J n —1 V T n, 2亦〉T n + J n -1 , J n +1 _1〉作—1, J n(n ■+1) >7^^ = n 1 1 1 —— --- = -------- n n +1 n(n +1) (4) 2( J n +1
- >/n)= 1 1 11,^
n(n -1) n-1 n 2 2 1 < ——
(5) (6) (7) U n +1 + v n v n +v n v n v n +j n -1 卄-
a a aa +m 右 a, b,m 匸 R 则一 > ----- ,一 < ----
b b+m b b 1 “1 + 1 . . 1 n! 2 22 2n
」 1 1 1 1 + …c 1 +(1 —一) +(— 一一) n 2 2 3 + 1 3!
1 (7) (8)
=2(V n - J n -1)
J 2! 1 + — + — 22 32 1 1 1
--)(因为—< -------------- ) n n (n-1) n 丄+丄+丄1 n +1 n +2 n +3 或丄十丄十丄 n +1 n +2 n +3
1 +丄+丄+…+丄 …亠丄 2n n +1 ，丄」 2n A 丄+丄+… 需T n +丄 n +1 十丄+ 2n 2n •+丄 T n "丄 n +1 2n —<1 n +1
_ n _ 1 —2n — 2 -n
= V n 等等。 v n
三•常见题型 （一）.先求和再放缩： 1•设 s, =! + 1+ 丄+■- + 2 6 12 n(n+1) 1
，求证：Si <1
1 M
2 .设0=— ( n 匸N ),数列｛b n b n^｝的前n 项和为T n ,求证: n
(二).先放缩再求和：
3 .证明不等式：1+^—+一1——
1 1x
2 1x2x3
----------- <2 1 x2x3x■…X n
1 1 4.设S n / +尹+孑+■■■
(1)求证：当n >2时，丄
n +1
(2)试探究：当n >2时，是否有
5
(n +1)(2 n+1) 3 6n
5.设b n _ 1 "2
(1) b n 2n —
1 求证:
6 .设a
n 求证
2n
V J2n十厂
=n , b n =(
(2)
a n + a n
+
b l +b2 +b3 十"+b n < J2n+1-1
)2
2
E a n + an+ 7n(^1)
n * (2)D +b2 + b3 十"+bn W——(n 忘
N )
n+1
7.设b n =(n+1)2，a n = n(n +1)，求证：1+ 1+…+
a j +0 a2 +b2 a n
8 .蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形, 7个蜂巢，第三个图有19个
蜂巢，按此规律，以f(n)表示第
1 1 5
<
+ b n 12
如图为一组蜂巢的截面图.其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有
(1)试给出f(4), f(5)的值，并求f(n)的表达式(不要求证明)；
(2)证明: --- +---- +----
f(1) f(2)+…+
1 4
--- <
—.
9 . (10广州) 设S n为数列牯訂的前n项和，对任意的n亡N *，都有S n =(m+1 )—ma n (m为常数，且m^O).
(1)求证：数列｛a j是等比数列;
(2)设数列{an }的公比q = f (m )，数列fc n >满足 d = Za^b n = f (gj ) (n >2，N* )，求数列{bn} 的通项公式;
(3)在满足(2)的条件下，求证：数列｛b n2｝的前n项和T n c89.
18
10 . （ 010 深圳）在单调递增数列｛a n ｝中，31=1 ,32 =2，且a 2n , a 2n , a 2n 半成等差数列，a 2n , a 2n 甲,32^|2成等比数列，n = 1,2,
3「"".
1
)]
T n =b 1b 3 +b 2b 4 +b 3b 5 卡"b n bi *
1 1 1 1 1
3
2 4
3 5円厂6)*+(丁忌)] 1 1 + +
1X2 1X2X3 <1+1+丄丄=2-丄 <2
'2 2?
2*4 2“』<
1 2
2 .2
n 4n
4•解：（1）•••当 n>2时，2< 1
n (n -1)n n T n 1 1 1 /. 1 + — + —十"+
——
' _2 -2 2
2 3 n 1 1 1 <5—)七-尹•• 2 (2 n T n +1 1 1
)]=2———<2
n +1
n(n +1) n n +1 =1」 n +1 n +1 n +1
二当n >2时, n
+1
V Sn V 2
=2(
(2n —1)(2n+1) 2n-1 2n +1
(1) 分别计算a 3, a 5和34, a 6的值;
(2) 求数列｛a n ｝的通项公式（将a n 用n 表示）； (3) 设数列｛丄_｝的前n 项和为S n ，证明：S n
n +2
a n
2 .证:
b
n b
b^ =
1
b n =—
n
1
乙丄- n(n +2) 2 n
—-)<3
.
4
2 n +1
n +2
3 .证明:
