2018-2019年中考数学浙江省《第34讲归纳、猜想与说理型问题》总复习讲解

第34讲 归纳、猜想与说理型问题

(建议该讲放第11讲后教学

)

类型一通过数式变化产生规律

例1(2016·淄博)(1)填空：(a－b)(a＋b)＝；

(a－b)(a2＋ab＋b2)＝；

(a－b)(a3＋a2 b＋ab2＋b3)＝；

(2)猜想：(a－b)(a n－1＋a n－2b＋…＋ab n－2＋b n－1)＝(其中n 为正整数，且n≥2)；

(3)利用(2)猜想的结论计算：29－28＋27－…＋23－22＋2.

【解后感悟】此类问题要从整体上观察各个式子的特点，猜想出式子的变化规律，并进行验证．对于本题来说，关键是先计算，再观察各等式的结构，猜想结果并验证．对于(3)根据结构特征进行设、列来构建等式求解．

1．(1)(2016·资阳模拟)设一列数中相邻的三个数依次为m、n、p，且满足p＝m2－n，若这列数为－1，3，－2，a，－7，b…，则b＝.

(2)(2016·德州模拟)有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘以2，再除以它与1的和，多次重复进行这种运算的过程如下：

输入x――→

第1次y1＝

2x

x＋1

――→

第2次y2＝

2y

1

y

1

＋1

――→

第3次y3＝

2y

2

y

2

＋1

――→

…

则第n次运算的结果y

n

＝(用含字母x和n的代数式表示)．

类型二通过图形变化产生规律

例2(2016·达州)如图，将一张等边三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按同样方式再剪成4个小三角

形，共得到7个小三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到10个小三角形，称为第三次操作；…根据以上操作，若要得到100个小三角形，则需要操作的次数是( )

A ．25

B ．33

C ．34

D ．50

【解后感悟】本题通过一次操作，得到下一个图形的三角形个数与上一个图形的三角形个数之间的数量关系是解题的关键．解决这类问题的关键是仔细分析前后两个图形中基础图案的数量关系，从而发现其数字变化规律．具体地说，先根据图形写出数字规律，然后将每一个数字改写为等式，再比较各等式的相同点和不同点，分析不同点(数字)与等式序号之间的关系，从而得到一般规律．

2．(2017·舟山)如图，把n 个边长为1的正方形拼接成一排，求得tan ∠BA 1C ＝1，tan ∠BA 2C ＝

13，tan ∠BA 3C ＝1

7

，计算tan ∠BA 4C ＝____________________，…按此规律，写出tan ∠BA n C ＝

____________________(用含n 的代数式表示)．

类型三 通过平移、折叠产生规律

例3 如图，直角三角形纸片ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，D 为斜边BC 中点，第1次将纸片折叠，使点A 与点D 重合，折痕与AD 交于点P 1；设P 1D 的中点为D 1，第2次将纸片折叠，使点A 与点D 1重合，折痕与AD 交于点P 2；设P 2D 1的中点为D 2，第3次将纸片折叠，使点A 与点D 2重合，折痕与AD 交于点P 3；…；设P n －1D n

－2

的中点为D n －1，第n 次将纸片折叠，使点A 与点D n －1重合，折痕与AD 交于点

P n (n ＞2)，则AP 6的长为( )

A .5×35212

B .365×29

C .

5×36

214

D .37

5×211

【解后感悟】此题是翻折变换的知识，解答本题关键是写出前面几个有关线段长度的表达式，从而得出一般规律，注意培养自己的归纳总结能力．

3．如图，矩形OABC 的两条边在坐标轴上，OA ＝1，OC ＝2，现将此矩形向右平移，每次平移1个单位，若第1次平移得到的矩形的边与反比例函数图象有两个交点，它们的纵坐标之差的绝对值为0.6，则第n 次(n ＞1)平移得到的矩形的

边与该反比例函数图象的两个交点的纵坐标之差的绝对值为 (用含n 的代数式表示)．

类型四 通过旋转产生规律

例4 (2017·衢州)如图，正△ABO 的边长为2，O 为坐标原点，A 在x 轴上，B 在第二象限，△ABO 沿x 轴正方向作无滑动的翻滚，经一次翻滚后得到△A 1B 1O ，则翻滚3次后点B 的对应点的坐标是________，翻滚2017次后AB 中点M 经过的路径长为________．

【解后感悟】解题的关键是尝试特殊情况，寻找循环规律，从特殊到一般的探究方法解决问题．

4．(2015·东港模拟)如图，点B 1是面积为1的等边△OBA 的两条中线的交点，以OB 1为一边，构造等边△OB 1A 1(点O ，B 1，A 1按逆时针方向排列)，称为第一次构造；点B 2是△OB 1A 1的两条中线的交点，再以OB 2为一边，构造等边△OB 2A 2(点O ，B 2，A 2按逆时针方向排列)，称为第二次构造；以此类推，当第n 次构造出的等边△OB n A n 的边OA n 与等边△OBA 的边OB 第一次重合时，构造停止．则构造出的最后一个三角形的面积是 .

类型五 以数轴、平面直角坐标系为背景的规律问题

例5 (2016·菏泽)如图，一段抛物线：y ＝－x(x －2)(0≤x≤2)记为C 1，它与x 轴交于两点O ，A 1；将C 1绕A 1旋转180°得到C 2，交x 轴于A 2；将C 2绕A 2旋转180°得到C 3，交x 轴于A 3；…如此进行下去，直至得到C 6，若点P(11，m)在第6段抛物线C 6上，则m ＝ .

【解后感悟】此题是抛物线其中一段的旋转规律，解题的关键是求出抛物线的顶点坐标．

5．(1)如图，在数轴上，A 1，P 两点表示的数分别是1，2，A 1，A 2关于点O 对称，A 2，A 3关于点P 对称，A 3，A 4关于点O 对称，A 4，A 5关于点P 对称…依此规律，则点A 14表示的数是 .

(2)

(2015·达州)在直角坐标系中，直线y ＝x ＋1与y 轴交于点A 1，按