论高等数学在经济学中的作用

论高等数学在经济学中的作用

数学与经济学有着广泛的内在联系，经济学是社会科学中最早成功地实现数学化的学科。数学取得的最大成就是在经济学领域。经济学中应用数学的学科有数理经济学、计量经济学、数量经济学、技术经济学等。数学方法在经济学中的应用问题，普遍得到了广泛地重视。然而，在经济研究中应用数学方法有时会出现一些偏差，影响了研究效果。

一、数学在经济理论分析中的应用

数学研究经济现象，经常运用抽象的方法，借助数学公式和几何图形得出概念和理论。数学用规范化的方法研究均衡理论，所使用的数学工具主要是集合论、群论和拓扑学。它从一套公式、假定、定义出发，导出若干引理、定理，它研究最优经济效果、利益协调和最优价格的确定等这些经济学基本理论问题，为计量经济学、经济统计学和数量经济学提供模型框架、结构和基础理论。数学方法在经济学中的应用可以分为作为描述某些经济原理的框架；反映经济数量关系和联系；验证经济理论的手段三个方面。前两个方面属于数理经济学，后者属于计量经济学。数理经济学模型的方程式一般不包含随机误差项，有别于计量经济学模型，但数理经济学用数学公式表达经济理论，提出不少定理和公式，把经济理论具体化和规范化，对计量经济学的发展起了很大的作用。

现代数学和统计方法研究经济现象的计量变化规律，计量各个经济变量之间相互依存的数量关系，其研究对象是经济现象中可计量的经济变量。经济统计学和计量经济学的发展过程中，通过对数据的收集与利用、频率以至概率分布的数字特征、方程拟合等相关分析，建立和估算回归模型。通过对分布滞后、自回归模型用于预测、联立方程模型用于结构分析和经济模型的特殊误差分析，为回归模型的推广和应用开辟了广阔的前景。

二、研究经济问题常采用的方法

在定量的描述、研究经济关系和经济规律的方法中，一种简单的流程图为经济理论——模型——数学型——估计模型——确定模型的未知量——经济结构分析——经济预测政策评价、调整。其中，结构分析包括：研究分析经济变量之间的内在联系和检验经济理论。经济预测包括：借助于科学的数学法和技术手段对未来的发展和状况进行描述、分析，形成科学的假设和判断。政策评价是指决策者从众多的决策中选择一种最优的政策来执行。其中用到弹性函数、乘数、生产技术系数、边际效益等数学概念。

三、微分方程在经济研究中的应用

为了研究经济变量之间的联系及其内在规律常需要建立某一经济函数及其导数所满足的关系式，并由此确定所研究函数形式，从而根据一些已知的条件来确定该函数的表达式，从高等数学上讲就是建立微分方程并求解微分方程。利用

微分方程可以分析商品的市场价格与需求量（供给量）之间的函数关系，预测可再生资源的产量，预测商品的销售量，分析关于国民收入、储蓄与投资的关系问题等。原材料的购买和库存有着一定的关系。例如：商场或厂家必须考虑购货（原材料）和库存一定量的商品或原材料。如果一次大批量购买，自然库存量多因而库存费多，并且造成资金积盛。如果小批量购买（多买几次），则库存费减少，但因订购次数多，必然订货费增多，甚至会出现商品脱销或停工待料。在这两种费用多与少的矛盾情况下，对于商家来说，考虑的问题是如何合理安排订货的数量和库存量，即选择最优批量以使这两项费用之和为最小。我们称使全年（或某个时间区间）的库存和订货总费用达到最小值的订货量为经济订货量，或者总费用最经济点。

四、导数在经济分析中的应用

1.边际函数。在经济管理问题中，常常会用到变化率这一基本概念，作为变化率又分为平均变化率和瞬时变化率。所谓平均变化率就是函数增量与自变量增量之比；而瞬时变化率就是函数对自变量的导数。即若在处可微，则。

此式表示y关于x在“边际上”处的变化率，经济学中将达到x=前1个单位时y的变化称为边际变化。设在点x=处，x从改变1个单位时的增量的精确值为，当x改变的“单位”很小或改变的“单位”与相比较很小时，则由微分的应用可知的近似值为。于是，可得如下定义：

定义：设函数在点处可导，则称导数f’(x)为f(x)的边际函数，f’(x)在x=x0处的值f’(x0)为f(x)的边际函数值，即：当x=x0时，x改变1个单位，y改变f’(x0)个单位。

2.边际成本。设总成本函数，其中为产量,则生产个单位产品时的边际成本函数为：。此式可以理解为当生产个单位产品前最后增加的那个单位产量所花费的成本或生产个单位后增加的那个单位产量所花费的成本。

3.边际收益。设总收益函数为R=PQ其中P为价格，为销售量。又设价格函数为R=PQ，则总收益函数为，从而平均收益为。即价格可以视为从需求量（这里需求量即为销售量）上获得的平均收益，若设边际收益为，则。这说明当销售个单位时，多销售个单位产品或少销售1个单位产品使其增加或减少的收益。其它，如边际利润等也可作类似的处理。

高等数学与经济科学有着密切的关系，经济学中经常要遇到诸如需求函数、供给函数、总收益函数、生产函数等，通过边际分析在需求分析和计算最大利润、库存管理、成本最低的生产量等一系列问题中的应用使其经济问题得到圆满的解决。高等数学在经济中的广泛应用，为决策者提供参考依据并对许多部门的具体工作进行指导。

参考文献：

[1]黎诣远.经济数学基础[M].北京：高教出版杜，1998-07.

[2]吴传生.经济数学一微积分[M].北京：高教出版社，2005-06. .