双曲线函数的图像与性质及应用

一个十分重要得函数得图象与性质应用

新课标高一数学在“基本不等式”一节课中已经隐含了函数得图象、性质与重要得应用,就是高考要求范围内得一个重要得基础知识.那么在高三第一轮复习课中,对于重点中学或基础比较好一点学校得同学而言,我们务必要系统介绍学习(ab ≠0)得图象、性质与应用、

2.1 定理:函数(ab ≠0)表示得图象就是以y=ａx 与x=0(y 轴)得直线为渐近线得双曲线。

首先,我们根据渐近线得意义可以理解:ax 得值与得值比较,当很大很大得时候, 得值几乎可以忽略不计,起决定作用得就是a ｘ得值;当得值很小很小,几乎为0得时候,ax 得值几乎可以忽略不计,起决定作用得就是得值、从而,函数(ab ≠0)表示得图象就是以ｙ＝ax 与x=0(y 轴)得直线为渐近线得曲线.另外我们可以发现这个函数就是奇函数,它得图象应该关于原点成中心对称、

由于函数形式比较抽象,系数都就是字母,因此要证明曲线就是双曲线就是很麻烦得,我们通过一个例题来说明这一结论.

例1.若函数就是双曲线,求实半轴a,虚半轴b,半焦距c,渐近线及其焦点,并验证双曲线得定义.

分析:画图,曲线如右所示;由此可知它得渐近线应该就是与x ＝0

∴ a==, =tan30º,

F 1(2,)F ２(-2,-)、3232(21+

==-x x PF PF

所以,函数表示得曲线就是双曲线、

(在许多地方,老师把这个曲线形状形象概括为“双钩曲线”,其实很不准确得.)

2.2五种表现形式

表现 １:函数 (ａ＞0,b >0)得双曲线大概图象如下:

渐近线含双曲线部分得夹角就是锐角,在与上函数分别就是单调递增得,在与上函数分别就是单调递减得;在x=处有极大值,在x=处有极

小值;值域就是.

表现 2:函数 (ａ<0,b <0)得双曲线大概图象如下:

渐近线含双曲线部分得夹角就是锐角,在与上

函数分别就是单调递减得,在与上函数分别就是单调递增得;在ｘ=处有极小值,在x=处有极

大值;值域就是。

表现3:函数(a＞0,b<0)得双曲线大概图象如Array右:

此时,渐近线含双曲线部分得夹角就是钝角,∵>０,所

以,函数在与上函数分别就是单调递增得,每一个单调

区间上得值域都就是Ｒ。

表现４:函数(a〈０,b〉0)得双曲线图象如右:

此时,渐近线含双曲线部分得夹角就是钝角,∵〈0,所

以,函数在与上函数分别就是单调递减得,每一个单调区

间上得值域就是R.

特别,后面两个函数得单调性很“单纯",在解题时候要

引起重视,在高考中也多次应用,注意总结、

表现5:函数(x≠0) 就是等轴双曲线,以x

轴、ｙ轴为渐近线,在两个区间与上函数分别就是单调递

减得.这个学生在初中就应该掌握了得函数

２、3应用举例与重点推广

这个函数最大有用处就就是它得单调性,

是利用得它在某个区间上得单调性来求函数得值域,或比

较大小,或求最值等.

例2、已知x＞y>0 , xy＝1 ,求得最小值及此时ｘ、y得值

解:∵x〉y〉０,∴x—y＞０,又xy=1,

∴=;

解混合式得:

所以当: 时候,取得最小值为.

例３.求ｙ= (x≥0)

解:令x+2=t 则 x=t－2 代入得由x≥0得t≥2,而在上就是减函数得,所以ｙ≤—5,值域为

例11.已知

(1)若ａ＞0,求得单调区间

(２)若当时,恒有〈0,求实数a得取值范围

解:＝

当＞０时,得单调递增区间为,单调递减区间为、

(2)(i)当时,显然＜0成立,此时,

(ii)当时,由〈0,可得＜＜,

令

则〉0,∴在要求区间内就是单调递增,可知

＜0,∴在要求区间内就是单调递减,可知

此时得范围就是(—1,３)

综合i、ii得:得范围就是(—１,3)

从上面几个例子可以瞧出,形如或(m≠0,ａ≠0)函数值域不但可以用二次方程得△判别式来求,也可以用这个双曲线函数得单调性来求,尤其对于自变量不就是自然得定义域,而就是某个限制得范围时候,更要利用这个函数得单调性来解决了.

重点推广:到此我们来瞧瞧函数(aｄ≠bｃ,ａ≠０)究竟就是什么样得图象与性质呢？

它可以通过变形化为,继续化为,因此,函数(ad≠bｃ,a≠０)得图象就是可以从得图象通

过平移而来得,从而(ad≠bc,a≠0)得图象也就是等轴双曲

单调性,>0时都就是单调递减,＜0时都就是单调递增.这

个函数与函数(a〉0,ｂ＞0)要与一次函数、二次函数、

幂函数、指数函数、对数函数、三角函数一样,作为高三

复习时候得基本函数,要熟练理解与应用,.

例4。已知正项数列满足a1＝ａ (０

n+1≤,

求证

分析:本题有别得证法,这里就用数学归纳法结合上

面函数得单调性思想来处理;

ｉ)n=１时a１=a,符合求证结论

ii设ｎ=k时结论成立

则n=k+１时候, aｋ+1≤,而,因此,考虑函数f(x)==1—在区间与区间都就是递

增函数,(0,1),所以f(x)=在0,1)也就是递增函数,从而,a k+1≤,所以n=k+１时,不等式也成立、

综上所述,对任意n就是正得自然数都成立。

这样,(ad≠bc,a≠0)得图象也就是等轴双曲线,渐近线就是,得两条直线,在与两个区间上

都具有相同得单调性得应用要得到巩固,它就是函数(ab≠０)得图象、性质得知识系统得重

要组成部分、