上海南汇中学2012学年度高一第二学期期末考试数学试题与答案
2012上海市数学会考卷(含答案)
2012年上海市普通高中学业水平考试数学试卷考生注意：1．本试卷共4页，满分120分，考试时间90分钟。
2．本考试分设试卷和答题纸。
试卷包括三大题，第一大题为填空题，第二大题为选择题，第三大题为解答题。
3．答题前，务必在答题纸上填写姓名、报名号、考场号和座位号，并将核对后的条形码贴在指定位置上。
4．作答必须涂或写在答题纸上，在试卷上作答一律不得分。
第二答题的作答必须涂在答题纸上相应的区域，第一、第三答题的作答必须写在答题纸上与试卷题号对应的位置。
一、填空题：（本答题满分36分）本答题共有12题．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分．1．已知集合{}=1,2A ，{}2,B a =．若{}1,2,3AB =，则a = ．2．函数()21f x x =-的定义域为 ．3．满足不等式01x x <+的x 的取值范围是 ．4．若球的体积为36π，则球的半径为 ．5．若直线220x my ++=与直线4610x y +-=平行，则m = ．6．若向量a 与b 的夹角为60°，2a =，1b =，则a b ⋅= ．7．在△ABC 中，角A B C 、、所对的边长分别为a b c 、、．若45A =，30C =，2c =，则a = ．8．若无穷等比数列{}()n a n N *∈的首项为l 、公比为13，则该数列各项的和为 ． 9．在61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，常数项的值为 ．10．若12i +（i 为虚数单位）是关于x 的方程230x mx ++=的根，则实数m = ．11．执行右图所示算法，输出的结果是 ．12．已知圆n O ：()2221x y n N n*+=∈与圆C ：()2211x y -+=．设圆n O 与y 轴正半轴的交点为n R ，圆n O 与圆C 在x 轴上方的交点为n Q ，直线n n R Q 交x 轴于点n P ．当n 趋向于无穷大时，点n P 无限趋近于定点P ，定点P 的横坐标为 ．二、选择题：（本大题满分36分）本大题共有12题，每题有且只有一个正确答案．考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分．13．若矩阵12a b ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭是线性方程组321x y x y -=⎧⎨-=⎩，的系数矩阵，则（ ）． A ．11a b ==-，； B ．11a b ==，； C ．11a b =-=，；D ．11a b =-=-，．14．函数()21xf x =+的反函数是（ ）． A ．()12log 1f x x -=+； B ．()1log 21x f x -=+； C ．()()12log 1f x x -=-；D ．()12log 1f x x -=-．15．抛物线24y x =的焦点到其准线的距离是（ ）． A ．1； B ．2； C ．4； D ．8．16．某校高一、高二、高三分别有学生400名、300名、300名．为了解他们课外活动情况，用分层抽样的方法从中抽取50名学生进行调查，应抽取高二学生人数为（ ）．A ．50；B ．30；C ．20；D ．15．17．函数()32f x x x =+（ ）．A ．是奇函数且为增函数；B ．是偶函数且为增函数；C ．是奇函数且为减函数；D ．是偶函数且为减函数．18．已知扇形的圆心角为3π，半径为3，该扇形的面积为（ ）． A ．3π； B ．32π； C ．π； D ．2π．19．函数()sin 3cos 1f x x x =++的最大值是（ ）．A ．1-；B ．2；C ．3；D ．23+．20．函数12x y =的大致图象是（ ）．A ．B ．C ．D ．21．若椭圆221164x y +=与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A 、B ，则直线AB 的方程为（ ）．A ．240x y +-=；B ．240x y --=；C ．240x y -+=；D ．240x y ++=．22．设1l 、2l 是空间两条直线．“1l 、2l 没有公共点”是“1l 、2l 为异面直线”的（ ）．A ．充分但非必要条件；B ．必要但非充分条件；C ．充分必要条件；D ．既非充分又非必要条件．23．从17名男同学和21名女同学中随机抽取3名，组成环保志愿者小组，这个小组中必有男同学的概率（精确到0.001）为（ ）．A ． 0.141；B ． 0.335；C ． 0.423；D ．0.842．24．实数a 、b 满足0ab >且a b ≠，由a 、b 、2a b +、ab 按一定顺序构成的数列（ ）． A ．可能是等差数列，也可能是等比数列； B ．可能是等差数列，但不可能是等比数列；C ．不可能是筹差数列，但可能是等比数列；D ．不可能是等差数列，也不可能是等比数列．三、解答题：（本大题满分48分）本大题共有5题．解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．25．（本题满分7分） 已知3cos 3α=，化简并求值：()21tan 2cos 2cos 233ππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+++- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．26．（本题满分7分）如图所示，正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2，表面积为32，求异面直线1DA与11B C 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．27．（本题满分7分）已知等比数列{}()n a n N *∈满足12a =，454a =，等差数列{}n b ()n N *∈满足11b a =，32b a =．求数列{}n b 的前n 项和n S ．28．（本题满分13分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分8分．己知双曲线C 的两个焦点分别为()130F -，、()230F ，，渐近线方程为2y x =±． （1）求双曲线C 的方程； （2）若过点()130F -，的直线l 与双曲线C 的左支有两个交点，且点()01M ，到l 的距离小于1，求直线l 的倾斜角的范围．29．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分．设函数()f x 、()g x 有相同的定义域D ．对任意x D ∈，过点(),0x 并垂直于x 轴的直线与()f x 、()g x 的图像分别交于点A 、B ，向量OA 、OB 满足OA OB ⊥（O 为坐标原点）．（1）若()1f x x =-+，()1x ∈∞，，求()g x 的解析式，并作出其大致图像； （2）若()[](]22log 62,46346x x f x x x x ⎧-∈⎪=⎨-++∈⎪⎩，，，，，求()g x 的最大值和最小值．简易版答案：一、填空题3； 2. [1,1]-； 3. (1,0)-； 4. 3； 5. 3； 6. 1； 7. 2； 8. 32； 9. 20； 10. 2-； 11. 31； 12. 4； 二、选择题13. A ； 14. C ； 15. B ； 16. D ； 17. A ； 18. B ；19. C ； 20. C ； 21. A ； 22. B ； 23. D ； 24. D ；三、解答题25. 3-；26. 3arctan 2； 27. (1)n n ⋅+；28. （1）2212y x -=； （2）(arctan 2,arctan 3)；29. （1）2(),(1)1x g x x x =>-，图略（NIKE 函数，最低点是(2,4)，分别以直线1x =和直线1y x =+为渐近线）；（2）max ()4g x =，min ()12g x =-1.。
2024届上海市十二校高一数学第二学期期末经典试题含解析
2024届上海市十二校高一数学第二学期期末经典试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．某程序框图如图所示，该程序运行后输出S 的值是（ ）A ．910B ．1011C ．1112D ．1112．点()1,1-到直线10x y -+=的距离是（ ）A ．32B ．22C ．3D ．3223．如图，网格纸上小正方形的边长均为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．34B ．42C ．54D ．724．已知直线a b ，，平面α，且a α⊥，下列条件中能推出a b ∥的是（ ） A ．b αB ．b α⊂C ．b α⊥D ．b 与α相交5．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，那么四棱锥1D ABCD -的体积是（）A ．14 B ．13C ．12D ．16．下图所示的几何体是由一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为质点的圆锥面得到，现用一个垂直于底面的平面去截该几何体、则截面图形可能是（ ）A ．（1）（2）B ．（2）（3）C ．（3）（4）D ．（1）（4）7．如图所示，在边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，向该正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域的概率是38，则该阴影区域的面积是（ ）A ．3B ．32C ．2D ．348．在等比数列{}n a 中，212a =，68a =，则4a =（ ） A ．4 B ．2 C ．4±D ．2±9．函数的图象在内有且仅有一条对称轴，则实数的取值范围是 A ．B ．C ．D ．10．已知{}n a 为等差数列，135105a a a ++=，24699a a a ++=，则20a 等于（ ）. A ．1-B ．1C ．3D ．7二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
上海市南汇中学2012届高三数学第一次考试沪教版【会员独享】
上海南汇中学2011—2012学年度高三第一次考试数 学 试 题考生注意：1．答卷前，考生务必将班级、姓名、考号等在答题纸的相应位置填写清楚。
2．本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟。
请考生用黑色铅笔或圆珠笔将答案填写在答题纸的指定位置上。
一、填空题（本大题共有14题，每小题4分，满分56分）1．已知集合U={1，2，3，4，5}，A={2，4}，B={4，5}，则()U A C B ⋂= 。
2．(1)(1)i i +-表示为(,),a bi a b R a b +∈+则= 。
3．过点A （2，-3），且法向量是(4,3)m =-的直线的点方向式方程是 。
4．若cos()sin()660,(0,)sin()cos()33x x x x x πππππ++=∈++且，则x= 。
5．以F 1（-3，0）、F 2（3，0）为焦点，渐近线方程为y =的双曲线的标准方程是 。
6．在等差数列{}n a 中，若公差0d ≠，且236,,a a a 成等比数列，则公比q= 。
7．已知12,e e 是平面上两上不共线的向量，向量12122,3a e e b me e =-=+，若//a b ，则实数m= 。
8．点A （3，1）和B （-4，6）在直线320x y a -+=的两侧，则a 的取值范围是 。
9．设*,(21)n n N x ∈+的展开式各项系数之和为,(31)nn a x +展开式的二项式系数之和为n b ，则 1123lim n n n n n a b a b →∞+++= 。
10．函数12(0,1)x y a a a +=->≠的图像恒过定点A ，若点A 在直线10,(0,0)mx ny m n ++=>>上，则21m n+的最小值是 。
11．已知长方体的三条棱长分别为1，1，2，并且该长方体的八个顶点都在一个球的球面上，则此球的表面积为 。
12．一个不透明的袋中装有5个白球、4个红球（9个球除颜色外其余完全相同），经充分混合后，从袋中随机摸出3球，则摸出的3球中至少有一个是白球的概率为 。
2012学年高一第二学期徐汇区期终联考卷
2012学年第二学期徐汇区期终联考高一数学试题卷 2013.06（考试时间100分钟，满分100分）一．填空题：（3分×14=42分）1.)23arcsin(-= 2．数列{}n a 中，11=a ，111+=-n n a a ，则=4a 3．函数()()43sin 2-=x x f 的最小正周期是 4．函数)52cos(π-=x y 的单调递减区间是5．数列前n 项和为2n S n =，则其通项n a 等于6．等差数列{}n a 的通项为492-=n a n ，则n S 达到最小值时，n 的值是 7．如何移动函数x y 2sin =的图像，向____平移_________得到函数)32sin(π-=x y8．函数)62sin(3π+=x y 的对称轴是9．函数4sin 4cos 2-+=x x y 的最大值是 10．若{}n a 为等差数列，1282=+a a ，则=5a .11、在等比数列{}n a 中，若62105==S S ，，则=-1520S S . 12、若数列{}n a 的前n 项和为131-=n n a S ，则=n a . 13．等差数列{}n a 中，若=+109a a A , =+2019a a B ，则=+10099a a 14．若*∈=N n n n f ,6sin )(π，试求：(1)(2)(3)(2014)f f f f ++++的值二．选择题：（3分×4=12分）15．若)23(53sin ππ<<-=x x ，则x 等于 …………………………………… （ ） A ．)53arcsin(- B ．53arcsin -πC ．53arcsin 2-π D ．)53arcsin(--π16．)(201120102......642)12(......531*N n n n ∈=++++-++++的解n 等于…………………( )A ．2012 B.2011 C.2010 D.200917．函数1cos sin -+=x x y 的值为正的x 的取值范围是 ……………………（ ）A ．⎪⎭⎫⎝⎛43,4ππ B ． ⎪⎭⎫⎝⎛2,0π C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛++432,42ππππk k ，Z k ∈ D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛+22,2πππk k ，Z k ∈18．下面四个命题中，正确的个数为 ……………………………………………（ ） （1）若{}n a 是等比数列，则{}1++n n a a 是等比数列； （2）若{}1+n n a a 是等比数列，则{}n a 是等比数列；(3) {}n a 的前n 项和为n S ，若{}n S 是等比数列，则{}n a 是等比数列；（4）ABC ∆中三内角成等差数列的充要条件是三角形中至少有一个内角为60A. 0B. 1C. 2D. 3三．解答题：（19、20各5分，21、22各8分，23、24各10分，共46分）19、解三角方程 22sin 3cos 0x x +=．20．已知数列{}n a 是等比数列，且8,7321321==++a a a a a a ，求n a .21. 已知数列{}n a 的首项15a =，且前1n -项和*1(2,)n n S a n n N -=≥∈,求{}n a 的通项公式.22．已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的一系列对应值如下表：（Ⅰ）求()f x 的解析式； （Ⅱ）在ABC ∆中，若1()2f A =-，求：A ∠23. 等差数列中{}n a ，前项和为n S ，首项41=a ，09=S 。
上海市南汇中学2012届高三上学期期中考试试卷(数学理)
上海南汇中学2011—2012学年度高三第一学期期中考试 数 学 试 题（理）满分：150分 时间：120分钟一、填空题（每小题4分，共56分）1．函数21-+=x x y 的定义域为_______ ______2．设全集R U =，{|110,}A x x x N =≤≤∈},06|{2R x x x x B ∈=-+=，则右图中阴影表示的集合为______________3．函数()31x f x =+的反函数为1()f x -=_______________ 4．命题“如果22>>y x 且，那么4>+y x ”的否命题是____________5．若1cos()2πα+=-，且sin 0α<，则sin(2)πα+=6．方程12432160x x ++-⋅-=的解是______________7．设()f x 是周期为2的奇函数，当10≤≤x 时，()f x =2(1)x x -，则5()2f -=________ 8．不等式2313x x a a+--≤-对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为9．在平面直角坐标系xoy 中，以ox 轴为始边作两个锐角α,β，它们的终边分别与单位圆相交于A 、B 两点，已知A 、B的横坐标分别为105．则)tan(βα+的值为______ 10．在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数x x f 2)(=的图像交于QP 、两点，则线段PQ 长的最小值是______________11．若关于x 的方程0542=++k x x 的两根为θθcos ,sin ，请写出一个以tan ,cot θθ为两根的一元二次方程：______________________12．已知实数0≠a ，函数⎩⎨⎧≥--<+=1,21,2)(x a x x a x x f ，若)1()1(a f a f +=-，则a 的值为_______13．函数)(x f y =是定义在R 上的增函数，)(x f y =的图像过点)1,2(-和点______时，能确定不等式1)1(<-x f 的解集为{}43<<x x ．14．对实数a 和b ，定义运算“⊗”：,1,, 1.a a b a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩ 设函数()()22()2,f x x x x =-⊗-x R ∈．若函数c x f y +=)(的图像与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是_________二、选择题（每小题5分，共20分）15．已知集合}{},1|{2a B x x A =≤=，若A B A = ，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．]1,(--∞B ．),1[+∞C ．),1[]1,(+∞--∞D ．]1,1[-16．已知条件:1p x >，条件1:1q x <，则p 是q 成立的（ ）A ．充分而不必要的条件B ．必要而不充分的条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件17．对于函数c bx ax x f ++=3)(（其中Z c R b a ∈∈,,），选取c b a ,,的一组值计算)1(f 和)1(-f ，所得出的正确结果一定不可能是 （ ）A ．42和B ．21和C ．13和D ．64和18．设a 为非零实数，则关于函数2()1f x x a x =++，R x ∈的以下性质中，错误的是（ ） A ．函数()f x 一定是个偶函数 B ．()f x 一定没有最大值C ．区间[)∞+,0一定是()f x 的单调递增区间D ．函数()f x 不可能有三个零点三、解答题（本大题共5题，满分74分）19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．已知集合}1|2||{>-=x x A ，集合}221|{≥-+=x x x B ，集合{}|1C x a x a =<<+．（1）求B A ；（2）若∅=C B ，求实数a 的取值范围．20．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．在ABC ∆中，cos A B AB ===（1）求角C ；（2）求ABC ∆的面积．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系：()()01035kC x x x =≤≤+，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设()f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． （1）求k 的值及()f x 的表达式；（2）隔热层修建多厚时，总费用()f x 达到最小，并求最小值．22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．设b a x f x x ++-=+122)(（b a ,为实常数）． （2）当1==b a 时，证明：)(x f 不是奇函数； （3）设)(x f 是实数集上的奇函数，求a 与b 的值；（4）当)(x f 是实数集上的奇函数时，证明对任何实数x 、c ，都有33)(2+-<c c x f 成立．23．（本大题满分18分）本大题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． 对于函数12(),(),()f x f x h x ，如果存在实数,a b 使得12()()()h x a f x b f x =⋅+⋅，那么称()h x 为12(),()f x f x 的生成函数．（1）下面给出两组函数，()h x 是否分别为12(),()f x f x 的生成函数？并说明理由；第一组：12()sin ,()cos ,()sin()3f x x f x x h x x π===+； 第二组：1)(,1)(,)(22221+-=++=-=x x x h x x x f x x x f ；（2）设12212()log ,()log ,2,1f x x f x x a b ====，生成函数()h x ．若不等式(4)(2)0h x th x +<在[2,4]x ∈上有解，求实数t 的取值范围；（3）设121()(0),()(0)f x x x f x x x =>=>，取0,0a b >>，生成函数()h x 图像的最低点坐标为(2,8)．若对于任意正实数21,x x 且121x x +=．试问是否存在最大的常数m ，使m x h x h ≥)()(21恒成立？如果存在，求出这个m 的值；如果不存在，请说明理由．参考答案一、填空题（每小题4分，共56分）1．函数21-+=x x y 的定义域为_),2()2,1[+∞- ．2．设全集R U =，{|110,}A x x x N =≤≤∈},06|{2R x x x x B ∈=-+=，则右图中阴影表示的集合为____}2{____．3．函数13+=x y 的反函数为1()f x -=__)1(log 3-x _____． 4．命题 “如果22>>y x 且，那么4>+y x ”的否命题是 如果22≤≤y x 或，那么4≤+y x ．5．若1cos()2πα+=-，且sin 0α<，则sin(2)πα+=26．方程12432160x x ++-⋅-=的解是_____2=x _________7．设()f x 是周期为2的奇函数，当10≤≤x 时，()f x =2(1)x x -，则5()2f -=___21-___．8．不等式2313x x a a+--≤-对任意实数x 恒成立,则实数a 的取值范围为_41≥-≤a a 或_．9．在平面直角坐标系xoy 中，以ox 轴为始边作两个锐角α,β，它们的终边分别与单位圆相交于A 、B 两点，已知A 、B的横坐标分别为10．则)tan(βα+的值为__3-__．10．在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数x x f 2)(=的图像交于QP 、两点，则线段PQ 长的最小值是____4____．11．若关于x 的方程0542=++k x x 的两根为θθcos ,sin ，请写出一个以tan ,cot θθ为两根的一元二次方程：_____293290x x -+=（不唯一）_______．12．已知实数0≠a ，函数⎩⎨⎧≥--<+=1,21,2)(x a x x a x x f ，若)1()1(a f a f +=-，则a 的值为____43-___．13．函数)(x f y =是定义在R 上的增函数，)(x f y =的图像过点)1,2(-和点_ )1,3( 时，能确定不等式1)1(<-x f 的解集为{}43<<x x ．14．对实数a 和b ，定义运算“⊗”：,1,,1.a ab a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩ 设函数()()22()2,.f x x x x x R =-⊗-∈若函数c x f y +=)(的图像与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是_____),2[)1,43(+∞ ____．二、选择题（每小题5分，共20分）15．已知集合}{},1|{2a B x x A =≤=，若A B A = ，则实数a 的取值范围是 （ D ）（A ） ]1,(--∞ （B ） ),1[+∞（C ） ),1[]1,(+∞--∞ （D ） ]1,1[-16．已知条件:1p x >，条件1:1q x <，则p 是q 成立的 （ A ）（A ） 充分而不必要的条件 （B ） 必要而不充分的条件（C ） 充要条件 （D ） 既不充分也不必要的条件17．对于函数c bx ax x f ++=3)(（其中Z c R b a ∈∈,,），选取c b a ,,的一组值计算)1(f 和)1(-f ，所得出的正确结果一定不可能是 （ B ）（A ） 42和 （B ） 21和 （C ） 13和 （D ） 64和18．设a 为非零实数，则关于函数2()1f x x a x =++，R x ∈的以下性质中，错误的是（ C ） （A ） 函数()f x 一定是个偶函数 （B ） ()f x 一定没有最大值（C ） 区间[)∞+,0一定是()f x 的单调递增区间 （D ） 函数()f x 不可能有三个零点三、解答题（本大题共5题，满分74分）19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分． 已知集合}1|2||{>-=x x A ，集合}221|{≥-+=x x x B ，集合{}|1C x a x a =<<+．（1）求B A ；（2）若∅=C B ，求实数a 的取值范围．解：（1）{||2|1}{|1A x x x x =->=<或3}x >， ……………………2分}221|{≥-+=x x x B ={}52≤<x x ……………………4分所以A ∪B=}21{><x x x 或． ……………………6分（2）因为B C ⋂=∅，所以521≥≤+a a 或，………………………10分 因此实数a 的取值范围是51≥≤a a 或． ………………………12分20．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分． 在ABC ∆中，cos A B AB ===（1）求角C ； （2）求ABC ∆的面积．解：（1）由cos A =，cos B =，得02A B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭、，，所以sin sin A B == …………2分因为cos cos[()]cos()cos cos sin sin 2C A B A B A B A B π=-+=-+=-+=，…4分又0C π<<， 故.4C π=………… 6分（2）根据正弦定理得sin sin sin sin AB AC AB B AC C BC ⋅=⇒==， …………9分 所以ABC ∆的面积为=∆ABCS 16sin .25AB AC A ⋅⋅= …………12分21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系：()()01035kC x x x =≤≤+，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设()f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． （1）求k 的值及()f x 的表达式；（2）隔热层修建多厚时，总费用()f x 达到最小，并求最小值．解：（1）设隔热层厚度为xcm ，由题设，每年能源消耗费用为53)(+=x kx C ，由(0)8C =,∴40k =,∴40()35C x x =+……2分 而隔热层建造费用为.6)(1x x C = ……4分 最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为)100(6538006534020)()(20)(1≤≤++=++⨯=+=x x x x x x C x C x f ……6分（2）800()6(010)35f x x x x =+≤≤+，令35[5 35]t x t =+∈，，，则6210,x t =- 所以800800()2(5)21070f x t t t t =+-=+-≥，……8分（当且仅当20t =,即5x =时，不等式等式成立）……10分故5x =是)(x f 的取得最小值，对应的最小值为.7051580056)5(=++⨯=f ……13分答：当隔热层修建cm 5厚时，总费用达到最小值70万元．……14分22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．设b a x f x x ++-=+122)(（b a ,为实常数）． 当1==b a 时，证明：)(x f 不是奇函数；设)(x f 是实数集上的奇函数，求a 与b 的值；当)(x f 是实数集上的奇函数时，证明对任何实数x 、c ，都有33)(2+-<c c x f 成立．解：（1）1212)(1++-=+x x x f ，511212)1(2-=++-=f ，412121)1(=+-=-f ，所以)1()1(f f -≠-，因此，)(x f 不是奇函数； ………4分（2）)(x f 是奇函数时，)()(x f x f -=-，即b ab a x x x x ++--=++-++--112222对任意实数x 成立． ………6分 化简整理得0)2(2)42(2)2(2=-+⋅-+⋅-b a ab b a x x，这是关于x 的恒等式，所以⎩⎨⎧=-=-042,02ab b a 所以⎩⎨⎧-=-=21b a （舍）或⎩⎨⎧==21b a ． ………10分（3）121212212)(1++-=++-=+xx x x f ，因为02>x ，所以112>+x，11210<+<x ，从而21)(21<<-x f ； ………14分 而4343)23(3322≥+-=+-c c c 对任何实数c 成立； ………16分 所以对任何实数x 、c 都有33)(2+-<c c x f 成立． ………18分23．（本大题满分18分）本大题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． 对于函数12(),(),()f x f x h x ，如果存在实数,a b 使得12()()()h x a f x b f x =⋅+⋅，那么称()h x 为12(),()f x f x 的生成函数．（1）下面给出两组函数，()h x 是否分别为12(),()f x f x 的生成函数？并说明理由；第一组：12()sin ,()cos ,()sin()3f x x f x x h x x π===+； 第二组：1)(,1)(,)(22221+-=++=-=x x x h x x x f x x x f ；（2）设12212()log ,()log ,2,1f x x f x x a b ====，生成函数()h x ．若不等式(4)(2)0h x th x +< 在[2,4]x ∈上有解，求实数t 的取值范围；（3）设121()(0),()(0)f x x x f x x x =>=>，取0,0a b >>，生成函数()h x 图像的最低点坐标为(2,8)．若对于任意正实数21,x x 且121x x +=．试问是否存在最大的常数m ，使m x h x h ≥)()(21恒成立？如果存在，求出这个m 的值；如果不存在，请说明理由．解：（1）① 设sin cos sin()3a x b x x π+=+，即1sin cos sin cos 22a x b x x x+=+，取1,2a b ==，所以()h x 是12(),()f x f x 的生成函数．………………………2分② 设222()(1)1a x x b x x x x ++++=-+，即22()()1a b x a b x b x x ++++=-+， 则⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=+111b b a b a ，该方程组无解．所以()h x 不是12(),()f x f x 的生成函数．…………4分 （2）122122()2()()2log log log h x f x f x x x x=+=+= ………………………5分 (4)(2)0h x th x +<，即22log (4)log 20x t x +<， ………………………6分 也即22(2log )(1log )0x t x +++< ………………………7分因为[2,4]x ∈，所以21log [2,3]x +∈ ………………………8分 则2222log 111log 1log x t x x +<-=--++ ………………………9分 函数2111log y x =--+在[2,4]上单调递增，max 43y =-．故，43t <-．……10 分 （3）由题意，得()(0)b h x ax x x =+>，则()b h x ax x =+≥2828b a ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得28a b =⎧⎨=⎩，所以8()2(0)h x x x x =+> ……………………12分 假设存在最大的常数m ，使m x h x h ≥)()(21恒成立． 于是设)(16644)4)(4(4)()(12212121221121x x x x x x x x x x x x x h x h u +++=++== =2221212121212121212121212()2646480416416432x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++-++⋅=++⋅=+-令12t x x =，则41)2(22121=+≤=x x x x t ，即]41,0(∈t ……………………………16分 设80432u t t =+-，]41,0(∈t ． 设41021≤<<t t ，]804[)(]3804[38042121221121t t t t t t t t u u --=-+--+=-161021<<t t ， 021>-u u ，所以80432u t t =+-在]41,0(∈t 上单调递减， 289)41(=≥u u ，故存在最大的常数289m =…………………………………18分。
上海市浦东新区高一数学下学期期末考试试题沪教版
浦东新区2012学年度第二学期期末质量抽测高一数学试卷答案及评分细则一、填空题（本大题共12道题目，满分36分.只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分）注：答案等价表示均对1．若函数()21f x x =+的反函数为1()f x -，则1(2)f --= .【答案】32- 2．若对数函数()y f x =图像过点(4,2)，则其解析式是____ .【答案】2()log f x x =3．若角θ满足sin cos 0θθ⋅<，则角θ在第________象限. 【答案】二或四4．已知扇形的圆心角为23π，半径为5，则扇形的面积S= .【答案】253π 5．若,2πθπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，3sin 5θ=，则sin 2θ= ．【答案】2425- 6. 化简：cos(2)cot()tan()______sin()cot(3)πθπθθππθπθ-+--=--.【答案】1 7. 函数()22log 611y x x =-+在区间[]1,2上的最小值是______．【答案】2log 38．已知等腰三角形的顶角的余弦值等于725-，则这个三角形底角等于_____________（用反三角函数值表示）.【答案】3arcsin59．方程()239log log 320x x +-=的解是_________.【答案】13x =，29x =10. 方程sin cos2x x =的解集是_____. 【答案】(1)2,Z 62n x x n x n n ππππ⎧⎫=+-=-∈⎨⎬⎩⎭或 11．函数3cos 6sin 2)(2++=x x x f 的最大值为______.【答案】912．若sin(2)cos(2)y x x αα=+++为奇函数，则最小正数α的值为 .【答案】34π 二、选择题（本大题共4道题目，每题3分，满分12分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的.13．“()24x k k Z ππ=+∈”是“tan 1x =”成立的（ A ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分条件D.既不充分也不必要条件14. 下列命题：①第一象限的角是锐角. ②正切函数在定义域内是增函数. ③3arcsin 32π=. 正确的个数是（ A ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 15. 在△ABC 中，角A 、B 均为锐角，且,sin cos B A >则△ABC 的形状是（ C ）A. 直角三角形B. 锐角三角形C.钝角三角形D. 等腰三角形16．下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数的是（ B ） A. 2cos y x = B. 2sin y x = C. cos 13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭ D. cot y x =-三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 注：其他解法相应给分17.（本题满分10分）已知4sin 5θ=，5cos 13φ=-，且,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,2πφπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求sin()θφ-的值.【解答】因为4sin 5θ=且,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以23cos 1sin 5θθ=--=-.…………3分 因为5cos 13φ=-且,2πφπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以212sin 1cos 13φφ=-=. …………………6分 从而有sin()sin cos cos sin θφθφθφ-=-45312513513⎛⎫⎛⎫=⨯---⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1665=.……10分 18.（本题满分10分）如图，在一个半径为r 的半圆形铁板中有一个内接矩形ABCD ，矩形的边AB 在半圆的直径上，顶点C 、D 在半圆上，O 为圆心.令BOC θ∠=，用θ表示四边形ABCD 的面积S ，并求这个矩形面积S的最大值.【解答】sin ,2cos BC r AB r θθ== ………………………………………………………4分 ∴22cos sin sin 2S AB BC r r r θθθ=⨯=⨯= ……………………………………………6分当4πθ=时，sin 2sin 12πθ==，∴2max S r =。
2012-2013-高一下期末-浦东.doc
浦东新区2012学年度第二学期期末质量测试高一数学试卷2013年6月一、 填空题（本大题共12道题目，满分36分。
只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分）1、若函数()21f x x =+的反函数为1()f x -，则1(2)f --=2、若对数函数()y f x =图像过点(4,2)，则其解析式是3、若角θ满足sin cos 0θθ<，则角θ在第 象限。
4、已知扇形的圆心角为23π，半径为5，则扇形的面积S= 。
5、若(,)2πθπ∈，3sin 5θ=，则sin 2θ= 。
6、化简：cos(2)cot()tan()sin()cot(3)πθπθθππθπθ-+----= 。
7、函数22log (611)y x x =-+在区间[1,2]上的最小值是 。
8、已知等腰三角形的顶角的余弦值等于725-，则这个三角形底角等于 （用反三角函数值表示）9、方程239(log )log 320x x +-=的解是 。
10、方程sin cos2x x =的解集是 。
11、函数2()2sin 6cos 3f x x x =++的最大值为 。
12、若sin(2)cos(2)y x x αα=+++为奇函数，则最小正数α的值为 。
二、选择题（本大题共4道题目，每题3分，满分12分）本大题共有4题，每题都给出代号为A,B,C,D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的。
13、“2()4x k k Z ππ=+∈”是“tan 1x =”成立的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件14、下列命题：○1第一象限的角是锐角. ○2正切函数在定义域内是增函数○3arcsin 32π= 正确的个数是 （ ）A ．0B ．1C ．2D ．315、在∆ABC 中，角A 、B 均为锐角，且cos sin B A >,则∆ABC 的形状是 （ ）A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形16、下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间(,)2ππ上为减函数的是 （ ） A ．2cos y x = B ．2|sin |y x = C ．cos 1()3x y = D ．cot y x =- 三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤。
上海重点中学2012学年高一第二学期数学期末考试(试卷含答案)
12012学年度第二学期高一年级数学期末考试试卷 2013.6命题： 审卷： 打印：1. 若sin cos 1α⋅β=，则cos sin α⋅β=_______________.2. 设12,x x 是方程233sincos 055x x -π+π=的两解，则12arctan arctan x x +=________. 3. 000sin 20sin 40sin80⋅⋅= .4. 公差为d ，各项均为正整数的等差数列{}n a 中，若11,73n a a ==，则n d +的最小值等于 ．5. 解方程x +log 2(2x-31)=5__________________。
6. 若tan θ＝－2，则θ+θ-θ2cos 12sin 2cos ＝______________ 7. 函数y=arcos(21－x 2)的值域是_______________． 8. 在ABC ∆中，若tan A tan B =tan A tan C +tanctan B ，则 222cb a += . 9. 已知函数)4541(2)cos()sin()(≤≤+-=x xπx πx x f ，则f (x )的最小值为_____ 10. 设()cos 22(1cos )f x x a x =-+的最小值为12-，则a =_____________．11. 已知a >0且a ¹1，试求使方程有解的k 的取值范围是___。
12. 设t s r ,,为整数，集合}0,222|{r s t a a tsr<<≤++=中的数由小到大组成数列}{n a ： ,14,13,11,7，则=36a 。
二、选择题13. 设f(x)=x 2－πx, α=arcsin31, β=arctan 45, γ=arcos(－31), δ=arccot(－45)，则（ ） A ．f(α)>f(β)>f(δ)>f(γ) B ．f(α)>f(δ)>f(β)>f(γ)C ．f(δ)>f(α)>f(β)>f(γ)D ．f(δ)>f(α)>f(γ)>f(β)14. 已知数列{a n }满足3a n+1+a n =4(n ≥1)，且a 1=9，其前n 项之和为S n 。
上海市南汇第一中学高一第二学期期末考试数学试卷(含参考答案)
上海市南汇第一中学高一第二学期期末考试数学学科试卷（后附答案）答卷时间：90分钟 满分：100分一、填空题（本大题满分36分，每小题3分）1、与30°角终边相同的角α= .2、某扇形的面积为12cm ，它的周长为4cm ，那么形圆心角的大小为 .3、已知在ABC ∆中，12cot 5A =-，则cos A = . 4、222222sin sin sin sin cos cos αβαβαβ+-+= .5、已知αβ、为锐角，()35cos ,cos 513ααβ=+=-，则cos β= . 6、函数()43x f x a a =-+的反函数的图像经过点()1,2-，那么实数a 的值等于 .7、在ABC ∆中，若2222a b c +=，则222sin sin sin A B C += .8、方程sin 1x x =的解为 .9、在ABC ∆中，已知13,14,15a b c ===，则ABC S ∆= .10、已知sin x a =，且3,44a ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则arccos x 的取值范围是 . 11、已知直线6x π=是函数()sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（其中6ω<）图像的一条对称轴，则ω的值为 . 12、函数()[]sin 2sin ,0,2f x x x x π=+∈的图像与直线y k =有仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是 .二、选择题（本大题满分12分，每小题3分）13、函数()()2lg 31f x x =++的定义域是（ ） A.1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ B. 1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭ C. 11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D. 1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ 14、函数()=sin 2cos2f x x x +的最下正周期是（ ） A.4π B.2π C.π D.2π 15、如果存在实数x ，使1cos 22x x α=+成立，那么实数x 的取值范围是（ ） A. []1,1- B.{}|01x x x <=或 C. {}|01x x x >=-或 D. {}|01x x x ≤≥或16、设函数()22646cos x x x f x x xπ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭=+的最大值为M ，最小值为m ，则M 与m 满足的关系是（ ） A.2M m -= B. 2M m += C. 4M m -= D. 4M m +=三、解答题（本大题满分52分）17、（本题满分6分）若sin αβ==,αβ为锐角，求()cos αβ+的值18、（本题满分10分，第1小题满分5分，第2小题满分5分）已知函数()()2=log 21,0x f x x +>（1）求使得()f x 的反函数()1f x -；（2）解方程：()()123f x f x --=.19、（本题满分10分）如图所示，某住宅小区的平面图是圆心角为120°的扇形AOB ，小区的两个出入口设置在点A 及点C 处，且小区里有一条平行于BO 的小路CD ，已知某人从C 沿CD 走到用了10分钟，从D 沿DA 走到用了6分钟，若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA 的长（精确到1米）.A D OB C20、（本题满分12分）已知定义在R 上的函数()()()sin 0,0f x A x x A ωϕ=+>>的图像如图所示（1）求函数()f x 的解析式；（2）写出函数()f x 的单调递增区间（3）设不相等的实数，()12,0,x x π∈，且()()122f x f x ==-，求12x x +的值.21、（本题满分14分）（1）求证：cot tan 2cot 2ααα=+（2）请利用（1）的结论证明：cot tan 2tan 24cot 4αααα=++（3）请你把（2）的结论推到更一般的情形，使之成为推广后的特例，并加以证明：（4）化简：tan 52tan104tan 208tan 50︒+︒+︒+︒.参考答案：一、填空题（每题满分36分，每小题3分）1、136π（写出一个符合()+26k k Z ππ∈即可）；2、2rad ；3、1213-；4、1；5、3365； 6、2；7、2；8、()|1,63k x x k k Z πππ⎧⎫=+--∈⎨⎬⎩⎭；9、84；10、30,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦；11、{}1,5；12、()1,3 二、选择题（本大题满分12分，每小题3分）13、A ；14、C ；15、A ；16、B .三、解答题（本大题满分52分）17、（本题满分6分）()cos αβ+ 18、（1）()()()12=log 211x f x x -->；（2）无解 19、链接AC ，根据余弦定理可首先求出700AC =，11cos 14CAO ∠=，再根据余弦定理可求半径490011r ∴=； 20、（1）()=4sin 23f x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（2）5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（3）122=3x x π+； 21、略。
上海南汇第三中学数学高一下期末复习题(含答案)
一、选择题1．(0分)[ID ：12705]已知()()()sin cos ,02f x x x πωϕωϕωϕ=+++＞，＜，()f x 是奇函数，直线y =与函数()f x 的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为2π，则（ ）A ．()f x 在3,88ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减B ．()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减C ．()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 D ．()f x 在3,88ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 2．(0分)[ID ：12701]在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，且B 为锐角，若sin 5sin 2A c B b =，sin 4B =，4ABC S =△，则b =（ ）A ．B ．C D 3．(0分)[ID ：12689]函数()23sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的一个单调递增区间是 A ．713,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 4．(0分)[ID ：12683]为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：则y 对x 的线性回归方程为 A ．y = x-1B ．y = x+1C ．y =88+12x D ．y = 1765．(0分)[ID ：12675]要得到函数2sin 2y x x =+2sin 2y x =的图象（ ）A ．向左平移3π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移6π个单位 D ．向右平移6π个单位6．(0分)[ID ：12667]若函数()sin cos f x x x ωω=-(0)>ω在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，则ω的取值不可能为（ ）A ．14B ．15C ．12D ．347．(0分)[ID ：12665]设函数，则()sin 2cos 244f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ） A ．()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，其图象关于直线4x π=对称 B ．()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，其图象关于直线2x π=对称 C ．()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，其图象关于直线4x π=对称 D ．()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，其图象关于直线2x π=对称8．(0分)[ID ：12663]设函数()sin()cos()f x x x ωϕωϕ=+-+0,||2πωϕ⎛⎫><⎪⎝⎭的最小正周期为π，且f x f x -=（）（），则（ ）A ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增B ．()f x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减C ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D ．()f x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增9．(0分)[ID ：12649]若tan()24πα+=，则sin cos sin cos αααα-=+（ ）A ．12B ．2C ．2-D ．12-10．(0分)[ID ：12644]若函数()(),1231,1x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨-+≤⎪⎩是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭B ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．23,34⎛⎤⎥⎝⎦D ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭11．(0分)[ID ：12643]已知0.6log 0.5a =，ln0.5b =，0.50.6c =，则（ ） A ．a c b >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．c b a >>12．(0分)[ID ：12641]设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则5a =A ．12-B ．10-C ．10D ．1213．(0分)[ID ：12639]在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ．已知5a =，7b =，8c =，则A C +=A ．90︒B ．120︒C ．135︒D ．150︒14．(0分)[ID ：12700]如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数()f x ，则()y f x =在[0,]π上的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．15．(0分)[ID ：12681]若,αβ均为锐角，25sin α=()3sin 5αβ+=，则cos β=A 25B ．2525C 25或2525 D ．525-二、填空题16．(0分)[ID ：12800]若直线1x y -=与直线(3)80m x my ++-=平行，则m =______________．17．(0分)[ID ：12798]若,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，1sin 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin α=_________18．(0分)[ID ：12790]已知0,0,2a b a b >>+=，则14y a b=+的最小值是__________． 19．(0分)[ID ：12772]()()()()()1tan11tan 21tan31tan 441tan 45︒︒︒︒︒+++++=__________．20．(0分)[ID ：12761]在四面体ABCD 中，=2,60,90AB AD BAD BCD =∠=︒∠=︒，二面角A BD C --的大小为150︒，则四面体ABCD 外接球的半径为__________．21．(0分)[ID ：12755]已知点()M a b ，在直线3415x y +＝_______．22．(0分)[ID ：12738]已知函数42,0()log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，若1[()]2f f a =-，则a 的值是________.23．(0分)[ID ：12729]若()1,x ∈+∞，则131y x x =+-的最小值是_____．24．(0分)[ID ：12770]在△ABC 中，85a b ==，，面积为12，则cos 2C =______．25．(0分)[ID ：12749]若两个向量a 与b 的夹角为θ，则称向量“a b ⨯”为向量的“外积”，其长度为sin a b a b θ⨯=.若已知1a =，5b =，4a b ⋅=-，则a b ⨯= . 三、解答题26．(0分)[ID ：12896]某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益()f x 与投资额x 成正比，且投资1万元时的收益为18万元，投资股票等风险型产品的收益()g x 与投资额x 的算术平方根成正比，且投资1万元时的收益为0.5万元，（1）分别写出两种产品的收益与投资额的函数关系；（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？27．(0分)[ID ：12871]如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，S 是11B D 的中点，E ，F ，G 分别是BC ，DC ，SC 的中点.求证：（1）直线//EG 平面11BDD B ； （2）平面//EFG 平面11BDD B .28．(0分)[ID ：12868]ABC ∆是边长为3的等边三角形，2BE BA λ=,1(1)2BF BC λλ=<<,过点F 作DF BC ⊥交AC 边于点D ，交BA 的延长线于点E ．（1）当23λ=时，设,BA a BC b ==，用向量,a b 表示EF ； （2）当λ为何值时，AE FC ⋅取得最大值，并求出最大值． 29．(0分)[ID ：12836]已知数列{a n }满足a 1＝1，1114n na a +=-，其中n ∈N *． （1）设221n n b a =-，求证：数列{b n }是等差数列，并求出{a n }的通项公式．（2）设41nn a c n =+，数列{c n c n +2}的前n 项和为T n ，是否存在正整数m ，使得11n m m T c c +<对于n ∈N *，恒成立？若存在，求出m 的最小值；若不存在，请说明．30．(0分)[ID ：12919]已知函数31()log 1a m xf x x -=-（0a >，且1a ≠）的图象关于坐标原点对称． （1）求实数m 的值；（2）比较()2f 与()3f 的大小，并请说明理由．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题1．A2．D3．A4．C5．C6．D7．D8．A9．D10．C11．A12．B13．B14．B15．B二、填空题16．【解析】【分析】由题意得到关于m的方程解方程即可求得最终结果【详解】由题意结合直线平行的充分必要条件可得：解得：此时两直线方程分别为：两直线不重合据此可知：【点睛】本题主要考查直线平行的充分必要条件17．【解析】【分析】利用凑角的方法与两角和的正弦公式求解即可【详解】因为故故答案为：【点睛】本题主要考查了凑角的方法求三角函数值的方法同时也需要根据角度的象限分析余弦的正负同时也要利用两角和的正弦公式属18．【解析】分析：利用题设中的等式把的表达式转化成展开后利用基本不等式求得y的最小值详解：因为所以所以（当且仅当时等号成立）则的最小值是总上所述答案为点睛：该题考查的是有关两个正数的整式形式和为定值的情19．【解析】【分析】根据式子中角度的规律可知变形有由此可以求解【详解】根据式子中角度的规律可知变形有所以故答案为：【点睛】本题主要考查两角和的正切公式的应用以及归纳推理的应用属于中档题20．【解析】画出图象如下图所示其中为等边三角形边的中点为等边三角形的中心(等边三角形四心合一);球心在点的正上方也在点的正上方依题意知在中所以外接圆半径21．3【解析】【分析】由题意可知表示点到点的距离再由点到直线距离公式即可得出结果【详解】可以理解为点到点的距离又∵点在直线上∴的最小值等于点到直线的距离且【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式的应用属于22．-1或2【解析】【分析】根据函数值的正负由可得求出再对分类讨论代入解析式即可求解【详解】当时当当所以或故答案为:或【点睛】本题考查求复合函数值认真审题理解分段函数的解析式考查分类讨论思想属于中档题23．【解析】【分析】由已知可知然后利用基本不等式即可求解【详解】解：（当且仅当取等号）故答案为【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值解题的关键是配凑积为定值属于基础试题24．【解析】【分析】利用面积公式即可求出sinC使用二倍角公式求出cos2C【详解】由题意在中面积为12则解得∴故答案为【点睛】本题考查了三角形的面积公式二倍角公式在解三角形中的应用其中解答中应用三角形25．3【解析】【分析】【详解】故答案为3【点评】本题主要考查以向量的数量积为载体考查新定义利用向量的数量积转化是解决本题的关键三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】首先整理函数的解析式为()4f x x πωϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由函数为奇函数可得4πϕ=-，由最小正周期公式可得4ω=，结合三角函数的性质考查函数在给定区间的单调性即可. 【详解】由函数的解析式可得：()4f x x πωϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，函数为奇函数，则当0x =时：()4k k Z πϕπ+=∈.令0k =可得4πϕ=-.因为直线y =与函数()f x 的图像的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为2π结合最小正周期公式可得：22ππω=，解得：4ω=.故函数的解析式为：()4f x x =. 当3,88x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，34,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，函数在所给区间内单调递减； 当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()40,x π∈，函数在所给区间内不具有单调性； 据此可知，只有选项A 的说法正确. 故选A . 【点睛】本题主要考查辅助角公式的应用，考查了三角函数的周期性、单调性，三角函数解析式的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．D解析：D【解析】【分析】利用正弦定理化简sin5sin2A cB b=，再利用三角形面积公式，即可得到,a c，由sin B=，求得cos B，最后利用余弦定理即可得到答案．【详解】由于sin5sin2A cB b=，有正弦定理可得：52a cb b=，即52a c=由于在ABC中，sin B=，ABCS=△1sin2ABCS ac B==联立521sin2sina cac BB⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，解得：5a=，2c=由于B为锐角，且sin B=，所以3cos4B==所以在ABC中，由余弦定理可得：2222cos14b ac ac B=+-=，故b=（负数舍去）故答案选D【点睛】本题考查正弦定理，余弦定理，以及面积公式在三角形求边长中的应用，属于中档题．3．A解析：A【解析】【分析】首先由诱导公式对函数的解析式进行恒等变形，然后求解其单调区间即可.【详解】函数的解析式即：()223sin23sin233f x x xππ⎛⎫⎛⎫=-=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其单调增区间满足：()23222232k x k k Zπππππ+≤-≤+∈，解得：()7131212k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 令0k =可得函数的一个单调递增区间为713,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选A . 【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，三角函数单调区间的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：由已知可得176,176x y ==∴中心点为()176,176， 代入回归方程验证可知，只有方程y =88+12x 成立，故选C 5．C解析：C 【解析】 【分析】化简函数2sin 2y x x =+-. 【详解】依题意2ππsin 22sin 22sin 236y x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故只需将函数2sin 2y x =的图象向左平移6π个单位.所以选C. 【点睛】本小题主要考查三角函数降次公式和辅助角公式，考查三角函数图象变换的知识，属于基础题.6．D解析：D 【解析】∵()sin cos (0)4f x x x x πωωωω⎛⎫=-=-> ⎪⎝⎭∴令22,242k x k k Z ππππωπ-+≤-≤+∈，即232,44k k x k Z ππππωωωω-+≤≤+∈ ∵()sin cos (0)f x x x ωωω=->在,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增∴42ππω-≤-且342ππω≥ ∴102ω<≤ 故选D.7．D解析：D【解析】()sin(2)cos(2))2442f x x x x x πππ=+++=+=, 由02,x π<<得02x π<<，再由2,x k k Z ππ=+∈,所以,22k x k Z ππ=+∈. 所以y=f(x)在()y f x =在(0,)2π单调递减,其图象关于直线2x π=对称,故选D.8．A解析：A【解析】【分析】将f(x)化简，求得ωφ，，再进行判断即可.【详解】()πf x ωx φ,4⎛⎫=+- ⎪⎝⎭∵最小正周期为2ππ,π,ω∴=得ω2=， 又f x f x （）（）-=为偶函数，所以ππφk π42-=+, k Z ∈∵πφ2<,∴k=-1,()πππφ,f x 2x 444⎛⎫=-∴=--= ⎪⎝⎭, 当2k π2x 2k ππ≤≤+,即πk πx k π2≤≤+,f(x)单调递增，结合选项k=0合题意， 故选A.【点睛】 本题考查三角函数性质，两角差的正弦逆用，熟记三角函数性质，熟练计算f(x)解析式是关键，是中档题.9．D解析：D【解析】 由tan()24πα+=有tan 112,tan 1tan 3ααα+==-，所以11sin cos tan 1131sin cos tan 1213αααααα---===-+++，选D. 点睛：本题主要考查两角和的正切公式以及同角三角函数的基本关系式，属于中档题。
上海南汇第一中学数学高一下期末经典测试题(培优专题)
一、选择题1．(0分)[ID ：12720]如图，在ABC ∆中，已知5AB =，6AC =，12BD DC =，4AD AC ⋅=，则AB BC ⋅=A ．-45B ．13C ．-13D ．-372．(0分)[ID ：12718]为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表： 收入x （万元）8.28.610.011.311.9支出y （万元）6.27.58.0 8.59.8根据上表可得回归直线方程ˆˆˆybx a =+，其中ˆˆˆ0.76,b a y bx ==-，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（ ） A ．11.4万元B ．11.8万元C ．12.0万元D ．12.2万元3．(0分)[ID ：12716]已知集合{}220A x x x =-->，则A =RA ．{}12x x -<<B ．{}12x x -≤≤C ．}{}{|12x x x x <-⋃D ．}{}{|1|2x x x x ≤-⋃≥4．(0分)[ID ：12715]设集合{1,2,3,4}A =，{}1,0,2,3B =-，{|12}C x R x =∈-≤<，则()A B C =A ．{1,1}-B ．{0,1}C ．{1,0,1}-D ．{2,3,4}5．(0分)[ID ：12704]在ABC ∆中，2AB =，2AC =，E 是边BC 的中点.O 为ABC ∆所在平面内一点且满足222OA OB OC ==，则·AE AO 的值为（ ）A ．12B ．1C ．22D ．326．(0分)[ID ：12694]设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥B ．若l α⊥，//l m ，则m α⊥C ．若//l α，m α⊂，则//l mD ．若//l α，//m α，则//l m7．(0分)[ID ：12686]我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥．现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱111ABC A B C -，其中AC BC ⊥，若11AA AB ==，当“阳马”即四棱锥11B A ACC -体积最大时，“堑堵”即三棱柱111ABC A B C -的表面积为A 21B 31C ．232D ．3328．(0分)[ID ：12676]已知函数()y f x =为R 上的偶函数，当0x ≥时，函数()()210216()122xx x f x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩，若关于x 的方程[]()2()()0,f x af x b a b R ++=∈有且仅有6个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．51,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭ B ．11,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C ．1111,,2448⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．11,28⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 9．(0分)[ID ：12670]已知()201911,02log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，若存在三个不同实数a ，b ，c 使得()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是（ ） A ．(0,1)B ．[-2,0)C ．(]2,0-D ．（0,1）10．(0分)[ID ：12666]已知函数21(1)()2(1)a x x f x xx x x ⎧++>⎪=⎨⎪-+≤⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[]1,1-D ．(]1,1-11．(0分)[ID ：12654]已知二项式12(*)nx n N x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，则3x 的系数为（ ） A ．14B ．14-C ．240D ．240-12．(0分)[ID ：12636]如图，在△ABC 中, 13AN NC =,P 是BN 上的一点,若29AP m AB AC −−→−−→−−→=+,则实数m 的值为( )A ．B ．C ．19D ．13．(0分)[ID ：12719]如图，在ABC 中，90BAC ︒∠=，AD 是边BC 上的高，PA ⊥平面ABC ，则图中直角三角形的个数是（ ）A ．5B ．6C ．8D ．1014．(0分)[ID ：12711]设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=．若{}1A B ⋂=，则B = ( ) A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,515．(0分)[ID ：12652]将直线2x －y ＋λ＝0沿x 轴向左平移1个单位，所得直线与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相切，则实数λ的值为( ) A ．－3或7 B ．－2或8 C ．0或10D ．1或11二、填空题16．(0分)[ID ：12811]已知函数32()21f x x x ax =+-+在区间上恰有一个极值点，则实数a 的取值范围是____________17．(0分)[ID ：12806]设a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边.已知=，则222a c b ac +-的取值范围为______. 18．(0分)[ID ：12781]已知数列{}n a 满足1121,2n n a a a n +==+，则na n的最小值为_______.19．(0分)[ID ：12778]设向量(12)(23)a b ==，，，，若向量a b λ+与向量(47)c =--，共线，则λ=20．(0分)[ID ：12761]在四面体ABCD 中，=2,60,90AB AD BAD BCD =∠=︒∠=︒，二面角A BD C --的大小为150︒，则四面体ABCD 外接球的半径为__________． 21．(0分)[ID ：12757]在200m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°,60°，则塔高 为22．(0分)[ID ：12755]已知点()M a b ，在直线3415x y +＝_______．23．(0分)[ID ：12731]若圆x 2＋y 2＝4和圆x 2＋y 2＋4x －4y ＋4＝0关于直线l 对称，则直线l 的方程为____________．24．(0分)[ID ：12767]设,x y 满足约束条件210,{0,0,0,x y x y x y --≤-≥≥≥若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为1,则14a b+的最小值为_________．25．(0分)[ID ：12799]底面直径和高都是4cm 的圆柱的侧面积为___cm 2. 三、解答题26．(0分)[ID ：12878]已知矩形ABCD 的两条对角线相交于点20M （，），AB 边所在直线的方程为360x y --=，点11T -（，）在AD 边所在直线上. （1）求AD 边所在直线的方程； （2）求矩形ABCD 外接圆的方程.27．(0分)[ID ：12877]从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：（1）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率； （2）求频率分布直方图中的a ，b 的值；28．(0分)[ID ：12856]已知函数()e cos xf x x x =-． （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 在区间π[0,]2上的最大值和最小值．29．(0分)[ID ：12847]在ABC 中，a ， b ，c 分别是角A ， B ，C 的对边，3cos 5B =，21AB BC ⋅=- . （1）求ABC 的面积； （2）若7a = ，求角C .30．(0分)[ID ：12848]如图1，在直角梯形ABCD 中，//,,2AD BC BAD AB BC π∠==12AD a ==，E 是AD 的中点，O 是OC 与BE 的交点，将ABE ∆沿BE 折起到图2中1A BE ∆的位置，得到四棱锥1A BCDE -.（Ⅰ）证明：CD ⊥平面1A OC ；（Ⅱ）当平面1A BE ⊥平面BCDE 时，四棱锥1A BCDE -的体积为2a 的值.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题1．D2．B3．B4．C5．D6．B7．C8．B9．C10．C11．C12．C13．C14．C15．A二、填空题16．【解析】【分析】【详解】由题意则解得-1＜a＜7经检验当a=-1时的两个根分别为所以符合题目要求时在区间无实根所以17．【解析】【分析】把已知式用正弦定理化边为角由两角和的正弦公式和诱导公式化简可求得即角从而得角的范围注意由余弦定理可得结论【详解】因为所以所以即又所以则因为所以而故故答案为：【点睛】本题考查正弦与余弦18．【解析】【分析】根据递推公式和累加法可求得数列的通项公式代入中由数列中的性质结合数列的单调性即可求得最小值【详解】因为所以从而…累加可得而所以则因为在递减在递增当时当时所以时取得最小值最小值为故答案19．2【解析】【分析】由题意首先求得向量然后结合向量平行的充分必要条件可得的值【详解】=由向量共线的充分必要条件有：故答案为2【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算向量平行的充分必要条件等知识意在考查学20．【解析】画出图象如下图所示其中为等边三角形边的中点为等边三角形的中心(等边三角形四心合一);球心在点的正上方也在点的正上方依题意知在中所以外接圆半径21．【解析】【分析】【详解】试题分析：根据题意设塔高为x则可知a表示的为塔与山之间的距离可以解得塔高为考点：解三角形的运用点评：主要是考查了解三角形中的余弦定理和正弦定理的运用属于中档题22．3【解析】【分析】由题意可知表示点到点的距离再由点到直线距离公式即可得出结果【详解】可以理解为点到点的距离又∵点在直线上∴的最小值等于点到直线的距离且【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式的应用属于23．x－y＋2＝0【解析】【分析】设直线l方程为y＝kx+b由题意可得圆心C1和C2关于直线l 对称利用得k由C1和C2的中点在直线l上可得b从而得到直线方程【详解】由题意可得圆C1圆心为（00）圆C2的24．【解析】【分析】【详解】试题分析：试题分析：由得平移直线由图象可知当过时目标函数的最大值为即则当且仅当即时取等号故的最小值为考点：1利用可行域求线性目标函数的最值；2利用基本不等式求最值【方法点晴】25．【解析】【分析】【详解】圆柱的侧面积为三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．D解析：D【解析】【分析】先用AB和AC表示出2AAB BC AB C AB⋅=⋅-，再根据，12BD DC=用用AB和AC表示出AD，再根据4AD AC⋅=求出AAB C⋅的值，最后将AAB C⋅的值代入2AAB BC AB C AB⋅=⋅-，，从而得出答案．【详解】()2A=AAB BC AB C AB AB C AB⋅=⋅-⋅-，∵12BD DC=，∴111B C?C B222AD A A AD AD A AD A -=-=-+（），整理可得：12AB33AD AC+＝，221A A4 33AD AC AB C C∴⋅⋅+=＝∴A=-12AB C⋅，∴2=A=122537AB BC AB C AB⋅⋅---=-．，故选：D．【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算，注意运用平面向量的基本定理，以及向量的数量积的性质，考查了运算能力，属于中档题．2．B解析：B【解析】试题分析：由题，，所以．试题解析：由已知，又因为ˆˆˆybx a =+，ˆˆˆ0.76,b a y bx ==- 所以，即该家庭支出为万元．考点：线性回归与变量间的关系．3．B解析：B 【解析】分析：首先利用一元二次不等式的解法，求出220x x -->的解集，从而求得集合A ，之后根据集合补集中元素的特征，求得结果. 详解：解不等式220x x -->得12x x -或， 所以{}|12A x x x =<->或，所以可以求得{}|12R C A x x =-≤≤，故选B.点睛：该题考查的是有关一元二次不等式的解法以及集合的补集的求解问题，在解题的过程中，需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果.4．C解析：C 【解析】分析：由题意首先进行并集运算，然后进行交集运算即可求得最终结果. 详解：由并集的定义可得：{}1,0,1,2,3,4A B ⋃=-， 结合交集的定义可知：(){}1,0,1A B C ⋃⋂=-. 本题选择C 选项.点睛：本题主要考查并集运算、交集运算等知识，意在考查学生的计算求解能力.5．D解析：D 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理可知()12AE AB AC =+，将所求数量积化为1122AB AO AC AO ⋅+⋅；由模长的等量关系可知AOB ∆和AOC ∆为等腰三角形，根据三线合一的特点可将AB AO ⋅和AC AO ⋅化为212AB 和212AC ，代入可求得结果. 【详解】E 为BC 中点 ()12AE AB AC ∴=+ ()111222AE AO AB AC AO AB AO AC AO ∴⋅=+⋅=⋅+⋅ 222OA OB OC == AOB ∴∆和AOC ∆为等腰三角形211cos 22AB AO AB AO OAB AB AB AB ∴⋅=∠=⋅=，同理可得：212AC AO AC ⋅=22111314422AE AO AB AC ∴⋅=+=+= 本题正确选项：D 【点睛】本题考查向量数量积的求解问题，关键是能够利用模长的等量关系得到等腰三角形，从而将含夹角的运算转化为已知模长的向量的运算.6．B解析：B 【解析】 【分析】利用,l α可能平行判断A ，利用线面平行的性质判断B ，利用//l m 或l 与m 异面判断C ，l 与m 可能平行、相交、异面，判断D . 【详解】l m ⊥，m α⊂，则,l α可能平行，A 错；l α⊥，//l m ，由线面平行的性质可得m α⊥，B 正确； //l α，m α⊂，则//l m ， l 与m 异面；C 错，//l α，//m α，l 与m 可能平行、相交、异面，D 错，.故选B. 【点睛】本题主要考查线面平行的判定与性质、线面面垂直的性质，属于中档题.空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，除了利用定理、公理、推理判断外，还常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.7．C解析：C 【解析】分析：由四棱锥11B A ACC -的体积是三棱柱体积的23，知只要三棱柱体积最大，则四棱锥体积也最大，求出三棱柱的体积后用基本不等式求得最大值，及取得最大值时的条件，再求表面积．详解：四棱锥11B A ACC -的体积是三棱柱体积的23，11111122ABC A B C V AC BC AA AC BC -=⋅⋅=⋅222111()444AC BC AB ≤+==，当且仅当22AC BC ==时，取等号． ∴122222(1)122222S =⨯⨯⨯+++⨯3222+=． 故选C ．点睛：本题考查棱柱与棱锥的体积，考查用基本不等式求最值．解题关键是表示出三棱柱的体积．8．B解析：B 【解析】 【分析】作出函数()y f x =的图像，设()f x t =，从而可化条件为方程20t at b ++=有两个根，利用数形结合可得114t =，2104t <<，根据韦达定理即可求出实数a 的取值范围. 【详解】由题意，作出函数()y f x =的图像如下，由图像可得，10()(2)4f x f ≤≤=关于x 的方程[]()2()()0,f x af x b a b R ++=∈有且仅有6个不同的实数根， 设()f x t =，20t at b ∴++=有两个根，不妨设为12,t t ；且114t =，2104t << 又12a t t -=+11,24a ⎛⎫∴∈-- ⎪⎝⎭故选：B 【点睛】本题主要考查函数与方程、由方程根的个数求参数的取值范围，考查学生运用数形结合思想解决问题的能力，属于中档题.9．C解析：C 【解析】 【分析】画出函数图像，根据图像得到20a -<≤，1bc =，得到答案. 【详解】()201911,02log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，画出函数图像，如图所示：根据图像知：20a -<≤，20192019log log b c -=，故1bc =，故20abc -<≤. 故选：C .【点睛】本题考查了分段函数的零点问题，画出函数图像是解题的关键.10．C解析：C 【解析】x ⩽1时,f (x )=−(x −1)2+1⩽1， x >1时,()()21,10a af x x f x x x=++'=-在(1,+∞)恒成立， 故a ⩽x 2在(1,+∞)恒成立， 故a ⩽1，而1+a +1⩾1，即a ⩾−1，综上,a ∈[−1,1]， 本题选择C 选项.点睛：利用单调性求参数的一般方法：一是求出函数的单调区间，然后使所给区间是这个单调区间的子区间，建立关于参数的不等式组即可求得参数范围；二是直接利用函数单调性的定义：作差、变形，由f (x 1)－f (x 2)的符号确定参数的范围，另外也可分离参数转化为不等式恒成立问题．11．C解析：C 【解析】 【分析】由二项展开式的通项公式为()112rn rr r nT C x x -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭及展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5可得：6n =，令展开式通项中x 的指数为3，即可求得2r ，问题得解． 【详解】二项展开式的第1r +项的通项公式为()112rn rr r nT Cx x -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭由展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，可得：12:2:5n n C C =. 解得：6n =.所以()()3662161221rr n rr rr r r n T C x C xx ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭令3632r -=，解得：2r ，所以3x 的系数为()2262621240C --=故选C 【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式，考查了方程思想及计算能力，还考查了分析能力，属于中档题．12．C解析：C 【解析】 【分析】先根据共线关系用基底AB AC→→，表示AP→，再根据平面向量基本定理得方程组解得实数m的值. 【详解】如下图，∵,,B P N 三点共线，∴，∴，即,∴①,又∵13AN NC =，∴，∴28=99AP m AB AC m AB AC →→→→→=++②，对比①，②，由平面向量基本定理可得：．【点睛】本题考查向量表示以及平面向量基本定理，考查基本分析求解能力.13．C解析：C 【解析】 【分析】根据线面垂直得出一些相交直线垂直，以及找出题中一些已知的相交直线垂直，由这些条件找出图中的直角三角形． 【详解】①PA ⊥平面ABC ，,,,PA AB PA AD PA AC PAB ∴⊥⊥⊥∴∆,,PAD PAC ∆∆都是直角三角形；②90,BAC ABC ︒∠=∴是直角三角形； ③,,AD BC ABD ACD ⊥∴∆∆是直角三角形；④由,PA BC AD BC ⊥⊥得BC ⊥平面PAD ，可知：,,BC PD PBD PCD ⊥∴∆∆也是直角三角形.综上可知：直角三角形的个数是8个，故选C ．【点睛】本题考查直角三角形个数的确定，考查相交直线垂直，解题时可以充分利用直线与平面垂直的性质得到，考查推理能力，属于中等题．14．C解析：C 【解析】∵ 集合{}124A ，，=，{}2|40B x x x m =-+=，{}1A B ⋂= ∴1x =是方程240x x m -+=的解，即140m -+= ∴3m =∴{}{}{}22|40|43013B x x x m x x x =-+==-+==，，故选C15．A解析：A 【解析】试题分析：根据直线平移的规律，由直线2x ﹣y+λ=0沿x 轴向左平移1个单位得到平移后直线的方程，然后因为此直线与圆相切得到圆心到直线的距离等于半径，利用点到直线的距离公式列出关于λ的方程，求出方程的解即可得到λ的值．解：把圆的方程化为标准式方程得（x+1）2+（y ﹣2）2=5，圆心坐标为（﹣1，2），半径为，直线2x ﹣y+λ=0沿x 轴向左平移1个单位后所得的直线方程为2（x+1）﹣y+λ=0， 因为该直线与圆相切，则圆心（﹣1，2）到直线的距离d==r=，化简得|λ﹣2|=5，即λ﹣2=5或λ﹣2=﹣5， 解得λ=﹣3或7 故选A考点：直线与圆的位置关系．二、填空题16．【解析】【分析】【详解】由题意则解得-1＜a ＜7经检验当a=-1时的两个根分别为所以符合题目要求时在区间无实根所以解析：17a -≤<【分析】 【详解】由题意，2()34f x x x a '=+-，则(1)(1)0f f ''-<，解得-1＜a ＜7，经检验当a=-1时，2()3410f x x x '=++=的两个根分别为121,13x x ，所以符合题目要求，7a =时，2()3410f x x x '=++=,在区间无实根，所以17a -≤<．17．【解析】【分析】把已知式用正弦定理化边为角由两角和的正弦公式和诱导公式化简可求得即角从而得角的范围注意由余弦定理可得结论【详解】因为所以所以即又所以则因为所以而故故答案为：【点睛】本题考查正弦与余弦 解析：()()3,00,2-【解析】 【分析】把已知式用正弦定理化边为角，由两角和的正弦公式和诱导公式化简，可求得cos C ，即C 角，从而得B 角的范围，注意2B π≠，由余弦定理可得结论．【详解】 因为233cos cos a b cB C=，所以()()23cos 3cos cos cos 0a b C c B B C =⋅≠， 所以()2sin 3cos 3cos A B C C B =，即()2sin cos 3sin 3sin A C C B A +=，又sin 0A >，所以3cos C =， 则6C π=，因为cos 0B ≠，所以50,,226B πππ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 而2222cos a c b B ac +-=，故()()2223,00,2a c b ac+-∈.故答案为：()()3,00,2-．【点睛】本题考查正弦与余弦定理的应用，考查运算求解能力.本题是一个易错题，学生容易忽略cos B 不能等于0.18．【解析】【分析】根据递推公式和累加法可求得数列的通项公式代入中由数列中的性质结合数列的单调性即可求得最小值【详解】因为所以从而…累加可得而所以则因为在递减在递增当时当时所以时取得最小值最小值为故答案解析：415. 【解析】根据递推公式和累加法可求得数列{}n a 的通项公式.代入na n中,由数列中*n N ∈的性质,结合数列的单调性即可求得最小值. 【详解】因为12n n a a n +=+,所以12n n a a n +-=, 从而12(1)(2)n n a a n n --=-≥ …,3222a a -=⨯ 2121a a -=⨯,累加可得12[12(1)]n a a n -=⨯++⋅⋅⋅+-,2(1)22n nn n -=⨯=- 而121,a =所以221n a n n =-+,则221211n a n n n n n n-+==+-, 因为21()1f n n n=+-在(0,4]递减,在[5,)+∞递增 当4n =时,338.254n a n ==, 当5n =时,418.25n a n ==, 所以5n =时n a n 取得最小值,最小值为415. 故答案为:415【点睛】本题考查了利用递推公式及累加法求数列通项公式的方法,数列单调性及自变量取值的特征,属于中档题.19．2【解析】【分析】由题意首先求得向量然后结合向量平行的充分必要条件可得的值【详解】=由向量共线的充分必要条件有：故答案为2【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算向量平行的充分必要条件等知识意在考查学解析：2 【解析】 【分析】由题意首先求得向量a b λ+，然后结合向量平行的充分必要条件可得λ的值.a b λ+=(,2(2,3)(2,23λλλλ+=++））， 由向量共线的充分必要条件有：()()(2)7(23)42λλλ+⋅-=+⋅-⇒=. 故答案为2． 【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算，向量平行的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20．【解析】画出图象如下图所示其中为等边三角形边的中点为等边三角形的中心(等边三角形四心合一);球心在点的正上方也在点的正上方依题意知在中所以外接圆半径 解析：213【解析】画出图象如下图所示,其中E 为等边三角形BD 边的中点,1O 为等边三角形的中心(等边三角形四心合一);球心O 在E 点的正上方,也在1O 点的正上方.依题意知11132360,,33OEO O E O A ∠===,在1Rt OO E ∆中11tan 601OO O E ==,所以外接圆半径2211421133r OA OO O A ==+=+=. 21．【解析】【分析】【详解】试题分析：根据题意设塔高为x 则可知a 表示的为塔与山之间的距离可以解得塔高为考点：解三角形的运用点评：主要是考查了解三角形中的余弦定理和正弦定理的运用属于中档题解析：【解析】 【分析】 【详解】试题分析：根据题意，设塔高为x ，则可知00tan 60=,t 2an 30=00200a ax-，a 表示的为塔与山之间的距离，可以解得塔高为．考点：解三角形的运用点评：主要是考查了解三角形中的余弦定理和正弦定理的运用，属于中档题．22．3【解析】【分析】由题意可知表示点到点的距离再由点到直线距离公式即可得出结果【详解】可以理解为点到点的距离又∵点在直线上∴的最小值等于点到直线的距离且【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式的应用属于解析：3 【解析】 【分析】22a b +()0,0到点(),a b 的距离，再由点到直线距离公式即可得出结果. 【详解】22a b +()0,0到点(),a b 的距离，又∵点(),M a b 在直线:3425l x y +=22a b +()0,0到直线34150x y +-=的距离，且22304015334d ⨯+⨯-==+.【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式的应用，属于基础题型.23．x －y ＋2＝0【解析】【分析】设直线l 方程为y ＝kx+b 由题意可得圆心C1和C2关于直线l 对称利用得k 由C1和C2的中点在直线l 上可得b 从而得到直线方程【详解】由题意可得圆C1圆心为（00）圆C2的解析：x －y ＋2＝0 【解析】 【分析】设直线l 方程为y ＝kx +b ，由题意可得圆心C 1和C 2关于直线l 对称，利用121C C l k k ⨯=-得k,由C 1和C 2的中点在直线l 上可得b ，从而得到直线方程． 【详解】由题意可得圆C 1圆心为（0，0），圆C 2的圆心为（﹣2，2）， ∵圆C 1：x 2+y 2＝4和圆C 2：x 2+y 2+4x ﹣4y +4＝0关于直线l 对称，∴点（0，0）与（﹣2，2）关于直线l 对称，设直线l 方程为y ＝kx +b ， ∴2020k ---＝﹣1且022+＝k •022-+b ， 解得k ＝1，b ＝2，故直线方程为x ﹣y ＝﹣2， 故答案为：x －y ＋2＝0． 【点睛】本题考查圆与圆关于直线的对称问题，可转为圆心与圆心关于直线对称，属基础题．24．【解析】【分析】【详解】试题分析：试题分析：由得平移直线由图象可知当过时目标函数的最大值为即则当且仅当即时取等号故的最小值为考点：1利用可行域求线性目标函数的最值；2利用基本不等式求最值【方法点晴】 解析：9【解析】 【分析】 【详解】试题分析：试题分析： 由()0,0z ax by a b =+>>得a zy x b b=-+，平移直线,a z y x b b =-+由图象可知，当a zy x b b=-+过()1,1A 时目标函数的最大值为1，即1z a b =+=，则1414()a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭441452549b a b aa b a b=+++≥+⋅=+=，当且仅当4b a a b =，即122b a ==时，取等号，故14a b+的最小值为9．考点：1、利用可行域求线性目标函数的最值；2、利用基本不等式求最值． 【方法点晴】本题主要考查可行域、含参数目标函数最优解和均值不等式求最值，属于难题．含参变量的线性规划问题是近年来高考命题的热点，由于参数的引入，提高了思维的技巧、增加了解题的难度， 此类问题的存在增加了探索问题的动态性和开放性，此类问题一般从目标函数的结论入手，对目标函数变化过程进行详细分析，对变化过程中的相关量的准确定位，是求最优解的关键．25．【解析】【分析】【详解】圆柱的侧面积为解析：【解析】【分析】【详解】 圆柱的侧面积为22416ππ⨯⨯=三、解答题26．（1）3x ＋y ＋2＝0；（2）(x －2)2＋y 2＝8.【解析】【分析】(1) 直线AB 斜率确定，由垂直关系可求得直线AD 斜率，又T 在AD 上，利用点斜式求直线AD 方程；（2）由AD 和AB 的直线方程求得A 点坐标，以M 为圆心，以AM 为半径的圆的方程即为所求.【详解】(1)∵AB 所在直线的方程为x －3y －6＝0，且AD 与AB 垂直，∴直线AD 的斜率为－3． 又∵点T (－1,1)在直线AD 上，∴AD 边所在直线的方程为y －1＝－3(x ＋1)， 即3x ＋y ＋2＝0．(2)由360320x y x y --=⎧⎨++=⎩,得02x y =⎧⎨=-⎩, ∴点A 的坐标为(0，－2)，∵矩形ABCD 两条对角线的交点为M (2,0)，∴M 为矩形ABCD 外接圆的圆心，又|AM |()()22200222-++= ∴矩形ABCD 外接圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8．【点睛】本题考查两直线的交点，直线的点斜式方程和圆的方程,考查计算能力，属于基础题. 27．（1）0.9（2）0.085,0.125a b ==【解析】试题分析：（Ⅰ）先频数分布表求出课外阅读时间不少于12小时的人数，再由对立事件的频率公式求出一名学生该周课外阅读时间少于12小时的频率；（Ⅱ）结合频数分布表、直方图确定课外阅读时间落在[4，6）、[8，10）的人数为17，求出对应的频率，分别由频率/组距求出a 、b 的值试题解析：（1）根据频数分布表，100名学生中课外阅读时间不少于12小时的学生共有6+2+2=10名，所以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是1010.9100-=． 从该校随机选取一名学生，估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率为0.9 （2）课外阅读时间落在组[4,6)的有17人，频率为0.17，所以0.170.0852a ===频率组距， 课外阅读时间落在组[8,10)的有25人，频率为0.25， 所以0.250.1252b ===频率组距 考点：频率分布直方图 28．(Ⅰ)1y =；（Ⅱ）最大值1；最小值2π-. 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义，先求斜率，再代入切线方程公式000y f f x 中即可；（Ⅱ）设()()h x f x ='，求()h x '，根据()0h x '<确定函数()h x 的单调性，根据单调性求函数的最大值为()00h =，从而可以知道()()0h x f x '=<恒成立，所以函数()f x 是单调递减函数，再根据单调性求最值. 试题解析：（Ⅰ）因为()e cos x f x x x =-，所以()()()e cos sin 1,00x f x x x f -''=-=.又因为()01f =，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为1y =. （Ⅱ）设()()e cos sin 1xh x x x =--，则()()e cos sin sin cos 2e sin x x h x x x x x x =--=-'-. 当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<， 所以()h x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减. 所以对任意π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦有()()00h x h <=，即()0f x '<. 所以函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减. 因此()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()01f =，最小值为22f ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 【名师点睛】这道导数题并不难，比一般意义上的压轴题要简单很多，第二问比较有特点的是需要两次求导数，因为通过()f x '不能直接判断函数的单调性，所以需要再求一次导数，设()()h x f x ='，再求()h x '，一般这时就可求得函数()h x '的零点，或是()0h x '>(()0h x '<)恒成立，这样就能知道函数()h x 的单调性，再根据单调性求其最值，从而判断()y f x =的单调性，最后求得结果.29．(1)14;(2) 45C =︒.【解析】试题分析：（1）先求出ac 的值，再由同角三角函数基本关系式求出sinB ，从而求出三角形的面积即可；（2）根据余弦定理即正弦定理计算即可．试题解析：（1）∵21AB BC ⋅=- ，21BA BC ⋅= ，cos arccos 21BA BC BA BC B B ⋅=⋅⋅==∴35ac = ，∵3cos 5B = ，∴4sin 5B = ，∴114sin 3514225ABC S ac B ==⨯⨯= （2）35ac = ，7a = ，∴5c =由余弦定理得，2222cos 32b a c ac B =+-=∴b =，由正弦定理：sin sin c b C B = ，∴4sin sin 52c C B b === ∵c b < 且B 为锐角，∴C 一定是锐角，∴45C =︒30．（Ⅰ） 证明见解析，详见解析；（Ⅱ）6a =.【解析】【分析】【详解】试题分析：（1）依据直线与平面垂直的判定定理推证；（2）借助题设条件运用等积法建立方程求解.试题解析:（1）在图1中，易得//,BE AOC OE CD CD AO CD OC ⊥∴⊥⊥所以，在图2中，1,CD OC CD AO CD ⊥⊥∴⊥平面1A OC（2）由已知，平面1A BE ⊥平面BCDE , 1CD A O ⊥所以1A O ⊥平面BCDE2111633BCDE AO S a a ∴⋅=== 考点：空间线面垂直的位置关系和棱锥的体积公式等有关知识的运用．。
上海市南汇中学高一数学下学期期末考试试题
上海市南汇中学高一数学下学期期末考试试题上海南汇中学2012学年第二学期期末考试高一数学一、 填空题（每小题3分，共12题，共36分）1．若2013α=，则与角α具有相同终边的最小正角为2132．一个扇形的半径是2 cm ，弧长是4 cm ，则圆心角的弧度数为 2 3．已知ααcos 3sin =，则=+αα2sin 12cos 21-4．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第100个“金鱼”图需要火柴棒的根数为 602 5．已知ABC ∆的三边长成公比为的等比数列，则ABC ∆的最大内角的大小为____arccos4π-___（用反三角函数表示） 6．已知等比数列}{n a 为递增数列，且251021,2()5n n n a a a a a ++=+=，51021,2()5n n n a a a a a ++=+=，则数列}{n a 的通项公式n a 2n7．设数列}{n a (n ∈*N )是等差数列，若2a 和2012a 是方程03842=+-x x 的两根，则数列}{n a 的前2013项的和=2013S ___2013__8．已知ABC ∆的三个内角,,A B C依次成等差数列，则tan tan tan 2222A C A C+的值为___3_____9．给出问题：已知ABC ∆满足cos cos a A b B ⋅=⋅，试判定ABC ∆的形状．某学生的解答如下：解：（i ）由余弦定理可得，22222222b c a a c b a b bc ac+-+-⋅=⋅⇔()()()2222222a b c a b a b -=-+⇔222c a b =+故ABC ∆是直角三角形.（ii ）设ABC ∆外接圆半径为R .由正弦定理可得，原式等价于2sin cos 2sin cos R A A R B B =sin2sin2A B ⇔=A B ⇔= 故ABC ∆是等腰三角形.由（i ）（ii ）得，ABC ∆是等腰直角三角形.…①②③请问：该学生的解答是否正确？若正确，请在下面横线中写出解题过程中主要用到的思想方法；若不正确，请在下面横线中写出你认为本题正确的结果： 等腰或直角三角形 10．已知函数sin()(0)3y x πωω=+>的最小正周期为π，若将该函数的图像向左平移m (0)m >个单位后，所得图像关于原点对称，则m 的最小值为3π11．在共有2009项的等比数列{}n a 中，有等式135200910052462008a a a a a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅成立；类比上述性质，在共有2013项的等差数列{}n b 中，相应的有等式13520132420121007()()b b b b b b b b ++++-+++=成立12．对于函数)(x f ，在使M x f ≥)(成立的所有常数M 中，我们把M 的最大值称为函数)(x f 的“下确界”，则函数x x x x x f csc csc sin sin )(22-+-=的“下确界”为 0 二、选择题（每小题3分，共4题，共12分）13．设a 、b 、c 是三个实数，则“ac b =2”是“,,a b c 依次成等比数列”的（ B ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件 14．下列命题中正确的是（ D ） A ．函数x y sin =与x y arcsin =互为反函数 B ．函数x y sin =与x y arcsin =都是增函数 C ．函数x y sin =与x y arcsin =都是周期函数 D ．函数x y sin =与x y arcsin =都是奇函数 15．设函数()|sin |cos 2,,22f x x x x ππ⎡⎤=+∈-⎢⎥⎣⎦，则函数()f x 的最小值是（ B ） A ．1-B ．0C ．12D ．9816．数列}{n a 的通项公式cos2n n a n π=，其前n 项和为n S ，则2013S 等于（ C ） A ．0 B ．503 C ．1006 D ．2012 三、解答题（8+10+10+12+12=52分）17．三角比内容丰富，公式很多．若仔细观察、大胆猜想、科学求证，你也能发现其中的一些奥秘．请你完成以下问题： （1）计算：cos 2cos88cos5cos85_____;____;sin 47sin133sin 50sin130︒︒︒︒+=+=︒︒︒︒cos12cos78____sin 57sin123︒︒+=︒︒（直接写答案，别忘记把计算器设置成“角度”！）（2）根据（1）的计算结果，请你猜出一个一般性的结论： ．（用数学式子加以表达，并证明你的结论，写出推理过程．） 解：（1（3分）（2）猜想：cos()cos 23sin()sin()44x x x x π-+=ππ+-其中,4x k k z π≠π-∈（5分）证明：33()(),sin()sin()4444x x x x ππππ++-=π∴-=+，又cos()sin 2x x π-=，所左边=2)cos sin 42sin()sin()44x x x x x π++==ππ++（8分）18．如图，某观测站C 在城A 的南偏西20方向上，从城A 出发有一条公路，走向是南偏东40在C 处测得距离C 为31千米的公路上的B 处有一辆车正沿着公路向城A 驶去．该车行驶了20千米后到达D 处停下，此时测得C 、D 两处距离为21千米 （1）求CDB ∠cos 的值；（2）此车在D 处停下时距城A 多少千米？ 解：（1）在CDB ∆中，由余弦定理得71202123120212cos 222222-=⨯⨯-+=⨯-+=∠BD CD BC BD CD CDB （4分）(2)734cos 1sin 2=∠-=∠CDB CDB ； （5分） 143560sin cos 60cos sin )60sin(sin =⋅∠-⋅∠=-∠=∠CDB CDB CDB ACD ；（7分） 在ACD ∆中，由正弦定理得：1523143521sin sin =⨯=∠∠⋅=CADACDCD AD (9分) 答： 此车在D 处停下时距城A 处15千米。
上海市南汇中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷
上海市南汇中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷一、填空题1．对于复数12z i =+（i 是虚数单位），Im z =．2．二面角的取值范围是（用区间表示）3．化简：AB BC AD →→→+-=． 4．已知,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4sin 5α=，则tan α=． 5．已知向量(3,1)a =u u r ，(,2)b t =r ，若//a b r r ，则实数t =.6．若2i -+（i 为虚数单位）为方程20x mx n ++=（,R m n ∈）的一个根，则n =. 7．如图O A B '''V 是水平放置的OAB V的直观图，其中3O A ''=，2O B ''=，45A O B '''∠=o ，则OAB V 的周长为.8．在正方体1111ABCD A B C D -中的12条棱所在直线中，与直线1AB 是异面直线的共有条.9．若平面内不共线的四点O 、A 、B 、C 满足1233OB OA OC =+u u u r u u u r u u u r ，则AB BC=u u u r u u u r .10．在ABC V 中，已知a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，且60A ∠=o ，若ABC S △，且2sin 3sin B C =，则边a 的长等于. 11．点P 是ABC V 所在平面外一点，6PC =，底面ABC V 是以C 为直角顶点的直角三角形，且6BC =，8AC =，点P 到ABC V 三边的距离相等，且点P 在平面ABC 上的射影落在ABC V 内，则直线CP 与平面ABC 所成角的大小为.12．在平面内，若有2a =r ，4b a b =⋅=r r r ，()()20c a c a b -⋅--=r r r r r ，则c b ⋅r r 的最大值为.二、单选题13．复数1i z =+（i 是虚数单位）的共轭复数z 在复平面内对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限14．已知l 是平面α的一条斜线，直线m ⊂α，则（ ）A ．存在唯一的一条直线m ，使得l m ⊥B ．存在无限多条直线m ，使得l m ⊥C ．存在唯一的一条直线m ，使得l //mD ．存在无限多条直线m ，使得l //m15．折纸发源于中国19世纪，折纸传入欧洲，与自然科学结合在一起成为建筑学院的教具，并发展成为现代几何学的一个分支.我国传统的一种手工折纸风车（如图1）是从正方形纸片的一个直角顶点开始，沿对角线部分剪开成两个角，将其中一个角折叠使其顶点仍落在该对角线上，同样操作其余三个直角制作而成的，其平面图如图2，则下列结论成立的个数为（ ）①//EH FC u u u r u u u r ；②0AH BE ⋅=u u u r u u u r ；③EG EH EF =+u u u r u u u r u u u r ；④EC EH EC ED ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u rA ．1B ．2C ．3D ．4三、多选题16．在空间，已知直线l 及不在l 上两个不重合的点A 、B ，过直线l 作平面α，使得点A 、B 到平面α的距离之比为1:2，则这样的平面α不可能有（ ）A ．无数个B ．1个C ．2个D ．3个四、解答题17．已知长方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别是1BB 和BC 的中点.(1)画出直线MN 与平面1111D C B A 的公共点K .（保留辅助线，无需说明理由）(2)若2AB =，1AD =，1B B =1B D 与MN 所成角的大小.18．在平面直角标系xOy 中，O 为坐标原点，A 、B 两点的坐标分别为34(1,0),,55A B ⎛⎫- ⎪⎝⎭. (1)若四边形OADB 是平行四边形，求点D 的坐标；(2)若点A ，B ，P 三点共线，且2AB AP =，求OP AB ⋅u u u r u u u r 的值.19．已知向量()sin ,1a x =r ，1,sin 3b x π⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r ，()f x a b =⋅r r . （1）求函数()f x 的单调递增区间和最小正周期；（2）若当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，关于x 的不等式()21f x m -≤有解，求实数m 的取值范围. 20．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的空间几何体中，四边形ABCD 为矩形，点P 为四边形ABCD 所在平面外一点，且PD ⊥平面ABCD ，PD CD =，点E 是PC 的中点，连接DE 、BD 、BE .(1)证明：DE ⊥平面PBC .试判断四面体EBCD 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；(2)若PD CD ==2BC =，点F 在BD 上运动，试求EFC V 面积的最小值. 21．通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量.类似的，我们可以把有序复数对()()1212,,C z z z z ∈看作一个向量，记()12,a z z =r ，则称a r 为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于()12,a z z =r ，()34,b z z =r ，1z 、2z 、3z 、4z 、C λ∈，我们有如下运算法则：①()1324,a b z z z z ±=±±r r ；②()12,a z z λλλ=r ；③1324a b z z z z ⋅=+r r ；④a =r (1)设(i,1i)a =+r ，()2,2i b =-r ，求a b +r r 和⋅r r a b .(2)由平面向量的数量积满足的运算律，我们类比得到复向量的相关结论：①a b b a ⋅=⋅r r r r ②()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅r r r r r r r .试判断这两个结论是否正确，并说明理由.(3)若(2i,1)a =r ，集合(){}Ω,,21,,p p x y y x x y C ===+∈r r ，b ∈Ωr .对于任意的c ∈Ωr ，求出满足条件()()0a b b c -⋅-=r r r r 的b r ，并将此时的b r 记为0b u u r ，证明对任意的b ∈Ωr ，不等式0a b a b -≥-r r u u r r 恒成立.根据对上述问题的解答过程，试写出一个一般性的命题（不需要证明）.。
上海南汇中学高一数学文期末试卷含解析
上海南汇中学高一数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 点是△所在平面内一点,若,则点在( )A．△内部 B.边所在的直线上C．边所在的直线上 D．边所在的直线上参考答案：B2. 在等比数列中,,前项和为,若数列也是等比数列,则等于A. B. C. D.参考答案：C3. 已知，，，则向量与向量的夹角是（）A. B. C. D.参考答案：C试题分析：由条件得，所以，所以，即．考点：向量的数量积运算．4. 设奇函数f（x）在[﹣1，1]上是增函数，且f（﹣1）=﹣1，若函数f（x）≤t2﹣2at+1对所有的x∈[﹣1，1]都成立，则当a∈[﹣1，1]时，t的取值范围是( )A．﹣2≤t≤2 B．C．t≥2或t≤﹣2或t=0 D．参考答案：C考点：奇偶性与单调性的综合．专题：探究型．分析：奇函数f（x）在[﹣1，1]上是增函数，且f（﹣1）=﹣1，在[﹣1，1]最大值是1，由此可以得到1≤t2﹣2at+1，因其在a∈[﹣1，1]时恒成立，可以改变变量，以a为变量，利用一次函数的单调性转化求解．解答：解：奇函数f（x）在[﹣1，1]上是增函数，且f（﹣1）=﹣1，在[﹣1，1]最大值是1，∴1≤t2﹣2at+1，当t=0时显然成立当t≠0时，则t2﹣2at≥0成立，又a∈[﹣1，1]令r（a）=﹣2ta+t2，a∈[﹣1，1]当t＞0时，r（a）是减函数，故令r（1）≥0，解得t≥2当t＜0时，r（a）是增函数，故令r（﹣1）≥0，解得t≤﹣2综上知，t≥2或t≤﹣2或t=0故选C．点评：本题是一个恒成立求参数的问题，此类题求解的关键是解题中关系的转化，本题借助单调性确定最值进行转化，这是不等式型恒成立问题常用的转化技巧5. 已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8} P={3,4,5} Q={1,3,6} 那么集合{2,7,8}是（）.A. P∪QB. P∩QC. C u P∪CuQD.C u P∩CuQ参考答案：D6. 设m，n∈R，给出下列结论：①m＜n＜0则m2＜n2；②ma2＜na2则m＜n；③＜a则m＜na；④m＜n＜0则＜1．其中正确的结论有（）A．②④B．①④C．②③D．③④参考答案：A【考点】R3：不等式的基本性质．【分析】利用不等式的基本性质即可判断出正误．【解答】解：①m＜n＜0则m2＞n2，因此①不正确．②ma2＜na2，则a2＞0，可得m＜n，因此②正确；③＜a，则m＜na或m＞na，因此不正确；④m＜n＜0，则＜1，正确．其中正确的结论有②④．故选：A．【点评】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7. 函数的单调递减区间是（）A. B.C. D.参考答案：C【分析】函数的单调递减区间是的增区间，利用正弦函数的单调性解不等式可得结果.【详解】.函数的单调递减区间是的增区间，由得，，即函数的单调递减区间为，故选C.【点睛】本题主要考查三角函数的单调性，属于中档题.函数的单调区间的求法：若,把看作是一个整体，由求得函数的减区间，求得增区间；②若,则利用诱导公式先将的符号化为正，再利用①的方法，或根据复合函数的单调性规律进行求解，(2) 图象法：画出三角函数图象，利用图象求函数的单调区间.8. 从集合A到B的映射中,下列说法正确的是( )A．B中某一元素的原象可能不只一个； B．A中某一元素的象可能不只一个C．A中两个不同元素的象必不相同； D．B中两个不同元素的原象可能相同参考答案：A9. 已知数列，S n为其前n项的和，则A．－2016 B．－2017 C．－2018 D．－2019参考答案：D解析：，令，，解得：，，，，．10. 函数的图象是（ ）A B C D参考答案：C略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知向量，满足||=2，||=，与的夹角为，则|+|= ．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用两个向量的数量积的定义，根据||==，计算求的结果．【解答】解：由题意可得||====，故答案为：．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，属于基础题．12. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若，，则A =______参考答案：【分析】利用正弦定理将角化边，将用表示出来，用余弦定理，即可求得【详解】因为，故可得；因为，故可得；综合即可求得.由余弦定理可得.又因为，故可得.故答案为：.【点睛】本题考查利用正弦定理将角化边，以及用余弦定理解三角形，属综合中档题.13. 在圆x 2+y 2＝5x 内，过点有n 条弦的长度成等差数列，最小弦长为数列的首项a 1，最大弦长为a n ，若公差，那么n 的可能取值为____ ．参考答案：4，5，6，714. 已知圆M 的一般方程为x 2+y 2﹣8x+6y=0，则下列说法中不正确的是（ ） A ．圆M 的圆心为（4，﹣3） B ．圆M 被x 轴截得的弦长为8 C ．圆M 的半径为25 D ．圆M 被y 轴截得的弦长为6参考答案：C【考点】J2：圆的一般方程．【分析】利用配方法求出圆的圆心与半径，判断选项即可． 【解答】解：圆M 的一般方程为x 2+y 2﹣8x+6y=0，则（x ﹣4）2+（y+3）2=25．圆的圆心坐标（4，﹣3），半径为5． 显然选项C 不正确． 故选：C ．【点评】本题考查圆的方程的应用，基本知识的考查． 15. 给出下列命题：①函数是奇函数；②存在实数x，使sinx+cosx=2；③若α，β是第一象限角且α＜β，则tanα＜tanβ；④是函数的一条对称轴；⑤函数的图象关于点成中心对称．其中正确命题的序号为．参考答案：①④【考点】余弦函数的图象；正弦函数的图象．【分析】利用诱导公式、正弦函数和余弦函数性质以及图象特征，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．【解答】解：①函数=﹣sin x，而y=﹣sin x是奇函数，故函数是奇函数，故①正确；②因为sinx，cosx不能同时取最大值1，所以不存在实数x使sinx+cosx=2成立，故②错误．③令α=，β=，则tanα=，tanβ=tan=tan=，tanα＞tanβ，故③不成立．④把x=代入函数y=sin（2x+），得y=﹣1，为函数的最小值，故是函数的一条对称轴，故④正确；⑤因为y=sin（2x+）图象的对称中心在图象上，而点不在图象上，所以⑤不成立．故答案为：①④．16. 抽样调查某地区120名教师的年龄和学历状况，情况如下饼图：则估计该地区35岁以下具有研究生学历的教师百分比为_______．参考答案：25%【分析】根据饼状图中的35岁以下本科学历人数和占比可求得35岁以下教师总人数，从而可得其中的具有研究生学历的教师人数，进而得到所求的百分比.【详解】由35岁以下本科学历人数和占比可知，35岁以下教师总人数为：人∴35岁以下有研究生学历的教师人数为：人∴35岁以下有研究生学历的教师的百分比为：本题正确结果：25%【点睛】本题考查利用饼状图计算总体中的数据分布和频率分布的问题，属于基础题.17. （4分）已知函数，在上是增函数，则实数a的取值范围是参考答案：﹣1≤a≤考点：对数函数的单调性与特殊点．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得函数t=x2﹣ax﹣a 在上恒为正数，且在上是减函数，由﹣≤，且当x=﹣时t≥0，求出实数a的取值范围．解答：由题意可得函数t=x2﹣ax﹣a 在上恒为正数，且在上是减函数．∴﹣≤，且当x=﹣时，t=+﹣a≥0．解得﹣1≤a≤.点评：本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，二次函数的性质，复合函数的单调性，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
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6．已知等比数列{an } 为递增数列，且 a52a52 a1a01,，02,(2a(nan anan2)2) 5a5na1n1 ，则数列{an } 的通项公式 an
2n
7．设数列 {an } (
n N*
)是等差数列，若
a2
和
a20
是方程
12
4x2
8x
3
0 的两根，则数列{an} 的前
2013项的和 S2013 ___2013__
位后，所得图像关于原点对称，则 m 的最小值为
3
11．在共有
2009
项的等比数列an 中，有等式
a1 a2
a3 a5 a2009 a4 a6 a2008
a1005 成立；类比上述性质，在共有
2013 项的等差数列bn 中，相应的有等式 (b1 b3 b5 b2013) (b2 b4 b2012 ) b1007 成立
sin x
+
1 2
cosx +
3 2
sinx -
1 2
cosx -
(cosx +1)
=2(
3 2
sin x
-
1 2
cos
x
)-1=2sin(
x
-
6
)-1
函数 f (x) 的最大值为 1————4 分
（2） y f (x) 的周期为 ，又由 0 ，得 2 ，即得 2 ．
于是有
f
(x)
……
（1）对于数列②，它的一个通项公式可以是
an
a b
n为正奇数 ，试再写出该数列的一个通项公式； n为正偶数
（2）求数列③的前 n 项和 Sn ；
（3）在数列③中，若 a
2, b
1 2
,c
1，且它有一个形如 bn
Asin(n )
B
的通项公式，其中
A、
B
、
、
均为实数，
A
0，
0，|
|
2
，求该数列的一个通项公式 bn
12．对于函数 f (x) ，在使 f (x) M 成立的所有常数 M 中，我们把 M 的最大值称为函数 f (x) 的“下
确界”，则函数 f (x) sin 2 x sin x csc2 x csc x 的“下确界”为 0
二、选择题（每小题 3 分，共 4 题，共 12 分）
13．设 a 、 b 、 c 是三个实数，则“ b2 ac ”是“ a,b, c 依次成等比数列”的（ B ）
解：
（1）在 CDB 中，由余弦定理得
cos CDB CD2 BD 2 BC 2 212 202 312 1
2CD BD
2 21 20
7
（4 分）
(2) sin CDB 1 cos 2 CDB 4 3 ； 7
（5 分）
sin ACD sin(CDB 60 ) sin CDB cos 60 cos CDB sin 60 5 3 ；（7 分） 14
解：（i）由余弦定理可得，
a b2 c2 a2 b a2 c2 b2
2bc
2ac
a2 b2 c2 a2 b2 a2 b2 c2 a2 b2
故 ABC 是直角三角形. （ii）设 ABC 外接圆半径为 R .由正弦定理可得，原式等价于
2Rsin Acos A 2Rsin Bcos B sin 2A sin 2B A B 故 ABC 是等腰三角形.
cos( 2
sin(3
x) x)
4
4
2.
其中
x
k
4
,
k
z
（5
分）
证明：
Q
(x
) 4
(3 4
x)
,
sin( 3 4
x)
sin( x
)， 4
又
cos(
2
x)
sin
x
，所左边=
cos x sin x sin(x )
4
2 sin(x )
4 sin(x )
4
2 （8 分）
18．如图，某观测站 C 在城 A 的南偏西 20 方向上，从城 A 出发有一条 公路，走向是南偏东 40 ．在 C 处测得距离 C 为 31千米的公路上的 B 处 有一辆车正沿着公路向城 A 驶去．该车行驶了 20 千米后到达 D 处停下， 此时测得 C 、 D 两处距离为 21 千米 （1）求 cos CDB 的值； （2）此车在 D 处停下时距城 A 多少千米？
．
解：（1）
an
a [1 2
(1)n1]
b [1 2
(1)n ] 或
an
a
| sin
n 2
|
b |
cos
n 2
| 等．（3
分）
（2）当 n
3k
1 时，
Sn
n 1(a 3
b
c)
a
；（5
分）
当
n
3k
2 时，
Sn
n
3
2 (a
b
c)
a
b ；（6
分）
当
n
3k
3时，
Sn
n 3
(a
b
c)
（
k
N ）．（7
D．函数 y sin x 与 y arcsin x 都是奇函数
15．设函数
f
(x)
|
sin
x
|
cos
2x,
x
2
,
2
，则函数
f
(x)
的最小值是（
B
）
A． 1
B．0
C． 1 2
D． 9 8
16．数列{an}的通项公式 an
n cos
n 2
，其前
n
项和为
Sn
，则 S2013 等于（
C
）
A．0
B．503
x
π 4
，π 2
， 3
2x
6
5 6
，
即-2≤2sin(2x-
6
)-1≤1∴
-1＜m＜0，即 m 的取值范围是(-1,0)．————12 分
21．已知数列{bn}，若存在正整数 T ，对一切 n N* 都有 bnT bn ，则称数列{bn}为周期数列，T 是
它的一个周期．例如： 数列 a ， a ， a ， a ，… ① 可看作周期为 1 的数列； 数列 a ， b ， a ， b ，… ② 可看作周期为 2 的数列； 数列 a ， b ， c ， a ， b ， c ，… ③ 可看作周期为 3 的数列；
在 ACD 中，由正弦定理得： AD
CD sin ACD
21 5 3 14
15
sin CAD
3
2
(9 分)
答： 此车在 D 处停下时距城 A 处15 千米。
(10 分)
19．已知数列{an}的前 n 项和为 Sn
a 2
n2 （其中 a 为常数）
（1）求证：数列 {an } 为等差数列；
（2）试讨论数列 {an } 的单调性（递增数列或递减数列或常数列）
当 a 0 时，数列{an}为递增数列；
当 a 0 时，数列{an}为常数列；
当 a 0 时，数列{an}为递减数列．
…………………………………………10 分
20．已知函数
f
(x)
sin x
π 6
sin x
π 6
2
cos2
x ，x R 2
（其中
0）
（1）求函数 f (x) 的最大值；
由（i）（ii）得， ABC 是等腰直角三角形.
请问：该学生的解答是否正确？若正确，请在下面横线中写出解题过程中主要用到的思想方法；若不正 确，请在下面横线中写出你认为本题正确的结果： 等腰或直角三角形
10．已知函数 y sin(x )( 0) 的最小正周期为 ，若将该函数的图像向左平移 m (m 0) 个单 3
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分也非必要条件
14．下列命题中正确的是（ D ）
A．函数 y sin x 与 y arcsin x 互为反函数
B．函数 y sin x 与 y arcsin x 都是增函数
C．函数 y sin x 与 y arcsin x 都是周期函数
2sin(2x
6
)
1
，再由
2k
2
2x
6
2k
2
(k
Z)，
解得
k
6
x
k
3
(k
Z)
．
所以
y
f
(x)
的单调增区间为 [k
6
x
k
3
]
(k
Z ) ．—————8
分
（3）∵
f
(x) m
2
f
(x) 2
m
f
(x) 2 ，
x
π，π 42
，
∴m
f (x)max
2且m
f
( x)min
2
，又∵
（2）若函数 f (x) 的最小正周期为 ，试确定 的值，并求函数 y f (x)，x R 的单调增区间；
（3）在（2）的条件下，若不等式
f (x) m
2
在
x
4
， 2
上恒成立，求实数
m
的取值范围．
解：（1）
f
(x)
sin x
π 6
sin
x
π 6
2 cos2
x ，x R 2
=
3 2