学而思九年级数学教材
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学而思九年级数学教材41、如图，动点A在函数y＝x(x＞0)的图象上，AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，延长CA至点D，使AD=AB，延长BA至点E，使AE=AC．直线DE分别交x，y轴分别于点P，Q．当QE：DP=4：9时，图中阴影局部的面积等于．2、如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AC边上一点，且满足AD=AB，∠ADE=∠C．1〕求证：∠AED=∠ADC，∠DEC=∠B；2〕求证：AB2=AE?AC．3、〔2000?河北〕：如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，且AD=AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F．1〕求证：△ABC∽△FCD；2〕假设S△FCD=5，BC=10，求DE的长．1y3、如图，第一象限内的图像是反比例函数x图像的2一个分支，第二象限内的图象是反比例函数的一个分支，在x轴的上方有一条平行于它们分别交于点A、B，过点A、B作x 分别为C、D．假设四边形ABCD的周长为那么点A的坐标为〔y=－x图象x轴的直线l与轴的垂线，垂足8且AB＜AC，．4、〔2021?宁波〕正方形的A1B1P1P2顶点P1、P2在反比2例函数y=x〔x＞0〕的图象上，顶点A1、B1分别在x轴、y轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P2P3A2B2，顶点P3在反2比例函数y=x〔x＞0〕的图象上，顶点A2在x轴的正半轴上，那么点P3的坐标为．y 1ykx1x〔x<0〕的图像交于点5、直线2与反比例函数A，与x轴相交于点B，过点B作x轴垂线交双曲线于点C，假设AB=AC，那么k的值为〔〕6、〔2021?十堰〕如图，平行四边形AOBC中，对角线交于点E，ky双曲线x〔k＞0〕经过A，E两点，假设平行四边形AOBC的面积为18，学而思九年级数学教材那么k=6．2y7、〔2021?荆门〕如图，双曲线x〔x＞0〕经过四边形OABC的顶点A、C，∠ABC=90°，OC平分OA与x轴正半轴的夹角，AB∥x轴．将△ABC沿AC翻折后得△AB′C，B′点落在OA上，那么四边形OABC的面积是2．k8、〔2021?扬州〕如图，双曲线y=x经过Rt△OMN斜边上的点A，与直角边MN相交于点B，OA=2AN，△OAB的面积为5，那么k的值是12．9、〔2021?成都一模〕如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴、yy kx〔k为常数，且k＞0〕在第一象轴分别交于点A，B，与反比例函数限的图象交于点E，F．过点E作EM⊥y轴于M，过点F作FN⊥x轴于N，直线EM与FN交于点C．假设BE 1BF m〔m为大于l的常数〕．记△CEF的面积为S1，△OEF的面积1为S2，s1那么s2=．〔用含m的代数式表示〕3y1y210、〔2021?桂林〕双曲线x，x，在第一象限的图像如图所示，过y2上任意一点A，作x轴的平行线交y1于点B，交y轴于点C，过A作BDx轴的垂线交y1于点D，交x轴于点E，连接BD，CE，那么CE=。
学而思初中数学朱韬老师教程
学而思初中数学朱韬老师教程一、教学目标：通过本教程的学习，学生应掌握初中数学的基本概念、思想方法和解题技巧，能够有效应对中考数学考试，达到良好的数学素养和成绩。
二、教学大纲：1.数学基础- 数学符号与运算法则- 整数、分数和小数的概念和性质- 数论基础及应用，如公因数、公倍数、质数、约数等- 代数中的基本内容，如代数式、方程、不等式等2.平面几何- 平面图形的认识和性质，如点、线、角、三角形、四边形、圆等- 平面几何基本定理证明和应用，如勾股定理、角平分线定理、中垂线定理等- 向量的认知、性质和运算3.立体几何- 空间图形的认知和性质，如点、线、面、体的概念- 空间几何基本定理证明和应用，如正方体的表面积、体积、稳定性等- 立体几何中的向量和投影的应用4.统计与概率- 统计学的基本概念和方法，如资料的整理、分析和表示方法- 概率的认知、性质和问题解法，如事件、样本空间、概率法则等三、教学重点和难点：1.代数中方程、不等式的解法选择和应用2.平面几何基本定理的证明和应用3.立体几何中空间图形的认知和应用4.概率问题的理解和求解方法四、教学方法：本教程采用“理论与实践相结合”、“引导性学习”、“启发性学习”、“传统课堂教学”等多种教学方法，使学生在启发式教学实践中自主发现问题，提高数学思维能力。
五、教学体系：本教程结合中考数学考试的要求和题型，分阶段分模块学习，让学生按照模块学习和模块检测，切实提高学生对数学知识的理解和应用能力，达到中考数学复习的目标。
六、学习建议：1.注重课堂学习，积极参与，扎实掌握每个模块的基本概念与方法。
2.加强练习与巩固，在课后留出适当时间进行练习，熟记公式与方法。
3.多彩生活，提高数学思维，积累数学思维的素材，增强对数学的热爱与兴趣。
学而思初三数学暑假班第7讲.圆的概念及性质.提高班.学生版
“圆”来如此漫画释义满分晋级7圆的概念及性质圆1级 圆的 概念及性质圆2级 与圆有关 的位置关系 圆3级 正多边形和圆 与圆中的计算暑期班 第七讲暑期班 第八讲暑期班 第九讲中考内容中考要求A B C圆的有关概念理解圆及其有关概念会过不在同一直线上的三点作圆；能利用圆的有关概念解决简单问题圆的性质知道圆的对称性，了解弧、弦、圆心角的关系能用弧、弦、圆心角的关系解决简单问题能运用圆的性质解决有关问题圆周角了解圆周角与圆心角的关系；知道直径所对的圆周角是直角会求圆周角的度数，能用圆周角的知识解决与角有关的简单问题能综合运用几何知识解决与圆周角有关的问题垂径定理会在相应的图形中确定垂径定理的条件和结论能用垂径定理解决有关问题点与圆的位置关系了解点与圆的位置关系直线与圆的位置关系了解直线与圆的位置关系；了解切线的概念，理解切线与过切点的半径之间的关系；会过圆上一点画圆的切线；了解切线长的概念能判定直线和圆的位置关系；会根据切线长的知识解决简单的问题；能利用直线和圆的位置关系解决简单问题能解决与切线有关的问题圆与圆的位置关系了解圆与圆的位置关系能利用圆与圆的位置关系解决简单问题弧长会计算弧长能利用弧长解决有关问题中考内容与要求扇形会计算扇形面积能利用扇形面积解决有关问题圆锥的侧面积和全面积会求圆锥的侧面积和全面积能解决与圆锥有关的简单实际问题圆是北京中考的必考内容，主要考查圆的有关性质与圆的有关计算，每年的第20题都会考查，第1小题一般是切线的证明，第2小题运用圆与三角形相似、解直角三角形等知识求线段长度问题，有时也以阅读理解、条件开放、结论开放探索题作为新的题型。
要求同学们重点掌握圆的有关性质，掌握求线段、角的方法，理解概念之间的相互联系和知识之间的相互转化，理解直线和圆的三种位置关系，掌握切线的性质和判定方法，会根据条件解决圆中的动态问题。
年份2010年2011年2012年题号11，20 20，25 8，20，25分值9分13分17分考点垂径定理的应用；切线判定、圆与解直角三角形综合圆的有关证明，计算（圆周角定理、切线、等腰三角形、相似、解直角三角形）；直线与圆的位置关系圆的基本性质，圆的切线证明，圆同相似和三角函数的结合；直线与圆的位置关系中考考点分析定 义示例剖析圆：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫做圆． 固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径． 由圆的定义可知：⑴ 圆上的各点到圆心的距离都等于半径长；在一个平面内，到圆心的距离等于半径长的点都在同一个圆上．因此，圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形． ⑵ 要确定一个圆，需要两个基本条件，一个是圆心的位置，另一个是半径的长短，其中，圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小． 圆O半径圆心AO表示为“O ⊙”圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆； 能够重合的两个圆叫做等圆．等圆O‘O同心圆O知识互联网模块一 圆的基本概念知识导航OEDCB A 弦和弧：1. 连结圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦，直径等于半径的2倍．2. 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧． 以A B 、为端点的弧记作»AB ，读作弧AB ． 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧． 3. 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．4. 在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．Cm劣弧优弧弦BAO表示：劣弧»AB优弧¼ACB 或¼AmB 圆心角和圆周角：1. 顶点在圆心的角叫做圆心角．2. 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．O DC BA 圆周角圆心角下面这些都不是圆周角：【例1】 如图，若点O 为O ⊙的圆心，则线段_________________是圆O 的半径；线段___________是圆O 的弦，其中最长的弦是________；________是劣弧；___________是半圆．若40A ∠=︒，则ABO ∠=_________，C ∠=_______，ABC ∠=_______．【例2】 如图，AB 为O ⊙的直径，CD 是O ⊙的弦，AB CD 、的延长线交于点E ，若2AB DE =，18E ∠=︒，求AOC ∠的度数．能力提升夯实基础OCBAD CBA NM O定 理示例剖析1. 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．2. 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.如图，AB 是O ⊙的直径，CD 是弦E DCBAO1. 若AB CD ⊥于E ，则CE DE =； »»AC AD =；»»BC BD =．2. 若CE DE =，则AB CD ⊥； »»AC AD =；»»BCBD =．【例3】 1．如图，M N 、分别是O ⊙中长度相等但不平行的两条弦AB CD 、的中点．求证：AMN CNM ∠=∠．2．如图，∠P AC =30°，在射线AC 上顺次截取AD =3cm ，DB =10cm ，以DB 为直径作⊙O 交射线AP 于E 、F 两点，则线段EF 的长是 cm ．知识导航模块二 垂直于弦的直径FE ADOB CP3．如图，⊙O 的半径为2，弦32=AB ，点C 在弦AB 上，AB AC 41=，则OC 的长为（ ）A ．2 B ．3 C ．23 D ． 7【例4】 ⊙O 的半径为5cm ，弦AB ∥CD ，且AB =8 cm ，CD =6cm ，求AB 与C 之间的距离．定 理示例剖析弧、弦、圆心角之间的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等． O D CB A如图，由定理可知：若AOB COD ∠=∠，则AB CD =、»»AB CD =；若AB CD =，则AOB COD ∠=∠、»»AB CD =； 若»»AB CD =，则AB CD =、AOB COD ∠=∠．能力提升知识导航BCAO圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等． 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90︒的圆周角所对的弦是直径．C BAO2AOB ACB ∠=∠EO DCB A若ACB AED ∠=∠，则»»AB AD =直角直径OCB A圆内接多边形：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.圆内接四边形的对角互补．如图，A B C D 、、、四点都在圆上，OD CBA则180A C ∠+∠=︒，180B D ∠+∠=︒、【例5】 ⑴ 已知，A B C 、、分别为O ⊙圆周上任意三点，请你判断同弧所对的ACB ∠与AOB∠的大小关系．O OO根据上面的推理，可以发现：__________________________________________________．⑵ 若点D 是优弧»AB 上任意一点，试判断ADB ∠与ACB ∠的大小关系． 根据上面的推理，可以发现：__________________________________________________．⑶ 如果点D 在劣弧»AB 上，此时ADB ∠和ACB ∠的大小关系还一样吗？可夯实基础ODCA以得到什么结论？COADE O B DFCA【例6】 ⑴ 如图，△ACD 和△ABE 都内接于同一个圆，则∠ADC +∠AEB +∠BAC =⑵ 在⊙O 中，直径AB ⊥CD 于点E ，连接CO 并延长交AD 于点F ， 且CF ⊥AD ．则∠D = ．⑶ 如图，点A 、B 、C 、D 在⊙O 上，O 点在∠D 的内部，四边形OABC 为平行四边形，则∠OAD +∠OCD = °．⑷ 如图，A B C D 、、、是O ⊙上的点，直径AB 交CD 于点E ，已知 57C ∠=︒，45D ∠=︒，则CEB ∠=________．⑸ 已知O ⊙的弦AB 长等于圆的半径，则该弦所对的圆周角为 ．【例7】 已知：在半径为52的⊙O 内，有互相垂直的两条弦AB ，CD ，它们相交于P 点．（1）求证：P A ·PB =PC ·PD ；（2）设BC 的中点为F ，连接FP 并延长交AD 于E ，求证：EF ⊥AD ； （3）如果AB =8，CD =6，求O 、P 两点之间的距离．判断正误能力提升探索创新EDCBA OCBADCB ED APEDOBFCAOGFE DC BAOEDCBA⑴ 半圆是弧⑵ 半径相等的两个圆是等圆⑶ 过圆心的线段是直径⑷ 两个端点能够重合的弧是等弧⑸ 圆的任意一条弦把圆分成优弧和劣弧两部分 ⑹ 长度相等的弧是等弧 ⑺ 直径是最大的弦 ⑻ 半圆所对的弦是直径 ⑼ 两个劣弧的和是半圆⑽ 圆的半径是R ，则弦长的取值范围是大于0且不大于2R.训练1. 如图，CD 是O ⊙的直径，87EOD ∠=︒，AE 交O ⊙于B ，且AB OC =，求A ∠的度数．训练2. 图，矩形ABCD 与圆心在AB 上的O ⊙交于点G B F E 、、、，8cm GB =，1cm AG =，2cm DE =，则EF =_________．训练3. ⑴ 如图，O ⊙的直径为10，弦8AB =，P 是线段AB 上一点，则OP 的取值范围是________________．思维拓展训练(选讲)OBA⑵ 如图，将O ⊙沿着弦AB 翻折，劣弧恰好经过圆心O ，若O ⊙的半径为6，则弦AB 的长度等于_________．训练4. 如图，O ⊙中，AB 为直径，弦CD 交AB 于P ，且OP PC ，试猜想»AD 与»BC之间的关系，并证明你的猜想．OPABPCOAO DC BA E知识模块一 圆的基本概念 课后演练【演练1】 已知：如图，在同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C D ，两点．⑴ 求证：AOC BOD ∠=∠；⑵ 试确定AC 与BD 两线段之间的大小关系，并证明你的结论．知识模块二 垂直于弦的直径 课后演练【演练2】 如图所示，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，2AC =，1BC =，若以C 为圆心、CB 的长为半径的圆交AB 于P ，则AP = .【演练3】 如图所示，已知AB 为O ⊙的直径，CD 是弦，且AB CD ⊥于点E ，连接AC OC BC 、、， ⑴ 求证：ACO BCD ∠=∠，⑵ 若8cm 24cm EB CD ==，，求O ⊙的直径．知识模块三 弧、弦、圆心角和圆周角 课后演练实战演练DCAOPABC【演练4】 已知如图，在O ⊙中，AB 是O ⊙的直径，AC 、BC 分别交O ⊙于E 、D ，D 是»BE的中点，40A ∠=︒，求C ∠的大小．【演练5】 如图，ABC △内接于O ⊙，OD AC ⊥于D ，2OD =，4OC =，则B ∠=________．OD CB A OE DCBA第十七种品格：成就史蒂芬与他的导演梦史蒂芬·史匹柏在36岁时就成为世界上最成功的制片人，电影史上十大卖座的影片中，他个人囊括四部。
学而思初三数学秋季班第2讲.方程与函数思想.目标班.学生版
15初三秋季·第2讲·目标班·学生版中考内容中考要求A BC二次函数能结合实际问题情境了解二次函数的意义；会用描点法画出二次函数的图象 能通过分析实际问题的情境确定二次函数的表达式；能从图象上认识二次函数的性质；会确定图象的顶点、开口方向和对称轴；会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解能用二次函数解决简单的实际问题；能解决二次函数与其他知识结合的有关问题中考内容与要求满分晋级阶梯2方程与函数思想函数18级 期末复习之 二次函数与几何综合函数17级 二次函数的应用 函数16级 方程与函数思想16 初三秋季·第2讲·目标班·学生版二次函数在北京中考中属于必考考点，并且都以压轴题形式出现，是中考的难点，也是同学们失分最高的一部分。
这部分内容要求学生们⑴能用数形结合、归纳等数学思想，根据二次函数的表达式确定二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标；⑵综合运用方程、几何、函数等知识解决实际问题。
年份 2011年 2012年 2013年 题号 7，8，23 8，23 10，23 分值11分11分9分考点抛物线顶点坐标；函数图象；二次函数和一次函数解析式（函数图象与坐标轴交点、函数图象交点坐标），二次函数与一元二次方程（判别式、求根）函数图象；二次函数的对称性；二次函数和一次函数解析式（函数图象与坐标轴交点、函数图象交点坐标）；二次函数图象平移，利用函数图象求取值范围二次函数函数图象的性质；二次函数和一次函数解析式（函数图象与坐标轴交点、函数图象交点坐标），二次函数图像的对称性知识互联网中考考点分析17初三秋季·第2讲·目标班·学生版抛物线()20y ax bx c a =++≠与y 轴的交点抛物线与y 轴必有一个交点()0c ，.抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴的交点当240b ac ∆=->时，抛物线与x 轴有两个不同的交点. 当240b ac ∆=-=时，抛物线与x 轴有一个交点. 当240b ac ∆=-<时，抛物线与x 轴没有交点.直线()0y kx b k =+≠（或直线y m =或直线x n =）与抛物线()20y ax bx c a =++≠的交点问题，可运用方程思想联立方程2y kx b y ax bx c =+⎧⎨=++⎩（或2y my ax bx c=⎧⎨=++⎩或2x n y ax bx c =⎧⎨=++⎩）求出方程组的解，从而得到交点坐标. 比如抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴的交点联立方程组为2y y ax bx c =⎧⎨=++⎩，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根，则抛物线与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，.【引例】 已知关于x 的二次函数()222134y x m x m m =--+++．探究二次函数y 的图象与x 轴的交点的个数，并写出相应的m 的取值范围.【解析】 令0y =时，得：()2221340x m x m m --+++=()()22214341615m m m m ∆=--++=--，以下分三种情况讨论：①当0∆>时，方程有两个不相等的实数根，即16150m -->∴1516m <-，此时，y 的图象与x 轴有两个交点②当0∆=时，方程有两个相等的实数根，即16150m --=∴1516m =-，此时，y 的图象与x 轴只有一个交点③当0∆<时，方程没有实数根，即16150m --<例题精讲思路导航题型一：方程思想18 初三秋季·第2讲·目标班·学生版∴1516m >-，此时，y 的图象与x 轴没有交点 综上所述：当1516m <-时，y 的图象与x 轴有两个交点；当1516m =-时，y 的图象与x 轴只有一个交点；当1516m >-时，y 的图象与x 轴没有交点．【例1】 1. 抛物线与x 轴的交点.⑴二次函数2y ax bx c =++与x 轴的两个交点坐标为()10-，、()50，，则一元二次方程20ax bx c ++=的两根为 ．⑵二次函数n x x y +-=62的部分图象如图所示，若关于x 的一元二次方程062=+-n x x 的一个解为11=x ，则另一个解=2x ．⑶二次函数2134y x x n =++-的图象与x 轴只有一个交点；另一个二 次函数2222(1)46y nx m x m m =--+-+的图象与x 轴交于两点，这两个交点的横坐标都是整数，且m 是小于5的整数． 求:① n 的值；② 二次函数2222(1)46y nx m x m m =--+-+的图象与x 轴交点的坐标．2. 抛物线与直线y m =的交点.典题精练xy1O19初三秋季·第2讲·目标班·学生版图中抛物线的解析式为2y ax bx c =++，根据图象判断下列方程根的情况． ⑴ 方程20ax bx c ++=的两根分别为 ． ⑵ 方程230ax bx c ++-=的两根分别为 ． ⑶ 方程22ax bx c ++=的根的情况是 ． ⑷ 方程24ax bx c ++=的根的情况是 ．3. 抛物线与直线()0y kx b k =+≠的交点⑴直线6y ax =-与抛物线243y x x =++只有一个交点，则a = ．⑵当m 取何值时，抛物线2y x =与直线y x m =+：① 有公共点；② 没有公共点．【例2】 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y mx mx n =-+与x 轴交于A 、B 两点，点A的坐标为(2,0)-． (1) 求B 点坐标；20 初三秋季·第2讲·目标班·学生版(2) 直线n m x y ++=421经过点B . ① 求直线和抛物线的解析式；② 点P 在抛物线上，过点P 作y 轴的垂线l ，垂足为(0,)D d ．将抛物线在直线l 上方的部分沿直线l 翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新图象G ．请结合图象回答：当图象G 与直线n m x y ++=421只有两个公共点时，d 的取值范围是 ．21初三秋季·第2讲·目标班·学生版【例3】 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y mx mx n =-+与x 轴交于A 、B 两点，点A的坐标为(2,0)-． （1）求B 点坐标； （2）直线y =12x +4m +n 经过点B . ①求直线和抛物线的解析式；②点P 在抛物线上，过点P 作y 轴的垂线l ，垂足为(0,)D d ．将抛物线在直线l 上方的部分沿直线l 翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新图象G ．请结合图象回答：当图象G 与直线y =12x +4m +n 只有两个公共点时，d 的取值范围是 ．22 初三秋季·第2讲·目标班·学生版【例4】 已知关于m 的一元二次方程221x mx +-=0.(1) 判定方程根的情况；(2) 设m 为整数，方程的两个根都大于1-且小于32，当方程的两个根均为有理数时， 求m 的值．抛物线()20y ax bx c a =++≠的重要结论0<Δx当0a >时，图象落在x 轴的上方， 无论x 为任何实数，都有0y >.思路导航题型二：函数思想23初三秋季·第2讲·目标班·学生版x当0a <时，图象落在x 轴的下方， 无论x 为任何实数，都有0y <．0=Δmx当0a >，x m =时，则0y =；当x m ≠时，则0y >.mx当0a <，x m =时，则0y =；当x m ≠时，则0y <.0>Δnmx当0a >， x m <或x n >时，则0y >；当x m =或x n =时，则0y =；当m x n <<时，则0y <.nmx当0a <，x m <或x n >时，则0y <；当x m =或x n =时，则0y =；当m x n <<时，则0y >.【引例】1. 如图，函数2y ax bx c =++的图象如图所示：⑴ 当x 时， 0y =； ⑵ 当x 时， 0y >； ⑶ 当x 时， 0y <．2. 如图，在同一直角坐标系中，二次函数的图象与两坐标轴分别交于点()10A -，、点()30B ，和点()03C -，次函数的图象与抛物线交于B 、C 两点．⑴ 二次函数的解析式为 ．⑵ 当自变量 时，两函数的函数值都随x 增大而增大． ⑶ 当自变量 时，一次函数值大于二次函数值． ⑷ 当自变量 时，两函数的函数值的积小于0．【解析】 1. ⑴ 1x =或3x =；⑵ 3x >或1x <； ⑶ 13x <<．2. ⑴ 223y x x =--；⑵ 1x >；⑶ 03x <<；⑷ 1x <-．例题精讲典题精练yxO -331-1CB A yx31O24 初三秋季·第2讲·目标班·学生版【例5】 ⑴下列命题：①若0a b c ++=，则240b ac -<；②若23b a c =+，则一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根；③若240b ac ->，则二次函数2y ax bx c =++的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3．④若b a c >+，则一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根．正确的是（ ）A ．②④B ．①③C ．②③D ．③④⑵若m 、n （m n <）是关于x 的方程()()10x a x b ---=的两根，且a b <，则a 、b 、m 、n 的大小关系是（ ）A ．m a b n <<<B ．a m n b <<<C ．a m b n <<<D ．m a n b <<<⑶方程2310x x +-=的根可视为函数3y x =+的图象与函数1y x=的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断出方程3210x x +-=的实根0x 所在的范围是（ ） A ．010x -<<B ．001x <<C ．012x <<D ．023x <<【例6】 已知：关于x 的方程()2240x ax a ++-=①有两个实数根是1x 、2x （12x x <），若关于x的另一个方程220x ax k ++=②的两个实数根都在1x 和2x 之间．试比较：代数式4k +、a 、24a +之间的大小关系．【例7】 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2220y mx mx m =--≠与初三秋季·第2y 轴交于点A ，其对称轴与x 轴交于点B ．（1）求点A ，B 的坐标；（2）设直线l 与直线AB 关于该抛物线的对称轴对称，求直线 l 的解析式；（3）若该抛物线在21x -<<-这一段位于直线l 的上方，并且 在23x <<这一段位于直线AB 的下方，求该抛物线的解析式．训练1. 二次函数()20y ax bx c a =++≠的部分图象如图所示，根据图象解答下列问题：⑴写出x 为何值时，y 的值大于0；思维拓展训练(选讲)26 初三秋季·第2讲·目标班·学生版⑵写出x 为何值时，y 随x 的增大而增大；⑶若方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．训练2. 已知二次函数22(21)y x m x m m =--+-（m 是常数，且0m ≠）．⑴证明：不论m 取何值时，方程22(21)0x m x m m --+-=总有两个不相等的实数根；⑵设二次函数与x 轴两个交点的横坐标分别为1x ，2x （其中1x >2x ），当m的取值满足什么条件时2112xx -≤.训练3. 已知函数()20y x bx c x =++≥，满足当1x =时，1y =-，且当0x =与4x =时的函数值相等．⑴求函数()20y x bx c x =++≥的解析式并画出它的图象（不要求列表）；⑵若()f x 表示自变量x 相对应的函数值，且2 (0),() 2 (0),x bx c x f x x ⎧++=⎨-<⎩≥ 又已知关于x 的方程()f x x k =+有三个不相等的实数根，请利用图象直接写出实数k 的取值范围．27初三秋季·第2讲·目标班·学生版训练4. 设二次方程()22120x a x a +-+-=有一根比1大，另一根比1-小，试确定实数a 的范28 初三秋季·第2讲·目标班·学生版题型一 方程思想 巩固练习【练习1】 已知二次函数2y x bx c =-++的图象如图所示，解决下列问题：⑴关于x 的一元二次方程20x bx c -++= 的解为 ； ⑵x 取何值时，函数值2y ≤？【练习2】 已知：关于x 的二次函数2(1)(1)2y a x a x =--++.⑴当a 取何值时，方程2(1)(1)20a x a x --++=有两个不相等的实数根； ⑵整数a 取何值时，二次函数与x 轴的交点都是正整数.复习巩固yx31O29初三秋季·第2讲·目标班·学生版【练习3】 如图是二次函数2()y x m k =++的图象，其顶点坐标为()14M -，．⑴ 求出图象与x 轴的交点A ，B 的坐标；⑵ 在二次函数的图象上是否存在点P ，使54PAB MAB S S =△△，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由；⑶ 将二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线(1)y x b b =+<与此图象有两个公共点时，b 的取值范围．题型二 函数思想 巩固练习【练习4】 ⑴不论x 为何值时，2y ax bx c =++永远是正值的条件是（ ）A ．0a >，0∆<B ．0a >，0∆≥C ．0a >，0∆>D ．0a <，0∆< ⑵若抛物线()2123y m x mx m =-+++位于x 轴上方，则m 的取值范围是（ ）A ．1m >B ．32m >C ．32m ≥D ．312m << ⑶二次函数2y ax bx c =++对于x 的任何值都恒为负值的条件是（ ） A ．0a >，0∆> B ．0a >，0∆< C ．0a <，0∆> D ．0a <，0∆<【练习5】 已知关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=，如果0a >，a c b +<，那么方程20ax bx c ++=的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．必有一个根为0初三秋季·第2讲·目标班·学生版巴雷尼与诺贝尔奖巴雷尼小时候因病成了残疾，母亲的心就像刀绞一样，但她还是强忍住自己的悲痛。
学而思初中数学培优教材
学而思初中数学培优教材学而思初中数学培优教材是一套专为初中生量身定制的数学学习教材。
它以全面的知识点覆盖和系统的知识结构设计为特点，旨在帮助学生提高数学学习能力和能力水平。
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学而思初三数学暑假班第1讲.二次函数图象及基本性质.提高班.学生版
1初三暑期·第1讲·提高班·学生版股票图==血压图？漫画释义满分晋级1函数11级 两大函数 与几何综合函数12级 二次函数图象 及基本性质 函数13级 二次函数的基本解 析式与图象变换春季班 第三讲暑期班 第一讲暑期班第二讲二次函数图象及基本性质中考内容中考要求A B C二次函数了解二次函数的意义；会用描点法画出二次函数的图象能通过分析实际问题的情境确定二次函数的解析式；能从图象上认识二次函数的性质；会根据二次函数的解析式求其图象与坐标轴的交点坐标，会确定图象的顶点、开口方向和对称轴；会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解能用二次函数解决简单的实际问题；能解决二次函数与其他知识综合的有关问题二次函数在北京中考中属于必考考点，并且都以压轴题形式出现，是中考的难点，也是同学们失分最高的一部分。
这部分内容要求学生们⑴能用数形结合、归纳等数学思想，根据二次函数的表达式确定二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标；⑵综合运用方程、几何、函数等知识解决实际问题。
年份2010年2011年2012年题号24 7，8，23 8，23分值8分11分11分考点确定抛物线的解析式，二次函数与等腰直角三角形综合抛物线顶点坐标；函数图象；二次函数和一次函数解析式（函数图象与坐标轴交点、函数图象交点坐标），二次函数与一元二次方程（判别式、求根）函数图象；二次函数的对称性；二次函数和一次函数解析式（函数图象与坐标轴交点、函数图象交点坐标）；二次函数图象平移，利用函数图象求取值范围中考考点分析中考内容与要求知识互联网2 初三暑期·第1讲·提高班·学生版3初三暑期·第1讲·提高班·学生版定 义示例剖析二次函数的定义：一般地，形如 2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数．其中x 是自变量，a ，b ，c 分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项．例如223y x x =-+是二次函数，其中二次项系数为1，一次项系数为2-，常数项为3．【例1】 ⑴ 银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的．也就是说，利率是一个变量．在我国利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的．设人民币一年定期储蓄的年利率是x ，如果存款额是100元，一年到期后，本息和y = 元；若一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存，则两年后的本息和y =元（不考虑利息税）．⑵ 下列函数中哪些是二次函数，哪些不是，如果是二次函数，指出二次项系数、一次项系数、常数项．①213y x =-，②()5y x x =-，③213y x=，④()()312y x x =-+，⑤4221y x x =++，⑥()221y x x =--，⑦2y ax bx c =++．⑶ ①如果函数22(1)1k k y k xkx -+=-+-是关于x 的二次函数，则k = ． 2y ax = 2y ax c =+()2y a x h =-()2y a x h k =-+ 2y ax bx c =++模块一 二次函数的解析式知识导航夯实基础4初三暑期·第1讲·提高班·学生版②2(2)mmy m x -=-是关于x 的二次函数，则m = ．③若函数2221(1)m m y m x --=-为二次函数，则m 的值为 ．④已知222mm y mx -+=是关于x 的二次函数，则m 的值为 ．二次函数的图象：一般地，二次函数2y ax bx c =++的图象叫做抛物线2y ax bx c =++．每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点．顶点是抛物线的最低点或最高点．二次函数2y ax bx c =++的图象是对称轴平行于y 轴的一条抛物线．a 的符号开口方向顶点坐标 对称轴性质①二次函数2y ax =()0a ≠的性质0a > 向上()00， y 轴当0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小； 0x =时，y 有最小值0．0a < 向下()00，y 轴当0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大； 0x =时，y 有最大值0．②二次函数2y ax c =+()0a ≠的性质0a >向上()0c ，y 轴当0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小； 0x =时，y 有最小值c ．0a < 向下()0c ，y 轴当0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大； 0x =时，y 有最大值c ．③二次函数()2y a x h =-()0a ≠的性质0a >向上()0h ， x h =当x h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小； x h =时，y 有最小值0．0a < 向下 ()0h ，x h =当x h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大； x h =时，y 有最大值0．④二次函数()2y a x h k =-+()0a ≠的性质0a >向上()h k ，x h =当x h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小； x h =时，y 有最小值k ．0a <向下()h k ，x h =当x h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；模块二 二次函数的图象与性质5初三暑期·第1讲·提高班·学生版x h =时，y 有最大值k ．⑤二次函数2y ax bx c =++()0a ≠的性质0a >向上 2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 2bx a =- 当2bx a>-时，y 随x 的增大而增大；2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；2bx a=-时，y 有最小值244ac b a -． 0a <向下 2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 2bx a =- 当2bx a>-时，y 随x 的增大而减小；2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．⑴a 决定抛物线的开口方向 当0a >时，抛物线开口向上；当0a <时，抛物线开口向下．a 决定抛物线的开口大小：a 越大，抛物线开口越小；a 越小，抛物线开口越大． 温馨提示：几条抛物线的解析式中，若a 相等，则其开口大小相同，即若a 相等，则开口方向及大小相同，若a 互为相反数，则开口大小相同、开口方向相反．⑵b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置（抛物线的对称轴：2bx a=-）当0b =时，抛物线的对称轴为y 轴；当a 、b 同号时，对称轴在y 轴的左侧； 当a 、b 异号时，对称轴在y 轴的右侧．简称“左同右异”.⑶c 的大小决定抛物线与y 轴交点的位置（抛物线与y 轴的交点坐标为()0c ，） 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为原点；当0c >时，交点在y 轴的正半轴；当0c <时，交点在y 轴的负半轴．【例2】 在同一平面直角坐标系中，用描点法画出二次函数①22y x =、②212y x =、③2y x =-和 ④22y x =-的图象，指出各个二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标，并根据二次函数图象判断 的图象开口最大．夯实基础6初三暑期·第1讲·提高班·学生版①②③④x y O【例3】 可通过前面知识点或画图解决下列问题：⑴抛物线233y x =+的顶点坐标为 ，对称轴为 ．当x ______时，y 随x 的增大而减小；当x ＝______时，y 有最______值是______，它可以由抛物线23y x =向______平移______个单位得到．⑵抛物线23(2)y x =-的开口方向是______，顶点坐标为______，对称轴是______．当x ______时，y 随x 的增大而增大；当x ＝______时，y 有最______值是______，它可以由抛物线23y x =向______平移______个单位得到．⑶抛物线23(2)1y x =-+的开口方向是______，顶点坐标为 ，对称轴是 ．当x ______时，y 随x 的增大而增大；当x ＝______时，y 有最______值是______，它可以由抛物线23y x =先向______平移______个单位，再向 平移 个单位得到．⑷抛物线y ＝22x x --的顶点坐标为 ，当x ＝______时，y 有最______值是______，与x 轴的交点坐标是 ，与y 轴的交点坐标是______，当x 时，y 随x 增大而减小，当x 时，y 随x 增大而增大．【例4】 ⑴ 若二次函数222-++=a bx ax y （a ，b 为常数）的图象如图，则a 的值为 ．⑵ 已知二次函数213y x =-、2213y x =-、2332y x =，它们的图象开口由小到大的顺序是（ ）A ．123y y y ，，B ．321y y y ，，C ．132y y y ，，D ．231y y y ，，⑶ 如图，抛物线①②③④对应的解析式为21y a x =，22y a x =，23y a x =， 24y a x =，将1a 、2a 、3a 、4a 从小到大排列为 ．【例5】 ⑴关于x 的二次函数()()m x x y -+=1，其图象的对称轴在y 轴的右侧，则实数m 的能力提升xyO取值范围是．⑵抛物线2y ax bx c=++经过点()27A-，，()67B，，()38C-，，则该抛物线上纵坐标为8-的另一个点D的坐标是．⑶已知点()15A x，，()25B x，是函数223y x x=-+上两点，则当12x x x=+时，函数值y=___________．【例6】⑴判断下列哪一组的a、b、c，可使二次函数73522+--++=xxcbxaxy在坐标平面上的图形有最低点？（）A．0=a，4=b，8=c B．2=a，4=b，8-=cC．4=a，4-=b，8=c D．6=a，4-=b，8-=c⑵二次函数2()y a x m n=++的图象如图，一次函数y mx n=+的图象经过（）A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第二、三、四象限D．第一、三、四象限⑶顶点为(50)-，，开口方向、大小与函数231xy-=的图象相同的抛物线是( ) A．2)5(31-=xy B．5312--=xyC．2)5(31+-=xy D．2)5(31+=xy⑷二次函数()()2---=mxmxy的最小值为．⑸二次函数()2214y x k x=-++的顶点在y轴上，则k=，若顶点在x轴上，则k=．【例7】⑴二次函数()()022＞acxay+-=，当自变量x分别取2，3，0时，对应的值分别为1y、2y、3y，则1y、2y、3y的大小关系为．⑵二次函数()02＜acbxaxy++=的图象经过点A(2-，0)、O(0，0)、B(3-，y1)、C(3，y2)四点，则y1与y2的大小关系是．【例8】已知二次函数6422-+=xxy．⑴将其化成()2y a x h k=-+的形式；⑵写出开口方向，对称轴，顶点坐标；⑶求图象与两坐标轴的交点坐标；⑷画出函数图象；⑸说明其图象与抛物线22y x=的关系；探索创新xyO8初三暑期·第1讲·提高班·学生版⑹ 当x 取何值时，y 随x 增大而减小； ⑺ 当x 取何值时，0y >，0y =，0y <；⑻ 当x 取何值时，函数y 有最值？其最值是多少？ ⑼ 求函数图象与两坐标轴交点所确定的三角形面积．若函数()2221mm y m m x --=+为二次函数，则m 的值是 ．.抛物线2(2)3y x =-++的顶点坐标是（ ）A ．()23，B ．()23，-C ．()23，-D ．()23，-- ．训练1. 已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则a 、b 、c 满足（）A ．0a <，0b >，0c <B ．0a <，0b <，0c <C ．0a <，0b >，0c >D ．0a >，0b <，0c >训练2. 已知0b <时，二次函数221y ax bx a =++-的图象如下列四个图之一所示．-11Ox y1-1y x OO xyyxO思维拓展训练(选讲)O yx9初三暑期·第1讲·提高班·学生版A B C Dy OxOxy1111y O xy xOOxy根据图象分析，a 的值等于．．．．（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2训练3. 函数1y ax =+与21y ax bx =++（0a ≠）的图象可能是（ ）训练4. 如图，直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴， 下列关系不正确．．．的是（ ） A ．h m =B ．k n =C ．k n >D ．00h k >>，()212y x m n =-+ ()214y x h k -+10初三暑期·第1讲·提高班·学生版1O yx3yxx=-3O知识模块一 二次函数的定义 课后演练【演练1】 二次函数2347y x x =-+的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）A ．347--，，B ．347-，，C ．347，，D ．347-，， 知识模块二 二次函数的图象与性质 课后演练 【演练2】 已知函数2mmy mx +=，则当m = 时它的图象是抛物线；当m = 时，抛物线的开口向上．【演练3】 已知抛物线的解析式为2(3)1y x =--+，则它的顶点坐标是（ ）A ． (31)，B ． (31)，-C ． (31)，-D ． (13)，【演练4】 一抛物线和抛物线22x y -=的开口大小、开口方向完全相同，顶点坐标是(1-，3)，则该抛物线的解析式为( ) A ．()2213y x =--+ B. ()2213y x =-++ C ．()2213y x =-++D. ()2213y x =--+【演练5】 已知函数2y x bx c =-++的部分图象如图所示，则b =_____．【演练6】 二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，若点()11A y ，、()22B y ，是图象上的两点，则1y 与2y 的大小关系是（ ）A ．12y y <B ．12y y =C ．12y y >D ．不能确定实战演练第十七种品格：成就古往今来，古今中外，很多人取得了各种成就。
学而思初中数学合肥专版
学而思初中数学合肥专版学而思初中数学合肥专版是一套专门为合肥地区初中生设计的数学教材。
这套教材以合肥地区的教学大纲为依据，结合学生的实际情况和学习需求，精心编写而成。
学而思初中数学合肥专版的教材内容丰富全面，涵盖了初中数学的各个知识点和技能。
教材分为七个单元，分别是数与式、图形与变换、方程与不等式、函数与图像、统计与概率、三角与相似、几何与证明。
每个单元都按照知识点的难易程度进行了细致的划分，有助于学生逐步掌握数学知识。
学而思初中数学合肥专版的教材编写注重培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
教材中的例题和习题都设计得非常有针对性，能够帮助学生理解和掌握知识点，并能够运用所学知识解决实际问题。
同时，教材还注重培养学生的数学推理和证明能力，通过一些证明题目的训练，激发学生的思维灵活性和创造力。
学而思初中数学合肥专版的教材编写还注重培养学生的数学兴趣和学习动力。
教材中穿插了一些有趣的数学问题和数学游戏，激发学生对数学的兴趣，增加学习的乐趣。
同时，教材还提供了一些拓展性的习题和挑战性的问题，让学生有机会进一步提高自己的数学水平。
学而思初中数学合肥专版的教材编写还注重培养学生的数学思维方法和解题技巧。
教材中提供了一些解题思路和解题方法的讲解，帮助学生建立起正确的解题思维模式。
同时，教材还提供了一些解题技巧和解题方法的训练，让学生能够熟练运用这些技巧和方法解决各种数学问题。
总之，学而思初中数学合肥专版是一套优秀的数学教材，它以合肥地区的教学大纲为依据，结合学生的实际情况和学习需求，精心编写而成。
这套教材内容丰富全面，注重培养学生的数学思维能力和解决问题的能力，同时还注重培养学生的数学兴趣和学习动力，培养学生的数学思维方法和解题技巧。
相信通过学习这套教材，合肥地区的初中生们一定能够在数学学习中取得优异的成绩。
最新学而思九年级数学教材
1、如图，已知动点A在函数y＝4x(x＞0)的图象上，AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，延长CA至点D，使AD=AB，延长BA至点E，使AE=AC．直线DE分别交x，y轴分别于点P，Q．当QE：DP=4：9时，图中阴影部分的面积等于．2、如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AC边上一点，且满足AD=AB，∠ADE=∠C．（1）求证：∠AED=∠ADC，∠DEC=∠B；（2）求证：AB2=AE•AC．3、（2000•河北）已知：如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，且AD=AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F．（1）求证：△ABC∽△FCD；（2）若S△FCD=5，BC=10，求DE的长．3、如图，已知第一象限内的图像是反比例函数1yx图像的一个分支，第二象限内的图象是反比例函数y=－2x图象的一个分支，在x轴的上方有一条平行于x轴的直线l与它们分别交于点A、B，过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、D．若四边形ABCD的周长为8且AB＜AC，则点A的坐标为（．4、（2011•宁波）正方形的A1B1P1P2顶点P1、P2在反比例函数y=2x（x＞0）的图象上，顶点A1、B1分别在x轴、y轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P2P3A2B2，顶点P3在反比例函数y=2x（x＞0）的图象上，顶点A2在x轴的正半轴上，则点P3的坐标为．5、直线112y x=--与反比例函数kyx=（x<0）的图像交于点A，与x轴相交于点B，过点B作x轴垂线交双曲线于点C，若AB=AC，则k的6、（2011•十堰）如图，平行四边形AOBC中，对角线交于点E，双曲线kyx=（k＞0）经过A，E两点，若平行四边形AOBC的面积为18，则k= 6 ．7、（2011•荆门）如图，双曲线2yx=（x＞0）经过四边形OABC的顶点A、C，∠ABC=90°，OC平分OA与x轴正半轴的夹角，AB∥x轴．将△8、（2012•扬州）如图，双曲线y=kx经过Rt△OMN斜边上的点A，与直角边MN相交于点B，已知OA=2AN，△OAB的面积为5，则k的值是12．9、（2013•成都一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A，B，与反比例函数kyx=（k为常数，且k＞0）在第一象限的图象交于点E，F．过点E作EM⊥y轴于M，过点F作FN⊥x轴于N，直线EM与FN交于点C．若1BEBF m=（m为大于l的常数）．记△CEF的面积为S1，△OEF的面积为S2，则12ss= ．（用含m的代数式表示）10、（2012•桂林）双曲线11yx=，23yx=，在第一象限的图像如图所示，过y2上任意一点A，作x轴的平行线交y1于点B，交y轴于点C，过A作x轴的垂线交y1于点D，交x轴于点E，连接BD，CE，则BDCE= 。
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第一讲 一次函数与反比例函数知识点、重点、难点函数(0)y kx b k =+≠称为一次函数，其函数图像是一条直线。
假设0b =时，那么称函数y kx =为正比例函数，故正比例函数是一次函数特殊情况。
当0k >时，函数y kx b =+是单调递增函数，即函数值y 随x 增大〔减小〕而增大〔减小〕；当0k <，y kx b =+是递减函数，即函数值y 随x 增大〔减小〕而减小〔增大〕。
函数(0)ky k x =≠称为反比例函数，其函数图像是双曲线。
当0k >且0x >时，函数值y 随x 增大〔减小〕而减小〔增大〕；当0k >且0x <，函数值y 随x 增大〔减小〕而减小〔增大〕，也就是说：当0k >时，反比例函数k y x =分别在第一或第三象限内是单调递减函数；当0k <时，函数ky x =分别在第二或第四象限内是单调递增函数。
假设111222(0),(0).y k x b k y k x b k =+≠=+≠当12k k =时，12b b ≠时，两面直线平行。
当12k k =时，12b b =时，两面直线重合。
当12k k ≠时，两直线相交。
当121k k =-时，两直线互相垂直。
求一次函数、反比例函数解析式，关键是要待定解析式中未知数系数；其次，在解题过程中要重视数形相结合。
例题精讲例1：在直角坐标平面上有点(1,2)A --、(4,2)B 、(1,)C c ，求c 为何值时AC BC +取最小值。
解 显然，当点C 在线段AB 内时，AC BC +最短。
设直线AB 方程为y kx b =+，代入(1,2)A --、(4,2)B得242,k b k b -+=-⎧⎨+=⎩解得456,5k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 所以线段AB 为46(14),55y x x =--≤≤代入(1,)C c ，得4621.555c =⨯-=- 例2：求证：一次函数211022k k y x k k --=-++图像对一切有意义k 恒过一定点，并求这个定点。
学而思初三数学跟踪练习讲义：第1讲：第二十一章：一元二次方程
第一节 一元二次方程的概念和解法
第二节 巅峰突破
一元二次方程根的判别式
1
第三节 实际问题与一元二次方程 1 在△ABC中，点 1. 中 点P从点A出发，沿 出发 沿AB边向点B以1cm/s的速度 移动，点Q从点B出发，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动， 如果AB＝5cm 5 ，BC＝7cm 7 ，P、Q同时出发， 同时出发 (1)几秒后△PBQ的面积等于4 ？ (2)如果PQ分别从AB同时出发，几秒后PQ的长度等于5cm? (3)在(1)中，△PBQ的面积能否等于7？
第四节 巅峰突破
一元二次方程的综合°，AD⊥BC于点D，将△ABD沿 AB所在的直线折叠，使点 所在的直线折叠 使点D落在点E处，将△ 处 将△ACD沿AC所 在的直线折叠，使点D落在点F处，分别延长EB、FC使其 交于点M， (1)判断四边形AEMF的形状，并给予证明； 的形状 并给予证明； (2)若BD＝2，CD＝2，试求四边形AEMF的面积。
学而思-九年级数学教材汇编
第一讲一次函数和反比例函数 知识点、重点、难点 函数y 二kx=0）称为一次函数，其函数图像是一条直线。
若b =0时，则称函数y = kx 为正比例函数，故正比例函数是一次函数的特殊情况。
当k • 0时，函数y = kx • b 是单调递增函数，即函数值 y 随X 增大（减小）而增大（减小）；当 k ::： 0， y =kx b 是递减函数，即函数值 y 随x 增大（减小）而减小（增大）。
ky （k=0） 函数 x 称为反比例函数，其函数图像是双曲线。
当k 0且x 0时，函数值y 随X 增大（减小）而减小（增大）；当 k 0且x ：：：0，函数值y 随X 增大ky =—（减小）而减小（增大），也就是说：当 k 0时，反比例函数x 分别在第一或第三象限内是单调递ky =—减函数；当k ：：：0时，函数 x 分别在第二或第四象限内是单调递增函数。
y = k 1x b i K = 0）, y = k 2x b 2（k 2= 0）.若当« = k 2时，0 = b 2时，两面直线平行。
当« =k 2时，b i =b 2时，两面直线重合。
当k i ^k 2时，两直线相交。
当二-1时，两直线互相垂直。
求一次函数、反比例函数解析式，关键是要待定解析式中的未知数的系数；其次，在解题过程中要重 视数形相结合。
例题精讲例1 ：在直角坐标平面上有点A（-1, -2）、B （4, 2）、C （1，c ），求c 为何值时AC - BC 取最小值。
解显然，当点C 在线段AB 内时，AC BC 最短。
设直线AB 方程为= kx b，代入A —2）、B （4, 2）2k -1 k -10y = -------- x -- -------例2 :求证：一次函数k 2 k 2的图像对一切有意义的 k 恒过一定点，并求这个定点。
-k b = -2得4k • b = 2,解得所以线段AB 为4 6y x (T 5 5 沁空4）,代入 C（1，c ），c 1 -6解由一次函数得（k py =（2k-1）x-（k-10）,整理得（2x-y-1）k-x-2y Fn。
学而思九年级数学上1-12讲
第一讲 ───垂直平分线与角平分线 第二讲 ───等腰三角形第三讲 ───平行四边形的性质与判定 第四讲 ───菱形的性质与判定 第五讲 ───矩形的性质与判定第六讲 ───平行四边形和特殊平行四边形性质的应用 第七讲 ───中垂线角平分线复习题 第八讲 ───梯 形第九讲 ───二次函数c ax y +=2的图象 第十讲 ───二次函数y=ax 2的图象与性质 第十一讲 ───二次函数y=ax 2+bx+c 的性质与图象第十二讲 ───二次函数的最值问题第一讲───垂直平分线与角平分线【知识要点：】Ⅰ.线段的垂直平分线定理：线段的垂直平分线上任意一点到这条线段两个端点的距离都相等。
线段的垂直平分线逆定理：若一个点到线段的两个端点的距离相等，则它必在线段的垂直平分线上。
Ⅱ.三角形三边的垂直平分线的性质：三角形三边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等。
Ⅲ.角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
（注：距离是指角平分线上任一点到这个角的两边所作的垂线段的长度。
）角平分线性质定理的逆定理：若某点到一个角的两边距离相等，则该点在这个角的平分线上。
Ⅳ.三角形三角的角平分线的性质：三角形三角的角平分线的交点到三边的距离相等。
【经典例题：】例1.如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，求证：AM平分∠DAB.例2．如右图，已知ABCABC，AD是BC边上的高，E是AD上一点，ED=CD，∆中，BA=BC，︒∠45=连接EC。
求证：EA=EC。
例3.如右图，已知AD 是ABC ∆的角平分线，DE 、DF 分别是ABD ∆和ACD ∆的高，DE=DF 。
求证：AD 垂直平分EF 。
例4．如图，ABC ∆是等腰直角三角形，AB=AC ，D 是斜边上BC 的中点，E 、F 分别是AB 、AC 边上的点，且DE ⊥DF ，若BE=12，CF=5，求EF 的长．例5．如右图，四边形ABCD 中，︒=∠=∠90ACB ADB ，E ，F 分别是DC 、AB 的中点，连接DF 、CF ，观察图形：（1）DF 和CF 相等吗？为什么？（2）EF 是否垂直平分DC ，请说明理由。
学而思初三数学秋季班第3讲.二次函数图象综合应用.尖子班.教师版
1初三秋季·第3讲·尖子班·教师版趣味猜谜漫画释义满分晋级阶梯函数16级图形中的二次函数 解析式与复杂图象变换 函数15级 二次函数图象综合应用 函数14级二次函数实际应用 3二次函数图象 综合应用2初三秋季·第3讲·尖子班·教师版中考内容中考要求A BC二次函数能结合实际问题情境了解二次函数的意义；会用描点法画出二次函数的图象 能通过分析实际问题的情境确定二次函数的表达式；能从图象上认识二次函数的性质；会确定图象的顶点、开口方向和对称轴；会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解能用二次函数解决简单的实际问题；能解决二次函数与其他知识结合的有关问题二次函数在北京中考中属于必考考点，并且都以压轴题形式出现，是中考的难点，也是同学们失分最高的一部分。
这部分内容要求学生们⑴能用数形结合、归纳等数学思想，根据二次函数的表达式确定二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标；⑵综合运用方程、几何、函数等知识解决实际问题。
年份 2011年 2012年 2013年 题号 7，8，23 8，23 10，23 分值11分 11分 9分考点抛物线顶点坐标；函数图象；二次函数和一次函数解析式（函数图象与坐标轴交点、函数图象交点坐标），二次函数与一元二次方程（判别式、求根）函数图象；二次函数的对称性；二次函数和一次函数解析式（函数图象与坐标轴交点、函数图象交点坐标）；二次函数图象平移，利用函数图象求取值范围二次函数函数图象的性质；二次函数和一次函数解析式（函数图象与坐标轴交点、函数图象交点坐标），二次函数图像的对称性中考内容与要求中考考点分析3初三秋季·第3讲·尖子班·教师版图象性质：二次函数图象主要掌握开口方向、对称轴、顶点坐标、与坐标轴的交点、单调性和最值等方面．若二次函数解析式为2y ax bx c =++（或2()y a x h k =-+）（0a ≠），则： 开口方向 00a a >⇔⎧⎨<⇔⎩向上向下，a 越大，开口越小． 对称轴 2bx a=-（或x h =）． 顶点坐标(2ba-，24)4ac b a -或(h ，)k ． 单调性当0a >时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小；在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大（如图1）；图1当0a <时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大；在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小（如图2）图2与坐标轴的交点 ① 与y 轴的交点：()0c ，； ② 与x 轴的交点：()()1200x x ，，，，其中12x x ，是方程()200ax bx c a ++=≠的两根．图象与x 轴的交点① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴有两个交点． ② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点．思路导航知识互联网题型一：二次函数图象与其解析式系数的关系4初三秋季·第3讲·尖子班·教师版个数③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点．Ⅰ当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； Ⅱ当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．【引例】 二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，判断a ，b ，c ，24b ac -，2a b +，a b c ++，a b c -+的符号【解析】 由图知：图象开口向上，所以0a >；函数的对称轴02bx a=->，所以0b <；函数图象与y 轴的交点小于0，所以0c <；函数图象与x 轴有两个不同的交点，所以240b ac ->；同时12bx a=-<，所以20a b +>；1x =所对应的函数值小于0，所以0a b c ++<； 1x =-所对应的函数值大于0，所以0a b c -+>【例1】 ⑴ 二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则点()a c ，在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限（海淀期末）⑵ 二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则一次函数b ax y +=与反比例函数xcy =在同一平面直角坐标系中的大致图象为（ ） x yO xyO x yOxyOA ．B ．C ．D ．（2013雅安）⑶ 一次函数()0≠+=a b ax y 、二次函数bx ax y +=2和反比例函数()0≠=k xky 在同一直角坐标系中的图象如图所示，A 点典题精练例题精讲yxO1-1OyxxyAO xyO5初三秋季·第3讲·尖子班·教师版的坐标为()0 2，-，则下列结论中，正确的是（ ）A ．k a b +=2B ．k b a +=C ．0＞＞b aD ．0＞＞k a（2013重庆）【解析】 ⑴ B. ⑵ B ．⑶D.【例2】 ⑴ 如图，抛物线2y ax bx c =++，OA OC =，下列关系中正确的是（ ）A ．1ac b +=B ．1ab c +=C ．1bc a +=D ．1ac b+=（朝阳一模）⑵ 如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，若12OB OC OA ==，则b 的值为 ．（三帆统练） 【解析】 ⑴ A ．提示：把()0c -，代入2y ax bx c =++即可．⑵ 12-．提示：先把B ()0c ，代入2y ax bx c =++，得1ac b =--，再把()0c ，代入()()2y a x c x c =+-即可．【例3】 ⑴ 函数2y ax bx c =++与x y =的图象如图所示，有以下结论：①ac b 42-＞0；②01=++c b ；③063=++c b ；④当1＜x ＜3时，()012＜c x b x +-+．其中正确的为 ．（2013济南）⑵ 已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，有下列8 个结论：①0abc >；②b a c <+；③420a b c ++>；④23c b <；⑤()a b m am b +>+，（1m ≠的实数）；⑥20a b += ；⑦240b ac -<，⑧22()a c b +>，其中正确的结论有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个【解析】 ⑴ ③④⑵ C ．对称轴在y 轴的右边得0ab <（由开口向下得0a <，故0b >），抛物线与y 轴交于正半轴得0c >，∴0abc <，①不正确； 当1x =-时，函数值为0a b c -+<，②不正确； 当2x =时，函数值420a b c ++>，③正确；其实0x =和2x =到对称轴1x =的距离相等，函数值相等得42a b c c ++=，∴C BAOy xxyOC ABx=1-1Oyxxy3311O6初三秋季·第3讲·尖子班·教师版2b a =-代入0a b c -+<，32bc <，即23c b <，④正确；当1x =，∵1m ≠，2max y a b c am bm c =++>++，可知⑤正确；由对称轴12ba-=得20a b +=，故⑥正确；抛物线与x 轴有两个交点，故240b ac ->，故⑦不正确； 0a b c ++>，0a b c -+<，故()220a c b +-<，故⑧不正确．对于二次函数()20y ax bx c a =++>（max y 表示y 的最大值，min y 表示y 的最小值） ⑴ 若自变量x 的取值范围为全体实数，如图①，函数在顶点处2bx a=-时，取到最值． ⑵ 若2bm x n a<-≤≤，如图②，当x m =，max y y =；当x n =，min y y =． ⑶ 若2bm x n a-<≤≤，如图③，当x m =，min y y =；当x n =，max y y =． ⑷ 若m x n ≤≤，且2b m n a -≤≤，22b b n m a a +>--,如图④，当2bx a=-，min y y =； 当x n =，max y y =．x=-b 2ax=-b 2a x=-b 2a x=-b 2a ④③②①【引例】 ⑴ 若x 为任意实数，求函数221y x x =-+的最小值；⑵ 若12x ≤≤，求221y x x =-+的最大值、最小值； ⑶ 若01x ≤≤，求221y x x =-+的最大值、最小值； ⑷ 若20x -≤≤，求221y x x =-+的最大值、最小值； ⑸ 若x 为整数，求函数221y x x =-+的最小值．【解析】 ⑴ 套用求最值公式（建议教师讲配方法）：当112224b x a -=-=-=⨯时，y 的最小值是24748ac b a -=． ⑵ 由图象可知：当12x ≤≤时，函数221y x x =-+单调递增，例题精讲思路导航题型二：二次函数的最值7初三秋季·第3讲·尖子班·教师版当1x =时，y 最小，且21112y =⨯-+=， 当2x =时，y 最大，且222217y =⨯-+=．⑶ 由图象可知：当01x ≤≤时，函数221y x x =-+是先减后增，∴当14x =，y 最小，且78y =．∵当0x =时，20011y =⨯-+=；当1x =时， 211121y =⨯-+=>，∴当1x =时，y 最大，且2y =．⑷ 由函数图象开口向上，且120<4x -≤≤，故当2x =-时，y 取最大值为11，当0x =时，y 取最小值为1．⑸ ∵112224b x a -=-=-=⨯，当0x =时，y 取最小值为1．【点评】 由此题我们可以得到：求二次函数2(0)y ax bx c a =++≠在给定区域内的最值，得看抛物线顶点横坐标2bx a=-是否在给定区域内．若在，则在顶点处取到一个最值，若不在，则在端点处取得最大值和最小值（其实求出端点值和顶点值，这三个值中最大的为最大值，最小的为最小值）．【例4】 ⑴ 已知m 、n 、k 为非负实数，且121=+=+-n k k m ，则代数式6822+-k k 的最小值为 ． （2013乌鲁木齐） ⑵ 已知实数x y ，满足2330x x y ++-=，则x y +的最大值为 ．⑶ 当3310122x +-≤≤时，二次函数223y x x =--的最小值为（ ） A ．4- B ．154- C ．12- D ．12（昌平二模）【解析】 ⑴∵m 、n 、k 为非负实数，且121=+=+-n k k m ，∴m 、n 、k 最小为0，当n =0时，k 最大为：21；∴210≤≤k ，故最小值为2.5． ⑵ 4．提示：233y x x =--+，令()222314q x y x x x =+=--+=-++，当1x =-，q的最大值为4．本题属于x 为全体实数，求二次函数的最值，配方法要熟练掌握．⑶ B ．提示：二次函数的对称轴为1122b x a =-=>，且抛物线的开口向上，故12x =时，y 的最小值为154-．【例5】 如图，抛物线211y ax ax =--+经过点1928P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，且与抛物线221y ax ax =--相交于A B ，两点．⑴ 求a 值；典题精练yP AO BM E NF8初三秋季·第3讲·尖子班·教师版⑵ 设211y ax ax =--+与x 轴分别交于M N ，两点（点M 在点N 的左边），221y ax ax =--与x 轴分别交于E F ，两点（点E 在点F 的左边），观察M N E F，，，四点的坐标，写出一条正确的结论，并通过计算说明；⑶ 设A B ，两点的横坐标分别记为A B x x ，，若在x 轴上有一动点()0Q x ，，且A B x x x ≤≤，过Q 作一条垂直于x 轴的直线，与两条抛物线分别交于C D ，两点，试问当x 为何值时，线段CD 有最大值？其最大值为多少？【解析】 ⑴ ∵点1928P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，在抛物线211y ax ax =--+上，∴1191428a a -++=，解得12a =．⑵ 由⑴知12a =，∴抛物线2111122y x x =--+，2211122y x x =--．当2111022x x --+=时，解得12x =-，21x =．∵点M 在点N 的左边，∴2M x =-，1N x =． 当2111022x x --=时，解得31x =-，42x =． ∵点E 在点F 的左边，∴1E x =-，2F x =．∵0M F x x +=，0N E x x +=，∴点M 与点F 关于y 轴对称，点N 与点E 关于y 轴对称． ⑶ ∵102a =>．∴抛物线1y 开口向下，抛物线2y 开口向上． 根据题意，得12CD y y =-22211111122222x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--+---=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．又21221112211122y x x y x x ⎧=--+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，消y 可解得1222x x =-=，，则当0x =时，CD 的最大值为2．【例6】 ⑴ 二次函数2y ax bx c =++的图象的一部分如图所示，求a 的取值范围y P AO B DQ CM E FN9初三秋季·第3讲·尖子班·教师版Oy x11⑵ 二次函数2y ax bx c =++的图象的一部分如图所示，试求a b c ++的取值范围．-1-1Oyx【解析】 ⑴ 根据二次函数图象可知0a <，又此二次函数图象经过(10)，，(01)， 则有0a b c ++=，1c =，得(1)b a =-+， ∵0a <，据图象得对称轴在y 轴左侧，∴0b < ∴()10a -+<，∴1a >- 于是有10a -<<． ⑵ 由图象可知0a >．又顶点在y 轴的右侧，在x 轴的下方，则：02ba->，2404ac b a -<，∴0b <． 又∵当0x =时，1y c =-= 当0y =时，1x =-，∴0a b c -+= ∴10a b =+> ∴10b -<<．∴202a b c a b c b b ++=-++=+ ∴220b -<<，即20a b c -<++<．10 初三秋季·第3讲·尖子班·教师版第03讲精讲：数形结合思想在二次函数中的应用探究 【探究对象】数形结合思想在二次函数中的应用 【探究过程】【探究1】数形结合思想在含参二次函数中求参数的取值范围的应用；二次函数的图像信息：⑴ 根据抛物线的开口方向判断a 的正负性．⑵ 根据抛物线的对称轴的位置判断a 与b 之间的关系． ⑶ 根据抛物线与y 轴的交点，判断c 的大小．⑷ 根据抛物线与x 轴有无交点，判断24b ac -的正负性．⑸ 根据抛物线所经过的特殊点的坐标，可得到关于a b c ，，的等式．⑹ 根据抛物线的顶点，判断244ac b a-的大小．例. 2y ax bx c =++的图象如图所示．设|||||2||2|M a b c a b c a b a b =++--+++--， 则（ ）O yx1-1A ．0M >B ．0M =C ．0M <D ．不能确定M 为正，为负或为0分析：依题意得0a >，012ba<-<，∴0b <，20a b +>，20a b ->， 又当1x =时，0y a b c =++<，当1x =-时，0y a b c =-+>，故()()(2)(2)2()0M a b c a b c a b a b a b c =-++--+++--=--+<，故选C ．☆【探究2】数形结合思想在求解二次函数的区间最值中的应用；(区间最值问题为高中二次函数部分的重要内容，但在目前中考改革创新，部分高中思想下放初中的大 前提下，老师可以针对班里学生层次进行选讲)区间最值分三种类型: “轴定区间定”、“轴动区间定”、“轴定区间动”；1、轴定区间定：参见第03讲讲义 “二次函数最值”板块的引例；2、轴动区间定：例．求2()22f x x ax =-+在[24]，上的最大值和最小值． 分析： 先求最小值．因为()f x 的对称轴是x a =，可分以下三种情况：⑴ 当2a <时，()f x 在[24]，上为增函数，所以min ()(2)64f x f a ==-；11初三秋季·第3讲·尖子班·教师版⑵ 当24a ≤≤时，()f a 为最小值，2min ()2f x a =-；⑶ 当4a >时，()f x 在[24]，上为减函数，所以min ()(4)188f x f a ==-． 综上所述：2min64, (2)()2, (24)188, (4)a a f x a a a a -<⎧⎪=-⎨⎪->⎩≤≤ 最大值为(2)f 与(4)f 中较大者：(2)(4)(64)(188)124f f a a a -=---=-+， （1）当3a ≥时，(2)(4)f f ≥，则max ()(2)64f x f a ==-； （2）当3a <时，(2)(4)f f <，则max ()(4)188f x f a ==-． 故max 64, (3)()88, (3)a a f x a a -⎧=⎨-<⎩≥ 点评：本题属于二次函数在给定区间上的最值问题，由于二次函数的系数含有参数，对称轴是变动的，属于“轴动区间定”，由于图象开口向上，所以求最小值要根据对称轴x a = 与区间[24]，的位置关系，分三种情况讨论；最大值在端点取得时，只须比较(2)f 与 (4)f 的大小，按两种情况讨论即可，实质上是讨论对称轴位于区间中点的左、右两种情况． 3、轴定区间动：例．若函数2()22f x x x =-+当1t x t +≤≤时的最小值为()g t ，求函数()g t 当[32]t ∈-，时的最值． 分析：2()(1)1f x x =-+，按直线1x =与区间[1]t t +，的不同位置关系分类讨论： 若1t >，则2min ()()(1)1f x f t t ==-+；若11t t +≤≤，即01t ≤≤，则min ()(1)1f x f ==；若11t +<，即0t <，则2min ()(1)1f x f t t =+=+．∴22(1)1(1)()1(0)1(0)t t g t t t t ⎧-+>⎪=⎨⎪+<⎩≤≤1 函数()g t 在(0)-∞，内是减函数，在[01]，内是常值函数，在(1)+∞，内是增函数，又(3)(2)g g ->，故在区间[32]-，内，min ()1g t =（当01t ≤≤时取得），max ()(3)10g t g =-=．小结：（i ）解此类问题时，心中要有图象；（ii ）含参数问题有两种：一种是“轴变区间定”，另一种是“轴定区间变”．讨论时，要紧紧抓住对称轴与所给区间的相对位置关系，这是进行正确划分的关键．☆【探究3】数形结合思想在求解二次函数的区间根中的应用；(区间根问题同样为高中二次函数部分的重要内容，但在目前中考改革创新，部分高中思想下放初中的大12 初三秋季·第3讲·尖子班·教师版前提下，老师可以针对班里学生层次进行选讲，例如2013年北京市中考第23 题实际就是区间根思想的应用)二次方程的根其实质就是其相应二次函数的图像与x 轴交点的横坐标．因此， 可以借助于二次函数及其图像，利用数形结合的方法来研究二次方程的实根分 布问题．设二次方程()002≠=++a c bx ax 的两个实根1x 、2x ()21x x ＜，ac b 42-=∆，方程对应的二次函数为()()02≠++=a c bx ax x f ．1．当方程有一根大于m ，另一根小于m 时，对应二次函数()x f 的图像有下列两种情形：方程系数所满足的充要条件：()0＜m af ；2．当方程两根均大于m 时，对应函数()x f 的图像有下列两种情形：方程系数所满足的充要条件：0＞∆， m ab＞2-，()0＞m af ； 3．当方程两根均在区间()n m ，内，对应二次函数()x f 的图像有下列两种情形：方程系数所满足的充要条件：0＞∆， n abm ＜＜2-，()0＞m af ，()0＞n af ； 4．当两根中仅有一根在区间()n m ，内，对应函数()x f 的图像有下列四种情形：13初三秋季·第3讲·尖子班·教师版方程系数所满足的充要条件： ()()0＜n f m f ⋅；5．当两根在区间[]n m ，之外时：对应函数()x f 的图像有下列两种情形：方程系数所满足的充要条件：()0＜m af ，()0＜n af ；6．当两根分别在区间()n m ，、()t s ，内，且s n ≤，对应函数()x f 的图像有下列两种情形：方程系数所满足的充要条件：()0＞m af ，()0＜n af ，()0＜s af ， ()0＞t af ．小结： 由函数图像与x 轴交点的位置写出相应的充要条件，一般考虑三个方面：①判别式ac b 42-=∆的符号；②对称轴abx 2-=的位置分布；③二次函数在实根分布界点处 函数值的符号．例．若方程01222=+-+m mx x 的两个根均大于2，求实数m 的取值范围． 分析：令()1222+-+=m mx x x f ，如图得充要条件：()()⎪⎩⎪⎨⎧-+-+=≥+-⋅-=∆20124220124422＞＞m m m f m m ，解得4316-≤-m ＜．14 初三秋季·第3讲·尖子班·教师版训练1. 已知：a b c >>，且0a b c ++=，则二次函数2y ax bx c =++的图象可能是下列图象中的（ ）xy-1-21-1yx1-11xy1xyA B C D（西城期末改编）【解析】 B ．由a b c >>，且0a b c ++=，可得0a >， 0c <，且过()10，点，由a b c >>，且a b c ++=0，利用不等式性质，可以进一步推出下列不等关系：a b a b >>--，∴112ba -<<， ∴11224b a -<-<．另一方法：∵a b >，∴330a b ->，330a b a b c -+++>，从而得到420a b c -+>．训练2. 已知二次函数()2211y kx k x =+--与x 轴交点的横坐标为1x 、2x ()12x x <，则对于下列结论：⑴ 当2x =-时，1y =；⑵ 当2x x >时，0y >；⑶ 方程()22110kx k x +--=有两个不相等的实数根1x 、2x ；⑷11x <-，21x >-；⑸22114k x x k+-=，其中所有正确的结论是______.（只需填写序号）（海淀中考）【解析】 ⑴⑶⑷．当2x =-时，代入得1y =，故⑴正确；因为k 的符号不确定，故开口不确定，因此无法确定当2x x >时，0y >，故⑵不正确；联立方程()2211y kx k x y ⎧=+--⎪⎨=⎪⎩可得()22110kx k x +--=，抛物线与x 轴有两个交点，即方程()22110kx k x +--=有两个不相等的实数根．当1x =-时，y k =-，若0k >，0y k =-<，若0k <，0y k =->，故⑷正确． 22114k x x k+-=，故⑸不正确.思维拓展训练(选讲)15初三秋季·第3讲·尖子班·教师版训练3. 如图所示，二次函数2(2)5y x a x a =--+-的图象交x 轴于A 和B ，交y 轴于C ，当线段AB 最短时，求线段OC 的长．（人大附中单元练习）【解析】 设1(A x ，0)，2(B x ，0)，则1x ，2x 是方程2(2)50x a x a --+-=的两根，则12AB x x =-222(2)4(5)824(4)8a a a a a ----+-+当4a =时，AB 取最小值，即最短，此时，抛物线为221y x x =--， 可求得C 的纵坐标为1-，即线段OC 的长是1．训练4. 小明为了通过描点法作出函数21y x x =-+的图象，先取自变量x 的7个值满足：213276x x x x x x d -=-==-=，再分别算出对应的y 值，列出表1：x1x 2x3x4x 5x 6x7xy1 3 7 13 21 31 43记121m y y =-，232343454；121s m m =-，232s m m =-，343s m m =-，…⑴ 判断1s 、2s 、3s 之间关系；⑵ 若将函数“21y x x =-+”改为“2(0)y ax bx c a =++≠”，列出表2：x1x 2x 3x 4x 5x 6x 7x y1y2y 3y 4y 5y 6y7y123⑶ 小明为了通过描点法作出函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象，列出表3：x1x 2x3x4x 5x 6x7xy 10 50 110 190 290 420 550．（北京四中）【解析】 ⑴ 123s s s ==；⑵ 123s s s ==．证明：()()222121111112m y y a x d b x d c ax bx c adx ad bd ⎡⎤⎡⎤=-=++++-++=++⎣⎦⎣⎦ ()222322122m y y adx ad bd ad x d ad bd =-=++=+++()2234331222m y y adx ad bd ad x d ad bd =-=++=+++()2245441223m y y adx ad bd ad x d ad bd =-=++=+++()22212111222s m m ad x d ad bd adx ad bd ad ⎡⎤⎡⎤=-=+++-++=⎣⎦⎣⎦同理22322s m m ad =-=，23432s m m ad =-=． ∴123s s s ==． ⑶ 表中的420改为410．C B A xOy16 初三秋季·第3讲·尖子班·教师版题型一 二次函数图象与其解析式系数的关系 巩固练习【练习1】 ⑴ 函数ky x=与22(0)y kx k k =+≠在同一坐标系中图象大致是图中的（ ） B AxOyxOyxOyxOy DC⑵ 二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数24y bx b ac =+-与反比例函数a b c y x++=在同一坐标系内的图象大致为（ ）yxO 1-1A yxOB yxOC yxODyxO【解析】 ⑴ A ．⑵ D ．【练习2】 如图所示，二次函数2y ax bx c =++的图象开口向上，图象经点()12-，和()10，且与y 轴交于负半轴．⑴ 下列四个结论：①0a >；②0b >；③0c >；④0a b c ++=， 其中正确的结论的序号是 ． ⑵给出下列四个结论：①0abc <；②20a b +>；③1a c +=；④1a >．其中正确的结论的序号是 ．【解析】 ⑴图象开口向上得0a >；对称轴02ba->可得0b <；当0x =时，0y <，即0c <；由1x =时，0y =，即0a b c ++=．故①④．⑵由⑴可知0abc >；对称轴12ba -<，∴20ab +>；复习巩固2-11Oy x17 初三秋季·第3讲·尖子班·教师版 ∵点()12-，和()10，在抛物线上，代入解析式得20a b c a b c -+=⎧⎨++=⎩两式相加得1a c +=，得1a c =-，∵0c <，∴11c ->，即1a >． 故②③④．【练习3】 如图，表示抛物线2y ax bx c =++的一部分图象，它与x 轴的一个交点为A ，与y 轴交于点B ．则b 的取值范围是（ ）A ．20b -<<B ．10b -<<C ．102b -<< D ．01b <<【解析】 B ． （西城毕业考试）【练习4】 二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象大致如图所示，⑴判别a ，b ，c 和24b ac -的符号，并说明理由； ⑵如果OA OC =，求证：10ac b ++=【解析】 ⑴ 解：因为抛物线开口向上，0a >．因为抛物线与y 轴交于负半轴，0c <．又因为抛物线对称轴在y 轴的右侧，02b a->，即a ，b 异号，由0a >，得0b <． 因为抛物线与x 轴有两个交点，所以方程20ax bx c ++=有两个不相等的实根，所以其判别式240b ac ->．⑵ 证明：由于C 点坐标为()0c ，，而OA OC =，所以A 点坐标为()0c ，， 把()0A c ，代入2y ax bx c =++，得20ac bc c =++． 因为0c ≠，所以10ac b ++=．题型二 二次函数的最值 巩固练习【练习5】 已知：关于x 的一元二次方程22(2)0x n m x m mn +-+-=①.⑴ 求证：方程①有两个实数根；⑵ 若10m n --=，求证方程①有一个实数根为1；⑶ 在⑵的条件下，设方程①的另一个根为a . 当2x =时，关于m 的函数1y nx am =+与()2222y x a n m x m mn =+-+-的图象交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），平行于y 轴的直线l 与1y 、2y 的图象分别交于点C 、D . 当l 沿AB 由点A 平移到点B 时，求CD 的最大值.【解析】 ⑴ 证明：()()22224n m m mn n ∆=---=.∵20n ≥， ∴0∆≥. ∴方程①有两个实数根. ⑵ 解：由10m n --=，得1m n -=当x =1时，等号左边212n m m mn =+-+--1-1B A O yxC B O Ayxmy 12344321-1-2-3-3-2-1Oy 2y 1BAC D l O -1-2-3-3-2-112344321y m18 初三秋季·第3讲·尖子班·教师版()121210n m m m n n m m n m =+-+-=+-+=+-=.等号右边=0. ∴左边=右边.∴ 1x =是方程①的一个实数根.⑶ 解：由求根公式，得22m n nx -±=.x =m 或x m n =-∵ 1m n -=， ∴ a m =.当2x =时，222122(1)22y n m m m m m =+=-+=+-，22222()()42(1)24y m n m m m m n m m m m m =+--+-=+--+=--+如图，当l 沿AB 由点A 平移到点B 时，22211273363()24CD y y m m m =-=--+=-++由12y y =，得222224m m m m +-=--+解得m =-2或m =1.∴ m A =-2，m B =1.∵-2<12-<1，∴当m =12-时，CD 取得最大值274.【测试1】 设二次函数()20y ax bx c a =++≠图像如图所示，试判断：24a b c a b c a b c b ac ++-+-、、、、、的符号．【解析】由图像可知0a >，102ba-<<，2404ac b a -<，2000a b c ⋅+⋅+<，0a b c -+=，0a b c ++>，于是20000040a b c a b c a b c b ac >><++>-+=->，，，，，．【测试2】 若01x ≤≤，求221y x x =-+的最大值、最小值；【解析】由图像可知：当01x ≤≤时，函数221y x x =-+是先减后增，∴当14x =，y 最小，且78y =． ∵当0x =时，20011y =⨯-+=当1x =时， 211121y =⨯-+=>， ∴当1x =时，y 最大，且2y =．课后测xy01-1第十七种品格：成就灾难亦有价值1914年12月深夜，爱迪生的制造设备被一场大火严重毁坏，他损失了约100万美元和绝大部分难以用金钱来计算的工作记录。
学而思九年级数学教材完整版
学而思九年级数学教材 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】1、如图，已知动点A在函数y＝4x (x＞0)的图象上，AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，延长CA至点D，使AD=AB，延长BA至点E，使AE=AC．直线DE分别交x，y轴分别于点P，Q．当QE：DP=4：9时，图中阴影部分的面积等于．2、如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AC边上一点，且满足AD=AB，∠ADE=∠C．（1）求证：∠AED=∠ADC，∠DEC=∠B；（2）求证：AB2=AE?AC．3、（2000?河北）已知：如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，且AD=AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F．（1）求证：△ABC∽△FCD；（2）若S△FCD=5，BC=10，求DE的长．3、如图，已知第一象限内的图像是反比例函数1 yx =图像的一个分支，第二象限内的图象是反比例函数y=－2x图象的一个分支，在x轴的上方有一条平行于x轴的直线l与它们分别交于点A、B，过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、D．若四边形ABCD的周长为8且AB＜AC，则点A的坐标为（．4、（2011?宁波）正方形的A1B1P1P2顶点P1、P2在反比例函数y=2x?（x＞0）的图象上，顶点A1、B1分别在x轴、y轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P2P3A2B2，顶点P3在反比例函数y=2x?（x＞0）的图象上，顶点A2在x轴的正半轴上，则点P3的坐标为．5、直线112y x=--与反比例函数kyx=（x<0）的图像交于点A ，与x 轴相交于点B ，过点B 作x 轴垂线交双曲线于点C ，若AB=AC ，则k 的值为（ ）6、（2011?十堰）如图，平行四边形AOBC 中，对角线交于点E ，双曲线k y x =（k ＞0）经过A ，E 两点，若平行四边形AOBC 的面积为18，则k= 6．7、（2011?荆门）如图，双曲线2y x = ?（x ＞0）经过四边形OABC 的顶点A 、C ，∠ABC=90°，OC 平分OA 与x 轴正半轴的夹角，AB ∥x 轴．将△ABC 沿AC 翻折后得△AB′C，B′点落在OA 上，则四边形OABC 的面积是 2．8、（2012?扬州）如图，双曲线y=kx 经过Rt △OMN 斜边上的点A ，与直角边MN 相交于点B ，已知OA=2AN ，△OAB 的面积为5，则k 的值是 12．9、（2013?成都一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，与反比例函数ky x =（k 为常数，且k ＞0）在第一象限的图象交于点E ，F ．过点E 作EM ⊥y 轴于M ，过点F 作FN ⊥x轴于N ，直线EM 与FN 交于点C ．若1BE BF m = （m 为大于l的常数）．记△CEF 的面积为S1，△OEF 的面积为S2，则12s s = ．?（用含m 的代数式表示）10、（2012?桂林）双曲线11y x =，23y x =，在第一象限的图像如图所示，过y2上任意一点A ，作x 轴的平行线交y1于点B ，交y 轴于点C ，过A 作x 轴的垂线交y1于点D ，交x 轴于点E ，连接BD ，CE ，则BDCE = 。
学而思初中数学培优教材
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学而思初三数学暑假班第5讲.相似三角形的简单模型.提高班.教师版
1初三暑期·第5讲·提高班·教师版抄作业风波漫画释义满分晋级5相似三角形的 简单模型三角形12级 相似三角形的 性质与判定三角形13级 相似三角形 的简单模型 三角形14级 锐角三角函数暑期班 第四讲暑期班 第五讲暑期班 第六讲中考内容中考要求A B C图形的相似了解比例的基本性质，了解线段的比、成比例线段，会判断四条线段是否成比例，会利用线段的比例关系求未知线段；了解黄金分割；知道相似多边形及其性质；认识现实生活中物体的相似；了解图形的位似关系会用比例的基本性质解决有关问题；会利用图形的相似解决一些简单的实际问题；能利用位似变换将一个图形放大或缩小相似三角形了解两个三角形相似的概念会利用相似三角形的性质与判定进行简单的推理和计算；会利用三角形的相似解决一些实际问题三角形的相似是平面几何中极为重要的内容，是北京中考数学中的重点考察内容，近几年的中考题虽然以直接证相似为结论的题目在减少，但作为一种解决问题的工具，在解题中必不可少。
相似性应用广泛，与三角形、平行四边形联系紧密。
估计北京中考的填空题、选择题将注重“相似三角形的判定与性质”等基础知识的考查，将年份2010年2011年2012年题号 3 4，20 11，20分值4分9分9分考点相似三角形的简单计算根据三角形相似求比例；三角形相似与圆、解直角三角形的综合根据三角形相似求比例；三角形相似与圆、解直角三角形的综合中考考点分析中考内容与要求知识互联网2 初三暑期·第5讲·提高班·教师版3初三暑期·第5讲·提高班·教师版位似图形：两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行或共线，像这样的两个图形叫做位似图形． 位似中心：对应顶点的连线相交于一点，这个点叫做位似中心．位似比：相似比叫做位似比．位似图形的性质：位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．如图所示，已知ABC △与A B C '''△是位似图形，点O 为位似中心， 那么OA OB OC AB AC BC k OA OB OC A B A C B C ======'''''''''（k 为位似比） C'B'A'OC BA【例1】 ⑴如图，正方形ABCD 的两边BC ，AB 分别在平面直角坐标系的x 轴、y 轴的正半轴上，正方形A ′B ′C ′D ′与正方形ABCD 是以AC 的中点O ′为中心的位似图形，已知AC =23，若点A ′的坐标为(1，2)，则正方形A ′B ′C ′D ′与正方形ABCD 的相似比是（ ）模块一 位似知识导航夯实基础O'A'D'C'B'B (O )C DA4初三暑期·第5讲·提高班·教师版C 1B 1A 1OCB A（2012广西玉林）A.61 B. 31 C. 21 D. 32 ⑵三角尺在灯泡O 的照射下在墙上形成的影子如图所示.若cm OA 20=，cm 'OA 50=，则这个三角尺的周长 与它在墙上形成的影子的周长的比是（ ）A ．5∶2B ．2∶5C ．4∶25D ．25∶4（2013西城期末）⑶如图，△ABC 与△111C B A 为位似图形，点O 是它们的位似中心，位似比是1：2，已知△ABC 的面 积为3，那么△111C B A 的面积是 ．（2012辽宁阜新）【解析】⑴B ⑵B ⑶12图形重要结论EDCBAAD AE DEDE BC ADE ABC AB AC BC⇔⇔==∥△∽△ ODCBAAB OA OBAB CD AOB COD CD OC OD⇔⇔==∥△∽△ 知识导航模块二 相似三角形的两种基本模型三角尺灯泡O A5初三暑期·第5讲·提高班·教师版【例2】 ⑴ 如图，在△ABC 中，BC DE ∥，BD AD 2=，6=DE ，则BC = ．（2013石景山期末）⑵ 如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，21=AB AD ，8=BCED S 四边形， 则ABC S ∆的面积为（ ）（2012贵州遵义）A ．9B ．10C ．12D ．13【解析】⑴9 ⑵A【例3】 若D 为BC 中点，ED 交AB 于点F ，且EF ：FD =2：3，试求AF ：FB 的值．B D CA FE【解析】如下图，作平行线，构造基本相似模型，AF ：FB=1：4．MB DC A FE M B D C AFE MB D CAFEMB DC A FE M B D C A FE MB D CA FE夯实基础E D CBAEDCB A6初三暑期·第5讲·提高班·教师版【例4】 如图，AD 和BC 相交于点E ，AB CD EF ∥∥.⑴求证：ABC FEC △∽△，ACD AFE △∽△.⑵求证：111AB CD EF+=. 【解析】 ⑴ ∵AB CD EF ∥∥∴BAC EFC ABC FEC ∠=∠∠=∠，ACD AFE ADC AEF ∠=∠∠=∠，∴ABC FEC △∽△，ACD AFE △∽△ ⑵ 由⑴可知ABC FEC △∽△，ACD AFE △∽△∴EF CF EF AFAB AC CD AC ==， ∴EF EF CF AF AB CD AC AC+=+ 即111CF AF EF AB CD AC +⎛⎫+== ⎪⎝⎭∴111AB CD EF +=【例5】 一块直角三角形木板的一条直角边AB 长为1.5米，面积为1.5平方米，要把它加工成一个面积最大的正方形桌面．甲、乙两位同学的加工方法如图所示，请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法符合要求(加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留)．（2013大兴期末）(甲)CEDBF A (乙)DEF GC A BMN(乙)DEF G CA B【解析】 甲同学的加工方法好∵S △ABC =AB ·BC =23，∵AB =23， ∴BC =2 .∵∠B =90°，能力提升FEDCBA7初三暑期·第5讲·提高班·教师版∴AC 22A B B C+=25. 如图甲∵四边形DBFE 是正方形， ∴DE ∥AB .∴△CDE ∽△CBA . ∴D E C DAB C B=. 设DE =x ,则CD =2-x ， ∴2322x x -= .∴x= . 如图乙过B 点作BM ⊥AC 于点M 交DE 于点N ， 由S △ABC =AB ·BC =AC ·BM ， 可得BM =.∵DE ∥AC ，∴BN ⊥DE . ∴△BDE ∽△BAC .∴DE BNAC BM=. 设DE =y ，∴655625y y -= ∴y =3037 . ∵＞3037， ∴甲同学的正方形面积大.【例6】在ABC △中，BD CE =，DE 的延长线交BC 的延长线于P ，过C 作CM AB ∥交DP 于M ，求证：AD BP AE CP ⋅=⋅.【解析】∵CM AB ∥，∴PCM PBD △∽△，∴CM PCBD PB=， ∵CM AB ∥，∴CEM AED △∽△， ∴CM AD CE AE =，∵BD CE =， MPE D CBA∴CM CMCE BD=，∴PC ADPB AE=，∴AD BP AE CP⋅=⋅【例7】如图，1n+个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上.D1D2D3D4B5B4B3B2B1C5C4C3C2C1A⑴证明：2233AC D AC B△∽△，并写出2233C DC B的值.⑵设211B D C△的面积为1S，322B D C△的面积为2S，…，1n n nB D C+△的面积为nS，则2S=；nS=（用含n的式子表示）．【解析】⑴∵122C C B△和233C C B△都是等边三角形∴12223360C C B C C B∠=∠=︒又∵2233C AD C AB∠=∠∴2233AC D AC B△∽△∴2223334263C D ACC B AC===⑵23331nn+，.下列说法正确的是.⑴有两个角对应相等的两个三角形相似；⑵ 两边对应成比例且一角相等的两个三角形相似；⑶ 三边对应成比例的两个三角形相似.【解析】⑴⑶._____________________ 探索创新8 初三暑期·第5讲·提高班·教师版9初三暑期·第5讲·提高班·教师版第05讲精讲：三角形内接正方形问题探究；三角形的内接正方形是指正方形四个顶点都在三角形边上的正方形，正方形有4个顶点，而三角形只有3条边，所以，正方形一定有两个顶点在同一条边上，即正方形一定有一条边落在三角形的边上.【变式1】如图，Rt △ABC （∠C =90°）中有三个内接正方形，DF =9厘米，GK =6厘米，猜想第三个正方形的边长PQ 的长． 【解析】369=-=-=EG EF GF ，设x PQ =，∵PQ GK ∥，∴∠FKG =∠KQP ．又∵∠FGK =∠KPQ =90°，∴△FGK ∽△KPQ ．∴ PQ GKKP FG =． ∴ x x 663=-．解得4=x ．答：第三个正方形的边长为4厘米．【变式3】如图所示，四边形EFGH 是三角形ABC 的内接矩形，AD ⊥BC ，垂足为D ，BC =21cm ，AD =14cm ， EF ：FG =1：2，求矩形EFGH 的面积． 【解析】如图，设矩形的边长EF =x ，则FG =2x ，∵四边形EFGH 是三角形ABC 的内接矩形， ∴EH ∥BC ，EH =FG ， ∴△AEH ∽△ABC ，又∵AD ⊥BC ，则ID =x ，ID AD AI -=，∴AD AIBC EH =，BC =21cm ，AD =14cm ， ∴ 1414212x x -=， 解得，x =6cm ，即2x =12cm ，∴S 矩形EFGH =EF ×FG =6×12=72cm 2．答：矩形EFGH 的面积为72cm 2．【变式4】四边形ABCD 为正方形，D E ，在线段AC BC ，上，F G ，在AB 上，如果1ADF CDE S S ∆∆==， 3BEG S ∆=，求ABC ∆的面积．【解析】 辅助线同变式2．设正方形边长为x ，则226AF CI BG x x x===，，．由CDE CAB ∆∆∽，得CI DECH AB=， G F EDCBA PQK FGDA IHG D F EA10初三暑期·第5讲·提高班·教师版∴228x xx x xx=++，解得2x =，∴63AB CH ==，， ∴192ABCS AB CH ∆=⋅=【变式5】如图，在△ABC 中，AB=5，BC=3，AC=4，动点E (与点A 、C 不重合)在AC 边上， EF ∥AB 交BC 于F 点．试问在AB 上是 否存在点P ，使得EFP ∆为等腰直角三角 形？若不存在，请简要说明理由；若存在， 请求出EF 的长．【解析】① 如图过E (或F )，分别作AB 垂线，垂足为1P (或2P )，当 1EF FP =(或2EF FP =)时，(或2EFP ∆)为等腰直角三角形．过C 作CH AB ⊥于H ，交EF 于Q ，则EF QH =，设EF QH x ==，AB CH AC BC ⋅=⋅，得 2.4CH = ∵ABC ∆∽EFC ∆ ∴EF CQ AB CH =，即 2.45 2.4x x-= ∴6037x =，∴6037EF x ==② 作EF 的中垂线DP ，交AB 于P ，当2DP EF =时EFP ∆为等腰直角三角形． 设EF x =，则0.5DP x =． ∵ABC ∆∽EFC ∆ ∴EF CQ AB CH =，即 2.40.55 2.4x x -= 解得12049x =，即12049EF x ==．IHGFEDCBAP2P 1H QFEC BAD P HQFEC BAF E CBA【变式6】如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，四边形DEFG为△ABC的内接正方形，若设正方形的边长为x，容易算出x的长为60 37．探究与计算：（1）如图13—2，若三角形内有并排的两个全等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC，则正方形的边长为；（2）如图13—3，若三角形内有并排的三个全等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC，则正方形的边长为．猜想与证明：如图13—4，若三角形内有并排的n个全等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC，请你猜想正方形的边长是多少？并对你的猜想进行证明．【解析】探究与计算：（1）6049；（2）6061．猜想与证明：若三角形内有并排的n个全等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC，正方形的边长是602512n+．证明如下：如图2，过点C作CN⊥AB，垂足为N，交GF于点M．设小正方形的边长为x．∵四边形GDEF为矩形，∴GF∥AB．CM⊥GF．容易算出125CD=．∴CM GFCN AB=．即1251255xnx-=．∴x=602512n+．即小正方形的边长是602512n+．图13—1ACDFG图13—2C 图13—3ACGGFFDDEE图13—4ACG FD E图2ACG FD ENM训练1. 如图，正方形ABCD 中，过点D 作DP 交AC 于点M 、交AB 于点N 、交CB 延长线于点P 使PB BC =，若1MN =，3PN =，则DM 的长为 ． 【解析】 2.训练2. 三个边长分别为2、3、5的正方形，则EKMG S = ．【解析】 154.训练3. 如图，已知平行四边形ABCD 中，过点B 的直线顺次与AC 、AD 及CD 的延长线相交于点E 、F 、G ，若5BE =，2EF =，则FG 的长是 ．【解析】10.5训练4. 如图，已知ABC △中，四边形DEGF 为正方形，D E ，在线段AC BC ，上，F G ，在AB上，如果1ADF CDE S S ==△△，3BEG S =△，求ABC △的面积．GFED CB AIH G F EDCBA【解析】 过点C 作CH AB ⊥于点H ，交DE 于I .设正方形边长为x ，则226AF CI BG x x x ===，，．由CDE CAB △∽△，得CI DECH AB=， ∴228xx x x x x=++，解得2x =，∴63AB CH ==，， ∴192ABC S AB CH =⋅=△.思维拓展训练(选讲)NMPDCB A K MHG F E DBEFGDC AB知识模块一 位似 课后演练【演练1】 如图，在119⨯的正方形网格中，TAB △的顶点坐标分别为()11T ，，()23A ，， ()42B ，． 以点()11T ，为位似中心，按:3:1TA TA =′在位似中心的同侧将TAB △放大为TA B ''△′′，放大后点A B 、的对应点分别为A B 、′′．画出TA B ''△′′，并写出点A B 、′′的坐标. T BAOyx x yOABA'B'T【解析】 如图所示，点A B 、′′的坐标分别为()()47104，、，. 知识模块二 相似三角形的两种基本模型 课后演练【演练2】 已知：如图，直线DE 和BC 的延长线相交于P ，AD AE =.求证：BP BDCP CE=【解析】 如图，过C 作CM AB ∥交DP 于M ，∵CM AB ∥ ∴PBD PCM △∽△，∴BP BDCP CM=， ∵CM AB ∥，∴14∠=∠， 又∵AD AE =，∴12∠=∠，∴24∠=∠， ∵23∠=∠，∴34∠=∠， ∴CM CE =实战演练PEDCBA4321PME DCBA∴BP BDCP CE=.【演练3】 如图，已知DE AB ∥，2OA OC OE =⋅，求证：AD BC ∥. 【解析】∵DE AB ∥，∴AOB EOD △∽△，OE ODOA OB=， 又∵2OA OC OE =⋅，∴OE OA OA OC =， ∴OD OAOB OC=， ∵AOD COB ∠=∠， ∴AOD COB △∽△， ∴DAO BCO ∠=∠， ∴AD BC ∥【演练4】 如图1，图2，两个全等的等腰直角三角形中，各有一个内接正方形．如果图1中正方形的面积是81，求图2中正方形的面积．图1EFCBD A图2E'D'F'G'C'B'A'【解析】 正方形AEDF 的面积为81，所以正方形AEDF 的边长为9．又∵ABC △为等腰直角三角形 ∴45B C ==︒∠∠故BDE △和CDF △是等腰直角三角形 ∴9BE DE DF CF ====∴18AB AC ==∵90A B D G ''''==︒∠∠，45A G F B ''''==︒∠∠ 故A G F '''△和B D G '''△都是等腰直角三角形 设A G x ''=，则18B G x ''=-，2F G x ''=，)218D G x ''=- DOECB A∴()2218x x =-，解得6x = ∴62F G ''=∴图2中正方形的面积为72．【演练5】 ABC △中，正方形EFGH 的两个顶点E 、F 在BC 上，另两个顶点G 、H 分别在AC 、AB 上，15BC =,BC 边上的高10AD =,求EFGH S 正方形.【解析】设正方形EFGH 的边长为x ，AD 、HG 的交点为M ，则有AM HG AD BC =，即101015x x -= 解得，6x = 故2636EFGH S ==四边形训练1. 如图，矩形ABCD 中，BE AC ⊥于点F ，点E 恰是CD 的中点，下列式子成立的是（ ）A ．12EF AF =B ．1EF CF=C ．12CF AC =D ．12CF AF =【解析】D.训练2. 如图，已知平行四边形ABCD 中，过点B 的直线顺次与AC 、AD 及CD 的延长线相交于点E 、F 、G ， 若5BE =，2EF =，则FG 的长是 ． 【解析】10.5训练3. 如图，把PQR △沿着PQ 的方向平移到P Q R '''△的位置，它们重叠部分的面积是PQR △面积的一半，若2PQ =，则此三角形移动的距离PP '是（ ）A ．12B ．2C ．1D ．21-【解析】 D ．课后测F E DC A EFGDC ABQ′R′PR H G FEDCBA第十七种品格：成就雷妮与DOB美国DOB公司总裁雷妮女士从小生活经历比较坎坷，她幼年就失去了双亲，被一位亲戚抚养，但她的监护人却将她作为一个女佣来对待，她的童年浸满了辛酸。
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1、如图，已知动点A在函数y＝4x(x＞0)的图象上，AB ⊥x 轴于点B ，AC⊥y轴于点C，延长CA至点D，使AD=AB，延长BA至点E，使AE=AC．直线DE分别交x，y轴分别于点P，Q．当QE：DP=4：9时，图中阴影部分的面积等于．2、如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AC边上一点，且满足AD=AB，∠ADE=∠C．（1）求证：∠AED=∠ADC，∠DEC=∠B；（2）求证：AB2=AE•AC．3、（2000•河北）已知：如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，且AD=AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F．（1）求证：△ABC∽△FCD；（2）若S△FCD=5，BC=10，求DE的长．3、如图，已知第一象限内的图像是反比例函数1yx=图像的一个分支，第二象限内的图象是反比例函数y=－2x图象的一个分支，在x轴的上方有一条平行于x轴的直线l与它们分别交于点A、B，过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、D．若四边形ABCD的周长为8且AB＜AC，则点A的坐标为（．4、（2011•宁波）正方形的A1B1P1P2顶点P1、P2在反比例函数y=2x（x＞0）的图象上，顶点A1、B1分别在x轴、y轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P2P3A2B2，顶点P3在反比例函数y=2x（x＞0）的图象上，顶点A2在x轴的正半轴上，则点P3的坐标为．5、直线112y x=--与反比例函数kyx=（x<0）的图像交于点A，与x轴相交于点B，过点B作x轴垂线交双曲线于点C，若AB=AC，则k的值为（）6、（2011•十堰）如图，平行四边形AOBC中，对角线交于点E，双曲线kyx=（k＞0）经过A，E两点，若平行四边形AOBC的面积为18，．7、（2011•荆门）如图，双曲线2y x = （x ＞0）经过四边形OABC 的顶点A 、C ，∠ABC=90°，OC 平分OA 与x 轴正半轴的夹角，AB ∥x 轴．将△ABC 沿AC 翻折后得△AB′C ，B′点落在OA 上，则四边形OABC 的面积是 2．8、（2012•扬州）如图，双曲线y=kx 经过Rt △OMN 斜边上的点A ，与直角边MN 相交于点B ，已知OA=2AN ，△OAB 的面积为5，则k 的值是 12．9、（2013•成都一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 与x 轴、y轴分别交于点A ，B ，与反比例函数k y x =（k 为常数，且k ＞0）在第一象限的图象交于点E ，F ．过点E 作EM ⊥y 轴于M ，过点F 作FN ⊥x 轴于N ，直线EM 与FN 交于点C ．若1BE BF m = （m 为大于l 的常数）．记△CEF 的面积为S1，△OEF的面积为S2， 则12s s = ． （用含m 的代数式表示）10、（2012•桂林）双曲线11y x =，23y x =，在第一象限的图像如图所示，过y2上任意一点A ，作x 轴的平行线交y1于点B ，交y 轴于点C ，过A 作x 轴的垂线交y1于点D ，交x 轴于点E ，连接BD ，CE ，则BDCE= 。
11、（2010•惠山区模拟）如图，Rt △ABC 的直角边BC 在x 轴正半轴上，斜边AC 边上的中线BD 反向延长线交y 轴负半轴于E ，双曲线y ＝kx (x ＞0)的图象经过点A ，若△BEC 的面积为4，则k 等于 。
12、如图，M 为双曲线3y x =上一点，过点M 作x 轴、y 轴的垂线，分别交直线y=-x+m 于点D 、C 两点，若直线y=-x+m 与y 轴交于点A ，与x轴相交于点B ，则AD•BC 的值为13、（2010•武汉）如图，直线y＝3x b-+与y轴交于点A，与双曲线y ＝kx 在第一象限交于B 、C 两点，且AB•AC=4，则k= ．14、（2009•兰州）如图，若正方形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在函数y=k x（x＞0）的图象上，则点E的坐标是。
15、如图，A、B是双曲线kyx=（k>0）上的点，A、B两点的横坐标分别是a，2a，线段AB的延长线交x轴于点C，若S△AOC=6．则k= 4．16、（2010•无锡）如图，已知梯形ABCO的底边AO在x轴上，BC∥AO，AB⊥AO，过点C的双曲线y＝kx交OB于D，且OD：DB=1：2，若△OBC的面积等于3，则k的值。
17、如图，正方形OAPB，等腰三角形AFD的顶点A、D、B在坐标轴上，点P，F在函数y＝9x(x＞0)的图象上，则点F的坐标为。
18、如图，P1，P2是反比例函数kyx=（k>0）在第一象限图像上的两点，点A1的坐标为（2，0），若△P1OA1与△P2A1A2均为等边三角形．反比例函数的解析式；A2点的坐标．19、如图，直线43y x=与双曲线kyx=交于点A，将直线43y x=向右平移92个单位与双曲线kyx=（x＞0）交于点B，与x轴交于点C，若AO：BC=2，则k= ．20、如图，点A在双曲线1yx=上，点B在双曲线3yx=上，且AB∥x轴，点C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为 2 ．21、如图，直线y ＝mx 与双曲线k y x =交于A 、B 两点，过点A 作AM ⊥x 轴，垂足为M ，连接BM ，若S △ABM=2，则k 的值是 。
22、（2010•内江）如图，反比例函数y=kx （k>0）的图像经过矩形OABC 对角线的交点M ，分别与AB 、BC 相交于点D 、E ．若四边形ODBE 的面积为6，则k 的值为 。
23、如图，点A 在双曲线y=kx 的第一象限的那一支上，AB 垂直于y 轴于点B ，点C 在x 轴正半轴上，且OC=2AB ，点E 在线段AC上，且AE=3EC ，点D 为OB 的中点，若△ADE 的面积为3，则k 的值为2015重庆九年级数学培优试题答案1、解：解法一：过点D 作DG ⊥x 轴于点G ，过点E 作EF ⊥y 轴于点F ． 令A（t ，4t ），则AD=AB=DG=4t ，AE=AC=EF=t ．在直角△ADE中，由勾股定理，得4422222161616t t AD AE t t t t +++=+==．∵△EFQ ∽△DAE ，∴QE ：DE=EF ：AD ，∴QE=416t t +，∵△ADE ∽△GPD ，∴DE ：PD=AE ：DG ，∴DP=4416t +．又∵QE ：DP=4：9，∴=4416416:4:9t t t ++=，解得t2=83．∴图中阴影部分的面积=12AC2+12AB2=12t2+12×216t =43+3=133；解法二：∵QE：DP=4：9，∴EF：PG=4：9，设EF=4t，则PG=9t，∴A（4t ，1 t），由AC=AE AD=AB，∴AE=4t，AD=1t，DG=1t，GP=9t，∵△ADE∽△GPD，∴AE：DG=AD：GP，4t：1t=1t：9t，即t2=16，图中阴影部分的面积=12×4t×4t+12×1t×1t=133．故答案为：13 3．2、证明：（1）在△ADE和△ACD中，∵∠ADE=∠C，∠DAE=∠DAE，∴∠AED=180°-∠DAE-∠ADE，∠ADC=180°-∠DAE-∠C，∴∠AED=∠ADC．∵∠AED+∠DEC=180°，∠ADB+∠ADC=180°，∴∠DEC=∠ADB，又∵AB=AD，∴∠ADB=∠B，∴∠DEC=∠B．（2）在△ADE和△ACD中，由（1）知∠ADE=∠C，∠AED=∠ADC，∴△ADE∽△ACD，∴，即AD2=AE•AC．又AB=AD，∴AB2=AE•AC．3、证明：∵AD=AC，∴∠ADC=∠ACD．∵D是BC边上的中点，DE⊥BC，∴EB=EC，∴∠EBC=∠ECB．∴△ABC∽△FCD；（2）解：过A作AM⊥CD，垂足为M．∵△ABC∽△FCD，BC=2CD，∴2211()()24 FCDABCS CDS CB∆∆===．∵S△FCD=5，∴S△ABC=20．又∵S△ABC= 12×BC×AM，BC=10，∴AM=4．又DM=CM= 12CD，DE∥AM，∴DE：AM=BD：BM= 23，∴DE=83．3、解：点A在反比例函数1yx图象上，设A点坐标为（a，1a），∵AB平行于x轴，∴点B的纵坐标为1 a，而点B在反比例函数y=－2x图象上，∴B点的横坐标=-2×a=-2a，即B点坐标为（-2a，1 a），∴AB=a-（-2a）=3a，AC=1 a，∵四边形ABCD的周长为8，而四边形ABCD为矩形，∴AB+AC=4，即3a+1a=4，整理得，3a2-4a+1=0，（3a-1）（a-1）=0，∴a1=13，a2=1，而AB＜AC，∴a=13，∴A点坐标为（13，3）．故答案为（13，3）．4、解：作P1C⊥y轴于C，P2D⊥x轴于D，P3E⊥x轴于E，P3F⊥P2D于F，如图，设P1（a，2a），则CP1=a，OC=2a，∵四边形A1B1P1P2为正方形，∴Rt △P1B1C ≌Rt △B1A1O ≌Rt △A1P2D ，∴OB1=P1C=A1D=a ，∴OA1=B1C=P2D=2a -a ， ∴OD=a+2a -a=2a ，∴P2的坐标为（2a ，2a -a ），把P2的坐标代入y=2x （x ＞0），得到（2a -a ）•2a =2，解得a=-1（舍）或a=1， ∴P2（2，1），设P3的坐标为（b ，2b ），又∵四边形P2P3A2B2为正方形，∴Rt △P2P3F ≌Rt △A2P3E ，∴P3E=P3F=DE=2b ，∴OE=OD+DE=2+2b ， ∴2+2b =b ，解得b=1-3（舍），b=1+3，∴2b =3113=-+，∴点P3的坐标为 （3+1，3-1）． 故答案为：（3+1，3-1）． 5、解：过A 作AD ⊥BC 于D ，如图，对于y=-12x-1，令y=0，则-12x-1=0，解得x=-2，∴B 点坐标为（-2，0），∵CB ⊥x 轴， ∴C 点的横坐标为-2，对于y=k x ，令x=-2，则y=-2k，∴C 点坐标为（-2，-2k），∵AC=AB ，AD ⊥BC ， ∴DC=DB ，∴D 点坐标为（-2，-4k ）， ∴A 点的纵坐标为-4k，而点A 在函数k y x =的图象上， 把y=-4k 代入k y x =得x=-4， ∴点A 的坐标为（-4，-4k ），把A （-4，-4k ）代入y=-12x-1得-4k =-12×（-4）-1， ∴k=-4．6、解：分别过点A 、E 作AM 、EN 垂直于x 轴于M 、N ，则AM ∥EN ，∵A 、E 在双曲线上，∴三角形AOM 与三角形OEN 的面积相等，∵四边形AOBC 是平行四边形，∴AE=BE ，∵AM ∥EN ， ∴MN=NB ，∴EN=12AM ，∴OM=12ON ，根据三角形的中位线，可得MN=BN ，∴OM=MN=BN ，设A （x ，y ），由平行四边形的面积=OB×AM=18，∴3x×y=18，xy=6，即k=6； 故答案为：6．7、解：延长BC ，交x 轴于点D ，设点C （x ，y ），AB=a ，∵OC 平分OA 与x 轴正半轴的夹角，∴CD=CB′，△OCD ≌△OCB′，再由翻折的性质得，BC=B′C ，∵双曲线y ＝2x （x ＞0）经过四边形OABC 的顶点A 、C ，∴S △OCD=12xy=1，∴S △OCB′=12xy=1，由翻折变换的性质和角平分线上的点到角的两边的距离相等可得BC=B′C=CD ， ∴点A 、B 的纵坐标都是2y ，∵AB ∥x 轴， ∴点A （x-a ，2y ），∴2y （x-a ）=2， ∴xy-ay=1，∵xy=2 ∴ay=1，∴S△ABC=12ay=12，∴SOABC=S△OCB′+S△AB'C+S△ABC=1+12+12=2．故答案为：2．8、解：过A点作AC⊥x轴于点C，如图，则AC∥NM，∴△OAC∽△ONM，∴OC：OM=AC：NM=OA：ON，而OA=2AN，即OA：ON=2：3，设A点坐标为（a，b），则OC=a，AC=b，∴OM=32a，NM=32b，∴N点坐标为（32a，32b），∴点B的横坐标为32a，设B点的纵坐标为y，∵点A与点B都在y=kx图象上，∴k=ab=32a•y，∴y=23b，即B点坐标为（32a，23b），∵OA=2AN，△OAB的面积为5，∴△NAB的面积为5 2，∴△ONB的面积=5+52=152，∴12NB•OM=152，即12×（32b-23b）×32a=152，∴ab=12，∴k=12．故答案为12．9、解：过点F作FD⊥BO于点D，EW⊥AO于点W，∵1BEBF m=（m为大于l的常数），∴1 MEDF m=，∵ME•EW=FN•DF，∴1 ME FNDF EW m==，设E 点坐标为：（x ，my ），则F 点坐标为：（mx ，y ），∴△CEF 的面积为：S1=12（mx-x ）（my-y ）=12（m-1）2xy ，∵△OEF 的面积为：S2=S 矩形CNOM-S1-S △MEO-S △FON=MC•CN -12（m-1）2xy-12ME•MO -12FN•NO=mx•my -12（m-1）2xy-12x•my -12y•mx =m2xy-12（m-1）2xy-mxy =12（m2-1）xy=12（m+1）（m-1）xy ， ∴2121(1)1211(1)(1)2m xy S m S m m m xy --==+-+． 故答案为：11m m -+．10、 解：设A 点的横坐标为a ，把x=a 代入y=3x 得y=3a ，则点A 的坐标为（a ，3a ）， ∵AC ⊥y 轴，AE ⊥x 轴，∴C 点坐标为（0，3a ），B 点的纵坐标为3a ；E 点坐标为（a ，0），D 点的横坐标为a ，∵B 点、D 点在y=1x 上，∴当y=3a 时，x=3a ；当x=a ，y=1a ，∴B 点坐标为（3a ，3a ），D 点坐标为（a ，1a ），∴AB=a-3a =23a ，AC=a ，AD=3a -1a =2a ，AE=3a ，∴AB=23AC ，AD=23AE ，而∠BAD=∠CAD ， ∴△BAD ∽△CAE ，∴23BD ABCE AC==．故答案为23．11、解：∵BD为Rt△ABC的斜边AC上的中线，∴BD=DC，∠DBC=∠ACB，又∠DBC=∠EBO，∴∠EBO=∠ACB，又∠BOE=∠CBA=90°，∴△BOE∽△CBA，∴BO OEBC AB=，即BC×OE=BO×AB．又∵S△BEC=4，∴12BC•EO=4，即BC×OE=8=BO×AB=|k|．又由于反比例函数图象在第一象限，k＞0．所以k等于8．12、解：作CE⊥x轴于E，DF⊥y轴于F，如图，对于y=-x+m，令x=0，则y=m；令y=0，-x+m=0，解得x=m，∴A（0，m），B（m，0），∴△OAB等腰直角三角形，∴△ADF和△CEB都是等腰直角三角形，设M的坐标为（a，b），则ab=3，CE=b，DF=a，∴AD=2DF=2a，BC=2CE=2b，∴AD•BC=2a•2b=2ab=23．故答案为23．13、解：对直线方程y＝3x b-+，令y=0，得到x=3b，即直线与x轴的交点D的坐标为（3b，0），令x=0，得到y=b，即A点坐标为（0，b），∴OA=b，OD=3b，∵在Rt△AOD中，tan∠ADO=3 OAOD=，∴∠ADO=30°，即直线y=-33+b与x轴的夹角为30°，∵直线y=-3x+b与双曲线y=kx在第一象限交于点B、C两点，∴-3x+b=kx，即-3x2+bx-k=0，由韦达定理得：x1x2=ca=3k，即EB•FC=3k，∵EBAB=cos30°=32，∴AB=233EB，同理可得：AC=233FC，∴AB•AC=（233EB）（233FC）=43433，解得：k=3．14、解：依据比例系数k的几何意义可得正方形OABC的面积为1，所以其边长为1，设点E的纵坐标为m，则横坐标为1+m，所以m（1+m）=1，解得m1=512--，m2=512-．由于m=512--不合题意，所以应舍去，故m=512-．1+m=51+．故点E的坐标是（51+，51-）．15、解：分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为D、E，再过点A作AF⊥BE于F．则AD∥BE，AD=2BE=k a，∴B、E分别是AC、DC的中点．在△ABF与△CBE中，∠ABF=∠CBE，∠F=∠BEC=90°，AB=CB，∴△ABF≌△CBE．∴S△AOC=S梯形AOEF=6．又∵A（a，ka），B（2a，2ka），∴S梯形AOEF=12（AF+OE）×EF=12（a+2a）×ka=32k=6，解得：k=4．故答案为：4．16、解：方法1：设B点坐标为（a，b），∵OD：DB=1：2，∴D点坐标为（13a，13b），根据反比例函数的几何意义，∴13a•13b=k，∴ab=9k①，∵BC∥AO，AB⊥AO，C在反比例函数y=kx的图象上，∴设C点横坐标为m，则C点坐标为（m，b）将（m，b）代入y=kx得，b=km m=kb，BC=a-k b，又因为△OBC的高为AB，所以S△OBC=12（a-kb）•b=3，所以12（a-kb）•b=3，（a-kb）b=6，ab-k=6②，把①代入②得，9k-k=6，解得k=3 4．方法2：延长BC交y轴于E，过D作x轴的垂线，垂足为F．由△OAB的面积=△OBE的面积，△ODF的面积=△OCE的面积，可知，△ODF的面积=18梯形DFAB=18△BOC的面积=38，即12k=38，k=34．17、解：∵OAPB是正方形，∴点P的横纵坐标相等，且点P在函数y=9x上，∴点P的坐标为（3，3）设F点的坐标为（x，y）∵△ADF是等腰直角三角形，∴y=x-3，将其代入函数y＝9x中，得x=3352+，y=3532-，∴点F的坐标为（335+，353-）．18、解：（1）作P1B⊥OA1于点B，∵等边△P1OA1中，OA1=2，∴OB=1，P1B=3，把P1点坐标（1，3）代入y＝k x，解得：k＝3，∴y＝3；（2）作P2C⊥A1A2于点C，∵等边△P2A1A2，设A1C=a，则P2C=3a，OC=2+a，把P2点坐标（2+a，3a）代入y＝3x，即：(2+a) 3a＝3，解得a1＝2−1，a2＝−2−1（舍去），∴OA2=2+2a=22，∴A2（22，0）．19、解：设点A的坐标为（a，34a），∵AOBC=2，取OA的中点D，∴点B相当于点D向右平移了92个单位，∵点D的坐标为（12a，38a），∴B点坐标为（92+12a，38a），∵点A，B都在反比例函数y=kx的图象上，∴a×34a=（92+12a）×38a解得a=0（0不合题意，舍去），a=3，∴点A 的坐标为（3，94）， ∴k=3×94=274， 故答案为：274． 20、解：过A 点作AE ⊥y 轴，垂足为E ，∵点A 在双曲线y ＝1x 上，∴四边形AEOD 的面积为1，∵点B 在双曲线3y x上，且AB ∥x 轴，∴四边形BEOC 的面积为3，∴四边形ABCD 为矩形，则它的面积为3-1=2．故答案为：2．21、解：设A （x ，y ），∵直线y=mx 与双曲线y=kx 交于A 、B 两点， ∴B （-x ，-y ），∴S △BOM= 12|xy|，S △AOM= 12|xy|，∴S △BOM=S △AOM ，∴S △ABM=S △AOM+S △BOM=2S △AOM=2，S △AOM= 12|k|=1，则k=±2．又由于反比例函数位于一三象限，k ＞0，故k=2．22、解：由题意得：E 、M 、D 位于反比例函数图象上，则S △OCE=2k ，S △OAD=2k ， 过点M 作MG ⊥y 轴于点G ，作MN ⊥x 轴于点N ，则S□ONMG=|k|，又∵M 为矩形ABCO 对角线的交点，则S 矩形ABCO=4S□ONMG=4|k |，由于函数图象在第一象限，k ＞0，则2k +2k+6=4k ，k=2．23、解：连DC ，如图，∵AE=3EC ，△ADE 的面积为3，∴△CDE 的面积为1，∴△ADC 的面积为4，设A 点坐标为（a ，b ），则AB=a ，OC=2AB=2a ，而点D为OB的中点，∴BD=OD= 12b，∵S梯形OBAC=S△ABD+S△ADC+S△ODC，∴12（a+2a）×b=12a×12b+4+12×2a×12b，∴ab= 16 3，把A（a，b）代入双曲线y= k x，∴k=ab=163．故答案为：163．。