极坐标与参数方程专题复习汇编

坐标系与参数方程

一、考试大纲解析：

1•坐标系

（1） 理解坐标系的作用；

（2） 了解平面坐标系伸缩变换作用下图形的变化情况；

（3） 能在坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标和平面之间坐标系表示点的位 置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化；

（4） 能在极坐标系中给出简单图形的方程，通过比较这些图形在极坐标和直角坐标系中 的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义； 2•参数方程

（1） 了解参数方程和参数方程的意义；

（2） 能选择适当的参数写出直线、圆、圆锥曲线的参数方程； （3） 能用参数方程解决一些数学问题和实际的运用；

极坐标和参数方程是新课标考纲里的选考内容之一， 在每年的高考试卷中，极坐标和参

数方程都是放在选作题的一题中来考查。 由于极坐标是新添的内容，考纲要求比较简单，所

以在考试中一般不会有很难的题目。

三、知识点回顾

坐标系

的作用下，点P （x, y ）对应到点P （X , y ），称「为平面直角坐标系中的坐标伸缩.变换，简

称伸缩变换?

2.极坐标系的概念： 在平面内取一个定点 0，叫做极点；自极点0引一条射线Ox 叫做极 轴；再选定一个长度单位、 一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这 样就建立了一个极坐标系。

3•点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点 0与点M 的距离|0M |叫做点M 的极径， 记为「；以极轴Ox 为始边，射线 0M 为终边的• xOM 叫做点M 的极角，记为二。有序 数对（OR 叫做点

M 的极坐标，记为M （几旳.

极坐标（几力与（亍门，2k 二）（k ・Z ）表示同一个点。极点 0的坐标为（0门）（” R ）.

4.若?

:：: 0,则- ?

0,规定点（-匚力与点（：「）关于极点对称，即（-6力与（匚二 二）

表示同一点。

如果规定「7,0 V 2二，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标 （「门）表

示;

、题型分布:

1 .伸缩变换：设点P （x, y ）是平面直角坐标系中的任意一点, 在变换申：丿

X 「X, ( ■

0),

同时，极坐标（入“表示的点也是唯一确定的。

2 2 2

「二 x y , x = Qcosv,

y =】si nr, tan v - y (x 0)

x

6•直线相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为:

⑵——

对应图形如下:

⑹ J =2acos(v -「)

对应图形如下:

⑷ — sin 0

⑹：—

cos(v -)

5 •极坐标与直角坐标的互化:

cos J

P

a

p

cos 二

Q

O

P

a

M

图5

a

sin^

：

=COSp -)

7•圆相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为 (a 0):

⑵=2a cos

⑶’二-2a cosr

M ( P

印

sinv

a

曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y的变数t叫做参变数，简

称参数。

相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做2.常

见曲线的参数方程如下:

(1)过定点(x o, y o),倾角为a的直线:

x =x0 tcos-

y = y0 tsin :

其中参数t是以定点P (x o, y o)为起点，对应于t点M (x, y)为终点的有向线段PM

x = x0 r cosy = y o r

sin)

图4

『=2asi

n：

图5

：?二-

2asim

图6

= 2acos(v -:)

参数方程

1.参数方程的概念：

础卞磁x = f(t),

的函数*

iy =g(t),

在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标

并且对于t的每一个允许值，由这个方程所确定的点

x, y都是某个变数t

M (x, y)都在这条

的数量，又称为点P与点M间的有向距

离.

(2)中心在(x o, y o), 半径等于r的圆:

普通方程。

(t为参数)

(71为参数)

『 1

X =t 2 x = si nt x = cost A .丿

1

B. <

1

C. i

1

J =t 2

i y sin t

i y

cost

x 二 tant

D .

1

y = I. tan t

（3）中心在原点，焦点在 x 轴（或y 轴）上的椭圆:

（4）顶点在原点，焦点在 x 轴正半轴上的抛物线:

四、直击考点：

考点一：坐标的变化以及轨迹方程中参数方程与标准方程的互化

参数方程与标准方程的互化：

标准方程化为参数方程： 熟记常见曲线的参数方程即可。

参数方程转化为标准方程： 牢记参数放一边，然后利用三角函数的知识点消参数。

2

2

sin 日 （女口 sin ） cos J - 1,k 二 tan 二

cos 日

例题:

1把方程xy =1化为以t 参数的参数方程是（

）.

（或

.■ x 二 bcosv

、y = asin v

x =2 pt 2 I. y = 2pt

（t 为参数，p >o ）