2019年黑龙江省齐齐哈尔市高考数学三模试卷(理科)(有答案解析)

A. 1-2i
B. 1+2i
C. 2-i
D. 2+i
3. 已知{an}为等比数列，Sn 为其前 n 项和，若 S6=-7S3，a2+a4=10，则 a1=（ ）
A. 3
B. -1
C. 2
D. -2
4. 若 x，y 满足
，若 z=2x-3y 有最小值为-7，则 z 的最大值是（ ）
A. 7
B. 14
C. 18
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日期
1 月 15 日 2 月 15 日 3 月 15 日 4 月 15 日 5 月 15 日 6 月 15 日
昼夜温差
x（℃）
10
11
13
12
8
6
就诊人数
22
25
29
26
16
12
甲、乙、丙三人：先从这六组数据中选取 2 组，用剩下的 4 组数据求线性回归方程，再用被选 取的 2 组数据进行检验 （Ⅰ）记选取的 2 组数据相隔的月份数为 X，如 1 月与 3 月或 3 月与 1 月相隔 1 个月，取 X=1．若 是相邻 2 组的数据，取 X=0，求 X 的分布列及数学期望； （Ⅱ）已知选取的是 1 月与 6 月的两组数据 （1）请根据 2 至 5 月份的数据，求出就诊人数 y 关于昼夜温差 x 的线性回归方程； （2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 人，则认为得到 的线性回归方程是理想的，试问这三人所得线性回归方程是否理想？
∴z=1-3i，
则=
．
故选：C．
由已知求得 z，代入 ，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
3.答案：B
解析：解：∵{an}为等比数列，S6=-7S3，a2+a4=10，
∴
两式相除可得，1+q3=-7 ∴q=-2，代入可得，a1=-1 故选：B． 由已知结合等比数列的通项公式及求和公式即可求解 本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题
符合题意，
∴
，
∴当 =0 时，f（ ）=cos（ ）的最大值为 1，
∵f（ ）≤m 在[- ，- ]上恒成立，
∴m≥f（ ）max=1，
∴m 的取值范围为：[1，+∞）． 故选：C．
根据函数 f（x）在[- ，- ]上单调递增，求出 θ 的范围，然后求出 f（ ）的最大值即可．
本题考查了三角函数的图象与性质，关键是 θ 的取值范围，属中档题．
A. 平方丈
B. 平方丈
C. 平方丈
D. 平方丈
6. 如图所示的程序框图，若输入的 a 的值为 15，则输出的结果是 （）
A. 84 B. 120 C. 162 D. 210
7. 已知 f（x）是周期为 2 的奇函数，当 0≤x＜1 时，f（x）=
=（ ）
A.
B.
C.
，若 f（ ）=- ，则 f（1）+f（ ）
，
在（-2，-1），f′（x）＞0
在（-1，- ）f′（x）＜0
在（- ，+∞）f′（x）＞0
∴函数 f（x）在 x=- 取得极小值点，在 x=-1 取得极大值点， ∵函数定义域是：{x|x＞-2} ∴f（x）的极大值为 f（-1）=
②当 a= 时，函数 f′（x）= - x- =-
，
在（-2，- ），f′（x）＞0
粮仓的高 AA1=
（丈）．
长方体 ABCD-A1B1C1D1 的外接球的直径为
（2R）2=
=22+32+4.52=33.25= ，
∴外接球的表面积为 4πR2= π（平方丈），
故选：C． 由题意画出图形，求出长方体的高，再由对角线长公式求得长方体外接球的直径，得到半径，代入 球的表面积公式得答案． 本题考查长方体的体积的求法，考查长方体外接球表面积的求法，是基础题．
三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分） 17. △ABC 中内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 7c=2 a，cosC=-
（Ⅰ）求 sinB 的值； （Ⅱ）若 D 为 AB 中点，且△ABC 的面积为 ，求 CD 的长度
18. 齐齐哈尔医学院大一学生甲、乙、丙三人为了了解昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系， 他们到气象局与校卫生所抄录了 1 至 6 月份每月 15 号的昼夜温差值与因患感冒而就珍的人数， 得到如下表格：
在（- ，+∞），f′（x）＜0
∴x=- 不是函数 f（x）=ln（x+2）-ax2-3a2x 的极小值点，与题设矛盾，a= 舍去．
综合可得：x=- 是函数 f（x）=ln（x+2）-ax2-3a2x 的极小值点时，f（x）的极大值为： ．
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故选：D． 求函数的导函数，利用极小值点求出 a 的值，再确定出函数的解析式，从而确定函数的极大值． 考查利用导数研究函数的极值问题，考查函数极值和极值点，属于中档题．
（Ⅱ）设 g（x）=
，其中 x0 是函数 f（x）的零点．若方程 g（x）=k（k∈R）在
（1，+∞）内有两个不等实根 x1，x2（x1＜x2），判断 x1+x2 与 2x0 的大小，并给出对应的证明．
22. 极坐标系与直角坐标系 xOy 有相同的长度单位，以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴．已知
可得函数的解析式可得关于 a、b 的方程，解可得 a、b 的值，即可得函数的解析式，由此可得 f（ ）
的值，又由 f（x）是周期为 2 的奇函数，则有 f（1）=f（-1）与 f（1）=-f（-1）同时成立，则 f（1） =0，相加即可得答案． 本题考查函数奇偶性的性质以及应用，关键是求出 a、b 的值，属于基础题．
A. [ ，+∞）
B. [ ，+∞）
C. [1，+∞）
D. [ ，+∞）
10. 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F，G 分别为 AA1，CC1，BC 的中点，则直线 B1G 与平面 B1EDF 所成角的正弦值为（ ）
A.
B.
Biblioteka BaiduC.
D.
11. 设抛物线 C：y2=4x 的焦点为 F，准线为 l，且 l 与 x 轴的交点为 P，过 P 的直线与 C 交于 A，B
的展开式中，常数项为______（用数字表示）
D. -1
14. 已知 α 满足 tan（α+ ）=-3-2 ，则 tan2α=______
15. 数列{an}满足 + = ，a1=1，a8= ，bn=anan+1，则数列{bn}的前 n 项和为______．
16. 已知双曲线 =1 的离心率为 e，若点（2， ）与点（e，2）都在双曲线上，则该双曲线的渐 近线方程为______
7.答案：A
解析：解：根据题意，当 0≤x＜1 时，f（x）= ， 若 f（x）是周期为 2 的奇函数，则 f（0）=0，即 f（0）= =0， 若 f（ ）=- ，则 f（- ）=f（- ）=-f（ ）=- ，则 f（ ）= ，即 = ，
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解可得：a=0，b=1，则当 0≤x＜1 时，f（x）= ，则 f（ ）= = ； 又由 f（x）是周期为 2 的奇函数，则有 f（1）=f（-1）与 f（1）=-f（-1）同时成立，则 f（1）=0， 则 f（1）+f（ ）=0+ = ； 故选：A． 根据题意，由 f（x）是周期为 2 的奇函数，可得 f（0）=0，同时可得 f（- ）=f（- ）=-f（ ）=- ，解
1.答案：A
-------- 答案与解析 --------
解析：解：A={x|-1＜x＜5}； ∴A∩B={1，2，3，4}． 故选：A． 可求出集合 A，然后进行交集的运算即可． 考查描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．
2.答案：C
解析：解：∵ =（3-i）i=1+3i，
2019 年黑龙江省齐齐哈尔市高考数学三模试卷（理科）
题号 得分
一
二
三
总分
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）
1. 已知集合 A={x|x2-4x-5＜0}，B={1，2，3，4，5}，则 A∩B=（ ）
A. {1，2，3，4} B. {2，3}
C. {3，4}
D. {4，5}
2. 若复数 z 的共轭复数为（3-i）i，则 =（ ）
9.答案：C
解析：解：∵f（x）=（1-2sin2x）sin（ ）-2sinxcosxcos（ -θ）
∴f（x）=cos2xcos -sin2xsin =cos（2x+ ），
∵x∈[- ，- ，∴2x+
，
∵函数 f（x）在[- ，- ]上单调递增，
∴
，k∈Z，
∴
，k∈Z，
∵|θ|≤ ，∴当 k=0 时，
10.答案：B
解析：解：以 D 为原点，DA，DC， DD1 所在直线分别为 x，y，z 轴，建立 空间直角坐标系， 则正方体 ABCD-A1B1C1D1 中棱长为 2， 则 D（0，0，0），E（2，0，1），F （0，2，1），B1（2，2，2），G（1， 2，0），
D. 20
5. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有仓，广三丈，袤
四丈五尺，容粟一万斛，问高几何？”其意思为：“今有一个长方体的粮仓，宽 3 丈，长 4 丈 5
尺，可装粟一万斛．问该粮仓的高是多少？已知 1 斛粟的体积为 2.7 立方尺，1 丈为 10 尺，则
该粮仓的外接球的表面积是（）
4.答案：D
解析：解：根据题意，画出可行域与目标函数线如下图所示，
由
得 A（a，3a）
函数在点 A（a，3a）处目标函数取得最小值：z=2×a-3×3a=-7， 解得 a=1．
此时
解得 B（1，-6），
所以 z 的最大值是：2+18=20． 故选：D． 先画出满足约束条件的平面区域，判断最优解的坐标，点的坐
两点，以 AB 为直径的圆过点 F，则|AB|=（ ）
A. 4
B. 4
C. 3
D. 6
12. 在△ABC 中，D 是 BC 中点，E 是 AD 中点，BE=1，点 M 是平面 ABC 上的任意一点，则
（2
）的最小值为（ ）
A. 2
B. -2
C. 1
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
13. 在
（参考公式： =
=
，
）
19. 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，平面 PAD⊥平面 ABCD，底面 ABCD 是等腰梯 形，PA=PD=AB=AD=CD=1，BC=2，点 E 在线段 PC 上，且 CE=2PE． （Ⅰ）证明：PA∥平面 BDE； （Ⅱ）求二面角 P-BD-E 的余弦值．
20. 已知椭圈 C：
8.答案：D
解析：解：函数 f（x）=ln（x+2）-ax2-3a2x，定义域是：{x|x＞-2} f′（x）= -2ax-3a2
因为 x=- 是函数 f（x）=ln（x+2）-ax2-3a2x 的极小值点，
则：f′（- ）=0，解得：9a2-3a-2=0，即：a=- ，或 a= ，
讨论 a；
①当 a=- 时，函数 f′（x）= + x- =
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标代入目标函数，求解 a，然后求解目标函数的最大值即可． 本题主要考查线性规划的应用，利用 z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．
5.答案：C
解析：解：由题意画出图形，
长方体 ABCD-A1B1C1D1 中， AD=3，AB=4.5，V=10000×2.7×10-3=27，
=1（a＞b＞0）的离心率为 ，且过点 A（1， ）．
（Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程； （Ⅱ）设直线 l：y=kx+2 与椭圆 C 有两个交点 D，E，且 O 是坐标原点，当△ODE 面积最大时， 求 k 值．
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21. 已知函数 f（x）=lnx- ． （Ⅰ）求证：函数 f（x）只有一个零点 x0，且 x0∈（1，2）；
6.答案：D
解析：解：模拟程序框图的运行过程知，该程序运行后是计算 S=3×4+3×6+3×8+3×10+3×12+3×14+3×16=210； 则输出的结果是 S=210． 故选：D． 模拟程序框图的运行过程知该程序是计算等差数列前 n 项和的应用问题，计算即可． 本题考查了利用算法与程序框图计算等差数列前 n 项和的应用问题，也考查了推理与计算能力，是 基础题．
曲线 C 的极坐标方程为 ρ=2 sin（θ+ ），直线 l 的参数方程为
（t 为参数）．
（Ⅰ）求曲线 C 的直角坐标方程； （Ⅱ）设 P 坐标为（-2，0），l 与 C 的公共点为 A，B，求|PA|•|PB|的值．
23. 已知 a＞0，b＞0，c＞0，
=1．
（Ⅰ）证明：
；
（Ⅱ）证明：
．
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D.
8. 设 x=- 是函数 f（x）=ln（x+2）-ax2-3a2x 的极小值点，则 f（x）的极大值为（ ）
A. 2
B. 1
C.
D.
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9. 已知函数 f（x）=（1-2sin2x）sin（ ）-2sinxcosxcos（ -θ）（
）在[-
]上单调递
增，且 f（ ）≤m，则实数 m 的取值范围为（ ）