§8-6习题空间直线及其方程

2 方向余弦
cos ,cos ,cos
u
3 单位向量 基本单位向量 4 两向量的夹角
0 a a cos , cos , cos a
r r r i , j, k
axbx a y by az bz a b arccos arccos 2 2 2 a b ax a y az2 bx2 by bz2
三、直线、平面间的位置关系
[1] 平面间的夹角
1 : A1 x B1 y C1 z D1 0 2 : A2 x B2 y C 2 z D2 0
n2
n1
2
cos
| A1 A2 B1 B2 C1C 2 | A1 B1 C1 A2 B2 C 2
即 从中选择 使其与已知平面垂直： 得 1, 从而得投影直线方程 这是投影平面 y z 1 0 x y z 0
x 5 y z 0 且与平面 例2. 求过直线L: x 4 y 8z xz40 12 0 夹成 角的平面方程. 4 n 提示: 过直线 L 的平面束方程 n1
2 2 2 2 2 2
两直线的夹角公式
[3] 直线与平面的夹角
平面的法向量
n A, B, C ,
0 2
直线的方向向量 s m, n, p
sin cos s , n

Am Bn Cp s n
(1) 圆柱面
x 2 y 2 R2
(2) 抛物柱面
x 2 2 py ( p 0)
(3) 椭圆柱面 x2 y2 2 1 2 a b
[3] 二次曲面
定义:三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面.
（1）椭球面
（2）椭圆抛物面
2
x y z 2 2 1 2 a b c
2
2
x2 y2 z 2 p 2q ( p 与 q 同号 )
两非零向量平行、垂直的等价条件：
bx by bz a b b a a b 0 ax a y az
a b a b 0 axbx a y by az bz 0
II. 空间解析几何： 一、平面方程
（3）单叶双曲面 （4）圆锥面
x2 y2 z2 2 2 1 2 a b c
x2 y2 z2
五、空间曲线
[1] 空间曲线的一般方程
F ( x, y, z ) 0 G ( x , y , z ) 0
[2] 空间曲线的参数方程
x x(t ) y y( t ) z z(t )
四、曲面 [1] 旋转曲面
f ( x, y) 0 设有平面曲线 L : z0 (1) 曲线 L 绕 x 轴旋转所成的旋转曲面方程为 f ( x , y 2 z 2 ) 0 ( 2) 曲线 L 绕 y 轴旋转所成的旋转曲面方程为 f ( x 2 z 2 , y) 0
) ( ) ( )
( ( ) ( ( ) ( )
)
例2： 若 a 3， 1，(a , b ) b 6 求：（） (a b , a b )； 1 ( 2) 以a b ，a b 为邻边的平行四边形面 积 解 3
其法向量为 n1 {1 , 5 , 1 }.
已知平面的法向量为 n {1, 4 , 8}
n n1 选择 使 cos 4 n n1
从而得所求平面方程

3 4 x 20 y 7 z 12 0.
还有其它平面方程吗？
思考题
x4 y z2 m 在直线方程 中， 、 2m n 6 p n、 p 各怎样取值时，直线与坐标面 xoy 、
o
y
x
[2] 空间直线的对称式方程
z
s
M0
L
x x 0 y y0 z z 0 m n p
[3] 空间直线的参数方程
x
M
y
o
x x0 mt y y0 nt z z pt 0
M 0 ( x 0 , y0 , z 0 ) s (m, n, p)


a b 是一向量： 3. 向量积 模 a b a b sin 方向按a , b , a b 成右手系.
a b ax bx
i
j ay by
k az bz
1 a b b a; （2）以 a , b为邻边的平行四边形面积 S a b (3) 与 a , b同时垂直的向量可取作 n a b
空间直线及其方程
I. 空间直线方程的几种形式 一、空间直线的一般方程
A1 x B1 y C1 z D1 0 A2 x B2 y C 2 z D2 0
二、空间直线的对称式方程与参数方程
x x 0 y y0 z z 0 m n p
x x0 mt y y0 nt z z pt 0
| Am Bn Cp | 2 2 2 2 2 2 A B C m n p
补充：
1.点 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) 到平面 ：A x+B y+C z+D = 0
的距离为
d
M0
d

2. 过直线
A1 x B1 y C1 z D1 0 L: A2 x B2 y C2 z D2 0 的平面束 方程 1 ( A1 x B1 y C1 z D1 ) 2 ( A2 x B2 y C2 z D2 ) 0
5 向量的投影 Prja b b cos a , b

b 在 a上的投影

二、 向量的运算
1 线性运算
加(减): 数乘
a b ax bx , a y by , az bz
a ax , a y , az , a a
[3] 空间曲线在坐标面上的投影
F ( x, y, z ) 0 设空间曲线的一般方程： G ( x , y , z ) 0
H 消去变量z后得： ( x , y ) 0
H ( x, y) 0 曲线在 xoy面上的投影曲线为 z 0 xoz面上的投影曲线 yoz 面上的投影曲线 R( y , z ) 0 x 0 T ( x , z ) 0 y 0
典型例题
例1：下列结论正确吗？为什么？
(1) 若 a b ， 则a b
( 2)
( 3)
( 4)
( 5)
( 6)
(7)
若a b c b (b 0)，则a c (a b )c a (b c ) (a b ) a (a b ) b 0 若a b ，则 a / b 若a b ，a c ，则a // b c 若 a b a b ， 则a b
[1] 平面的点法式方程
A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z0 ) 0
x
z
n
M
M0
o
y
M 0 ( x 0 , y0 , z 0 )
z
[2] 平面的一般方程
n ( A, B, C )
c
b
Ax By Cz D 0
[3] 平面的截距式方程 x y z 1 a b c
1 , 2 不全为 0
通常取： ( A1 x B1 y C1 z D1 )
( A2 x B2 y C2 z D2 ) 0
其中：
为任意实数
例1. 求直线 上的投影直线方程.
在平面
提示：过已知直线的平面束方程
x y z 1 ( x y z 1) 0
2 数量积 :
a b a b cos a xbx a y by a z bz
a b 1 a a a ; 2 cos a 0, b 0 ; a b 3 a b a Pr ja b b Pr jb a; 4 a b a b 0.
yoz 都平行.
思考题解答
s {2m , n, 6 p}, 且有 s 0. s i 0, s k 0,
6 p 0 p 6, m 0, 2m 0 s 0, n 0,
故当 m 0, n 0, p 6时结论成立．
II、两直线的位置关系 三、两直线的夹角
定义 两直线的方向向量的夹角称之.（锐角）
x x1 y y1 z z1 直线 L1 : , m1 n1 p1 x x 2 y y2 z z 2 直线 L2 : , m2 n2 p2
L1
s1 s2
L2
m1m2 n1n2 p1 p2 s1 s2 cos 2 2 2 2 2 2 s1 s2 m1 n1 p1 m2 n2 p2
两直线的夹角公式
III、直线与平面的位置关系 四、直线与平面的夹角
定义 直线和它在平面上的投影直线的夹 角 称为直线与平面的夹角．
0 . 2

x x0 y y0 z z 0 L: , m n p : Ax By Cz D 0,