9C．√12D．√182．用换元法解方程x+1x2+x2x+1=2时，若设x+1x2=y，则原方程可化为关于y的方程是（）A．y2﹣2y+1＝0 B．y2+2y+1＝0 C．y2+y+2＝0 D．y2+y﹣2＝03．我们经常将调查、收集得来的数据用各类统计图进行整理与表示．下列统计图中，能凸显由数据所表现出来的部分与整体的关系的是（）A．条形图B．扇形图C．折线图D．频数分布直方图4．已知反比例函数的图象经过点（2，﹣4），那么这个反比例函数的解析式是（）A．y=2x B．y=−2xC．y=8xD．y=−8x5．下列命题中，真命题是（）A．对角线互相垂直的梯形是等腰梯形B．对角线互相垂直的平行四边形是正方形C．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形D．对角线平分一组对角的梯形是直角梯形6．如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形．下列图形中，平移重合图形是（）A．平行四边形B．等腰梯形C．正六边形D．圆二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．计算：2a•3ab＝．8．已知f（x）=2x−1，那么f（3）的值是．9．已知正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0）的图象经过第二、四象限，那么y的值随着x 的值增大而．（填“增大”或“减小”）10．如果关于x的方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，那么m的值是．11．如果从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，那么取到的数恰好是5的倍数的概率是．12．如果将抛物线y＝x2向上平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是．13．为了解某区六年级8400名学生中会游泳的学生人数，随机调查了其中400名学生，结果有150名学生会游泳，那么估计该区会游泳的六年级学生人数约为 ．14．《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B 处立一根垂直于井口的木杆BD ，从木杆的顶端D 观察井水水岸C ，视线DC 与井口的直径AB 交于点E ，如果测得AB ＝1.6米，BD ＝1米，BE ＝0.2米，那么井深AC 为 米．15．如图，AC 、BD 是平行四边形ABCD 的对角线，设BC →=a →，CA →=b →，那么向量BD →用向量a →、b →表示为 ．16．小明从家步行到学校需走的路程为1800米．图中的折线OAB 反映了小明从家步行到学校所走的路程s （米）与时间t （分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行 米．17．如图，在△ABC 中，AB ＝4，BC ＝7，∠B ＝60°，点D 在边BC 上，CD ＝3，联结AD ．如果将△ACD 沿直线AD 翻折后，点C 的对应点为点E ，那么点E 到直线BD 的距离为 ．18．在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，点O 在对角线AC 上，圆O 的半径为2，如果圆O 与矩形ABCD的各边都没有公共点，那么线段AO长的取值范围是．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：2713+√5+2−（12）﹣2+|3−√5|．20．（10分）解不等式组：{10x＞7x+6，x−1＜x+73．21．（10分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠DAB＝90°，AB＝8，CD＝5，BC＝3√5．（1）求梯形ABCD的面积；（2）联结BD，求∠DBC的正切值．22．（10分）去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．23．（12分）已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE＝DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H．（1）求证：△BEC∽△BCH；（2）如果BE2＝AB•AE，求证：AG＝DF．24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线y=−12x+5与x轴、y轴分别交于点A、B（如图）．抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A．（1）求线段AB的长；（2）如果抛物线y＝ax2+bx经过线段AB上的另一点C，且BC=√5，求这条抛物线的表达式；（3）如果抛物线y＝ax2+bx的顶点D位于△AOB内，求a的取值范围．25．（14分）如图，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长交边AC于点D．（1）求证：∠BAC＝2∠ABD；（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小；（3）当AD＝2，CD＝3时，求边BC的长．2020年上海市中考数学试卷答案1．C ．2．A ．3．B ．4．D ．5．C ．6．A ．7．6a 2b ．8．1．9．减小．10．4．11．15．12．y ＝x 2+3．13．3150名．14．解：∵BD ⊥AB ，AC ⊥AB ，∴BD ∥AC ，∴△ACE ∽△DBE ，∴AC BD =AE BE ，∴AC 1=1.40.2，∴AC ＝7（米），答：井深AC 为7米．15．解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ，AD ∥BC ，AB ＝CD ，AB ∥CD ，∴AD →=BC →=a →，∵CD →=CA →+AD →=b →+a →，∴BA →=CD →=b →+a →，∵BD →=BA →+AD →，∴BD →=b →+a →+a →=2a →+b →，故答案为：2a →+b →．16．解：当8≤t ≤20时，设s ＝kt +b ，将（8，960）、（20，1800）代入，得：{8k +b =96020k +b =1800， 解得：{k =70b =400， ∴s ＝70t +400；当t ＝15时，s ＝1450，1800﹣1450＝350，∴当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行350米，故答案为：350．17．解：如图，过点E作EH⊥BC于H．∵BC＝7，CD＝3，∴BD＝BC﹣CD＝4，∵AB＝4＝BD，∠B＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴ADB＝60°，∴∠ADC＝∠ADE＝120°，∴∠EDH＝60°，∵EH⊥BC，∴∠EHD＝90°，∵DE＝DC＝3，∴EH＝DE•sin60°=3√32，∴E到直线BD的距离为3√32，故答案为3√32．18．解：在矩形ABCD中，∵∠D＝90°，AB＝6，BC＝8，∴AC＝10，如图1，设⊙O与AD边相切于E，连接OE，则OE⊥AD，∴OE∥CD，∴△AOE∽△ACD，∴OECD =AOAC，∴AO10=26，∴AO=103，如图2，设⊙O与BC边相切于F，连接OF，则OF ⊥BC ，∴OF ∥AB ，∴△COF ∽△CAB ，∴OC AC =OF AB ，∴OC 10=26，∴OC =103， ∴AO =203，∴如果圆O 与矩形ABCD 的各边都没有公共点，那么线段AO 长的取值范围是103＜AO ＜203，故答案为：103＜AO ＜203．19．解：原式＝（33）13+√5−2﹣4+3−√5＝3+√5−2﹣4+3−√5＝0．20．解：{10x ＞7x +6①x −1＜x+73②， 解不等式①得x ＞2，解不等式②得x ＜5．故原不等式组的解集是2＜x ＜5．21．解：（1）过C 作CE ⊥AB 于E ，∵AB ∥DC ，∠DAB ＝90°，∴∠D ＝90°，∴∠A ＝∠D ＝∠AEC ＝90°，∴四边形ADCE 是矩形，∴AD ＝CE ，AE ＝CD ＝5，∴BE＝AB﹣AE＝3，∵BC＝3√5，∴CE=2−BE2=6，∴梯形ABCD的面积=12×（5+8）×6＝39；（2）过C作CH⊥BD于H，∵CD∥AB，∴∠CDB＝∠ABD，∵∠CHD＝∠A＝90°，∴△CDH∽△DBA，∴CHAD =CDBD，∵BD=2+AD2=√82+62=10，∴CH6=510，∴CH＝3，∴BH=√BC2−CH2=√(3√5)2−32=6，∴∠DBC的正切值=CHBH =36=12．22．解：（1）450+450×12%＝504（万元）．答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元．（2）设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x，依题意，得：350（1+x）2＝504，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．答：该商店去年8、9月份营业额的月增长率为20%．23．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴CD＝CB，∠D＝∠B，CD∥AB，∵DF＝BE，∴△CDF≌CBE（SAS），∴∠DCF＝∠BCE，∵CD∥BH，∴∠H＝∠DCF，∴∠BCE＝∠H，∵∠B＝∠B，∴△BEC∽△BCH．（2）证明：∵BE2＝AB•AE，∴BEAB =AEEB，∵AG∥BC，∴AEBE =AGBC，∴BEAB =AGBC，∵DF＝BE，BC＝AB，∴BE＝AG＝DF，即AG＝DF．24．解：（1）针对于直线y=−12x+5，令x＝0，y＝5，∴B（0，5），令y＝0，则−12x+5＝0，∴x＝10，∴A（10，0），∴AB=2+102=5√5；（2）设点C（m，−12m+5），∵B（0，5），∴BC=√m2+(−12m+5−5)2=√52|m|，∵BC=√5，∴√52|m|=√∴m ＝±2，∵点C 在线段AB 上，∴m ＝2，∴C （2，4），将点A （10，0），C （2，4）代入抛物线y ＝ax 2+bx （a ≠0）中，得{100a +10b =04a +2b =4， ∴{a =−14b =52， ∴抛物线y =−14x 2+52x ；（3）∵点A （10，0）在抛物线y ＝ax 2+bx 中，得100a +10b ＝0，∴b ＝﹣10a ，∴抛物线的解析式为y ＝ax 2﹣10ax ＝a （x ﹣5）2﹣25a ，∴抛物线的顶点D 坐标为（5，﹣25a ），将x ＝5代入y =−12x +5中，得y =−12×5+5=52，∵顶点D 位于△AOB 内，∴0＜﹣25a ＜52，∴−110＜a ＜0；25．（1）证明：连接OA ．∵AB ＝AC ，∴AB̂=AC ̂， ∴OA ⊥BC ，∴∠BAO ＝∠CAO ，∵OA ＝OB ，∴∠ABD ＝∠BAO ，∴∠BAC＝2∠BAD．（2）解：如图2中，延长AO交BC于H．①若BD＝CB，则∠C＝∠BDC＝∠ABD+∠BAC＝3∠ABD，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∴∠DBC＝2∠ABD，∵∠DBC+∠C+∠BDC＝180°，∴8∠ABD＝180°，∴∠C＝3∠ABD＝67.5°．②若CD＝CB，则∠CBD＝∠CDB＝3∠ABD，∴∠C＝4∠ABD，∵∠DBC+∠C+∠CDB＝180°，∴10∠ABD＝180°，∴∠BCD＝4∠ABD＝72°．③若DB＝DC，则D与A重合，这种情形不存在．综上所述，∠C的值为67.5°或72°．（3）如图3中，作AE∥BC交BD的延长线于E．则AEBC =ADDC=23，∴AOOH =EBH=43，设OB＝OA＝4a，OH＝3a，∵BH2＝AB2﹣AH2＝OB2﹣OH2，∴25﹣49a2＝16a2﹣9a2，，∴a2=2556，∴BH=5√24．∴BC＝2BH=5√22。
2020年上海市中考数学试卷及答案 (解析版)
2020年上海市中考数学试卷一、选择题（共6小题）.1．（4( )A B C D 2．（4分）用换元法解方程22121x x x x ++=+时，若设21x y x+=，则原方程可化为关于y 的方程是( )A ．2210y y -+=B ．2210y y ++=C ．220y y ++=D ．220y y +-=3．（4分）我们经常将调查、收集得来的数据用各类统计图进行整理与表示．下列统计图中，能凸显由数据所表现出来的部分与整体的关系的是( )A ．条形图B ．扇形图C ．折线图D ．频数分布直方图4．（4分）已知反比例函数的图象经过点(2,4)-，那么这个反比例函数的解析式是( )A ．2y x =B ．2y x =-C ．8y x =D ．8y x=- 5．（4分）下列命题中，真命题是( )A ．对角线互相垂直的梯形是等腰梯形B ．对角线互相垂直的平行四边形是正方形C ．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形D ．对角线平分一组对角的梯形是直角梯形6．（4分）如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形．下列图形中，平移重合图形是( )A ．平行四边形B ．等腰梯形C ．正六边形D ．圆二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．（4分）计算：23a ab = ．8．（4分）已知2()1f x x =-，那么f （3）的值是 ． 9．（4分）已知正比例函数(y kx k =是常数，0)k ≠的图象经过第二、四象限，那么y 的值随着x 的值增大而 ．（填“增大”或“减小” )10．（4分）如果关于x 的方程240x x m -+=有两个相等的实数根，那么m 的值是 ．11．（4分）如果从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，那么取到的数恰好是5的倍数的概率是 ．12．（4分）如果将抛物线2y x =向上平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是 ．13．（4分）为了解某区六年级8400名学生中会游泳的学生人数，随机调查了其中400名学生，结果有150名学生会游泳，那么估计该区会游泳的六年级学生人数约为 ．14．（4分）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B 处立一根垂直于井口的木杆BD ，从木杆的顶端D 观察井水水岸C ，视线DC 与井口的直径AB 交于点E ，如果测得 1.6AB =米，1BD =米，0.2BE =米，那么井深AC 为 米．15．（4分）如图，AC 、BD 是平行四边形ABCD 的对角线，设BC a =，CA b =，那么向量BD 用向量a 、b 表示为 ．16．（4分）小明从家步行到学校需走的路程为1800米．图中的折线OAB 反映了小明从家步行到学校所走的路程s （米)与时间t （分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行 米．17．（4分）如图，在ABC ∆中，4AB =，7BC =，60B ∠=︒，点D 在边BC 上，3CD =，联结AD ．如果将ACD ∆沿直线AD 翻折后，点C 的对应点为点E ，那么点E 到直线BD 的距离为 ．18．（4分）在矩形ABCD 中，6AB =，8BC =，点O 在对角线AC 上，圆O 的半径为2，如果圆O 与矩形ABCD 的各边都没有公共点，那么线段AO 长的取值范围是 ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：1231127()|35|252-+-+-+． 20．（10分）解不等式组：1076,713x x x x >+⎧⎪+⎨-<⎪⎩21．（10分）如图，在直角梯形ABCD 中，//AB DC ，90DAB ∠=︒，8AB =，5CD =，35BC =．（1）求梯形ABCD 的面积；（2）联结BD ，求DBC ∠的正切值．22．（10分）去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．23．（12分）已知：如图，在菱形ABCD 中，点E 、F 分别在边AB 、AD 上，BE DF =，CE 的延长线交DA 的延长线于点G ，CF 的延长线交BA 的延长线于点H ．（1）求证：BEC BCH ∆∆∽；（2）如果2BE AB AE =，求证：AG DF =．24．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，直线152y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A 、B （如图）．抛物线2(0)y ax bx a =+≠经过点A ．（1）求线段AB 的长；（2）如果抛物线2y ax bx =+经过线段AB 上的另一点C ，且5BC =，求这条抛物线的表达式；（3）如果抛物线2y ax bx =+的顶点D 位于AOB ∆内，求a 的取值范围．25．（14分）如图，ABC ∆中，AB AC =，O 是ABC ∆的外接圆，BO 的延长线交边AC 于点D ．（1）求证：2BAC ABD ∠=∠；（2）当BCD ∆是等腰三角形时，求BCD ∠的大小；（3）当2AD =，3CD =时，求边BC 的长．2020年上海市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．（4()A B C D解：3=不是同类二次根式；C=被开方数相同，故是同类二次根式；D=被开方数不同，故不是同类二次根式．故选：C．2．（4分）用换元法解方程22121x xx x++=+时，若设21xyx+=，则原方程可化为关于y的方程是()A．2210y y-+=B．2210y y++=C．220y y++=D．220y y+-=解：把21xyx+=代入原方程得：12yy+=，转化为整式方程为2210y y-+=．故选：A．3．（4分）我们经常将调查、收集得来的数据用各类统计图进行整理与表示．下列统计图中，能凸显由数据所表现出来的部分与整体的关系的是()A．条形图B．扇形图C．折线图D．频数分布直方图解：统计图中，能凸显由数据所表现出来的部分与整体的关系的是扇形图，故选：B．4．（4分）已知反比例函数的图象经过点(2,4)-，那么这个反比例函数的解析式是() A．2yx=B．2yx=-C．8yx=D．8yx=-解：设反比例函数解析式为k y x =， 将(2,4)-代入，得：42k -=， 解得8k =-， 所以这个反比例函数解析式为8y x=-， 故选：D ． 5．（4分）下列命题中，真命题是( )A ．对角线互相垂直的梯形是等腰梯形B ．对角线互相垂直的平行四边形是正方形C ．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形D ．对角线平分一组对角的梯形是直角梯形解：A 、对角线相等的梯形是等腰梯形，故错误；B 、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误；C 、正确；D 、对角线平分一组对角的梯形是菱形，故错误；故选：C ．6．（4分）如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形．下列图形中，平移重合图形是( )A ．平行四边形B ．等腰梯形C ．正六边形D ．圆解：如图，平行四边形ABCD 中，取BC ，AD 的中点E ，F ，连接EF ．四边形ABEF 向右平移可以与四边形EFCD 重合，∴平行四边形ABCD 是平移重合图形，故选：A ．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．（4分）计算：23a ab = 26a b ．解：2236a ab a b =．故答案为：26a b ．8．（4分）已知2()1f x x =-，那么f （3）的值是 1 ． 解：2()1f x x =-， f ∴（3）2131==-， 故答案为：1．9．（4分）已知正比例函数(y kx k =是常数，0)k ≠的图象经过第二、四象限，那么y 的值随着x 的值增大而 减小 ．（填“增大”或“减小” )解：函数(0)y kx k =≠的图象经过第二、四象限，那么y 的值随x 的值增大而减小， 故答案为：减小．10．（4分）如果关于x 的方程240x x m -+=有两个相等的实数根，那么m 的值是 4 ． 解：依题意，方程240x x m -+=有两个相等的实数根，∴△224(4)40b ac m =-=--=，解得4m =，故答案为：4．11．（4分）如果从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，那么取到的数恰好是5 解：从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，是5的倍数的有：5，10，∴取到的数恰好是5的倍数的概率是21105=． 故答案为：15． 12．（4分）如果将抛物线2y x =向上平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是 23y x =+ ．解：抛物线2y x =向上平移3个单位得到23y x =+．故答案为：23y x =+．13．（4分）为了解某区六年级8400名学生中会游泳的学生人数，随机调查了其中400名学生，结果有150名学生会游泳，那么估计该区会游泳的六年级学生人数约为 3150名 ． 解：15084003150400⨯=（名)． 答：估计该区会游泳的六年级学生人数约为3150名．故答案为：3150名．14．（4分）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B 处立一根垂直于井口的木杆BD ，从木杆的顶端D 观察井水水岸C ，视线DC 与井口的直径AB 交于点E ，如果测得 1.6AB =米，1BD =米，0.2BE =米，那么井深AC 为 7 米．解：BD AB ⊥，AC AB ⊥，//BD AC ∴，ACE BDE ∴∆∆∽，∴AC AE BD BE =， ∴ 1.410.2AC =， 7AC ∴=（米)，答：井深AC 为7米．15．（4分）如图，AC 、BD 是平行四边形ABCD 的对角线，设BC a =，CA b =，那么向量BD 用向量a 、b 表示为 2a b + ．解：四边形ABCD 是平行四边形，AD BC ∴=，//AD BC ，AB CD =，//AB CD ，∴AD BC a ==，CD CA AD b a =+=+，∴BA CD b a ==+，BD BA AD =+，∴2BD b a a a b =++=+，故答案为：2a b +．16．（4分）小明从家步行到学校需走的路程为1800米．图中的折线OAB 反映了小明从家步行到学校所走的路程s （米)与时间t （分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行 350 米．解：当820t 时，设s kt b =+，将(8,960)、(20,1800)代入，得：8960201800k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得：70400k b =⎧⎨=⎩， 70400s t ∴=+；当15t =时，1450s =，180********-=，∴当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行350米， 故答案为：350．17．（4分）如图，在ABC ∆中，4AB =，7BC =，60B ∠=︒，点D 在边BC 上，3CD =，联结AD ．如果将ACD ∆沿直线AD 翻折后，点C 的对应点为点E ，那么点E 到直线BD 的距离为 332． 解：如图，过点E 作EH BC ⊥于H ．7BC =，3CD =，4BD BC CD ∴=-=，4AB BD ==，60B ∠=︒，ABD ∴∆是等边三角形，60ADB ∴=︒，120ADC ADE ∴∠=∠=︒，60EDH ∴∠=︒，EH BC ⊥，90EHD ∴∠=︒，3DE DC ==，33sin 602EH DE ∴=︒=， E ∴到直线BD 332， 332． 18．（4分）在矩形ABCD 中，6AB =，8BC =，点O 在对角线AC 上，圆O 的半径为2，如果圆O 与矩形ABCD 的各边都没有公共点，那么线段AO 长的取值范围是 102033AO << ． 解：在矩形ABCD 中，90D ∠=︒，6AB =，8BC =，10AC ∴=，如图1，设O 与AD 边相切于E ，连接OE ，则OE AD ⊥，//OE CD ∴，AOE ACD ∴∆∆∽， ∴OE AO CD AC =， ∴2106AO =， 103AO ∴=， 如图2，设O 与BC 边相切于F ，连接OF ，则OF BC ⊥，//OF AB ∴，COF CAB ∴∆∆∽，∴OC OF AC AB =， ∴2106OC =， 103OC ∴=， 203AO ∴=， ∴如果圆O 与矩形ABCD 的各边都没有公共点，那么线段AO 长的取值范围是102033AO <<， 故答案为：102033AO <<．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：1231127()|35|252-+-+-+． 解：原式133(3)52435=+--+-352435=+--+-0=．20．（10分）解不等式组：1076,713x x x x >+⎧⎪+⎨-<⎪⎩解：1076713x x x x >+⎧⎪⎨+-<⎪⎩①②，解不等式①得2x >，解不等式②得5x <．故原不等式组的解集是25x <<．21．（10分）如图，在直角梯形ABCD 中，//AB DC ，90DAB ∠=︒，8AB =，5CD =，35BC =．（1）求梯形ABCD 的面积；（2）联结BD ，求DBC ∠的正切值．解：（1）过C 作CE AB ⊥于E ，//AB DC ，90DAB ∠=︒，90D ∴∠=︒，90A D AEC ∴∠=∠=∠=︒，∴四边形ADCE 是矩形，AD CE ∴=，5AE CD ==，3BE AB AE ∴=-=，35BC=，226 CE BC BE∴=-=，∴梯形ABCD的面积1(58)6392=⨯+⨯=；（2）过C作CH BD⊥于H，//CD AB，CDB ABD∴∠=∠，90CHD A∠=∠=︒，CDH DBA∴∆∆∽，∴CH CDAD BD=，22228610 BD AB AD=+=+=，∴5 610 CH=，3CH∴=，2222(35)36 BH BC CH∴=-=-=，DBC∴∠的正切值3162 CHBH===．22．（10分）去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．解：（1）45045012%504+⨯=（万元）．答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元．（2）设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x，依题意，得：2350(1)504x +=，解得：10.220%x ==，2 2.2x =-（不合题意，舍去）．答：该商店去年8、9月份营业额的月增长率为20%．23．（12分）已知：如图，在菱形ABCD 中，点E 、F 分别在边AB 、AD 上，BE DF =，CE 的延长线交DA 的延长线于点G ，CF 的延长线交BA 的延长线于点H ．（1）求证：BEC BCH ∆∆∽；（2）如果2BE AB AE =，求证：AG DF =．【解答】（1）证明：四边形ABCD 是菱形，CD CB ∴=，D B ∠=∠，//CD AB ，DF BE =，()CDF CBE SAS ∴∆≅，DCF BCE ∴∠=∠，//CD BH ，H DCF ∴∠=∠，BCE H ∴∠=∠，B B ∠=∠，BEC BCH ∴∆∆∽．（2）证明：2BE AB AE =， ∴BE AE AB EB=， //AG BC ， ∴AE AG BE BC =， ∴BE AG AB BC=， DF BE =，BC AB =，BE AG DF ∴==，即AG DF =．24．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，直线152y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A 、B （如图）．抛物线2(0)y ax bx a =+≠经过点A ．（1）求线段AB 的长； （2）如果抛物线2y ax bx =+经过线段AB 上的另一点C ，且5BC =，求这条抛物线的表达式；（3）如果抛物线2y ax bx =+的顶点D 位于AOB ∆内，求a 的取值范围．解：（1）针对于直线152y x =-+， 令0x =，5y =， (0,5)B ∴，令0y =，则1502x -+=， 10x ∴=，(10,0)A ∴，2251055AB ∴=+=（2）设点1(,5)2C m m -+， (0,5)B ，2215(55)|22BC m m m ∴=+-+-=， 5BC =，∴5|52m =，2m ∴=±，点C 在线段AB 上，2m ∴=，(2,4)C ∴，将点(10,0)A ，(2,4)C 代入抛物线2(0)y ax bx a =+≠中，得100100424a b a b +=⎧⎨+=⎩， ∴1452a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴抛物线21542y x x =-+；（3）点(10,0)A 在抛物线2y ax bx =+中，得100100a b +=， 10b a ∴=-，∴抛物线的解析式为2210(5)25y ax ax a x a =-=--，∴抛物线的顶点D 坐标为(5,25)a -，将5x =代入152y x =-+中，得155522y =-⨯+=， 顶点D 位于AOB ∆内，50252a ∴<-<， 1010a ∴-<<； 25．（14分）如图，ABC ∆中，AB AC =，O 是ABC ∆的外接圆，BO 的延长线交边AC 于点D ．（1）求证：2BAC ABD ∠=∠；（2）当BCD ∆是等腰三角形时，求BCD ∠的大小；（3）当2AD =，3CD =时，求边BC 的长．【解答】（1）证明：连接OA．=，AB AC=，∴AB AC∴⊥，OA BC∴∠=∠，BAO CAO=，OA OBABD BAO∴∠=∠，∴∠=∠．2BAC BAD（2）解：如图2中，延长AO交BC于H．①若BD CB∠=∠=∠+∠=∠，=，则3C BDC ABD BAC ABD=，AB ACABC C∴∠=∠，∴∠=∠，2DBC ABD180DBC C BDC ∠+∠+∠=︒， 8180ABD ∴∠=︒，367.5C ABD ∴∠=∠=︒．②若CD CB =，则3CBD CDB ABD ∠=∠=∠， 4C ABD ∴∠=∠，180DBC C CDB ∠+∠+∠=︒， 10180ABD ∴∠=︒，472BCD ABD ∴∠=∠=︒．③若DB DC =，则D 与A 重合，这种情形不存在． 综上所述，C ∠的值为67.5︒或72︒．（3）如图3中，作//AE BC 交BD 的延长线于E ．则23AE AD BC DC ==， ∴43AO E OH BH ==，设4OB OA a ==，3OH a =， 22222BH AB AH OB OH =-=-， 2222549169a a a ∴-=-，22556a ∴=， 524BH ∴ 5222BC BH ∴==．。
2020年上海市中考数学试卷及答案
2020 年上海市中考数学试卷
一、选择题： （本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分）【下列各题的四个选项中，有且只有
一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1．（ 4 分）下列二次根式中，与 √3是同类二次根式的是（
）
A ．√6
B ．√9
C． √12
D． √18
??+1 ??2
y 的值
第 1页（共 18页）
随着 x 的值增大而
．（填“增大”或“减小” ）
10．（ 4 分）如果关于
x 的方程
2
x
﹣4x+
m＝
0
有两个相等的实数根，那么
m 的值是
．
11．（ 4 分）如果从 1， 2，3， 4，5， 6， 7，8， 9，10 这 10 个数中任意选取一个数，那么取
到的数恰好是 5 的倍数的概率是
联结 AD ．如果将△ ACD 沿直线 AD 翻折后，点 C 的对应点为点 E，那么点 E 到直线 BD
的距离为
．
18．（4 分）在矩形 ABCD 中， AB＝ 6，BC＝ 8，点 O 在对角线 AC 上，圆 O 的半径为 2，如
果圆 O 与矩形 ABCD 的各边都没有公共点，那么线段 AO 长的取值范围是
23．（ 12 分）已知：如图，在菱形 ABCD 中，点 E、F 分别在边 AB、 AD 上， BE＝ DF ，CE 的延长线交 DA 的延长线于点 G，CF 的延长线交 BA 的延长线于点 H． （ 1）求证：△ BEC∽△ BCH； （ 2）如果 BE2＝ AB?AE，求证： AG＝ DF ．
年上海市中考数学试题(含答案解析)
2020年上海市中考数学试题（含答案解析）2020年上海市中考数学试卷（共25题，满分150分）一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）A．B．C．D．2．用换元法解方程2时，若设y，则原方程可化为关于y的方程是（）A．y2﹣2y+1＝0B．y2+2y+1＝0C．y2+y+2＝0D．y2+y﹣2＝03．我们经常将调查、收集得来的数据用各类统计图进行整理与表示．下列统计图中，能凸显由数据所表现出来的部分与整体的关系的是（）A．条形图B．扇形图C．折线图D．频数分布直方图4．已知反比例函数的图象经过点（2，﹣4），那么这个反比例函数的解析式是（）A．yB．yC．yD．y5．下列命题中，真命题是（）A．对角线互相垂直的梯形是等腰梯形B．对角线互相垂直的平行四边形是正方形C．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形D．对角线平分一组对角的梯形是直角梯形6．如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形．下列图形中，平移重合图形是（）A．平行四边形B．等腰梯形C．正六边形D．圆二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．计算：2a•3ab＝．8．已知f（x），那么f（3）的值是．9．已知正比例函数y＝kx （k是常数，k≠0）的图象经过第二、四象限，那么y的值随着x的值增大而．（填“增大”或“减小”）10．如果关于x的方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，那么m的值是．11．如果从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，那么取到的数恰好是5的倍数的概率是．12．如果将抛物线y＝x2向上平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是．13．为了解某区六年级8400名学生中会游泳的学生人数，随机调查了其中400名学生，结果有150名学生会游泳，那么估计该区会游泳的六年级学生人数约为．14．《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB 交于点E，如果测得AB＝1.6米，BD＝1米，BE＝0.2米，那么井深AC为米．15．如图，AC、BD是平行四边形ABCD的对角线，设，，那么向量用向量、表示为．16．小明从家步行到学校需走的路程为1800米．图中的折线OAB反映了小明从家步行到学校所走的路程s（米）与时间t（分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行米．17．如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝7，∠B＝60°，点D在边BC上，CD＝3，联结AD．如果将△ACD沿直线AD翻折后，点C的对应点为点E，那么点E到直线BD的距离为．18．在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点O在对角线AC上，圆O的半径为2，如果圆O与矩形ABCD 的各边都没有公共点，那么线段AO长的取值范围是．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：（）﹣2+|3|．20．（10分）解不等式组：21．（10分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠DAB ＝90°，AB＝8，CD＝5，BC＝3．（1）求梯形ABCD的面积；（2）联结BD，求∠DBC的正切值．22．（10分）去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．23．（12分）已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE＝DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H．（1）求证：△BEC∽△BCH；（2）如果BE2＝AB•AE，求证：AG＝DF．24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线yx+5与x轴、y轴分别交于点A、B（如图）．抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A．（1）求线段AB的长；（2）如果抛物线y＝ax2+bx经过线段AB上的另一点C，且BC，求这条抛物线的表达式；（3）如果抛物线y＝ax2+bx的顶点D位于△AOB内，求a的取值范围．25．（14分）如图，△ABC中，AB＝AC，⊙O 是△ABC的外接圆，BO的延长交边AC于点D．（1）求证：∠BA C ＝2∠ABD；（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小；（3）当AD＝2，CD＝3时，求边BC的长．2020年上海市中考数学试卷答案解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）A．B．C．D．【解答】解：A.与的被开方数不相同，故不是同类二次根式；B.，与不是同类二次根式；C.，与被开方数相同，故是同类二次根式；D.，与被开方数不同，故不是同类二次根式．故选：C．2．用换元法解方程2时，若设y，则原方程可化为关于y的方程是（）A．y2﹣2y+1＝0B．y2+2y+1＝0C．y2+y+2＝0D．y2+y﹣2＝0【解答】解：把y代入原方程得：y2，转化为整式方程为y2﹣2y+1＝0．故选：A．3．我们经常将调查、收集得来的数据用各类统计图进行整理与表示．下列统计图中，能凸显由数据所表现出来的部分与整体的关系的是（）A．条形图B．扇形图C．折线图D．频数分布直方图【解答】解：统计图中，能凸显由数据所表现出来的部分与整体的关系的是扇形图，故选：B．4．已知反比例函数的图象经过点（2，﹣4），那么这个反比例函数的解析式是（）A．yB．yC．yD．y【解答】解：设反比例函数解析式为y，将（2，﹣4）代入，得：﹣4，解得k＝﹣8，所以这个反比例函数解析式为y，故选：D．5．下列命题中，真命题是（）A．对角线互相垂直的梯形是等腰梯形B．对角线互相垂直的平行四边形是正方形C．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形D．对角线平分一组对角的梯形是直角梯形【解答】解：A、对角线相等的梯形是等腰梯形，故错误；B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误；C、正确；D、对角线平分一组对角的梯形是菱形，故错误；故选：C．6．如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形．下列图形中，平移重合图形是（）A．平行四边形B．等腰梯形C．正六边形D．圆【解答】解：如图，平行四边形ABCD中，取BC，AD的中点E，F，连接EF．∵四边形ABEF向右平移可以与四边形EFCD重合，∴平行四边形ABCD是平移重合图形，故选：A．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．计算：2a•3ab＝6a2b．【解答】解：2a•3ab＝6a2b．故答案为：6a2b．8．已知f（x），那么f（3）的值是1．【解答】解：∵f（x），∴f（3）1，故答案为：1．9．已知正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0）的图象经过第二、四象限，（填“增大”或“减小”）那么y的值随着x的值增大而减小．【解答】解：函数y＝kx（k≠0）的图象经过第二、四象限，那么y的值随x的值增大而减小，故答案为：减小．10．如果关于x的方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，那么m的值是4．【解答】解：依题意，∵方程x2﹣4x+m ＝0有两个相等的实数根，∴△＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4m＝0，解得m＝4，故答案为：4．11．如果从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，那么取到的数恰好是5的倍数的概率是．【解答】解：∵从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，是5的倍数的有：5，10，∴取到的数恰好是5的倍数的概率是．故答案为：．12．如果将抛物线y＝x2向上平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是y＝x2+3．【解答】解：抛物线y ＝x2向上平移3个单位得到y＝x2+3．故答案为：y＝x2+3．13．为了解某区六年级8400名学生中会游泳的学生人数，随机调查了其中400名学生，结果有150名学生会游【解泳，那么估计该区会游泳的六年级学生人数约为3150名．答】解：84003150（名）．答：估计该区会游泳的六年级学生人数约为3150名．故答案为：3150名．14．《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB＝1.6米，BD＝1米，BE＝0.2米，那么井深AC为7米．【解答】解：∵BD⊥AB，AC⊥AB，∴BD∥AC，∴△ACE∽△DBE，∴，∴，∴AC＝7（米），答：井深AC为7米．15．如图，AC、BD是平行四边形ABCD的对角线，设，，那么向量用向量、表示为2．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，AB＝CD，AB∥CD，∴，∵，∴，∵，∴2，故答案为：2．16．小明从家步行到学校需走的路程为1800米．图中的折线OAB反映了小明从家步行到学校所走的路程s（米）与时间t（分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行350米．【解答】解：当8≤t≤20时，设s＝kt+b，将（8，960）、（20，1800）代入，得：，解得：，∴s＝70t+400；当t＝15时，s＝1450，1800﹣1450＝350，∴当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行350米，故答案为：350．17．如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝7，∠B ＝60°，点D在边BC上，CD＝3，联结AD．如果将△ACD沿直线AD翻折后，点C的对应点为点E，那么点E到直线BD 的距离为．【解答】解：如图，过点E作EH⊥BC于H．∵BC ＝7，CD＝3，∴BD＝BC﹣CD＝4，∵AB＝4＝BD，∠B＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴ADB＝60°，∴∠ADC＝∠ADE＝120°，∴∠EDH＝60°，∵EH⊥BC，∴∠EHD＝90°，∵DE ＝DC＝3，∴EH＝DE•sin60°，∴E到直线BD的距离为，故答案为．18．在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点O在对角线AC上，圆O的半径为2，如果圆O与矩形ABCD的各边都没有公共点，那么线段AO长的取值范围是AO．【解答】解：在矩形ABCD中，∵∠D＝90°，AB＝6，BC＝8，∴AC＝10，如图1，设⊙O与AD边相切于E，连接OE，则OE⊥AD，∴OE∥CD，∴△AOE∽△ACD，∴，∴，∴AO，如图2，设⊙O与BC边相切于F，连接OF，则OF⊥BC，∴OF∥AB，∴△COF∽△CAB，∴，∴，∴OC，∴AO，∴如果圆O与矩形ABCD的各边都没有公共点，那么线段AO长的取值范围是AO，故答案为：AO．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：（）﹣2+|3|．【解答】解：原式＝（33）2﹣4+3＝32﹣4+3＝0．20．（10分）解不等式组：【解答】解：，解不等式①得x＞2，解不等式②得x＜5．故原不等式组的解集是2＜x＜5．21．（10分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠DAB＝90°，AB＝8，CD＝5，BC＝3．（1）求梯形ABCD的面积；（2）联结BD，求∠DBC的正切值．【解答】解：（1）过C作CE⊥AB于E，∵AB∥DC，∠DAB＝90°，∴∠D＝90°，∴∠A＝∠D＝∠AEC＝90°，∴四边形ADCE是矩形，∴AD＝CE，AE＝CD＝5，∴BE＝AB﹣AE＝3，∵BC＝3，∴CE6，∴梯形ABCD的面积（5+8）×6＝39；（2）过C作CH⊥BD于H，∵CD∥AB，∴∠CDB＝∠ABD，∵∠CHD＝∠A＝90°，∴△CDH∽△DBA，∴，∵BD10，∴，∴CH＝3，∴BH6，∴∠DBC的正切值．22．（10分）去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．【解答】解：（1）450+450×12%＝504（万元）．答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元．（2）设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x，依题意，得：350（1+x）2＝504，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．答：该商店去年8、9月份营业额的月增长率为20%．23．（12分）已知：如图，在菱形ABCD 中，点E、F分别在边AB、AD上，BE＝DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H．（1）求证：△BEC∽△BCH；（2）如果BE2＝AB•AE，求证：AG＝DF．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴CD＝CB，∠D＝∠B，CD∥AB，∵DF＝BE，∴△CDF≌CBE（SAS），∴∠DCF＝∠BCE，∵CD∥BH，∴∠H＝∠DCF，∴∠BCE＝∠H，∵∠B＝∠B，∴△BEC∽△BCH．（2）证明：∵BE2＝AB•AE，∴，∵AG∥BC，∴，∴，∵DF＝BE，BC＝AB，∴BE＝AG＝DF，即AG＝DF．24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线yx+5与x轴、y轴分别交于点A、B（如图）．抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A．（1）求线段AB的长；（2）如果抛物线y＝ax2+bx经过线段AB上的另一点C，且BC，求这条抛物线的表达式；（3）如果抛物线y＝ax2+bx的顶点D位于△AOB内，求a的取值范围．【解答】解：（1）针对于直线yx+5，令x＝0，y＝5，∴B（0，5），令y＝0，则x+5＝0，∴x＝10，∴A（10，0），∴AB5；（2）设点C（m，m+5），∵B（0，5），∴BC|m|，∵BC，∴|m|，∴m＝±2，∵点C在线段AB上，∴m＝2，∴C（2，4），将点A（10，0），C（2，4）代入抛物线y＝ax2+bx（a≠0）中，得，∴，∴抛物线yx2x；（3）∵点A（10，0）在抛物线y＝ax2+bx中，得100a+10b ＝0，∴b＝﹣10a，∴抛物线的解析式为y＝ax2﹣10ax＝a （x﹣5）2﹣25a，∴抛物线的顶点D坐标为（5，﹣25a），将x＝5代入yx+5中，得y5+5，∵顶点D位于△AOB内，∴0＜﹣25a，∴a＜0；25．（14分）如图，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的（1）求证：∠BAC＝2∠ABD；外接圆，BO的延长交边AC于点D．（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小；（3）当AD＝2，CD＝3时，求边BC的长．【解答】（1）证明：连接OA．∵AB＝AC，∴，∴OA⊥BC，∴∠BAO＝∠CAO，∵OA＝OB，∴∠ABD＝∠BAO，∴∠BAC＝2∠BAD．（2）解：如图2中，延长AO交BC于H．①若BD＝CB，则∠C＝∠BDC ＝∠ABD+∠BAC＝3∠ABD，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∴∠DBC ＝2∠ABD，∵∠DBC+∠C+∠BDC＝180°，∴8∠ABD＝180°，∴∠C＝3∠ABD＝67.5°．②若CD＝CB，则∠CBD＝∠CDB＝3∠ABD，∴∠C＝4∠ABD，∵∠DBC+∠C+∠CDB＝180°，∴10∠ABD＝180°，∴∠BCD＝4∠ABD＝72°．③若DB＝DC，则D与A重合，这种情形不存在．综上所述，∠C的值为67.5°或72°．（3）如图3中，作AE∥BC交BD的延长线于E．则，∴，设OB＝OA＝4a，OH＝3a，∵BH2＝AB2﹣AH2＝OB2﹣OH2，∴25﹣49a2＝16a2﹣9a2，∴a2，∴BH，∴BC＝2BH．。
2020年上海市中考数学试卷和答案
上海市中考数学试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）在下列代数式中，次数为3的单项式是（）A．xy2B．x3+y3C．x3y D．3xy2．（4分）数据5，7，5，8，6，13，5的中位数是（）A．5 B．6 C．7 D．83．（4分）不等式组的解集是（）A．x＞﹣3 B．x＜﹣3 C．x＞2 D．x＜24．（4分）在下列各式中，二次根式的有理化因式是（）A．B．C．D．5．（4分）在下列图形中，为中心对称图形的是（）A．等腰梯形B．平行四边形C．正五边形D．等腰三角形6．（4分）如果两圆的半径长分别为6和2，圆心距为3，那么这两个圆的位置关系是（）A．外离B．相切C．相交D．内含二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）计算=．8．（4分）因式分解：xy﹣x=．9．（4分）已知正比例函数y=kx（k≠0），点（2，﹣3）在函数上，则y随x的增大而（增大或减小）．10．（4分）方程的根是．11．（4分）如果关于x的一元二次方程x2﹣6x+c=0（c是常数）没有实根，那么c的取值范围是．12．（4分）将抛物线y=x2+x向下平移2个单位，所得抛物线的表达式是．13．（4分）布袋中装有3个红球和6个白球，它们除颜色外其他都相同，如果从布袋里随机摸出一个球，那么所摸到的球恰好为红球的概率是．14．（4分）某校500名学生参加生命安全知识测试，测试分数均大于或等于60且小于100，分数段的频率分布情况如表所示（其中每个分数段可包括最小值，不包括最大值），结合表1的信息，可测得测试分数在80～90分数段的学生有名．分数段60﹣7070﹣8080﹣9090﹣100频率0.20.250.25 15．（4分）如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，BC=2AD，如果，，那么=（用，表示）．16．（4分）在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，∠AED=∠B，如果AE=2，△ADE的面积为4，四边形BCED的面积为5，那么AB的长为．17．（4分）我们把两个三角形的重心之间的距离叫做重心距，在同一个平面内有两个边长相等的等边三角形，如果当它们的一边重合时，重心距为2，那么当它们的一对角成对顶角时，重心距为．18．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，点D在AC上，将△ADB沿直线BD翻折后，将点A落在点E处，如果AD⊥ED，那么线段DE的长为．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：×（﹣1）2++﹣（）﹣1．20．（10分）解方程：．21．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB的中点，BE⊥CD，垂足为点E．已知AC=15，cosA=．（1）求线段CD的长；（2）求sin∠DBE的值．22．（10分）某工厂生产一种产品，当生产数量至少为10吨，但不超过50吨时，每吨的成本y（万元/吨）与生产数量x（吨）的函数关系式如图所示．（1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（2）当生产这种产品的总成本为280万元时，求该产品的生产数量．（注：总成本=每吨的成本×生产数量）23．（12分）已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD，∠BAF=∠DAE，AE与BD交于点G．（1）求证：BE=DF；（2）当=时，求证：四边形BEFG是平行四边形．24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+6x+c的图象经过点A （4，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C，点D在线段OC上，OD=t，点E在第二象限，∠ADE=90°，tan∠DAE=，EF⊥OD，垂足为F．（1）求这个二次函数的解析式；（2）求线段EF、OF的长（用含t的代数式表示）；（3）当∠ECA=∠OAC时，求t的值．25．（14分）如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．（1）当BC=1时，求线段OD的长；（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；（3）设BD=x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域．参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）在下列代数式中，次数为3的单项式是（）A．xy2B．x3+y3C．x3y D．3xy【分析】单项式的次数是指单项式中所有字母因数的指数和．【解答】解：根据单项式的次数定义可知：A、xy2的次数为3，符合题意；B、x3+y3不是单项式，不符合题意；C、x3y的次数为4，不符合题意；D、3xy的次数为2，不符合题意．故选：A．【点评】考查了单项式的次数的概念．只要字母的指数的和等于3的单项式都符合要求．2．（4分）数据5，7，5，8，6，13，5的中位数是（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】将该组数据按从小到大排列，找到位于中间位置的数即可．【解答】解：将数据5，7，5，8，6，13，5按从小到大依次排列为：5，5，5，6，7，8，13，位于中间位置的数为6．故中位数为6．故选：B．【点评】本题考查了中位数的定义，知道中数的定义是解题的关键．3．（4分）不等式组的解集是（）A．x＞﹣3 B．x＜﹣3 C．x＞2 D．x＜2【分析】先分别求出两个不等式的解集，再求出解集的公共部分即可．【解答】解：，由①得：x＞﹣3，由②得：x＞2，所以不等式组的解集是x＞2．故选：C．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，关键是求出两个不等式的解集，找出解集的公共部分．4．（4分）在下列各式中，二次根式的有理化因式是（）A．B．C．D．【分析】二次根式的有理化因式就是将原式中的根号化去，即可得出答案．【解答】解：∵×=a﹣b，∴二次根式的有理化因式是：．故选：C．【点评】此题主要考查了二次根式的有理化因式的概念，熟练利用定义得出是解题关键．5．（4分）在下列图形中，为中心对称图形的是（）A．等腰梯形B．平行四边形C．正五边形D．等腰三角形【分析】根据中心对称与轴对称的概念和各图形的特点即可求解．【解答】解：中心对称图形，即把一个图形绕一个点旋转180°后能和原来的图形重合，A、C、D都不符合；是中心对称图形的只有B．故选：B．【点评】本题考查了中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．6．（4分）如果两圆的半径长分别为6和2，圆心距为3，那么这两个圆的位置关系是（）A．外离B．相切C．相交D．内含【分析】由两个圆的半径分别为6和2，圆心距为3，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．【解答】解：∵两个圆的半径分别为6和2，圆心距为3，又∵6﹣2=4，4＞3，∴这两个圆的位置关系是内含．故选：D．【点评】此题考查了圆与圆的位置关系．此题比较简单，解题的关键是注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）计算=．【分析】首先计算出绝对值里面的结果，再根据：a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a，可以确定答案．【解答】解：|﹣1|=1﹣=，故答案为：．【点评】此题主要考查了绝对值，关键是理解绝对值的概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．8．（4分）因式分解：xy﹣x=x（y﹣1）．【分析】直接提公因式法x，整理即可．【解答】解：xy﹣x=x（y﹣1）．故答案为：x（y﹣1）．【点评】本题考查学生提取公因式的能力，解题时要首先确定公因式．9．（4分）已知正比例函数y=kx（k≠0），点（2，﹣3）在函数上，则y随x的增大而减小（增大或减小）．【分析】首先利用待定系数法确定正比例函数解析式，再根据正比例函数的性质：k＞0时，y随x的增大而增大，k＜0时，y随x的增大而减小确定答案．【解答】解：∵点（2，﹣3）在正比例函数y=kx（k≠0）上，∴2k=﹣3，解得：k=﹣，∴正比例函数解析式是：y=﹣x，∵k=﹣＜0，∴y随x的增大而减小，故答案为：减小．【点评】此题主要考查了正比例函数的性质，以及待定系数法确定正比例函数解析式，关键是掌握正比例函数的性质．10．（4分）方程的根是x=3．【分析】方程两边同时平方，即可转化成一元一次方程，解得x的值，然后代入原方程进行检验即可．【解答】解：方程两边同时平方得：x+1=4，解得：x=3．检验：x=3时，左边==2，则左边=右边．故x=3是方程的解．故答案是：x=3．【点评】本题考查了无理方程的解法，解无理方程的基本思路是转化成整式方程，并且解方程时必须要检验．11．（4分）如果关于x的一元二次方程x2﹣6x+c=0（c是常数）没有实根，那么c的取值范围是c＞9．【分析】根据关于x的一元二次方程没有实数根时△＜0，得出△=（﹣6）2﹣4c ＜0，再解不等式即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+c=0（c是常数）没有实根，∴△=（﹣6）2﹣4c＜0，即36﹣4c＜0，解得：c＞9．故答案为：c＞9．【点评】本题考查了一元二次方程的根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．12．（4分）将抛物线y=x2+x向下平移2个单位，所得抛物线的表达式是y=x2+x ﹣2．【分析】根据向下平移，纵坐标要减去2，即可得到答案．【解答】解：∵抛物线y=x2+x向下平移2个单位，∴抛物线的解析式为y=x2+x﹣2，故答案为y=x2+x﹣2．【点评】本题考查了二次函数的图象与几何变换，向下平移|a|个单位长度纵坐标要减|a|．13．（4分）布袋中装有3个红球和6个白球，它们除颜色外其他都相同，如果从布袋里随机摸出一个球，那么所摸到的球恰好为红球的概率是．【分析】根据概率公式，求摸到红球的概率，即用红球除以小球总个数即可得出得到红球的概率．【解答】解：∵一个布袋里装有3个红球和6个白球，∴摸出一个球摸到红球的概率为：=．故答案为：．【点评】此题主要考查了概率公式的应用，由已知求出小球总个数再利用概率公式求出是解决问题的关键．14．（4分）某校500名学生参加生命安全知识测试，测试分数均大于或等于60且小于100，分数段的频率分布情况如表所示（其中每个分数段可包括最小值，不包括最大值），结合表1的信息，可测得测试分数在80～90分数段的学生有150名．分数段60﹣7070﹣8080﹣9090﹣100频率0.20.250.25【分析】首先求得80～90分数段的频率，然后用总人数乘以该组频率即可求得该分数段的人数．【解答】解：80～90分数段的频率为：1﹣0.2﹣0.25﹣0.25=0.3，故该分数段的人数为：500×0.3=150人．故答案为：150．【点评】本题考查了频率分布表的知识，解题的关键是根据表格中的内容求得该分数段的频率．15．（4分）如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，BC=2AD，如果，，那么=（用，表示）．【分析】由梯形ABCD，AD∥BC，BC=2AD，，根据平行向量的性质，即可求得的值，又由=+，即可求得答案．【解答】解：∵梯形ABCD，AD∥BC，BC=2AD，，∴=2=2，∵，∴=+=2+．故答案为：2+．【点评】此题考查了平面向量的知识与梯形的性质．此题难度不大，注意掌握三角形法则的应用，注意数形结合思想的应用．16．（4分）在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，∠AED=∠B，如果AE=2，△ADE的面积为4，四边形BCED的面积为5，那么AB的长为3．【分析】由∠AED=∠B，∠A是公共角，根据有两角对应相等的两个三角形相似，即可证得△ADE∽△ACB，又由相似三角形面积的比等于相似比的平方，可得，然后由AE=2，△ADE的面积为4，四边形BCDE的面积为5，即可求得AB的长．【解答】解：∵∠AED=∠B，∠A是公共角，∴△ADE∽△ACB，∴，∵△ADE的面积为4，四边形BCED的面积为5，∴△ABC的面积为9，∵AE=2，∴，解得：AB=3．故答案为：3．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，注意掌握有两角对应相等的三角形相似与相似三角形面积的比等于相似比的平方．17．（4分）我们把两个三角形的重心之间的距离叫做重心距，在同一个平面内有两个边长相等的等边三角形，如果当它们的一边重合时，重心距为2，那么当它们的一对角成对顶角时，重心距为4．【分析】先设等边三角形的中线长为a，再根据三角形重心的性质求出a的值，进而可得出结论．【解答】解：设等边三角形的中线长为a，则其重心到对边的距离为：a，∵它们的一边重合时（图1），重心距为2，∴a=2，解得a=3，∴当它们的一对角成对顶角时（图2）重心距=a=×3=4．故答案为：4．【点评】本题考查的是三角形重心的性质及等边三角形的性质，即三角形的重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．18．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，点D在AC上，将△ADB沿直线BD翻折后，将点A落在点E处，如果AD⊥ED，那么线段DE的长为．【分析】由在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，利用三角函数，即可求得AC的长，又由△ADB沿直线BD翻折后，将点A落在点E处，AD⊥ED，根据折叠的性质与垂直的定义，即可求得∠EDB与∠CDB的度数，继而可得△BCD是等腰直角三角形，求得CD的长，继而可求得答案．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，∴AC===，∵将△ADB沿直线BD翻折后，将点A落在点E处，∴∠ADB=∠EDB，DE=AD，∵AD⊥ED，∴∠CDE=∠ADE=90°，∴∠EDB=∠ADB==135°，∴∠CDB=∠EDB﹣∠CDE=135°﹣90°=45°，∵∠C=90°，∴∠CBD=∠CDB=45°，∴CD=BC=1，∴DE=AD=AC﹣CD=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】此题考查了折叠的性质、直角三角形的性质以及等腰直角三角形性质．此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意折叠中的对应关系．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：×（﹣1）2++﹣（）﹣1．【分析】利用二次根式的分母有理化以及分数指数幂的性质和负整数指数幂的性质，分别化简，进而利用有理数的混合运算法则计算即可．【解答】解：原式===3．【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算以及负整数指数幂的性质，熟练利用这些性质将各式进行化简是解题关键．20．（10分）解方程：．【分析】观察可得最简公分母是（x+3）（x﹣3），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．【解答】解：方程的两边同乘（x+3）（x﹣3），得x（x﹣3）+6=x+3，整理，得x2﹣4x+3=0，解得x1=1，x2=3．经检验：x=3是方程的增根，x=1是原方程的根，故原方程的根为x=1．【点评】本题考查了分式方程的解法．注意：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定要验根．21．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB的中点，BE⊥CD，垂足为点E．已知AC=15，cosA=．（1）求线段CD的长；（2）求sin∠DBE的值．【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出AB的长，即可求出CD的长；（2）由于D为AB上的中点，求出AD=BD=CD=，设DE=x，EB=y，利用勾股定理即可求出x的值，据此解答即可．【解答】解：（1）∵AC=15，cosA=，∴cosA==，∴AB=25，∵△ACB为直角三角形，D是边AB的中点，∴CD=（或12.5）；（2）方法一：∵BC2=AB2﹣AC2=400AD=BD=CD=，∴设DE=x，EB=y，∴，解得x=，∴sin∠DBE===．方法二：∵AC=15，cosA=，∴AB=15÷=25，∴BC=20，cos∠ABC==，∵DC=DB，∴∠DCB=∠ABC，∴cos∠DCB=cos∠ABC=，∵BE⊥CD，∴∠BEC=90°，∴cos∠DCB=，即=，∴CE=16，∴DE=CE﹣CD=16﹣12.5=3.5，∴sin∠DBE===．【点评】本题考查了解直角三角形，直角三角形斜边上的中线，综合性较强．22．（10分）某工厂生产一种产品，当生产数量至少为10吨，但不超过50吨时，每吨的成本y（万元/吨）与生产数量x（吨）的函数关系式如图所示．（1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（2）当生产这种产品的总成本为280万元时，求该产品的生产数量．（注：总成本=每吨的成本×生产数量）【分析】（1）利用待定系数法求出一次函数解析式即可，根据当生产数量至少为10吨，但不超过50吨时，得出x的定义域；（2）根据总成本=每吨的成本×生产数量，利用（1）中所求得出即可．【解答】解：（1）利用图象设y关于x的函数解析式为y=kx+b，将（10，10）（50，6）代入解析式得：，解得：，y=﹣x+11（10≤x≤50）（2）当生产这种产品的总成本为280万元时，x（﹣x+11）=280，解得：x1=40，x2=70（不合题意舍去），故该产品的生产数量为40吨．【点评】此题主要考查了一次函数的应用，根据总成本=每吨的成本×生产数量得出等式方程求出是解题关键．23．（12分）已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD，∠BAF=∠DAE，AE与BD交于点G．（1）求证：BE=DF；（2）当=时，求证：四边形BEFG是平行四边形．【分析】（1）证得△ABE与△AFD全等后即可证得结论；（2））利用=得到，从而根据平行线分线段成比例定理证得FG ∥BC，进而得到∠DGF=∠DBC=∠BDC，最后证得BE=GF，利用一组对边平行且相等即可判定平行四边形．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，∠ABC=∠ADF，∵∠BAF=∠DAE，∴∠BAF﹣∠EAF=∠DAE﹣∠EAF，即：∠BAE=∠DAF，∴△BAE≌△DAF∴BE=DF；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴△ADG∽△EBG∴=又∵BE=DF，=∴==∴，又∠BDC=∠GDF故△BDC∽△GDF，再由对应角相等有∠DBC=∠DGF∴GF∥BC （同位角相等则两直线平行）∴∠DGF=∠DBC∵BC=CD∴∠BDC=∠DBC=∠DGF∴GF=DF=BE∵GF∥BC，GF=BE∴四边形BEFG是平行四边形【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理及平行四边形的判定与性质，特别是第二问如何利用已知比例式进行转化是解决此题的关键．24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+6x+c的图象经过点A （4，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C，点D在线段OC上，OD=t，点E在第二象限，∠ADE=90°，tan∠DAE=，EF⊥OD，垂足为F．（1）求这个二次函数的解析式；（2）求线段EF、OF的长（用含t的代数式表示）；（3）当∠ECA=∠OAC时，求t的值．【分析】（1）已知点A、B坐标，用待定系数法求抛物线解析式即可；（2）关键是证明△EDF∽△DAO，然后利用相似三角形对应边的比例关系以及三角形函数的定义求解；（3）如解答图，通过作辅助线构造一对全等三角形：△GCA≌△OAC，得到CG、AG的长度；然后利用勾股定理求得AE、EG的长度（用含t的代数式表示）；最后在Rt△ECF中，利用勾股定理，得到关于t的无理方程，解方程求出t的值．【解答】解：（1）二次函数y=ax2+6x+c的图象经过点A（4，0）、B（﹣1，0），∴，解得，∴这个二次函数的解析式为：y=﹣2x2+6x+8；（2）∵∠EFD=∠EDA=90°∴∠DEF+∠EDF=90°，∠EDF+∠ODA=90°，∴∠DEF=∠ODA∴△EDF∽△DAO∴．∵，∴=，∴，∴EF=t．同理，精品文档∴DF=2，∴OF=t﹣2．（3）∵抛物线的解析式为：y=﹣2x2+6x+8，∴C（0，8），OC=8．如图，连接EC、AC，过A作EC的垂线交CE于G点．∵∠ECA=∠OAC，在△GCA与△OAC中，，∴△GCA≌△OAC，∴CG=4，AG=OC=8．如图，过E点作EM⊥x轴于点M，则在Rt△AEM中，∴EM=OF=t﹣2，AM=OA+OM=OA+EF=4+t，由勾股定理得：∵AE2=AM2+EM2=；在Rt△AEG中，由勾股定理得：∴EG===∵在Rt△ECF中，EF=t，CF=OC﹣OF=OC﹣EM=8﹣（t﹣2）=10﹣t，CE=CG+EG=+4由勾股定理得：EF2+CF2=CE2，即，解得t1=10，t2=6，∵当t=10时，CF=10﹣10=0，∴不合题意舍去，∴t=6．另解：延长CE至x轴交于点K．∵∠ECA=∠OAC（已知）∴AK=CK（等角对等边）设OK=x，则AK=4+x．在Rt△COK中，CO=8，OK=x根据勾股定理得，CK==，∴根号64+x2=4+x，解得x=6，∵△CEF∽△CKO（两角对应相等）∴EF：KO=CF：CO，即0.5t：6=10﹣t：8，解得t=6．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理和待定系数法求二次函数解析式等多个知识点，难度较大．第（3）问中，涉及到无理方程的求解，并且计算较为复杂，注意不要出错．25．（14分）如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．（1）当BC=1时，求线段OD的长；（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；（3）设BD=x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域．【分析】（1）根据OD⊥BC可得出BD=BC=，在Rt△BOD中利用勾股定理即可求出OD的长；（2）连接AB，由△AOB是等腰直角三角形可得出AB的长，再根据D和E是中点可得出DE=；（3）由BD=x，可知OD=，由于∠1=∠2，∠3=∠4，所以∠2+∠3=45°，过D作DF⊥OE，DF=，EF=x即可得出结论．【解答】解：（1）如图（1），∵OD⊥BC，∴BD=BC=，∴OD==；（2）如图（2），存在，DE是不变的．连接AB，则AB==2，∵D和E分别是线段BC和AC的中点，∴DE=AB=；（3）如图（3），连接OC，∵BD=x，∴OD=，∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠2+∠3=45°，过D作DF⊥OE．∴DF==，由（2）已知DE=，∴在Rt△DEF中，EF==，∴OE=OF+EF=+=∴y=DF•OE=••=（0＜x＜）．【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理、三角形的性质，综合性较强，难度中等．。
2020年上海中考数学试题及答案
2020年上海中考数学试题及答案考生注意：1．本试卷共25题．2．试卷满分150分，考试时间100分钟．3．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．4．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1、 下列二次根式中，与3是同类二次根式的是（）A B C D 2、用换元法解方程22121x x x x ++=+时，若设21x y x+=，则原方程可化为关于y 的方程是（） 22222102102020A y y B y y C y y D y y −+=++=++=+−=、、、、3、我们经常将调查、收集得来的数据用各类统计图进行整理与表示，下列统计图中，能凸显由数据所表现出来的部分与整体的关系的是（）A 、条形图B 、扇形图C 、折线图D 、频数分布直方图4、已知反比例函数的图像经过点（2，－4），那么这个反比例函数的解析式是（2288A y B y C y D y x x x x==−==−、、、、 5、下列命题中，真命题是（）A 、对角线互相垂直的梯形是等腰梯形B 、对角线互相垂直的平行四边形是正方形C 、对角线平分一组对角的平行四边形是菱形D 、对角线平分一组对角的梯形是直角梯形6、如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形，下列图形中，平移重合图形是（）A 、平行四边形B 、等腰梯形C 、正六边形D 、圆二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7、计算：23a ab ⋅=________8、已知2()1f x x =−，那么f （3）的值是________ 9、已知正比函数y kx =（k 是常数，k ≠0）的图像经过第二、四象限，那么y 的值随着x 的增大而________（填“增大”或“减小"）10、如果关于x 的方程240x x m −+=有两个相等的实数根，那么m 的值是________11、如果从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，那么取到的数恰好是5的倍数的概率是________12、如果将抛物线2y x =向上平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是________13、为了解某区六年级8400名学生中会游泳的学生人数，随机调查了其中400名学生，结果有150名学生会游泳，那么估计该区会游泳的六年级学生人数约为________14、《九章算术》中记载了一种测量井深的方法，如图1所示，在井口B 处立一根垂直于井口的木杆BD ，从木杆的顶端D 观察井水水岸C ，视线DC 与井口的直径AB 交于点E ，如果测得AB ＝1．6米，BD ＝1米，BE ＝0．2米，那么井深AC 为________米 15、如图2，AC 、BD 是平行四边形ABCD 的对角线，设,BC a CA b ==u u u r u u u r r r ，那么向量→BD 用向量→a 、→b 表示为________16、小明从家步行到学校需走的路程为1800米，图3中的折线OAB反映了小明从家步行到学校所走的路程s（米）与时间t（分钟）的函数关系，根据图像提供的信息，当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行________米17、如图4，在△ABC中，AB＝4，BC＝7，CD＝3，∠B＝60°，点在边上，联结，如果将△ACD沿直线AD翻折后，点C的对应点为点E，那么点E到直线BD的距离为________18、在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点O在对角线AC上，圆O的半径为2，如果圆O与矩形ABCD的各边都没有公共点，那么线段AO长的取值范围是________三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19、（本题满分10分）计算：123127()|35252−−++20、（本题满分10分）解不等式组：1076713x xxx>+⎧⎪+⎨−<⎪⎩21、（本题满分10分，每小题各5分）如图，在直角梯形ABCD 中，90,35,8,5DAB BC AB CD ︒∠====（1）求梯形ABCD 的面积；（2）联结BD ，求∠DBC 的正切值22、（本题满分10分，第一小题4分，第二小题6分）去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同， “十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等，求该商店去年8、9月份营业额的月增长率23、（本题满分12分，每小题各6分）已知：如图，在菱形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，BE ＝FD ，AF 的延长线交BC 的延长线于点H ，AE 的延长线交DC 的延长线于点G(1)求证：△AFD ∽△GAD（2）如果2DF CF CD =⋅，求证：BE ＝GH24、（本题满分12分，第（1）小题满分2分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分） 在平面直角坐标系中，直线152y x =−+与x 、y 轴分别交于A 、B 两点，抛物线2(0)y ax bx a =+≠过点A (1)求线段AB 的长；（2）若抛物线2y ax bx =+经过线段AB 上另一点C ，且5BC =，求这条抛物线解析式； （3）如果抛物线2y ax bx =+的顶点D 在△AOB 内部，求a 的取值范围25、（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分6分）是△ABC的外接圆，BO的延长线交边AC于点D 如图，在△ABC中，AB＝AC，O(1)求证：∠BAC＝2∠ABD；（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小；（3）当AD＝2，CD＝3时，求边BC的长数学参考答案。