上海南汇中学2012学年度高一第二学期期末考试数学试题与答案

由（i）（ii）得， ABC 是等腰直角三角形.
请问：该学生的解答是否正确？若正确，请在下面横线中写出解题过程中主要用到的思想方法；若不正 确，请在下面横线中写出你认为本题正确的结果： 等腰或直角三角形
10．已知函数 y sin(x )( 0) 的最小正周期为 ，若将该函数的图像向左平移 m (m 0) 个单 3
1
1 sin 2
2
4．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：
…
①
②
③
按照上面的规律，第 100 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为 602
5 ． 已 知 ABC 的 三 边 长 成 公 比 为 2 的 等 比 数 列 ， 则 ABC 的 最 大 内 角 的 大 小 为
____ arccos 2 ___（用反三角函数表示） 4
D．函数 y sin x 与 y arcsin x 都是奇函数
15．设函数
f
(x)
|
sin
x
|
cos
2x,
x
2
,
2
，则函数
f
(x)
的最小值是（
B
）
A． 1
B．0
C． 1 2
D． 9 8
16．数列{an}的通项公式 an
n cos
n 2
，其前
n
项和为
Sn
，则 S2013 等于（
C
）
A．0
B．503
解：
（1）在 CDB 中，由余弦定理得
cos CDB CD2 BD 2 BC 2 212 202 312 1
2CD BD
2 21 20
7
（4 分）
(2) sin CDB 1 cos 2 CDB 4 3 ； 7
（5 分）
sin ACD sin(CDB 60 ) sin CDB cos 60 cos CDB sin 60 5 3 ；（7 分） 14
sin x
+
1 2
cosx +
3 2
sinx -
1 2
cosx -
(cosx +1)
=2(
3 2
sin x
-
1 2
cos
x
)-1=2sin(
x
-
6
)-1
函数 f (x) 的最大值为 1————4 分
（2） y f (x) 的周期为 ，又由 0 ，得 2 ，即得 2 ．
于是有
f
(x)
解：（i）由余弦定理可得，
a b2 c2 a2 b a2 c2 b2
2bc
2ac
a2 b2 c2 a2 b2 a2 b2 c2 a2 b2
故 ABC 是直角三角形. （ii）设 ABC 外接圆半径为 R .由正弦定理可得，原式等价于
2Rsin Acos A 2Rsin Bcos B sin 2A sin 2B A B 故 ABC 是等腰三角形.
x
π 4
，π 2
， 3
2x
6
5 6
，
即-2≤2sin(2x-
6
)-1≤1∴
-1＜m＜0，即 m 的取值范围是(-1,0)．————12 分
21．已知数列{bn}，若存在正整数 T ，对一切 n N* 都有 bnT bn ，则称数列{bn}为周期数列，T 是
它的一个周期．例如： 数列 a ， a ， a ， a ，… ① 可看作周期为 1 的数列； 数列 a ， b ， a ， b ，… ② 可看作周期为 2 的数列； 数列 a ， b ， c ， a ， b ， c ，… ③ 可看作周期为 3 的数列；
12．对于函数 f (x) ，在使 f (x) M 成立的所有常数 M 中，我们把 M 的最大值称为函数 f (x) 的“下
确界”，则函数 f (x) sin 2 x sin x csc2 x csc x 的“下确界”为 0
二、选择题（每小题 3 分，共 4 题，共 12 分）
13．设 a 、 b 、 c 是三个实数，则“ b2 ac ”是“ a,b, c 依次成等比数列”的（ B ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分也非必要条件
14．下列命题中正确的是（ D ）
A．函数 y sin x 与 y arcsin x 互为反函数
B．函数 y sin x 与 y arcsin x 都是增函数
C．函数 y sin x 与 y arcsin x 都是周期函数
上海南汇中学 2012 学年第二学期期末考试
高一数学
一、 填空题（每小题 3 分，共 12 题，共 36 分）
1．若 2013o ，则与角 具有相同终边的最小正角为 213o
2．一个扇形的半径是 2 cm ，弧长是 4 cm，则圆心角的弧度数为 2
3．已知 sin 3cos ，则 cos 2
cos( 2
sin(3
x) x)
4
4
2.
其中
x
k
4
,
k
z
（5
分）
证明：
Q
(x
) 4
(3 4
x)
,
sin( 3 4
x)
sin( x
)， 4
又
cos(
2
x)
sin
x
，所左边=
cos x sin x sin(x )
4
2 sin(x )
4 sin(x )
4
2 （8 分）
18．如图，某观测站 C 在城 A 的南偏西 20 方向上，从城 A 出发有一条 公路，走向是南偏东 40 ．在 C 处测得距离 C 为 31千米的公路上的 B 处 有一辆车正沿着公路向城 A 驶去．该车行驶了 20 千米后到达 D 处停下， 此时测得 C 、 D 两处距离为 21 千米 （1）求 cos CDB 的值； （2）此车在 D 处停下时距城 A 多少千米？
位后，所得图像关于原点对称，则 m 的最小值为
3
11．在共有
2009
项的等比数列an 中，有等式
a1 a2
a3 a5 a2009 a4 a6 a2008
a1005 成立；类比上述性质，在共有
2013 项的等差数列bn 中，相应的有等式 (b1 b3 b5 b2013) (b2 b4 b2012 ) b1007 成立
分）
（3）由题意， 0 ，应有 2 3 ，得 2 ，
3
于是 bn
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Asin( 2 3
n
)
B
，
A
sin(
2 3
)
B
2,
把
b1
2
， b2
1 2
，
b3
1 代入上式得
A
sin(
4 3
)
B
1 2
,
Asin(2 ) B 1,
(1) (2) （10 分） (3)
由(1)(2)可得 Acos 3 ，再代入(1)的展开式，可得 A sin B 5 ，与(3)联立得 B 1 ，
在 ACD 中，由正弦定理得： AD
CD sin ACD
21 5 3 14
15
sin CAD
3
2
(9 分)
答： 此车在 D 处停下时距城 A 处15 千米。
(10 分)
19．已知数列{an}的前 n 项和为 Sn
a 2
n2 （其中 a 为常数）
（1）求证：数列 {an } 为等差数列；
（2）试讨论数列 {an } 的单调性（递增数列或递减数列或常数列）
……
（1）对于数列②，它的一个通项公式可以是
an
a b
n为正奇数 ，试再写出该数列的一个通项公式； n为正偶数
（2）求数列③的前 n 项和 Sn ；
（3）在数列③中，若 a
2, b
1 2
,c
1，且它有一个形如 bn
Asin(n )
B
的通项公式，其中
A、
B
、
、
均为实数，
A
0，
0，|
|
2
，求该数列的一个通项公式 bn
sin 47 sin133
sin 50 sin130
sin 57 sin123
（直接写答案，别忘记把计算器设置成“角度”！）
（2）根据（1）的计算结果，请你猜出一个一般性的结论：
．
（用数学式子加以表达，并证明你的结论，写出推理过程．）
解：（1） 2 ; 2; 2 （3 分）
（2）猜想：
cos x sin(x )
6．已知等比数列{an } 为递增数列，且 a52a52 a1a01,，02,(2a(nan anan2)2) 5a5na1n1 ，则数列{an } 的通项公式 an
2n
7．设数列 {an } (
n N*
)是等差数列，若
a2
和
a20
是方程
12
4x2
8x
3
0 的两根，则数列{an} 的前
2013项的和 S2013 ___2013__
2
2
4
2
Asin 3 ，于是 tan 3 ，因为| | ，所以 ，
2
2
3
于是可求得 A 3 ．
故 bn
3 sin( 2n ) 1 （ n N* ） 3 32
或写成 bn
3
sin[ 2n
(3k
1)
]
1
（
k
Z
,
n
N*
）．（12
分）
3
32
C．1006
D．2012
三、解答题（8+10+10+12+12=52 分）
17．三角比内容丰富，公式很多．若仔细观察、大胆猜想、科学求证，你也能发现其中的一些奥秘．请
你完成以下问题：
（1）计算： cos 2 cos88 _____; cos5 cos85 ____; cos12 cos 78 ____
当 a 0 时，数列{an}为递增数列；
当 a 0 时，数列{an}为常数列；
当 a 0 时，数列{an}为递减数列．
…………………………………………10 分
20．已知函数
f
(x)
sin x
π 6
sin x
π 6
2
cos2
x ，x R 2
（其中
0）
（1）求函数 f (x) 的最大值；
（2）若函数 f (x) 的最小正周期为 ，试确定 的值，并求函数 y f (x)，x R 的单调增区间；
（3）在（2）的条件下，若不等式
f (x) m
2
在
x
4
， 2
上恒成立，求实数
m
的取值范围．
解：（1）
f
(x)
sin x
π 6
sin
x
π 6
2 cos2
x ，x R 2
=
3 2
2sin(2x
6
)
1
，再由
2k
2
2x
6
2k
2
(k
Z)，
解得
k
6
x
k
3
(k
Z)
．
所以
y
f
(x)
的单调增区间为 [k
6
x
k
3
]
(k
Z ) ．—————8
分
（3）∵
f
(x) m
2
f
(x) 2
m
f
(x) 2 ，
x
π，π 42
，
∴m
f (x)max
2且m
f
( x)min
2
，又∵
解：（1）由已知，得 a1
S1
a 2
， an
Sn
Sn1
a (2n 1) 2
an
a (n N *, n 2
2)
又 an an1 a(n N *, n 2)
所以，数列{an}为公差为 a 的等差数列． …………………………………………5 分
（2）由 an an1 a(n N *, n 2) 得
．
解：（1）
an
a [1 2
(1)n1]
b [1 2
(1)n ] 或
an
a
| sin
n 2
|
b |
cos
n 2
| 等．（3
分）
（2）当 n
3k
1 时，
Sn
n 1(a 3
b
c)
a
；（5
分）
当
n
3k
2 时，
Sn
n
3
2 (a
b
c)
a
b ；（6
分）
当
n
3k
3时，
Sn
n 3
(a
b
c)
（
k
N ）．（7
8 ． 已 知 ABC 的 三 个 内 角 A, B,C 依 次 成 等 差 数 列 ， 则 tan A tan C 3 tan A tan C 的 值 为
2
2
22
___ 3 _____
9．给出问题：已知 ABC 满足 a cos A b cos B ，试判定 ABC 的形状．某学生的解答如下：