初中数学等腰三角形的分类讨论

初中数学等腰三角形的分类讨论

等腰三角形是一种特殊而又十分重要的三角形，就是因为这种特殊性，在具体处理问题时往往又会出现错误，因此，在求解有关等腰三角形的问题时一定要注意分类讨论。那么在什么情况下应该分类讨论呢？本文分以下几种情形讲述。

一. 遇角需讨论

例1. 已知等腰三角形的一个内角为75°则其顶角为（ ）

A. 30°

B. 75°

C. 105°

D. 30°或75°

简析：75°角可能是顶角，也可能是底角。当75°是底角时，则顶角的度数为

180°－75°×2=30°；当75°角是顶角时，则顶角的度数就等于75°。所以这个等腰三角形的顶角为30°或75°。故应选D 。

说明：对于一个等腰三角形，若条件中并没有确定顶角或底角时，应注意分情况讨论，先确定这个已知角是顶角还是底角，再运用三角形内角和定理求解。

二. 遇边需讨论

例2. 已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于6，则它的周长等于_________。 简析：已知条件中并没有指明5和6谁是腰长谁是底边的长，因此应由三角形的三边关系进行分类讨论。当5是等腰三角形的腰长时，这个等腰三角形的底边长就是6，则此时等腰三角形的周长等于16；当6是腰长时，这个三角形的底边长就是5，则此时周长等于17。故这个等腰三角形的周长等于16或17。

说明：对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪是底哪是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论。

三. 遇中线需讨论

例3. 若等腰三角形一腰上的中线分周长为9cm 和12cm 两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长。

简析：已知条件并没有指明哪一部分是9cm ，哪一部分是12cm ，因此，应有两种情形。

若设这个等腰三角形的腰长是x cm ，底边长为y cm ，可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+,1221,921y x x x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+.92

1,1221y x x x 解

得⎩⎨⎧==,9,6y x 或⎩

⎨⎧==.5,8y x 即当腰长是6cm 时，底边长是9cm ；当腰长是8cm 时，底边长是5cm 。 说明：这里求出来的解应满足三角形三边关系定理。

四. 遇高需讨论

例4. 等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°，求这个等腰三角形的顶角的度数。

简析：依题意可画出图1和图2两种情形。图1中顶角为45°，图2中顶角为135°。

例5. 为美化环境，计划在某小区内用230m 的草皮铺设一块一边长为10m 的等腰三角形绿地，请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长。

简析：在等腰ΔABC 中，设AB=10m ，作CD ⊥AB 于D ，由3021=⋅⨯=

∆CD AB S ABC ，可得CD=6m 。如下图，当AB 为底边时，AD=DB=5m ，所以)(6122m AD CD BC AC =+==。

如下图，当AB 为腰且ΔABC 为锐角三角形时，

m AC AB 10==，所以)(822m CD AC AD =-=，

)(102,222m BD CD BC m BD =+==。

如下图，当AB 为腰且ΔABC 为钝角三角形时，

m BC AB 10==，)(822m CD BC BD =-=，

所以)(106,1822m AD CD AC m AD =+==。

说明：三角形的高是由三角形的形状决定的，对于等腰三角形，当顶角是锐角时，腰上的高在三角形内；当顶角是钝角时，腰上的高在三角形外。

五. 遇中垂线需讨论

例6.在ΔABC 中，AB=AC ，AB 的中垂线与AC 所在直线相交所得的锐角为50°，则底角∠B=____________。

简析：按照题意可画出如图1和如图2两种情况的示意图。

如图1，当交点在腰AC 上时，ΔABC 是锐角三角形，此时可求得∠A=40°，所以

∠B=∠C=2

1（180°－40°）=70°。 如图2，当交点在腰CA 的延长线上时，ΔABC 为钝角三有形，此时可求得

∠BAC=140°，所以∠B=∠C=2

1（180°－140°）=20°

故这个等腰三角形的底角为70°或20°。

说明：这里的图2最容易漏掉，求解时一定要认真分析题意，画出所有可能的图形，这样才能正确解题。

六. 和方程问题的综合讨论

例7. 已知ΔABC 的两边AB ，AC 的长是关于x 的一元二次方程023)32(22=++++-k k x k x 的两个实数根，第三边BC 长为5。

（1）k 为何值时，ΔABC 是以BC 为斜边的直角三角形？

（2）k 为何值时，ΔABC 是等腰三角形，并求ΔABC 的周长。

简析：（1）经计算，⊿=1，x 1=k+1,x 2=k+2。 由勾股定理得k=2。

（2）若ΔABC 是等腰三角形，则有AB=AC ，AB=BC ，AC=BC 这三种情形。方程023)32(22=++++-k k x k x 可化为0)1)(2(=----k x k x ，即21+=k x ，12+=k x ，显然21x x ≠，即AC AB ≠。当AB=BC 或AC=BC 时，5是方程023)32(22=++++-k k x k x 的根。当5=x 时，代入原方程可得01272=+-k k ，解得31=k ，42=k 。

当3=k 时，原方程的解为4,521==x x ，等腰ΔABC 的三边长分别为5，5，4，周长为14。当4=k 时，原方程的解为5,621==x x ，等腰ΔABC 的三边长分别为5，5，6，周长为16。

所以当3=k 或4=k 时，ΔABC 是等腰三角形，周长分别为14或16。

七、找点构造等腰三角形需讨论

例8在直角坐标系中，O 为坐标原点，A （1,1）；在坐标轴上确定一点P ，使ΔAOP 为等腰