基于APOS理论的数学概念教学设计

基于APOS 理论的数学概念教学设计：以锐角三角函数概念为例

陈丽君 龙 敏 敏

摘要：APOS 理论是近年来美国数学家杜宾斯基（Dubinsky ）等人提出的一种数学教学

理论.他将数学概念的建立分为四个阶段：Action,Process,Object,Scheme ，并用于指导教

学实践.早期APOS 理论只是被用在大学数学的教学中，现在该理论正逐步地渗透于我们的中

学数学教学中.本文首先谈了对APOS 理论的认识，然后通过锐角三角函数的教学设计尝试

了一下APOS 理论在数学概念教学中的应用.

关键词：APOS 理论；数学概念；教学设计；锐角三角函数

任何一个数学教育中的理论或模型都应该致力于对“学生是如何学数学的”及“什么

样的教学计划可以帮助这种学习”的理解，而不仅仅是陈述一些事实[]1.基于这样的考虑，

杜宾斯基等人建立了APOS 理论—一个可以促进我们有效教学的数学教学理论.从20世纪90

年代起，APOS 理论就被介绍到我国的数学教育界， 它是为数不多的依据数学学科特点而

建立的教学理论，因此，对这样的理论进行深入的研究是十分有意义的.我国的数学概念教

学大多采用“属+种差”的概念同化方式进行，这种教学过程虽然简明，但却忽视了许多数

学概念具有过程—对象的双重性.近年来，相关学者的研究结果表明，将APOS 理论应用到

我们的概念教学中可以弥补我们一以前那种概念教学方式的缺点.

1 什么是APOS 理论？

APOS 理论是20世纪80年代末至90年代初由美国的杜宾斯基等人在数学教育研究实

践中发展起来的一种数学教学理论.杜宾斯基认为，一个人是不可能直接学习到数学概念的.

更确切地说，人们透过心智结构（mental structure ）使所学习的数学概念产生意义.如果一个

人对于给予的数学概念拥有适当的心智结构，那么他几乎自然就学到了这个概念.相反的，

如果一个人无法建立起适当的心智结构，那么他学习数学概念几乎是不可能的.因此，教学

的目的就在于如何帮助学生建立适当的心智结构.杜宾斯基等人认为，APOS 理论可以看做

是对皮亚杰的“反思性抽象（reflective abstraction ）”的扩展.APOS 理论的一个基本假设是：

数学知识是个体在解决所感知到的数学问题的过程中获得的，在这个过程中，个体依序建构

了心理活动（actions ）、程序（processes ）和对象（objects ），最终组织成用以理解问题情境

的图式结构（schemas ）.根据APOS 理论，学生学习数学概念的心理建构过程要经历以下的

四个阶段[]2：

活动（actions ）阶段.“活动”是指个体通过一步一步的外显性（或记忆性）指令去变

换一个客观的数学对象.例如在理解函数概念时需要活动或操作，对于2x y =，需要用具体

的数字构造对应： ;255;164;93;42→→→→通过操作活动理解函数的意义.

程序（processes ）阶段.当“活动”经过多次重复而被个体熟悉后，就可以内化为一种

称之为“程序（processes ）”的心理操作.有了这种“程序”，个体就可以想象这个“活动”，

而不需要通过外部的刺激；他可以在头脑中实施这个程序，而不需要具体操作；进而，他还

可以对这个程序进行逆转以及与其他程序进行组合.例如把上述例子中的操作活动综合为一

个函数过程.一般地有;2x x →其他的各种函数也可以概括为一般的对应过程)(x f x →.

对象（objects ）阶段.当个体能够把“程序”作为一个整体进行操作时，这一程序就变

成了一种心理“对象（objects ）”.接着上面的例子，然后可以把函数过程当作一个独立的对

象来处理，比如函数的加减乘除、符合运算等.在表达式)()(x g x f ±中，函数)

()(x g x f 和都是作为一个整体对象出现的.

最后是“图式（或者说图式结构，schema ）”.一个数学概念的“图式”是指由相应的

“活动”、“程序”、“对象”以及与某些一般原理相联系的其他“图式”所形成的一种个体头

脑中的认知框架，它可以用以解决与这个概念相关的问题.

按照杜宾斯基的解释，上述四个成分中，“活动”、“程序”和“对象”也可以看作是数

学知识的三种状态，而“图式”则是由这三种知识构成的一种认知结构（cottrill,et al.,1996）.

此外，上述四种成分的排列虽然在理论上具有一种等级结构，也就是说，一般情况下前一成

分的建构是后一成分的基础，但实际上，个体对某个数学概念的理解并不一定遵循这种线性

的途径.例如函数函数概念，学习者一开始的“活动”是把函数看作一个简单的公式，其中

含有一些可以运算和赋值的字母变量；随后，函数被看作是一种可以“输入—输出”的机器

（函数机），于是得到了初步的“程序”.但是当学生遇到更为复杂的函数表达式时，往往又

回到了“活动”阶段，并在“活动”的基础上，又进一步完善了函数“程序”.如此经过多

个循环之后，学生才最终形成明确而完整的函数“对象”[]4.

从数学学习心理学角度分析，APOS 理论的四个学习层次是合理的，反应了学生学习数

学概念过程中真实的思维活动.其中的“活动阶段”是学生理解概念的一个必要条件，通过

“活动”让学生亲身体验、感受直观背景和概念间的关系.“程序阶段”是学生对“活动”

进行思考，经历思维的内化、压缩过程，学生在头脑中对活动进行描述和反思，抽象出概念

所特有的性质; “对象阶段”是通过前面的抽象认识到了概念本质，对其赋予形式化的定义

及符号，使其达到精致化，成为一个具体的对象，在以后的学习中一次为对象进行新的活动；

“图式阶段”的形成是要经过长期的学习活动进一步完善，，起初的图式包含反应概念的特

例、抽象过程、定义及符号，经过学习，建立起与其他概念、规则、图形等的联系，在头脑

中形成综合的心智结构.

2 锐角三角函数概念的教学设计

上课开始，出示两个倾斜角不同的斜面（图1、图2）.

图1 图2

操作阶段: 物体在两个不同倾斜角的斜面上前进的距离都是a ，图1中的角A 为0

60，图2中的

角B 为030，观察和测量各自对边的值.

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