2019年黑龙江省齐齐哈尔市高考数学三模试卷(理科)(有答案解析)
黑龙江省齐齐哈尔市2019届高三第一次模拟考试(3月)数学(理)试卷(解析版)
2019年黑龙江省齐齐哈尔市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.A.B.C.D.【答案】B 【解析】解：．故选：B ．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．2. 设集合0，，，则A. B. C.D.【答案】A 【解析】解：；．故选：A ．可解出集合B ，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，交集的运算，空集的定义．3. 若x ，y 满足不等式组，则的最小值为A.B.C.D.【答案】D【解析】解：画出x ，y 满足不等式组表示的平面区域，如图所示；平移目标函数知，，，当目标函数过点A 时，z 取得最小值， 的最小值为．故选：D．画出不等式组表示的平面区域，平移目标函数，找出最优解，求出z的最小值．本题考查了简单的线性规划问题，是基本知识的考查．4.已知双曲线的离心率为e，抛物线的焦点坐标为，若，则双曲线C的渐近线方程为B. C. D.A.【答案】A【解析】解：抛物线的焦点坐标为，则，又，所以，可得，可得：，所以双曲线的渐近线方程为：．故选：A．求出抛物线的焦点坐标，得到双曲线的离心率，然后求解a，b关系，即可得到双曲线的渐近线方程．本题考查双曲线的离心率以及双曲线渐近线方程的求法，抛物线的简单性质的应用．5.随着计算机的出现，图标被赋予了新的含义，又有了新的用武之地在计算机应用领域，图标成了具有明确指代含义的计算机图形如图所示的图标是一种被称之为“黑白太阳”的图标，该图标共分为3部分第一部分为外部的八个全等的矩形，每一个矩形的长为3、宽为1；第二部分为圆环部分，大圆半径为3，小圆半径为2；第三部分为圆环内部的白色区域在整个“黑白太阳”图标中随机取一点，此点取自图标第三部分的概率为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：图标第一部分的面积为，图标第二部分的面积和第三部分的面积为，图标第三部分的面积为，故此点取自图标第三部分的概率为，故选：B．以面积为测度，根据几何概型的概率公式即可得到结论．本题考查几何概型的计算，关键是正确计算出阴影部分的面积，属于基础题．6.设等差数列的前n项和为，且，，则的公差为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】解：根据题意，设等差数列的公差为d，若，，则，，解可得，；故选：B．根据题意，设等差数列的公差为d，分析可得，，解可得d的值，即可得答案．本题考查等差数列的前n项和，关键是掌握等差数列的前n项和公式的形式，属于基础题．7.运行如图程序，则输出的S的值为A. 0B. 1C. 2018D. 2017【答案】D【解析】解：模拟程序的运行，可得程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，可得：．故选：D．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则实数a的值为A. B. C. 1 D. 2【答案】B【解析】解：f的定义域为，因为，曲线在点处的切线方程为，可得，解得，故选：B．求出函数的导数，利用切线方程通过，求解即可；本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查计算能力．在长方体中，，，则直线与所成角的余弦值为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，设，则0，，0，，a，，，，，，解得，，，，，0，，设直线与所成角为，则．直线与所成角的余弦值为．故选：D．以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与所成角的余弦值．本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．8.已知函数在上是单调函数，且，则的取值范围为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：函数在上是单调函数，，．又，即，则，，故选：C．利用两角和的余弦公式化简函数的解析式，利用余弦函数的单调性以及余弦函数的图象，可得，则，由此可得的取值范围．本题主要考查两角和的余弦公式，余弦函数的单调性以及余弦函数的图象，属于基础题．9.已知半圆C：，A、B分别为半圆C与x轴的左、右交点，直线m过点B且与x轴垂直，点P在直线m上，纵坐标为t，若在半圆C上存在点Q使，则t的取值范围是A. B.C. D.【答案】A【解析】解：根据题意，设PQ与x轴交于点T，则，由于BP与x轴垂直，且，则在中，，当P在x轴上方时，PT与半圆有公共点Q，PT与半圆相切时，有最大值3，此时t有最大值，当P在x轴下方时，当Q与A重合时，有最大值2，有最大值，则t取得最小值，时，P与B重合，不符合题意，则t的取值范围为；故选：A．根据题意，设PQ与x轴交于点T，分析可得在中，，分p在x轴上方、下方和x轴上三种情况讨论，分析的最值，即可得t的范围，综合可得答案．本题考查直线与圆方程的应用，涉及直线与圆的位置关系，属于基础题．10.在边长为2的菱形ABCD中，，将菱形ABCD沿对角线AC对折，使二面角的余弦值为，则所得三棱锥的内切球的表面积为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：如下图所示，易知和都是等边三角形，取AC的中点N，则，．所以，是二面角的平面角，过点B作交DN于点O，可得平面ACD．因为在中，，所以，，则．故三棱锥为正四面体，则其内切球半径．因此，三棱锥的内切球的表面积为．故选：C．作出图形，利用菱形对角线相互垂直的性质得出，，可得出二面角的平面角为，再利用余弦定理求出BD，可知三棱锥为正四面体，根据内切球的半径为其棱长的倍得出内切球的半径R，再利用球体的表面积公式可得出答案．本题考查几何体的内切球问题，解决本题的关键在于计算几何体的棱长确定几何体的形状，考查了二面角的定义与余弦定理，考查计算能力，属于中等题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）11.已知，则______．【答案】【解析】解：，．故答案为：．由已知利用二倍角的余弦函数公式即可计算得解．本题主要考查了二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．12.在的展开式中，的系数为______用数字作答．【答案】120【解析】解：的展开式的通项是，所以在的展开式中，含的项为，所以的系数为120．故答案为：120．根据的展开式的通项公式，计算在的展开式中含的项是什么，从而求出的系数．本题考查了二项式展开式的通项公式的应用问题，也考查了逻辑推理与计算能力，是基础题目．13.已知函数是奇函数，且时，有，，则不等式的解集为______．【答案】【解析】解：由等价为设，又由函数是定义在R上的奇函数，则有，则有，即函数为R上的奇函数，则有；又由对任意时，有，则，，，即在上为减函数，是奇函数，在上为减函数，，；，，则等价为，是减函数，，即不等式的解集为；故答案为：．根据条件构造函数，判断函数的奇偶性和单调性，结合函数奇偶性和单调性的性质进行转化求解即可．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是构造函数，利用特殊值转化分析不等式，利用函数奇偶性和单调性进行转化是解决本题的关键．14.已知数列的前n项和满足，，数列的前n项和为，则满足的最小的n值为______．【答案】7【解析】解：根据题意，数列满足，当时，有，，可得：，变形可得，当时，有，解可得，则数列是以为首项，公比为的等比数列，则，数列的前n项和为，则，则有，可得：，变形可得：，若，即，分析可得：，故满足的最小的n值为7；故答案为：7．根据题意，将变形可得，两式相减变形可得，令求出的值，即可得数列是以为首项，公比为的等比数列，即可得数列的通项公式，进而可得，由错位相减法分析求出的值，若，即，验证分析可得n的最小值，即可得答案．本题考查数列的递推公式，关键是分析数列的通项公式，属于基础题．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）15.已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，的面积为S，且，．Ⅰ求的值；Ⅱ若，求S的值．【答案】解：Ⅰ，，可得：，中，A为锐角，又，可得：，，又，，Ⅱ在中，，由正弦定理，可得：，．【解析】Ⅰ由已知利用三角形面积公式可得，利用同角三角函数基本关系式可求，，由三角形内角和定理，两角和的余弦函数公式可求的值．Ⅱ利用同角三角函数基本关系式可求，利用正弦定理可得b的值，即可得解S的值．本题主要考查了三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理，两角和的余弦函数公式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．16.如图，四棱锥中，，，，，．Ⅰ求证：平面平面ABCD；Ⅱ求直线PA与平面PBC所成角的正弦值．【答案】证明：Ⅰ，，，，，，，，，，，，，平面PAD，平面ABCD，平面平面ABCD．解：Ⅱ取AD中点O，连结PO，则，且，由平面平面ABCD，知平面ABCD，以O为坐标原点，以过点O且平行于BC的直线为x轴，过点O且平行于AB的直线为y轴，直线PO为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，0，，0，，，设平面PBC的法向量y，，则，取，得，，，直线PA与平面PBC所成角的正弦值为．【解析】Ⅰ推导出，，从而平面PAD，由此能证明平面平面ABCD．Ⅱ取AD中点O，连结PO，则，以O为坐标原点，以过点O且平行于BC的直线为x轴，过点O且平行于AB的直线为y轴，直线PO为z轴，建立空间直角坐标系，利用职权向量法能求出直线PA与平面PBC所成角的正弦值．本题考查面面垂直的证明，考查满足线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．17.某中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生平均每天体育锻炼时间进行调查，如表：平均每天锻炼的时间单位：分钟时间将学生日均体育锻炼时间在的学生评价为“锻炼达标”．Ⅰ请根据上述表格中的统计数据填写下面列联表；并通过计算判断，是否能在犯错误的概率不超过的前提下认为“锻炼达标”与性别有关？Ⅱ在“锻炼达标”的学生中，按男女用分层抽样方法抽出10人，进行体育锻炼体会交流，求这10人中，男生、女生各有多少人？从参加体会交流的10人中，随机选出2人作重点发言，记这2人中女生的人数为X，求X的分布列和数学期望．参考公式：，其中临界值表．所以在犯错误的概率不超过的前提下不能判断“课外体育达标”与性别有关分Ⅱ在“锻炼达标”的学生50中，男女生人数比为3：2，用分层抽样方法抽出10人，男生有6人，女生有4人．从参加体会交流的10人中，随机选出2人作重点发言，2人中女生的人数为X，则X的可能值为0，1，2．则X可得数学期望．【解析】列出列联表，利用独立性检验计算公式及其判定定理即可得出结论．Ⅱ在“锻炼达标”的学生50中，男女生人数比为3：2，用分层抽样方法抽出10人，男生有6人，女生有4人．本题考查了独立性检验计算公式及其原理、超几何分布列的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.已知O为坐标原点，椭圆C：的左、右焦点分别为，，过焦点且垂直于x轴的直线与椭圆C相交所得的弦长为3，直线与椭圆C相切．Ⅰ求椭圆C的标准方程；Ⅱ是否存在直线l：与椭圆C相交于E，D两点，使得？若存在，求k的取值范围；若不存在，请说明理由【答案】解：Ⅰ在中，令，可得，过焦点且垂直于x轴的直线与椭圆C相交所得的弦长为3，，直线与椭圆C相切，，，．故椭圆C的方程为；Ⅱ由Ⅰ可知，则直线l的方程为，联立，可得，则，，，，，，，即，整理可得，解得，直线l存在，且k的取值范围为．【解析】Ⅰ由题意可得，以及直线与椭圆C相切，可得，解之即得a，b，从而写出椭圆C的方程；Ⅱ联立方程组，根据韦达定理和向量的运算，即可求出k的取值范围．本题考查了直线方程，椭圆的简单性质、向量的运算等基础知识与基本技能方法，考查了运算求解能力，转化与化归能力，属于中档题．19.已知函数．Ⅰ若函数在上有2个零点，求实数a的取值范围注Ⅱ设，若函数恰有两个不同的极值点，证明：．【答案】解：Ⅰ由，得，令，，，故在递减，在递增，又，，，故，故；Ⅱ，故，，是函数的两个不同的极值点不妨设，易知若，则函数没有或只有1个极值点，与已知矛盾，且，，故，，两式相减得，于是要证明，即证明，两边同除以，即证，即证，令，即证不等式，当时恒成立，设，则，设，则，当时，，递减，故，即，故，故在时递减，在处取最小值，故得证，故．【解析】Ⅰ问题转化为，令，，根据函数的单调性求出a的范围即可；Ⅱ求出，问题转化为证，令，即证不等式，当时恒成立，设，则，根据函数的单调性证明即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，换元思想，是一道综合题．20.已知曲线的参数方程为为参数，P是曲线上的任一点，过P作y轴的垂线，垂足为Q，线段PQ的中点的轨迹为．Ⅰ求曲线的直角坐标方程；Ⅱ以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，若直线l：交曲线于M，N两点，求．【答案】解：Ⅰ利用消去可得，设PQ的中点坐标为，则P点坐标为，则PQ中点的轨迹方程为．Ⅱ直线的直角坐标方程为，联立与得，．【解析】Ⅰ利用消去可得圆的普通方程，设PQ的中点坐标为，则P点坐标为，将P的坐标代入的方程即可得；Ⅱ先把l的极坐标方程化为直角坐标方程，再代入的直角坐标方程可得M，N的横坐标，再根据弦长公式可得弦长．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．21.已知函数．Ⅰ解不等式；Ⅱ对及，不等式恒成立，求实数m的取值范围．【答案】解：Ⅰ当时，由，解得；当时，不成立；当时，由，解得．所以不等式的解集为．Ⅱ，，，对于，恒成立等价于：对，，即，．【解析】Ⅰ根据绝对值不等式的解法，利用分类讨论进行求解即可．Ⅱ利用1的代换，结合基本不等式先求出的最小值是9，然后利用绝对值不等式的性质进行转化求解即可．本题主要考查绝对值不等式的解法，以及不等式恒成立问题，利用1的代换结合基本不等式，将不等式恒成立进行转化求解是解决本题的关键．。
哈师大附中2019年高三第三次联合模拟考试数学(理科)
哈师大附中2019年高三第三次联合模拟考试数学答案（理科）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）B C A B C B C A D D B C二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.83 14. 58 15. 25616. ①②③ 三．解答题（本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）17.解：在AMP Rt ∆中，30oAPM ∠=,100=AM 3100=∴PM ……… 3分连结QM ，在PQM ∆中，60oQPM ∠=，又PQ =PQM ∴∆为等边三角形QM ∴= ……… 6分在AMQ Rt ∆中，由222AQ AM QM =+得200AQ =又在Rt BNQ ∆中，tan 2θ=，200BN =，BQ ∴=……… 9分在BQA ∆中，22222cos BA BQ AQ BQ AQ θ=+-⋅=（ BA ∴=答：,A B 两塔顶间的直线距离是. ……… 12分 18.解：(1)任取一块冰是由甲工作采出的冰块的概率为14依题意0,1,2,3ξ=，且1(3,)4B ξ………1分3313()(0,1,2,3)44k kkP k C k ξ-⎛⎫⎛⎫==⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭27(0)64P ξ==27(1)64P ξ== 9(2)64P ξ==1(3)64P ξ==ξ∴的分布列为……… 5分13344E ξ∴=⨯= ……… 6分 （2）用1A 表示事件“冰块是由甲工作队采出的”；2A 表示事件“冰块是由乙工作队采出的”；3A 表示事件“冰块是由丙工作队采出的”，用B 表示事件“采出的冰块能被利用”， ……… 8分则()10.25P A =， ()20.35P A =，()30.40P A =,()10.8P B A =,()20.6P B A =,()30.75P B A = ……… 10分123()()()()P B P BA P BA P BA =++112233()()()()()()P A P B A P A P B A P A P B A =++0.250.80.350.60.40.75=⨯+⨯+⨯0.71=答：采出的冰块能被利用的概率是0.71. ……… 12分19. 解：（解法一）（1）字母如图所示．……… 2分∵梯形A ADD ''、A ABB ''、A B C D ''''、ABCD 均为直角梯形，且182A B DC AB ''===，2D C A B DC ''''== 连结B C '、PQ ，则PQ ∥B C '，又∵//A B DC ''，且A B DC ''=，∴A B CD ''为矩形 ∴//B C A D ''，∴//PQ A D '又PQ ⊄平面A ADD ''，A D '⊂平面A ADD ''∴PQ ∥平面A ADD ''． ……… 6分 （2）延长,,DD AA BB '''交于一点G ，∵B A ''⊥面ADG ，作A H '⊥D D '于H ，连结HB '，则HB DD ''⊥则∠B HA ''为二面角B DD A '--的平面角． ……… 9分 在Rt △D A G ''中，易得12,5A G A D '''==∴1151222A H D G ''⨯⨯=⨯⨯，即6013A H '= ∴26tan 15A B B HA A H ''''∠=='．即二面角B DD A '--的正切值为2615. ……… 12分 另解：由三视图得：BA ⊥面A ADD ''，作AH DD '⊥，垂足为H ，连BH∵,,DD AH DD AB ABAH H ''⊥⊥=∴DD '⊥面BAH ，∴DD BH '⊥∴BHA ∠为二面角B DD A '--的平面角D12sin 13D DA '∠=,∴12120sin 101313AH AD D DA '=⋅∠=⨯= ∴1326tan 1612015AB BHA AH ∠==⨯=……… 12分 （解法二）（1）(0,16,0),(0,8,12),B B '(10,8,0)C ，∴(0,12,6),(5,12,0)P Q (5,0,6)=-，又平面AA D D ''的法向量1n (0,1,0)=，则PQ ⋅1n 0=，∴PQ ⊥1n 又PQ ⊄平面AA D D ''，∴//PQ 平面AA D D '' ……… 6分 （2）(10,0,0),(5,0,12)D D '，∴(10,16,0),(5,16,12)BD BD '=-=- 设平面BDD '的法向量2n (,,)x y z =则10160516120BD x y BD x y z ⎧⋅=-=⎪⎨'⋅=-+=⎪⎩，所以一个法向量2n 10(8,5,)3=∴<1n ,2n >的大小是二面角B DD A '--的平面角的大小，设为θ ∴cos cos θ=<1n ,2n >==，即sin θ== ∴26tan 5θ=， 即二面角B DD A '--的正切值为2615. ……… 12分20. 解：(1)（解法一）椭圆上顶点A '，A F k '=l 的斜率2tan 3k π==∴A '与A 重合.ACF AOF CFE AOEC S S S S =--梯形()111222OA CE OE OA OF FE CE =+⋅-⋅-⋅= ……4分（解法二）直线AF ：1)y x =-，2AF =点C 到直线AF 的距离d ==12ACFSAF d =⋅=………4分 A 'z 2n2n（解法三）设准线与x 轴交于点E ,过点A 向准线引垂线，垂足为，,AF e AD =cos 3AD EF AF π=+,1cos 3e EF AF e π∴=-13,,22EF e AF ==∴= …2分36,tan CE EF CF CFE CFE ==∴=∠==3AFC π∴∠=162sin 23CAF S π∆∴=⨯⨯⨯=(2) ①若直线为0y =时，经验证，AC BC k k +=②若直线不为0y =时，设直线l 方程为1x my =+，设1122(,),(,)A x y B x y22134120x my x y =+⎧⎨+-=⎩ 整理得：22(34)690m y my ++-= ，223636(34)0m m ∆=++>恒成立 设1122(,),(,)A x y B x y12122269,3434m y y y y m m ∴+=-=-++ ………6分 1113AC k ===同理，2BC k = ………8分 1212AC BC k k ∴+==………10分 2222269(3)()2()34346993()()3434m m m m m m m m m --++++=---+++== ∴直线AC 与直线BC 的斜率之和为定值………12分21.解：（1）21()ln (0)f x x x x a=+>，则2212()x a f x x a x ax +'=+= ………1分①当0a >时，()0f x '>对(0,)x ∈+∞恒成立，()f x 在(0,)+∞上递增②当0a <时，令()0f x '=，则2x =， ………2分 (0,2x ∈时，()0f x '>，()f x 为增函数；)2x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 为减函数综上，0a >时，()f x 增区间为(0,)+∞；0a <时，()f x 增区间为，减区间为)+∞. ………4分 （2）由（1）知0a >时，()f x 在(0,)+∞递增，且1x =时，1(1)0,f a =>则11(1),()22f f x >-∴<-不恒成立，故0a < ………5分又()f x 的极大值即()f x 最大值21ln 222f a =+ 1()2f x <-恒成立，只须[]max 1()2f x <-∴ln02<，即012<< ∴20a -<< ………6分 （3）当1a =时，2()ln f x x x =+，1()2f x x x'=+令()()g x f x '=，则21()2g x x'=-………8分 当[1,)x ∈+∞时，()0g x '> ∴1()2f x x x'=+在[1,)+∞上是增函数当*n N ∈时，1()2f n n n'=+>∴()f x '在[1,()]f n '上是增函数 ………10分当1n =时，(1)3f '=∴当[1,(1)],1,2,3,,i a f i k '∈=时，19()((1))(3)3i f a f f f ''''≤==则为使得k 最小，需19(),1,2,3,,3i f a i k '==，则1920103k ≥，又*k N ∈，所以min 318k =当1n >时，()(1)f n f ''>，∴当[1,()],1,2,3,,i a f n i k '∈=时，1()(())(2)i f a f f n f n n ''''≤=+则为使得k 最小，需1()(2),1,2,3,,i f a f n i k n''=+=，则1(2)2010f n k n '+⨯≥，又119(2)(3)3f n f n ''+>=又*k N ∈，所以min 318k <当318k <时，对1n =时，不存在k 个正数，使得1()2010kii f a ='≥∑所以，min 318k = ………12分 22. 证明：（1）圆O 与边AB 相切于点E ，∴90AEG ∠=又90ACG ∠=∴180AEG ACG ∠+∠=∴A 、E 、G 、C 四点共圆. ………5分（2） A 、E 、G 、C 四点共圆，∴AEC AGC ∠=∠又AB 是圆O 的切线，∴AEC EDC ∠=∠ ∴ EDC AGC ∠=∠∴//AG ED ………10分23. 解：（1）12()11412x t x y y t πα⎧=+⎪⎪=∴∴-=+⎨⎪=-+⎪⎩为参数 ∴ 曲线2C 的普通方程是2y x =- ………2分它表示过(1,1)-，倾斜角为4π的直线 ………3分 （2）解法一：曲线1C 的普通方程为224x y += …5分 设(1,1)G -，过G 作MN OG ⊥，以下证明此时MN 最小过G 作直线M N ''，M N ''与MN 不重合M N ''=MN =在Rt OG G '∆中，OG OG '>MN M N ''∴< ………8分此时，MN ==………10分 另解：曲线1C 的普通方程为224x y += ………5分 将1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=-+⎩代入224x y +=中，得22(1cos )(1sin )4t t αα++-+= ………7分22(cos sin )20t t αα∴+--=12MN t t =-==………9分4MN MN πα∴==当时，最小 ………10分24.解：由已知得0>x ，∴原不等式化为x x x x 33log log +<+ ………2分 （1）当3log 0x ≥时，33log log x x x x +<+不成立 ………4分 （2）当0log 3<x 时，x x x x 33log log -<+此不等式等价于⎩⎨⎧->+-<+x x x x x x x x 3333log log log log 即⎩⎨⎧><<010x x 10<<∴x ………8分 故原不等式的解集为{}01x x << ………10分 另解：由绝对值不等式性质333log log log 001x x x x x x x +<+⇔<⇔<< ∴原不等式的解集为{}01x x << ………10分。
齐齐哈尔市2019年高三第二次模拟考试理科数学试卷及答案
齐齐哈尔市2019年高三第二次模拟考试数学试卷(理科) 参考答案及评分标准一、选择题（共12个小题，每小题5分，共60分）二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分） 13． 214 ．4π 15．49100 16．三．解答题17.解：(1)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12(1－a n )－12(1－a n －1) ＝－12a n ＋12a n －1，2a n ＝－a n ＋a n －1∴由题意可知a n －1≠0，a n a n －1＝13， 所以{a n }是公比为13的等比数列． ------ 4分 S 1＝a 1＝12(1－a 1)，a 1＝13.a n ＝13×11()3n -＝1()3n ----- 6分 (2)证明：b n ＝n 1()3n ，设T n ＝1×11()3＋2×21()3＋3×31()3＋…＋n ×1()3n，① ∴13T n ＝1×21()3＋2×31()3＋3×41()3＋…＋n ×11()3n +，② ------ 8分 ①－②，化简得∴T n ＝34－341()3n －3211()3n n +<34. ---- 12分18. (1)证明：连接FO ，四边形ABCD 是菱形，BD AC ∴⊥且O 为AC 的中点，又FA FC =,,BDEF,BDEF AC FO FO BD O FO BD ∴⊥=⊂⊂平面平面 AC BDEF ∴⊥平面 -------- 6分(2) 四边形ABCD 是菱形，60DBF ∠=，DBF ∴∆为等边三角形O 为BD 的中点，OF BD ∴⊥，又AC BD O =OF ABCD ∴⊥平面 ----- 7分,,OA OB OF ∴两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -设2AB =四边形ABCD 是菱形，60DAB ∠=，则 2BD =1,OB OA OF === (0,0,0),(0,1,0),((0,1,0)O A B C F D ∴-(3,1,0),(0,CB BF ∴==-设(,,)n x y z =为平面FBC 的法向量，则有00,00n CB y n BF y ⎧⋅=+=⎪∴⎨⋅=-+=⎪⎪⎩⎩令y =(1,3,1),n ∴=--易知平面FAC 的一个法向量为(0,1,0),m ∴= ---------- 9分 设二面角A FC B --的大小为θ，θ为锐角15cos cos ,n mn m n m θ⋅∴=<>==⋅ 所以二面角A FC B -- ---------- 12分19.解：(1)由频率分布直方图知，成绩在190cm 以上的运动员频率为0.05，所以全体运动员总人数240(0.05a ==人） 乙队中成绩在[)160170，内的运动员人数400.339b =⨯-=（人）---------- 4分 (2) 由频率分布直方图知，乙队成绩在180cm 以上的没有丢失，全体队员中成绩在180cm 以上的共有10人，其中成绩优秀的有6人，设至少有一人成绩优秀的为事件A ，两人成绩均优秀为事件B.则26221062224104210()5P(B )()131C C C P A B A C P A C C C ====-- ---------- 8分 (3) 成绩“优秀”的运动员共6人,甲队4人,乙队2人.随机变量X 所有可能取值为0,1,2.0242261(0)15C C P X C ===,1142268(1)15C C P X C ===,20422662(2)155C C P X C ====------10分 X ∴数学期望812204()1515153E X =+==. -------------12分 20.解: (1)依题意30.OB BOy=∠=设点(,),B x y 则sin 3043,83cos3012,x y ===⋅=所以B 在抛物线上，所以2212,p =⨯所以2p =抛物线的方程为24x y = ----------- 4分 (2) 设点000(,),0,P x y x ≠因为21,42xy x y '== 切线方程0001(),2y y x x x -=-即 20011,24y x x x =- ---------- 6分 由220000411,,22411x x y x x x x y y ⎧-⎧==-⎪⎪⎨⎨⎪⎪=-=-⎩⎩得所以2004(,1),2x Q x -- 设1(0,),M y 所以001(,),MP x y y =-20104(,1),2x MQ y x -=-- ---------- 8分假设以PQ 为直径的圆过点M 则0MP MQ ⋅=，得2200011140,2x y y y y y ---++=又20001,(0)4y x x =≠ 所以联立解得11,y =故以PQ 为直径的圆过y 轴上的定点(0,1)M ---------- 12分21.解: (1) 对()f x 求导得：1()ln(1)1axf x a x b x-'=-++-+，根据条件知(0)0f '=，所以101b b -=⇒=. ----------4分(2) 由(1)得()(1)ln(1)f x ax x x =-+-，01x ≤≤1()ln(1)11axf x a x x-'=-++-+ ()()g x fx '=令 22(1)(1)21()1(1)(1)a a x ax ax a g x x x x -+--++'=-+=-+++. ① 当12a ≤-时，由于01x ≤≤，有221()()0(1)a a x a g x x ++'=-≥+，于是()f x '在[0,1]上单调递增，从而()(0)0f x f ''≥=，因此()f x 在[0,1]上单调递增，即()(0)0f x f ≥=而且仅有(0)0f =； ----------6分②当0a ≥时，由于01x ≤≤，有221()0(1)ax a g x x ++'=-<+，于是()f x '在[0,1]上单调递减，从而()(0)0f x f ''≤=，因此()f x 在[0,1]上单调递减，即()(0)0f x f ≤=而且仅有(0)0f =； ----------8分 ③当102a -<<时，令21min{1,}a m a+=-，当0x m ≤≤时，221()()0(1)a a x a g x x ++'=-≤+，于是()f x '在[0,]m 上单调递减，从而()(0)0f x f ''≤=，因此()f x 在[0,]m 上单调递减，即()(0)0f x f ≤=而且仅有(0)0f =. ----------10分 综上可知，所求实数a 的取值范围是1(,]2-∞-. ----------12分 22.解: （Ⅰ）因为AE 与圆相切于点A ，所以BAE ACB ∠=∠． 因为AB AC ＝，所以ABC ACB ∠=∠，所以ABC BAE ∠=∠，所以AE BC ∥． ---------- 3分 因为BD AC ∥，所以四边形ACBE 为平行四边形． ---------- 5分 （Ⅱ）因为AE 与圆相切于点A ，所以2()AE EB EB BD =⋅+，所以4BE = ，所以4AC = ----------7分 因为AFC ∆与DFB ∆相似得6AC CFBD CF=- 3611CF =----------10分 23.解：(1) 对于曲线1C 有1x y +=，对于曲线2C 有2214x y +=. -------- 5分(2) 显然曲线1C ：1x y +=为直线，则其参数方程可写为21x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（为参数）与曲线2C ：2214x y +=联立，可知0∆>，所以1C 与2C 存在两个交点，由12t t +=，1285t t =，得21||d t t =-==. -----10分24.解：（Ⅰ）由已知可得：4,2()2,224,2x f x x x x ≥⎧⎪=-<<⎨⎪-≤-⎩()2f x ≥的解集为{1}x x ≥. ----------5分(II)由（Ⅰ）知，224x x +--≤；11111()[(1)]24111y yy y y y y y y y -+=++-=++≥---11221x x y y∴+--≤+-. ……………………10分。
黑龙江省2019年高三(上)第三次段考数学试卷(理科)(解析版)
2019年黑龙江省高三（上）第三次段考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U=R，集合A={x|y=，集合B={y|y=2x，x∈R}，则（∁R A）∩B=（）A．{x|x＞2}B．{x|0＜x≤1}C．{x|1＜x≤2}D．{x|x＜0}2．若复数z=，则复数z的模|z|=（）A．B．C．D．53．已知向量=（1，x），=（1，x﹣1），若（﹣2）⊥，则|﹣2 |=（）A．B．C．2 D．4．已知tan（α+β）=，tan（β﹣）=，则tan（α+）的值等于（）A． B． C． D．5．在正项等比数列{a n}中，a1和a19为方程x2﹣10x+16=0的两根，则a8•a10•a12等于（）A．16 B．32 C．64 D．2566．若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx﹣2在x=1处有极值，则ab的最大值（）A．2 B．3 C．6 D．97．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，将该函数的图象向左平移个单位后，得到的图象对应的函数为奇函数，则函数f（x）的图象（）A．关于点（，0）对称B．关于直线x=对称C．关于点（π，0）对称 D．关于直线x=π对称8．若实数t满足f（t）=﹣t，则称t是函数f（x）的一次不动点．设函数f（x）=lnx与函数g（x）=e x（其中e为自然对数的底数）的所有一次不动点之和为m，则（）A．m＜0 B．m=0 C．0＜m＜1 D．m＞19．函数的零点个数为（）A．2 B．3 C．4 D．510．给出下列说法，其中正确的个数是（）①命题“若α=，则sinα=”的否命题是假命题；②命题p：∃x0∈R，使sinx0＞1，则￢p：∀x∈R，sinx≤1；③“φ=+2kπ（k∈Z）”是“函数y=sin（2x+φ）为偶函数”的充要条件；④命题p：“∃x∈（0，）”，使sinx+cosx=”，命题q：“在△ABC 中，若sinA＞sinB，则A＞B”，那么命题（￢p）∧q为真命题．A．1 B．2 C．3 D．411．若G是△ABC的重心，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a+b+c=，则角A=（）A．90°B．60°C．30° D．45°12．数列{a n}满足a1=1，a2=1，，则a9，a10的大小关系为（）A．a9＞a10B．a9=a10C．a9＜a10D．大小关系不确定二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将正确答案填写在横线上．13．若等差数列{a n}的前5项和S n=25，且a2=3，则a4=．14．设（e为自然对数的底数），则的值．15．如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D．测得∠BCD=15°，∠BDC=30°，CD=30米，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB=米．16．已知函数f（x）=x（e x﹣e﹣x）﹣（2x﹣1）（e2x﹣1﹣e1﹣2x），则满足f（x）＞0的实数x的取值范围为．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知向量=（cosωx，sinωx），=（cosωx，cosωx），ω＞0，函数，其最小正周期为π．（1）求函数f（x）的表达式及单调递增区间；（2）在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，S为其面积，=，求a的值．若=1，b=1，S18．等差数列{a n}中，2a1+3a2=11，2a3=a2+a6﹣4，其前n项和为S n．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}满足b n=，其前n项和为T n，求证：T n＜（n ∈N*）．19．如图，正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直，∠ADE=90°，AF∥DE，DE=DA=2AF=2．（Ⅰ）求证：AC∥平面BEF；（Ⅱ）求平面BEF与平面ABCD所成角的正切值．20．在直角坐标平面内，已知点A（2，0），B（﹣2，0），P是平面内一动点，直线PA、PB斜率之积为﹣．（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）过点（，0）作直线l与轨迹C交于E、F两点，线段EF的中点为M，求直线MA的斜率k的取值范围．21．已知函数f（x）=e x﹣ax﹣1（a＞0，e为自然对数的底数）．（1）求函数f（x）的最小值；（2）若f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，求实数a的值；（3）在（2）的条件下，证明：．请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知直线l的参数方程是（t为参数），圆C的极坐标方程为ρ=2cos（θ+）．（Ⅰ）求圆心C的直角坐标；（Ⅱ）由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．设实数a，b满足2a+b=9．（i）若|9﹣b|+|a|＜3，求x的取值范围；（ii）若a，b＞0，且z=a2b，求z的最大值．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U=R，集合A={x|y=，集合B={y|y=2x，x∈R}，则（∁R A）∩B=（）A．{x|x＞2}B．{x|0＜x≤1}C．{x|1＜x≤2}D．{x|x＜0}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】由全集U=R，集合A={x|y=}={x|2x﹣x2≥0}={x|0≤x ≤2}，求出∁R A={x|x＜0，或x＞2}，再由B={y|y=2x，x∈R}={y|y＞0}，能求出（∁R A）∩B．【解答】解：∵全集U=R，集合A={x|y=}={x|2x﹣x2≥0}={x|0≤x≤2}，∴∁R A={x|x＜0，或x＞2}，∵B={y|y=2x，x∈R}={y|y＞0}，∴（∁R A）∩B={x|x＞2}．故选A．2．若复数z=，则复数z的模|z|=（）A．B．C．D．5【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：复数z===，则复数z的模|z|==．故选：B．3．已知向量=（1，x），=（1，x﹣1），若（﹣2）⊥，则|﹣2 |=（）A．B．C．2 D．【考点】平面向量的坐标运算．【分析】向量的坐标运算和向量的数量积求出x的值，再根据向量的模计算即可．【解答】解：∵向量=（1，x），=（1，x﹣1），∴﹣2=（1，x）﹣2（1，x﹣1）=（﹣1，2﹣x），∵（﹣2）⊥，∴（﹣2）•=0，即﹣1+x（2﹣x）=0，解得x=1，∴﹣2=（﹣1，1），∴|﹣2|==，故选：A．4．已知tan（α+β）=，tan（β﹣）=，则tan（α+）的值等于（）A． B． C． D．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】由于α+=（α+β）﹣（β﹣），利用两角差的正切即可求得答案．【解答】解：∵tan（α+β）=，tan（β﹣）=，∴tan（α+）=tan[（α+β）﹣（β﹣）]===．故选：B．5．在正项等比数列{a n}中，a1和a19为方程x2﹣10x+16=0的两根，则a8•a10•a12等于（）A．16 B．32 C．64 D．256【考点】等比数列的性质．【分析】由a1和a19为方程x2﹣10x+16=0的两根，根据韦达定理即可求出a1和a19的积，而根据等比数列的性质得到a1和a19的积等于a102，由数列为正项数列得到a10的值，然后把所求的式子也利用等比数列的性质化简为关于a10的式子，把a10的值代入即可求出值．【解答】解：因为a1和a19为方程x2﹣10x+16=0的两根，所以a1•a19=a102=16，又此等比数列为正项数列，解得：a10=4，则a8•a10•a12=（a8•a12）•a10=a103=43=64．故选C6．若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx﹣2在x=1处有极值，则ab的最大值（）A．2 B．3 C．6 D．9【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求出函数的导数，由极值的概念得到f′（1）=0，即有a+b=6，再由基本不等式即可得到最大值．【解答】解：函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx﹣2的导数f′（x）=12x2﹣2ax ﹣2b，由于函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx﹣2在x=1处有极值，则有f′（1）=0，即有a+b=6，（a，b＞0），由于a+b≥2，即有ab≤（）2=9，当且仅当a=b=3取最大值9．故选D．7．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，将该函数的图象向左平移个单位后，得到的图象对应的函数为奇函数，则函数f（x）的图象（）A．关于点（，0）对称B．关于直线x=对称C．关于点（π，0）对称 D．关于直线x=π对称【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由已知其周期公式可求ω=2，再由f（x）=sin（2x+φ）向左移个单位得f（x）=sin（2x++φ）为奇函数，则有+φ=kπ（k∈Z），|φ|＜，可求φ 代入选项检验．【解答】解：由已知T=，则ω=2，f（x）=sin（2x+φ）向左移个单位得f（x）=sin[2（x+）+φ]=sin（2x++φ）为奇函数，则有： +φ=kπ（k∈Z），∵|φ|＜，∴φ=﹣，可得：f（x）=sin（2x﹣）．代入选项检验，当x=时，f（）=sin=1为函数的最大值，根据三角函数的性质可知对称轴处将取得函数的最值，D正确．故选：D．8．若实数t满足f（t）=﹣t，则称t是函数f（x）的一次不动点．设函数f（x）=lnx与函数g（x）=e x（其中e为自然对数的底数）的所有一次不动点之和为m，则（）A．m＜0 B．m=0 C．0＜m＜1 D．m＞1【考点】函数恒成立问题．【分析】函数y=lnx的图象与直线y=﹣x有唯一公共点（t，﹣t）则有t=﹣ln（﹣t），e x=﹣x⇔x=ln（﹣x）⇔x=﹣t．故两个函数的所有次不动点之和m=t+（﹣t）=0．或利用函数y=lnx的图象与函数y=e x的图象关于直线y=x对称即得出答案．【解答】解：函数y=lnx的图象与直线y=﹣x有唯一公共点（t，﹣t）则有t=﹣ln（﹣t），而e x=﹣x⇔x=ln（﹣x）⇔x=﹣t．故两个函数的所有次不动点之和m=t+（﹣t）=0．（法二）因为函数y=lnx的图象与函数y=e x的图象关于直线y=x对称所以y=lnx与y=﹣x的交点和y=e x与y=﹣x的交点关于y=x对称，从而可得m=0故选B9．函数的零点个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】正切函数的图象；函数的零点与方程根的关系．【分析】将函数零点个数，转化为图象交点的个数，在同一坐标系中画出它们的图象即可得到结论【解答】解：在同一坐标系中画出函数y=3cos，y=log2x+的图象，如图所示，由图象知它们有3个交点，即函数有3个零点．故选B．10．给出下列说法，其中正确的个数是（）①命题“若α=，则sinα=”的否命题是假命题；②命题p：∃x0∈R，使sinx0＞1，则￢p：∀x∈R，sinx≤1；③“φ=+2kπ（k∈Z）”是“函数y=sin（2x+φ）为偶函数”的充要条件；④命题p：“∃x∈（0，）”，使sinx+cosx=”，命题q：“在△ABC 中，若sinA＞sinB，则A＞B”，那么命题（￢p）∧q为真命题．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①，若α≠时，则sinα可能成立；②，命题p：∃x0∈R，使sinx0＞1，则￢p：∀x∈R，sinx≤1；③，“φ=+kπ（k∈Z）”是“函数y=sin（2x+φ）为偶函数”的充要条件；④，命题p：x∈（0，），sinx+cosx=＞1，命题p是假命题，命题q是真命题，【解答】解：对于①，原命题的否命题是：“若α≠，则sinα≠”是假命题，故正确；对于②，命题p：∃x0∈R，使sinx0＞1，则￢p：∀x∈R，sinx≤1，正确；对于③，“φ=+kπ（k∈Z）”是“函数y=sin（2x+φ）为偶函数”的充要条件，故错；对于④，命题p：x∈（0，），sinx+cosx=＞1，∴命题p是假命题，命题q是真命题，那么命题（￢p）∧q为真命题，故正确．故选：C11．若G是△ABC的重心，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a+b+c=，则角A=（）A．90°B．60°C．30° D．45°【考点】余弦定理；平面向量的基本定理及其意义．【分析】G是△ABC的重心，可得=，又a+b+c=，可得a=1，b=1，c=1，利用余弦定理即可得出．【解答】解：∵G是△ABC的重心，∴=，又a+b+c=，∴a=1，b=1，c=1，由余弦定理可得：cosA===．∵A∈（0°，180°）．∴A=30°．故选：C．12．数列{a n}满足a1=1，a2=1，，则a9，a10的大小关系为（）A．a9＞a10B．a9=a10C．a9＜a10D．大小关系不确定【考点】数列递推式．【分析】对n分奇数、偶数，结合特殊角的三角函数值将递推关系式化简，进一步考察数列中项的关系规律，再进行求解比较．【解答】解：当n为偶数时，a n+2=（1+0）a n+4×1=a n+4，偶数项构成以4为公差的等差数列．a10=a2+（5﹣1）×4=1+16=17．当n为奇数时，a n+2=（1+1）a n+4×0=2a n，奇数项构成以2为公比的等比数列．a9=a1•24=1×16=16，所以a9＜a10故选C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将正确答案填写在横线上．13．若等差数列{a n}的前5项和S n=25，且a2=3，则a4=7．【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．【分析】由等差数列{a n}的前5项和S n=25，且a2=3，解得a3=5，d=a3﹣a2=5﹣3=2，由a4=a3+d，能求出结果．【解答】解：∵等差数列{a n}的前5项和S n=25，且a2=3，∴，∴a3=5，d=a3﹣a2=5﹣3=2，∴a4=a3+d=5+2=7．故答案为：7．14．设（e为自然对数的底数），则的值．【考点】定积分；分段函数的解析式求法及其图象的作法．【分析】根据定积分的定义，找出分段函数各自区间的原函数然后代入计算即可．【解答】解：∵，∴=∫01f（x）dx+∫1e f（x）dx=（x3）|01+（lnx）|1e=+1=，故答案为．15．如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D．测得∠BCD=15°，∠BDC=30°，CD=30米，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB=米．【考点】解三角形的实际应用．【分析】先根据三角形的内角和求出∠CBD，再根据正弦定理求得BC，进而在直角三角形ACB中根据∠ACB及BC，进而求得AB．【解答】解：∠CBD=180°﹣∠BCD﹣∠BDC=135°，根据正弦定理，∴BC===15，∴AB=tan∠ACB•CB=×15=15，故答案为15．16．已知函数f（x）=x（e x﹣e﹣x）﹣（2x﹣1）（e2x﹣1﹣e1﹣2x），则满足f（x）＞0的实数x的取值范围为（，1）．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】根据条件构造函数g（x），利用函数的奇偶性和单调性的性质解不等式即可【解答】解：构造函数g（x）=x（e x﹣e﹣x），则g（x）=x（e x﹣e﹣x）为偶函数，且当x＞0时，g（x）单调递增，则由f（x）＞0，得x（e x﹣e﹣x）＞（2x﹣1）（e2x﹣1﹣e1﹣2x），即g（x）＞g（2x﹣1），∴不等式等价为g（|x|）＞g（|2x﹣1|），即|x|＞|2x﹣1|，即x2＞（2x﹣1）2，∴3x2﹣4x+1＜0，解得：＜x＜1，故答案为：（，1）．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知向量=（cosωx，sinωx），=（cosωx，co sωx），ω＞0，函数，其最小正周期为π．（1）求函数f（x）的表达式及单调递增区间；（2）在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，S为其面积，=，求a的值．若=1，b=1，S【考点】正弦定理；平面向量数量积的运算．【分析】（1）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，整理即可表示出f（x）解析式，利用正弦函数的单调性确定出f（x）的递增区间即可；（2）由f（）=1以及（1）确定出的解析式，求出A的度数，利用三角形面积公式列出关系式，把b，sinA，以及已知面积代入求出c 的值，再利用余弦定理即可求出a的值．【解答】解：（1）∵=（cosωx，sinωx），=（cosωx，cosωx），ω＞0，∴函数f（x）=•﹣=cos2ωx+sinωxcosωx﹣=（1+cos2ωx）+sin2ωx﹣=sin（2ωx+），∵T=π，∴ω=1，∴f（x）=sin（2x+），令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，得到﹣+kπ≤x≤+kπ，k ∈Z，则f（x）的增区间为[﹣+kπ， +kπ]（k∈Z）；（2）由f（）=sin（A+）=1，得到A+=，即A=，=bcsinA=，b=1，∵S∴c=4，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=1+16﹣4=13，则a=．18．等差数列{a n}中，2a1+3a2=11，2a3=a2+a6﹣4，其前n项和为S n．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}满足b n=，其前n项和为T n，求证：T n＜（n ∈N*）．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，运用等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求；（Ⅱ）运用等差数列的求和公式，求得S n=n2，b n==（﹣），由数列的求和方法：裂项相消求和，计算化简，再由不等式的性质，即可得证．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，因为2a1+3a2=11，2a3=a2+a6﹣4，可得2a1+3（a1+d）=5a1+3d=11，2（a1+2d）=a1+d+a1+5d﹣4，得d=2，a1=1，所以a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1．（Ⅱ）证明：S n=na1+n（n﹣1）d=n+n（n﹣1）×2=n2，b n====（﹣），前n项和为T n=（1﹣+﹣+﹣+…+﹣+﹣）=（1+﹣﹣﹣）=﹣（+）＜．即有T n＜（n∈N*）．19．如图，正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直，∠ADE=90°，AF∥DE，DE=DA=2AF=2．（Ⅰ）求证：AC∥平面BEF；（Ⅱ）求平面BEF与平面ABCD所成角的正切值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）设AC∩BD=O，取BE中点G，连接FG，OG，由已知条件推导出四边形AFGO是平行四边形，由此能够证明AC∥平面BEF．（Ⅱ）以D为原点，以DA为x轴，以DC为y轴，以DE为z轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面ABCD的法向量和平面BEF的法向量，利用向量法能结合三角函数知识能求出平面BEF与平面ABCD所成角的正切值．【解答】（Ⅰ）证明：设AC∩BD=O，取BE中点G，连接FG，OG∴OG∥DE，且OG=DE．∵AF∥DE，DE=2AF，∴AF∥OG，且OG=AF，∴四边形AFGO是平行四边形，FG∥OA．∴FG⊂平面BEF，AO⊄平面BEF，∴AO∥平面BEF，即AC∥平面BEF．…（Ⅱ）解：∵正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直，∠ADE=90°，∴以D为原点，以DA为x轴，以DC为y轴，以DE为z轴，建立空间直角坐标系，∵DE=DA=2AF=2，∴B（2，2，0），E（0，0，2），F（2，0，1），D（0，0，0），设平面BEF的一个法向量为=（x，y，z），则，令x=1，则y=1，z=2，=（1，1，2），设平面ABCD与平面BEF所成二面角的平面角为α，由条件知α是锐角平面ABCD的法向量可取为（0，0，1），所以cosα=|=，所以tanα=即为所求．20．在直角坐标平面内，已知点A（2，0），B（﹣2，0），P是平面内一动点，直线PA、PB斜率之积为﹣．（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）过点（，0）作直线l与轨迹C交于E、F两点，线段EF的中点为M，求直线MA的斜率k的取值范围．【考点】轨迹方程；直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）设P点的坐标为（x，y），依题意，有．由此可知动点P的轨迹C的方程．（Ⅱ）依题意，可设直线l的方程为，由方程组消去x，并整理得4（3m2+4）y2+12my﹣45=0，由此入手可推导出直线MA 的斜率k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设P点的坐标为（x，y），依题意，有．化简并整理，得．∴动点P的轨迹C的方程是．（Ⅱ）依题意，直线l过点且斜率不为零，故可设其方程为，由方程组消去x，并整理得4（3m2+4）y2+12my﹣45=0设E（x1，y1），F（x2，y2），M（x0，y0），则∴，∴∴，∴，①当m=0时，k=0；②当m≠0时，∵，∴0．∴．∴且k≠0．综合①②可知直线MA的斜率k的取值范围是：﹣．21．已知函数f（x）=e x﹣ax﹣1（a＞0，e为自然对数的底数）．（1）求函数f（x）的最小值；（2）若f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，求实数a的值；（3）在（2）的条件下，证明：．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；导数的运算．【分析】（1）求导函数，确定函数的单调性，从而可得f（x）在x=lna 处取得极小值，且为最小值；（2）f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，即在x∈R上，f（x）min≥0．由（1），构造函数g（a）=a﹣alna﹣1，所以g（a）≥0，确定函数的单调性，即可求得实数a的值；（3）由（2）知，对任意实数x均有e x﹣x﹣1≥0，即1+x≤e x，令（n∈N*，k=0，1，2，3，…，n﹣1），可得，从而有，由此即可证得结论．【解答】（1）解：由题意a＞0，f′（x）=e x﹣a，由f′（x）=e x﹣a=0得x=lna．当x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）＜0；当x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0．∴f（x）在（﹣∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）单调递增．即f（x）在x=lna处取得极小值，且为最小值，其最小值为f（lna）=e lna﹣alna﹣1=a﹣alna﹣1．（2）解：f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，即在x∈R上，f（x）min ≥0．由（1），设g（a）=a﹣alna﹣1，所以g（a）≥0．由g′（a）=1﹣lna﹣1=﹣lna=0得a=1．∴g（a）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减，∴g（a）在a=1处取得最大值，而g（1）=0．因此g（a）≥0的解为a=1，∴a=1．（3）证明：由（2）知，对任意实数x均有e x﹣x﹣1≥0，即1+x≤e x．令（n∈N*，k=0，1，2，3，…，n﹣1），则．∴．∴=．请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知直线l的参数方程是（t为参数），圆C的极坐标方程为ρ=2cos（θ+）．（Ⅰ）求圆心C的直角坐标；（Ⅱ）由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（I）先利用三角函数的和角公式展开圆C的极坐标方程的右式，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得圆C的直角坐标方程，从而得到圆心C的直角坐标．（II）欲求切线长的最小值，转化为求直线l上的点到圆心的距离的最小值，故先在直角坐标系中算出直线l上的点到圆心的距离的最小值，再利用直角三角形中边的关系求出切线长的最小值即可．【解答】解：（I）∵，∴，∴圆C的直角坐标方程为，即，∴圆心直角坐标为．（II）∵直线l的普通方程为，圆心C到直线l距离是，∴直线l上的点向圆C引的切线长的最小值是[选修4-5：不等式选讲]23．设实数a，b满足2a+b=9．（i）若|9﹣b|+|a|＜3，求x的取值范围；（ii）若a，b＞0，且z=a2b，求z的最大值．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（i）由题意可得|9﹣b|=2|a|，不等式|9﹣b|+|a|＜3可化为|a|＜1，由此解得a的范围．（ii）因为a，b＞0，2a+b=9，再根据z=a2b=a•a•b，利用基本不等式求得它的最大值．【解答】解：（i）由2a+b=9得9﹣b=2a，即|9﹣b|=2|a|．所以|9﹣b|+|a|＜3可化为3|a|＜3，即|a|＜1，解得﹣1＜a＜1．所以a的取值范围﹣1＜a＜1．（ii）因为a，b＞0，2a+b=9，所以，当且仅当a=b=3时，等号成立．故z的最大值为27．…。
黑龙江省齐齐哈尔市2019-2020学年高考数学三模试卷含解析
黑龙江省齐齐哈尔市2019-2020学年高考数学三模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{|4},{|2,}A x N y x B x x n n Z =∈=-==∈,则A B =I （ ）A ．[0,4]B ．{0,2,4}C ．{2,4}D ．[2,4]【答案】B 【解析】 【分析】计算{}0,1,2,3,4A =，再计算交集得到答案 【详解】{}{|4}0,1,2,3,4A x N y x =∈=-=,{|2,}B x x n n Z ==∈表示偶数，故{0,2,4}A B =I . 故选：B . 【点睛】本题考查了集合的交集，意在考查学生的计算能力.2．空气质量指数AQI 是反映空气状况的指数，AQI 指数值趋小，表明空气质量越好，下图是某市10月1日-20日AQI 指数变化趋势，下列叙述错误的是（ ）A ．这20天中AQI 指数值的中位数略高于100B ．这20天中的中度污染及以上（AQI 指数>150）的天数占14C ．该市10月的前半个月的空气质量越来越好D ．总体来说，该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好 【答案】C 【解析】【分析】结合题意，根据题目中的20天的AQI 指数值，判断选项中的命题是否正确. 【详解】对于A ，由图可知20天的AQI 指数值中有10个低于100，10个高于100，其中第10个接近100，第11个高于100，所以中位数略高于100，故A 正确.对于B ，由图可知20天的AQI 指数值中高于150的天数为5，即占总天数的14，故B 正确. 对于C ，由图可知该市10月的前4天的空气质量越来越好，从第5天到第15天空气质量越来越差，故C 错误.对于D ，由图可知该市10月上旬大部分指数在100以下，中旬大部分指数在100以上，所以该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好，故D 正确. 故选：C 【点睛】本题考查了对折线图数据的分析，读懂题意是解题关键，并能运用所学知识对命题进行判断，本题较为基础.3．若[]x 表示不超过x 的最大整数(如[]2.52=，[]44=，[]2.53-=-)，已知2107n n a ⎡⎤=⨯⎢⎥⎣⎦，11b a =，()*110,2n n n b a a n n -=-∈≥N ，则2019b =（ ）A ．2B ．5C ．7D ．8【答案】B 【解析】 【分析】求出1b ，2b ，3b ，4b ，5b ，6b ，判断出{}n b 是一个以周期为6的周期数列，求出即可． 【详解】解：2107n n a ⎡⎤=⨯⎢⎥⎣⎦.*111(102)n n n b a b a a n n --∈≥N ＝，＝，，∴112027[]a b ＝＝＝，2200[287]a ＝＝， 2281028b -⨯＝＝，同理可得：332855a b ＝，＝；4428577a b ＝，＝；55285711a b ＝，＝.662857144a b ＝，＝；72857142a ＝，72b ＝，…….∴6n n b b +＝.故{}n b 是一个以周期为6的周期数列，则20196336335b b b ⨯+＝＝＝. 故选：B. 【点睛】本题考查周期数列的判断和取整函数的应用．4．某四棱锥的三视图如图所示，记S 为此棱锥所有棱的长度的集合，则（ ）A ．2223S S ，且B ．2223S S ，且C ．2223S S ，且D ．2223S S ，且 【答案】D 【解析】 【分析】如图所示：在边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，四棱锥1C ABCD -满足条件，故{}2,22,23S =，得到答案.【详解】如图所示：在边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，四棱锥1C ABCD -满足条件. 故12AB BCCD AD CC =====，1122BC DC ==，123AC =故{}2,22,23S =，故2S ，23S .故选：D .【点睛】本题考查了三视图，元素和集合的关系，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.5．给出以下四个命题：①依次首尾相接的四条线段必共面；②过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；③空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角必相等；④垂直于同一直线的两条直线必平行.其中正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】【分析】用空间四边形对①进行判断；根据公理2对②进行判断；根据空间角的定义对③进行判断；根据空间直线位置关系对④进行判断.【详解】①中，空间四边形的四条线段不共面，故①错误.②中，由公理2知道，过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，故②正确.③中，由空间角的定义知道，空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故③错误.④中，空间中，垂直于同一直线的两条直线可相交，可平行，可异面，故④错误.故选：B【点睛】本小题考查空间点，线，面的位置关系及其相关公理，定理及其推论的理解和认识；考查空间想象能力，推理论证能力，考查数形结合思想，化归与转化思想.6．在正方体1AC 中，E 是棱1CC 的中点，F 是侧面11BCC B 内的动点，且1A F 与平面1D AE 的垂线垂直，如图所示，下列说法不正确．．．的是（ ）A ．点F 的轨迹是一条线段B ．1A F 与BE 是异面直线C ．1A F 与1DE 不可能平行 D ．三棱锥1F ABD -的体积为定值【答案】C 【解析】 【分析】分别根据线面平行的性质定理以及异面直线的定义，体积公式分别进行判断． 【详解】对于A ，设平面1AD E 与直线BC 交于点G ，连接AG 、EG ，则G 为BC 的中点 分别取1B B 、11B C 的中点M 、N ，连接AM 、MN 、AN ，11//A M D E Q ，1A M ⊂/平面1D AE ，1D E ⊂平面1D AE ， 1//A M ∴平面1D AE ．同理可得//MN 平面1D AE ， 1A M Q 、MN 是平面1A MN 内的相交直线∴平面1//A MN 平面1D AE ，由此结合1//A F 平面1D AE ，可得直线1A F ⊂平面1A MN ，即点F 是线段MN 上上的动点．A ∴正确．对于B ，Q 平面1//A MN 平面1D AE ，BE 和平面1D AE 相交， 1A F ∴与BE 是异面直线，B ∴正确．对于C ，由A 知，平面1//A MN 平面1D AE ，1A F ∴与1D E 不可能平行，C ∴错误．对于D ，因为//MN EG ，则F 到平面1AD E 的距离是定值，三棱锥1F AD E -的体积为定值，所以D 正确； 故选：C ． 【点睛】本题考查了正方形的性质、空间位置关系、空间角、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．设1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左，右焦点，O 是坐标原点，过点2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P．若1PF =，则C 的离心率为（ ） ABC ．2D ．3【答案】B 【解析】 【分析】设过点()2,0F c 作b y x a =的垂线，其方程为()a y x c b =--，联立方程，求得2a x c=，ab y c =，即2,a ab P c c ⎛⎫⎪⎝⎭，由1PF =，列出相应方程，求出离心率. 【详解】解：不妨设过点()2,0F c 作b y x a =的垂线，其方程为()ay x c b=--， 由()b y x a a y xc b ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩解得2a x c =，ab y c =，即2,a ab P c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由1PF OP =，所以有22224222226a b a a a b c c c cc ⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 化简得223a c =，所以离心率==ce a． 故选：B. 【点睛】本题主要考查双曲线的概念、直线与直线的位置关系等基础知识，考查运算求解、推理论证能力，属于中档题．8．已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos2tan 1sin 2βαβ=-，则（ ）A ．22παβ+=B ．4παβ+=C ．4αβ-=π D ．22παβ+=【答案】C 【解析】 【分析】利用二倍角公式,和同角三角函数的商数关系式,化简可得cos 2tan tan 1sin 24βπαββ⎛⎫==+ ⎪-⎝⎭,即可求得结果. 【详解】2222cos 2cos sin 1tan tan tan 1sin 2cos sin 2sin cos 1tan 4ββββπαβββββββ-+⎛⎫====+ ⎪-+--⎝⎭，所以4παβ=+，即4αβ-=π. 故选:C. 【点睛】本题考查三角恒等变换中二倍角公式的应用和弦化切化简三角函数,难度较易.9．已知整数,x y 满足2210x y +≤，记点M 的坐标为(,)x y ，则点M 满足x y +≥的概率为（ ）A ．935B ．635C ．537D ．737【答案】D 【解析】 【分析】列出所有圆内的整数点共有37个，满足条件的有7个，相除得到概率. 【详解】因为,x y 是整数，所以所有满足条件的点(,)M x y 是位于圆2210x y +=（含边界）内的整数点，满足条件2210x y +≤的整数点有(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),±±±±(2,0),(3,0),(1,1),(2,1),(3,1),(1,2),(2,2),(1,3)±±±±±±±±±±±±±±共37个，满足x y +≥7个，则所求概率为737. 故选：D .【点睛】本题考查了古典概率的计算，意在考查学生的应用能力.10．在ABC ∆中，2AB =，3AC =，60A ∠=︒，O 为ABC ∆的外心，若AO x AB y AC =+u u u r u u u r u u u r，x ，y R ∈，则23x y +=（ ） A ．2 B ．53C ．43D ．32【答案】B 【解析】 【分析】首先根据题中条件和三角形中几何关系求出x ，y ，即可求出23x y +的值. 【详解】如图所示过O 做三角形三边的垂线，垂足分别为D ，E ，F ， 过O 分别做AB ，AC 的平行线NO ，MO ，由题知222294cos 607212AB AC BC BC BC AB AC +-++︒==⇒=⋅⋅则外接圆半径212sin 603BC r ==⋅︒， 因为⊥OD AB ，所以22212319OD AO AD =-=-=， 又因为60DMO ∠=︒，所以2133DM AM =⇒=，43MO AN ==， 由题可知AO xAB y AC AM AN =+=+u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r，所以16AM x AB ==，49AN y AC ==，所以5233x y +=. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了三角形外心的性质，正弦定理，平面向量分解定理，属于一般题.11．抛物线24y x =的焦点为F ，点(,)P x y 为该抛物线上的动点，若点(1,0)A -，则PFPA的最小值为（ ）A ．12B ．2C ．2D ．3【答案】B 【解析】 【分析】通过抛物线的定义，转化PF PN =，要使||||PF PA 有最小值，只需APN ∠最大即可，作出切线方程即可求出比值的最小值． 【详解】解：由题意可知，抛物线24y x =的准线方程为1x =-，(1,0)A -，过P 作PN 垂直直线1x =-于N ，由抛物线的定义可知PF PN =，连结PA ，当PA 是抛物线的切线时，||||PF PA 有最小值，则APN ∠最大，即PAF ∠最大，就是直线PA 的斜率最大，设在PA 的方程为：(1)y k x =+，所以2(1)4y k x y x =+⎧⎨=⎩，解得：2222(24)0kx k x k -++=，所以224()2440k k ∆=--=，解得1k =±， 所以45NPA ∠=︒，||cos ||2PF NPA PA =∠=． 故选：B ．【点睛】本题考查抛物线的基本性质，直线与抛物线的位置关系，转化思想的应用，属于基础题．12．下图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥．在圆内随机取一点，则该点取自阴影区域内（阴影部分由四条四分之一圆弧围成）的概率是（ ）A ．12B ．13C ．41π- D ．42π-【答案】C 【解析】令圆的半径为1，则()22'41S P S ππππ--===-，故选C ． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019届黑龙江省高三下三模理科数学试卷【含答案及解析】
2019届黑龙江省高三下三模理科数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________题号一二三四五总分得分一、选择题1. 已知集合 , ，则集合（）A．___________ B．或___________ C．___________ D．2. 已知复数，则复数所对应的点在（）A．第一象限___________ B．第二象限___________ C．第三象限___________ D．第四象限3. 对于函数，命题“ ”是“ 是奇函数”的（）A．充分非必要条件___________ B．必要非充分条件C．充分必要条件_________________________ D．既非充分又非必要条件4. 已知是边长为4的等边三角形，则的斜二测直观图的面积为（）A．_________________ B．_________________ C．___________________ D．5. 执行如下图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．1___________________ B． _________ C．______________________ D．06. 设满足约束条件：，则的最小值为（）A．0______________________ B．1 ________________________ C．2 ____________________________ D．37. 已知为等差数列，则下列各式一定成立的是（）A．_______________________ B．C．_________________________ D．8. 已知双曲线的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且仅有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A．___________________ B．________________ C．_________________ D．9. 已知一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体外接球体积与该几何体的体积比为（）A． B．________ C．________D．10. 从抛物线的准线上一点引抛物线的两条切线、，，为切点，若直线的倾斜角为，则点的纵坐标为（）A．________________ B． _________ C．_________ D．11. 已知函数，把函数的零点从小到大的顺序排成一列，依次为，则与大小关系为（）A． B． ________ C．D．无法确定二、填空题12. 哈三中高三一模理科参加数学考试学生共有1016人，分数服从，则估计分数高于105分的人数为______________________________ .三、选择题13. 已知向量，的夹角为，，，则______________________________ .四、填空题14. 已知，，现向集合所在区域内投点，则该点落在集合所在区域内的概率为______________________________ .15. 在中，角的对边分别为，若，边的中线长为1，则的最小值为______________________________ .五、解答题16. 已知各项均不为0的等差数列前项和为，满足，，数列满足， .（1）求数列，的通项公式；（2）设，求数列的前项和 .17. 某网络营销部门为了统计某市网友 2015年11月11日在某网店的网购情况，随机抽查了该市100名网友的网购金额情况，得到如下频率分布直方图.（1）估计直方图中网购金额的中位数；（2）若规定网购金额超过15千元的顾客定义为“网购达人”，网购金额不超过15千元的顾客定义为“非网购达人”；若以该网店的频率估计全市“非网购达人”和“网购达人”的概率，从全市任意选取3人，则3人中“非网购达人”与“网购达人”的人数之差的绝对值为，求的分布列与数学期望.18. 已知四边形为矩形，，，且平面，点为上的点，且平面，点为中点.（1）求证：平面；（2）求与平面所成线面角的正弦值.19. 已知椭圆：，斜率为的动直线与椭圆交于不同的两点、 .（1）设为弦的中点，求动点的轨迹方程；（2）设、为椭圆的左、右焦点，是椭圆在第一象限上一点，满足，求面积的最大值.20. 已知函数，，， .（1）当时，判断的单调性；（2）若恒成立，求实数的取值集合.21. 如图所示，为以为直径的圆的切线，为切点，为圆周上一点，，直线交的延长线于点 .（1）求证：直线是圆的切线；（2）若，，求线段的长.22. 已知曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 .（1）分别写出的普通方程，的直角坐标方程；（2）已知点，曲线与曲线的交点为，求 .23. 已知函数 .（1）求函数的最小值；（2）当时，求证： .参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】。
黑龙江省齐齐哈尔市2019-2020学年高考数学三月模拟试卷含解析
黑龙江省齐齐哈尔市2019-2020学年高考数学三月模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．23B ．13C ．43D ．56【答案】A 【解析】 【分析】利用已知条件画出几何体的直观图，然后求解几何体的体积． 【详解】几何体的三视图的直观图如图所示，则该几何体的体积为：1211233⨯⨯⨯=． 故选：A ． 【点睛】本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键．2．设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b m ⊥则“αβ⊥”是“a b ⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．即不充分不必要条件【答案】A 【解析】【分析】 【详解】试题分析：α⊥β， b ⊥m 又直线a 在平面α内，所以a ⊥b ，但直线不一定相交，所以“α⊥β”是“a ⊥b”的充分不必要条件，故选A. 考点：充分条件、必要条件.3．已知集合{}10A x x =+≤，{|}B x x a =≥，若A B R =U ，则实数a 的值可以为（ ） A ．2 B ．1C ．0D ．2-【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得{|1}A x x =≤-，根据A B R =U ，即可得出1a ≤-，从而求出结果． 【详解】{|},1{|}A x x B x x a =≤-=≥Q ，且A B R =U ，1a ∴≤-，∴a 的值可以为2-． 故选：D ． 【点睛】考查描述法表示集合的定义，以及并集的定义及运算．4．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，22a =且对于任意1n >，*n N ∈满足()1121n n n S S S +-+=+，则（ ） A ．47a = B ．16240S =C ．1019a =D ．20381S =【答案】D 【解析】 【分析】利用数列的递推关系式判断求解数列的通项公式，然后求解数列的和，判断选项的正误即可． 【详解】当2n …时，111112(1)22n n n n n n n n n S S S S S S S a a +-+-++=+⇒-=-+⇒=+． 所以数列{}n a 从第2项起为等差数列，1,122,2n n a n n =⎧=⎨-⎩…，所以，46a =，1018a =． 21()(1)(1)12n n a a n S a n n +-=+=-+，1616151241S =⨯+=，2020191381S =⨯+=．故选：D ． 【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用、数列求和以及数列的通项公式的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题． 5．函数()sin x y x-=（[),0x π∈-或(]0,x π∈）的图象大致是（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】确定函数的奇偶性，排除两个选项，再求x π=时的函数值，再排除一个，得正确选项． 【详解】 分析知，函数()sin x y x-=（[),0x π∈-或(]0,x π∈）为偶函数，所以图象关于y 轴对称，排除B ，C ，当x π=时，sin 0xx=，排除D ， 故选：A ． 【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象，解题时可通过研究函数的性质，如奇偶性、单调性、对称性等，研究特殊的函数的值、函数值的正负，以及函数值的变化趋势，排除错误选项，得正确结论．6．如图，抛物线M ：28y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线M 交于A ，B 两点，若直线l 与以F 为圆心，线段OF （O 为坐标原点）长为半径的圆交于C ，D 两点，则关于AC BD ⋅值的说法正确的是（ ）A ．等于4B ．大于4C ．小于4D ．不确定【答案】A 【解析】 【分析】利用F 的坐标为()2,0，设直线l 的方程为20x my --=，然后联立方程得282y xmy x ⎧=⎨=-⎩，最后利用韦达定理求解即可 【详解】据题意，得点F 的坐标为()2,0.设直线l 的方程为20x my --=，点A ，B 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y .讨论：当0m =时，122x x ==；当0m ≠时，据282y x my x ⎧=⎨=-⎩，得()228440x m x -++=，所以124x x =，所以()()22AC BD AF BF ⋅=-⋅-()()121222224x x x x =+-⋅+-==. 【点睛】本题考查直线与抛物线的相交问题，解题核心在于联立直线与抛物线的方程，属于基础题7．在ABC V 中，12BD DC =u u u v u u u v ，则AD uuu v=（ ）A ．1344+AB AC u u u v u u u v B ．21+33AB AC u u uv u u u vC ．12+33AB AC u u uv u u u v D ．1233AB AC -u u u v u u u v【答案】B 【解析】 【分析】在,AB AC 上分别取点E F 、,使得12,2AE EB AF FC ==u u u r u u u r u u u r u u u r,可知AEDF 为平行四边形，从而可得到2133AD AE AF AB AC u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r=+=+，即可得到答案．【详解】如下图，12BD DC =u u u r u u u r ，在,AB AC 上分别取点E F 、,使得12,2AE EB AF FC ==u u u r u u u r u u u r u u u r,则AEDF 为平行四边形，故2133AD AE AF AB AC u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r=+=+,故答案为B.【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，考查了学生逻辑推理能力，属于基础题．8．在区间[1,1]-上随机取一个数k ，使直线(3)y k x =+与圆221x y +=相交的概率为（ ）A ．12B ．13C ．24D ．23【答案】C 【解析】 【分析】根据直线与圆相交，可求出k 的取值范围，根据几何概型可求出相交的概率. 【详解】因为圆心(0,0)，半径1r =，直线与圆相交，所以211d k =≤+，解得22k ≤≤所以相交的概率2222P ==,故选C.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，几何概型，属于中档题.9．已知集合{}}242{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ⋂=A ．}{43x x -<<B ．}{42x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<【答案】C 【解析】 【分析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题． 【详解】由题意得，{}{}42,23M x x N x x =-<<=-<<，则{}22M Nx x ⋂=-<<．故选C ．【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．10．一艘海轮从A 处出发，以每小时24海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是（ ）A ．62海里B ．63海里C ．82海里D ．83海里【答案】A 【解析】 【分析】先根据给的条件求出三角形ABC 的三个内角，再结合AB 可求，应用正弦定理即可求解. 【详解】由题意可知：∠BAC ＝70°﹣40°＝30°.∠ACD ＝110°，∴∠ACB ＝110°﹣65°＝45°， ∴∠ABC ＝180°﹣30°﹣45°＝105°.又AB ＝24×0.5＝12.在△ABC 中，由正弦定理得4530AB BCsin sin =︒︒，1222BC=，∴62BC =故选：A. 【点睛】本题考查正弦定理的实际应用，关键是将给的角度、线段长度转化为三角形的边角关系，利用正余弦定理求解.属于中档题.11．若复数z 满足(1)34i z i +=+，则z 的虚部为（ ）A ．5B ．52C ．52-D ．-5【答案】C 【解析】 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】由（1+i ）z ＝|3+4i|5==， 得z ()()()5155511122i i i i i -===-++-， ∴z 的虚部为52-． 故选C ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 12．已知等差数列{}n a 中，468a a +=则34567a a a a a ++++=（ ） A ．10 B ．16C ．20D ．24【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列性质得到46582a a a +==，再计算得到答案. 【详解】已知等差数列{}n a 中，4655824a a a a +==⇒=345675520a a a a a a ++++==故答案选C 【点睛】本题考查了等差数列的性质，是数列的常考题型. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019年黑龙江省高考理科数学模拟试题与答案 (三)
2019年黑龙江省高考理科数学模拟试题与答案（三）考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分；满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．复数1(iz i a i+=-是虚数单位，a R ∈）是纯虚数，则z 的虚部为 A ．12B ．iC ．2D ．2i 2．给出以下三种说法：①命题“2000,13x R x x ∃∈+>”的否定是“2,13x R x x ∀∈+<”；②已知,p q 为两个命题，若p q ∨为假命题，则()()p q ⌝∧⌝为真命题； ③命题“,a b 为直线，α为平面，若//,//,a b αα，则//a b ”为真命题． 其中正确说法的个数为 A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个3. 设537535714(),(),log 755a b c -===，则c b a ,,的大小关系是A ．c a b <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．a b c <<4. 某四棱锥的三视图如右图所示,则该四棱锥的 体积等于A.34 B. 23 C.12 D. 135. 已知3sin 45πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，则3sin 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭A.45 B. 45- C. 35 D. 35- 6. 执行如右图所示的程序框图，输出的s 值为A. 12B. 56C. 76D.7127．已知函数()f x =的值域为A ，且,a b A ∈，直线()()2212x y x a y b +=-+-=与圆有交点的概率为 A ．18B ．38C.78D.148．已知实数y x ,满足⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥--≥≤x y x y x y 32)1(32，则1+x y 的最大值为A ．52 B ．92 C ．136 D ．219．上海某小学组织6个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的6个博物馆，每个年级任选一个博 物馆参观，则有且只有两个年级选择甲博物馆的方案有A ．4526A A ⨯种B ．⨯26A 54种 C ．4526A C ⨯种D ．⨯26C 54种 10．将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向右平移6π个单位，得到函数()g x 的图像，则下列说法不．正确．．的是 A ．()g x 的周期为πB．6g π⎛⎫=⎪⎝⎭ C ．()3x g x π=是的一条对称轴 D ．()g x 为奇函数11.设函数)(x f 满足)1()1(x f x f -=+，且)(x f 是),1[+∞上的增函数，则),6.0(32f a =),7.0(32f b =)7.0(31f c =的大小关系是A ．a b c >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．c b a >>12．正方形ABCD 的四个顶点都在椭圆22221x y a b+=上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是 A．1(0,)2 B．1,1)2 C ．1,1)2 D ．1(0,)2第II 卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题（本大题共4小题,每题5分.）13. 已知数列{}n a 为等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，n N *∈，若218a =，1854S =，则17a =______，n S = ．14．地铁某换乘站设有编号为 A ，B ，C ，D ，E 的五个安全出口．若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下：则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是____． D 15．若()20182201812201801220182201831,333a a a x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+=则__________. 16．如右图是3世纪我国汉代的赵爽在注解周髀算经时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，，阴影部分是由四个全等的直角三角形组成的图形, 在 大正方形内随机取一点, 这一点落在小正方形内的概率为31,若直角三 角形的两条直角边的长分别为)(,b a b a >,则=ab. 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题12分）在△ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos2cos 0B B +=． （Ⅰ）求角B 的值；（Ⅱ）若b =5a c +=，求△ABC 的面积．18．（本小题共12分）如图，四边形ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，EB //PA ，4AB PA ==，2EB =，F 为PD 的中点．（Ⅰ）求证：AF PC ⊥； （Ⅱ）求证：BD //平面PEC ； （Ⅲ）求二面角D PC E --的大小．19．（本小题共12分）下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y （单位：亿元）的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型．根 据2000年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为1217，，…，）建立模型①：ˆ30.413.5y t =-+；根据2010年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为127，，…，）建立模型②：ˆ9917.5y t =+． （1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．20．（本小题共12分）在平面直角坐标系xOy 中，点F 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个焦点,点)3,0(1-B 为C 的一个顶点, 31π=∠OFB .(1)求C 的标准方程;(2)若点()00,M x y 在C 上,则点00,x y N a b ⎛⎫⎪⎝⎭称为点M 的一个“椭点”.直线:l y kx m =+与C 相交于A ,B 两点,且,A B 两点的“椭点”分别为,P Q ,以PQ 为直径的圆经过点O ,求AOB ∆的面积.21．(本小题满分12分)若对任意实数,k b 都有函数()y f x kx b =++的图象与直线y kx b =+相切，则称函数()f x 为“恒切函数”．设函数()xg x ae x pa =--，,a p R ∈． （1）讨论函数()g x 的单调性； （2）已知函数()g x 为“恒切函数”．①求实数p 的取值范围；②当p 取最大值时，若函数()()xh x g x e m =-也为“恒切函数”，求证：3016m ≤<． （参考数据：320e ≈）请从下面所给的22、23题中任选一题作答，如果多做，则按做的第一题计分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2,2x t y t⎧=⎨=⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为5cos ρθ=． （1）写出曲线1C 的极坐标方程和2C 的直角坐标方程；（2）记曲线1C 和2C 在第一象限内的交点为A ，点B 在曲线1C 上，且2AOB π∠=，求A O B ∆的面积．23.选修4—5：不等式选讲（10分） 已知函数()|1|f x x =-.(1)解不等式()()246f x f x ++≥；(2)若,a b ∈R ，||1,||1a b <<，证明：()()1f ab f a b >-+。
黑龙江省齐齐哈尔市高考数学三模试卷(理科)解析版
高考数学三模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2-4x-5＜0}，B={1，2，3，4，5}，则A∩B=（）A. {1，2，3，4}B. {2，3}C. {3，4}D. {4，5}2.若复数z的共轭复数为（3-i）i，则=（）A. 1-2iB. 1+2iC. 2-iD. 2+i3.已知{a n}为等比数列，S n为其前n项和，若S6=-7S3，a2+a4=10，则a1=（）A. 3B. -1C. 2D. -24.若x，y满足，若z=2x-3y有最小值为-7，则z的最大值是（）A. 7B. 14C. 18D. 205.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有仓，广三丈，袤四丈五尺，容粟一万斛，问高几何？”其意思为：“今有一个长方体的粮仓，宽3丈，长4丈5尺，可装粟一万斛．问该粮仓的高是多少？已知1斛粟的体积为2.7立方尺，1丈为10尺，则该粮仓的外接球的表面积是（）A. 平方丈B. 平方丈C. 平方丈D. 平方丈6.如图所示的程序框图，若输入的a的值为15，则输出的结果是（）A. 84B. 120C. 162D. 2107.已知f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x＜1时，f（x）=，若f（）=-，则f（1）+f（）=（）A. B. C. D.8.设x=-是函数f（x）=ln（x+2）-ax2-3a2x的极小值点，则f（x）的极大值为（）A. 2B. 1C.D.9.已知函数f（x）=（1-2sin2x）sin（）-2sin x cosxcos（-θ）（）在[-]上单调递增，且f（）≤m，则实数m的取值范围为（）A. [，+∞）B. [，+∞）C. [1，+∞）D. [，+∞）10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别为AA1，CC1，BC的中点，则直线B1G与平面B1EDF所成角的正弦值为（）A. B. C. D.11.设抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，且l与x轴的交点为P，过P的直线与C交于A，B两点，以AB为直径的圆过点F，则|AB|=（）A. 4B. 4C. 3D. 612.在△ABC中，D是BC中点，E是AD中点，BE=1，点M是平面ABC上的任意一点，则（2）的最小值为（）A. 2B. -2C. 1D. -1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在的展开式中，常数项为______（用数字表示）14.已知α满足tan（α+）=-3-2，则tan2α=______15.数列{a n}满足+=，a1=1，a8=，b n=a n a n+1，则数列{b n}的前n项和为______．16.已知双曲线=1的离心率为e，若点（2，）与点（e，2）都在双曲线上，则该双曲线的渐近线方程为______三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知7c=2a，cos C=-（Ⅰ）求sin B的值；（Ⅱ）若D为AB中点，且△ABC的面积为，求CD的长度18.齐齐哈尔医学院大一学生甲、乙、丙三人为了了解昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们到气象局与校卫生所抄录了1至6月份每月15号的昼夜温差值甲、乙、丙三人：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验（Ⅰ）记选取的2组数据相隔的月份数为X，如1月与3月或3月与1月相隔1个月，取X=1．若是相邻2组的数据，取X=0，求X的分布列及数学期望；（Ⅱ）已知选取的是1月与6月的两组数据（1）请根据2至5月份的数据，求出就诊人数y关于昼夜温差x的线性回归方程；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问这三人所得线性回归方程是否理想？（参考公式：==，）19.如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，PA=PD=AB=AD=CD=1，BC=2，点E在线段PC上，且CE=2PE．（Ⅰ）证明：PA∥平面BDE；（Ⅱ）求二面角P-BD-E的余弦值．20.已知椭圈C：=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点A（1，）．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设直线l：y=kx+2与椭圆C有两个交点D，E，且O是坐标原点，当△ODE 面积最大时，求k值．21.已知函数f（x）=ln x-．（Ⅰ）求证：函数f（x）只有一个零点x0，且x0∈（1，2）；（Ⅱ）设g（x）=，其中x0是函数f（x）的零点．若方程g（x）=k（k∈R）在（1，+∞）内有两个不等实根x1，x2（x1＜x2），判断x1+x2与2x0的大小，并给出对应的证明．22.极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知曲线C的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），直线l的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设P坐标为（-2，0），l与C的公共点为A，B，求|PA|•|PB|的值．23.已知a＞0，b＞0，c＞0，=1．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）证明：．答案和解析1.【答案】A【解析】解：A={x|-1＜x＜5}；∴A∩B={1，2，3，4}．故选：A．可求出集合A，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．2.【答案】C【解析】解：∵=（3-i）i=1+3i，∴z=1-3i，则=．故选：C．由已知求得z，代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】B【解析】解：∵{a n}为等比数列，S6=-7S3，a2+a4=10，∴两式相除可得，1+q3=-7∴q=-2，代入可得，a1=-1故选：B．由已知结合等比数列的通项公式及求和公式即可求解本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题4.【答案】D【解析】解：根据题意，画出可行域与目标函数线如下图所示，由得A（a，3a）函数在点A（a，3a）处目标函数取得最小值：z=2×a-3×3a=-7，解得a=1．此时解得B（1，-6），所以z的最大值是：2+18=20．故选：D．先画出满足约束条件的平面区域，判断最优解的坐标，点的坐标代入目标函数，求解a，然后求解目标函数的最大值即可．本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．5.【答案】C【解析】解：由题意画出图形，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=3，AB=4.5，V=10000×2.7×10-3=27，粮仓的高AA1=（丈）．长方体ABCD-A1B1C1D1的外接球的直径为（2R）2==22+32+4.52=33.25=，∴外接球的表面积为4πR2=π（平方丈），故选：C．由题意画出图形，求出长方体的高，再由对角线长公式求得长方体外接球的直径，得到半径，代入球的表面积公式得答案．本题考查长方体的体积的求法，考查长方体外接球表面积的求法，是基础题．6.【答案】D【解析】解：模拟程序框图的运行过程知，该程序运行后是计算S=3×4+3×6+3×8+3×10+3×12+3×14+3×16=210；则输出的结果是S=210．故选：D．模拟程序框图的运行过程知该程序是计算等差数列前n项和的应用问题，计算即可．本题考查了利用算法与程序框图计算等差数列前n项和的应用问题，也考查了推理与计算能力，是基础题．7.【答案】A【解析】解：根据题意，当0≤x＜1时，f（x）=，若f（x）是周期为2的奇函数，则f（0）=0，即f（0）==0，若f（）=-，则f（-）=f（-）=-f（）=-，则f（）=，即=，解可得：a=0，b=1，则当0≤x＜1时，f（x）=，则f（）==；又由f（x）是周期为2的奇函数，则有f（1）=f（-1）与f（1）=-f（-1）同时成立，则f（1）=0，则f（1）+f（）=0+=；故选：A．根据题意，由f（x）是周期为2的奇函数，可得f（0）=0，同时可得f（-）=f（-）=-f （）=-，解可得函数的解析式可得关于a、b的方程，解可得a、b的值，即可得函数的解析式，由此可得f（）的值，又由f（x）是周期为2的奇函数，则有f（1）=f（-1）与f（1）=-f（-1）同时成立，则f（1）=0，相加即可得答案．本题考查函数奇偶性的性质以及应用，关键是求出a、b的值，属于基础题．8.【答案】D【解析】解：函数f（x）=ln（x+2）-ax2-3a2x，定义域是：{x|x＞-2}f′（x）=-2ax-3a2因为x=-是函数f（x）=ln（x+2）-ax2-3a2x的极小值点，则：f′（-）=0，解得：9a2-3a-2=0，即：a=-，或a=，讨论a；①当a=-时，函数f′（x）=+x-=，在（-2，-1），f′（x）＞0在（-1，-）f′（x）＜0在（-，+∞）f′（x）＞0∴函数f（x）在x=-取得极小值点，在x=-1取得极大值点，∵函数定义域是：{x|x＞-2}∴f（x）的极大值为f（-1）=②当a=时，函数f′（x）=-x-=-，在（-2，-），f′（x）＞0在（-，+∞），f′（x）＜0∴x=-不是函数f（x）=ln（x+2）-ax2-3a2x的极小值点，与题设矛盾，a=舍去．综合可得：x=-是函数f（x）=ln（x+2）-ax2-3a2x的极小值点时，f（x）的极大值为：．故选：D．求函数的导函数，利用极小值点求出a的值，再确定出函数的解析式，从而确定函数的极大值．考查利用导数研究函数的极值问题，考查函数极值和极值点，属于中档题．9.【答案】C【解析】解：∵f（x）=（1-2sin2x）sin（）-2sin x cosxcos（-θ）∴f（x）=cos2x cos-sin2x sin=cos（2x+），∵x∈[-，-，∴2x+，∵函数f（x）在[-，-]上单调递增，∴，k∈Z，∴，k∈Z，∵|θ|≤，∴当k=0时，符合题意，∴，∴当=0时，f（）=cos（）的最大值为1，∵f（）≤m在[-，-]上恒成立，∴m≥f（）max=1，∴m的取值范围为：[1，+∞）．故选：C．根据函数f（x）在[-，-]上单调递增，求出θ的范围，然后求出f（）的最大值即可．本题考查了三角函数的图象与性质，关键是θ的取值范围，属中档题．10.【答案】B【解析】解：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则正方体ABCD-A1B1C1D1中棱长为2，则D（0，0，0），E（2，0，1），F（0，2，1），B1（2，2，2），G（1，2，0），=（2，0，1），=（0，2，1），=（-1，0，-2），设平面B1EDF的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，1，-2），设直线B1G与平面B1EDF所成角为θ，则直线B1G与平面B1EDF所成角的正弦值为：sinθ===．故选：B．以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线B1G与平面B1EDF所成角的正弦值．本题考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．11.【答案】A【解析】解：y2=4x的焦点为F（1，0），准线为l：x=-1，l与x轴的交点为P（-1，0），假设k存在，设AB方程为：y=k（x+1），与抛物线y2=4x，联立得k2（x2+2x+1）=4x，即k2x2+（2k2-4）x+k2=0，设两交点为A（x2，y2），B（x1，y1），则x1+x2=，x1x2=1，y1+y2=k（x1+x2）+2k==，∴AB的中点坐标为：（，），∵以AB为直径的圆过点F，∴|AB|=•=2，解得k2=，∴|AB|=•==4．故选：A．设AB方程为：y=k（x+1），与抛物线y2=4x，联立得k2x2+（2k2-4）x+k2=0，设两交点为A（x2，y2），B（x1，y1），则x1+x2=，x1x2=1，AB的中点坐标为：（，），由以AB为直径的圆过点F，得到|AB|=•=2，解得k2=，由此能求出|AB|．本题考查弦长的求法，考查抛物线、直线方程、韦达定理、弦长公式、两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．12.【答案】D【解析】解：∵D是BC中点，E是AD中点，∴=2，=2，∴（2）=•（2+2）=•4=4．∴当M为BE的中点时，取得最小值cos180°=-，∴（2）的最小值为-1．故选：D．根据平面向量加法的平行四边形法则化简可得（2）=4，再根据平面向量的数量积定义求出最小值．本题考查了平面向量的数量积运算，平面向量的几何运算，属于中档题．13.【答案】【解析】解：在的展开式中，通项公式为T r+1=•（-1）r••x3r-12，令3r-12=0，求得r=4，可得常数项为•=，故答案为：．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．14.【答案】-2【解析】解：∵tan（α+）==-3-2，∴解得：tanα=，∴tan2α===-2．故答案为：-2．由已知利用两角和的正切函数公式化简可求tanα的值，根据二倍角的正切函数公式即可计算得解．本题主要考查了两角和的正切函数公式，二倍角的正切函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．15.【答案】【解析】解：数列{a n}满足+=，则：数列{}是以以，即d=2的等差数列．所以：，所以：=，所以：，=，=．故答案为：首先利用递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．16.【答案】y=±x【解析】解：双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为e，点（2，）与点（e，2）都在双曲线上，可得：，，a2+b2=c2，e=，解得a=1，b=，双曲线的渐近线方程为：y=±x，故答案为：y=±x．通过点的坐标在双曲线上，列出方程组，转化求解渐近线方程即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．17.【答案】解：（Ⅰ）由，得，由正弦定理得，，∵cos C＜0，∴C为钝角，∴A，B均为锐角，∴，∴；（Ⅱ）由，∴，又，AD=，由余弦定理得，．∴CD的长度为1．【解析】（Ⅰ）利用正弦定理求解即可；（Ⅱ）根据面积公式求出a，然后利用余弦定理即可求出CD．本题考查了正弦定理余弦定理和面积公式，考查了计算能力，属基础题．18.【答案】解：（Ⅰ）X的可能取值为0，1，2，3，4，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）=，P（X=4）==，所以X的分布列为：E（X）=0×+1×+2×+3×+4×=（Ⅱ）（1）由数据求得=11，=24，由公式求得=，所以=-•=24-×11=-，所以y关于x的线性回归方程为：=x-．（2）当x=10时，=-=≈21，同理当x=6时，=×6-=≈11，依题意可得这三人所得线性回归方程是理想的．【解析】（Ⅰ）X的可能取值为0，1，2，3，4，根据古典概型概率公式可求得概率，可得分布列和期望；（Ⅱ）（1）根据数据算出，，，，可得线性回归方程；（2）将x=10和x=6代入线性回归方程得到就诊人数看是否超过2．本题考查了离散型随机变量的期望与方差，属中档题．19.【答案】证明：（Ⅰ）连结AC，交BD于点F，连结EF，在等腰梯形ABCD中，AB=AD=CD=1，BC=2，则BC∥AD，，又CE=2PE，则=，∴=，∴PA∥EF，∵PA⊄平面BDE，EF⊂平面BDE，∴PA∥平面BDE．解：（Ⅱ）取AD中点O，取BC中点H，连结PO，OH，则PO⊥BD，又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PO⊥平面ABCD，∵O，H分别为AD，BC中点，四边形ABCD是等腰梯形，∴OH⊥AD，∴以O为原点，以OA为x轴，OH为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，则B（1，，0），C（-1，，0），D（-），P（0，0，），可得=（1，，-），=（-），=（-，-，0），===（-），设平面PBD的一个法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=（-），设平面BDE的一个法向量为=（x，y，z），则，令x=-1，得=（-1，，-），设二面角P-BD-E的平面角为θ．则cosθ===，∴二面角P-BD-E的余弦值为．【解析】（Ⅰ）连结AC，交BD于点F，连结EF，推导出PA∥EF，由此能证明PA∥平面BDE．（Ⅱ）取AD中点O，取BC中点H，连结PO，OH，则PO⊥BD，以O为原点，以OA 为x轴，OH为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P-BD-E 的余弦值．本题考查线线平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）由题意，，解得．∴椭圆C的方程为；（Ⅱ）由，得（2+3k2）x2+12kx+6=0．设D（x1，y1），E（x2，y2），则△=144k2-24（2+3k2）＞0，即k2＞．，，|DE|==．O到DE的距离d=．∴△ODE的面积S=．令，则S=．当且仅当t=，即t=2时上式取“=”，此时，k=．【解析】（Ⅰ）由题意得关于a，b，c的方程组，求解可得a，b，c的值，则椭圆方程可求；（Ⅱ）联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用弦长公式求弦长，再由点到直线距离公式求出O代直线的距离，写出三角形面积，利用换元法与基本不等式求最值，同时求得k值．本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用换元法与基本不等式求最值，是中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）函数的定义域为：x∈（0，+∞），f′（x）=＞0，所以函数是增函数，∵f（1）=＜0，∴＞=＞0，因为函数是增函数，所以函数f（x）只有一个零点x0，且x0∈（1，2）．（Ⅱ）g（x）=，由（Ⅰ）可知ln x0=，∴x0ln x0=•x0；当1＜x＜x0时，g（x）=x lnx，g′（x）=1+ln x＞0，因而g（x）是增函数，当x＞x0时，，g′（x）=＜0，此时函数是减函数；g（x）=k在（1，+∞）上由两个实数根，x1，x2；x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞），由于g（1）=0，所以可以猜想x1+x2＞2x0，要证明x1+x2＞2x0，即证x2＞2x0-x1＞x0，而g（x）在（x0，+∞）上是减函数，故可证g（x2）＜g（2x0-x1），又g（x1）=g（x2）即证g（x1）＜g（2x0-x1），即，记h（x）=，1＜x＜x0其中h（x0）=0，∴=1+ln x+，记φ（t）=，φ，当t∈（0，1）时，φ′（t）＞0，t∈（1，+∞）时，φ′（t）＜0φ（t）max=，而φ（t）＞0，故0，而2x0-x＞0，从而，因此h′（x）=1+ln x+＞0．即h（x）递增，从而当1＜x＜x0时，h（x）＜h（x0）=0，即，故x1+x2＞2x0，得证．【解析】（Ⅰ）求出函数的定义域，求出导函数，判断函数的单调性，利用零点判定定理判断函数f（x）只有一个零点x0，且x0∈（1，2）；（Ⅱ）g（x）=，推出x0ln x0=•x0；判断函数的单调性，说明g（x）=k在（1，+∞）上有两个实数根，x1，x2；x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞），猜想x1+x2＞2x0，要证明x1+x2＞2x0，即证x2＞2x0-x1＞x0，即，记h（x）=，求出导函数，记φ（t）=，再次求解导函数φ，判断函数的单调性，推出1＜x＜x0时，h（x）＜h（x0）=0，推出结论．本题考查函数的导数应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查构造法二次导数的应用，考查分析法的应用，难点比较大．22.【答案】解：（Ⅰ）由ρ=2sin（θ+）=2sinθ+2cosθ，得ρ2=2ρsinθ+2ρcosθ，∴x2+y2=2y+2x，即（x-1）2+（y-1）2=2，∴C的直角坐标方程为（x-1）2+（y-1）2=2．（Ⅱ）代入（x-1）2+（y-1）2=2并整理得t2-t+8=0，设点A，B的坐标对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=，t1t2=8，得|PA||PB|=|t1t2|=8．【解析】（Ⅰ）根据和角的正弦公式以及极坐标与直角坐标的互化公式可得C的直角坐标方程．（Ⅱ）将直线的参数方程代入圆的方程，根据参数的几何意义可得．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】证明：（I）∵=1，≥3，当且仅当=时取等号，∴≤，即abc≥27×6，∴≥=9．（II）∵=（）（）≥（•+•+•）2=（++）2=6，∴．【解析】（I）根据基本不等式证明；（II）不等式左侧乘（），根据柯西不等式得出结论．本题考查了基本不等式，柯西不等式在不等式证明中的应用，属于中档题．。
黑龙江省齐齐哈尔市2019届高三第一次模拟考试(3月) 数学(理)及解析
第1页，总19页……外……………内………黑龙江省齐齐哈尔市2019届高三第一次模拟考试（3月） 数学（理）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.2−3i1+i= （ ）A. 12−52i B. −12−52iC. 12+52iD. −12+52i2.设集合A ={−1,0,1}，B ={x|2x >2}，则A ∩B =（ ）A. ∅B. {−1}C. {−1,0}D. {0,1}3.若x,y 满足不等式组{x +y −1≥0,x −y +1≥0,3x −y −3≤0,则z =2x −3y 的最小值为（ ）A. -2B. -3C. -4D. -54.已知双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的离心率为e ，抛物线y 2=2px(p >0)的焦点坐标为(1,0)，若e =p ，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A. y =±√3x B. y =±2√2x C. y=±√52x D. y=±√22x5.随着计算机的出现，图标被赋予了新的含义，又有了新的用武之地.在计算机应用领域，图标成了具有明确指代含义的计算机图形.如图所示的图标是一种被称之为“黑白太阳”的图标，该图标共分为3部分.第一部分为外部的八个全等的矩形，每一个矩形的长为3、宽为1；第二部分为圆环部分，大圆半径为3，小圆半径为2；第三部分为圆环内部的白色区域.在整个“黑白太阳”图标中随机取一点，则此点取自图标第三部分的概率为（ ）A. π24+9πB. 4π24+9πC. π18+9πD. 4π18+9π6.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4=3S 2，a 7=15，则{a n }的公差为（ ）答案第2页，总19页…○…………线………题※※…○…………线………A. 1B. 2C. 3D. 47.运行如图程序，则输出的S 的值为（ ）A. 0B. 1C. 2018D. 2017 8.已知函数f(x)=ln(x +1)−ax ，若曲线y =f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y =2x ，则实数a 的取值为（ ） A. -2B. -1C. 1D. 29.在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，BC =CC 1=1，∠AB 1D =π6，则直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为（ ） A. √33B. √32C. √36D. √6610.已知函数f(x)=√3cosx −sinx 在(0,α)上是单调函数，且f(α)≥−1，则α的取值范围为（ ）A. (0,5π6] B. (0,2π3] C. (0,π2] D. (0,π3]11.已知半圆C ：x 2+y 2=1(y ≥0)，A 、B 分别为半圆C 与x 轴的左、右交点，直线m 过点B 且与x 轴垂直，点P 在直线m 上，纵坐标为t ，若在半圆C 上存在点Q 使∠BPQ =π3，则t 的取值范围是（ ）A. [−2√33,0)∪(0,√3]B. [−√3,0)∪(0,2√33]C. [−√33,0)∪(0,√33] D. [−2√33,0)∪(0,2√33]12.在边长为2的菱形ABCD 中，BD=2√3，将菱形ABCD 沿对角线AC 对折，使二面角B −AC −D的余弦值为13，则所得三棱锥A −BCD 的内切球的表面积为（ ） A. 4π3B. πC. 2π3D. π2第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题（题型注释）第3页，总19页………○………：___________班级：______………○………13.已知cosα=−√23，则cos2α=______．14.(1+x)(2+x)5的展开式中，x 3的系数为______． 15.已知函数f(x)是奇函数，且0≤x 1<x 2时，有f(x 1)−f(x 2)x 1−x2<1，f(−2)=1，则不等式x −3≤f(x)≤x 的解集为____．16.已知数列{a n }的前n 项和S n 满足，S n =3a n −2.数列{na n }的前n 项和为T n ，则满足T n >100的最小的n 值为______．三、解答题（题型注释）17.已知ΔABC 中，角A,B,C 所对的边分别是a,b,c ，ΔABC 的面积为S ，且S =bccosA ，C =π4.（1）求cosB 的值； （2）若c=√5，求S 的值.18.如图，四棱锥P−ABCD 中，AB ∥CD ，∠BCD =π2，PA ⊥BD ，AB =2，PA=PD=CD=BC=1.（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）求直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值.19.中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生平均每天体育锻炼时间进行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）将学生日均体育锻炼时间在[40,60)的学生评价为“锻炼达标”. （1）请根据上述表格中的统计数据填写下面的2×2列联表；答案第4页，总19页并通过计算判断，是否能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“锻炼达标”与性别有关？ （2）在“锻炼达标”的学生中，按男女用分层抽样方法抽出10人，进行体育锻炼体会交流， （i ）求这10人中，男生、女生各有多少人？（ii ）从参加体会交流的10人中，随机选出2人作重点发言，记这2人中女生的人数为X ，求X 的分布列和数学期望. 参考公式：k 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n =a +b +c +d .临界值表20.已知O 为坐标原点，椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(−c,0)，F 2(c,0).过焦点且垂直于x 轴的直线与椭圆C 相交所得的弦长为3，直线y =−√3与椭圆C 相切.（1）求椭圆C 的标准方程； （2）是否存在直线l ：y=k(x +c)与椭圆C 相交于E,D 两点，使得(F 2E ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −DE ⃑⃑⃑⃑⃑ )⋅F 2E ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ <1？若存在，求k 的取值范围；若不存在，请说明理由！ 21.已知函数f(x)=e x −ax .（1）若函数f(x)在x ∈(12,2)上有2个零点，求实数a 的取值范围.（注e 3>19）（2）设g(x)=f(x)−ax 2，若函数g(x)恰有两个不同的极值点x 1，x 2，证明：x 1+x 22<ln(2a). 22.选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线C 1的参数方程为{x =3+2cosα,y =1+2sinα（α为参数），P 是曲线C 1上的任一点，过P 作y 轴的垂线，垂足为Q ，线段PQ 的中点的轨迹为C 2. （1）求曲线C 2的直角坐标方程；（2）以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.若直线l ：sinθ−cosθ=1ρ交曲线C 2于M ，N 两第5页，总19页点，求|MN|.23.选修4-5：不等式选讲已知函数f(x)=|x −2|.（1）解不等式：f(x)+f(2x+1)≥6；（2）对a +b =1(a,b >0)及∀x ∈R ，不等式f(x −m)−f(−x)≤4a+1b 恒成立，求实数m 的取值范围.答案第6页，总19页…………外…………○…※…………内…………○…参数答案1.B【解析】1.利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．z =2−3i 1+i=(2−3i)(1−i)(1+i)(1−i)=−1−5i 2=−12−52i ．故选B ． 2.A【解析】2.可解出集合B ，然后进行交集的运算即可．B ={x|2x >2}＝{x |x ＞1}；∴A ∩B ＝∅． 故选：A ． 3.D【解析】3.画出不等式组表示的平面区域，平移目标函数，找出最优解，求出z 的最小值．画出x ，y 满足不等式组{x +y −1≥0x −y +1≥03x −y −3≤0表示的平面区域，如图所示：平移目标函数z ＝2x ﹣3y 知，A （2，3），B （1，0），C （0，1）第7页，总19页当目标函数过点A 时，z 取得最小值， ∴z 的最小值为2×2﹣3×3＝﹣5． 故选：D ． 4.A【解析】4.求出抛物线的焦点坐标，得到双曲线的离心率，然后求解a ，b 关系，即可得到双曲线的渐近线方程． 抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点坐标为（1，0），则p ＝2， 又e ＝p ，所以e =c a=2，可得c 2＝4a 2＝a 2+b 2，可得：b =√3a ，所以双曲线的渐近线方程为：y ＝±√3x ．故选：A ． 5.B【解析】5.以面积为测度，根据几何概型的概率公式即可得到结论． 图标第一部分的面积为8×3×1＝24，图标第二部分的面积和第三部分的面积为π×32＝9π， 图标第三部分的面积为π×22＝4π， 故此点取自图标第三部分的概率为4π24+9π， 故选：B ． 6.B【解析】6.根据题意，设等差数列{a n }的公差为d ，分析可得4a 1+6d ＝3（2a 1+d ），a 1+6d ＝15，解可得d 的值，即可得答案．根据题意，设等差数列{a n }的公差为d ，若S 4＝3S 2，a 7＝15，则4a 1+6d ＝3（2a 1+d ），a 1+6d ＝15， 解可得a 1＝3，d ＝2； 故选：B ．7.D【解析】7.依次运行程序框图给出的程序可得答案第8页，总19页第一次：S =2017+sin π2=2018,i =3，不满足条件；第二次：S =2018+sin 3π2=2018−1=2017,i =5，不满足条件； 第三次：S =2017+sin 5π2=2018,i =7，不满足条件；第四次：S =2018+sin 7π2=2018−1=2017,i =9，不满足条件； 第五次：S =2017+sin 9π2=2018,i =11，不满足条件；第六次：S =2018+sin11π2=2018−1=2017,i =13，满足条件，退出循环。
黑龙江省齐齐哈尔市2019届高三第一次模拟考试(3月)数学(理)试题 含解析
齐齐哈尔市2019届高三第一次模拟考试数学试卷（理科）一、选择题。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】．故选B．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】可解出集合B，然后进行交集的运算即可．【详解】B＝{x|x＞1}；∴A∩B＝∅．故选：A．【点睛】考查描述法、列举法的定义，交集的运算，空集的定义，属于基础题．3.若满足不等式组则的最小值为（）A. -2B. -3C. -4D. -5 【答案】D【解析】【分析】画出不等式组表示的平面区域，平移目标函数，找出最优解，求出z的最小值．【详解】画出x，y满足不等式组表示的平面区域，如图所示：平移目标函数z＝2x﹣3y知，A（2，3），B（1，0），C（0，1）当目标函数过点A时，z取得最小值，∴z的最小值为2×2﹣3×3＝﹣5．故选：D．【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，是基本知识的考查．4.已知双曲线的离心率为，抛物线的焦点坐标为，若，则双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】求出抛物线的焦点坐标，得到双曲线的离心率，然后求解a，b关系，即可得到双曲线的渐近线方程．【详解】抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点坐标为（1，0），则p＝2，又e＝p，所以e2，可得c2＝4a2＝a2+b2，可得：b a，所以双曲线的渐近线方程为：y＝±．故选：A．【点睛】本题考查双曲线的离心率以及双曲线渐近线方程的求法，涉及抛物线的简单性质的应用．5.随着计算机的出现，图标被赋予了新的含义，又有了新的用武之地.在计算机应用领域，图标成了具有明确指代含义的计算机图形.如图所示的图标是一种被称之为“黑白太阳”的图标，该图标共分为3部分.第一部分为外部的八个全等的矩形，每一个矩形的长为3、宽为1；第二部分为圆环部分，大圆半径为3，小圆半径为2；第三部分为圆环内部的白色区域.在整个“黑白太阳”图标中随机取一点，则此点取自图标第三部分的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】以面积为测度，根据几何概型的概率公式即可得到结论．【详解】图标第一部分的面积为8×3×1＝24，图标第二部分的面积和第三部分的面积为π×32＝9π，图标第三部分的面积为π×22＝4π，故此点取自图标第三部分的概率为，故选：B．【点睛】本题考查几何概型的计算，关键是正确计算出阴影部分的面积，属于基础题．6.设等差数列的前项和为，且，，则的公差为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】根据题意，设等差数列{a n}的公差为d，分析可得4a1+6d＝3（2a1+d），a1+6d＝15，解可得d的值，即可得答案．【详解】根据题意，设等差数列{a n}的公差为d，若S4＝3S2，a7＝15，则4a1+6d＝3（2a1+d），a1+6d＝15，解可得a1＝3，d＝2；故选：B．【点睛】本题考查等差数列的前n项和，关键是掌握等差数列的前n项和公式的形式，属于基础题．7.运行如图程序，则输出的的值为（）A. 0B. 1C. 2018D. 2017【答案】D【解析】依次运行程序框图给出的程序可得第一次：，不满足条件；第二次：，不满足条件；第三次：，不满足条件；第四次：，不满足条件；第五次：，不满足条件；第六次：，满足条件，退出循环。
黑龙江省齐齐哈尔市2019届高三第二次模拟考试数学(理)试题(解析版)
齐齐哈尔市2019届高三第二次模拟考试数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】对集合进行化简，分别得到两个集合表示的内容，然后取交集【详解】集合中：，解得，集合中：，即所以故选D项【点睛】本题考查了集合的基本概念，集合的运算，解二次不等式，属于简单题.2.已知复数是纯虚数，其中是实数，则等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】对复数进行化简，由于为纯虚数，则化简后的复数形式中，实部为0，得到的值，从而得到复数.【详解】因为为纯虚数，所以，得所以.故选A项【点睛】本题考查复数的四则运算，纯虚数的概念，属于简单题.3.已知双曲线的焦距为，且两条渐近线互相垂直，则该双曲线的实轴长为（）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】B【解析】【详解】因为双曲线的两条渐近线为，因为两条渐近线互相垂直，所以，得因为双曲线焦距为，所以由可知，所以，所以实轴长为.故选B项.【点睛】本题考查双曲线的渐近线，实轴长等几何特性，属于简单题.4.已知变量满足约束条件则目标函数的最小值为（）A. -9B. -7C. -5D. -3【答案】B【解析】【分析】根据约束条件画出可行域，将目标函数化为斜截式，找到其在轴截距的最小值时，所经过的点，即为最优解，从而得到的最小值.【详解】根据约束条件画出可行域，如图所示，内部（含边界）为可行域，，化为，为斜率是的一簇平行线，是其在轴上的截距，当经过点时，截距最小，即最小，解，得，即，此时故选B项.5.函数的图像大致是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据函数特点，判断奇偶性，再通过函数在时的函数值，进行判断，得到答案.【详解】定义域为，，且所以为上的奇函数，A、B排除.当时，分子、分母都为正数，故，排除D项.故选C项.【点睛】本题考查函数的图像与性质，通过排除法进行解题，属于简单题.6.如图所示的程序框图，若输出的，则输入的整数值为（）A. 7B. 8C. 9D. 10【答案】D【解析】【分析】根据程序框图的运行，得到每一步的和的值，当停止循环，输出时，此时的用表示，令其等于，得到结果.【详解】执行程序框图，可得，；，；，，输出，由得.故选C项.【点睛】本题考查程序框图的运行，根据输出值求输入值，属于简单题.7.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. 210B. 208C. 206D. 204【答案】D【解析】【分析】根据三视图还原出原几何体，并得到各棱的长度，通过切割法求出其体积.【详解】由已知中的三视图可得：该几何体是由一个正方体切去一个三棱锥所得的组合体，正方体的边长为6，切去一个三棱锥的底面是直角边长分别为6，6的等腰直角三角形，高为2，故该几何体的体积为.故选D项.【点睛】本题考查三视图还原几何体，切割法求几何体体积，属于简单题.8.德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学届的王子，19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》，在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法.现有函数，则等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】 【分析】通过材料，理解高斯算法，根据高斯算法进行倒序相加，得到答案.【详解】，又，两式相加可得 .故选A 项.【点睛】本题考查对题意的理解，倒序相加法求和，属于简单题. 9.在中，角的对边分别为，若的面积，且，，则（ ）A. 2B.C.D.【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形面积公式，得到，从而得到，再由余弦定理，求出的值. 【详解】由，所以，即 由，且， 由余弦定理得：，.【点睛】本题考查三角形面积公式，同角三角函数关系，余弦定理，属于简单题. 10.设函数的部分图象如图所示，则函数的单调增区间为（ ）A. B.C.D.【答案】A 【解析】 【分析】 根据图像可得到解析式，再对进行化简，然后求出其单调增区间.【详解】由图像可知，，因为，得到代入得，得，取，则所以函数，，因此，求的单调递增区间，则，， 得，.故选A 项.【点睛】本题考查由部分图像求正弦型函数解析式，诱导公式，辅助角公式，求正弦型函数的单调区间，有一定的综合程度，属于中档题. 11.已知若方程有唯一解，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D.【答案】D 【解析】 【分析】根据得到解析式，画出图像，对方程进行整理得，在同一坐标系下画出等号两边的函数图像，则两个函数图像有且仅有一个交点，找到符合要求的位置，得到相应的的范围.【详解】方程进行整理得作出函数的图像，如图所示.直线恒过，即直线绕点旋转，当直线过点时，；当直线与曲线相切时，设切点，，则切线斜率为切线方程为代入过点，得解得，此时斜率为可求得.根据图像可知当或时，方程有唯一解.【点睛】本题考查分段函数的图像，图像的交点与方程的解，利用导数求过一点的函数切线，数形结合的数学思想，属于难题.12.已知椭圆的左，右焦点分别为，，过作垂直轴的直线交椭圆于两点，点在轴上方.若，的内切圆的面积为，则直线的方程是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据内切圆面积，求得半径，然后得到圆心坐标，利用坐标表示出直线，由圆与直线相切，得圆心到直线的距离等于半径，算出，从而确定直线方程.【详解】设内切圆半径为，则，，，内切圆圆心为，由知，又，所以方程为，由内切圆圆心到直线距离为，即得，所以方程为.故选D项【点睛】本题考查内切圆的性质，直线的表示，点到直线的距离，属于中档题.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知两个单位向量，的夹角为，，.若，则实数__________．【答案】【解析】【分析】由，得，代入，，得到关于的方程，得到的值.【详解】，，而，，的夹角为，.【点睛】本题考查向量垂直关系的表达，向量数量积运算，属于简单题.14.在4个不同的红球和3个不同的白球中，随机取3个球，则既有红球又有白球的概率为__________．【答案】【解析】【分析】从7个球里取3个球，共有种可能的情况，要求既有红球又有白球，可以从反面考虑，即全是红球和全是白球的情况，然后用总数减去这两种情况就是符合要求的，然后再由古典概型公式，得到概率.【详解】从7个球里取3个球，共有种可能的情况，全是红球的情况有，全是白球的情况有，将这两种情况去掉，就是符合要求的情况，即既有红球又有白球的情况，所以概率为【点睛】本题考查古典概型中从反面考虑的情况，属于简单题.15.若曲线在点处的切线与直线垂直，则函数的最小值为__________．【答案】4【解析】【分析】对函数求导，代入切点，得到切线斜率，然后利用垂直得到关于的方程，求出，再利用基本不等式，得到最小值.【详解】，，代入切点横坐标得到切线斜率，切线与直线垂直得，.当且仅当时，即时，等号成立故答案为【点睛】本题考查利用导数求函数在某一点的切线，两条直线垂直的转化，基本不等式求和的最小值，属于简单题.16.已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，若平面，，，，则球的表面积为__________．【答案】【解析】【分析】根据正弦定理可得到的外接圆半径，再利用勾股定理得到球的半径，从而求得球的表面积.【详解】设的外接圆半径，由正弦定理得，，由题意知球半径满足，得，球表面积.【点睛】本题考查正弦定理，球的几何性质，球的表面积计算，属于简单题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知等差数列的前项和为，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设为数列的前项和，求满足的最小的值.【答案】（1）；（2）14.【解析】【分析】（1）设出等差数列的基本量，根据条件，得到方程，解出首项和公差，可以得到的通项.（2）根据（1）得到的通项，求出前项和，得到的通项，然后利用裂项相消求和得到，从而求出满足的最小的值.【详解】（1）设等差数列的公差为，由得，，由，，成等比数列得且，∴，∴，，∴等差数列的通项公式为.（2）∵，∴，∴，由得，，∴的最小值为14.【点睛】本题考查等差数列中基本量的计算，裂项法求数列通项，属于中档题.18.某职业学校有2000名学生，校服务部为了解学生在校的月消费情况，随机调查了100名学生，并将统计结果绘成直方图如图所示.（1）试估计该校学生在校月消费的平均数；（2）根据校服务部以往的经验，每个学生在校的月消费金额（元）和服务部可获得利润（元），满足关系式：根据以上抽样调查数据，将频率视为概率，回答下列问题：（i）将校服务部从一个学生的月消费中，可获得的利润记为，求的分布列及数学期望.（ii）若校服务部计划每月预留月利润的，用于资助在校月消费低于400元的学生，估计受资助的学生每人每月可获得多少元？【答案】（1）680；（2）（i）见解析；（ii）160.【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图，取每组中点和相应的频率计算学生月消费的平均数.（2）（i）根据每个学生在校的月消费金额（元）和服务部可获得利润（元）之间的函数关系，得到获得利润的情况，及每种情况所对应的概率，列出分布列，求出数学期望.（ii）根据（i）中的数学期望，得到校服务部的每月总利润，再求出受资助学生人数，得到受资助的学生每人每月可获得的钱数.【详解】（1）学生月消费的平均数.（2）（i）月消费值落入区间、、的频率分别为0.05、0.80、0.15，因此，，，即的分布列为的数学期望值.（ii）服务部的月利润为（元），受资助学生人数为，每个受资助学生每月可获得（元）.【点睛】本题考查频率分布直方图计算平均数，求变量的分布列及数学期望，属于简单题.19.如图，在直三棱柱中，分别为，的中点，，.（1）求证：；（2）若直线和平面所成角的正弦值等于，求二面角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由线线垂直，证明线面垂直，即平面，再证明（2）以点为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，通过法向量之间的夹角余弦值，得到二面角的正弦值.【详解】（1）在直三棱柱中，平面,，又，且，平面，，∴平面，又∵平面，∴.（2）以点为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系.设，则，，，，，，，，直线的方向向量，平面的法向量，可知，∴，，，，设平面的一个法向量，∴取，设平面的一个法向量，∴取，记二面角的平面角为，，∴，∴二面角的正弦值为.【点睛】本题考查通过线面垂直证明线线垂直，通过建立空间直角坐标系，通过法向量求二面角的大小，属于中档题.20.已知抛物线的焦点为，过点，斜率为1的直线与抛物线交于点，，且. （1）求抛物线的方程；（2）过点作直线交抛物线于不同于的两点、，若直线，分别交直线于两点，求取最小值时直线的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】 【分析】（1）直曲联立表示出抛物线弦长，得到关于的方程，求出，得到抛物线的方程.（2）直线与抛物线联立，得到、，再根据题意，得到点和点的坐标，用和表示出，代入、的关系，得到函数，求出最小值.从而得到直线的方程.【详解】（1），直线的方程为，由，联立， 得，，，，抛物线的方程为：. （2）设，，直线的方程为：，联立方程组消元得：，∴，.∴.设直线的方程为， 联立方程组解得， 又，∴.同理得.∴ .令，，则.∴.∴当即时，取得最小值.此时直线的方程为，即.【点睛】本题考查抛物线的弦长，直线与抛物线的位置关系，平面内两点间距离，属于中档题.21.已知函数.（1）若在上恒成立，求实数的取值范围；（2）证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）通过，求出的单调性，结合，求出的取值范围.（2）由（1）得当，，令，得到，再由，然后个不等式相加，证明结论.【详解】（1）的定义域为，.①当时，，若，则，在上是减函数，所以时，，即在上不恒成立.②当时，，当时，，在上是增函数，又，所以.综上所述，所求的取值范围是.（2）由（1）知当时，在上恒成立.取得，所以.令，，得，即，所以.上式中，然后个不等式相加，得到.【点睛】本题考查利用导数求函数单调性，恒成立求参数范围，通过函数构造不等式，属于难题.（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；（2）设点在上，点在上，求的最小值以及此时的直角坐标.【答案】（1）：，：；（2），此时.【解析】试题分析：（1）的普通方程为，的直角坐标方程为；（2）由题意，可设点的直角坐标为到的距离当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.试题解析：（1）的普通方程为，的直角坐标方程为.（2）由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，所以的最小值即为到的距离的最小值，.当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.考点：坐标系与参数方程.【方法点睛】参数方程与普通方程的互化：把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法，常见的消参方法有：代入消参法；加减消参法；平方和（差）消参法；乘法消参法；混合消参法等．把曲线的普通方程化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性．注意方程中的参数的变化范围．选修4-5：不等式选讲23.已知函数.（1）若，求不等式的解集；（2）已知，若对于任意恒成立，求的取值范围.【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）时，分类讨论，去掉绝对值，分类讨论解不等式.（2）时，分类讨论去绝对值，得到解析式，由函数的单调性可得的最小值，通过恒成立问题，得到关于的不等式，得到的取值范围.【详解】（1）因为，所以，所以不等式等价于或或，解得或.所以不等式的解集为或.（2）因为，所以，根据函数的单调性可知函数的最小值为，因为恒成立，所以，解得.所以实数的取值范围是.【点睛】本题考查分类讨论去绝对值，分段函数求最值，不等式恒成立问题，属于中档题.。
齐齐哈尔市2019年高三第三次模拟考试数学理科试卷
齐齐哈尔市2019年高三第三次模拟考试数学理科试卷第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设复数z满足()12z i i⋅+=（i是虚数单位），则z=（）B.2C.12.(){}2lg34A x y x x==+-，{}212xB y y-==，则A B=（）A.(]0,2B.(]1,2C.[)2,4D.()4,0-3.下列函数中，既是偶函数，又在区间()0,+∞单调递减的函数是（）A.3y x=- B.lny x=C.cosy x= D.2xy-=4.等比数列{}na，若124a=，188a=，则36a为（）A.32B.64C.128D.2565.已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且2cos2cos4παα⎛⎫=-⎪⎝⎭，则sin2α的值为（）A.18 B.18-C.78 D.78-6.下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图时，若输入a，b分别为18,27，则输出的a=（）A.0B.9C.18D.54第6题7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.83B.43 C. D.第7题8.3位男生和3位女生共6位同学站成一排，则3位男生中有且只有2位男生相邻的概率为（ ） A.15 B.25 C.35 D.3109.已知AB AC ⊥，AB AC =，点M 满足()1AM t AB t AC=+-，若3BAM π∠=，则t 的值为（ ）1 C. D.10.中心在原点的椭圆1C 与双曲线2C 具有相同的焦点，()1,0F c -，()2,0F c ， P 为1C 与2C 在第一象限的交点，112PF F F =且25PF =，若椭圆1C 的离心率132,53e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则双曲线的离心率2e 的范围是（ ）A.35,23⎛⎫ ⎪⎝⎭B.5,23⎛⎫ ⎪⎝⎭C.()2,3D.3,32⎛⎫⎪⎝⎭11.三棱锥P ABC -中，底面ABC ∆满足BA BC =，2ABC π∠=，P 在面ABC 的射影为AC 的中点，且该三棱锥的体积为92，当其外接球的表面积最小时，P 到面ABC 的距离为（ ）A.2B.3C.D.12.设函数()f x ，若曲线11cos 22e ey x -+=+上存在()00,x y ，使得()()00f f y y =成立，则实数m 的取值范围为（ ）A.20,1e e ⎡⎤-+⎣⎦B.20,1e e ⎡⎤+-⎣⎦C.20,1e e ⎡⎤++⎣⎦D.20,1e e ⎡⎤--⎣⎦ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）.13.某校有男教师80人，女教师100人现按男、女比例采用分层抽样的方法从该校教师中抽取x 人参加教师代表大会，若抽到男教师12人，则x =______.14.平面上，点A 、C 为射线PM 上的两点，点B 、D 为射线PN 上的两点，则有PAB PCD S PA PBS PC PD∆∆=（其中PAB S ∆、PCD S ∆分别为PAB ∆、PCD ∆的面积）；空间中，点A 、C 为射线PM 上的两点，点B 、D 为射线PN 上的两点，点E 、F 为射线PL 上的两点，则有P ABEP CDFV V --=______（其中P ABE V -、P CDF V -分别为四面体P ABE —、P CDF —的体积）.15.已知数列{}n a 满足()24cos πn a n n n =+，则{}n a 的前50项的和为______.16.已知圆22:25C x y +=，过点()2,3M -作直线l 交圆C 于A ，B 两点，分别过A ，B 两点作圆的切线，当两条切线相交于点N 时，则点N 的轨迹方程为______.三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知0π3x =是函数()()sin cos 0f x m x x m ωω=-＞的一条对称轴，且()f x 的最小正周期为π （Ⅰ）求m 值和()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）设角A ，B ，C 为ABC ∆的三个内角，对应边分别为a ，b ，c ，若()2f B =，b =求2ca -的取值范围.18.（本小题满分12分）我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x （吨），一位居民的月用水量不超过x 的部分按平价收费，超过x 的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[)0,0.5，[)0.5,1，，[)4,4.5分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.（Ⅰ）求直方图中a 的值；（Ⅱ）若将频率视为概率，从该城市居民中随机抽取3人，记这3人中月均用水量不低于3吨的人数为X ，求X 的分布列与数学期望.（Ⅲ）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x （吨），估计x 的值（精确到0.01），并说明理由. 19.（本小题满分12分）如图，在棱台ABC FED -中，DEF ∆与ABC ∆分别是棱长为1与2的正三角形，平面ABC ⊥平面B C D E ，四边形BCDE 为直角梯形，BC CD ⊥，1CD =，N 为CE 中点，(),0AM AF R λλλ=∈＞.（Ⅰ）λ为何值时，MN ∥平面ABC ？（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求直线AN 与平面BMN 所成角的正弦值.20.（本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=＞＞的右焦点为F ，过椭圆C 中心的弦PQ 长为2，且90PFQ ∠=︒，PQF ∆的面积为1.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设1A 、2A 分别为椭圆C 的左、右顶点，S为直线x =1A S 交椭圆C 于点M ，直线2A S 交椭圆于点N ，设1S 、2S 分别为12A SA ∆、MSN ∆的面积，求12S S 的最大值.21.（本小题满分12分） 已知()()2ln x f x e x a =++.（Ⅰ）当1a =时，①()f x 在()0,1处的切线方程；②当0x ≥时，求证：()()21f x x x++≥.（Ⅱ）若存在[)00,x ∈+∞，使得()()20002ln f x x a x ++＜成立，求实数a 的取值范围.请从下面所给的22、23题中任选一题作答，如果多做，则按做的第一题计分. 22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知极点为直角坐标系的原点，极轴为x 轴正半轴且单位长度相同的极坐标系中曲线1:1C ρ=，21:1x C y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）.（Ⅰ）求曲线1C 上的点到电线2C 距离的最小值；（Ⅱ）若把1C 上各点的横坐标都扩大原来为原来的2线1C '.设()1,1P -，曲线2C 与1C '交于A ，B 两点，求PA PB+.23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知x，y R∈.（Ⅰ）若x，y满足132x y-＜，126x y+＜，求证：310x＜；（Ⅱ）求证：4433 1628x y x y xy ++≥.齐齐哈尔市2019年高三第三次模拟考试数学理科试卷二填空题13.27 14. PA PB PE PC PD PF⋅⋅⋅⋅ 15. 1375 16.23250x y -+=三、解答题17．解（1）()()sin cos f x m x x x ωωωϕ=-=----------------1分22T ππωω⇒==⇒=---------------2分03x π=为对称轴，所以2=32k ππϕπ⨯-+---------------3分1tan6k m m πϕπϕ⇒=-+⇒==⇒=分()2cos 22sin 26f x x x x π⎛⎫⇒=-=- ⎪⎝⎭令22226263k x k k x k πππππππππ-≤-≤+⇒-≤≤+所以()f x 的单调递增区间为,63k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦---------------6分（2）()2sin 2226623f B B B B ππππ⎛⎫=-=⇒-=⇒= ⎪⎝⎭---------------8分 由正弦定理22sin sin sin b a c R B A C====得32sin sin()sin cos )23226c a A A A A A ππ-=-+=-=----------------10分20,,366222c A A a ππππ⎛⎛⎫⎛⎫∈∴-∈-∴-∈- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝---------------12分 18．解：（1）()0.0620.1820.420.520.110.030.51a ⨯++++++⨯=---------------1分0.31a ⇒=---------------3分（2）依题意从该城市居民中抽取用水量不低于3吨的概率为()0.110.060.030.50.1++⨯=-----------5分()3,0.1XB ∴---------------6分()330.1(10.1)(0,1,2,3)kk k P X k C k -∴==⋅⋅-=X 0 1 2 3 P0.7290.2430.0270.00130.10.3EX =⋅=--------9分（3）月用水量超过3吨的居民占10%，所以()530.31100x -⨯=--------10分 2.84x ⇒≈（元）--------12分19．解： （1）当12λ=，即M 为AF 中点时//MN 平面ABC ，--------1分 取CD 中点P ，连,PM PN////AC ABC AM MF MP AC MP ABC CP PD MP ABC ⊂⎫=⎫⎪⇒⇒⎬⎬=⎭⎪⊄⎭平面平面平面--------3分 ////////////BC ABC CP PD NP DE NP BC NP ABC CN NE DE BC NP ABC ⊂⎫⎪⎫⎫⎪⇒⎬⎪⎪⇒⇒⎬⎬⎭⎪⎪⎭⎪⎪⊄⎭平面平面平面--------5分所以，平面//MNP 平面//ABC MN ABC ⇒平面--------6分 （2）取BC 中点O ，连,OA OEABC BCDE AB AC AO BC AO BCDE OB OC AO ABC ⊥⎫⎪=⎫⎪⇒⊥⇒⊥⎬⎬=⎭⎪⎪⊂⎭平面平面平面平面，1//2//OC BC ED OE CD OE BC BC ED CD BC ⎫⎫==⎪⎪⇒⎬⎪⇒⊥⎬⎪⎭⎪⎪⊥⎭以,,OE OC OA为x轴，y轴，z轴，建立直角坐标系--------8分()()110,1,0,1,0,0,0,22A C E EF BA⎛==⎝⎭，所以111111,,,,,,022422F M N⎛⎛⎛⎫⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭设(),,n x y z=为平面BMN的法向量，则()302293,3004xyn BN n BNnyn MN n MN z⎧+=⎪⎧⎧⊥⋅=⎪⎪⎪⇔⇔⇒=-⎨⎨⎨⊥⋅=⎪⎪⎪⎩⎩-=⎪⎩--------10分4cos,AN n-=分所以，直线AN与平面MNB分20．解：（1）弦PQ过椭圆中心，且2PFQπ∠=，所以112c OF PQ===，--------2分不妨设()()0000,,0P x y x y>，所以000121012PFQS OF y y x b=⋅==⇒=⇒=------------4分所以椭圆方程为2212xy+=--------5分（2）设直线1:A S x y=2222x y+=中，得221812(2)0y yt t+-=，解得1269tyt=+--------7分同理，设直线2:A S x yt=，带入2222x y+=中，得2224(2)0y yt t++=，解得2221tyt=-+--------8分1222122291||33A SA MSNS SA SA t t SSM SN t t ++==++--------10分 22222(9)(33)214(3)33t t t ⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦≤=+--------11分 当且仅当22933t t +=+，即t ==” --------12分 21．（1）1a =时，2()ln(1)x f x e x =++，21()21xf x e x '=++--------1分 ①(0)1f =，1(0)231f '=+=，所以()f x 在(0,1)处的切线方程为31y x =+--------3分 ②设()()22()ln(1)10xF x ex x x x =++-+-≥()'21()22111x F x e x x =+-+-+--------4分 ()''222222l l ()42210(1)(1)x x x x F x e e e e x x ⎡⎤=--=-+-+>⎢⎥++⎣⎦ 所以，()'F x 在[)0,+∞上递增，所以''()(0)0F x F ≥=--------6分 所以，()F x 在[)0,+∞上递增，所以()(0)0F x F ≥=--------7分 （2）原问题00x ⇔∃≥使得02200ln()0x e x a x -+-< 设22()ln()x u x e x a x =-+-21()22x u x e x x a '=--+ 221()420x u x e x a '=+->+（）()u x '∴在[0,)+∞单调增1()(0)2u x u a''∴≥=-1当12a ≥时，1(0)20u a'=-≥ ()u x ∴在[0,)+∞单调增，min ()(0)1ln 0u x u a ∴==-<a e ∴> --------10分 2当12a <时，1ln()ln()2x a x +<+设11()ln(),(0)22h x x x x =--+> 112()11122x h x x x -'=-=++ 另11()0,()0022h x x h x x ''>⇒><⇒<< ()h x ∴在1(0,)2单调递减，在1(,)2+∞单调递增 1()()02h x h ∴≥= 设221()(),(0)2x g x e x x x =---> 2()221x g x e x '=--2()42420x g x e ''=->->()g x '∴在(0,)+∞单调递增()(0)10g x g ''∴>=>()g x ∴在(0,)+∞单调递增()(0)0g x g ∴>>2211ln()ln()22x e x x x x a ∴->->+>+ ∴当12a <时，2()2ln()f x x a x >++恒成立，不合题意--------12分 22．（1）221:1C x y +=，圆心为(0,0)，半径为1；2:2C y x =+--------2分圆心到直线距离d ==分所以1C 上的点到2C1.--------5分（2）伸缩变换为2x x y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩，所以221:143x y C '''+=--------7分 将2C 和1C '联立，得27100t +-=.因为120t t <--------8分1212||||||||||7PA PB t t t t ∴+=+=-=分23（1）()()()()11352332233223262x x y x y x y x y =-++≤-++<⋅+⋅= 310x ∴<---------------5分 （2）证明：()()()()()()()()()4433333322222221628282282242230x y x y xy x x y y x y x y x y x y x xy y x y x xy y y +-+=---=--=-++⎡⎤=-+++≥⎣⎦------10分。
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日期
1 月 15 日 2 月 15 日 3 月 15 日 4 月 15 日 5 月 15 日 6 月 15 日
昼夜温差
x（℃）
10
11
13
12
8
6
就诊人数
22
25
29
26
16
12
甲、乙、丙三人：先从这六组数据中选取 2 组，用剩下的 4 组数据求线性回归方程，再用被选 取的 2 组数据进行检验 （Ⅰ）记选取的 2 组数据相隔的月份数为 X，如 1 月与 3 月或 3 月与 1 月相隔 1 个月，取 X=1．若 是相邻 2 组的数据，取 X=0，求 X 的分布列及数学期望； （Ⅱ）已知选取的是 1 月与 6 月的两组数据 （1）请根据 2 至 5 月份的数据，求出就诊人数 y 关于昼夜温差 x 的线性回归方程； （2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 人，则认为得到 的线性回归方程是理想的，试问这三人所得线性回归方程是否理想？
A. 1-2i
B. 1+2i
C. 2-i
D. 2+i
3. 已知{an}为等比数列，Sn 为其前 n 项和，若 S6=-7S3，a2+a4=10，则 a1=（ ）
A. 3
B. -1
C. 2
D. -2
4. 若 x，y 满足
，若 z=2x-3y 有最小值为-7，则 z 的最大值是（ ）
A. 7
B. 14
C. 18
，
在（-2，-1），f′（x）＞0
在（-1，- ）f′（x）＜0
在（- ，+∞）f′（x）＞0
∴函数 f（x）在 x=- 取得极小值点，在 x=-1 取得极大值点， ∵函数定义域是：{x|x＞-2} ∴f（x）的极大值为 f（-1）=
②当 a= 时，函数 f′（x）= - x- =-
，
在（-2，- ），f′（x）＞0
D.
8. 设 x=- 是函数 f（x）=ln（x+2）-ax2-3a2x 的极小值点，则 f（x）的极大值为（ ）
A. 2
B. 1
C.
D.
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9. 已知函数 f（x）=（1-2sin2x）sin（ ）-2sinxcosxcos（ -θ）（
）在[-
]上单调递
增，且 f（ ）≤m，则实数 m 的取值范围为（ ）
1.答案：A
-------- 答案与解析 --------
解析：解：A={x|-1＜x＜5}； ∴A∩B={1，2，3，4}． 故选：A． 可求出集合 A，然后进行交集的运算即可． 考查描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．
2.答案：C
解析：解：∵ =（3-i）i=1+3i，
粮仓的高 AA1=
（丈）．
长方体 ABCD-A1B1C1D1 的外接球的直径为
（2R）2=
=22+32+4.52=33.25= ，
∴外接球的表面积为 4πR2= π（平方丈），
故选：C． 由题意画出图形，求出长方体的高，再由对角线长公式求得长方体外接球的直径，得到半径，代入 球的表面积公式得答案． 本题考查长方体的体积的求法，考查长方体外接球表面积的求法，是基础题．
三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分） 17. △ABC 中内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 7c=2 a，cosC=-
（Ⅰ）求 sinB 的值； （Ⅱ）若 D 为 AB 中点，且△ABC 的面积为 ，求 CD 的长度
18. 齐齐哈尔医学院大一学生甲、乙、丙三人为了了解昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系， 他们到气象局与校卫生所抄录了 1 至 6 月份每月 15 号的昼夜温差值与因患感冒而就珍的人数， 得到如下表格：
10.答案：B
解析：解：以 D 为原点，DA，DC， DD1 所在直线分别为 x，y，z 轴，建立 空间直角坐标系， 则正方体 ABCD-A1B1C1D1 中棱长为 2， 则 D（0，0，0），E（2，0，1），F （0，2，1），B1（2，2，2），G（1， 2，0），
曲线 C 的极坐标方程为 ρ=2 sin（θ+ ），直线 l 的参数方程为
（t 为参数）．
（Ⅰ）求曲线 C 的直角坐标方程； （Ⅱ）设 P 坐标为（-2，0），l 与 C 的公共点为 A，B，求|PA|•|PB|的值．
23. 已知 a＞0，b＞0，c＞0，
=1．
（Ⅰ）证明：
；
（Ⅱ）证明：
．
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=1（a＞b＞0）的离心率为 ，且过点 A（1， ）．
（Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程； （Ⅱ）设直线 l：y=kx+2 与椭圆 C 有两个交点 D，E，且 O 是坐标原点，当△ODE 面积最大时， 求 k 值．
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21. 已知函数 f（x）=lnx- ． （Ⅰ）求证：函数 f（x）只有一个零点 x0，且 x0∈（1，2）；
8.答案：D
解析：解：函数 f（x）=ln（x+2）-ax2-3a2x，定义域是：{x|x＞-2} f′（x）= -2ax-3a2
因为 x=- 是函数 f（x）=ln（x+2）-ax2-3a2x 的极小值点，
则：f′（- ）=0，解得：9a2-3a-2=0，即：a=- ，或 a= ，
讨论 a；
①当 a=- 时，函数 f′（x）= + x- =
D. 20
5. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有仓，广三丈，袤
四丈五尺，容粟一万斛，问高几何？”其意思为：“今有一个长方体的粮仓，宽 3 丈，长 4 丈 5
尺，可装粟一万斛．问该粮仓的高是多少？已知 1 斛粟的体积为 2.7 立方尺，1 丈为 10 尺，则
该粮仓的外接球的表面积是（）
7.答案：A
解析：解：根据题意，当 0≤x＜1 时，f（x）= ， 若 f（x）是周期为 2 的奇函数，则 f（0）=0，即 f（0）= =0， 若 f（ ）=- ，则 f（- ）=f（- ）=-f（ ）=- ，则 f（ ）= ，即 = ，
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解可得：a=0，b=1，则当 0≤x＜1 时，f（x）= ，则 f（ ）= = ； 又由 f（x）是周期为 2 的奇函数，则有 f（1）=f（-1）与 f（1）=-f（-1）同时成立，则 f（1）=0， 则 f（1）+f（ ）=0+ = ； 故选：A． 根据题意，由 f（x）是周期为 2 的奇函数，可得 f（0）=0，同时可得 f（- ）=f（- ）=-f（ ）=- ，解
2019 年黑龙江省齐齐哈尔市高考数学三模试卷（理科）
题号 得分
一
二
三
总分
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）
1. 已知集合 A={x|x2-4x-5＜0}，B={1，2，3，4，5}，则 A∩B=（ ）
A. {1，2，3，4} B. {2，3}
C. {3，4}
D. {4，5}
2. 若复数 z 的共轭复数为（3-i）i，则 =（ ）
A. [ ，+∞）
B. [ ，+∞）
C. [1，+∞）
D. பைடு நூலகம் ，+∞）
10. 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F，G 分别为 AA1，CC1，BC 的中点，则直线 B1G 与平面 B1EDF 所成角的正弦值为（ ）
A.
B.
C.
D.
11. 设抛物线 C：y2=4x 的焦点为 F，准线为 l，且 l 与 x 轴的交点为 P，过 P 的直线与 C 交于 A，B
（Ⅱ）设 g（x）=
，其中 x0 是函数 f（x）的零点．若方程 g（x）=k（k∈R）在
（1，+∞）内有两个不等实根 x1，x2（x1＜x2），判断 x1+x2 与 2x0 的大小，并给出对应的证明．
22. 极坐标系与直角坐标系 xOy 有相同的长度单位，以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴．已知
可得函数的解析式可得关于 a、b 的方程，解可得 a、b 的值，即可得函数的解析式，由此可得 f（ ）
的值，又由 f（x）是周期为 2 的奇函数，则有 f（1）=f（-1）与 f（1）=-f（-1）同时成立，则 f（1） =0，相加即可得答案． 本题考查函数奇偶性的性质以及应用，关键是求出 a、b 的值，属于基础题．
在（- ，+∞），f′（x）＜0
∴x=- 不是函数 f（x）=ln（x+2）-ax2-3a2x 的极小值点，与题设矛盾，a= 舍去．
综合可得：x=- 是函数 f（x）=ln（x+2）-ax2-3a2x 的极小值点时，f（x）的极大值为： ．
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故选：D． 求函数的导函数，利用极小值点求出 a 的值，再确定出函数的解析式，从而确定函数的极大值． 考查利用导数研究函数的极值问题，考查函数极值和极值点，属于中档题．
符合题意，
∴
，
∴当 =0 时，f（ ）=cos（ ）的最大值为 1，
∵f（ ）≤m 在[- ，- ]上恒成立，
∴m≥f（ ）max=1，
∴m 的取值范围为：[1，+∞）． 故选：C．
根据函数 f（x）在[- ，- ]上单调递增，求出 θ 的范围，然后求出 f（ ）的最大值即可．
本题考查了三角函数的图象与性质，关键是 θ 的取值范围，属中档题．
4.答案：D
解析：解：根据题意，画出可行域与目标函数线如下图所示，
由
得 A（a，3a）
函数在点 A（a，3a）处目标函数取得最小值：z=2×a-3×3a=-7， 解得 a=1．