极坐标与参数方程专题复习汇编
极坐标与参数方程考点汇总
专题一极坐标与参数方程考点整合一、极坐标知识点一极坐标系1．极坐标系：如图所示，在平面内取一个定点O，叫作；自极点O引一条射线Ox，叫作；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．2．极坐标：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫作点M的，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM为终边的角xOM叫作点M的，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫作点M的极坐标，记为M(ρ，θ)．一般地，不做特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．3．点与极坐标的关系：一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一个点．特别地，极点O的坐标为(0，θ)(θ∈R)．和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示．如果规定ρ＞0，0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(ρ，θ)表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是唯一确定的．4．极坐标与直角坐标的互化(1)互化背景：把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．(2)互化公式：如图所示，设M是坐标系平面内任意一点，它的直角坐标系是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)(ρ≥0)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下表：温馨提示;(1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一．(2)在与曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性知识点二 常见曲线的极坐标方程．二、参数方程知识点一 参数方程 1．参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )，①，并且对于t 的每一个允许值，由方程组①所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么方程①就叫作这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫作参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫作普通方程． 2．参数方程和普通方程的变化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程．(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )就是曲线的参数方程．(3)在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致．易误提醒 在将曲线的参数方程化为普通方程时，还要注意其中的x ，y 的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性． 知识点二 常见曲线的参数方程 1．直线的参数方程经过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α(α≠π2)的直线l 的普通方程是y －y 0＝tan_α(x －x 0)，而过M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为 (t 为参数)，若点P 对于的参数为t ，则有||PM = ． 2．圆的参数方程如图所示，设圆O 的半径为r ，点M 从初始位置M 0(t ＝0时的位置)出发，按逆时针方向在圆O 上作匀速圆周运动，设M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θy ＝r sin θ(θ为参数)．这就是圆心在原点O ，半径为r 的圆的参数方程．其中参数θ的几何意义是OM 0绕点O 逆时针旋转到OM 的位置时，OM 0转过的角度．圆心为(a ，b )，半径为r 的圆的普通方程是(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，它的参数方程为： ． 3．椭圆的参数方程中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，其参数方程为 (φ为参数)．其中参数φ称为离心角；中心在原点O ，焦点在y 轴上的椭圆的标准方程是y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)，其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝b cos φ，y ＝a sin φ(φ为参数)，其中参数φ仍为离心角，通常规定参数φ的范围为φ∈[0,2π)． 温馨提示 (1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有代入消参法，加减消参法，平方消参法等．(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解、漏解，若x 、y 有范围限制，要标出x 、y 的取值范围．典例分析一、t 的几何意义【例1】.在极坐标系中，曲线C 的方程为2cos29ρθ=，点6P π⎛⎫⎪⎝⎭．以极点O 为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系．（1）求直线OP 的参数方程的标准式和曲线C 的直角坐标方程； （2）若直线OP 与曲线C 交于A 、B 两点，求11PA PB+的值．【变式1】在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为2{x t y =-+=（t 为参数），若以该直角坐标系的原点O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos 0ρθθ+=. （Ⅰ）求直线l 与曲线C 的普通方程；（Ⅱ）已知直线l 与曲线C 交于,A B 两点，设()2,0M -，求11MA MB-的值.二、ρ的几何意义【例2】（2011新课标全国卷）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为：2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）M 是C 1上的动点，P 点满足2OP OM =,P 点的轨迹为曲线C 2(Ⅰ)求C 2的方程(Ⅱ)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求AB .【变式2】在平面直角坐标系中，曲线122:x cos C y sin αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）经伸缩变换2x x y y⎧=⎪⎨⎪='⎩'后的曲线为2C ，以坐标原点O 为极点， x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线2C 的极坐标方程； （2）,A B 是曲线2C 上两点，且3AOB π∠=，求OA OB +的取值范围三、面积【例3】.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是35cos 35sin x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系.（1）求曲线的极坐标方程； （2）设12:,:,63l l ππθθ==，若12,l l 与曲线C 分别交于异于原点的,A B 两点，求AOB的面积.【变式3】【2015高考新课标1，文23】选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆()()222:121C x y -+-=，以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （I ）求12,C C 的极坐标方程. （II ）若直线3C 的极坐标方程为()πR 4θρ=∈，设23,C C 的交点为,M N ，求2C M N ∆ 的面积. 四、交点【例4】已知直线l 的参数方程为：2cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos ρθθ=-.（Ⅰ）求曲线C 的参数方程； （Ⅱ）当4πα=时，求直线l 与曲线C 交点的极坐标.【变式4】【2013课标全国Ⅰ，文23】已知曲线C 1的参数方程为45cos ,55sin x t y t=+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ. (1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．五、轨迹【例5】（2013全国Ⅱ卷）已知动点,P Q 都在曲线2cos :2sin x C y ββ=⎧⎨=⎩(β为参数)上，对应参数分别为βα=与)20(2πααβ<<=，M 为PQ 的中点． （Ⅰ）求M 的轨迹的参数方程；（Ⅱ）将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点．【变式5】在直角坐标系xOy 中，已知圆C ： 2{2x cos y sin θθ== (θ为参数)，点P 在直线l ：40x y +-=上，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．（I ）求圆C 和直线l 的极坐标方程；（II ）射线OP 交圆C 于R ，点Q 在射线OP 上，且满足2OP OR OQ =⋅，求Q 点轨迹的极坐标方程六、参数方程的应用【例6】(2014课表全国Ⅰ)已知曲线22:149x y C +=,直线2:22x t l y t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数).(Ⅰ)写出曲线C 的参数方程,直线l 的普通方程;(Ⅱ)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线,交l 于点A ,求|PA |的最大值与最小值.【变式6】(2016·全国Ⅲ卷)在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1:sin x C y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()4πρθ+=。
极坐标与参数方程专题复习
OM的角度θ来刻画(如图所示).这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为
点M的极坐标.ρ称为点M的 极径 ，θ称为点M的极角
.
一般认为ρ≥0.当极角θ的取值范围是[0,2π)时，平面上的点(除去极
点)就与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应的关系.我们设定，极点的
例、将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原
来的2倍，得到曲线C.求曲线C的标准方程；
2.极坐标系
(1)极坐标与极坐标系的概念
在平面内取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长
度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了
一个极坐标系.点O称为极点，射线Ox称为极轴.
0，直线 l 的参数方程为
(t 为参数)，射线 OM 的极坐标方程
y＝t
3π
为 θ＝ 4 .求圆 C 和直线 l 的极坐标方程；
题型三、距离的最值： 用“参数法”
1.曲线上的点到直线距离的最值问题
2.点与点的最值问题
“参数法”：设点---套公式--三角辅助角
①设点： 设点的坐标，用该点在所在曲线的的参数 方程来设
直线
圆
普通方程
参数方程
y－y0＝tan α(x－x0)
x＝x0＋tcos α，
(t 为参数)
y＝y0＋tsin α
(x-a)2＋(y-b)2＝r2
2
椭圆
抛物线
2
x y
2＋ 2＝1(a>b>0)
a b
y2＝2px(p>0)
ቊ
= +
(为参数)
= +
极坐标与参数方程专题复习,DOC
极坐标与参数方程专题复习学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、知识点总结1.直线的参数方程(1)标准式过点()000P ,x y ，倾斜角为α的直线l (如图)的参数方程是⎩⎨⎧+=+=a t y y a t x x sin cos 00(t 为参数) 定点(2)一般式2.(1)圆 θ(2)1x y ⎧⎨⎩3.极坐标 (1)极坐标与直角坐标互换。
222cos sin x y x y ρρθρθ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩(2)过原点倾斜角为α的直线的极坐标方程：θα=(3)圆心在原点，半径为r 的圆极坐标方程：r ρ=二、例题示范题型一、坐标的互化。
（略）题型二、参数方程的本质（表示点）。
1、点到点、点到直线距离的最值。
参数方程看做点带入距离公式。
2、点的轨迹方程。
参数方程看做点，同时使用跟踪点发。
例1．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为3x t y =+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρθ=.（1）写出直线l 的普通方程及圆C 的直角坐标方程；（2）点P例2为参数）．（1点P （2）设点例3．＜2π），M 为PQ （Ⅰ）求（Ⅱ）将例4．以标方程为sin 2θρ2C . （1（2）若点题型三、直线参数方程的几何意义。
定标图号联、韦达三定理。
例5．已知曲线C 的极坐标方程是16cos 2sin 0ρθθρ-++=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，在平面直角坐标系xOy ，直线l 经过点(3,3)P ，倾斜角3πα=．（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程；（2）设l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求||AB 的值．例6．在平面直角坐标系xOy 中，1C的参数方程为1,21,2x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，2C 的极坐标方程22cos 30ρρθ--=．（Ⅰ）说明2C 是哪种曲线，并将2C 的方程化为普通方程；（Ⅱ）1C 与2C 有两个公共点,A B ，顶点P的极坐标4π⎫⎪⎭，求线段AB 的长及定点P 到,A B 两点的距离之积．例7（1）求圆（2）直线例8自极点O 12，求动点P参考答案1．试题解析：（1）由3,.x t y =+⎧⎪⎨=⎪⎩消去参数t ，得直线l0y --=，由ρθ=得2sin ρθ=，22x y +=，即圆C 的直角坐标方程为(223x y +-=.（2）()3P t +，(C ，PC ==，由此得cos()1αϕ+=-时，d ． 3.【解析】（Ⅰ）由题意有,(2cos ,2sin )P αα,(2cos 2,2sin 2)Q αα,因此(cos cos 2,sin sin 2)M αααα++,M 的轨迹的参数方程为cos cos 2sin sin 2x y αααα=+⎧⎨=+⎩,(α为参数,02απ<<).（Ⅱ）M 点到坐标原点的距离为2)d απ==<<，当απ=时，0d =，故M 的轨迹过坐标原点.4．试题解析：（1）将曲线1C ：⎩⎨⎧==ααsin cos y x （α为参数）化为122=+y x ， 由伸缩变换⎨⎧=x x 3'化为⎪⎪⎨⎧='31x x ，代入圆的方程得1)'1()'1(22=+y x ，（2）将l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，整理得270t ++=， 247200∆=-⨯=>，则12t t +=-127t t =，所以12||||AB t t =-==6．试题解析：（Ⅰ）2C 是圆，2C 的极坐标方程22cos 30ρρθ--=，化为普通方程：22230x y x +--=即：()2214x y -+=． （Ⅱ）的极坐标平面直角坐标为在直线1C 上，将1C的参数方程为1,21,2x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）代入22230x y x +--=中得：22⎛⎫⎛⎫⎛⎫23,t =-12t t -=12PA PB t t =)219-=可化为OM OP ∙又'cos 3ρθ=，12cos 3θρ∴∙=.则动点P 的极坐标方程为4cos ρθ=.………（5分）极点在此曲线上，∴方程两边可同时乘ρ，得24cos ρρθ=. 2240x y x ∴+-=.………（10分）。
极坐标与参数方程知识讲解(汇编)
参数方程和极坐标系一、 知识要点（一）曲线的参数方程的定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即 ⎩⎨⎧==)()(t f y t f x并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数． （二）常见曲线的参数方程如下： 1．过定点（x 0，y 0），倾角为α的直线：ααsin cos 00t y y t x x +=+= （t 为参数）其中参数t 是以定点P （x 0，y 0）为起点，对应于t 点M （x ，y ）为终点的有向线段PM 的数量，又称为点P 与点M 间的有向距离．根据t 的几何意义，有以下结论． ○1．设A 、B 是直线上任意两点，它们对应的参数分别为t A 和t B ，则AB ＝A B t t -＝B A A B t t t t ⋅--4)(2．○2．线段AB 的中点所对应的参数值等于2BA t t +． 2．中心在（x 0，y 0），半径等于r 的圆：θθsin cos 00r y y r x x +=+= （θ为参数）3．中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的椭圆：θθsin cos b y a x == （θ为参数） （或 θθsin cos a y b x ==）中心在点（x0,y0）焦点在平行于x 轴的直线上的椭圆的参数方程为参数）ααα(.sin ,cos 00⎩⎨⎧+=+=b y y a x x4．中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的双曲线：θθtg sec b y a x == （θ为参数）（或θθec a y b x s tg ==）5．顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上的抛物线：ptypt x 222== （t 为参数，p ＞0）直线的参数方程和参数的几何意义过定点P （x 0，y 0），倾斜角为α的直线的参数方程是 ⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）． J3.2极坐标系1、定义：在平面内取一个定点O ，叫做极点，引一条射线Ox ，叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。
极坐标与参数方程基本知识点汇编
极坐标与参数方程基本知识点、极坐标知识点的作用下，点P （x, y ）对应到点P （x ,y ），称「为平面直角坐标系中的 坐标伸缩变换..，简 称伸缩变换一.。
2.极坐标系的概念： 在平面内取一个定点 0,从0引一条射线Ox ，选定一个单位长度以及 计算角度的正 方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系， 0点叫做极点，射线Ox 叫做极轴|① 极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素, 缺一不可.3•点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点 0与点M 的距离|0M |叫做点M 的极径， 记为T ;以极轴Ox 为始边，射线 0M 为终边的.xOM 叫做点M 的极角，记为二。
有序 数对（罕）叫做点M 的极坐标，记为M （ 丁）•极坐标（「）与（「 2k 二）（k Z ）表示同一个点。
极点 0的坐标为（0,* R ） •4.若「：0,则- 0,规定点（-「，力与点（「门）关于极点对称，即（-‘门）与（，,二 二）表示同一点。
如果规定「・0,0_二_2二，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标 （匸门）表示;同时，极坐标（二二）表示的点也是唯一确定的。
5 •极坐标与直角坐标的互化:（1）互化的前提条件① 极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合;1伸缩变换：设点P （x, y ）是平面直角坐标系中的任意一点,在变换x =\ x, a > 0),y =「y,(4>0).②极轴与x轴的正半轴重合③两种坐标系中取相同的长度单位•(2)互化公式6.曲线的极坐标方程:1.直线的极坐标方程：若直线过点M (订门o),且极轴到此直线的角为:,则它的方程为：「sin( v -:)=【0sin( v0 -:)几个特殊位置的直线的极坐标方程(1)直线过极点(2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴(3)直线过M(b,—)且平行于极轴2 方程：(1) r -「(卩三R)或写成匚=二及=7( 2) 「COST - a (3) p sin 0 =b 2•圆的极坐标方程：若圆心为MC'j。
极坐标与参数方程综合复习
极坐标与参数方程综合复习一、极坐标的基本概念和转换关系极坐标是用极径和极角来表示平面上的点。
对于平面上的一个点P，若以原点O为极点，OP的长度为r，OP与极轴的夹角为θ，则点P的极坐标可以表示为(r,θ)。
其中，极径r是非负实数，极角θ是弧度制。
极坐标与直角坐标的转换关系为：x = r*cosθy = r*sinθr^2=x^2+y^2θ=atan(y/x)在极坐标系中，曲线的方程通常表示为r=f(θ)，其中f(θ)为极角θ的函数。
常见的极坐标曲线包括圆和阿基米德螺线。
二、参数方程的基本概念和转换关系参数方程是使用一个或多个参数来表示曲线上的点的坐标。
对于参数方程x=f(t)，y=g(t)，t为参数变量，曲线上的点的坐标可以表示为(x,y)=(f(t),g(t))。
参数方程与直角坐标的转换关系为：x=f(t)，y=g(t)t=x，x=f(t)，y=g(f(t))参数方程的优点是可以描述更加复杂的曲线，如椭圆、双曲线和螺旋线等。
三、极坐标与参数方程之间的转换关系对于极坐标转换为参数方程，可以将极坐标表示的一组点的极角参数化，然后代入到直角坐标系的坐标转换关系中。
例如，对于极坐标(r,θ)，可以将θ用参数t表示，得到x=r*cos(t)，y=r*sin(t)。
这样，极坐标就转换为了参数方程。
对于参数方程转换为极坐标，首先需要确定极径r和极角θ的范围，然后将参数t代入到直角坐标系的坐标转换关系中，得到x=f(t)，y=g(t)。
再利用极坐标的转换关系，求出相应的极径r和极角θ。
四、极坐标与参数方程的应用1.极坐标的应用：极坐标常用于描述圆和极坐标曲线，可以简化计算。
例如，在极坐标系下，计算圆的面积和弧长可以更加方便。
2.参数方程的应用：参数方程可以描述一条曲线的整个轨迹，因此在物理、工程、经济和生物等领域中有广泛的应用。
例如，在物理学中，参数方程可以描述物体的运动轨迹；在经济学中，参数方程可以描述供需曲线和价格变化曲线等。
高三数学《极坐标与参数方程》复习专题含答案
极坐标与参数方程专题复习题方法总结1.点M (ρ，θ)的极坐标通式是(ρ，θ＋2k π)或(－ρ，θ＋2k π＋π)(k ∈Z).如果限定ρ>0，0≤θ<2π或－π<θ≤π，那么除极点外，平面内的点和极坐标(ρ，θ)一一对应.2.极坐标和直角坐标的互化公式是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ或⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2tan θ＝yx （x ≠0）.这两组公式必须满足下面的“三个条件”才能使用：(1)原点与极点重合；(2)x 轴正半轴与极轴重合；(3)长度单位相同.极坐标和直角坐标的互化中，需注意等价性，特别是两边乘以ρn时，方程增了一个n 重解ρ＝0，要判断它是否是方程的解，若不是要去掉该解. 3.极坐标方程的应用及求法(1)合理建立极坐标系，使所求曲线方程尽量简单.(2)巧妙利用直角坐标系与极坐标系中坐标之间的互化公式，把问题转化为熟悉的知识解决问题.(3)利用解三角形方法中正弦定理、余弦定理列出关于极坐标(ρ，θ)的方程是求极坐标系曲线方程的法宝. (4)极坐标系内点的对称关系：①点P (ρ，θ)关于极点的对称点P ′(ρ，θ±π)；②点P (ρ，θ)关于极轴所在直线的对称点P ′(ρ，－θ)；③点P (ρ，θ)关于直线θ＝π2的对称点为P ′(ρ，π－θ)；④点P (ρ，θ)关于直线θ＝π4的对称点为P ′⎝⎛⎭⎪⎫ρ，π2－θ.4.极坐标系下A (ρ1，θ1)，B (ρ2，θ2)间的距离公式|AB |＝ρ21＋ρ22－2ρ1ρ2cos （θ1－θ2）1.选取参数时的一般原则是：(1)x ，y 与参数的关系较明显，并列出关系式；(2)当参数取一值时，可唯一的确定x ，y 的值；(3)在研究与时间有关的运动物体时，常选时间作为参数；在研究旋转物体时，常选用旋转角作为参数；此外，也常用线段的长度、倾斜角、斜率、截距等作为参数.2.求曲线的参数方程常常分成以下几步：(1)建立直角坐标系，在曲线上设任意一点P(x ，y)；(2)选择适当的参数；(3)找出x ，y 与参数的关系，列出解析式；(4)证明(常常省略).3.根据直线的参数方程标准式中t 的几何意义，有如下常用结论：(1)若M 1，M 2为l 上任意两点，M 1，M 2对应t 的值分别为t 1，t 2，则|M 1M 2|＝|t 1－t 2|；(2)若M 0为线段M 1M 2的中点，则有t 1＋t 2＝0；(3)若线段M 1M 2的中点为M ，则M 0M ＝t M ＝t 1＋t 22.一般地，若点P 分线段M 1M 2所成的比为λ，则t P ＝t 1＋λt 21＋λ.直线的参数方程的一般式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (t 为参数)，是过点M 0(x 0，y 0)，斜率为ba 的直线的参数方程.当且仅当a 2＋b 2＝1且b ≥0时，才是标准方程，t 才具有标准方程中的几何意义.将非标准方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt 化为标准方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0±|a|a 2＋b 2t ′，y ＝y 0＋|b|a 2＋b2t ′(t′∈R)，式中“±”号，当a ，b 同号时取正；当a ， b 异号时取负. 5.参数方程与普通方程互化时，要注意：(1)不是所有的参数方程都能化为普通方程；(2)在化参数方程为普通方程时变量的范围不能扩大或缩小；(3)把普通方程化为参数方程时，由于参数选择的不同而不同，参数的选择是由具体的问题来决定的.6.在已知圆、椭圆、双曲线和抛物线上取一点可考虑用其参数方程设定点的坐标，将问题转化为三角函数问题求解.7.在直线与圆和圆锥位置关系问题中，涉及距离问题探求可考虑应用直线参数方程中参数的几何意义求解. 8.在求某些动点的轨迹方程时，直接寻找x ，y 的关系困难，甚至找不出时，可以通过引入参数，建立动点的参数方程后求解.典型题【母题原题1】极坐标方程例1. 在平面直角坐标系xOy 中，圆22:40C x y y +-=，直线:40l x y +-=.(1)以原点O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C 和直线l 的交点的极坐标； (2)若点D 为圆C 和直线l 交点的中点，且直线CD 的参数方程为1{2x at y t b=+=+ (t 为参数)，求a ， b 的值.【答案】（1）4,2π⎛⎫⎪⎝⎭和点22,4π⎛⎫⎪⎝⎭；（2）2a =， 3b =.解析：(1)由题可知，圆C 的极坐标方程为4sin ρθ=，直线l 的极坐标方程为cos sin 4ρθρθ+=，由4{ 4sin cos sin ρθρθρθ=+=，可得4{ 2ρπθ==或22{ 4ρπθ==，可得圆C 和直线l 的交点的极坐标为4,2π⎛⎫⎪⎝⎭和点22,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭.(2)由(1)知圆C 和直线l 的交点在平面直角坐标系中的坐标为()0,4和()2,2,，那么点D 的坐标为()1,3，又点C 的坐标为()0,2，所以直线CD 的普通方程为20x y -+=，把1{2x at y t b=+=+ (t 为参数)代入20x y -+=，可得()230a t b -+-=，则20{30a b -=-=，即2a =， 3b =.练习1. 在直角坐标系xOy 中，圆1C 的参数方程为22{42x cos y sin αα=-+=+（α为参数).以坐标原点为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线2C 的极坐标方程为()34R πθρ=∈. （1）求圆1C 的极坐标方程和直线2C 的直角坐标方程； （2）设1C |与2C 的交点为,P Q ，求1C PQ ∆的面积.【答案】（1）1C 的极坐标方程为24cos 8sin 160ρρθρθ+-+=；（2）1C PQ ∆的面积为2.试题解析：（Ⅰ）直线的直角坐标方程为圆的普通方程为因为,所以的极坐标方程为（Ⅱ）将代入,得,解得,故,即.由于圆的半径为,所以的面积为练习2. 在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程是6y =，圆C 的参数方程是{ 1x cos y sin φφ==+（ϕ为参数），以原点O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）分别求直线l 与圆C 的极坐标方程； （2）射线OM : θα=（02πα<<）与圆C 的交点为O ， P 两点，与直线l 交于点M ，射线ON :2πθα=+与圆C 交于O ， Q 两点，与直线l 交于点N ，求OP OQ OMON⋅的最大值．【答案】(1) sin 6ρθ=, 2sin ρθ=；（2）136. 【解析】试题分析：（1）利用直角坐标与极坐标的互化公式，即可求得直线和圆的极坐标方程；（2）由题意可得：点P ， M 的极坐标，可得2sin 3OPa OM =，同理可得： 2sin 3OQ ON α=，即可得出结论． 试题解析：（1）直线l 的方程是6y =，可得极坐标方程： sin 6ρθ=圆C 的参数方程是{1x cos y sin ϕϕ==+（ϕ为参数），可得普通方程： ()2211x y +-=展开为2220x y y +-=．化为极坐标方程： 22sin 0ρρθ-=即2sin ρθ=练习3. 在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C 的参数方程为12{ 22x t y t=+=-（t 为参数），以O 为极点， x轴的非负半轴为极轴，曲线2C 的极坐标方程为： 22cos sin θρθ=. （Ⅰ）将曲线1C 的方程化为普通方程；将曲线2C 的方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）若点()1,2P ，曲线1C 与曲线2C 的交点为A B 、，求PA PB +的值.【答案】(Ⅰ) 12:30,:C x y C +-= 22y x =；（Ⅱ）2【解析】试题分析：⑴利用参数方程与普通方程之间的转化方法进行化简(2) 曲线1C 与曲线2C 的相交，法一和法二将参数方程代入曲线方程，利用两根之和计算出结果，法三利用普通方程计算求出结果 解析：（Ⅰ） 1:3C x y +=，即： 30x y +-=；222:sin 2cos C ρθρθ=，即： 22y x =（Ⅱ）方法一：1C 的参数方程为212{ 22x y =-=+代入22:2C y x =得26240t t ++=∴1262t t +=-，∴1262PA PB t t +=+=. 方法二：【母题原题2】参数方程 例2.已知动点P 、Q 都在曲线2:{(2x costC t y sint==为参数）上，对应参数分别为t α=与2t α=（02απ<<），M 为PQ 的中点．(Ⅰ) 求M 的轨迹的参数方程；(Ⅱ)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点． 【答案】（1）2{2x cos cos y sin sin αααα=+=+（2）见解析【解析】试题分析：（1）根据中点坐标公式得()cos cos2,sin sin2M αααα++，即得M 的轨迹的参数方程；（2）根据两点间距离公式得d ，再根据x=y=0得απ=，即M 的轨迹过坐标原点. 试题解析：(Ⅰ)依题意有()()2cos ,2sin ,2cos2,2sin2P Q αααα 因此()cos cos2,sin sin2M αααα++M 的轨迹的参数方程为2{2x cos cos y sin sin αααα=+=+（α为参数， 02απ<<）(Ⅱ)M 点到坐标原点的距离2222cos (02)d x y ααπ=+=+<<当απ=时， 0d =，故M 的轨迹过坐标原点.练习1. 已知直角坐标系中动点()1cos sin P αα+，，参数[)02απ∈，，在以原点为极点、x 轴正半轴为极轴所建立的极坐标系中，动点()Q ρθ，在曲线C ：sin 1cos a θθρ-=上. （1）求点P 的轨迹E 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若动点P 的轨迹E 和曲线C 有两个公共点，求实数a 的取值范围. 【答案】(1) ()2211x y -+= ()1y a x =+ ()0a ≠ (2) 33,00,a ⎛⎫⎛⎫∈-⋃ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭试题解析：（1）设点P 的坐标为(),x y ，则有1{,x cos y sin αα=+= [)0,2απ∈消去参数α，可得()2211x y -+=，为点P 的轨迹E 的方程； 由曲线C ：sin 1cos a θθρ-=，得sin cos a a ρθρθ-=，且0a ≠， 由sin y ρθ=， cos x ρθ=故曲线C 的方程为： 0ax y a -+= ()0a ≠； （2）曲线C 的方程为： 0ax y a -+= ()0a ≠，即()1y a x =+ ()0a ≠表示过点()10-，，斜率为a 的直线，动点P 的轨迹E 是以()1,0为圆心， 1为半径的圆 由轨迹E 和曲线C 有两个公共点，结合图形可得33a ⎛⎫⎛∈⋃ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭． 练习2. 已知曲线2:{3x cos C y sin θθ== (θ为参数)和曲线22:{3x t l y t=-+= (t 为参数)相交于两点,A B ，求,A B两点的距离．【答案】AB＝13 2．【解析】试题分析：利用平方法消去曲线2:{3x cosCy sinθθ==的参数可得曲线C的普通方程，利用代入法消练习3. 已知直线l的参数方程为1{1x tcosy tsinαα=-+=+（t为参数）.以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为cos2ρρθ=+.（Ⅰ）写出直线l经过的定点的直角坐标，并求曲线C的普通方程；（Ⅱ）若4πα=，求直线l的极坐标方程，以及直线l与曲线C的交点的极坐标.【答案】（1）()1,1-,244y x=+；（2）2,2π⎛⎫⎪⎝⎭.解析：（1）直线l经过定点()1,1-，由cos 2ρρθ=+得()22cos 2ρρθ=+，得曲线C 的普通方程为()2222x y x +=+，化简得244y x =+；（2）若4πα=，得212{21x ty t=-+=+的普通方程为2y x =+，则直线l 的极坐标方程为sin cos 2ρθρθ=+， 联立曲线C ： cos 2ρρθ=+. ∵0ρ≠得sin 1θ=，取2πθ=，得2ρ=，所以直线l 与曲线C 的交点为2,2π⎛⎫⎪⎝⎭.【母题原题3】极坐标、参数方程、普通方程互化 例3. 已知曲线2:{ 3x cos C y sin θθ==（θ为参数）和曲线22:{3x t l y t=-+=（t 为参数）相交于两点,A B ，求两点,A B 的距离.【答案】13. 【解析】试题分析：由22143{ 332x y y x +==-+，解得112{ 0x y ==或111{ 32x y ==．∴()32,0,1,2A B ⎛⎫⎪⎝⎭，∴AB ==即两点,A B． 练习1. 已知直线l的参数方程为12{12x ty t=--=（t 为参数)，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为24cos 3πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （1）求圆C 的直角坐标方程；（2）若(),P x y 是直线l 与圆面24cos 3πρθ⎛⎫≤-⎪⎝⎭y +的取值范围. 【答案】（1）2220x y x ++-=（2）[]2,2-【解析】【试题分析】（1）将圆的极坐标方程展开后两边乘以ρ转化为直角坐标方程.（2）将直线的参数方y +的取值范围. 【试题解析】解：（1）∵圆C 的极坐标方程为24cos 3πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭，∴2214cos 4cos 32πρρθρθθ⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 又∵222x y ρ=+， cos ,sin x y ρθρθ==，∴222x y x +=-，∴圆C的普通方程为2220x y x ++-=练习2. 已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴的非负半轴重合，直线l 的参数方程为122{ 32x ty t=-=（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=.（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）设P ， Q 分别是直线l 与曲线C 上的点，求PQ 的最小值. 【答案】（1）()2211x y +-=3230x y +-=;（2）min 233||PQ -=. 【解析】试题分析：（1）利用极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线C 的直角坐标方程，通过消去参数可将直线l 的参数方程转化为普通方程；（2）在直角坐标系中进行求解，运用点到直线的距离公式，求出圆心到直线的距离d ，利用数形结合边框求出PQ 的最小值. 试题解析：（1）∵2sin ρθ=，∴22sin ρρθ=，∵222x y ρ=+， sin y ρθ=，∴222x y y +=，即()2211x y +-=，∴曲线C 的直角坐标方程为()2211x y +-=.由12,2 {3x ty t=-=（t为参数），消去t得3230x y+-=，∴直线l的普通方程为3230x y+-=.【母题原题4】.利用参数方程求最值例4. 在平面直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为2,{x cosy sinϕϕ==（ϕ为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C是圆心为3,2π⎛⎫⎪⎝⎭，半径为1的圆．（1）求曲线1C，2C的直角坐标方程；（2）设M为曲线1C上的点，N为曲线2C上的点，求MN的取值范围．【答案】(1)1C的直角坐标方程为2214xy+=，2C的直角坐标方程为()2231x y+-=．(2) []1,5. 【解析】试题分析：（1）利用平方法消去参数ϕ可得1C的直角坐标方程，将极坐标化为直角坐标可得曲线2C 的圆心的直角坐标为()0,3，结合半径为1可得2C的直角坐标方程；（2）根据曲线1C的参数方程设()2cos,sinMϕϕ，根据两点间的距离公式，由三角函数和二次函数的性质可得2MC的取值范围，结合圆的几何性质可得答案.试题解析：（1）消去参数ϕ可得1C的直角坐标方程为2214xy+=，曲线2C的圆心的直角坐标为()0,3，∴2C的直角坐标方程为()2231x y+-=．（2）设()2cos,sinMϕϕ，则()()222222cos sin34cos sin6sin9MCϕϕϕϕϕ=+-=+-+23sin 6sin 13ϕϕ=--+ ()23sin 116ϕ=-++．∵1sin 1ϕ-≤≤，∴2min ||2MC =， 2max ||4MC =，根据题意可得min ||211MN =-=，max ||415MN =+=，即MN 的取值范围是[]1,5．练习1. 在平面直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为： 4{3x cos y sin θθ==（θ为参数），以坐标原点O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为52sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.（1）求曲线2C 的直角坐标方程；（2）已知点M 为曲线1C 上任意一点，求点M 到曲线2C 的距离d 的取值范围.【答案】（1）5x y +=；（2）052d ⎡⎤∈⎣⎦，试题解析：（1）由52sin 42πρθ⎛⎫+=⎪⎝⎭得cos sin 5ρθρθ+=， 将cos x x ρ=， sin y ρθ=代入得到5x y +=.（2）设()4cos 3sin M θθ，， M 到曲线2C ： 5x y +=的距离，4cos 3sin 52d θθ+-=()5sin 52θϕ+-=()52sin 1θϕ+-=当()sin 1θϕ+=-时， max 52d =，当()sin 1θϕ+=时， min 0d =.所以052d ⎡∈⎣. 练习2. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是12,{2x cos y sin αα=+=（α为参数），以该直角坐标系的原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 3sin cos 0m ρθρθ-+=. （1）写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设点(),0P m ，直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，且1PA PB =，求实数m 的值. 【答案】（1）曲线C 的普通方程为()2212x y -+=，直线l 的直角坐标方程为()33y x m =-；（2）13m =±或0m =或2m =.222311222m t t t ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ )()231120m t m +-+--=，代入韦达定理即得答案 解析： （1）()2212,{122x cos x y y sin αα=⇒-+==，故曲线C 的普通方程为()2212x y -+=. 直线l )333x m y x m -+⇒=-. （2）直线l 的参数方程可以写为3,{12x m y t ==（t 为参数）.设,A B 两点对应的参数分别为12,t t ，将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程()2212x y -+=可以得到22231122m t t ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ )()231120m t m +-+--=， 所以()212121PA PB t t m ==--= 2211m m ⇒--= 2220m m ⇒-==或220m m -=，解得13m =0m =或2m =.练习3.已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是{26x t y t ==+（t 是参数），以原点O 为极点， x 轴正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos ρθ=． （1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）设(),M x y 为曲线C 上任意一点，求x y +的取值范围． 【答案】（1）260x y -+=， ()2222x y -+=（2）22,22⎡⎤-++⎣⎦【解析】试题分析：（1）消去直角参数方程中的参数可得普通方程，利用公式{x cos y sin ρθρθ==可化极坐标方程为直角坐标方程；（2）利用圆的参数方程，设()22cos ,2sin Mθθ+，则22cos 2sin 22sin 4x y πθθθ⎛⎫+++=++ ⎪⎝⎭＝，由正弦函数的性质可得x y +的取值范围．试题解析： （1）由{26x t y t ==+，得26y x =+，故直线l 的普通方程为260x y -+=，由22cos ρθ=，得222cos ρρθ=，所以2222x y x +=，即()2222x y -+=，故曲线C 的普通方程为()2222x y -+=；【母题原题5】.直线参数方程的几何意义的应用例5.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ： 12{ 33x ty =-=+（t 为参数），以坐标原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4sin 3πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭.（1）求曲线C 的直角坐标方程； （2）设点M 的极坐标为3,2π⎛⎫⎪⎝⎭，直线l 与曲线C 的交点为A ， B ，求MA MB +的值. 【答案】(1) 2220x y y +--=(2) MA MB +=【解析】试题分析：（Ⅰ）直接由直线的参数方程消去参数t 得到直线的普通方程；把等式4sin 3πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭两边同时乘以ρ，代入x=ρcosθ，ρ2=x 2+y 2得答案；（Ⅱ）把直线的参数方程代入圆的普通方程，利用直线参数方程中参数t 的几何意义求得MA MB +的值． 试题解析：（1）把4sin 3πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭展开得2sin ρθθ=+， 两边同乘ρ得22sin cos ρρθθ=+①.将222x y ρ=+， cos x ρθ=， sin y ρθ=代入①即得曲线C的直角坐标方程为2220x y y +--=②.（2）将1,2{3x t y =-=代入②式，得230t ++=， 易知点M 的直角坐标为()0,3.设这个方程的两个实数根分别为1t ， 2t ，则由参数t的几何意义即得12MA MB t t +=+=练习1. 以直角坐标系的原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为2sin 306πρθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，曲线C 的参数方程是2{ 2x cos y sin ϕϕ==（ϕ为参数）.（Ⅰ）求直线l 和曲线C 的普通方程；（Ⅱ）直线l 与x 轴交于点P ，与曲线C 交于A ， B 两点，求PA PB +.【答案】(1) C 的普通方程为224x y +=, l的普通方程为30x +-=;(2) .解析：（Ⅰ）2sin 306πρθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭， 3sin cos 30ρθρθ+-=， 即l 的普通方程为330x +-=，2{2x cos y sin ϕϕ==消去ϕ，得C 的普通方程为224x y +=.（Ⅱ）在330x +-=中令0y =得()3,0P ，∵3k =，∴倾斜角56πα=， ∴l 的参数方程可设为536{ 506x tcosy tsin ππ=+=+即33{ 12x y t==， 代入224x y +=得23350t t -+=， 70∆=>，∴方程有两解，1233t t += 1250t t =>，∴1t ， 2t 同号，12PA PB t t +=+ 1233t t =+=练习2. 已知直线l 的参数方程为12{ 32x m ty t=-=（其中t 为参数， m 为常数），以原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=，直线l 与曲线C 交于点,A B 两点.（1）若15AB =，求实数m 的值； （2）若1m =，点P 坐标为()1,0，求11PA PB+的值.【答案】（1）m =（2）1+.【解析】试题分析：⑴将极坐标方程化为普通方程，根据题目条件计算出弦长的表达式，从而求出实数m 的值⑵将当1m =时代入即可求出结果解析：（1）曲线C 的极坐标方程可化为22sin ρρθ=， 转化为普通方程可得222x y y +=，即()2211x y +-=.把12{x m ty =-=代入()2211x y +-=并整理可得(()220*t m t m -++=，由条件可得(2240m m ∆=+->，解之得m <<设,A B 对应的参数分别为12,t t，则12t t m += 2120t t m =≥，12AB t t =-===，解之得m=（2）当1m =时， ()*式变为(2110t t -++=， 121t t +=， 121t t =，由点P 的坐标为()1,0可得11PA PB +=1212121212111t t t t t t t t t t +++===点睛：本题考查了极坐标方程方程的一些计算，这里需要注意极坐标方程与普通方程之间的互化，将其转化为一般方程，然后借助于解析几何的知识点来解题；第二问结合了上一问的解答结果，注意需求简答的计算练习3. 在直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为122{12x ty =+=-+ ，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=.（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若曲线C 与直线l 相交于不同的两点M ， N ，求线段MN 的长.【答案】（1）曲线C 的直角坐标方程为2240x y x +-=；（2）15.试题解析：（1）曲线C 的直角坐标方程为2240x y x +-=（2）由22131********t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭得， 2330t t --=123t t +=， 123t t =- ，()2121212415MN t t t t t t =-=+-=【母题原题6】利用极角求最值和范围 例6．[选修4—4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1:1C x y +=与曲线222:{2x cos C y sin ϕϕ=+=（ϕ为参数，[)0,2ϕπ∈）．以坐标原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）写出曲线12,C C 的极坐标方程；（2）在极坐标系中，已知点A 是射线():0l θαρ=≥与1C 的公共点，点B 是l 与2C 的公共点，当α在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上变化时，求OB OA 的最大值． 【答案】（1）2sin 42πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 4cos ρθ=（2）222+【试题解析】（1）曲线1C 的极坐标方程为()cos sin 1ρθθ+=，即sin 42πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭． 曲线2C 的普通方程为()2224x y -+=，即2240x y x +-=，所以曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=． （2） 由（1）知1,4cos cos sin A B OA OB ρρθθθ====+，()()4cos cos sin 21cos2sin2224OBOA παααααα⎛⎫∴=+=++=++ ⎪⎝⎭… 由02πα≤≤知52+444πππα≤≤，当242ππα+=，即8πα=时，OB OA有最大值2+练习1在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为5{41x t y =+=-- (t 为参数)；圆C 的参数方程是{x cos y sin θθ==（θ为参数），与直线l 交于两个不同的点A B 、，点P 在圆C 上运动，求PAB ∆面积的最大值【解析】试题分析：根据直线及圆的方程，可求出AB =()cos ,sin P θθ，则点到直线的距离为d =≤. 试题解析：设点()cos ,sin P θθ，则点到直线的距离为d =≤练习2．选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程2sin ρθθ=+.以极点为原点，极轴为x 轴非负半轴建立平面直角坐标系，且在两坐标系中取相同的长度单位，直线l的参数方程为3, {36x t y t==+（t为参数）.（1）写出曲线C的参数方程和直线l的普通方程；（2）过曲线C上任意一点M作与直线l相交的直线，该直线与直线l所成的锐角为30︒，设交点为A，求MA的最大值和最小值，并求出取得最大值和最小值时点M的坐标.【答案】（1）222220x y x y+--=，230x y-+=（2）点M坐标为()22,0时，max143||MA=，点M的坐标为()0,2时，min23||MA=.【解析】【试题分析】（1）对曲线C的极坐标方程两边乘以ρ转化为直角坐标方程，配方得到圆心和半径，然后直接写出圆的参数方程.将直线的参数方程利用加减消元法消去t，可求得直线l的普通方程.（2）设圆上任意一点到直线的距离为d，则2MA d=，由此利用点到直线的距离公式可求得d的最大值和最小值，也即是MA的最大值和最小值.【试题解析】（2）由题知点M到直线l的距离12d MA=，设点()23cos,13sinMθθ.则有点M到直线l的距离()43sin6cos43sin33dθθθϕ-+++==，其中3cos3ϕ=-，6sin3ϕ=，当()sin 1θϕ+=，即2πθϕ+=时， max d = max ||MA =，此时cos sin θϕ== sin cos θϕ== ()M ；当()sin 1θϕ+=-即32πθϕ+=时， min d = min ||MA =，此时cos sin θϕ=-= sin cos θϕ=-=， ()0,2M .综上，点M 坐标为()时， max ||3MA =，点M 的坐标为()0,2时， min ||3MA =.。
极坐标与参数方程题型分类整理
4√2
，求实数
5
m
的值．
5．在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲
线 C1 的极坐标方程为 ρcos θ=4.
高三一轮复习 极坐标与参数方程
一、 t 的几何意义
例 1.在极坐标系中，曲线 C 的方程为 2 cos2 = 9 ，点 P 2 3, ．以极点 O 为
6
原点，极轴为 x 轴的正半轴建立直角坐标系．
（1）求直线 OP 的参数方程的标准式和曲线 C 的直角坐标方程；
（2）若直线 OP 与曲线 C 交于 A 、 B 两点，求
变式 2.在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为
x = a + 4t ,
（t为参数）.
y = 1 − t,
线 l 的参数方程为
（1）若 a=−1，求 C 与 l 的交点坐标；
（2）若 C 上的点到 l 的距离的最大值为 17 ，求 a.
参数方程专题练习
1.在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为
（1）求曲线 的极坐标方程；
（2）设 l1 : =
6
, l2 : =
3
, ，若 l1 , l2 与曲线 C 分别交于异于原点的 A, B 两点，求
AOB 的面积.
= 2
变式 1.在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C：{
，(为参数)，以原
= √3
点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程( −
2
离取得最大值时，点 Q 的直角坐标．
（完整版）极坐标与参数方程知识点、题型总结（最新整理）
（完整版）极坐标与参数⽅程知识点、题型总结（最新整理）极坐标与参数⽅程知识点、题型总结⼀、伸缩变换：点是平⾯直⾓坐标系中的任意⼀点，在变换),(y x P 的作⽤下，点对应到点，称伸缩变换>?='>?=').0(,y y 0),(x,x :µµλλ?),(y x P ),(y x P '''⼀、1、极坐标定义：M 是平⾯上⼀点，表⽰OM 的长度，是，则有序实数实ρθMOx ∠数对,叫极径，叫极⾓；⼀般地，，。
，点P 的直⾓坐标、(,)ρθρθ[0,2)θπ∈0ρ≥极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)2、直⾓坐标极坐标 2、极坐标直⾓坐标?cos sin x y ρθρθ=??=??222tan (0)x y y x xρθ?=+??=≠?3、求直线和圆的极坐标⽅程：⽅法⼀、先求出直⾓坐标⽅程，再把它化为极坐标⽅程⽅法⼆、（1）若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的⾓为α，则它的⽅程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)（2）若圆⼼为M (ρ0，θ0)，半径为r 的圆⽅程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ02－r 2＝0⼆、参数⽅程：（⼀）．参数⽅程的概念：在平⾯直⾓坐标系中，如果曲线上任意⼀点的坐标都是某个变数的函数并且对于的每⼀个允许值，由这个⽅程所确y x ,t ?==),(),(t g y t f x t 定的点都在这条曲线上，那么这个⽅程就叫做这条曲线的参数⽅程，联系变数),(y x M 的变数叫做参变数，简称参数。
相对于参数⽅程⽽⾔，直接给出点的坐标间关系的y x ,t ⽅程叫做普通⽅程。
（⼆）．常见曲线的参数⽅程如下：直线的标准参数⽅程1、过定点（x 0，y 0），倾⾓为α的直线：（t 为参数）ααsin cos 00t y y t x x +=+=（1）其中参数t 的⼏何意义：点P （x 0，y 0），点M 对应的参数为t ，则PM =|t|(2)直线上对应的参数是。
讲义-4-4极坐标及参数方程知识点及高考题汇编
极坐标及参数方程知识点及例题一、极坐标知识点1．伸缩变换：设点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换⎩⎨⎧>⋅='>⋅=').0(,y y 0),(x,x :μμλλϕ的作用下，点),(y x P 对应到点),(y x P '''，称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。
2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点O ，从O 引一条射线Ox ，选定一个单位长度以及计算角度的正 方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，O 点叫做极点，射线Ox 叫做极轴.①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可.3．点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离||OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的xOM ∠叫做点M 的极角，记为θ。
有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为),(θρM .极坐标),(θρ与)Z )(2,(∈+k k πθρ表示同一个点。
极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ. 4.若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称，即),(θρ-与),(θπρ+表示同一点。
如果规定πθρ20,0≤≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。
5．极坐标与直角坐标的互化：(1)互化的前提条件①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合； ②极轴与x 轴的正半轴重合 ③两种坐标系中取相同的长度单位. (2)互化公式6.曲线的极坐标方程：1．直线的极坐标方程：若直线过点00(,)M ρθ，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：sin()sin()ρθ-α=ρθ-α几个特殊位置的直线的极坐标方程（1）直线过极点 （2）直线过点M(a,0)且垂直于极轴 （3）直线过(,)2M b π且平行于极轴 方程：（1）)R (∈=ραθ 或写成及（2）a =θρcos （3）ρsinθ=b2．圆的极坐标方程： 若圆心为00(,)M ρθ，半径为r 的圆方程为：2222cos()0r ρρρθθρ--+-=几个特殊位置的圆的极坐标方程（1）当圆心位于极点，r 为半径 （2）当圆心位于)0,(a C (a>0),a 为半径 （3）当圆心位于)2,(πa C )0(>a ，a 为半径方程：(1)r =ρ (2)θρcos 2a = (3)θρsin 2a =7.在极坐标系中，)0(≥=ραθ表示以极点为起点的一条射线；)R (∈=ραθ表示过极点的一条直线.二、参数方程知识点1.参数方程的概念：在平面直角坐标系中，若曲线C 上的点(,)P x y 满足()()x f t y f t =⎧⎨=⎩，该方程叫曲线C 的参数方程，变量t 是参变数，简称参数。
极坐标与全参数方程专题复习
实用文档标准文案极坐标与参数方程专题复习学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、知识点总结1.直线的参数方程(1)标准式过点()000P ,x y ，倾斜角为α的直线l (如图)的参数方程是⎩⎨⎧+=+=a t y y at x x sin cos 00 (t 为参数) 定点()000P ,x y 加t 个单位向量就是动点 于是，t 的绝对值就是定点和动点间的距离，(2)一般式⎩⎨⎧+=+=bt y y at x x 00(t 为参数)转化为标准式 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=t b a b y y t b a a x x 2202202.圆锥曲线的参数方程。
“1”的代换(1)圆()()222x a y b r -+-=cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩(θ是参数) θ是动半径所在的直线与x 轴正向的夹角，θ∈[]0,2π(2)椭圆12222=+b y a x cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩ (θ为参数) 椭圆 12222=+by a y cos sin x b y a θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数) 3.极坐标(1)极坐标与直角坐标互换。
222cos sin x y x y ρρθρθ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩实用文档标准文案(2)过原点倾斜角为α的直线的极坐标方程：θα= (3)圆心在原点，半径为r 的圆极坐标方程：r ρ=二、例题示范题型一、坐标的互化。
（略）题型二、参数方程的本质（表示点）。
1、点到点、点到直线距离的最值。
参数方程看做点带入距离公式。
2、点的轨迹方程。
参数方程看做点，同时使用跟踪点发。
例1．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为3x ty =+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρθ=.（1）写出直线l 的普通方程及圆C 的直角坐标方程；（2）点P 是直线l 上的点，求点P 的坐标，使P 到圆心C 的距离最小.例2．在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为40x y -+=，曲线C 的参数方程为x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数）．（1）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为)4π，判断点P 与曲线C 的位置关系；（2）设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．实用文档标准文案例3．已知动点P ，Q 都在曲线C ：2cos 2sin x ty t =⎧⎨=⎩（β为参数）上，对应参数分别为t α=与2t α=（0＜α＜2π），M 为PQ 的中点。
(完整版)高考文科数学复习专题极坐标与参数方程
1．曲线的极坐标方程．(1) 极坐标系：一般地，在平面上取一个定点O，自点 O引一条射线Ox，同时确立一个长度单位和计算角度的正方向( 往常取逆时针方向为正方向) ，这样就成立了一个极坐标系．此中，点O称为极点，射线 Ox 称为极轴．(2)极坐标 ( ρ，θ ) 的含义：设 M 是平面上任一点，ρ表示OM的长度，θ表示以射线Ox 为始边，射线OM为终边所成的角．那么，有序数对( ρ，θ) 称为点 M的极坐标．明显，每一个有序实数对 ( ρ，θ) ，决定一个点的地点．此中ρ 称为点M的极径，θ称为点M的极角．极坐标系和直角坐标系的最大差别在于：在直角坐标系中，平面上的点与有序数对之间的对应关系是一一对应的，而在极坐标系中，关于给定的有序数对 ( ρ，θ) ，能够确立平面上的一点，可是平面内的一点的极坐标却不是独一的．(3) 曲线的极坐标方程：一般地，在极坐标系中，假如平面曲线 C 上的随意一点的极坐标知足方程f( ρ，θ ) ＝ 0，而且坐标合适方程f( ρ，θ ) ＝ 0 的点都在曲线 C 上，那么方程f ( ρ，θ ) ＝ 0 叫做曲线 C 的极坐标方程．2．直线的极坐标方程．(1) 过极点且与极轴成φ 0角的直线方程是θ＝φ 0和θ＝π－φ 0，以下列图所示．(2) 与极轴垂直且与极轴交于点(a ， 0) 的直线的极坐标方程是ρ cosθ＝a，以下列图所示．(3) 与极轴平行且在x 轴的上方，与 x 轴的距离为 a 的直线的极坐标方程为ρsinθ＝a，以下列图所示．3．圆的极坐标方程．(1)以极点为圆心，半径为 r 的圆的方程为ρ＝ r ，如图 1 所示．(2)圆心在极轴上且过极点，半径为r 的圆的方程为ρ＝ 2rcos_ θ，如图 2 所示．(3) 圆心在过极点且与极轴成πr 的圆的方程为ρ 2rsin_ θ，2的射线上，过极点且半径为如图 3 所示．若极点在原点且极轴为x 轴的正半轴，则平面内随意一点M 的极坐标 M(ρ，θ ) 化为平面直角坐标 M(x ， y) 的公式以下：x ＝ρ cos θ， 2＋ y 2， tan θ＝ y，或许 ρ＝ xy ＝ρ sin θx 此中要联合点所在的象限确立角 θ 的值．1．曲线的参数方程的定义．在平面直角坐标系中，假如曲线上随意一点的坐标 x ， y 都是某个变数 t 的函数，即x ＝ f （ t ），M(x ， y) 都在这条曲线上，而且关于 t 的每一个同意值，由方程组所确立的点y ＝ g （ t ），那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系 x ， y 之间关系的变数 t 叫做参变数，简称参数．2．常有曲线的参数方程．(1) 过定点 P(x 0， y 0) ，倾斜角为 α 的直线：x ＝x 0 ＋ tcos α，y ＝y 0 ＋ tsin(t 为参数 ) ，α此中参数 t 是以定点 P(x ， y ) 为起点，点 M(x ， y) 为终点的有向线段PM 的数目，又称为点 P 与点 M 间的有向距离．依据 t 的几何意义，有以下结论：①设 A ， B 是直线上随意两点，它们对应的参数分别为t A 和 t B ，则 |AB| ＝ |t B － t A | ＝（ t B ＋ t A ） 2－4t A · t B ；t A ＋ t B②线段 AB 的中点所对应的参数值等于.2(2) 中心在 P(x 0， y 0) ，半径等于 r 的圆：x ＝x 0＋ rcos θ， ( θ 为参数 )y ＝y 0＋ rsinθ(3) 中心在原点，焦点在 x 轴 ( 或 y 轴 ) 上的椭圆：x ＝acos θ，x ＝ bcos θ， y ＝bsin( θ 为参数 ) 或.θy ＝ asin θx ＝ x 0＋ acos α， 中心在点 P(x 0，y 0) ，焦点在平行于x 轴的直线上的椭圆的参数方程为y ＝ y 0＋ bsin α( α 为参数 ) ．(4) 中心在原点，焦点在 x 轴 ( 或 y 轴 ) 上的双曲线：x ＝asec θ，x ＝ btan θ， y ＝btan ( θ 为参数 ) 或.θy ＝ asec θ(5) 极点在原点，焦点在 x 轴的正半轴上的抛物线：x ＝2p ，(t 为参数， p>0) ．y ＝2p1注： sec θ＝ cos θ .3．参数方程化为一般方程．由参数方程化为一般方程就是要消去参数，消参数时经常采纳代入消元法、加减消元法、乘除消元法、三角代换法，消参数时要注意参数的取值范围对x ， y 的限制．1．已知点 A 的极坐标为5π，则点 A 的直角坐标是 (2 ，－ 2 3) ．4，3π2．把点 P 的直角坐标 ( 6，－ 2) 化为极坐标，结果为2 2，－6 ．3．曲线的极坐标方程ρ＝ 4sin θ化为直角坐标方程为x 2＋ (y －2) 2＝ 4．ππ4．以极坐标系中的点 1， 6 为圆心、1 为半径的圆的极坐标方程是 ρ＝ 2cos θ－ 6 ．5．在平面直角坐标系xOy 中，若直线 l ：x ＝ t ，为参数 ) 过椭圆 C ：x ＝ 3cos θ， (t y ＝ 2sin θy ＝ t －a( θ 为参数 ) 的右极点，则常数a 的值为 3．x ＝ t ，x ＝ 3cos θ， x 2 y 2分析： 由直线 l ： y ＝ t －a ， 得 y ＝ x － a. 由椭圆 C ：y ＝ 2sin θ， 得 9 ＝ 4 ＝ 1. 因此椭圆 C 的右极点为 (3 ，0) ．由于直线 l过椭圆的右极点，因此0＝ 3－ a ，即 a ＝3.一、选择题1．在平面直角坐标系xOy 中，点 P 的直角坐标为 (1 ，－3) ．若以原点 O 为极点， x轴正半轴为极轴成立极坐标系，则点P 的极坐标能够是 ( C)A. 1，－ πB. 2， 4π3 3π4πC. 2，－ 3D. 2，－ 32．若圆的方程为x ＝ 2cos θ， x ＝ t ＋1， y ＝ 2sin ( θ 为参数 ) ，直线的方程为(t 为参数 ) ，则θ y ＝ t －1直线与圆的地点关系是( B)A ．相离B ．订交C ．相切D．不可以确立3．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，成立极坐标系，两种坐标x ＝ t ＋1，系中取同样的长度单位，已知直线l 的参数方程是 (t 为参数 ) ，圆 C 的极坐标方y ＝ t －3程是 ρ＝ 4cos θ，则直线 l 被圆 C 截得的弦长为 ( D)A. 14B ．2 14C. 2D．2 2分析： 由题意可得直线和圆的方程分别为x －y － 4＝ 0，x 2＋y 2＝ 4x ，因此圆心 C(2，0) ，半径 r ＝ 2，圆心 (2 ，0) 到直线 l 的距离 d ＝ 2，由半径，圆心距，半弦长组成直角三角形，解得弦长为 2 2.l 均分圆 C ：(x － 2) 2＋ (y － 1) 2＝1，则直线 l 与圆 O ： x ＝3cosθ，( θy ＝ 3sin θ为参数 ) 的地点关系是 ( A)A ．订交B ．相切C ．相离D．过圆心分析： 动直线 l 均分圆 C ：(x － 2) 2＋ (y － 1) 2＝ 1，即圆心 (2 ，1) 在直线 l 上，又圆 O ：x ＝ 3cosθ，的一般方程为 x 2＋ y 2＝ 9 且 22＋ 12<9，故点 (2 ， 1) 在圆 O 内，则直线 l 与圆 Oy ＝ 3sin θ的地点关系是订交．二、填空题5．在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线y＝sinθ－ 2，C 的参数方程是( θ是参数 ) ，x＝ cosθ若以 O为极点，x 轴的正半轴为极轴，则曲线 C的极坐标方程可写为ρ2＋4ρ sin_ θ＋ 3＝ 0．分析：在平面直角坐标系y＝ sinθ－ 2，y＋2＝ sin θ，xOy 中，( θ是参数 ) ，∴根x＝ cos θx＝cos θ .据 sin 2θ＋ cos 2θ＝ 1，可得 x2＋(y ＋ 2) 2＝1，即 x2＋ y2＋ 4y＋3＝0. ∴曲线 C 的极坐标方程为ρ2＋4ρ sin θ＋ 3＝0.x＝ 2cos θ，6．在平面直角坐标系中圆 C 的参数方程为 ( θ为参数 ) ，以原点 O为极y＝ 2＋ 2sin θπ点，以 x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系，则圆C的圆心的极坐标为2，2．三、解答题17．求极点到直线2ρ＝π ( ρ∈ R)的距离．sinθ＋4分析：由 2 ρ＝1sinπ ? ρ sin θ＋ρ cos θ＝ 1? x＋ y＝1，θ＋4|0 ＋0－1|2故d＝12＋12＝2.8．极坐标系中， A 为曲线ρ2＋2ρ cos θ－ 3＝0 上的动点， B 为直线ρ cos θ＋ρ sinθ－ 7＝ 0 上的动点，求|AB| 的最小值．x＝ cos θ，9．(2015 ·大连模拟) 曲线 C1的参数方程为( θ为参数 ) ，将曲线 C1上全部y＝ sinθ点的横坐标伸长为本来的 2 倍，纵坐标伸长为本来的3倍，获得曲线C2. 以平面直角坐标系xOy 的原点 O为极点， x 轴的正半轴为极轴，取同样的单位长度成立极坐标系，已知直线l ：ρ(cos θ－ 2sinθ)＝ 6.(1)求曲线 C2和直线 l 的一般方程；(2)P 为曲线 C2上随意一点，求点P 到直线 l 的距离的最值．分析： (1)由题意可得 C 的参数方程为x＝ 2cosθ，x2y2y＝ 3sinθ(θ为参数 ) ，即 C ：4＋3＝ 1，22直线 l ：ρ(cosθ－ 2sin θ ) ＝ 6 化为直角坐标方程为x－ 2y－ 6＝ 0.(2) 设点 P(2cosθ， 3sin θ ) ，由点到直线的距离公式得点P 到直线 l的距离为|2cosθ－ 23sinθ－ 6|d＝56＋ 43sin1θ－ cos θ＝2256＋ 4sin θ－π＝655π＝56＋ 4sin θ－6.2525因此5≤ d≤ 25，故点 P 到直线 l的距离的最大值为25，最小值为 5.10．已知在直角坐标系xOy 中，曲线 C 的参数方程为x＝ 1＋4cosθ，y＝ 2＋4sin ( θ为参数 ) ，θπ直线 l 经过定点P(3， 5) ，倾斜角为 3 .(1)写出直线 l 的参数方程和曲线 C 的标准方程．(2)设直线 l 与曲线 C 订交于 A， B 两点，求 |PA| ·|PB| 的值．x＝ 1＋4cos θ，2分析： (1) 由曲线 C 的参数方程( θ为参数 ) ，得一般方程为 (x － 1)y＝ 2＋ 4sin θ＋(y － 2) 2＝ 16，即 x2＋ y2－ 2x－ 4y ＝11＝ 0.1x＝ 3＋ t ，π2直线 l 经过定点 P(3 ， 5) ，倾斜角为3，直线的参数方程为3(t 是参数 ) ．y＝ 5＋2 t(2)将直线的参数方程代入 x2＋ y2－ 2x－4y － 11＝0，整理，得 t 2＋ (2 ＋3 3)t － 3＝ 0，设方程的两根分别为 t 1， t 2，则 t 1t 2＝－ 3，由于直线 l 与曲线 C 订交于 A， B 两点，因此 |PA| · |PB| ＝ |t 1t 2| ＝3.。
极坐标及参数方程知识点及高考题汇编DOC.doc
极坐标及参数方程知识点及例题一、极坐标知识点1.极坐标系的概念：在平面内取一个定点 O，从 O 引一条射线 Ox，选定一个单位长度以及计算角度的正方向 (通常取逆时针方向为正方向 )，这样就建立了一个极坐标系， O 点叫做极点，射线 Ox 叫做极轴①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可 .2．点 M 的极坐标：设 M 是平面内一点，极点 O 与点 M 的距离| OM |叫做点 M 的极径，记为；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的xOM 叫做点M 的极角，记为。
有序数对(,) 叫做点M 的极坐标，记为M ( ,) .极坐标( , )与( , 2k )(k Z) 表示同一个点。
极点O 的坐标为(0, )( R ) .3.极坐标与直角坐标的互化：(1)互化的前提条件①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与 x 轴的正半轴重合③两种坐标系中取相同的长度单位.(2)互化公式2 x2 y 2 , x cos ,y sin , tan y( x 0) x4.曲线的极坐标方程：1．直线的极坐标方程：若直线过点M ( 0 , 0 ) ，且极轴到此直线的角为，则它的方程为：sin()0 sin(0)几个特殊位置的直线的极坐标方程（ 1）直线过极点（2）直线过点M(a,0)且垂直于极轴（3）直线过M (b,) 且平2 行于极轴方程：（ 1）(R )或写成及（2）cos a（3）ρsinθ=b2．圆的极坐标方程： 若圆心为 M ( 0 , 0 ) ，半径为 r 的圆方程为：22 0 cos()2 r 2几个特殊位置的圆的极坐标方程（ 1）当圆心位于极点， r 为半径 （2）当圆心位于 C (a,0) (a>0),a 为半径 （ 3） 当圆心位于 C(a,) (a 0) ， a 为半径2 方程： (1) r (2)2acos (3)2asin5.在极坐标系中， (0) 表示以极点为起点的一条射线；(R)表示过极点的一条直线 .极坐标方程典型例题考点一 极坐标与直角坐标的互化1.点 M 的直角坐标是 ( 1, 3) ，则点 M 的极坐标为（ ）A ． (2,)B ． (2,)C ．(2,2)D ． (2, 2k),( k Z) 33332.点 2， 2 的极坐标为。
(完整word版)极坐标与参数方程(近年高考题和各种类型总结)
极坐标与参数方程（近年高考题和各种类型总结）一、最近8年极坐标与参数方程题型归纳（2018）【点差法】在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为2cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)，直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩(t 为参数) (1)求C 和l 的直角坐标方程(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率（2017）【极坐标求轨迹问题】在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为4cos =θρ.（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足16=⋅OP OM ，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为)3,2(π，点B 在曲线2C 上，求OAB ∆面积的最大值.（2016）【极坐标方程求长度】在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(+6)+=25x y .（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的参数方程是（t 为参数），l 与C 交于A ，B 两点，10AB =,求l 的斜率.(2015）【极坐标方程求长度】在直角坐标系xOy 中,曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数,且0t ≠ ）,其中0απ≤<,在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线23:2sin ,:23cos .C C ρθρθ==（I ）求2C 与3C 交点的直角坐标；（II ）若1C 与 2C 相交于点A ,1C 与3C 相交于点B ,求AB 最大值.（2014）【根据极角范围求轨迹】在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. （Ⅰ）求C 的参数方程；（Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:32l y x =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.（2013）【轨迹问题】已知动点P ，Q 都在曲线C ：2cos ,2sin x t y t =⎧⎨=⎩(t 为参数)上，对应参数分别为t ＝α与t ＝2α(0＜α＜2π)，M 为PQ 的中点．(1)求M 的轨迹的参数方程；(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点．（2012）【参数坐标求最值、范围】已知曲线1C 的参数方程是)(3s i n y 2c o s x 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线2C 的坐标系方程是2=ρ，正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且,,,A B C D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2,)3π（1）求点,,,A B C D 的直角坐标；（2）设P 为1C 上任意一点，求2222PA PB PC PD +++的取值范围。
高考数学极坐标与参数方程专题复习（基础精心整理）学生版
⾼考数学极坐标与参数⽅程专题复习（基础精⼼整理）学⽣版第7讲极坐标与参数⽅程专题复习(学⽣版)【基础知识】⼀．平⾯直⾓坐标系中的伸缩变换：设点(,)P x y 在变换?：//,(0),(0)x x y y λλµµ?=>??=>??的作⽤下对应到点///(,)P x y ，则称?为平⾯直⾓坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。
⼆.极坐标知识点1.极坐标系的概念：在平⾯内取⼀个定点O ，从O 引⼀条射线Ox ，选定⼀个单位长度以及计算⾓度的正⽅向(通常取逆时针⽅向为正⽅向)，这样就建⽴了⼀个极坐标系，O 点叫做极点，射线Ox 叫做极轴.①极点；②极轴；③长度单位；④⾓度单位和它的正⽅向，构成了极坐标系的四要素，缺⼀不可. 2.极坐标与直⾓坐标的互化：三.参数⽅程知识点1.参数⽅程的概念：在平⾯直⾓坐标系中，若曲线C 上的点满⾜，该⽅程叫曲线C 的参数⽅程，变量t 是参变数，简称参数。
相对于参数⽅程⽽⾔，直接给出点的坐标间关系的⽅程叫做普通⽅程。
2．曲线的参数⽅程（1）圆的参数⽅程可表⽰为.（2）椭圆的参数⽅程可表⽰为.（3）抛物线的参数⽅程可表⽰为. （4）经过点，倾斜⾓为的直线的参数⽅程可表⽰为（为参数）.注意：t 的⼏何意义3．在建⽴曲线的参数⽅程时，要注明参数及参数的取值范围。
在参数⽅程与普通⽅程的互化中，必须使的取值范围保持⼀致.规律⽅法指导：1.把参数⽅程化为普通⽅程，需要根据其结构特征，选取适当的消参⽅法. 常见的消参⽅法有：(,)P x y ()()x f t y f t =??=?222)()(r b y a x =-+-)(.sin ,cos 为参数θθθ?+=+=r b y r a x 12222=+b y a x )0(>>b a )(.sin ,cos 为参数==b y a x px y 22=)(.2,22为参数t pt y pt x ?==),(o o O y x M αl ?+=+=.sin ,cos o o ααt y y t x x t y x , )0(n t ,sin ,cos ,222≠===+=x xya y x y x θθρθρρ代⼊消法；加减消参；平⽅和（差）消参法；乘法消参法；⽐值消参法；利⽤恒等式消参法；混合消参法等. 2.把曲线的普通⽅程化为参数⽅程的关键：⼀是适当选取参数；⼆是确保互化前后⽅程的等价性，注意⽅程中的参数的变化范围。
极坐标与参数方程题型归纳
极坐标与参数方程一、极坐标与参数方程的题型框架二、极坐标与参数方程的知识点1．参数方程的概念：设在平面上取定一个直角坐标系xOy ，把坐标y x ,表示为第三个变量t 的函数：⎩⎨⎧==)()(t g y t f x ，b t a ≤≤……………………①如果对于t 的每一个值(b t a ≤≤)，①式所确定的点),(y x M 都在一条曲线上；而这条曲线上任意一点),(y x M ，都可由t 的某个值通过①式得到，则称①式为该曲线的参数方程，其中t 称为参数．2．参数方程与普通方程的互化：把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消元法；加减消参法；平方和(差)消参法；乘法消参法等．把曲线C 的普通方程0),(=y x F 化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性．要注意方程中的参数的变化范围．3．直线、圆、椭圆的参数方程：（1）经过一定点),(000y x P ，倾斜角为α 的直线l 的参数方程为：⎩⎨⎧+=+=ααsin ,cos 00t y y t x x (t 为参数)；（2）直线参数方程的一般形式为⎩⎨⎧+=+=bt y y at x x 00,（t 为参数）；（3）圆的参数方程为⎩⎨⎧+=+=θθsin ,cos 00r y y r x x (θ为参数)；（5）椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin ,cos b y a x (θ，ρ为参数)．4．极坐标系的概念：在平面内取一个定点O ，O 点出发的一条射线Ox ，一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系．O 称为极点，Ox 称为极轴．设M 是平面内任意一点，极点O 与点M 的距离OM 叫做点M 的极径，记作ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记作θ ，有序数对），（θρ叫做点M 的极坐标．一般情况下，约定0≥ρ．5．极坐标系与直角坐标系的互化：直角坐标化极坐标：θρcos =x ，θρsin =y ；极坐标化直角坐标：222y x +=ρ，).0(tan =/=x xyθ三、轨迹问题1．圆的极坐标方程若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r 的圆方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0.几个特殊位置的圆的极坐标方程(1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ；(2)当圆心位于M (a,0)，半径为a ：ρ＝2a cos θ；(3)当圆心位于π(,)2M a ，半径为a ：ρ＝2a sin θ.2．直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin (θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程(1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π－θ0；(2)直线过点M (a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ；(3)直线过π(,)2M b 且平行于极轴：ρsin θ＝b .例题【例1】在极坐标系中，已知圆的圆心(6,)3C π，半径3r =，Q 点在圆C 上运动．以极点为直角坐标系原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系．（1）求圆C 的参数方程；（2）若P 点在线段OQ 上，且:2:3OP PQ =，求动点P 轨迹的极坐标方程．【解析】（1）由已知得，圆心(6,)3C π的直角坐标为C ，3r =，所以C的直角坐标方程为22(3)(9x y -+-=，所以圆C的参数方程为33cos 3sin x y θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）．（2）由（1）得，圆C的极坐标方程为26(cos )270ρρθθ-++=，即212sin(276ρρθπ=+-，设(),P ρθ，()1,Q ρθ，根据:2:3OP PQ =，可得1:2:5ρρ=，将152ρρ=代入C 的极坐标方程，得225120sin()10806ρρθπ-++=，即动点p 轨迹的极坐标方程为225120sin()10806ρρθπ-++=．【例2】在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为22cos ,2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），以点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆C 的极坐标方程；（2）过极点O 作直线与圆C 交于点A ，求OA 的中点所在曲线的极坐标方程.【解析】（1）圆C 的参数方程为22cos ,2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），转换为直角坐标方程为：()2224x y -+=，转换为极坐标方程为：4cos ρθ=.（2）过极点O 作直线与圆C 交于点A ，设OA 的中点坐标为()00,ρθ，所以()00,2A ρθ，所以0024cos ρθ=，即002cos ρθ=，所以OA 中点所在的曲线的极坐标方程为2cos ρθ=．【例3】已知圆C 经过点P )3,2(π，圆心C 为直线ρsin )3(πθ-＝－3与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．【解析】解法1在直线的极坐标方程ρsin )3(πθ-＝－3中，令θ＝0，得ρ＝2，所以C(2，0)．因为△POC 是边长为2的正三角形，所以圆C 的半径r ＝2.因为圆C 经过极点O ，所以圆C 极坐标方程为ρ＝4cos θ.解法2以极点为坐标原点，极轴为x 轴建立平面直角坐标系，则直线方程为y ＝3x －23，P 的直角坐标为(1，3)，令y ＝0，得x ＝2，所以C(2，0)，所以圆C 的半径PC ＝（2－1）2＋（0－3）2＝2，所以圆C 的方程为(x －2)2＋(y －0)2＝4，即x 2＋y 2－4x ＝0，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.变式训练【练习1】（2019年高考全国Ⅱ卷理数）在极坐标系中，O 为极点，点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P ．（1）当0=3θπ时，求0ρ及l 的极坐标方程；（2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程．【解析】（1）因为()00,M ρθ在C 上，当03θπ=时，04sin 3ρπ==．由已知得||||cos23OP OA π==．设(,)Q ρθ为l 上除P 的任意一点．在Rt OPQ △中，cos(||23OP ρθπ-==，经检验，点(2,)3P π在曲线cos(23ρθπ-=上．所以，l 的极坐标方程为cos()23ρθπ-=．（2）设(,)P ρθ，在Rt OAP △中，||||cos 4cos ,OP OA θθ==即 4cos ρθ=．因为P 在线段OM 上，且AP OM ⊥，故θ的取值范围是[,42ππ．所以P 点轨迹的极坐标方程为4cos ,[,42ρθθππ=∈．【练习2】在极坐标系中，已知圆C 经过点P )4,22(π，圆心为直线ρsin(θ－π3)＝－3与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．【解析】在直线方程ρsin (θ－π3)＝－3中，令θ＝0，得ρ＝2，所以圆心为C(2，0)．在△POC 中，由余弦定理，得圆C 的半径r ＝CP ＝2.圆C 经过极点，其极坐标方程为ρ＝4cos θ.【练习3】（2019年高考全国Ⅲ卷理数）如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A ，4B π，2,4C 3π，(2,)D π，弧 AB ， BC ， CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,2π，(1,)π，曲线1M 是弧 AB ，曲线2M 是弧 BC，曲线3M 是弧 CD ．（1）分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；（2）曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M 上，且||OP =P 的极坐标．【解析】（1）由题设可得，弧 ,,AB BCCD 所在圆的极坐标方程分别为2cos ρθ=，2sin ρθ=，2cos ρθ=-．所以1M 的极坐标方程为π2cos (0)4ρθθ=≤≤，2M 的极坐标方程为π3π2sin ()44ρθθ=≤≤，3M 的极坐标方程为3π2cos (π)4ρθθ=-≤≤．（2）设(,)P ρθ，由题设及（1）知若π04θ≤≤，则2cos θ=，解得π6θ=；若π3π44θ≤≤，则2sin θ=，解得π3θ=或2π3θ=；若3ππ4θ≤≤，则2cos θ-=5π6θ=．综上，P 的极坐标为π)6或π3或2π)3或5π6．四、几何意义问题（一）直线参数方程t 的几何意义1、直线参数方程：（1）注意必须是标准形式；（2）直线的参数方程⎩⎨⎧+=+=ααsin ,cos 00t y y t x x (t 为参数)中参数t 的几何意义：t 表示直线上任一点),(y x M 到直线上定点),(000y x M 的距离；2、直线与二次曲线相交问题：将直线的参数方程与曲线的普通方程联立，通过判断∆的符号来确定交点的个数；若0>∆，则有两个交点，此时的1t 、2t 分别表示交点B A 、与直线所过定点),(000y x M 的距离.例题【例1】在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩(t 为参数，0πα≤<)，在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为222.1sin ρθ=+（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设点M 的坐标为(1，0)，直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求11MA MB+的值.【解析】（1）曲线2221sin ρθ=+，即222sin 2ρρθ+=，222,sin x y y ρρθ=+= ，∴曲线C 的直角坐标方程为2222x y +=，即2212x y +=.（2）将1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩代入2222x y +=并整理得22(1sin )2cos 10t t αα++-=，1212222cos 1,1sin 1sin t t t t ααα-∴+=-=++，121211···MA MB AB t t MA MB MA MB MA MB t t +-∴+===-，122221sin t t α-===+，2222111sin 11sin MA MBαα+∴+==+【例2】在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 1sin x t xy t x =+⎧⎨=-+⎩（t 为参数，0α<<π），以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为(12cos 2)8cos ρθθ-=．（1）判断直线l 与曲线C 的公共点的个数，并说明理由；（2）设直线l 与曲线C 交于不同的两点,A B ，点()1,1P -，若114||3PA PB -=，求tan α的值．【解析】（1）由()1cos 28cos ρθθ-=得2sin 4cos ρθθ=，所以22sin 4cos ρθρθ=，即24y x =，将直线l 的参数方程代入24y x =，得()()21sin 41cos t t αα-+=+，即()22sin2sin 4cos 30t t ααα⋅-+⋅-=，由0α<<π知2sin 0α>，()222sin 4cos 12sin 0∆ααα=++>，故直线l 与曲线C 有两个公共点；（2）由（1）可设方程()22sin 2sin 4cos 30t t ααα⋅-+⋅-=的两根为12t t ，，则1222sin 4cos sin ααα++=t t ，12230sin α-⋅=<t t ，故12121124||sin 2cos 33PA PB t t PA PB PA t t αα-+-===+=⋅，∴22sin 4sin cos 4cos 4αααα++=，即24sin cos 3sin ααα=，∴4tan 3α=．2变式训练【练习1】在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为212cos 110ρρθ++=.（1）求圆C 的直角坐标方程；（2）设(1,0)P ，直线l 的参数方程是1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数），已知l 与圆C 交于,A B两点，且34PA PB =，求l 的普通方程.【解析】（1）将222,cos x y x ρρθ=+=代入圆C 的极坐标方程212cos 110ρρθ++=，得2212110x y x +++=，化为圆的标准方程为22(6)25x y ++=.（2）将直线l 的参数方程1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）代入圆C 的直角坐标方程()22625x y ++=中，化简得214cos 240t t α++=，设,A B 两点所对应的参数分别为12,t t ，由根与系数的关系知121214cos ,24t t t t α+=-=，①∴12,t t 同号，又34PA PB =，∴1234t t =，②由①②可知12t t ⎧⎪⎨⎪⎩或12==t t ⎧-⎪⎨-⎪⎩∴14cos α-=或14cos α-=-，解得2cos 2α=±，∴tan 1k α==±，∴l 的普通方程为(1)y x =±-.【练习2】在直角坐标系xOy 中，直线1C的参数方程为3623x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（其中t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos 3sin ρθθ=．（1）求1C 和2C 的直角坐标方程；（2）设点(0,2)P ，直线1C 交曲线2C 于,M N 两点，求22PMPN +的值．【解析】（1）直线1C 的参数方程为33623x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（其中t 为参数），消去t可得20y +-=；由2cos 3sin ρθθ=，得22cos 3sin ρθρθ=，则曲线2C 的直角坐标方程为23x y =．（2）将直线1C的参数方程3323x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入23x y =，得2180t --=，设,M N 对应的参数分别为12,t t，则121218t t t t ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩，()2221212290PM PN t t t t +=+-=．（二）极坐标中极径的几何意义极坐标方程中ρ的几何意义：M 是平面内任意一点，极点O 与点M 的距离OM 叫做点M 的极径，记作ρ；即OM=ρ例题【例1】在直角坐标系中,已知曲线的方程为,的方程为,是一条经过原点且斜率大于的直线,以直角坐标系原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求与的极坐标方程;(2)若与的一个公共点(异于点),与的一个公共点为,求的取值范围.【解析】(1)曲线的方程为,的极坐标方程为,的方程为,其极坐标力程为.(2)是一条过原点且斜率为正值的直线,的极坐标方程为,,,联立与的极坐标方程,得,即,联立与的极坐标方程,得,即,所以,又,所以.【例2】在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆的方程为：2212012x y+=，动点P 在椭圆上，O 为原点，线段OP 的中点为Q .（1）以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，求点Q 的轨迹的极坐标方程；（2）设直线l 的参数方程为1,232x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），l 与点Q 的轨迹交于M 、N 两点，求弦长MN .【解析】（1）设点Q 的坐标为(,)x y ，Q 为线段OP 的中点，∴点P 的坐标为(2,2)x y ．由点P 在椭圆上得22(2)(2)12012x y +=，化简得点Q 的轨迹的直角坐标方程为22153x y+=，①将cos x ρθ=，sin y ρθ=，代入①得2222cos sin 153ρθρθ+=，化简可得点Q 的轨迹的极坐标方程为22(32sin )15ρθ+=．（2）方法1：由直线l 的参数方程1,232x t y t⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)知，直线l 过极点，倾斜角为π3，∴直线l 的极坐标方程为π()3θρ=∈R ．由22π,3(32sin )15,θρθ⎧=⎪⎨⎪+=⎩解得：1π,330,3θρ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩和2π,330.3θρ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴弦长122303MN ρρ=-=．方法2：把直线l 的参数方程1,232x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)代入①得22344153t t +=，化简得2103t =，123030,,33t t ∴==-设M 、N 两点对应的参数分别为1t ，2t ，由直线参数方程t 的几何意义得弦长122303MN t t =-=．方法3：由直线l 的参数方程1,232x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)知，直线l 的普通方程为3y x =，联立22153y x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，，解得11306102x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩和2230610.2x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩弦长2303MN ==．变式训练【练习1】在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆222:(1)(2)1C x y -+-=，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求1C ，2C 的极坐标方程；（2）若直线3C 的极坐标方程θπ=4()ρ∈R ，设2C 与3C 的交点为M ，N ，求2C MN △的面积．【解析】（1）222cos ,sin ,x y x y ρθρθρ==+= 1C ∴的极坐标方程为cos 2ρθ=-．由2C 的直角坐标方程22(1)(2)1x y -+-=，展开得222440x y x y +--+=，2C ∴的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=．（2）将4θπ=代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得240ρ-+=，解得1212,,ρρρρ==-=∴即||MN =．由于2C 的半径为1，即221C M C N ==．易知22222||C MC N MN +=，即2C MN ∆为等腰直角三角形，2111122C MN S ∆=⨯⨯=∴．【练习2】在平面直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为cos 2sin x r y r ϕϕ=⎧⎨=+⎩，(0r >，ϕ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 经过点π(2,)6P ，曲线2C 的极坐标方程为2(2cos 2)6ρθ+=．（1）求曲线1C 的极坐标方程；（2）若1(,)A ρα，2π(,)2B ρα+是曲线2C 上两点，求2211||||OA OB +的值．【解析】（1）将曲线1C 的参数方程cos 2sin x r y r ϕϕ=⎧⎨=+⎩，化为普通方程为222(2)x y r +-=，即222440x y y r +-+-=．由222x y ρ=+，sin y ρθ=，得曲线1C 的极坐标方程为224sin 40r ρρθ-+-=．由曲线1C 经过点π(2,6P ，则22π242sin4026r r -⨯⨯+-=⇒=(2r =-舍去)，故曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=．（2）由题意可知21(2cos 2)6ρα+=，2222π[2cos 2((2cos 2)62ραρα++=-=，所以22221211112cos 22cos 22||||663OA OB ααρρ+-+=+=+=．【练习3】在极坐标系中，曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=，以极点O 为坐标原点，极轴为x 的正半轴建立平面直角坐标系xOy .（1）求1C 和2C 的参数方程；（2）已知射线1:(0)2l πθαα=<<，将1l 逆时针旋转6π得到2:6l πθα=+，且1l 与1C 交于,O P 两点，2l 与2C 交于,O Q 两点，求OP OQ ⋅取得最大值时点P 的极坐标.【解析】（Ⅰ）在直角坐标系中，曲线1C 的直角坐标方程为()2224x y -+=所以1C 参数方程为22(2x cos y sin ααα=+⎧⎨=⎩为参数）.曲线2C 的直角坐标方程为()2224x y +-=.所以2C 参数方程为2(22x cos y sin βββ=⎧⎨=+⎩为参数）（Ⅱ）设点P 极坐标为()1,ρα,即14cos ρα=,点Q 极坐标为2,6πρα⎛⎫+⎪⎝⎭,即24sin 6πρα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.则124cos 4sin 6OP OQ πρραα⎛⎫⋅==⋅+⎪⎝⎭3116cos sin cos 22ααα⎛⎫=⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭8sin 246πα⎛⎫=++ ⎪⎝⎭70,.2,2666ππππαα⎛⎫⎛⎫∈∴+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当2,626πππαα+==时OP OQ ⋅取最大值，此时P 点的极坐标为23,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭.五、最值问题1.距离最值（点到点、曲线点到线、）距离的最值：---用“参数法”（1）曲线上的点到直线距离的最值问题（2）点与点的最值问题“参数法”：设点---套公式--三角辅助角①设点：设点的坐标，点的坐标用该点在所在曲线的的参数方程来设②套公式：利用点到线的距离公式③辅助角：利用三角函数辅助角公式进行化一2.面积的最值问题面积最值问题一般转化成弦长问题+点到线的最值问题例题【例1】在直角坐标系xOy 中，已知曲线1C 的方程为221106x y +=，曲线2C 的参数方程为1,2382x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩（t 为参数）.（1）求1C 的参数方程和2C 的普通方程；（2）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求PQ 的最小值.【解析】（1）由曲线1C 的方程为221106x y +=，得曲线1C的参数方程为,x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），由曲线2C 的参数方程为1,2382x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩（t 为参数），得曲线2C的普通方程为80y ++=.（2）设)P θθ，点P 到直线2C 的距离为d ，则PQ 的最小值即为d 的最小值，因为()6sin 82d θϕ++=，其中tan ϕ=当sin()1θϕ+=-时，d 的最小值为1，此时min 1PQ =.【例2】已知直线)(23211:为参数t ty t x l ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=,曲线)(sin cos :1为参数θθθ⎩⎨⎧==y x C ．(1)设l 与1C 相交于B A ,两点,求||AB ；(2)若把曲线1C 上各点的横坐标压缩为原来的21倍,纵坐标压缩为原来的23倍,得到曲线2C ,设点P 是曲线2C 上的一个动点,求它到直线l 的距离的最小值．【解析】（1）l 的普通方程为1),1(3C x y -=的普通方程为.122=+y x联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,1),1(322y x x y 解得l 与1C 的交点为)0,1(A ,)23,21(-B ,则1||=AB .（2）2C 的参数方程为θθθ(.sin 23,cos 21⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y x 为参数).故点P 的坐标是)sin 23,cos 21(θθ,从而点P 到直线 的距离是]2)4sin(2[432|3sin 23cos 23|+-=--=πθθθd ,由此当1)4sin(-=-πθ时,d 取得最小值,且最小值为)12(46-.【例3】已知直线11: x t l y =+⎧⎪⎨⎪⎩（t为参数），曲线1cos : 2sin x C y θθ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立直角坐标系．（1）求曲线1C 的极坐标方程，直线1l 的普通方程；（2）把直线1l 向左平移一个单位得到直线2l ，设2l 与曲线1C 的交点为M ，N ，P 为曲线1C 上任意一点，求PMN △面积的最大值．【解析】（1）把曲线1cos : 2sin x C y θθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩消去参数可得(()2221x y +-=，令cos x ρθ=，sin y ρθ=，代入可得曲线1C 的极坐标方程为2cos 4sin 60ρθρθ--+=．把直线11: x tl y =+⎧⎪⎨=⎪⎩化为普通方程)1y x -．（2）把直线1l 向左平移一个单位得到直线2l的方程为y =，其极坐标方程为π3θ=．联立2cos 4sin 60π3ρθρθθ⎧--+==⎪⎨⎪⎩所以260ρ-+=，所以12126ρρρρ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，故12ρρ-==圆心到直线2l的距离为12d ==，圆上一点到直线2l 的最大距离为13122+=，所以PMN △面积的最大值为1333224S =⨯⨯．变式训练【练习1】已知点(,)P x y 是圆2220x y y +-=上的动点.(1)求2x y +的取值范围；(2)若0x y a ++≥恒成立，求实数a 的取值范围.解析（1）由圆的方程222x y y +=得()2211x y +-=，得[]()cos 0,21sin x y θθθπθ=⎧∈⎨=+⎩为参数，。
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坐标系与参数方程一、考试大纲解析：1•坐标系（1） 理解坐标系的作用；（2） 了解平面坐标系伸缩变换作用下图形的变化情况；（3） 能在坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标和平面之间坐标系表示点的位 置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化；（4） 能在极坐标系中给出简单图形的方程，通过比较这些图形在极坐标和直角坐标系中 的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义； 2•参数方程（1） 了解参数方程和参数方程的意义；（2） 能选择适当的参数写出直线、圆、圆锥曲线的参数方程； （3） 能用参数方程解决一些数学问题和实际的运用；极坐标和参数方程是新课标考纲里的选考内容之一， 在每年的高考试卷中，极坐标和参数方程都是放在选作题的一题中来考查。
由于极坐标是新添的内容，考纲要求比较简单，所以在考试中一般不会有很难的题目。
三、知识点回顾坐标系的作用下，点P （x, y ）对应到点P （X , y ），称「为平面直角坐标系中的坐标伸缩.变换，简称伸缩变换?2.极坐标系的概念： 在平面内取一个定点 0，叫做极点；自极点0引一条射线Ox 叫做极 轴；再选定一个长度单位、 一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这 样就建立了一个极坐标系。
3•点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点 0与点M 的距离|0M |叫做点M 的极径， 记为「；以极轴Ox 为始边，射线 0M 为终边的• xOM 叫做点M 的极角，记为二。
有序 数对（OR 叫做点M 的极坐标，记为M （几旳.极坐标（几力与（亍门，2k 二）（k ・Z ）表示同一个点。
极点 0的坐标为（0门）（” R ）.4.若?:：: 0,则- ?0,规定点（-匚力与点（：「）关于极点对称，即（-6力与（匚二 二）表示同一点。
如果规定「7,0 V 2二，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标 （「门）表示;、题型分布:1 .伸缩变换：设点P （x, y ）是平面直角坐标系中的任意一点, 在变换申：丿X 「X, ( ■0),同时，极坐标（入“表示的点也是唯一确定的。
2 2 2「二 x y , x = Qcosv,y =】si nr, tan v - y (x 0)x6•直线相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为:⑵——对应图形如下:⑹ J =2acos(v -「)对应图形如下:⑷ — sin 0⑹：—cos(v -)5 •极坐标与直角坐标的互化:cos JPapcos 二QOPaM图5asin^：=COSp -)7•圆相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为 (a 0):⑵=2a cos⑶’二-2a cosrM ( P印sinva曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y的变数t叫做参变数，简称参数。
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做2.常见曲线的参数方程如下:(1)过定点(x o, y o),倾角为a的直线:x =x0 tcos-y = y0 tsin :其中参数t是以定点P (x o, y o)为起点，对应于t点M (x, y)为终点的有向线段PMx = x0 r cosy = y o rsin)图4『=2asin：图5：?二-2asim图6= 2acos(v -:)参数方程1.参数方程的概念：础卞磁x = f(t),的函数*iy =g(t),在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标并且对于t的每一个允许值，由这个方程所确定的点x, y都是某个变数tM (x, y)都在这条的数量，又称为点P与点M间的有向距离.(2)中心在(x o, y o), 半径等于r的圆:普通方程。
(t为参数)(71为参数)『 1X =t 2 x = si nt x = cost A .丿1B. <1C. i1J =t 2i y sin ti ycostx 二 tantD .1y = I. tan t（3）中心在原点，焦点在 x 轴（或y 轴）上的椭圆:（4）顶点在原点，焦点在 x 轴正半轴上的抛物线:四、直击考点：考点一：坐标的变化以及轨迹方程中参数方程与标准方程的互化参数方程与标准方程的互化：标准方程化为参数方程： 熟记常见曲线的参数方程即可。
参数方程转化为标准方程： 牢记参数放一边，然后利用三角函数的知识点消参数。
22sin 日 （女口 sin ） cos J - 1,k 二 tan 二cos 日例题:1把方程xy =1化为以t 参数的参数方程是（）.（或.■ x 二 bcosv、y = asin vx =2 pt 2 I. y = 2pt（t 为参数，p >o ）解答：Dxy =1 , x取非零实数，而A , B , C中的x的范围有各自的限制.x =1 一2t2•若直线的参数方程为y：2_3t（t*参数），则直线的斜率为（解答:x — = 2e t而X2 . y2=1 ,当 v - k ,k Z 时，x = 0 , y =丄(£ -e°)，即x = 0 ；2 2)•-2 —3t x -1 2t3•参数方程x =e _t, （t为参数）的普通方程为解答：x4 計,(_2)—=e -e x丄2e」4•分别在下列两种情况下，把参数方程1x (e e )cosy =』(d -e_L)sin 寸.2化为普通方程:（1）二为参数，t为常数；（2）t为参数，门为常数. 解：(1 )当t =0 时，y =0,x =cos r，即x 乞1,且y = 0 ;当t = 0时，COST 二1(e t e」)2 ,sin 八y—e」)丄(「「)2 l(e t4 4 -e ) (2)当 v - k二，k • Z 时, =1 ；1心，J e t e4)，即x - 1,且y = 0 ；JI JI c 5兀r 2兀 A.—B.—C.—D.—63 632.方程严=一1 +2。
3（t 为非零常数，a 为参数）表示的曲线是y =3 +t si n otx = V o cosa t, y =V 0 sin ： t 一如2,考点二：最值为题通过题意得到参数方程，一般情况下是利用参数方程中三角函数的有界型来求最值 例题2 21•点P （x,y ）是椭圆2x 3y -12上的一个动点，则 x 2y 的最大值为（A . 2.2B . 2、3C .11 D . ■- 22实践练习:1.直线k jr当 ，k • Z时,2e t2x COS 2 rx=3」tt2xe e — -----cosv得t2y e -esi nr2x 2y----- + -------COST sin J 2x 2y COST sinJ，得 2e t 2e 」=(空 红)(红-cos 日 sin 日 COS 6 亠,sin2y sin 2（t 为参数）的倾斜角是A.直线B.圆3.把弹道曲线的参数方程C.椭圆D.双曲线（1）化成普通方程.⑵).解析：C2 2椭圆为H 1，设P(、6cos)2sin 扪,6 4x 2 y =、、6 cos v 4sin v - ■, 22 sin(v - '■ ) _ . 222•已知.：ABC 中,A(-2,0), B(0,2), C(cosy-1 si nr)(二为变数), 求ABC面积的最大值.f x 二COS)解：设C点的坐标为(x, y)，贝U ，y = -1 +s in 日即x2 (y 1)2 =1为以(0, -1)为圆心，以1为半径的圆.•- A(_2,0), B(0,2),••• | AB |= .^4 =2、、2 ,且AB的方程为—」=1,-2 2即x - y 2=0 ,则圆心(0, -1)到直线AB的距离为1一―1)2| =彳& •J12匚(-1)2 2•••点C到直线AB的最大距离为1 3&,2•- S ABC 的最大值是— 2,2 (V \2) =32 •2 2实践练习：1 •在圆x2+ 2x + y2=0上求一点，使它到直线2x+ 3y —5=0的距离最大.2.在椭圆4X2+ 9y2=36上求一点P,使它到直线x+ 2y + 18=0的距离最短（或最长）2 23. A为椭—y1上任意一点，B为圆（X -1）2 y^1上任意一点，求|AB |的最大值和25 9最小值。
考点三：其他综合问题例题：「21.已知曲线；X 2pt（t为参数，p为正常数）上的两点M,N对应的参数分别为^和t2,l y=2pt且匕“2=0,那么|MN戶_______________________ .解析：4p |t1|显然线段MN垂直于抛物线的对称轴，即X轴，|MN F2PI1 -t2F2p|2t! |.2•直线《x—1 +2t（t为参数）被圆x2+ y2=9截得的弦长为（）.ly =2+tA.咚B. 12；5C. 9J5D. 9 .105 5 5 52x = 1 + ^/5t x ―■—解析：B !X"2t庚，把直线[X=12｛代入l"2+t “1+屁丄"StI V5x2 y2 =9得(1 2t)2(2 t)2=9,5t2 8t -4 =0 ,卩7 H ,（厂t2厂4花「.（_8）2 16上，弦长为\ 5 5 5 53 \x = 5cos日,,,,3.已知直线l过定点P（-3,）与圆C : （二为参数）相交于A、B两点.2 y=5si n。
求：（1）若| AB |=8，求直线I的方程;3（2）若点p（_3,）为弦AB的中点，求弦AB的方程.2「x = 5cosT 2 2解: （1）由圆C的参数方程：x2• y2=25 ,』= 5sin日x = -3 tcos:设直线I的参数方程为①3（t为参数），!y =——+t si naI 2将参数方程①代入圆的方程x2• y2=252得4t -12(2cos-八sin：)t-55=0,2•••△ =16[9(2cos sin ) 55] 0 ,所以方程有两相异实数根t!、t2,•- | AB |=出-t21二9(2cos ： sin ： )2 55 =8 ,化简有3cos 二14sin 二cos： =0 ,3解之cos〉=0或tan〉4从而求出直线I的方程为x，3 = 0或3x 4y 1^0 .(2)若P为AB的中点，所以t1t^0 ,由(1 )知2cos= 'sin〉=0，得tan，- -2, 故所求弦AB的方程为4x 2y 15 =0(x2，y2乞25).实践练习：1.已知直线；I : /二了二邱与双曲线（y-2 ）2-x2=1相交于A、B两点, y = 2 + 4tP点坐标P（-1，2）。
求：（1）|PA|.|PB|的值；（2）弦长|AB|; 弦AB中点M与点P的距离。