4连续时间信号的抽样

0 Ω
讨论： 讨论：如何由抽样信号 xa (t ) 来恢复原来的模拟信号 xa (t ) ？ ˆ 思路： 思路：因为抽样后的频谱是乘以理想低通滤波器的频谱后得到 原信号的频谱的，所以对应到时域，应该是抽样信号与 原信号的频谱的，所以对应到时域， 理想低通滤波器对应时域信号h(t)的卷积。 h(t)的卷积 理想低通滤波器对应时域信号h(t)的卷积。这个卷积的 结果计为y (t)，然后，我们将它与x (t)进行对比 进行对比。 结果计为ya(t)，然后，我们将它与xa(t)进行对比。 理想低通滤波器的冲激响应为： 理想低通滤波器的冲激响应为：
a
Xa ( jΩ) = DTFT[ xa (t )] =
利用傅立叶级数将δ (t)展开 可得： 展开， 利用傅立叶级数将δT(t)展开，可得：
∞
−∞
xa (t )e− jΩdt ∫
其中： =2π/T， 其中：Ωs=2π/T，Ωs称为 采样角频率； =1/T， 采样角频率；fs=1/T，fs 为采样频率
时域离散 频域周期
Ωh≤ Ωs/2 情况① 情况①：不混叠 (t)是带限信号 且信号最高频谱分量Ω 不超过Ω /2。 是带限信号， 若xa(t)是带限信号，且信号最高频谱分量Ωh不超过Ωs/2。
Xa ( jΩ)
1/T 0 Ωh Ω
ˆ Xa ( jΩ)
1/T …… - 2 Ωs - Ωs 0 Ωs 2 Ωs …… Ω
∑ xa (mT )
∞
π Sin[T (t − mT )] π (t − mT ) T
说明： 说明： (1) 内插函数只有在抽样点 内插函数只有在抽样点mT上为 。 上为1。 上为
内插函数
(2) xa(t)等于 a(mT)乘上对应的内插函数的总和。 等于x 乘上对应的内插函数的总和。 等于 乘上对应的内插函数的总和 (3) 在每一个抽样点上，只有该点所对应的内插函数不为零，这 在每一个抽样点上，只有该点所对应的内插函数不为零， 说明在抽样点上信号值不变y 说明在抽样点上信号值不变 a(mT)=xa(mT)，而抽样点之间的 ， 信号y ， 其中 其中t≠mT)由各加权抽样函数波形的延伸叠加 信号 a(t)，(其中 由各加权抽样函数波形的延伸叠加 而成。(m从-∞～∞) 而成。 从 ∞
Xa ( jΩ)
1/T 0 Ωh Ω
ˆ Xa ( jΩ)
1/T …… -2Ωs -Ωs 0 Ωs2Ωs …… Ω
由于各周期延拓分量产生的频谱互相交叠， 由于各周期延拓分量产生的频谱互相交叠，使抽样信号的 频谱产生混叠现象。 频谱产生混叠现象。
采样定理： 采样定理： 若要从抽样后的信号中不失真的还原出原信号， 若要从抽样后的信号中不失真的还原出原信号，则抽样频 率必须大于信号最高频率的两倍以上。 率必须大于信号最高频率的两倍以上。
理论上说，只要用一个截止频率为Ω /2的理想低通滤波器 理论上说，只要用一个截止频率为Ωs/2的理想低通滤波器 ˆ 进行处理， 对 Xa ( jΩ)进行处理，就能得到 X ( jΩ) ，从而得到 xa (t ) 。
a
Ωh > Ωs/2 情况② 情况②：混叠 (t)是带限信号 且信号最高频谱分量Ω 超过Ω /2。 是带限信号， 若xa(t)是带限信号，且信号最高频谱分量Ωh超过Ωs/2。
xa (t )
ˆ xa (t )
理想抽样：闭合时间无限短。 理想抽样：闭合时间无限短。 实际抽样： <<T 实际抽样：闭合时间为 τ 秒，但：τ<<T 。
研究目标：(1)信号被抽样后频谱会发生什么变化？ 研究目标：(1)信号被抽样后频谱会发生什么变化？ 信号被抽样后频谱会发生什么变化 (2)在什么条件下 在什么条件下， (2)在什么条件下，可以从从抽样信号 xa (t ) 中不 ˆ 失真地恢复原信号 原信号？ 失真地恢复原信号？ 一、理想抽样过程 →0，此时抽样脉冲序列p(t) p(t)看成冲激函数序列 因为 τ →0，此时抽样脉冲序列p(t)看成冲激函数序列 δT(t)，各冲激函数准确地出现在抽样瞬间上，面积为1。抽样后 (t)，各冲激函数准确地出现在抽样瞬间上，面积为1 的信号完全与输入信号x (t)在抽样瞬间的幅度相同 在抽样瞬间的幅度相同。 的信号完全与输入信号xa(t)在抽样瞬间的幅度相同。 冲激函数序列： 冲激函数序列：δT (t ) =
Xa ( jΩ) = DTFT[ xa (t )] ∆T ( jΩ) = DTFT[δT (t )]
ˆ ˆ Xa ( jΩ) = DTFT[ xa (t )] = DTFT[ xa (t ) ⋅ δT (t )]
因为： 因为：时域相乘相当于频域卷积
ˆ ( jΩ) = 1 [∆ ( jΩ) ∗ X ( jΩ)] ∴ Xa T a 2π ˆ 的关系。 我们由上式结果来分析 X ( jΩ) 与 Xa ( jΩ) 的关系。
1 h(t ) = 2π
∫−∞
∞
H( jΩ)e jΩt dΩ
T = 2π
=
−Ωs / 2 Ωs Sin[ 2 t ] = Ωs t 2
∫
Ωs / 2
e
jΩt
dΩ
t
π Sin[T t ] π T
ˆ ya (t ) = xa (t ) ∗ h(t ) =
∞
∫−∞
∞
ˆ xa (τ)h(t − τ)dτ
∞ = ∫ ∑xa (τ)δ(τ − mT )h(t − τ)dτ −∞ m=−∞
QDTFT[e
jkΩst
] = 2πδ Ω − kΩs ) (
∴∆T ( jΩ) = DTFT[δT (t )]
∞ 2π ∞ = ∑δ(Ω− kΩs ) = Ωs k∑δ(Ω − kΩs ) T k=−∞ =−∞
δT(t)
1 -2T -T 0 T 2T t
△T(j Ω) DTFT
Ωs - 2 Ωs - Ωs 0 Ωs 2 Ωs Ω∞ Nhomakorabea∞ ∞ ∞
2π ˆ ( jΩ) = 1 Xa ∑ Xa ( jΩ − jk T ) T k=−∞
∞
理想抽样信号的频谱，其周期为Ω 频谱的幅度受1/ 加权。 1/T 理想抽样信号的频谱，其周期为Ωs，频谱的幅度受1/T加权。
ˆ 比较 Xa ( jΩ) 与 X ( jΩ) 的频谱，发现： 的频谱，发现： a ˆ 以抽样角频率Ω 抽样后的频谱 X ( jΩ)是 X ( jΩ)以抽样角频率Ωs为周期的重复 a a
P (t ) = T
k=−∞
Cke jkΩst ∑
∞
1 T 2 − jkΩs t 其中： dt 其中：Ck = ∫ T P (t )e T T −2 1 τ ∞ − jkΩst dt = ∫ ∑e 0 T m=−∞ kΩsτ sin ( ) − j kΩsτ τ 2 e 2 = kΩsτ T 2
实际抽样信号频谱： 实际抽样信号频谱：
ˆ ( jΩ) = 1 [ X ( jΩ) ∗ ∆ ( jΩ)] Xa a T 2π 1 2π ∞ = ∑δ(Ω− kΩs )∗ Xa ( jΩ) 2π T k=−∞
1 = ∫ Xa ( jθ) ∑δ(Ω − kΩs − θ) dθ T −∞ k=−∞ 1 ∞ ∞ = ∑ ∫−∞ Xa ( jθ)δ(Ω − kΩs − θ)dθ T k=−∞ 1 1 2π = ∑Xa ( jΩ − jkΩs ) = T ∑ Xa ( jΩ − jk T ) T k=−∞ k=−∞
Sin T (t − mT )] [π h(t − mT ) = π T (t − mT )
信号的抽样值x 经内插函数得到连续信号y 。 信号的抽样值 a(mT)经内插函数得到连续信号 a(t)。 经内插函数得到连续信号
四、实际抽样
抽样脉冲不是冲激函数，而是一定宽度的矩形周期脉冲。 抽样脉冲不是冲激函数，而是一定宽度的矩形周期脉冲。
= =
m=−∞ ∞
∑ ∫−∞ xa (τ)h(t − τ)δ(τ − mT )dτ ∑xa (mT )h(t − mT )
∑ xa (mT )
π Sin[T (t − mT )] π (t − mT ) T
∞
∞
=
m=−∞ ∞
m=−∞
ˆ ya (t ) = xa (t ) ∗ h(t ) =
m=−∞
ˆ Xa ( jΩ)
… … 1/T - 2 Ωs - Ωs 0 T -Ωs /2 0 Ωs /2 Ω Ωs 2 Ωs … … Ω
H( jΩ)
实际上， 实际上，理想的低通 滤波器是不能实现的， 滤波器是不能实现的， 但我们可以在一定精度 范围内用一个可实现的 滤波器来逼近它。 滤波器来逼近它。
Xa ( jΩ)
kΩsτ sin ( ) 2 一定， 的幅度|C 按 变化。 若τ、T一定，则Ck的幅度 k|按 一定 变化。 kΩsτ 2
ˆ Xa ( jΩ ) =
2π ∑ Ck Xa ( jΩ − jk T ) k =−∞
∞
万一： 万一：Ck=0？ ？
包络的第一个零点出现在： 包络的第一个零点出现在：
kΩsτ sin ( ) 2 =0 kΩsτ 2 kΩsτ k 2π ⇒ =π ⇒ ⋅ ⋅τ = π 2 2 T
三、抽样的恢复 如果满足采样定理，信号的最高频率小于折叠频率， 如果满足采样定理，信号的最高频率小于折叠频率，则抽 样后信号的频谱不会产生混叠，故可以恢复原信号。 样后信号的频谱不会产生混叠，故可以恢复原信号。 ˆ 将 X ( jΩ)通过一个理想低通滤波器得到 Xa ( jΩ)：
a
T | Ω |< Ωs / 2 H( jΩ) = 0 | Ω |≥ Ωs / 2
§1.4 连续时间信号的抽样
抽样：利用周期性抽样脉冲序列p(t)，从连续信号x (t)中 抽样：利用周期性抽样脉冲序列p(t)，从连续信号xa(t)中 p(t) 抽取一系列的离散值，得到抽样信号， ˆ 表示。 抽取一系列的离散值，得到抽样信号，用 xa (t ) 表示。 A/D： ˆ 再经幅度量化编码后得到数字信号。 A/D： xa (t ) 再经幅度量化编码后得到数字信号。 抽样器：相当于一个电子开关， 采样间隔) 抽样器：相当于一个电子开关，开关每隔 T(采样间隔)秒闭合 一次，使时间离散。 一次，使时间离散。