从已有知识经验出发寻找解题思路_安振平

１［ ３ ｘ＋ （ ｚ） ｙ ＋２ ２ 槡 ］ ２ ３ 槡 ３·ｘ ＋１· ｚ］ １［ ｙ ＋２ ２ 槡 ２ ３ 槡
２ ２ ２ ２ （ （ （ ３） ｘ ｚ］ １［ ＋２ ＋１ ） ＋ｙ ） ２ 槡 槡 ２ ３ 槡
≤ ＝
１（ ２ ３ ２ ２ 槡 ｘ ＋ｙ ． ＋ｚ） ＝ 槡 ３ ３ 槡
ｍ 的值为 Ｍ
２ 若ｘ 例 ６ （ １ ３ 年浙江大学自主招生题 ） ２ ０ ＋ ２ ２ ２ ， 求ｘ ｘ ｘ， ２ ＋ｙ 的最小值 ． ｙ －ｙ ＝ ７（ ｙ ∈ Ｒ）
） 分 析 注意到 （ ｘ＋３ １－ｘ） ＝４是常数 ， ＋（ ２ 容易 想 到 对 函 数 关 系 两 边 平 方 ，得 ｙ ＝ ４＋ （ （ ） ，于 是 只 要 在 定 义 域 内 ， 研究 ｘ ＋３ ２槡 １－ｘ） （ ）的最大值和最小值即可 ． （ ｘ ＋３ １－ｘ） 解 因为函数ｙ ＝ 槡 ｘ ＋３ 的定义 １ －ｘ＋ 槡 ］ ， 域为 ［ 所以 １ －３，
ｙ＝
＝ ＝ ＝
（ ｘ ＋３） １ －ｘ ＋ 槡 槡 槡
２
（ （ ） ｘ ＋３ ４＋２ 槡 １－ｘ） 槡
２ ４＋２ 槡 ｘ ＋３ －ｘ －２ 槡
１ ） ２ ２ （ （ 分析 ７ ＝ ｘ ａ ｘ） －ｙ ＋２ ｙ ａ １ ２ ２ ２ ２ ａ ｘ） ＋ （ ｙ） ≤ ｘ －ｙ ＋ （ ａ １ ２ ２ ２ ） ） １＋ａ ｘ ＝（ ＋ （２ －１ ｙ， ａ １ ２ ２ 令 １＋ａ 得ａ ２－１． ＝ ２ －１， ＝槡 ａ 解 利用二元均值不等式 ， 得
．
３， １ 时， 当且仅当ｘ ＝ 槡 ｘ ｘ ｚ取 ｙ ＝ｚ ＝ ｙ ＋２ ３ ３ ３ 得最大值槡 ． ３ 点评 在上面的解答过程里 ， 难就难在引进 为什么恰好需要引进槡 而不是别的数 辅助量槡 ３， ３， ， ］ ） 留给 呢？ 这可以用 待 定 系 数 方 法 确 定 （ 见文［ ２ 读者去深入思之 ．
ｘ ｘ ｚ＝ ｙ ＋２
≤ ＝
ｘ ， 代入目标 ３ 就 实 现 了 消 元， 从而化 ｘ ＋４ ｙ， ５ ｘ －３ 二元问题为一元问题 ， 得 ｆ（ ｘ）＝ ３ ｘ＋４ ｘ＋ ｙ ＝３
４ ｘ （ ３ ， 这可通过求导或变形后用二元均 ｘ＞ ） ５ ｘ －３ ５ 值不等式解答之 ． 例 ４ （ ０ ８ 年 重 庆 高 考 题 ）已 知 函 数 ｙ ＝ ２ ０ 最小值为 ｍ， 则 １－ｘ ＋ 槡 ｘ ＋３ 的最大值为 Ｍ ， 槡
系， 自然想到二元均值不等式 ．
２ ２ 解 利用二元均值不等式 ， 得１＝ （ ｘ） ２ ＋ｙ
只 要 让槡 边槡 ｘ＋ 槡 ｘ ＋ｙ， ｘ ２ ＋槡 ｙ 放大到右边 槡 ｙ ＝ １· ２ ｘ ＋１·槡 ｙ 即可 ． 槡 ２ 槡 １· 解 利 用 柯 西 不 等 式， 得槡 ｘ ＋槡 ｙ＝ ２ 槡 ２ ｘ ＋ １· 槡 ｙ ≤ 槡 ） （ （ ＋１ ２ ｘ ＋ｙ） ＝ ２ 槡 １ ６ 槡 ２
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— —２ 数学通讯 — 上半月 ） ０ １ ４ 年第 ５、 ６期（ · 辅教导学 ·
从已有知识经验出发寻找解题思路 ＊
安振平
（ ） 陕西咸阳师范学院教育科学学院 ， ７ １ ２ ０ ０ ０
］中 ， 江苏于志洪先生在文 ［ 利用三角换元法 １ 解答了６道高考多元条件求最值问题 ， 笔者阅读该 ， 文的同时 思考了怎样从 学 生 的 已 有 知 识 、 经验出 ］中 发， 寻求自然的 、 简明的解题途径 ． 本文以文 ［ １ 的问题为例 ， 探究这些代数最值问题的直接解答 途径 ， 愿对 读 者 开 展 解 题 分 析 ， 探 究 解 题 思 路， 形 成解题过程有所启迪 ． 例 １ （ １ ３ 年宁镇扬三市二模试题 ）若不等 ２ ０ 对任意正实数ｘ， 式槡 ｘ＋ 槡 ｘ ＋ｙ， ２ ｙ ≤ｋ ｙ 成立 ， 槡 求 ｋ 的最小值 ． 分析 联想到柯西不等式 ， 需要配凑柯西不
点评 其 实 ，通 过 对 函 数 ｙ ＝ 槡 １ －ｘ ＋ ］内 求 导 ， 研究单调性来 ｘ ＋３ 在定义 域 ［ １ －３， 槡 求最值 ， 作为考试也许是最简捷的方法 ． 例５ （ 设ｘ， １ ０年北京大学自主招生题 ） ２ ０ ｙ，
２ ２ 求ｘ 且槡 ｚ∈Ｒ ｘ ｘ ｚ 的最大 ＋ｙ ＋ｚ ＝ １， ｙ ＋２ ＋， 值．
）． ｘ ＋１ ４＋２ ４－ （ 槡 槡
２
当 ｘ ＝－１时 ， 当ｘ ＝－３， 或 Ｍ ＝ｙｍａ ２； ｘ ＝２ 槡
ｘ ＝１时， ｍ ＝ ｙｍ ． ｎ ＝２ ｉ
２， ２ 所以 ，ｍ ＝ 槡 应当填槡 ． Ｍ ２ ２
１ ０
２ ２ ７＝ｘ ｘ ＋２ ｙ －ｙ ２ ２ （ （ ２－１ ｘ） ＝ ｘ －ｙ ＋２ 槡 槡
１ 于是 即ｘ ｘ ｘ ＋ｘ ｙ ≥ ２·２ ｙ ＋ｘ ｙ ＝５ ｙ， ｙ≤ ． ５ ２ ｘ ＋ ｙ ≤ ≤ ＝
２ （ ｘ ＋ｙ） ２ ＝ 槡
ｘ １＋３ ｙ 槡
１＋ ５ 槡 ２ １ ０ 槡 ． ５
３
所以 ， 满足不等式槡 ｘ ＋ｙ， ｘ＋ 槡 ｘ ＋ｙ ２ ２ ｙ ≤ｋ 槡 槡 ６ 的实数 ｋ 的最小值是槡 ． ２ 点评 如果没有联系到柯西不等式 ， 也可把
则３ 满足ｘ ＋３ ｘ ｘ＋４ ） ｙ， ｙ ＝５ ｙ 的最小值是 （
ｔ＋１ （ ） ） 的最 求 导方法 ， 探究函数ｆ（ ｔ ｔ＞０ ＝ ２ ２ ｔ ＋１ 槡
基于微课程的教师教育课程教学模式创新研究资助 ． ＊本文获陕西省教改项目 ：
· 辅教导学 · 数学通讯 — — —２ 上半月 ） ０ １ ４ 年第 ５、 ６期（
ｘ ＋槡 ｙ ｋ， ｘ＋ 槡 ｘ ＋ｙ 变形为 槡 ２ ｙ ≤ｋ 槡 槡 ≤ 即 ２ ｘ ＋ｙ 槡
＋１ ｙ ． ｋ≥ 槡 ｘ ２· ＋１ 槡ｙ 令 ， ， 得ｋ≥ 这样 ， 用 ｔ＞ ０， ＝ｔ ｙ 槡 ２ ｔ ＋１ 槡
２
ｘ
≤
ｘ
ｔ＋１
２ １ ０ 槡 ． ５ 例 ３ （ ２ ０ １ ２ 年浙江高考文科题 ）若 正 数 ｘ， ｙ ２ ８ ２ ４ （ Ｂ） （ Ｃ） ５． Ｄ） ６． Ａ） ． （ （ ５ ５
分析 注意到解 题 目 标 ｘ ｘ ｚ ＝ ｘ（ ｙ＋ ｙ ＋２
槡
＝ ５． 所以 ， 应当选 （ Ｃ） ． ”的 代 换 技 巧 ， 点评 这里用 到 “ 值得关注 １ ， ， 解出ｙ ＝ １ （ 代 和反思 ．若令３ ｘ＋４ ｔ－３ ｘ） ｙ ＝ｔ ４ 入 条件ｘ＋３ 消元ｙ， 得关于ｘ 的一元二次 ｘ ｙ， ｙ ＝５ 方程 ， 同例 ２ 的点评 ， 用 判 别 式 方 法， 也 可 获 解． 当 中的设元 、 消元思想值得学习 ． 事实 上 ，由 条 件 ｘ ＋ ３ ｘ ｙ ＝５ ｙ，解 出 ｙ ＝
２槡 １ ０ 故２ ｘ ＋ｙ 的最大值是 ． ５ ， 则 ｙ ＝ｔ－２ 代入 点评 若令 ２ ｘ＋ｙ ＝ｔ ｘ， ２ ２ ２ 消元ｙ， 得４ 条 件４ ｘ ＋ｘ ｘ ＋ｘ（ ｔ－２ ｘ） ｙ＋ｙ ＝１，
２ ｔ－２ ｘ） ＝ １， ＋（ 整理为关于 ｘ 的一元二次方程 ２ ２ ）＝ ０ （ ｘ ｔ ｘ＋ （ ｔ ６ －３ －１ ＊） 注意到 ｘ 是 实 数 ， 说明（ 当 然， ＊ ）有 实 数 根 ， ２ ２ ） （ ） 立得｜ 其判别式 Δ ＝ （ ｔ ｔ ｔ ４ －２ －１ ｜ －３ ≥ ０，
简易逻辑与函数及不等式的综合
１ ２ 年北京文科卷 １ ４ 题为例 ０ ── 以 ２
魏国兵
（ ） 江苏省南京市溧水区教育局教研室 ， ２ １ １ ２ ０ ０
近年来 ， 将简易逻辑与函数及不等式综合在 一起的考题在 高 考 中 时 有 出 现 ， 且往往以小题压 轴题的形式出 现 ， 这类题目已成为高考的热点及 难点 ． 这类 试 题 知 识 覆 盖 面 广 ， 综 合 性 强， 灵活多 样． 从知识目标看能考查 高 中 数 学 核 心 概 念 ， 从能 力目标看能考查学生的分 类 讨 论 、 数 形 结 合、 化归 转化 、 分析问题及解决问 题 等 能 力 ． 在推行高考命 题以 “ 能力立意 ”的今天此种类型倍受命题教师的 青睐 ． 背景及解析 １． ）已知 ｆ（ 题目 （ ｘ） １ ２ 高考北京文科卷 １ ２ ０ ４ ｘ （ ） （ ） ， （ ） ， ｍ ｘ＋ｍ ＋３ ｇ ｘ ＝ ２ －２ 若 ｘ ＝ ｍ ｘ－２ 则 ｍ 的取值范围 ｘ）＜ ０ 或 ｇ（ ｘ）＜ ０， ｆ（ ∈ Ｒ， 是 ． 本题将 函 数 、 不等式及简易逻辑完美地融合 在一起 ， 且涉 及 的 函 数 均 为 高 中 阶 段 的 基 本 函 数 （ ， 二次函数及指数函数 ） 是 一道 精 心打 磨的 好题． 学生在 处 理 这 道 题 目 时 ， 对于“ 若 ｘ ∈ Ｒ， ｘ） ｆ（ ” 这一句话不能正确理解 ， 导致无 ｘ） ＜ ０或ｇ（ ＜０
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３ １ 分 析 把条件 ｘ＋３ ｘ ｙ ＝５ ｙ 变形为 ＋ ｘ ５ ｙ ５ １ ３） （ ， 于是３ 把上式 ３ ｘ＋４ ｘ＋４ ＝１， ＋ ｙ＝ （ ｙ） ｘ ５ ｙ ５ 右边展开 ， 自然想到用二元均值不等式 ． 解 利用二元均值不等式 ， 得 １ ３ （ ｘ ＋４ ｘ ＋４ ３ ３ ＋ ） ｙ＝ （ ｙ） ５ ｘ ｙ ５ ＝ １ ３ ３（ ４ ４ ｘ ３ ３· ｙ ｘ） １ ２ ｙ· ＋ ＋ ＋ ≥ ５ ５ ｘ ｙ ５ ５ ｘ ｙ
ａ ｂ ２， ， 若想到二元均值不等式 ： 获得 ２ ｚ） ａ ｂ≤ （ ＋ ） ２ ｘ （ ２ ｚ） ２ ］ ， ｘ ｘ ｚ ＝ ｘ（ ｚ）≤ ［ ＋ ｙ ＋ ｙ ＋２ ｙ ＋２ ２
２ ２ 如何与条件 槡 中 间量ｘ＋ （ ｚ） ｘ ｚ ＋ｙ ＋ ｙ＋２
为产生字母的平方 ， 联想到柯西不等式 ， ＝１联系？ 当中需要配凑系数 ． 解 利用二元均值不等式和柯西不等式 ， 得 １· ３ ｘ·（ ｚ） ｙ ＋２ 槡 ３ 槡
２ ２ ２ ２ （ ， （ 从左 等 式的形式ａ ｘ＋ ｂ ａ ｘ ＋ｂ ） ＋ｙ ） ｙ≤ 槡
大值 ， 就获得了实数 ｋ 的最小值 ．
２ 例 ２ （ ｘ １ １ 年浙江高考理科题 ）若 ４ ２ ０ ＋ｘ ｙ ２ 则２ ｘ ＋ｙ 的最大值是 ． ＋ｙ ＝ １， ２ ２ 分析 条件 ４ ｘ ＋ｘ ｙ ＋ｙ ＝ １ 左 边 是 二 次 的， 而解题目标 ２ 消 除 次 数 差 异， ｘ ＋ｙ 是一 次 的 ， ２ ２ 获得 （ 容易想到对 ２ ｘ ＋ｙ 平方 ， ｘ ＋ｙ） ｘ ２ ＝４ ＋ ２ 于是 ， 问题转化为在题设 ｘ ｘ ｘ ｙ＋ｙ ＋３ ｙ ＝１＋３ ｙ， ２ ２ 求ｘ 条件４ 这样 ， ｘ ＋ｘ ｙ ＋ｙ ＝ １ 下 ， ｙ 的最大值 ． ２ ２ ２ ２ 需要把 ４ ｘ ｘ ＋ｘ ＋ｙ 与 ｘ ｙ ＋ｙ ＝ １ 里的 ４ ｙ联
— —２ 数学通讯 — 上半月 ） ０ １ ４ 年第 ５、 ６期（ · 辅教导学 ·
堆转一圈 ， 看 看 能 否 发 现 老 鼠 的 尾 巴． 如 果 有， 就
ｙ） ２－１ 槡 槡
１
捉出老鼠 ． 如果没有发现 老 鼠 尾 巴 ， 就要寻找这堆 石头的缝隙 ， 某个缝隙可 能 就 是 寻 找 的 突 破 口 ． 联 想曾经抓老鼠 的 经 验 ， 思考能否转化为以前捉老 鼠的方法 ． 如果可以 ， 那 就 搞 定 了； 如 果 不 成 功， 就 需换个途径 ， 直 到 抓 出 老 鼠 为 止． 数 学 解 题， 何尝 不正是这样的道理呢！ 参考文献 ： ［ ］ 应用三角换元法解高考最值问题 １ 于志洪 ． （ ） ［ ］ ， 数学通讯 （ 下半月 ） １ ４ １ ． Ｊ ． ２ ０ ［ ］ 王 峰． 用待定系数法证明不等式 ２ 安 振 平， （ ） ［ ］ ， 中学数学教学参考 （ 上旬 ） １ ３ ８ ． Ｊ ． ２ ０ （ ） 收稿日期 ： １ ４－０ ３－０ ６ ２ ０
２ ２ ２ ） Βιβλιοθήκη Baidu－１ ｘ ＋ 槡 ≤ ｘ －ｙ ＋ （
１ ２ ｙ ２－１ 槡
２ ２ ， ２（ ｘ ＝槡 ＋ｙ ）
７ ２， ２ ２ ２ ２ 槡 所以 ｘ 即ｘ ＋ｙ ≥ ＋ｙ 的 最 小 值 ２ ２ 槡 为７ ． ２ 点评 在分析解题思路的过程中 ， 用待定系 数方法确定需 要 引 进 的 参 数 ， 而在具体的解答过 程里 ， 却有意隐藏了神秘参数 槡 ２－１ 的来历！ 槡 解数学 题 就 像 寻 找 一 只 藏 在 石 头 堆 中 的 老 鼠， 其目的就是要把老鼠 捉 出 来 ． 这需要先绕石头